W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13 · Nächste Woche: Probeklausur Bringen Sie sich...

W-Rechnung und Statistik für IngenieureÜbung 13

W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13

Nächste Woche: ProbeklausurBringen Sie sich ein leeres Exemplar der Probeklausur mit, um sicheine “Musterlösung” zu erstellen.


Aufgabe 1 : Testproblem

Testproblem:

Betrachten wieder den Datensatz BLECH.DAT:

> BLECH

[1] 346 363 360 318 346 268 299

287 310 349 333 365 281 265 344

Frage: Wird im Mittel ein Wert kleiner als 310 angenommen?


Aufgabe 1 : Teststatistik

Entscheide mich gegen H0 : µ ≥ 310, falls 310 − x groß, genauer:Teststatistik:

wobei N=15, µ0 = 310. P-Wert:

PH0

(√15

310 − X

s(X )> T (x)

)

= PH0

(√15

−(310 − X )

s(X )< −T (x)

)

= PH0

(√15

X − 310

s(X )< −T (x)

)

= Ft14(−T (x))

Ft14(−T (x)) Verteilungsfunktion in −T (x) der t14-Verteilung.


Aufgabe 1 : Berechnung des P-Werts

Bestimme den P-Wert für BLECH.DAT:

> N<-length(BLECH)

> mu0<-310

> TS<-sqrt(N)*(mu0-mean(BLECH))/sd(BLECH)

> TS

[1] -1.354669

> pt(-TS,df=N-1)

[1] 0.9015088

oder

> t.test(BLECH,alternative="less",mu=mu0)$p.value

[1] 0.9015088

Entscheidung:


Aufgabe 1 : Alternative Entscheidungsregel

Alternative zu P-Wert:Entscheide gegen H0, falls

> alpha<-0.05

> #kritischer Wert

> qt(1-alpha,df=N-1)

[1] 1.76131

> #lehne H0 ab, falls TS>kritischer Wert

> TS>qt(1-alpha,df=N-1)

[1] FALSE

Entscheidung:


Aufgabe 1 : Darstellung der Gütefunktion

Gütefunktion:

γ(µ) = Pµ(Entscheidung für H1) = Ft14(

√N

µ−µ0σ

)(−tN−1,1−α)

> mus<-seq(200,400,0.5) #Ausgewertete mu’s

> plot(mus,pt(-qt(1-alpha,df=N-1),df=N-1,

+ ncp=sqrt(N)*(mus-mu0)),type="l",

+ main="G"utefunktion",ylab="",lwd=3,ylim=c(0,1))

> abline(h=alpha,lwd=2,lty=2) #Linie bei Niveau zeichnen


Aufgabe 1 : Plot der Gütefunktion

200 250 300 350 400

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gütefunktion

mu


Aufgabe 2(a) : Testproblem

Nun wollen wir Aussagen zur Streuung testen. Wir nehmenweiterhin an, dass Daten normalverteilt sindTestproblem:

Entscheidungsregel:

Genauer:

T (x) = (N − 1)s(x)

σ0

= (15 − 1) · s(x)

30,

Lehne H0 ab, falls T (x) > χ2

N−1;1−α

2oder T (x) < χ2

N−1;α2,

wobei χ2

N−1,α

2das α

2Quantil einer χ2-Verteilung mit N-1

Freiheitsgraden bezeichnet.


Aufgabe 2(a) : Berechnung in R

> N<-length(BLECH)

> alpha<-0.05

> s0<-30

> TS_var<-(N-1)*sd(BLECH)/s0

> k1<-qchisq(1-alpha/2,df=N-1)

> k2<-qchisq(alpha/2,df=N-1)

> TS_var>k1

[1] FALSE

> TS_var<k2

[1] FALSE

Entscheidung:


Aufgabe 2(b) : Testproblem

Testproblem:

Lehne H0 ab, falls s(x)30

klein.Genauer:

T (x) = (N − 1)s(x)

σ0

= (15 − 1) · s(x)

30,

Entscheidungsregel:Lehne H0 ab, falls T (x) < χ2

N−1;α

(α-Quantil der χ2

N−1-Verteilung)

Der Test heißt Ein-Stichproben χ2(Chi-Quadrat)-Test


Aufgabe 2(b) : Berechnung in R

> TS_var<-(N-1)*sd(BLECH)/s0

> k<-qchisq(alpha,df=N-1)

> TS_var<k

[1] FALSE

Entscheidung:


Aufgabe 3 : Vergleich von Blechproben

Haben zuzätzlich zu BLECH Daten einer zweiten Produktionslinie:

364, 339, 289, 304, 362, 324, 314, 330, 301, 274, 319, 314, 326, 328, 310

Fragen:Unterscheiden sich die Blechdicken der beiden Produktionslinien imMittel (Erwartungswert)?Unterscheiden sie sich in der Streuung (Varianz)?


Aufgabe 3 : Tests für Mittelwert

Testproblem:

H0 : µBLECH1 = µBLECH2 gegen H1 : µBLECH1 6= µBLECH2

Mögliche Tests:

Zweiseitiger t-TestVoraussetzungen:

Welch-Zweiseitiger t-TestVoraussetzung:

Wilcoxon-Test


Aufgabe 3 : Annahme einer Normalverteilung

Verwenden ein graphisches und ein statistisches Verfahren:

graphisch :

qqnorm(xdata)

statistisch:


Aufgabe 3 : Q-Q-Normal-Plot

> qqnorm(BLECH,pch=16) #Anfertigen des Plots

> qqline(BLECH,lwd=3) #Linienbreite ändern

> qqnorm(BLECH2,pch=16) #Anfertigen des Plots

> qqline(BLECH2,lwd=2) #Linienbreite ändern

−1 0 1

280

300

320

340

360

Normal Q−Q Plot

Theoretical Quantiles

Sam

ple

Qua

ntile

s

−1 0 1

280

300

320

340

360

Normal Q−Q Plot


Sam

ple

Qua

ntile

s

Ergebnis:W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13

Aufgabe 3 : Shapiro-Wilk-Test

Nullhypothese des Tests: Normalverteilung liegt vor

> shapiro.test(BLECH)

Shapiro-Wilk normality test

data: BLECH

W = 0.9063, p-value = 0.1189

> shapiro.test(BLECH2)

Shapiro-Wilk normality test

data: BLECH2

W = 0.9679, p-value = 0.8254

Ergebnis:


Aufgabe 3 : Varianzen

Testproblem:

2 Produktionslinien, daher 2 ungepaarte Stichproben

Zweiseitiger Varianztest (F-Test) braucht normalverteilteDaten

Teststatistik:

Entscheidungsregel:

Lehne H0 : σBLECH1 = σBLECH2 ab, falls s(x)2

s(y)2> FN1−1;N2−1; 1 − α

2

oder s(x)2

s(y)2< FN1−1;N2−1;

α

2.


Aufgabe 3 : Test der Varianzen in R

> var.test(BLECH,BLECH2)

F test to compare two variances

data: BLECH and BLECH2

F = 2.1144, num df = 14, denom df = 14, p-value = 0.1736

alternative hypothesis: true ratio of variances is not

equal to 1

95 percent confidence interval:

0.7098594 6.2978609

sample estimates:

ratio of variances

2.114378

Entscheidung:


Aufgabe 3 : Mittelwerte

Testproblem:

Varianzen können als gleich angenommen werden (Vgl. F-Test)

Normalverteilung wird angenommen (Vgl. Q-Q-Normal-Plotund Shapiro-Wilk-Test)

Zwei-seitiger t-Test für zwei Stichproben

Teststatistik:

T (x , y) =

√

N1N2

N1 + N2

|x − y |s12(x , y)

Entscheidungsregel:

Lehne H0 ab, falls√

N1N2N1+N2

|x−y |s12(x ,y)

> tN1+N2−2;1−α

2


Aufgabe 3 : Test der Mittelwerte in R

> t.test(BLECH,BLECH2,var.equal=T)

Two Sample t-test


t = 0.2184, df = 28, p-value = 0.8287

alternative hypothesis: true difference in means is not

equal to 0


-20.11148 24.91148

sample estimates:

mean of x mean of y

322.2667 319.8667

Entscheidung:W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13

Aufgabe 3 : Welch-Zweiseitiger t-Test

> t.test(BLECH,BLECH2,alternative=’’two.sided’’

+ ,var.equal=F)$p.value

[1] 0.8289144

> t.test(BLECH,BLECH2,alternative=’’two.sided’’

+ ,var.equal=F)$statistic

t

0.2183853

Entscheidung:


Aufgabe 3 : Wilcoxon-Test

Alternativer Test für die Mittelwerte, der keine Normalverteilungbraucht:

> wilcox.test(BLECH,BLECH2,alternative=’’two.sided’’)

Wilcoxon rank sum test with continuity correction


W = 121.5, p-value = 0.7243

alternative hypothesis: true location shift

is not equal to 0

Entscheidung:


Aufgabe 4 : Streudiagramm der Daten

Stellen Druckfestigkeit und Festbetonrohdichte dar:

110 120 130 140 150 160 170 180

2.45

2.50

2.55

Druck

Fes

tbet

onro

hdic

hte


Aufgabe 4 : Tests auf Zusammenhang

Testproblem:H0 : ρ = 0 gegen H1 : ρ 6= 0

Zweiseitiger Korrelations-Test basierend aufKorrelationskoeffizienten von PearsonVoraussetzungen:

Zweiseitiger Korrelations-Test basierend auf SpearmanschenRangkorrelationskoeffizienten

χ2-Test, vor allem auch für nominale Merkmale


Aufgabe 4 : Prüfen einer Normalverteilung der Daten (1)

> shapiro.test(beton$Druck)$p.value

[1] 0.01221

> shapiro.test(beton$Festbetonrohdichte)$p.value

[1] 0.003074

Entscheidung:


Aufgabe 4 : Prüfen einer Normalverteilung der Daten (2)

> qqnorm(beton$Druck,pch=16)

> qqline(beton$Druck,lwd=3)

> qqnorm(beton$Festbetonrohdichte,pch=16)

> qqline(beton$Festbetonrohdichte,lwd=3)

−2 −1 0 1 2

110

130

150

170

Normal Q−Q Plot


Sam

ple

Qua

ntile

s

−2 −1 0 1 2

2.45

2.50

2.55

Normal Q−Q Plot


Sam

ple

Qua

ntile

s

Entscheidung:W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13

Aufgabe 4 : Test auf Zusammenhang

Benutze aufgrund der Datenanalyse den Korrelations-Test basierendauf Rangkorrelationskoeffizienten!

> cor.test(Festbetonrohdichte,Druck,method="spearman")

Spearman’s rank correlation rho

data: beton$Festbetonrohdichte and beton$Druck

S = 211725.2, p-value = 6.456e-05

alternative hypothesis: true rho is not equal to 0

sample estimates:

rho

0.3495386

Ergebnis:


Aufgabe 4 : Ergebnis des ungeeigneten t-Tests

Was passiert, wenn wir den Test anwenden, für welchen dieVoraussetzungen nicht erfüllt waren?

> cor.test(Festbetonrohdichte,Druck,method="pearson")

Pearson’s product-moment correlation

data: beton$Festbetonrohdichte and beton$Druck

t = 3.5794, df = 123, p-value = 0.0004938

alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0


0.1390387 0.4580485

sample estimates:

cor

0.3071468

Ergebnis:


Aufgabe 4 : Ergebnis des χ2-Test

Was ergibt der bei stetigen Daten ungenaue χ2-Test?

> chisq.test(table(beton$Festbetonrohdichte,beton$Druck))

Pearson’s Chi-squared test

data: table(beton$Festbetonrohdichte, beton$Druck)

X-squared = 7022.9, df = 6804, p-value = 0.03127

Warnmeldung:

In chisq.test(table(beton$Festbetonrohdichte, beton$Druck))

Chi-Quadrat-Approximation kann inkorrekt sein

Ergebnis:


Zusammenfassung : Univariate Stichproben

Test für den Erwartungswert (mittleren Wert) Voraussetzungt-Test (t.test) Normalverteilung

H0 : µ = µ0

t.test(..,alternative=”two.sided”,..)

H0 : µ ≥ µ0

t.test(..,alternative=”less”,..)

H0 : µ ≤ µ0

t.test(..,alternative=”greater”,..)

Wilcoxon-Test (wilcox.test) -

Test für die Varianz VoraussetzungEin-Stichproben χ2-(Chi-Quadrat)-Test Normalverteilung


Zusammenfassung : Bivariate Stichproben

Tests auf Zusammenhang VoraussetzungPearson-Korrelationstest Normalverteilung

H0 : ρ = 0 kein Zusammenhangcor.test(x,y,method=”pearson”)

Spearmanscher-Rang-Korrelationstest -H0 : ρ = 0 kein Zusammenhang

cor.test(x,y,method=”spearman”)

χ2(Chi-Quadrat)-Test (wenige verschiedene Werte)auf Unabhängigkeit

H0 : kein Zusammenhangchisq.test(table(x,y))


Zusammenfassung : Univariate, gepaarte Stichproben

Test für den Vergleich der Varianzen VoraussetzungF-Test oder Varianz-test für 2 Stichproben Normalverteilung

var.test(x,y,..)

Test für den Vergleich der Mittelwerte Voraussetzung2-Stichproben-t-Test NVt., gleiche Varianz

t.test(x,y,var.equal=TRUE)

2-Stichproben-t-Test NVt.t.test(x,y,var.equal=FALSE)

Wilcoxon-Test -wilcox.test(x,y)


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