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Inhalt

Stufe 1:

- Multiplizieren und Dividieren

- Umrechnungen

- Stochastik

- Kombinieren

- Magische Quadrate (Zahlenkombination)

- Zahlenrätsel

- Geometrie

- Lösungen Stufe 1

Stufe 2:

- Umrechnungen

- Zahlenkombination

- Zahlenrätsel

- Geometrie

- Lösungen Stufe 2

1

Aufgabenkategorien

Zur einfacheren Orientierung sind die Aufgaben in folgende Kategorien unterteilt.

-Multiplizieren und Dividieren:

Aufgaben, deren Lösung größtenteils von Multiplikation und Division abhängt, aber auch andere Methoden beinhalten kann

-Kombinieren:

Aufgaben, zu deren Lösung kombinatorisches Geschick benötigt wird. Man könnte sie auch Knobelaufgaben nennen.

-Zahlenkombination (/Magische Quadrate):

Aufgaben, bei denen Zahlen auf verschiedene Weisen kombiniert werden müssen, um eine von manchmal mehreren Lösungen zu erreichen

-Zahlenrätsel:

Aufgaben, bei denen oft eine bestimmte Zahl mit vorgegebenen Eigenschaften gefunden werden soll

-Umrechnungen:

Aufgaben, bei denen hauptsächlich verschiedene Maße oder Währungen ineinander umgerechnet werden

-Geometrie:

Aufgaben, bei denen Problemstellungen im 2- oder 3-Dimensionalen Raum gelöst werden

-Stochastik:

Aufgaben, bei denen die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse errechnet wird

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Stufe 1Multiplizieren und Dividieren

1. Eine Bibliothek möchte 1500 Bücher neu einbinden lassen. Zur Auswahl stehen drei Buchbindereien. Um den Auftrag in möglichst kurzer Zeit zu erledigen, werden alle drei beauftragt. Wenn die Buchbindereien jeweils einzeln beauftragt würden, würde die erste Buchbinderei 12 Tage, die zweite 15 Tage und die dritte 20 Tage benötigen. Wie Viele Tage benötigen die Buchbindereien, wenn sie zusammenarbeiten?

2. Schon seit langer Zeit gehen Menschen auf Pilgerreisen, zum Beispiel nach Rom. In dieser Aufgabe betrachten wir die Reise von zwei Brüdern, Heinrich und Konstantin, die zu Fuß nach Rom pilgern. Heinrich schafft 10 Kilometer an einem Tag, Konstantin 13 Kilometer. Sie starten am gleichen Ort, aber Heinrich beginnt 9 Tage vor Konstantin. Außerdem ist bekannt, dass Heinrich nach 52 Tagen in Rom ankommt.

a) Wie viele Kilometer von Rom entfernt beginnen sie, und wie viele Tage ist Konstantin unterwegs?

b) Nach wie vielen Tagen (aus Konstantins und aus Heinrichs Sicht) treffen sich die beiden Brüder unterwegs, und wie weit sind sie dann noch von ihrem Ziel entfernt?

c) Welcher der Beiden trifft früher in Rom ein, und mit wie viel Vorsprung zu seinem Bruder? Wie viele Tage benötigt der andere Bruder dann noch bis Rom?

d) Wie viele Kilometer müsste Konstantin am Tag laufen, wenn Heinrich wieder 9 Tage früher aufbricht, Konstantin ihn aber nach 30 Tagen seiner eigenen Reisezeit einholen möchte und zusätzlich am Anfang seiner Reise einen Umweg von 75 Kilometern machen muss?

3

3. Ein Spatz und eine Meise sitzen auf einer Stange. Sie hüpfen so lange auf einander zu, bis keiner der beiden mehr einen ganzen Sprung machen kann. Die Meise bewegt sich mit jedem Sprung 4 cm und der Spatz 3,5 cm fort.

a) Wie weit voneinander entfernt haben die Vögel begonnen, wenn nach viermaligem Hüpfen der Abstand nur noch 1 cm beträgt?

b) Angenommen die Vögel sitzen 36 cm entfernt, aber der Spatz hüpft doppelt so oft wie die Meise. Wie groß ist der Abstand am Ende?

c) Diesmal sitzen die Vögel 40 cm voneinander entfernt und der Spatz hüpft öfter als die Meise. Wie oft müssen Beide Vögel hüpfen, damit sie am Ende einen Abstand von 0 cm haben?

Aufgabe 1. angelehnt an den ARW 1993, 3. Aufgabe des 1. Teils; abgeändert

Aufgabe 2. angelehnt an den ARW 2000, 4. Aufgabe des 1. Teils; leicht abgeändert


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Umrechnungen

1. Etwa um das Jahr 1500 herum gab es in den deutschen Staaten verschiedene Währungen. Dabei galten folgende Wechselkurse

5 Baseler Rappen = 4 Straßburger 8 Straßburger = 11 Württemberger

11 Württemberger = 14 Augsburger 7 Augsburger = 8 Wiener

a) Wie viele Wiener erhält man für 40 Baseler Rappen?

b) Auf einem Markt bietet ein Händler Tuchballen für 15 Baseler Rappen an. Ein anderer Händler verlangt für das gleiche 50 Schilling. Welches Angebot ist billiger, wenn 3 Straßburger 13 Schilling entsprechen?

2. Zur Zeit von Adam Ries wurden für Gewichte die Einheiten Mark, Lot und Quent verwendet. Ein Mark entspricht 16 Lot und 1 Lot 4 Quent. Gegeben sind 345 Mark und 5 Lot Feinsilber, die zu Gulden und Groschen geprägt werden sollen. Ein Gulden wiegt 3860 Quent, ein Groschen 3040.

a) Wie viele Münzen können maximal mit diesem Silber geprägt werden

b) Wie viele Münzen können unter der Bedingung geprägt werden, dass das gesamte Silber aufgebraucht werden soll. Gibt es mehrere Lösungen?

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3. Ein Händler kauft zwei Saum Stoff mit je 22 Tuchballen. Ein Tuchballen kostet in rheinischer Währung 13 Gulden und 10 Schilling. Auf dem Weg nach Ungarn muss der Händler insgesamt 34 rheinische Gulden als Zoll bezahlen. Dort verkauft er dann seinen gesamten Stoff für 18 ungarische Gulden pro Tuchballen. Ein rheinischer Gulden entspricht 20 Schillingen und ein Schilling 10 Hellern. 90 rheinische Gulden entsprechen 108 ungarischen Gulden.

a) Wie viel musste der Händler für den gesamten Stoff in rheinischer Währung zahlen?

b) Wie viel Stoff kann man mit 26 000 Hellern kaufen?

c) Berechne den Gewinn des Händlers, nachdem er seinen Stoff in Ungarn verkauft hat, in rheinischer Währung.




Stochastik

1. In einem Beutel befinden sich 10 grüne, 20 rote und 15 blaue Murmeln. Wie viele Murmeln müssen blind entnommen werden, um mit Sicherheit

a) 5 rote Murmeln gezogen zu haben? Begründe!

b) 5 gleichfarbige Murmeln gezogen zu haben? Begründe!


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Kombinieren

1. Ein Obsthändler verkauft an 3 Kunden alle seine Äpfel. Der erste Kunde kauft ein Viertel der Äpfel und noch 15 weitere. Der Zweite kauft von den übrigen Äpfeln ein Drittel und noch 20 weitere. Der Dritte kauft die Hälfte der übrigen Äpfel und noch 30 weitere. (Äpfel werden nicht geteilt)

a) Zeige, dass der Obsthändler zu Beginn weder 150 noch 200 Äpfel hatte.

b) Wie viele Äpfel hat jeder Kunde gekauft und wie viele hatte der Händler insgesamt?

2. Die vier Geschwister Andreas, Franz, Claudia und Linda gehen Schwimmen. Dabei schwimmen sie um die Wette, und es ergibt sich eine eindeutige Platzierung. Anschließend machen sie folgende Aussagen:

A: „Ich kann mich noch um mindestens 2 Plätze verbessern“

F: „Nach der Summe der Platzierungen haben die Jungen gewonnen“

C: „Ich habe es nicht geschafft, besser als Franz zu sein“

L: „Ich habe eine schlechtere Platzierung als Claudia“

Ist es möglich, aus diesen Aussagen die Platzierung zu bestimmen?

Wenn ja, gib sie vom 1. bis zum 4. Platz an.

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3. Gegeben sind 9 Dominosteine

a) Ordne die neun Steine so an, dass die Summe der Augenzahlen in allen drei Senkrechten und den beiden Diagonalen 15 ergibt. Gib eine solche Anordnung an.

b) Ordne die neun Steine so an, dass die Summe der Augenzahlen in allen drei Senkrechten, Waagerechten und den beiden Diagonalen 15 ergibt.

Finde alle Möglichkeiten und weise nach, dass es keine weiteren gibt.

Aufgabe 1. angelehnt an den ARW 1998, 4. Aufgabe des 1. Teils



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Magische Quadrate

Ein Quadrat, in das man aus einer Reihe von Zahlen jede einmal so einsetzen kann, dass alle Zeilen, Spalten und Diagonalen die gleiche Summe ergeben, nennt man „Magisches Quadrat“.

1. Setze in ein Quadrat bestehend aus 3x3 Feldern die Zahlen 5 bis 13 so ein, dass die Summen der Spalten, Zeilen und Diagonalen 27 ergeben.

2. Erstelle ein magisches Quadrat aus 3x3 Feldern mit den Zahlen 1-9

3. Untersuche ob es möglich ist die Buchstaben so durch die Zahlen von 0-9 zu ersetzen, dass ein magisches Quadrat für die Zahl 100 entsteht. (gleicher Buchstabe = gleiche Ziffer)

be ae ag fcaf fd bc fgff ff ag ffac fe bc fd

4. Vervollständige das gegebene magische Quadrat mit den Zahlen 1-16.

Untersuche, ob es mehrere Lösungen gibt.

4 1512 7 6

8 11




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Zahlenrätsel

1. Eine gedachte Zahl wird mit 8 multipliziert, zu 48 addiert, durch 32 dividiert, mit 2 wieder multipliziert und davon 4 subtrahiert, sodass sie 0 ergibt. Ermittle die gedachte Zahl.

2. Symmetrische Zahlen sind Zahlen, die sowohl vorwärts als auch rückwärts gelesen gleich sind (z.B. 9119; 12321).

a) Gib die größte und die kleinste dreistellige symmetrische Zahl an und ermittle anschließend die Menge aller dreistelligen symmetrischen Zahlen.

b) 29892 ist eine fünfstellige symmetrische Zahl. Gib die beiden folgenden symmetrischen Zahlen an.

c) Zeige anhand (mindestens) eines geeigneten Beispiels, dass es in einer Folge von 11 dreistelligen Zahlen (mindestens) eine symmetrische Zahl gibt.

d) Überprüfe dieses Verhältnis für vier- und fünfstellige Zahlen und gib die nötige Mindestlänge für ihre jeweiligen Zahlenfolgen an.

Aufgabe 1. angelehnt an den ARW 1996, 5. Aufgabe des 1. Teils; leicht abgeändertAufgabe 2. angelehnt an den ARW 1997, 2. Aufgabe des 1. Teils; abgeändert

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Geometrie

1. Abbildung A1 bestehts 5 Dreiecken und 2 Vierecken.

a) Erstelle aus den 7 Teilfiguren ein Quadrat und fertige eine Zeichnung an.

b) Untersuche, ob es möglich ist aus den 7 Teilfiguren ein Rechteck zu bilden, das kein Quadrat ist.

2. Gegeben sind 9 Quadrate. Diese sollen so angeordnet werden, dass daraus ein Rechteck entsteht. Fertige als Lösung eine Zeichnung an.

1. 72 mm 2. 60 mm 3. 56 mm 4. 40 mm 5. 36 mm

6. 32 mm 7. 28 mm 8. 16 mm 9. 4 mm

3. Bei einem Spiel schneiden zwei Spieler abwechselnd Abschnitte aus einem Quadrat mit n x n Feldern. Dabei wählt man ein Feld und entfernt alle weiteren Felder, die rechts oder oberhalb davon liegen und alle Felder, die in diesem Bereich eingeschlossen sind. Verloren hat der Spieler, der das letzte Feld entnehmen muss.

Die rechte Abbildung zeigt ein Spiel nach zwei Zügen von Rot und einem Zug von Blau. Finde eine Strategie, mit der der beginnende Spieler immer gewinnt.


Aufgabe 2. angelehnt an den ARW 1994, 2. Aufgabe des 1. Teils;


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Lösungen Stufe 1: Multiplizieren und Dividieren

1. Zuerst berechnet man, wie viele Bücher eine Buchbinderei am Tag bearbeiten kann:

1500 : 12 = 125 1500 : 15 = 100 1500 : 20 = 75

Anschließend addiert man diese Zahlen, um herauszufinden, wie viele Bücher von allen Drei zusammen an einem Tag bearbeitet werden:

125 + 100 + 75 = 300

Damit kann jetzt die benötigte Anzahl an Tagen berechnet werden:

1500 : 300 = 5

Die Buchbindereien benötigen 5 Tage, um alle Bücher neu einzubinden.

2. a) Da Heinrich am Tag 10 Kilometer zurücklegt und 52 Tage lang reist, ist die Strecke 520 Kilometer lang 10 52 = 520∙

Da Konstantin 13 Kilometer pro Tag zurücklegt, errechnet sich seine Reisezeit mit 520 : 13 = 40

b)

Tage 1/10 6/15 11/20 16/25 21/30 26/35 28/37 29/38 30/39K 13 78 143 208 273 338 364 377 390H 100 150 200 250 300 350 370 380 390

Sie Treffen sich nach 30 Tagen (Konstantin), bzw. 39 Tagen (Heinrich)

c) Da Heinrich 9 Tage früher startet, werden diese 9 Tage von seiner gesamten Reisezeit abgezogen 52 – 9 = 43

Jetzt sieht man, dass Trotz der 9 Tage Vorsprung, Heinrich 3 Tage länger unterwegs ist als Konstantin. 43 – 40 = 3

Daraus erschließt sich, dass Konstantin mit 3 10 also ∙ 30 Kilometern Vorsprung in Rom ankommt.

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d) Aufgrund des Umweges und Heinrichs Vorsprung von 9 Tagen muss Konstantin in 30 Tagen 10 39 + 75 = 465 Kilometer∙ zurücklegen, um seinen Bruder in der gewünschten Zeit einzuholen.

465 : 30 = 15,5

Konstantin muss also 15,5 Kilometer am Tag zurücklegen.

3. a) 4 4 + 3,5 4 + 1 = 16 + 14 + 1 = 31∙ ∙A: Die Vögel saßen zu Beginn 31 cm voneinander entfernt

x 1 2 3 4x 11∙ 11 22 33 44

b) 36 – x ( 4 + 2 3,5) = 36 – x 11∙ ∙ ∙ x = Anzahl der Sprünge der Meise

36 – 33 = 3A: Die Vögel sitzen 3 cm voneinander entfernt

c) A: Die einzige passende Lösung ist, dass der Spatz achtmal und die Meise dreimal springt, da die Anzahl der Sprünge des Spatzen höher sein muss als die der Meise

Sprünge Spatz Strecke Spatz Sprünge Meise Strecke Meise Summe0 0 10 40 401 3,5 9 36 39,52 7 8 32 393 10,5 7 28 38,54 14 6 24 385 17,5 5 20 37,56 21 4 16 378 28 3 12 409 31,5 2 8 39,5

10 35 1 4 3911 38,5 0 0 38,5

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Lösungen Stufe 1: Umrechnungen

1. a) I. 40 : 5 = 8 8 4 = 32∙ II. 32 : 8 = 4 4 11 = 44∙III. 44 : 11 = 4 4 14 = 56∙ IV. 56 : 7 = 8 8 8 = ∙ 64

I. Rappen Straßburger II. Straßburger Württemberger

III. Württemberger Augsburger IV. Augsburger Wiener

b) 15 : 5 = 3 3 4 = 12∙ 12 : 3 = 4 4 13 = 52∙Das Angebot des zweiten Händlers ist billiger.

2. a) 345 16 = 5520∙(5520 + 5) 4 = ∙ 22100

22100 : 3040 = 7 Groschen Rest = 820 Quent

b)

Gulden Masse Gulden Übriges Silber Groschen0 0 22100 /1 3860 18240 62 7720 14380 /3 11580 10520 /4 15440 6660 /5 19300 2800 /

1 Gulden und 6 Groschen sind die einzige mögliche Lösung.

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3. a) 2 22 = 44∙ (13 20) + 10 = 270∙ 44 270 = 11880∙Der Händler zahlte 11880 Schilling bzw. 594 rheinische Gulden.

b) Ein Tuchballen kostet 270 Schilling.

26000 : 10 = 2600 2600 : 270 = 9 Rest: 17

Man kann mit 26000 Hellern 9 Tuchballen kaufen.

c) Stoff: 594 Gulden + Zoll: 34 Gulden = Ausgaben: 628 Gulden

44 18 = 792∙ 90 rheinische Gulden = 108 ungarische Gulden

108 und 90 sind beides Vielfache von 3.

90 : 9 = 10 108 : 9 = 12 792 : 12 = 66 66 10 = ∙ 660

Gewinn: 660 rhein. Gulden – 628 rhein. Gulden = 32 rhein. Gulden

Lösungen Stufe 1: Stochastik

1. a) Da 20 rote und 25 andere Murmeln im Beutel sind, müssen,um mit Sicherheit 5 rote Murmeln zu ziehen 25 + 5 = 30 Murmeln gezogen werden

b) Da man im ungünstigsten Fall bei jedem Zug eine andere der drei Farben zieht, also eine rote, eine blaue und eine grüne Murmel nach drei Zügen und folglich 2 rote, 2 blaue und 2 grüne Murmeln nach 6 Zügen hat, muss man nach 12 Zügen, wenn man 4 Murmeln jeder Farbe gezogen hat, noch eine weitere Murmel beliebiger Farbe ziehen, um 5 gleiche Murmeln zu haben. Damit benötigt man insgesamt 13 Züge.

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Lösungen Stufe 1: Kombinieren

1. a) Nach den Vorgaben ist 150 nicht durch 4 teilbar.

Für 200 Äpfel gilt:

1. Kunde: 200 : 4 + 15 = 65 200 – 65 = 135

2. Kunde: 135 : 3 + 20 = 65 135 – 65 = 70

3. Kunde 70 : 2 + 30 = 65 70 – 65 = 5

Folglich hatte der Händler keine 200 Äpfel, da er laut Angabe alle verkauft hat.

b) Da der 3. Kunde alle übrigen Äpfel, jedoch erst die Hälfte dieser und dann 30 weitere gekauft hat, muss der Händler nach dem 2. Kunden 30 2 = 60 Äpfel∙ übriggehabt haben. Die Aufgabe lässt sich ab diesem Punkt sowohl mit einer Tabelle, als auch mit systematischem Überlegen lösen. Bei der Tabelle sucht man die richtige Kombination aus der Kaufmenge des 1. Und des 2. Kunden.Eine Lösungsmöglichkeit, die durch Überlegen erreicht werden kann, wird hier erläutert:

Da der zweite Kunde ein Drittel und 20 weitere Äpfel gekauft hat, können wir davon ausgehen, dass 60 + 20 zwei Dritteln der vorherigen Anzahl der Äpfel entsprechen. Da wir ein Drittel dieser vorherigen Anzahl suchen, ergibt sich: 80 : 2 = 40 entspricht einem Drittel der Vorherigen Menge.

80 + 40 = 120 120 – 60 = 60

Daraus folgt: Der 2. Kunde hat ebenfalls 60 Äpfel gekauft.

Der Dritte Kunde hat ein Viertel + 15 Der Ursprünglichen Menge an Äpfeln gekauft. Daraus folgt, dass 120 + 15 = 135 drei Viertel der Gesamtmenge an Äpfeln entspricht. Folglich ist die Gesamtmenge

135 : 3 = 45 135 + 45 = 180

Der Händler hatte zu Beginn 180 Äpfel.

Außerdem folgt daraus, dass der 1. Kunde 45 + 15 = 60 Äpfel gekauft hat.

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2. Aus den Aussagen ergibt sich, dass A nicht 1. oder 2. sein kann, A und F in der Summe ihrer Platzierungen 4 oder niedriger sein müssen (1 + 2 + 3 + 4 = 10; 10 : 2 = 5), C höchstens 2. ist und L folglich höchstens 3. sein kann. Daraus folgt: 1. F, 2. C, 3. A, 4. L

3. Zur Vereinfachung der Darstellung werden die Dominosteine nur noch mit ihrem Gesamtzahlenwert dargestellt.

a)

6 3 6

5 5 5

4 7 4

b) Es sei zu beachten, dass aufgrund der verschiedenen Verteilung der Augen auf den beiden Hälften des Dominosteines mehrere nichtidentische Steine mit dem gleichen Gesamtzahlenwert vorkommen. Durch Neuanordnung der Steine mit gleichem Zahlenwert können so weitere, den Anforderungen der Aufgabenstellung entsprechende Kombinationen erstellt werden, und zwar insgesamt 12, da es:

3 Steine mit Gesamtzahlenwert 5 gibt 6 Möglichkeiten



6 2 2 = 24∙ ∙Da jedoch alle Lösungsmöglichkeiten zur mittleren Spalte symmetrisch sind, bedeutet das für die Hälfte der 24 Möglichkeiten, dass sie durch Spiegelung aus einer anderen Lösung entstanden sind, und somit nicht als Lösung der Aufgabe gültig sind: 24 : 2 = 12 Somit gibt es nur 12 Lösungen.

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Lösungen Stufe 1: Magische Quadrate (Zahlenkombination)

1. Eine mögliche Lösung:

6 13 811 9 710 5 12

2. Alle Lösungen gehen durch Drehung oder Spiegelung auseinander hervor.

2 9 47 5 36 1 8

3.

a, b, c, d, e, f, g stehen für sieben der zehn Ziffern von 0-9

Spalte 4: fc + fg + ff + fd = 100 f = 2

Zeile 3: ff + ff + ag + ff = 66 + ag = 100 ag = 34 a = 3, g = 4

Spalte 3: ag + bc + ag + bc = 68 + 2 bc = 100 ∙ bc = 16 b = 1, c = 6

Spalte 4: fc + fg + ff + fd = 26 + 24 + 22 + fd = 100 fd = 28 d = 8

Zeile 4: ac + fe + bc + fd = 36 + fe + 16 + 28 = 100 fe = 20 e = 0

Die übrigen 4 Felder ergeben sich durch das Einsetzen der gefundenen Ziffern

10 30 34 2632 28 16 2422 22 34 2236 20 16 28

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4.

Di1 A B C D Di2a 4 15 /b 12 7 6 /c /d 8 11 /

Die Summe der Verfügbaren Zahlen beträgt (1+2+3+…+15+16=) 136.Da das Quadrat aus 4x4 Feldern besteht muss die Summe jeder Zeile, Spalte und Diagonalen (136: 4 =) 34 ergeben.

Di1 A B C D Di2a 1 14 4 15 /b 12 7 9 6 /c 13 2 /d 8 11 /

Zeile b: 12 + 7 + Cb + 6 = 34 Cb = 9Diagonale Di 2: 15 + 9 + Bc + 8 = 34 Bc = 2Spalte B: Ba + 7 + 2 + 11 = 34 Ba = 14Zeile a: Aa + 14 + 4 + 15 = 34 Aa = 1Spalte A: 1 + 12 + Ac + 8 = 34 Ac = 13Zeile c: 13 + 2 + Cc + Dc = 34 Cc + Dc = 19

Übrig: 3, 5, 10, 16 19 nur möglich als 16 + 3

Durch Ausprobieren: Cc = 16 Cd = 5 Dc = 3 Dd = 10

Es gibt keine weiteren Lösungen.

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Lösungen Stufe 1: Zahlenrätsel

1. ((((x 8) + 48) : 32) 2) – 4 = 0∙ ∙ (x steht für die gesuchte Zahl)

Umgekehrt: (0 + 4) : 2) 32) – 48) : 8 = x∙4 : 2 = 2 2 32 = 64 ∙ 64 – 48 = 16 16 : 8 = 2 x = 2

2. a) 101; 999; Alle dreistelligen symmetrischen Zahlen lassen sich als a b a angeben. Da die erste Stelle nicht 0 sein darf stehen für die erste und letzte Stelle die Ziffern von 1 bis 9 zur Verfügung. Für b gilt diese Begrenzung nicht, weshalb die Ziffern 0 bis 9 verwendet werde können. Somit ergeben sich für a 9 Möglichkeiten und für b 10, insgesamt also 9 10 = 90∙ dreistellige symmetrische Zahlen.

b) 29992; 30003;

c) 102, 103, …, 110, 111, 112 (nötige Mindestlänge der Zahlenfolge: 10)

192, 193, …, 200, 201, 202 (nötige Mindestlänge der Zahlenfolge: 11)

d) 1002, 1003, …, 1012 Zahlenfolge muss länger als 11 sein

Überlegung: Zahlenfolge für dreistellige Zahlen 11 (2 Stellen)Zahlenfolge für vierstellige Zahlen 110/111? (3 Stellen)

1002, 1003, …, 1110, 1111 (nötige Mindestlänge der Zahlenfolge: 110)

10002, 10003, …, 10101 (nötige Mindestlänge der Zahlenfolge: 99)

11012, …, 11111 (nötige Mindestlänge der Zahlenfolge: 99)

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Lösungen Stufe 1: Geometrie

1. Die angegebenen Lösungen sind nicht die einzigen Möglichkeiten.

a) b)

2. Die angegebene Lösung ist eine Möglichkeit.

3. Der beginnende Spieler (hier Rot) muss zuerst das das gesamte Feld bis auf eine Zeile und eine Spalte entfernen. Anschließend kontert er jeden Zug des zweiten Spielers (hier Blau), indem er ihn an der Diagonalen des Spielfeldes spiegelt. Auf diese Weise gewinnt der beginnende Spieler immer.

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Stufe 2Umrechnungen

1. Auf einem Markt werden Stoffballen verkauft. Dabei kosten 8 Ballen 13 Gulden und 11 Groschen. 2 Gulden entsprechen 42 Groschen und 5 Groschen entsprechen 60 Pfennigen. Wie viel kosten 14 Stoffballen? Gib den Preis mit möglichst wenigen Münzen an.

2. Die Abbildung zeigt eine quadratische Fläche, die in alten deutschen Einheiten berechnet werden soll. Dabei entspricht 1 Acker 2 Scheffeln und 1 Scheffel 144 Quadrat-Ruten. Eine Rute hat die Länge 4,5 Meter, eine Quadrat-Rute ist ein Quadrat mit der Seitenlänge einer Rute. Für die Strecken zwischen den Punkten gilt: AB = BC = AD = DE

a) Ermittle die Größe der Fläche in Quadrat-Ruten

b) Berechne die Seitenlänge der Fläche in Metern

c) Auf der Fläche wird ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 27 Metern bebaut. Gib die Fläche in Quadrat-Ruten an.

3. Zwei Autos A und B starten gemeinsam zu einem 82 Kilometer entfernten Ort. A legt dabei jede Sekunde 25 Meter zurück. B kommt 12 Minuten nach A an. Wie viele Meter hat B pro Sekunde zurückgelegt?




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Zahlenkombination

1. Nebenstehende Abbildung zeigt ein Dreieck, bestehend aus 4 Teildreiecken und 6 Kreisen. In jeden Kreis soll eine Ziffer von 1 bis 6 jeweils einmal eingetragen werden.

a) Finde eine Variante, bei der die Summe der Zahlen an jedem der drei weißen Dreiecke 10 beträgt.

b) Finde eine Variante, die folgende Bedingungen erfüllt:

(1) Die Summe der Zahlen der weißen Dreiecke ist

(2) Die Summe der Zahlen an jeder Seite des großen Dreiecks ist gleich groß und möglichst klein.

2. Zwei Kutschen fahren auf der 120 Kilometer langen Strecke Annaberg – Leipzig aufeinander zu. Eine der Kutschen ist ein Zweispänner, der in Annaberg startet, die andere ein Vierspänner, der in Leipzig eine Stunde nach dem Zweispänner losfährt. Da er aber doppelt so schnell ist kommt er 3 Stunden vor dem Zweispänner an seinem Zielort Annaberg an.

a) Wie schnell fahren die beiden Kutschen?

b) Nebenstehende Abbildung zeigt die Reihenfolge der Orte auf der Fahrstrecke der beiden Kutschen und ihre Distanz von Annaberg in Kilometern. In welchem Ort treffen sich die beiden Kutschen?

c) Man kann die Kutschen bereits aus einer Distanz von 4,5 Kilometern hören. Wie lange hören sich die beiden Kutscher? Gib die Zeit in Minuten an.

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3. Die Abbildung zeigt eine Anordnung von 3 Reihen und 3 Spalten. Die 8 Felder sollen nach folgenden Bedingungen mit natürlichen Zahlen, die größer als Null sind, belegt werden.

(1) Es werden höchstens zwei verschiedene Zahlen verwendet.

(2) Die Summe der Zahlen in jeder Reihe und Spalte ist gleich (Reihensumme).

(3) Alle Eckfelder enthalten die gleiche Zahl.

a) Fülle die Felder so mit den Zahlen 2 und 3, dass die Reihensumme 7 und die Gesamtsumme 20 beträgt. Zeige, dass es nur eine Lösung gibt.

b) Nebenstehende Abbildung zeigt eine Anordnung mit der Reihensumme 11 und der Gesamtsumme 32. Gib eine weitere Anordnung mit der Reihensumme 11 an. Ermittle die größtmögliche Gesamtsumme für eine Anordnung mit der Reihensumme 11. Ermittle alle möglichen Anordnungen mit der Reihensumme 11.

c) „Wenn die Reihensumme und die Gesamtsumme gegeben sind, ist die Lösung eindeutig.“ Überprüfe diese Aussage.

Aufgabe 1. angelehnt an den ARW 1994, 3.2. Aufgabe des 2. Teils;



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Zahlenrätsel

1. Eine Person sagt: „Wenn ich noch einmal so alt wäre wie ich gerade bin und um die Hälfte älter und um ein Viertel älter, dann wäre ich nächstes Jahr 100 Jahre alt.“ Wie alt ist die Person? (Hälfte und Viertel beziehen sich auf das anfängliche Alter).

2. In die Klassen 5a, 5b, 5c und 5d einer Schule gehen 65 Schüler. In der Pause gehen manche Schüler in das Zimmer einer anderen Klasse:

- 8 Schüler der 5a gehen in das Zimmer der 5b

- 10 Schüler der 5b gehen in das Zimmer der 5d und 3 in das der 5c

- 3 Schüler der 5c gehen in das Zimmer der 5a

- 5 Schüler der 5d gehen in das Zimmer der 5b

Am Ende sind im Klassenzimmer der 5a genauso viele Schüler wie in dem der 5b, im Zimmer der 5c sind so viele wie in dem der 5a und 5b gemeinsam und im Zimmer der 5d sind 5 Schüler mehr als in dem der 5c. Wie viele Schüler befinden sich jetzt in jedem Klassenzimmer, und wie viele Schüler gehören zu den einzelnen Klassen?

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3. Bei einer Menge von Münzen ist immer mindestens eine Gefälschte dabei. Alle gefälschten Münzen haben die gleiche Masse, wiegen aber weniger als echte Münzen. Mit einer Vergleichswaage sollen die gefälschten Münzen bestimmt werden.

a) Es sind drei Münzen gegeben, von denen eine gefälscht ist. Wie kann man mit nur einer Wägung die gefälschte Münze ermitteln?

b) Gegeben sind neun Münzen, eine davon ist gefälscht. Ermittle die Gefälschte mit möglichst wenig Wägungen.

c) Gegeben sind acht Münzen, eine davon ist gefälscht. Überprüfe folgende Aussagen:

1. „Wenn die Münzen nach jeder Wägung gleich auf beide Seiten aufgeteilt werden kann die Gefälschte mit drei Messungen bestimmt werden.“

2. „Es ist auch mit weniger als drei Messungen möglich, die gefälschte Münze eindeutig zu bestimmen.“

d) Unter acht Münzen befinden sich drei Gefälschte. Insgesamt wiegen die Münzen 360g. Wenn auf eine Seite der Waage drei echt Münzen und auf die andere Seite alle übrigen Münzen gelegt werden, ist die Waage im Gleichgewicht. Berechne das Gewicht einer echten und einer falschen Münze.

e) Bestimme die maximale Anzahl an Münzen mit einer Gefälschten, aus der man mit fünf Wägungen die Gefälschte herausfinden kann.




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Geometrie

1. Ein Quadrat mit der Seitenlänge 40 cm ist in 16 gleich große kleine Quadrate unterteilt. Nebenstehende Abbildung zeigt eine markierte Fläche aus sechs kleinen Quadraten. (Alle Flächen müssen zusammenhängend sein. Nur wenn sich die Seiten von zwei Quadraten berühren zählt ihre Fläche als zusammenhängend).

a) Bestimme den Umfang der Fläche (Umfang ist die Länge aller Außenseiten der Figur).

b) Zeichne eine Fläche aus acht der kleinen Quadrate mit dem Umfang 140 cm im Maßstab 1:10.

c) Zeichne eine Fläche aus neun der kleinen Quadrate mit einem Umfang von 140 cm im Maßstab 1:10. Gib alle möglichen Umfangslängen für Flächen aus 9 kleinen Quadraten an.

2. Quadratische Fliesen mit der Seitenlänge 20 cm werden auf beliebigen rechteckigen Flächen in Zeilen und Spalten verlegt. Zwischen zwei Fliesen wird immer eine Fuge von einem Centimeter Breite frei gelassen.

a) In einem Raum mit 335 cm Länge und 230 cm Breite wurden Fliesen verlegt. Berechne die Anzahl der Fliesen, die dafür benötigt wurden.

b) In einem anderen Raum sollen 8 Zeilen und 12 Spalten Fliesen verlegt werden. Berechne die Fläche des Raumes, die von Fugen eingenommen wird, in c m2 .

c) Gegeben ist eine Fläche, von der 816 c m2 von Fugen eingenommen werden. Überprüfe folgende Aussagen:

I. „Wenn die gegebene Fläche quadratisch ist, lässt sich die Anzahl der Fliesen eindeutig ermitteln.“

II. „Wenn die gegebene Fläche genau fünf Zeilen Fliesen hat, lässt sich die Anzahl der Fliesen ebenfalls eindeutig ermitteln.“


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Lösungen Stufe 2: Umrechnungen

1. 1 Gulden = 21 Groschen 1 Groschen = 12 Pfennige (60 : 5 = 12)

Für 8 Stoffballen gilt:

13 ∙ 21 = 273 273 + 11 = 284 284 ∙ 12 = 3408 Pfennige

3408 : 8 = 426 Ein Stoffballen kostet 426 Pfennige (2 kosten 852)

426 ∙14 = 5964 14 Stoffballen kosten 5964 Pfennige

5964 : 12 = 497 497 : 21 = 23 Gulden und 14 Groschen

2. a) 2 Acker = 4 Scheffel = (144 ∙ 4 =) 576 Quadrat-Ruten

b) 144 = 12 ∙ 12 Ein Scheffel hat die Seitenlänge 12 Ruten. Da die quadratische Fläche 4 Scheffel misst, ist eine Seite 24 Ruten lang.

24 ∙ 4,5 = 108

Die Fläche hat eine Seitenlänge von 108 Metern.

c) 27 : 4,5 = 6 6 ∙ 6 = 36 Die Fläche misst 36 Quadrat-Ruten

3. 82 Kilometer entsprechen 82000 Metern. 82000 : 25 = 3280

12 Minuten entsprechen (12 ∙ 60 =) 720 Sekunden.

3280 + 720 = 4000 Sekunden

82000 : 4000 = 20,5 Meter pro Sekunde

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Lösungen Stufe 2: Zahlenkombination

1. a) b)

2. a) Der Vierspänner fährt eine Stunde später los und kommt 3 Stunden früher an. Insgesamt benötigt er also 4 Stunden weniger für die gesamte Strecke. Da er doppelt so schnell wie der Zweispänner fährt muss für diesen die Fahrzeit 8 Stunden betragen. 120 : 8 = 15 Folglich fährt der Zweispänner mit 15 Kilometern pro Stunde und der Vierspänner mit der doppelten Geschwindigkeit, also 30 km/h.

b) Da der Zweispänner eine Stunde früher losfährt, hat er einen Vorsprung von 15 Kilometern. Da der Vierspänner die doppelte Geschwindigkeit hat, legt er von der verbleibenden Strecke bis zum Treffen der beiden Kutschen doppelt so viele Kilometer zurück.

120 – 15 = 105 105 : 3 = 35 35 ∙ 2 = 70

120 – 70 = 50 / 15 + 35 = 50

Die beiden Kutschen treffen sich in Katze

c) Da die beiden Kutschen in entgegengesetzte Richtungen fahren, werden ihre Geschwindigkeiten addiert. 15 + 30 = 45 km/hDie Kutschen bewegen sich mit 45 km/h aufeinander zu. Da sie sich sowohl wenn sie aufeinander zu fahren, als auch wenn sie sich voneinander entfernen hören können, hören sie sich über eine Strecke von (4,5 ∙ 2 =) 9 Kilometern. Eine Stunde hat 60 Minuten und die Kutschen legen zusammen 45 Kilometer in dieser Zeit zurück.

45 : 9 = 5 60 : 5 = 12

Die Kutscher können einander 12 Minuten lang hören.

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3. a) Um die Reihensumme 7 zu erhalten muss die 2 in die Ecke gesetzt werden. Auch alle anderen Bedingungen werden von dieser Anordnung erfüllt. Sie ist somit die einzige Lösung.

b) Die nebenstehende Anordnung ist sowohl eine mögliche Lösung, als auch die Lösung mit der größten Gesamtsumme (40).

Insgesamt gibt es 5 Anordnungen mit der Reihensumme 11. Die drei übrigen sind Folgende:

c) Die Gesamtsumme(g) setzt sich aus viermal der Zahl in den Eckfeldern(e) plus viermal der Zahl in den mittleren Feldern(m) zusammen. (I) = g = 4 ∙ e + 4 ∙ m

Alternativ kann man die Gesamtsumme auch durch zweimal die Reihensumme(r) und zweimal die Zahl in (m) darstellen. (II) = g = 2 ∙ r + 2 ∙ m

Die Reihensumme(r) selbst setzt sich aus zweimal (e) und einmal (m) zusammen. (III) = r = 2 ∙ e + 1 ∙ m

Wenn (r) und (g) gegeben sind, gibt es für (m) bei (II) nur eine mögliche Lösung. Wenn (m) bekannt ist kann (e) wahlweise durch (I) oder (III) bestimmt werden. Somit gibt es, wenn (r) und (g) angegeben sind nur eine mögliche Lösung und die Aussage ist wahr.

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Lösungen Stufe 2: Zahlenrätsel

1. Die Person ist am Ende 99 Jahre alt. Ein Lösungsweg ist es die kleinste Vervielfachung des Ausgangsalters zu betrachten, welche ein Viertel ist. Man Multipliziert also die Vervielfachungen mit 4, da ein Viertel die kleinste Vervielfachung des Ausgangsalters im Rätsel ist und addiert diese Werte dann. Daraus ergibt sich:

4 + 4 + 2 + 1 = 11 99 : 11 = 9 9 ∙ 4 = 36

Die Person ist 36 Jahre alt. (es sind auch andere Lösungswege möglich)

2. 5a: a – 8 + 3 = a – 5 5a wird um 5 Schüler kleiner

5b: b – 10 – 3 + 8 + 5 = b – 13 + 13 = b 5b verändert sich nicht

5c: c – 3 + 3 = c 5c verändert sich nicht

5d: d – 5 + 10 = d + 5 5d wird um 5 Schüler größer

Da am Ende im Zimmer der Klasse 5a genauso viele Schüler wie in dem der 5b sind, gilt b = a – 5

Da im Zimmer der 5c so viele Schüler wie in denen von 5a und 5b gemeinsam sind, gilt c = b + a – 5 / c = 2 ∙ b

Da im Zimmer der 5d fünf Schüler mehr als in dem der 5c sind, gilt

d = c + 5

(a, b, c und d bezeichnen die Größe der Klassen im Normalzustand)

Daraus schließt sich, dass sich im Zimmer der 5b die wenigsten Schüler aufhalten. Es wird bestimmt, wie viel mehr Schüler als im Zimmer der 5b sich in den anderen Zimmern befinden. (Für die Darstellung der Schüler in den Klassenzimmern werden A, B, C und D verwendet.)

B = B C = 2 ∙ B A = B D = C + 5 = 2 ∙ B + 5

1 ∙ B + 2 ∙ B + 1 ∙ B + 2 ∙ B + 5 = 6 ∙ B + 5

6 ∙ B + 5 = 65 6 ∙ B = 60 B = 10

A = 10 a = 15B = b = 10 C = c = 20D = 25 d = 20

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3. a) In jede Waagschale wird eine Münze gelegt. Ist die Waage im Gleichgewicht, ist die übrige Münze gefälscht, ansonsten die leichtere der beiden Münzen auf der Waage.

b) Zwei Wägungen werden benötigt. Zuerst mit jeweils drei Münzen pro Seite, dann analog zu a) eine weitere Wägung mit den Münzen, die auf der leichteren Seite waren oder denen, die sich nicht auf der Waage befanden.

c) 1. Bei der ersten Messung liegen vier Münzen auf jeder Seite, bei der zweiten zwei und bei der dritten eine. Die Aussage ist wahr.

2. Auf jede Seite werden drei Münzen gelegt. Anschließend werden analog zu a) entweder die Münzen auf der leichteren Seite gewogen, oder auf jede Seite kommt eine der beiden zuvor nicht gewogenen Münzen. Die Aussage ist ebenfalls wahr.

d) Drei echte Münzen halten sich mit zwei Echten und drei Gefälschten die Waage. Also entspricht das Gewicht einer echten Münze drei Gefälschten. Wenn man das Gewicht aller Münzen in gefälschte Münzen umrechnet, kommt man auf (5 ∙ 3 + 3 =) 18 mal die Masse einer gefälschten Münze. 360g : 18 = 20g

Eine gefälschte Münze wiegt 20 g 360g – 3 ∙ 20g = 300g

Eine echte Münze wiegt 60g 300g : 5 = 60g

e) Mit einer Wägung kann man die gefälschte Münze aus maximal drei Münzen herausfinden.

Mit zwei Wägungen aus maximal neun Münzen

Vermutung: Mit jeder Messung verdreifacht sich die maximale Anzahl an Münzen, aus der eine Gefälschte genau bestimmt werden kann.

Überprüfung anhand von 9 ∙ 3 = 27: mit 28 Münzen hat man im schlechtesten Fall bei der dritten Messung immer noch zwei Münzen übrig, die nicht bestimmt wurden. Bei 27 Münzen hingegen funktioniert die Bestimmung in drei Messungen immer.

27 ∙ 3 = 81 81 3 = ∙ 243

4. Wägung 5. Wägung

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Lösungen Stufe 2: Geometrie

1. Da das Quadrat mit 40 cm Seitenlänge in 16 gleich große kleine Quadrate unterteilt ist, hat jede Seite des großen Quadrates die Seitenlänge einer Reihe aus vier kleinen Quadraten.

40 cm : 4 = 10 cm

Ein kleines Quadrat hat die Seitenlänge 10 cm

a) Durch das Zählen der Außenseiten der kleinen Quadrate, aus denen die Fläche besteht, kommt man auf 12 Seiten.

12 10 cm = 120 cm∙b) Rotationen und Spiegelungen dieser Fläche sind

ebenfalls Lösungen

c) Die gegebene Fläche hat einen Umfang von 140 cm. Die übrigen möglichen Flächen haben 120 cm, 160 cm, 180 cm und 200 cm als jeweiligen Umfang

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2. a) Jede Fliese benötigt zusammen mit einer Fuge 21 cm Platz. Da die äußersten Fliesen keine Fuge zum Rand der Gesamtfläche haben, benötigt die letzte Fliese in jeder Zeile/Spalte nur 20 cm. Folglich müssen von der Länge/Breite der Gesamtfläche 20 cm abgezogen werden, und das Ergebnis anschließend durch 21 cm geteilt werden.

335 cm – 20 cm = 315 cm 230 cm – 20 cm = 210 cm

315 cm : 21 cm = 15 210 cm : 21 cm = 10

Für die gesamte Fläche werden also (15 10 =) ∙ 150 Fliesen benötigt

b) Da 8 Zeilen verlegt werden, müssen sich folglich in jeder Spalte 8 Fliesen befinden. Umgekehrt müssen sich bei 12 Spalten in jeder Zeile 12 Fliesen befinden. Da an den Rändern der Fläche entlang keine Fugen verlaufen, bedeutet das für jede Zeile/Spalte eine Fuge weniger, als sich darin Fliesen befinden. Somit sind in jeder Spalte 7 und in jeder Zeile 11 Fugen zu finden. Jede Fuge ist 1 cm breit und misst entlang jeder Fliese 20 cm. An Fugen gibt es also in jeder Zeile/Spalte:

11 20 ∙ c m2 = 220 c m2 / 7 20 ∙ c m2= 140 c m2

Insgesamt gibt es in allen Zeilen/Spalten an Fugen insgesamt:

220 c m2 8 = ∙ 1760 c m2 / 140 c m2 12 = ∙ 1680 c m2

Zusätzlich müssen auch die Flächen, die zwischen den Fugen der Zeilen und den Fugen der Spalten liegen hinzugefügt werden. Bei 11 Fugen pro Zeile und 7 Fugen pro Spalte kommt man auf (7 11 =) ∙ 77 c m2 solcher Flächen. Die Summe aller Fugenflächen beträgt folglich:

1760 c m2 + 1680 c m2 + 77 c m2 = 3517 c m2

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c) Wenn die Fläche quadratisch ist, muss die Anzahl der Fugen in den Zeilen gleich der Anzahl der Fugen in den Spalten sein. Da die Fugenfläche in einer Zeile/Spalte 20 c m2mal der Anzahl der Fliesen minus eins beträgt, berechnet sich Fläche aller Fugen in den Zeilen/Spalten, indem man die Fugenfläche in einer Zeile/Spalte mit der Anzahl der Spalten/Zeilen multipliziert. Anschließend addiert man das Produkt aus der Anzahl der Zeilen – 1 und der Anzahl der Spalten – 1.

Für Aussage I. lautet die Formel also:2 ∙(( z−1 ) ∙20 ∙ z)+(z−1) ∙(z−1)

Für die Fugenfläche einer quadratischen Fläche ergibt sich folgende Tabelle:

Anzahl der Zeilen/Spalten (z) Fugenfläche2 813 2444 4895 816

Die Formel für Aussage II. lautet folglich:( (5−1 ) ∙20 ∙ s )+ ( (s−1 ) ∙20 ∙5 )+(5−1)∙(s−1)

Ff Zeilen Ff Spalten Zeilen – 1 mal Spalten – 1

Wenn 5 Zeilen vorgegeben sind, ergibt sich folgende Tabelle:

Anzahl der Spalten (s) Fugenfläche2 2643 4484 6325 816

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