Prof. Dr. J. DorfmeisterThorsten Knott

Vorkurs Mathematik für EITU München

WS 12/13

Abbildungen, Werte und Graphen

1. AbbildungEine Abbildung f von X nach Y , f : X → Y , ist eine Zuordnung, die jedem Punktx ∈ X genau einen (eindeutig bestimmten) Punkt y ∈ Y zuordnet. Man schreibty = f(x).Ist f : X → Y eine Abbildung so heiÿt X De�nitionsbereich von f undf(A) = {f(x)|x ∈ A} das Bild von A unter f . Y bezeichnet man als Wertebereichbzw. Bildbereich von f .

2. SurjektivIst f : X → Y eine Abbildung, so heiÿt sie surjektiv, wenn für alle y ∈ Y ein x ∈ Xexistiert mit: f(x) = y.

3. InjektivIst f : X → Y eine Abbildung, so heiÿt sie injektiv, wenn es für alle y ∈ Y höchstensein x ∈ X gibt mit: f(x) = y, d. h. es muss für alle x, x′ ∈ X folgendes gelten:

x 6= x′ ⇒ f(x) 6= f(x′) oder alternativ f(x) = f(x′)⇒ x = x′

4. BijektivIst f : X → Y eine Abbildung, so heiÿt sie bijektiv, wenn sie injektiv und surjektivist.

5. Inverse Funktion

Ist f : X → Y eine bijektive Abbildung, so gibt es eine Umkehrfunktionf−1 : Y → X. Diese Funktion ist eindeutig gegeben durch die Festlegung

x = f−1(y)⇔ f(x) = y

6. Komposition

Sind f : X → Y und g : Y → C Funktionen, dann ist die Komposition g ◦ f diejenigeFunktion g ◦ f : X → C von X nach C, für die gilt:

(g ◦ f)(x) = g(f(x)), für alle x ∈ X

Mit einer weiteren Funktion h : C → D gilt:

(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f)

Sind f und g bijektiv, dann ist auch g ◦ f bijektiv und es gilt:

(g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1

1. Welche Abbildungen ergeben sich für f ◦ g und g ◦ f? Geben Sie sinnvolle De�nitionsbereiche an.

(a) f(x) = 3√x, g(x) = x2 + 1

(b) f(x) = 4x− 2, g(x) = 2x − 4

2. Berechnen Sie f ◦ g für:

(a) f(x) = x3 und g(x) = x+ h

(b) f(x) =

{1 + x, x > 4x2, x ≤ 4

und g(x) =√x

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3. (a) Sei f(x) = x3 und g(x) = x + h. Vereinfachen Sie den folgenden Term soweit wie möglich:(f◦g)(x)−f(x)

h .

(b) Betrachten Sie nun f(x) = x(x+ 1), g(x) = x− h und gehen Sie wie in Teilaufgabe (a) vor.

4. Eine Abbildung f : R→ R heiÿt linear, falls

f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) ∀x1, x2 ∈ R (1)

undf(αx) = αf(x) ∀α, x ∈ R (2)

erfüllt sind. Überprüfen Sie die folgenden Abbildungen fi : R→ R durch Einsetzen in die Lineari-tätsbedingungen (1) und (2), ob diese linear oder nicht linear sind:

(a) f1(x) = x

(b) f2(x) = 2x

(c) f3(x) = ax+ b mit a, b ∈ R

5. Betrachten Sie die folgende Liste von Abbildungen von C nach C:

(a) f1 : z 7→ z2

(b) f2 : z 7→ (Im(z))2

(c) f4 : z 7→ z

(d) f5 : z 7→ z · z(e) f6 : z 7→ Re(z)

Welche dieser Abbildungen hat für alle z ∈ C nur reelle Werte und welche nur nicht-negative reelleWerte?

6. Skizzieren Sie die Graphen der folgenden Funktionen und überlegen Sie sich, ob diese injektiv,surjektiv bzw. bijektiv sind:

(a) f1 : R→ R, f1(x) = 2x+ 3

(b) f2 : [− 12 ,

12 ]→ R, f2(x) =

√1− x2

(c) f3 : [0,∞)→ R, f3(x) = x2 + 2x− 3

(d) f4 : R→ R,f4(x) =

x− 1, x < 1−2, x ∈ [1, 3]

x2 − 11, x > 3

7. Geben Sie jeweils eine Funktion f : R→ R an, die folgende Eigenschaften erfüllt:

(a) f ist injektiv, aber nicht surjektiv.

(b) f ist weder injektiv, noch surjektiv.

(c) f ist bijektiv.

8. (Mathematik 1 (EI), WS09/10)Betrachten Sie folgende Abbildungen und geben Sie jeweils an, ob diese injektiv, surjektiv und/oderbijektiv sind.

(a) f1 : R→ R, x 7→ 2x+ 3

(b) f2 : R→ R+, x 7→ 1x2+1

(c) f3 : R+ → R+, x 7→ 1 +√x

(d) f5 : {1, 4, 9, 16, 25} → N0, x 7→ (x− 1)2

9. Prüfen Sie die folgenden Funktionen auf Bijektivität und bestimmen Sie gegebenenfalls deren Um-kehrfunktionen:

(a) f : Z→ N0, x 7→ x2

(b) f : N0 → N0, x 7→ x2

(c) f : N→ N, 1 7→ 1, x 7→ x− 1 für x > 1

(d) f : Z→ Z, x 7→ x− 1

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10. Geben Sie jeweils eine Funktion f : R→ R an, die folgende Eigenschaften erfüllt:

(a) f ist surjektiv, aber nicht injektiv.

(b) f ist nicht bijektiv auf R, aber wenn der De�nitionsbereich auf ]−1, 1[ eingeschränkt wird, istsie es.

11. Zeigen Sie dass die Funktionen f : R → R, f(x) = 5x − 4 und g : R → R, g(x) = x+45 Inverse

voneinander sind.

12. Gegeben sei Funktion f(x) = 2x1+2|x| .

(a) Zeigen Sie f(x) ist eine Bijektion von R auf I = ]−1, 1[(b) Finden Sie die Umkehrfunktion g = f−1 von f

13. Gegeben Seien die Mengen X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und Y = {7, 8, 9}

(a) Geben Sie eine Abbildung f : X → Y an, bei der gerade Zahlen auf gerade Zahlen abgebildetwerden.

(b) Geben Sie eine Abbildung h : Y → X an, für die

h(7) + h(8) + h(9) = 14

gilt. Kann man dabei erreichen, dass h(7), h(8) und h(9) verschiedene Zahlen sind?

14. Die Abbildung A : C \ {0} → C sei gegeben durch A(z) = 1|z| (−Im(z) + i · Re(z)). Ferner sei

KR := {z ∈ C | |z| = R} für R > 0.

(a) Skizzieren Sie K 12, A(K 1

2) und K3, A(K3).

(b) Beschreiben Sie die Abbildung A geometrisch und erklären Sie die Beobachtung

A(KR) = KR ⇒ R = 1

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