WahrscheinlichkeitsrechnungGrundbegriffe

© Markus Dobernig, Senand Ristic

Klassische DefinitionPierre-Simon Laplace

Anzahl d. günstigen Fälle Anzahl d. möglichen Fälle

Beispiel:fairer Würfel wird geworfen:jede Zahl hat gleiche Chancenund wird daher bei jedemVersuch mit der Wahrscheinlichkeit1/6 gewürfelt.P (gerade Zahl) = 3 günstige [2, 4, 6] / 6 möglicheP (ungerade Zahl) = 3 günstige [1, 3, 5] / 6 mögliche

P(E) =

Statistische Definition

Jakob BernoulliGesetz der großen Zahl P (E) ~ lim hn (relative Häufigkeit)

Das bedeutet:Wenn man einen Versuch (z.B.: Würfel) unendlich oft durchführt, so wird die relative Häufigkeit zur Wahrscheinlichkeit.• Bsp.: Münze wird 1000 mal geworfenKopf … 490 mal hK = 490/1000 = 0,49Zahl … 510 mal hz = 510/1000 = 0,51

Wenn man unendlich oft würfelt, so wird man in 50% der Fälle Kopf und in 50% der Fälle Zahl werfen!

~n∞

AHA

Axiomatische Definition

Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow1. 0 ≤ P (E) ≤ 1, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist immer

eine Zahl zwischen 0 und 1.2. P (E) = 0… E ist nicht möglich P (E) = 1… E ist sicher3. P (E1 ˅ E2) = P (E1) + P (E2)

Additionssatz für unabhängigeEreignisse.

Ich liebe die Mathematik

Wie kann man die Wahrscheinlichkeit veranschaulichen? Entscheidungsbaum• Geordnete Darstellung • Baumdiagramm• Grafik– hierarchischer und– aufeinanderfolgender Entscheidungen

Bsp.: 10 Kugeln – 3 rote und 7 grüne Kugeln es wird drei Mal gezogen ohne Zurücklegen

1. Ziehung

2. Ziehung

3. Ziehung

Entscheidungsbaum für Ziehen ohne Zurücklegen

2 Fragestellungen:

Bestimmte Reihenfolge• Es gibt nur einen Ast• Dieser zieht sich durch den

Baum durch

Berechnung: P(2r und 1g)=P(r) * P(r/r) * P(g/r ^ r)=(3/10)*(2/9)*(7/8) = 7/120

Unbestimmte Reihenfolge

• Es gibt verschiedene Äste• Sie werden addiert

Berechnung:P(2r und 1g)=P(r^r^g) + P(r^g^r) + P(g^r^r)== (3/10)*(2/9)*(7/8) + + (3/10)*(7/9)*(2/8)+ + (7/10)*(3/9)*(2/8) = = 3*(7/120) = 7/40

Legende:r = Rote Kugelg = Grüne Kugel

Welche Regeln wurden beim Entscheidungsbaum angewendet?

P(E1 und E2) = P(E1 ^ E2) =P(E1) * P(E2 / E1) bei Abhängigkeit

Es gilt auch: P(E oder nichtE) = 1 (Es ist sicher, dass A eintritt oder nicht)

P(E) + P(nichtE) = 1P(E) = 1- P(nichtE)

Multiplikationssatz

E ist das Gegenereignis von nichtE

Wie sieht der Entscheidungsbaum aus, wenn man die Kugeln wieder zurücklegt?

Bsp.: 10 Kugeln – 3 rote und 7 grüne Kugeln es wird drei Mal gezogen mit Zurücklegen

Entscheidungsbaum für Ziehen mit Zurücklegen

2 Fragestellungen:

Bestimmte Reihenfolge• Es gibt nur einen Ast• Dieser zieht sich durch den

Baum durch

Berechnung: P(2r und 1g)== P(r)*P(r)*P(g) == (3/10)²*(7/10) = 63/1000

Unbestimmte Reihenfolge

• Es gibt verschiedene Äste• Sie werden addiert

Berechnung:P(2r und 1g)=P(r^r^g) + P(r^g^r) + P(g^r^r)=3*(3/10)²*(7/10) = 189/1000

Legende:r = Rote Kugelg = Grüne Kugel

Welche Regeln wurden beim Entscheidungsbaum angewendet?

P(E1 und E2) = P(E1 ^ E2) =P(E1) * P(E2) bei Unabhängigkeit

Multiplikationssatz

Und nun geht es weiter!