Vorlesung "Experimentalphysik V Molekülphysik 1 / Festkörperphysik 1"

(Prof. Dr. F. Kremer) Wintersemester 2012/2013

Übersicht der Vorlesung am 8./9.10.2012

• Test

• Das Kirchhoff'sche Strahlungsgesetz

• Die Planck'sche Strahlungsformel Das Stefan-Boltzmann'sche Gesetz Das Wien'sche Verschiebungsgesetz

• Einsteins Ableitung der Planck'schen Strahlungs-formel

• Die kosmische Hintergrundstrahlung, das Weltall als "Schwarzer Strahler"

1

Der "schwarze" Strahler

Ein schwarzer Köper wird praktisch realisiert durch einen innen geschwärzten Hohlraum, der ein Loch hat, was im Durchmesser klein ist – im Vergleich zu einer Stirnfläche.

Die spektrale Strahldichte Lf(ϑ,T) ist definiert durch

(1) Φ = ϑ ϑ Ωf fd L ( ,T)cos dA df d

welches die Leistung bezeichnet, die von einem Flächenelement dA im Frequenzintervall von f bis f + df bei der Temperatur T in den Raumwinkel dΩ abgestrahlt wird.

Ω = ϑ ϑ ϕ2d r sin d d

π π

Ω = ϑ ϑ ϕ =∫ ∫ ∫2

2 2

0 0

d r sin d d r 4π

Kugelmittelpunkt

Die spektrale Energiedichte ρ (f, T) ist definiert durch die Energie

(2) ( )f f,T df dVρ

die das Volumenelement dV infolge der Strahlung zwischen f und f + df enthält.

Der spektrale Absorptionskoeffizient βf (ϑ, T) ist das Verhältnis der Strahlungsleistungen, die bei der Temperatur T im Frequenzintervall zwischen f und f + df absorbiert wird und der Strahlungsleistung, die im gleichen Frequenzintervall unter dem Winkel ϑ auf den Körper fällt.

2

Analog: Spektraler Reflexionskoeffizient γf (ϑ, T)

Für einen schwarzen Körper gilt per Definition

sf1β = (3)

Kirchhoff´sche Strahlungsformel: Die spektrale Strahldichte Lf(ϑ,T) eines beliebigen Körpers ist proportional zu seinem spektralen Absorptionskoeffizient βf (ϑ, T). Die Proportionalitätskonstante ist für alle Körper gleich und hängt nur von der Temperatur ab.

( )( ) ( )f

f

L ,Tconst. T

,Tϑ

=β ϑ

(4)

Lichtleiter

beliebiger Körper

schwarzer Strahler

Reflektion des beliebigen Körpers ( )

sf f1−β ΔΦ

Emission des schwarzen Strahlers ΔΦ = ΔΩ

s sf fL A df

Emission f fL A dfΔΦ = ΔΩ Absorption des beliebigen Körpers

sf fβ ΔΦ

Im thermischen Gleichgewicht:

( )s sf f f1ΔΦ = −β ΔΦ + ΔΦ f

s fL L= −β +

(5)

Einsetzen in obige Formeln liefert:

L 1 (6) ( )sf f f

⇒ ( )( ) s

ff

f

L ,TL

,Tϑ

=β ϑ

(7)

Für die Beziehung zwischen spektraler Energiedichte ( )sf

f,Tρ und der spektralen

Strahldichte L f des "Schwarzen Strahlers" gilt: (sf ),T

( ) (sf f

0

4f,T L f,Tcπ

ρ = )s

(8)

Beweis: Wir betrachten kleines Loch (Fläche dA) in der Wand, das aber das thermische Gleichgewicht nicht stören soll. Die Hohlraumstrahlung ist über den Raumwinkel 4π verteilt und verbreitet sich mit Lichtgeschwindigkeit c0. Leistung, die durch dA abgestrahlt wird, ist also für Frequenzen zwischen f und f + df:

3

( ) ( )s sf 0

dd f,T dA cos c f,T d4 f fΩ

Φ = ϑ ρπ

(9)

Vergleich mit (1) liefert:

( ) ( )s sf f

0

4f,T L f,Tcπ

ρ =

Damit folgt für die Strahlungsleistung, die von der schwarzen Fläche dA in den Halbraum abgestrahlt wird:

( )s

22

f0 0

L ,T cos sin d d dA dfπ

π

ϑ ϑ ϑ ϑ ϕ =∫ ∫ (11)

( )s

220

f0 0

ccos sin d d f,T dA df4

ππ

ϑ ϑ ϑ ϕ ρ =π∫ ∫

( )s

0f

c f,T dA df4ρ (12)

Wegen 22

0 0

cos sin d dπ

π

ϑ ϑ ϑ ϕ = π∫ ∫ (13)

Experimentell findet man für die Frequenzabhängigkeit der spektralen Energiedichte ρ (f, T)die folgende Abhängigkeit:

Experimentelle Erfahrung, die M. Planck bekannt war: 1. Die Strahlung eines "schwarzen Körpers" verschiebt sich in ihrer "Farbe" mit der

Temperatur. ("Jemand zur Weißglut bringen".)

4

2. Wien´sches Verschiebungsgesetz:

(14) max T const.λ ⋅ =

3. Spektrale Verteilung der Strahlung des schwarzen Körpers

4. Stefan-Boltzmann´sches Gesetz: Abgestrahlte Gesamtleistung (15)

40Tσ∼

5. Historisch war für niedrige Frequenzen bekannt:

( ) 230

8f,T f kTcπ

ρ ∼ (16)

(hf << kT) Formel nach Rayleigh-Jeans

Problem: ( )∞ ∞ πρ =∫ ∫ 2

300 0

8f,T df f dfc

= ∞ "UV-Katastrophe" (17)

Max Planck stellte nun die folgende Formel auf:

( ) πρ =

−

2

s hf3kT0

8 f h ff,Tc e 1

(18)

h: Planck´sches Wirkungsquantum h = 6,6256 ⋅ 10-34 Js

Die Planck´sche Strahlungsformel hat Planck ursprünglich als "Interpolationsformel" aufgefasst. Die Annahme, dass ein Resonator mit der Frequenz f nicht Energie in beliebigen Portionen abgeben oder aufnehmen kann, sondern als Vielfaches des "Energiequants" hf, widerspricht der klassischen Physik und markiert den Beginn der Quantenphysik.

Planck hat in einem sehr viel späteren Brief aus dem Jahre 1931 dem amerikanischen Physiker Robert W. Wood auf dessen Wunsch etwas über seine Situation um 1900 mitgeteilt:

"Kurz zusammengefasst kann ich die ganze Tat als einen Akt der Verzweiflung bezeichnen. Denn von Natur aus bin ich friedlich und bedenklichen Abenteuern abgeneigt. Aber ich hatte mich seit 6 Jahren mit dem Problem des Gleichgewichts zwischen Strahlung und Materie herumgeschlagen, ohne einen Erfolg zu erzielen, ich wusste, dass dies Problem von fundamentaler Bedeutung für die Physik ist, ich kannte die Formel, welche die Energieverteilung im normalen Spektrum wiedergibt; eine theoretische Deutung musste daher um jeden Preis gefunden werden, und wäre er noch so hoch. Die klassische Physik reichte nicht aus, das war mir klar.

Denn nach ihr muss die Energie im Lauf der Zeit aus der Materie vollständig in die Strahlung übergehen. Damit sie das nicht tut, braucht man eine neue Constante, welche dafür sorgt, dass die Energie nicht auseinanderfällt. Aber wie das zu machen ist, kann man nur erkennen, wenn man von einer bestimmten Anschauung ausgeht. Diese Anschauung wurde mir geliefert durch das Festhalten an den beiden Hauptsätzen der Wärmetheorie. Diese beiden Sätze erschienen mir als das einzige was unter allen Umständen festgehalten werden muß. Im Uebrigen war ich zu jedem Opfer meiner bisherigen physikalischen Überzeugungen bereit."

Es folgt eine Passage über Boltzmanns statistische Gleichgewichtsbetrachtungen im Zusammenhang mit den Energiequanten.

5

"Das war eine rein formale Annahme, und ich dachte mir nicht viel dabei, sondern nur eben das, dass ich unter allen Umständen, koste es was es wolle, ein positives Resultat herbeiführen müsste."

Planck´sche Ableitung: Berechnung der Ausbildung stehender Wellen in einem Resonator

Energie der Eigenschwingungen mit n Photonen der Frequenz f ist

"Quantenhypothese" (19) =fW n h f

Im thermischen Gleichgewicht gilt nach Boltzmann für die Wahrscheinlichkeit:

( )−

∞ −

=

=

∑

hfnkT

f hfnkT

n 0

ep We

(20)

Normierung: ( )n 0

p n h f 1∞

=

=∑

Für die mittlere Energie pro Eigenschwingung gilt:

( )

∞ −

∞=

∞ +−=

=

= = =−

∑∑

∑

nhfkT

n 0hfnhf kTn 0 kT

n 0

n h f eh fW n h f p n h f

e 1e (21)

"Zähler" (1.): ∞ ∞

− ⋅β − ⋅β− β

= =

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = − = − ⎜ ⎟⎜ ⎟∂β ∂β −⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑nhf nhf

hfn 0 n 0

1nhf e e1 e

; β =1

kT

( )

− β

− β

⋅=

−

hf

2hf

hf e

1 e n

n 0

1x1 x

∞

=

=−∑ , x ≠ 1 (22)

"Nenner" (2.): ∞

− ⋅β− β

=

=−∑ nhf

hfn 0

1e1 e

mit 1

kTβ = (23)

=−hf /(kT)

"1." hf"2." e 1

(24)

Einfache geometrische Überlegungen zeigen, dass für die Anzahl der stehenden Wellen pro m3 gilt im Frequenzintervall von f bis f + df:

2

30

8 f dfcπ

(25)

Damit: ( )2

s hf3kT0

8 f hff,Tc e 1

πρ =

− (26)

Planck hat diese Schwierigkeiten im Anfang seiner Nobelpreis-Rede 1920 ausgesprochen:

6

"Blicke ich zurück auf die nun schon zwanzig Jahre zurückliegender Zeit, da sich der Begriff und die Größe des physikalischen Wirkungsquantums zum erstenmal aus dem Kreis der Erfahrungstatsachen herauszuschälen begann, und auf den langen, sich vielfach verschlungenen Weg, der schließlich zu seiner Enthüllung führte, so will mir heute diese Entwicklung bisweilen vorkommen als eine neue Illustration zu dem altbewährten Goetheschen Wort, dass der Mensch irrt, solange er strebt. Und es möchte die ganze angestrengte Geistesarbeit eines emsigen Forschenden im Grunde genommen vergeblich und hoffnungslos erscheinen, wenn er nicht manchmal durch auffallende Tatsachen den unumstößlichen Beweis dafür in die Hand bekäme, dass er am Ende aller seiner Kreuz- und Querfahrten schließlich doch der Wahrheit wenigstens um einen Schritt wirklich endgültig nähergekommen ist. Unumgängliche Voraussetzung, wenn auch noch lange nicht die Gewähr für einen Erfolg, ist freilich die Verfolgung eines bestimmten Zieles, dessen Leuchtkraft auch durch anfängliche Misserfolge nicht getrübt wird."

Einstein an das Nobelkommittee in Stockholm:

"Bezug nehmend auf Ihre, den Nobelpreis für Physik für das Jahr 1919 betreffende , an mich gesandte Anfrage schlage ich hiermit vor, den Preis Herrn Prof. Dr. Max Planck zuzuerkennen für seine Leistungen auf dem Gebiet der Wärmestrahlung, und zwar speziell für die beiden Arbeiten: "Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum" (Drudes Annalen, p. 553-563, 1901), "Über die Elementarquanta der Materie und der Elektrizität" (Drudes Annalen, p. 564-566, 1901). Der genannte Autor hat durch diese Arbeiten nicht nur eine erste exakte Bestimmung für die absolute Größe der Atome geliefert, sondern insbesondere auch den Grund gelegt zu der Quantentheorie, deren eminente Fruchtbarkeit für die gesamte Physik erst in den letzten Jahren offenbar wurde. Auf Plancks theoretischer Leistung ruht auch die Bohr'sche Theorie der Spektra, und damit der höchst bedeutsame Fortschritt, welcher in den letzten Jahren unsere Kenntnis vom Bau der Atome gemacht hat. Mit vorzüglicher Hochachtung. A. Einstein

P.S. Die genannten Abhandlungen sind mir nicht zur Hand. Ich hoffe jedoch, dass mein Vorschlag dadurch, dass ich dieselben nicht beilegen kann, seine Gültigkeit nicht einbüße, zumal die genannten Abhandlungen in jeder physikalischen Bibliothek bereitliegen."

Folgerungen:

1. (niedrige Frequenz) (27) hf kT<<

hf

kT hfe 1 kT+∼

⇒ ( )2

s 30

8 ff,T kTcπ

ρ ∼ (Formel nach Rayleigh-Jeans) (28)

2. Ableitung: Stefan-Boltzmann´sches Gesetz

( )∞ ∞ πρ = = σ

−∫ ∫

24

s hf3kT00 0

8 f hff,T df Tc e 1

0 (29)

mit 4 4

0 3 2

2 kh c 15π π

σ =

3. Analog: Wien´sches Verschiebungsgesetz

⇒ maxh cT const.

4,965 k⋅

λ ⋅ = = (30)

Zitat von W. Heisenberg:

7

"Was aber hat die Plancksche Entdeckung mit dieser alten Frage zu tun? Für die Chemie des 19. Jahrhunderts waren die Atome als die kleinsten Teile der chemischen Elemente gegeben. Sie waren nicht mehr selbst Gegenstand der Forschung. Der Zug von Diskontinuität oder Unstetigkeit, der sich in der atomaren Struktur der Materie gezeigt hatte, musste zunächst ohne Erklärung hingenommen werden. Die Plancksche Entdeckung aber machte offenbar, dass dieses selbe Element von Unstetigkeit noch an anderen Stellen, nämlich in der Wärmestrahlung, auftritt, wo es sicher nicht einfach als Folge der atomaren Struktur der Materie aufgefasst werden kann. In anderen Worten: Die Plancksche Entdeckung legte den Gedanken nahe, dass dieser Zug von Unstetigkeit im Naturgeschehen, der sich in der Existenz der Atome und in der Wärmestrahlung unabhängig äußert, als Folge eines viel allgemeineren Naturgesetzes verstanden werden müsste. Damit tritt also von neuem der Gedanke Platos in die Naturwissenschaft ein, dass der atomaren Struktur der Materie letzten Endes ein mathematisches Gesetz, eine mathematische Symmetrie zugrunde liege. Die Existenz der Atome oder der Elementarteilchen als Ausdruck einer mathematischen Struktur, das war die neue Möglichkeit, die Planck mit seiner Entdeckung aufgezeigt hatte, und hier berührt er die Grundfragen der Philosophie.

Freilich war der Weg zu einem wirklichen Verständnis dieser Zusammenhänge noch sehr weit. Zunächst verging noch einmal ein Vierteljahrhundert, bis aufgrund der Bohrschen Theorie des Atombaus eine widerspruchsfreie mathematische Formulierung der Planckschen Quantentheorie gegeben werden konnte. Aber auch damit war man noch weit von einem vollen Verständnis der Struktur der Materie entfernt.

Immerhin war mit der Planckschen Entdeckung ein ganz neuer Typus von Naturgesetz als möglich erkannt worden, und damit kommen wir zu spezielleren physikalischen Fragen. Die früher mathematisch formulierten Naturgesetze, etwa in der Newtonschen Mechanik oder in der Wärmelehre, enthielten als sog. "Konstanten" nur die Eigenschaften der Körper, auf die sie angewendet werden sollten. Es gab in ihnen keine Konstanten vom Charakter eines universellen Maßstabs. Die Gesetze der Newtonschen Mechanik z. B. konnten im Prinzip auf die Bewegung eines fallenden Steins, auf die Bahn des Mondes um die Erde oder den Stoß eines atomaren Teilchens angewandt werden. Überall schien grundsätzlich das gleiche zu geschehen. Die Plancksche Theorie enthielt aber das sog. "Plancksche Wirkungsquantum". Damit war ein bestimmter Maßstab in der Natur gesetzt. Es war klargestellt, dass die Phänomene dort, wo die vorkommenden Wirkungen sehr groß gegen die Plancksche Konstante sind, grundsätzlich anders ablaufen, als dort, wo sie mit dem Planckschen Wirkungsquantum vergleichbar werden. Da die Ereignisse unserer täglichen Erfahrungen stets mit Wirkungen zu tun haben, die sehr groß gegen die Planksche Konstante sind, war die Möglichkeit angedeutet, dass die Phänomene im atomaren Bereich Züge aufweisen, die sich unserer unmittelbaren Anschauung überhaupt entziehen. Es konnte sich um Vorgänge handeln, die zwar noch in ihren Auswirkungen experimentell beobachtet und rational mit den Mitteln der Mathematik analysiert werden können, von denen wir uns aber kein Bild mehr machen können. Der unanschauliche Charakter der modernen Atomphysik beruht letzten Endes auf der Existenz des Planckschen Wirkungsquantums, auf dem Vorhandensein eines Maßstabs von atomarer Kleinheit in den Naturgesetzen."

8

Die Planck'sche Strahlungsformel

( ) ( )2

s 3 hf kT0

8 f h ff,Tc e 1

=−

πρ

k: Boltzmann-Konstante h: Planck'sches Wirkungsquantum

h = 6,6256 ⋅ 10-34Js

9

Ableitung der Planck'schen Strahlungsformel nach A. Einstein (1917)

B12 A21 B21

E2

hf 2 hf hf hf E2 – E1 = hf h ffE1

Absorption Spontane Emission Induzierte Emission E2, N2 N Atome A21 B21 N = N1 + N2 B12 E1, N1 Das System ist im thermodynamischen Gleichgewicht, Austausch mit der Umgebung nur durch Emission und Absorption. Spektrale Dichte ρ(f,T) ≡ ρ(f).

Absorption: d N12 = B12 ρ (f) N1 dt (1)

BB12: Einstein-Koeffizient für die Wahrscheinlichkeit des Überganges von 1 - 2 pro Zeiteinheit und Einheit der spektralen Energiedichte.

Spontane Emission: (2) 21 21 2d N = A N dt′ ⋅

A21: Einstein-Koeffizient für die Wahrscheinlichkeit des spontanen Überganges von 2 - 12 pro Zeiteinheit und Einheit der spektralen Energiedichtedichte

Induzierte Emission: ( )′′ = ρ21 21 2dN B f N dt (3)

BB21: Einstein-Koeffizient analog zu B12

Im Gleichgewicht gilt: 12 21 21dN dN dN′ ′′= + (4)

Einsetzen von (1) bis (3) liefert:

( )

( )ρ

=+ ρ122

1 21 21

B fNN A B f

(5)

Da thermisches Gleichgewicht vorliegt ist, die Besetzungszahl durch die Boltzmann- Verteilung gegeben:

2

1

E kT2

E kT1

N eN e

−

−= (6)

Somit folgt:

( )

( )−

−

ρ=

+ ρ

2

1

E kT12

E kT21 21

B f eA B f e

(7)

oder ( )ρ =−

21hf kT

12 21

AfB e B

(8)

mit E2 – E1 = hf

Zur Bestimmung der Koeffizienten A und B benützt man die Grenzwertbedingung:

10

für T → ∞ ρ(f) → ∞ woraus folgt: B12 = B21 (9)

Damit ergibt sich:

( ) ( )ρ =

−21

hf kT12

AfB e 1

(10)

Weiterhin muss für hf << kT das Rayleigh-Jeans-Gesetz gelten, also:

( ) πρ =

2

3

8 ff kc

T (11)

Mit der Reihenentwicklung exp(hf/kT) = 1 + hf/kT +...folgt aus (10)

( ) 21

12

A kTfB hf

ρ = (12)

womit durch Vergleich mit (11) folgt

3

213

12

A 8 hfB c

π= (13)

und schließlich die Planck´sche Strahlungformel:

π

ρ−

3

3 hf kT

8 hf 1(f)=c e 1

(14)

Zwischen den Koeffizienten 21A und B gilt die Beziehung 12

3

21 123

8 hfA Bcπ

= (15)

Dies entspricht dem Kirchhoffschen Gesetz, das besagt, dass die Wahrscheinlichkeit für spontane Emission und Absorption gleich ist.

Für das Verhältnis zwischen induzierter Emission und der gesamten (spontan und induziert) Emission folgt

( )

( )21 2 hf kT21

ind21 21 21 2 21 2

B f N dtdNr e dN dN B f N dt A N dt

−ρ′′= = =

′ ′′+ ρ +

folgt für T ~ 2200 K und λ0 = 550 nm ein Wert ≤ 10-5.

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Das Weltall als "Schwarzer Strahler"

Mit dem COBE-Satellit (Cosmic Background Explorer der NASA) Messung (1989-1996) der Hintergrundstrahlung und Vergleich mit einem Referenz-Schwarz-Strahler. Die Abweichungen sind kleiner als 0,005%. Damit ist die Hintergrundstrahlung das am besten bestimmte "Schwarz-Körper"-Spektrum.

T = 2.725 K

Historisch: Messung der Hintergrundstrahlung durch Penzias und Wilson 1965 mit einer Horn-Antenne, Nobelpreis 1978.

G. Gamov hatte 1948 eine "Temperatur des Weltalls" vorhergesagt die er noch nicht als "Hintergrundstrahlung" interpretiert hatte.

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Prof. Dr. F. Kremer

Kontrollfragen zur Vorlesung am 8./9.10.2012

1. Was besagen die Kirchhoff'schen Strahlungsgesetze? 2. Wie lautet die Planck'sche Strahlungsformel? 3. Aufgrund welcher Experimente kam Max Planck zu seiner Strahlungsformel? 4. Was besagt das Wien'sche Verschiebungsgesetz? 5. Wie lautet das Stefan-Boltzmann'sche Strahlungsgesetz? 6. Worauf beruht die Einstein´sche Ableitung der Planck´schen Strahlungsformel?

7. Wie unterscheiden sich spontane und stimulierte Emission?

8. Wie wird die Hintergrundstrahlung des Weltalls gemessen und auf welche Temperatur des „Schwarzen Strahlers“ Weltall kommt man?

Die Übungsaufgaben und Information zur Vorlesung finden Sie unter: http://www.uni-leipzig.de/~mop/lectures/

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