Vorlesung 151-3207-00L Leichtbau, HS 2015 … · Ergänzungen zur Biegung des geraden Balkens...

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Spannungsverteilung bei Biege-, Torsion- und Querkraftbelastung

14. Oktober 2015

14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 1

Vorlesung 151-3207-00L Leichtbau, HS 2015

Stabförmige Tragwerke

| | 14.10.2015 GERALD KRESS - 151-3207-K4-STABFOERMIGE TRAGWERKE 2

Einführung, allgemeine Beziehungen für stabförmige Tragwerke

Ergänzungen zur Biegung des geraden Balkens

Torsion: Einleitung, Grundbegriffe

Leitfaden


Allgemeines über stabförmige Tragwerke

Die Länge L ist viel grösser als die übrigen

Abmessungen

Querschnittsgestalt bleibt in x-Richtung

konstant (zylindrischer Stab).

Dünnwandige Stäbe: Dicke ist klein

gegenüber den übrigen Abmessungen

Es gelten die Voraussetzungen der linearen

Elastizitätstheorie

Material ist homogen und isotrop.

Verformungen sind rein elastisch.

Querschnittsgestalt ändert sich unter

Belastung nicht. Die spezifische Verdrehung

ist klein.

Kräfte werden senkrecht zur Oberfläche

über Versteifungen eingeleitet

Die Querkräfte gehen über den

Schubmittelpunkt

a

b

t

Geometrie Voraussetzungen und Annahmen


Richtungskonvention

Normalkräfte sind positiv, wenn sie Zugspannungen im

Querschnitt zur Folge haben. Positive Normalspannungen sind

Zugspannungen

Momente sind positiv, wenn sie in Bereichen mit positivem

Abstand von den Hauptträgheitsachsen Zugspannungen

hervorrufen. Mz ist somit positiv in negative Richtung der Z-Achse.


Spannungen in dünnen Stäben

Mit der Einführung von sog. Kraftflüssen lassen sich Normal- und Schubspannungen

unabhängig von der Wanddicke darstellen.

Die Richtung des Schubflusses q(s) ist von der Umlaufkoordinate abhängig:


Kräftegleichgewicht

xy

z

)s(t

L

dx

ds

qdx

dsnx

ds)dxx

nn( x

ds)dxx

qq(

qds

dx)dss

qq(

dxns

dx)dss

nn( s

s


Folgerungen

.)(0

0

constxqx

q

s

q

x

nx

Am Stabelement tritt kein Normalfluss ns in

Umfangsrichtung auf.

Der Schubfluss q bleibt in x-Richtung

konstant.

Der Schubfluss q ändert sich in

Umfangsrichtung im reziproken Masse zur

Zu- oder Abnahme des Längeskraftflusses

nx in x-Richtung


Elementare Biegetheorie: Voraussetzungen

Querschnitte des Balkenträgers bleiben bei der Verformung des Trägers

infolge Biegebelastung (Bernoullische Hypothese):

– eben

– senkrecht zur Biegeachse

– in ihrer Geometrie unverändert

Folgen:

– Dehnungen in Balkenachsenrichtung sind linear verteilt über den Querschnitt

– Spannungen in Balkenachsenrichtung sind linear verteilt über den Querschnitt

– Querkontraktion ist nicht behindert


Einfluss der Schubdeformation

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Kinematische Relation des schubnachgiebigen Balkens


Einfluss der Schubdeformation

z

u(z)=z

=w'

w

w

=w'

Schubtheorie erster Ordnung:

nimmt Ebenbleiben der Querschnitte an

Querschnitte verdrehen sich gegenüber

der Mittelebene

Querschnittsverdrehung und das

Negative der Neigung der Biegelinie

und differieren um den Schubwinkel

w

w


Abschätzung für einen eingespannten Balken

x

z

l

th

x

GA

EJxlx

EJ

Qxw

Eff

y

y

z

62)(

32

6.22.1

78.013

)(

23

G

EAAmit

l

hl

EJ

Qlw Eff

y

z

l/h 1 2 3 4 5 6

Fehler % 78 20 9 5 3 2


Abschätzung für einen eingespannten Balken

x

z

l

th

l/h 1 2 3 4 5 6

Fehler % 78 20 9 5 3 2

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Einführung, allgemeine Beziehungen für stabförmige Tragwerke


Schubspannungsverteilung bei Querbelastung


Torsion geschlossener dünnwandiger Profile

Torsion offener dünnwandiger Profile


Leitfaden


Allgemeine Biegung

Für die Komponenten v,w der

Verschiebung s gilt:

Die zweifache Ableitung führt zu:

Mit:

Folgt:


Bestimmung der neutralen Achse


Abstand des Flächenelements 𝒅𝑨 von der

neutralen Achse

y

z

xg

g

g

dA

dAy

dAz

dAzgcos

dAygsin

dA

dA

y

z

g

gx

sin

cos

-

=

N

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Mit:

Folgt:


Gleichgewichtsbedingungen

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Einführen von Biegesteifigkeiten

folgt:

für die Axialspannung gilt:


Spannungsverteilung infolge

Biegebeanspruchung


Elementargleichungen der Balkenbiegetheorie


Für isotrope Werkstoffe gilt:


Zusammenfassung wichtiger Flächenintegrale

0. Ordnung Fläche

1. Ordnung Statische Momente

Schwerpunkt (statische Momente verschwinden)

2. Ordnung Fächenträgheitsmomente

dAA

ydASzdAS zy ,

yzdAI

dAyI

dAzI

yz

z

y

2

2

z

y S

yos

z0

y0

zos

dA

y

z

Steiner‘scher Satz:

AzyII

AyII

AzII

ososyzyz

oszz

osyy

o

o

o

2

2

A

Sz

A

Sy

y

osz

os ,


Schiefer Träger mit aufgelöstem Querschnitt


Schiefer Träger mit aufgelöstem Querschnitt

1

2 3

4

z

y My

Mz


Koordinatenbezeichnungen

y

z

kz0

Sz0

kSz

Syy 0-

Szz 0-

0S

kS

Skks yyy 00 -=

Skks zzz 00 -=


Spezialfall: Profil mit aufgelöstem Querschnitt

Als weiterer Spezialfall sei der aufgelöste Querschnitt behandelt, ein

Querschnitt der aus n einzelnen Querschnitten A1, . . . , An besteht.

Schwerpunktskoordinaten

Flächenträgheitsmomente


Anwendungsbeispiel: Schiefer Kasten unter

Biegebeanspruchung

My: 1.76 106 N.cm

Mz: 7.0 105 Ncm


Bestimmung des Schwerpunktes und der

Flächenträgheitsmomente


Bestimmung der Spannungen


Leitfaden

Einführung, allgemeine Beziehungen für stabförmige

Tragwerke


Schubspannungsverteilung bei Querbelastung


Torsion geschlossener dünnwandiger Profile

Torsion offener dünnwandiger Profile


FEM Analyse: Eingespannter Balken mit

Rechteckquerschnitt

mm

rad

GJ

M t 510975.3

22max 3.1011

mm

N

ba

M t


Torsion kreisförmiger Stäbe

tMxy

AA

Ar

d

dx

z

tMx

yr

z

Torsionswiderstand:

Torsionssteifigkeit:

Maximale Schubspannung:


Torsion von Stäben mit beliebigem Querschnitt

x

y

z

dyyyx

yx

¶

¶+

tt

dzzzxzx

¶

¶+

tt

dxxxy

xy

¶

¶+

tt

dxxxzxz

¶

¶+

tt

x

y

z

xsxz tt =

s

xstxsxy tt -=

xsxs G

Kinematik: Werkstoffgesetz: Gleichgewicht am Volumenelement:

00

xxzy

xzxyxzxy

y

z

r

xz

xy

xs

0

0

0),(

yzzyx

yzzyx

x zyu



Kinematik: Gleichgewicht am Volumenelement:

00

xxzy

xzxyxzxy

xy

z

r

xz

xy

xs

;

xsxs G

Werkstoffgesetz: Spannungsfunktion von Prandtl:

yxzzxyyz

,,

Verträglichkeit (Kinematik):

2,, yxzzxy

Gyxzzxy 2,,

G

Gyyzz

2

2,,

2

Potentialgleichung



s

ds

-dy

dz

n

xy

xz

z

y

z

y

Gleichgewicht der Spannungsverteilung

mit äusserem Moment:

A

yz

A

xzxy

A

xst dydzyzdydzyzdAM ,,

Natürliche Randbedingung auf Zylinderoberfläche:

Rand ist schubspannungsfrei

0

0),cos(,),cos(,

0),cos(),cos(

Rand

yz

xzxy

znyn

znyn

Partielle Integration:

A

t dAM 2

ARA

y

ARA

z

dydzdzydydzy

dydzdyzdydzz

,

,



Berechnung des Flächenträgheitsmomentes:

G

MJGJM t

ttt

A

t dAM 2

22

2

12 GG

2

4 dA

G

MJ t

t

Flächenträgheitsmoment bei Torsion (St. Venant):

Membran-Analogie nach Prandtl

Querschnitt des Torsionsstabes

= Öffnung der Platte mit Seifenhaut

Rauminhalt der Seifenhaut

= proportional zu Torsionsmoment

Schubspannungsrichtung

= Richtung der Tangente an

Höhenlinie

Schubspannungsbetrag

= Gradient der Höhenlinien


Zur Lösung des Torsionsproblems

Analytische Lösung

Wahl einer „geeigneten“

Ansatzfunktion

Problem: Die Lösung ist nur für

einfache Profile möglich

Lösung der quasiharmonischen

DGl.

Ermittlung der gesuchten

Spannungsverteilung,....

Membrananalogie

Die Membrananalogie liefert die

Beziehungen zwischen einer auf

dem Profil aufgespannten Membran

unter Innendruck und dem

verformten Balken

Kombinierter

Ansatz zur Lösung

von reellen

Problemen


Analytische Lösung für einfache Profile: Ellipse

Ansatzfunktion:

Einsetzen:

max

a a

b

b

max

1,

22

0b

z

a

yzy

22

22

0ba

baG

1,

22

22

22

b

z

a

y

ba

baGzy

22

22

ba

zaGxy

22

22

ba

ybGxz

22

33

ba

baGM t


Analytische Lösung für einfache Profile:

Rechteck

max

a

b

NmmM

mm

NG

b

a

t

6

2

10.50

27500

100

200

5,3,1n,mb

zncos

a

ymcoscz,y

m n

mn

5,3,1n,mJG

b

n

a

mnm

1Gba

256M

m n

22

22

6t

5,3,1n,m

na

bmnm

1256mitbaJ

m n 2

2

222

6

3

5,3,1,13211

2

2

2

2

1

32max

nm

na

bmm

mitba

M

m n

m

t

Ansatzfunktion:

Einsetzen:


Analytische Lösung für einfache Profile:

Rechteck

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