Historie fraktální geometrieHistorie fraktální geometrieZdeněk KadeřábekZdeněk Kadeřábek

11

Co to je fraktál?Co to je fraktál? Benoit B. Mandelbrot

The Fractal Geometry of Nature (1982)

Definice: Fraktál je složen z částí, z nichž každá je přibližná zmenšená kopie celku.

Fraktál je nekonečně členitý útvar.Fraktál je nekonečně členitý útvar.

22

Sierpińského trojúhelník

Animace: Animace: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/38/Sierpinski-zoom4-ani.gifhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/38/Sierpinski-zoom4-ani.gif33

Topologická dimenzeTopologická dimenze Hausdorffova dimenzeHausdorffova dimenze

- udává úroveň členitosti daného objektu- udává úroveň členitosti daného objektu Atraktor – konečný stav systémuAtraktor – konečný stav systému

(planeta a pohyb po eliptické trajektorii)(planeta a pohyb po eliptické trajektorii) Videoukázka:Videoukázka:

http://hungry-lord.wz.cz/data/video/fraktaly.htmlhttp://hungry-lord.wz.cz/data/video/fraktaly.html

44

Karl Theodor Wilhelm WeierstrassKarl Theodor Wilhelm Weierstrass

Německý matematik (1815 – 1897)Německý matematik (1815 – 1897) 1841: učitelské zkoušky na Teologické a 1841: učitelské zkoušky na Teologické a

filozofické akademii v Münsterufilozofické akademii v Münsteru aplikace Fourierových řad a integrálů v aplikace Fourierových řad a integrálů v

matematické fyzice, úvod do teorie matematické fyzice, úvod do teorie analytických funkcí nebo teorie eliptických analytických funkcí nebo teorie eliptických funkcífunkcí

εε – – δδ jazyk v matematické analýze jazyk v matematické analýze

55

1863: důkaz – komplexní čísla jsou 1863: důkaz – komplexní čísla jsou komutativním algebraickým rozšířením komutativním algebraickým rozšířením reálných číselreálných čísel

Berlín 1872: představení spojité funkce, Berlín 1872: představení spojité funkce, která nemá v žádném bodě derivacikterá nemá v žádném bodě derivaci

66

Weierstrassova funkce bez derivace – tři iteraceWeierstrassova funkce bez derivace – tři iterace

77

a=0,9 a=0,9 b=7b=7

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Georg Ferdinand Ludwig Philipp CantorCantor

Německý matematik (1845 - 1918)Německý matematik (1845 - 1918) 1867: studium na Berlínské univerzitě1867: studium na Berlínské univerzitě 1869 – 19131869 – 1913:: působ působilil na univerzitě v na univerzitě v HalleHalle Zakladatel teorie množin, 1873 – 1884Zakladatel teorie množin, 1873 – 1884 vybudování teorie kardinálních a vybudování teorie kardinálních a

ordinálních číselordinálních čísel 1883: Cantorovo diskontinuum1883: Cantorovo diskontinuum

88

Cantorovo diskontinuumCantorovo diskontinuum- nemá izolované body, uzavřená množina- nemá izolované body, uzavřená množina- neobsahuje žádnou úsečku- neobsahuje žádnou úsečku- topologická dimenze 0- topologická dimenze 0- Hausdorffova dimenze 0,6309- Hausdorffova dimenze 0,6309- nespočetná množina- nespočetná množina

99

Giuseppe PeanoGiuseppe Peano

Italský matematik (1858 – 1932)Italský matematik (1858 – 1932) 1880: doktorský titul na univerzitě v Turíně1880: doktorský titul na univerzitě v Turíně 1888: kniha 1888: kniha Geometry calculus Geometry calculus

- - kapitola o matematické logicekapitola o matematické logice 1890: Peanova křivka – zobrazení 1890: Peanova křivka – zobrazení

intervalu intervalu [0[0,,1]1] na jednotkovna jednotkový čý čtverectverec

1010

1891: Hilbertova konstrukce Peanovy 1891: Hilbertova konstrukce Peanovy křivky křivky - topologická dimenze 1- topologická dimenze 1- Hausdorffova dimenze 2- Hausdorffova dimenze 2

1111

Niels Fabian Helge von KochNiels Fabian Helge von Koch

Švédský matematik (1870 – 1924)Švédský matematik (1870 – 1924) 1892: doktorát na Stockholmské univerzitě1892: doktorát na Stockholmské univerzitě

(1911 – profesor)(1911 – profesor) 1906: Kochova křivka 1906: Kochova křivka

- spojitá, ale nemá v žádném bodě tečnu- spojitá, ale nemá v žádném bodě tečnu- nekonečná délka- nekonečná délka- topologická dimenze 1- topologická dimenze 1- Hausdorffova dimenze 1,2619- Hausdorffova dimenze 1,2619

1212

Kochova křivkaKochova křivka

Kochova vločka:Kochova vločka:

1313

Waclaw Franciszek SierpińskiWaclaw Franciszek Sierpiński

Polský matematik (1882 – 1962)Polský matematik (1882 – 1962) Varšavská univerzita (1904), Krakov, LvovVaršavská univerzita (1904), Krakov, Lvov Teorie čísel a teorie množinTeorie čísel a teorie množin

(axiom výběru, hypotéza kontinua)(axiom výběru, hypotéza kontinua) Sierpińského trojúhelník Sierpińského trojúhelník

- topologická dimenze 1, fraktální 1,585- topologická dimenze 1, fraktální 1,585

1414

Gaston Maurice JuliaGaston Maurice Julia

Francouzský matematik (1893 – 1978)Francouzský matematik (1893 – 1978) Profesor na Polytechnické škole v PařížiProfesor na Polytechnické škole v Paříži Racionální lomené funkce v komplexním Racionální lomené funkce v komplexním

oboruoboru Iterace funkce komplexní parabolyIterace funkce komplexní paraboly

1515

Juliova množinaJuliova množina- Pierre Fatou (1878 – 1929) - Pierre Fatou (1878 – 1929) - množina komplexních čísel z- množina komplexních čísel z0, 0, pro které pro které

posloupnost zposloupnost znn konverguje konverguje

- soběpříbuzný fraktál - soběpříbuzný fraktál

1616

Felix HausdorffFelix Hausdorff

Německý matematik (1868 – 1942)Německý matematik (1868 – 1942) Zakladatel obecné topologie a teorie Zakladatel obecné topologie a teorie

metrických prostorůmetrických prostorů Studium matematiky a astronomie v Studium matematiky a astronomie v

Lipsku, Fraiburgu a v BerlíněLipsku, Fraiburgu a v Berlíně Kniha Kniha Základy teorie množinZáklady teorie množin 1919: fraktální dimenze1919: fraktální dimenze

1717

Edward Norton LorenzEdward Norton Lorenz Americký matematik a meteorolog Americký matematik a meteorolog

(1917 – 2008)(1917 – 2008) Matematika – dartmouth College v New Matematika – dartmouth College v New

Hampshiru, Harvardská univerzita v Hampshiru, Harvardská univerzita v CambridgeCambridge

Meteorologie – Massachusetts Institute of Meteorologie – Massachusetts Institute of TechnologyTechnology

60.léta – „motýlí efekt“60.léta – „motýlí efekt“ Počáteční podmínky na atraktoru: Počáteční podmínky na atraktoru:

http://hungry-lord.wz.cz/data/Lorenz.php#lorenzhttp://hungry-lord.wz.cz/data/Lorenz.php#lorenz1818

Lorenzův atraktorLorenzův atraktor

Videoukázky: Videoukázky:

Atraktor Atraktor http://hungry-lord.wz.cz/data/video/atraktor.htmlhttp://hungry-lord.wz.cz/data/video/atraktor.html

Lorenz Lorenz http://hungry-lord.wz.cz/data/video/lorenz.htmlhttp://hungry-lord.wz.cz/data/video/lorenz.html 1919

Lewis Fry RichardsonLewis Fry Richardson

Anglický fyzik, matematik a meteorologAnglický fyzik, matematik a meteorolog(1881 – 1953)(1881 – 1953)

Kartografie: Měření délky pobřeží a řekKartografie: Měření délky pobřeží a řek- měření s různým měřítkem- měření s různým měřítkem

Délka pobřeží: L(Délka pobřeží: L(εε) = K ) = K εε1-D1-D,,měřítko délky měřítko délky εε,,K, D konstanty pro dané pobřeží K, D konstanty pro dané pobřeží (D – členitost pobřeží, V. Británie 1,3)(D – členitost pobřeží, V. Británie 1,3)

2020

Měření pobřeží Velké Británie s různým Měření pobřeží Velké Británie s různým měřítkemměřítkem

2121

Otto E. RösslerOtto E. Rössler

Narozen v Berlíně 20.5. 1940Narozen v Berlíně 20.5. 1940 Lékař, chemie a teoretická biologieLékař, chemie a teoretická biologie Rösslerův atraktorRösslerův atraktor

- založený na principech generování - založený na principech generování chaosuchaosu- fraktální dimenze 2,01- fraktální dimenze 2,01

2222

Rösslerův atraktorRösslerův atraktor

2323

Benoit B. MandelbrotBenoit B. Mandelbrot

Narozen ve Varšavě roku 1924Narozen ve Varšavě roku 1924 Otec fraktální geometrieOtec fraktální geometrie

- 1982: - 1982: The fractal Geometry of NatureThe fractal Geometry of Nature Studium v Lyonu a v Kalifornském institutu Studium v Lyonu a v Kalifornském institutu

technologie v USAtechnologie v USA IBM: fluktuace cen bavlny,IBM: fluktuace cen bavlny,

Náhodné poruchy na telekomunikačních Náhodné poruchy na telekomunikačních linkách linkách

2424

Noemův efekt – nespojitostNoemův efekt – nespojitostJosefův efekt – tendence k setrvalému Josefův efekt – tendence k setrvalému stavustavu

Navázal na L.F. Richardsona – délka Navázal na L.F. Richardsona – délka pobřeží pobřeží

70. léta 20. století: Juliova množina70. léta 20. století: Juliova množina- „katalog“ Juliových množin - „katalog“ Juliových množin Mandelbrotova množina Mandelbrotova množina

Každý bod v Mandelbrotově množině Každý bod v Mandelbrotově množině určuje vzhled Juliovy, která patří ke určuje vzhled Juliovy, která patří ke zvolenému bodu.zvolenému bodu.

2525

2626

Mandelbrotova množinaMandelbrotova množina

2727

2828

Videoukázka: MandelbrotVideoukázka: Mandelbrothttp://hungry-lord.wz.cz/data/video/mandelbrot.htmlhttp://hungry-lord.wz.cz/data/video/mandelbrot.html

Mandelbrotova množina – java appletMandelbrotova množina – java applethttp://spaz.ca/aaron/SCS/fractals/http://spaz.ca/aaron/SCS/fractals/http://javaboutique.internet.com/Mandelbrot/http://javaboutique.internet.com/Mandelbrot/

2929

Fraktální geometrie - praxeFraktální geometrie - praxe

Hausdorffova dimenze: Hausdorffova dimenze: - zkoumání vlastností krve, povrch mozku- zkoumání vlastností krve, povrch mozku

Fyzika: Fyzika: -měny stavu materiálů (magnetizmus), -měny stavu materiálů (magnetizmus), skupenství látekskupenství látek- Brownův pohyb- Brownův pohyb

Informatika:Informatika:- komprese dat, šifrování, počítačové - komprese dat, šifrování, počítačové viděnívidění

3030

- počítačové modelování přírodních - počítačové modelování přírodních objektůobjektů- rozpoznávání obrazu, písma- rozpoznávání obrazu, písma- simulace jevů- simulace jevů- artware- artware

Galerie fraktálů:Galerie fraktálů:http://www.chytraktim.cz/fraktaly/uvodni.phphttp://www.chytraktim.cz/fraktaly/uvodni.php

http://www.fit.vutbr.cz/~tisnovpa/fract/uvod.htmlhttp://www.fit.vutbr.cz/~tisnovpa/fract/uvod.html

3131