Geschichte der Quantentheorie

ab 1500 : Heuristik [ Planck,

Bohr,

Einstein, ... ]

'

25 . ' 27 : uste math .

Formulivuugeu [ Heisenberg , Schrodinger , . . ]

'

28 - '

32 : solid math.

Theories [ Dirac, von Neumann

, . - ]

' 35 : Vuschroinkungol Schrodinger 's Katie [ EPR, Schrodinger ,

- ]

70W :

ally. math

. Rahman [ Davies,

Lindblad,

Kraus,

Lloleuu,

lhoi, ... ]

ab Goer : Quanten - Information stheorie

I. Mathematic he frundlagenI. 1 . Hilbert Renne

In Folgenden sei H ein separable Hilbertraum inbw 6.

D.h.

es gibt . . .

• . .ein Skalwprodnkt e.

,. > : 71×71 - > E & nine Norm

11411 : - Vet# bzgl . du 71 nollstaudiyist .

kouvenkon : < it, f) = cities :< 4. ( if > t.cc V. t.f.CH

. . .eine abzahlbwe Basis I e ;] s.d.ee ; .es >

. - Sij & V. YEH :

4 = ?< e; it > e

;

1

. . .fur jedestekge ,

linewe Funkkonal f :H→ ¢ in FEH s .d. :

f ( t ) = if ,4 > V. 4TH .

Bsp .: . L

,

1 w ) = flue 6"

/ ? It ;l2e oo } unit < t.gs : F.I. l

;

o ¢"

in-

-n .

• Lz 1 R ) unit < tif > : ) # flx ) dx

Alle sepwablen Hilbvtraume Sind isomorph zu 4 LN ) odv ¢"

.

Dirac Notation ;

Skalwprdnkti

.Element von 71 : It >

"

ket "

" - "' des Dnnlraumes < f|

" brai) →

< llts

(

Analog: Zeilen - dspaltiuvektor )

•"

kit - bra"

14×91 : 71 → H

14 > H Its < 9110 ) ( Rang. 7 Operator ). For t.CN bezeichnet 1k > des Lite Element der

'

Standard basis'

.

I. 2. Beschrankte Opvatoren

"

Operator"

= hiwcwe Abbildung zw.

Vektorriumen

BLH ) is Raum allv stetrgen Operation von Hnaih 71.

"

Opvatwnorm"

11A 11 i= sup HAY 11/11411

.

µ¢0

( es gilt HABH € HAH 111311 und falls 74 : 6h.

daunist

HAH du gropk Singular wet von A)

Lemma : Fur jeohu Operator A :H - > H gilt :

A shkg ⇐ x HAH < a

Def . : Sei AEBCH ).

° Der' '

adjuugiwte Operator"

At ist def . als e Att

, f > i= ' ' t.AT > t 4. fe7l.

• A ist "

humitesch"

wenn At =A.

aA ist"

unitar"

weun A*A= A At " I.

• A ist "

positiv"

wenn < 4. At > ' . 0 V. YEH .

W :r Schreiber dann " A 70"

.

° A ist ein"

Projektor"

weun A2

. A und nine"

orthogonal Projektion"

( a.k.a." huwiteschir Projektor

"

)weun A ? A : At •

Ben . :s Hat A. A

*

Matrix clemente An , iirkl All >

.

dann giltAn ,

: < L/A*/K > = < LIAIK > : AT,

° A :O ⇐ t A : A't

^ A hat uur nicht -

hey . Eigeuwvte⇐ 's 7. Be BLHS : A : B'+

B.

Wiant man B ?0,

so ist D him eindinkg und definiut A :=B.

Def . : Die"

Spur"

run AEDCH ) ist tr[ A ] :-. E. it : IAIY :> wobei die

Summe ibu alle Element eiuv ONB von 71 linft .

( tr[ A ] ist basisuuabhaugigund es gilt tr[ AB ] : tr[ BA ] )

I.

Probabilistic he Struktur du Quantentheorie

Ally .Ben .eu :

aQI. ist ein Formalisms zur Berechnuugron Wahrscheinlichkeitru

von Messvgebnissen in statislischen Experimenter .

Sie macht i. A.

keine

Aussayn iibu individual Messugebnisse odv irbv Eiguschaftn vor

einv Messuny .

• Der Zufall ist hier nicht hur Ausdruik subjeklivv Unwissenhit.

• Die QT - Beschreibung nines Stat . Exp .beinhaltrt stets

"

Preparation"

und"

Messing"

:

Preparation Messing 't Messergebnis in I unit

S M Wawscheinhihkeit pl I 117,5 )

I. 7. Preparation

Mathematisih wird die Preparation durch linen"

Dichteopuator"

( a.k.a."

Zustand"

) beschrieben.

Def . :&SEBIH ) ist ein

"

Dichteopvator"

weuu S > 0 und trts ) : 1.

• E in Dichteopvator hefty

"

.

rein"

. wenu rank 151=7 r

gemischt"

sonst. )

D. h Flt > EH : 5=14×41.

Ben .: Die Menge de Diohteopeatorenist konvex

. D. h

. unit 5, ,5z

ist anch S : is

, + ( 7- d) S, fur bel

. i. [ 0,1 ] ein

Dichteopvator .

S beschreibt dann diejeuige Preparation ,die man whitt

,weun

man mit Wsk. X

geuiap5

, und unit Wsk .It ' ' ) gemip 5

,

proipaiwt .

Die Spektralzukgung S : Et :14 :Xt;1 ist eine kouvue

Zwlegung in reine Zustoinde.

1st S gemischt gibt

esuuedl.

viele

solche Zuleguugen .

Bsp .: Fir 71 : E

'

Kohnen wir die Meng der Dichteoperatoren als"

Bloch -

Kugel"

parametrisiven . D. L

.

S = } ( I + ,§,

Y 'T ;) mit veR3.

HvH±1 und

den, ,

Pauli - Matrizen"

r,

:( %),

q : ( ?I ),

r }: / Ii )

.

( → libung )

Dies konnte beschreiben :

o E in Zwei - Niuean . Atom,

wobei Intnl und 10×01 angwegtr bzw.

Grund -

Zustand sind

• Den Spin lines Elektrous unit 11×71 =

, spin up

"

,10×01 =

..

spin down"

° Polarisation von Licht.

Nord - /SidpoL ? recht links zirkular

polwisiwt ,Ost ./westpo( I horizontal ) vvkkal linear polaisiert .

Das Zeutrum mit S : ¥ entsprichtdauu uupolwisiwtem Licht.