Seite 1 von 4 W5.DOC

Hochschule fr Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig Fakultt Informatik, Mathematik und Naturwissenschaften Physikalisches Praktikum - Sommersemester 2014

Versuchsanleitung W 5 : Wrmeausdehnungskoeffizient 1 Einleitung Bei nderung der Temperatur erfahren alle Stoffe eine Volumennderung. Bis auf wenige Ausnahmen, z. B. Wasser im Temperaturbereich von 0 C bis 4 C, nimmt das Volumen mit der Temperatur zu. Die Ursache ist darin zu sehen, dass die Molekle der Stoffe bei hherer Temperatur einen greren mittleren Abstand voneinander einnehmen. Ein isotroper Festkrper ndert mit der Temperatur seine Abmessungen so, dass die hnlichkeit seiner Gestalt erhalten bleibt. Mithin lsst sich seine Volumennderung bei Kenntnis der Lngennderung berechnen. Gibt man der thermischen Lngennderung eines festen Krpers nicht gengend Raum, so fhrt das zum Auftreten mitunter sehr groer mechanischer Spannungen. Diese knnen eine unerwnschte Formnderung oder gar Zerstrung des Krpers zur Folge haben. Man vermeidet dies durch das Anbringen geeigneter Sto- oder Ausdehnungsfugen, wie sie z. B. beim Verlegen von Schienen, Platten oder Trgern vorgesehen werden. Beim Eingieen oder Einschmelzen von Metallen in andere Stoffe (Glas, Keramik u. a. m.) vermeidet man das Auftreten schdlicher Spannungen dadurch, dass man die linearen Ausdehnungskoeffizienten des Metalls und des umgebenden Werkstoffes von gleicher Gre whlt. Mitunter werden die durch Temperaturnderungen hervorgerufenen Formnderungen oder Spannungen auch technisch genutzt (Bimetallstreifen, Aufschrumpfen, Sicherheitsglas). In Verbindung mit den o. g. Erscheinungen ist die Kenntnis der linearen Ausdehnungskoeffizienten der Materialien zu Berechnungen oder Abschtzungen unerlsslich. Im vorliegenden Versuch messen Sie den linearen Ausdehnungskoeffizienten eines festen Krpers. 2 Grundlagen Untersucht man in einem vorgegebenen Temperaturbereich den Zusammenhang zwischen der Lngennderung l eines Festkrpers und der Temperaturnderung T mit hherer Messgenauigkeit, so findet man im allgemeinen keine lineare Abhngigkeit. Vielmehr gilt

l = l Pn (T ) , ( 2 1 )

wobei l die Lnge bei der Temperatur T und l + l diejenige bei der Temperatur T + T sind. Mit Pn(T ) wird ein Polynom vom Grade n in T bezeichnet, dessen Koeffizienten experimentell zu ermitteln sind. In vielen Fllen jedoch kann ( 2 - 1 ) recht gut durch eine lineare Funktion genhert werden und es gilt

l = l T . ( 2 2 ) Der materialabhngige Faktor in ( 2 - 2 ) wird (mittlerer) linearer Ausdehnungskoeffizient (des betreffenden Stoffes im untersuchten Temperaturbereich) genannt. Seine Maeinheit ist K1. Ein Wrfel aus einem Stoff mit dem linearen Ausdehnungskoeffizienten hat bei der Temperatur T die Kantenlnge l und das Volumen V = l 3 . Bei der Temperatur T + T betrgt dann seine Kantenlnge (l + l ) und sein Volumen V + V = (l + l )3 . Man berechnet V unter Verwendung von ( 2 - 2 ) und erhlt bei Vernach-lssigung der zweiten und hheren Potenzen von T

V 3 V T . ( 2 3 ) Ein Vergleich mit der von den Flssigkeiten und Gasen bekannten Beziehung

V V T , ( 2 4 )

in der als kubischer Ausdehnungskoeffizient bezeichnet wird, liefert fr Festkrper 3 .

Seite 2 von 4 W5.DOC

3 Versuchsanordnung Wir verwenden eine einfache Apparatur zur Messung des linearen Ausdehnungskoeffizienten. Die zu untersuchende Probe liegt als Rohr mit beiderseits verschlossenen Stirnflchen vor. Man kennt die Lnge l des Rohres bei Zimmertemperatur TZ . Das Rohr liegt auf zwei Rollen. Eine Stirnflche des Rohres ist durch einen Anschlag fixiert und gegen die andere Stirnflche drckt der Messbolzen einer digitalen Messuhr, die zu Versuchsbeginn auf Null gestellt wird (und deren Anzeigewerte fr fortlaufende Messungen auch von einem Computerprogramm registriert werden knnen). Sodann leitet man aus einem Verdampfer Wasserdampf durch das Rohr (Dampfeintritt und Kondenswasserablauf erfolgen durch seitlich in dem Rohr befindliche ffnungen). Nach hinreichend langer Zeit hat das Rohr die Siedetemperatur TS angenommen und die zu TS gehrende Anzeige lS der Messuhr ndert sich nicht mehr. Fr den Ausdehnungskoeffizienten gilt dann

( )ZSS

TTl

l

= . ( 3 1 )

Die Siedetemperatur wird nach Ablesen des Barometerstandes aus der Siedetabelle ermittelt. Zustzlich zur Messung des linearen Ausdehnungskoeffizienten bietet die Versuchsanordnung die Mglichkeit, die Wrmebergangszahl zwischen der Rohroberflche und Luft abzuschtzen. Wird dem Rohr keine Wrme mehr zugefhrt, dann khlt es sich infolge Wrmebergangs an die Umgebung wieder ab. Die Wrmeableitung ber Rollen, Schluche, Anschlag und Messuhr wird vernachlssigt. Das Rohr habe eine Masse m , eine spezifische Wrmekapazitt c und eine Mantelflche A , die wesentlich grer als die Stirnflchen ist. Hat das Rohr zur Zeit t gerade die Temperatur T , so wird innerhalb des Zeitelementes dt die Wrmemenge Q = A (T TZ) dt an die Umgebung bertragen und die innere Energie ndert sich um dU = m c dT . Nach dem ersten Hauptsatz gilt

m c dT = A (T TZ) dt . ( 3 2 )

Man lst die Differentialgleichung ( 3 - 2 ) durch Trennung der Variablen und Integration

=

tcmA

TTT

dd

Z

( 3 3 )

und erhlt die allgemeine Lsung

Clnln Z += tcmA

TT

. ( 3 4 )

Die Integrationskonstante C wird aus der Anfangsbedingung T (t = 0) = T0 zu

Z0lnCln TT = ( 3 5 )

bestimmt. Durch Einsetzen von ( 3 - 5 ) und ( 3 - 4 ) , Betragsauflsung (T0 , T > TZ) und Entlogarithmieren erhlt man schlielich

( ) ( ) t

TTTT

= eZ0Z ( 3 6 )

mit der Zeitkonstanten

Acm

= . ( 3 7 )

Zur Aufnahme der Abkhlungskurve setzt man den Verdampfer auer Betrieb, unterbricht die Dampfzufuhr und wartet kurz ab, bis die Messuhranzeige rcklufig wird. Dann startet man am PC (also bei t = 0 und bei einer Mess-uhranzeige l0 < lS ) die Timer-gesteuerte automatische Messuhrabfrage, wodurch in konstanten Zeitabstnden

Seite 3 von 4 W5.DOC

weitere Messuhranzeigen l (t ) registriert werden. Wegen der Proportionalitt zwischen l und (T TZ) folgt aus ( 3 - 6 )

t

ltl

=

e)(

0 . ( 3 8 )

Zur Ermittlung von logarithmiert man ( 3 - 8 ) und erhlt somit fr die (neu eingefhrte) Variable Y eine lineare Abhngigkeit von t

tltl

Y

elg)(lg

0=

= . ( 3 9 )

Trgt man also 0

)(ltl

auf logarithmisch geteilter Achse ber t auf, so erhlt man eine (fallende) Gerade mit dem

(negativen) Anstieg

elg=B . An diese Gerade wird ein Steigungsdreieck gezeichnet. Sind lY und lt dessen

Kathetenlngen und mY und mt die Mastabsfaktoren der graphischen Darstellung, so knnen aus

elg

tt

YY==

lmlm

B ( 3 10 )

sowohl der Anstieg B als auch die Zeitkonstante berechnet werden. Mit der auf diese Weise ermittelten Zeitkonstanten und den am Arbeitsplatz angegebenen Werten fr A , c und m kann aus ( 3 - 7 ) die Wrme-bergangszahl berechnet werden. Bei der Auswertung am PC erfolgt das Logarithmieren von ( 3 - 8 ) mit

tltl

Y

1)(ln'

0=

= . ( 3 11 )

Die Ausgleichsrechnung liefert dann fr Y ' den von ( 3 - 10 ) verschiedenen Anstieg

1PC =B , aus welchem

ebenfalls die Zeitkonstante berechnet werden kann. 4 Aufgaben In diesem Abschnitt sind die zu bearbeitenden Aufgaben nur grundstzlich aufgefhrt. Genauere Hinweise zur Versuchsdurchfhrung befinden sich am Arbeitsplatz. 4.1 Man bestimme TZ , lS und TS einschlielich ihrer Messfehler und berechne daraus und

(einschlielich der Fehler). Die Lnge l der Probe ist am Arbeitsplatz angegeben. 4.2 Man nehme die Abkhlungskurve ( 3 - 8 ) auf, zeichne sie auf halblogarithmisches Papier und bestimme

aus dem Anstieg der Kurve ( 3 - 9 ) . Keine Fehlerbetrachtung zu 4.2 . 4.3 Man bestimme am PC aus den Messwerten der Abkhlungskurve mittels linearer Regression an der Funktion

( 3 - 11 ) erneut die Zeitkonstante (mit Fehler) und vergleiche mit aus 4.2 . 4.4 Mit dem aus 4.3 berechne man (einschlielich des Fehlers). Die Werte fr m , c und A der Probe sind

am Arbeitsplatz angegeben. 5 Fragen 5.1 Welcher (nherungsweise) lineare Zusammenhang besteht zwischen Lngennderung und

Temperaturnderung? 5.2 Leiten Sie die Beziehung zwischen dem kubischen und dem linearen Ausdehnungskoeffizienten her.

Seite 4 von 4 W5.DOC

5.3 Berechnen Sie die Wrme Q , die innerhalb einer Stunde von einer Oberflche ( 1 = 200 C , A = 4 m2, = 7 W m2 K1) an die Umgebung ( 2 = 20 C) abgegeben wird.

5.4 Ein Stahlstab (Querschnittsflche 200 mm2, E = 2 105 N mm2, = 1,2 105 K1) wird an beiden Enden fest eingespannt und um T = 50 K erwrmt. Welche Kraft muss die Einspannung aufnehmen?

5.5 Skizzieren Sie die Abkhlungskurve t

ltl

=

e)(

0 in linearem Koordinatennetz und bezeichnen Sie den

Zeitpunkt t = . 5.6 Um wieviel Prozent vergrert sich die Lnge eines Kupferstabes ( = 1,7 105 K1) bei einer Erwrmung

um 200 K ?

5.7 Berechnen Sie die Abkhlungszeitkonstante Acm

= fr m = 50 g , c = 400

KkgWs

, = 7Km

W2

und

A = 300 cm2.

5.8 Berechnen Sie die allgemeine Lsung T (t ) der Gleichung ( )Zdd

TTcmA

tT

=

.

5.9 Leiten Sie eine Fehlerformel fr her. In ( )ZSS

TTl

l

= sind alle Gren fehlerbehaftet.

5.10 Welche Zeit ( in Vielfachen von ) muss vergehen, damit die anfngliche Temperaturdifferenz T0 eines

Krpers zu seiner Umgebung auf 100

0T abgebaut wird?

Literatur [ 1 ] Geschke, D. (Hrsg.) : Physikalisches Praktikum

Teubner-Verlag, Leipzig, 2001 ISBN 3-519-10206-4

[ 2 ] Hering, E. u. a. : Physik fr Ingenieure

Springer-Verlag, Berlin, 2004 ISBN 3-540-21036-9