Was noch fehltKonzepte jenseits der Quantenmechanik

WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 13. Vorlesung

Was noch fehlt …

Franck – Hertz Experiment

Messung von quantenmechanischen SystemenUm ein System zu „messen“, muss man es stören und beobachten, wie es aufdie Störung reagiert

Zeitunabhängige Störung

Ungestörtes Problem

Kleine Störung

Nehmen wir an, wir kennen die Lösungen des ungestörten Problems.

Durch die Störung wird es zu einer (kleinen) Änderung der Eigenwerte und Eigenzustände kommen. Diese Änderungen werden im Rahmen der Störungs-theorie berechnet.

l ist ein Parameter, der die Stärke der äußeren Störung (elektrisches oder magnetisches Feld) beschreibt.

Experimentell kann l frei gewählt werden. Man kann also den Einfluß der Stärke der Störung systematisch untersuchen.

Zeitunabhängige Störung

Schrödingergleichung

Ordnen nach Potenzen von l

Der Hamiltonoperator inkl. Störung und die gestörten Eigenwerte und Eigen-zustände werden in die Schrödingergleichung eingetzt.

Danach fasst man Terme mit derselben Potenz ln zusammen.

Für das Skalarprodukt zwischen ungestörter und gestörter Wellenfunktion gilt

Zeitunabhängige Störung

Die ungestörten Zustände bestimmen die Änderung der Energieeigenwerte (bei schwacher Störung)

Die erste Korrektur zum Energieeigenwert ergibt sich zu :

Beispiel Zeemaneffekt : Anlegen eines schwachen Magnetfelds spaltet Linien auf

Zeitabhängige Störung

Ungestörtes Problem

Hamiltonoperator

Allgemeine Lösung

Auf ähnliche Weise kann man auch vorgehen, wenn die Störung zeitabhängig ist.Allerdings ist die Rechnung komplizierter.

Man findet, dass Übergänge zwischen Eigenzuständen induziert werden können „Fermis Goldene Regel“

Beispiel Atomspektren

Semiklassische EntwicklungFür hoch angeregte Zustände kann man die Lösungen der Schrödingergleichungnach Potenzen des Planckschen Wirkungsquantums entwickeln.

Man erhält damit Korrekturen zur klassischen Lösung.

Beispiel WKB – Näherung

benannt nach Wentzel, Kramers, Brillouin

Ortsabhängiger Impuls

Näherungsweise Wellenfunktion

Analogie mit Vektoren

Abstrakter Formalismus der QuantenmechanikOft ist es günstig, eine abstraktere Formulierung der Quantenmechanik zu wählen,

ein beliebter Zugang wurde von Paul Dirac eingeführt

Paul Dirac

VektorSkalarproduktKomponentenMatrixTransformation

VektorSkalarproduktKomponentenMatrixTransformation

Quantenmechanik im Hilbertraum

VielteilchensystemeBei Systemen mit mehreren Elektronen müssen wir berücksichtigen, dass

Elektronen ununterscheidbare Teilchen sind (empirisch) !!!

Mehrelektronen – Wellenfunktion

Elektronen sind ununterscheidbare Teilchen

Zweimaliges Austauschen liefert wieder ursprüngliche Wellenfunktion

+1 Bosonen (ganzzahliger Spin) … Photon, H – Atom- 1 Fermionen (halbzahliger Spin) …. Elektron, Proton, Neutron

Vorzeichen hat enorme Auswirkungen !!!

Relativistische QuantenmechanikDie Formulierung einer relativistisch invarianten Theorie ist in der Quanten-mechanik deutlich schwieriger als in der klassischen Mechanik

Bosonen … Klein – Gordon – Gleichung

Fermionen … Dirac – Gleichung

Man erhält Zustände mit negativer Energie. Diese werden als neue Teilchen, nämlich als „Positronen“, interpretiert.

In der Quantenfeldtheorie wird eine Theorie entwickelt, die auch Systeme mit einer variierenden Zahl von Teilchen (Elektronen, Positronen) beschreiben kann

Konzepte jenseits der (konventionellen )Quantenmechanik

Wenn die Quantenmechanik in der heutigen Form die endgültige Theorie ist,gibt es eine Wellenfunktion Y des Universums.

Aber: Wer beobachtet diese Wellenfunktion ?Wie messen wir diese Wellenfunktion ?Was beschreibt diese Wellenfunktion, wenn wir nur | Y |2 physikalischinterpretieren dürfen ?

Wheeler‘s universe

Everettsche Vielweltentheorie

Bei einer Messung kollabiert die Wellenfunktion nicht, sondern das Universumteilt sich in zwei (oder mehrere) „Paralleluniversen“.

Vorteil: Interpretation benötigt keinen Kollaps der Wellenfunktion bei Messung.Die Wellenfunktion selbst bekommt eine „physikalische Realität“.

Nachteil: Existenz (~unendlich) vieler Paralleluniversen.Warum gibt es keine Interferenz zwischen Paralleluniversen ?

De-Broglie-Bohm-Theorie

Wellenfunktion beschreibt „Führungswelle“ für klassische Teilchen.

Umgeht Probleme wie Kollaps und Interpretation, hat allerdings eine Reihe vonkonzeptionellen Schwierigkeiten.

Ghirardi – Rimini – Weber – Theorie

Superpositionszustand kollabiert für makroskopische Objekte bei einerbestimmten Distanz.

Theorie liefert – ähnlich wie die Bellschen Ungleichungen – Ungleichungen, die experimentell überprüft werden können.

Kollaps durch Gravitations – Krümmung des Raums ? (Penrose)

Die wundersame Welt der Atomis …

Sobald die Atomis beobachtet werden, benehmen sie sich auf einmal ganz anders.