Wechselstrom I: Temperaturabhängigkeit des elektrischen ... · PW 10 Wechselstrom I:...

PW 10

Wechselstrom I:

Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes,

Transformator

Version vom 30. August 2017

Inhaltsverzeichnis

1 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes 1

1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Begrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Allgemeines zur elektrischen Leitfähigkeit in Festkörpern und Flüs-

sigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4 Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Versuchsaufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Hinweise zu Protokoll und Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Transformator 12

2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.1 Begrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.2 Beschreibung von Transformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.3 Unbelasteter Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.4 Belasteter Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.5 Realer Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Versuchsaufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Hinweise zur Protokollierung und Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Empfohlene Zusatzliteratur 16

PW 10 1 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes

Lehr/Lernziele

• Kenntnisse der Abhängigkeit des elektrischen Widerstandes von der Temperatur er-werben.

• Verstehen und Anwenden der mathematischen Modelle zur Beschreibung der Tem-peraturabhängigkeit elektrischer Widerstände.

• Verstehen und Anwenden diverser Messanordnungen und -schaltungen.

• Vertiefung des Wissens über die elektrischen Leitungsmechanismen in verschiedenenLeitern wie Halbleitern, Metallen und Elektrolyten.

• Überblick über die Eigenschaften von Halbleitern, insbesondere der Bedeutung derBandlücke erwerben.

1 Temperaturabhängigkeit des elektrischen

Widerstandes

1.1 Grundlagen

1.1.1 Begrie

Grundlagen der Halbleiterphysik (Bandlücke, Fermienergie, elektrische Leitfähigkeit), NTC,PTC, Temperaturabhängigkeit von Leitfähigkeit bzw. Widerstand, Elektrolyte, Anionenund Kationen, Dissoziation, Beweglichkeit von Ladungsträgern.

1.1.2 Allgemeines zur elektrischen Leitfähigkeit in Festkörpern und Flüssigkeiten

Die elektrischen Eigenschaften von Stoen werden ganz wesentlich durch die Wirkung derin ihnen vorkommenden Elektronen bestimmt. Voraussetzung für das Flieÿen eines elektri-schen Stromes ist in jedem Fall das Vorhandensein von frei beweglichen Ladungsträgern,also Ladungsträgern, die sich unter dem Einuss eines elektrischen Feldes innerhalb desStoes bewegen können.

Der Widerstand eines elektrischen Leiters ist von seinen Dimensionen und seiner elektro-nischen Beschaenheit abhängig. Der ohmsche Widerstand R wird nach

R = ρl

A(1)

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Abbildung 1: Prinzipieller Verlauf der Konzentrationsabhaengigkeit der Leitfähigkeit(hier mit κ bezeichnet!) bei konstanter Temperatur.

berechnet, worin l die Länge, A der Querschnitt und ρ der spezische Widerstand desLeiters sind. Gl. 1 gilt für lange Proben, deren Längen wesentlich gröÿer sind als dieQuerdimensionen. Bei komplizierteren Geometrien steht anstelle von l/A ein allgemeinerGeometriefaktor, den man bei Elektrolyten meist konventionell festlegt (siehe unten). DerLeitwert ist der Reziprokwert des Widerstandes. Dem spezischen Widerstand ρ entsprichtder spezische Leitwert, auch Leitfähigkeit σ = 1/ρ genannt. Die Maÿeinheit der Leitfä-higkeit ist Sm−1 (S = 1/Ω = Siemens). Allgemein gilt für die Leitfähigkeit:

σ = e0 · n · µ (2)

e0 steht für die Elementarladung (hier wird vorausgesetzt, dass die Ladungsträger 1-fachgeladen sind), n für die Ladungsträgerdichte (= Anzahl pro Volumen) und µ für die Beweg-lichkeit der Ladungsträger. An Gleichung 2 sieht man, dass die Temperaturabhängigkeitdes elektrischen Widerstandes bzw. der Leitfähigkeit dadurch zustande kommt, dass ent-weder µ oder n oder beide temperaturabhängig sind.

1.1.3 Flüssigkeiten

Gleichung 1 gilt auch für Elektrolytlösungen. Anstelle der Länge tritt hier die Entfernungder Elektroden, die man in cm angibt. Statt des Querschnitts setzt man die wirksameElektrodenoberäche in cm2 ein.

In einem Elektrolyten ist eine Substanz (z.B. NaCl) gelöst, welche in negative Ionen (An-ionen) und positive Ionen (Kationen) zerfällt (Dissoziation). Bendet sich ein z-fach ge-ladenes Ion Az+ in einem elektrischen Feld, so ndet eine Wanderung des geladenen Ionszur entgegengesetzt geladenen Elektrode statt. Anionen und Kationen driften in entgegen-gesetzte Richtungen. Somit hängt der Widerstand R von der bereits erwähnten Geometrie

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der Messzelle, von der Art der Ionen (Gröÿe, Ladung) und der Konzentration c des Elek-trolyten ab. c bestimmt die Ladungsträgerdichte n in Gl. 2.

Abb. 1 zeigt die Abhängigkeit der Leitfähigkeit von c (bei konstanter Temperatur!). Zu-nächst erwartet man, dass die Leitfähigkeit eines starken Elektrolyten1 stetig mit der Ionen-konzentration zunimmt, siehe Abb. 1 links. Diese Erwartung wird nur für kleine Konzen-trationen bestätigt (Bereich I in Abb. 1 rechtes Bild). Mit steigender Konzentration steigtnämlich auch die gegenseitige Behinderung der Ionen, die ein Sinken der Leitfähigkeit zurFolge hat (Bereich II in Abb. 1). Die sich ausbildenden Ionenwolken (Assoziate) führen zurAbschirmung von Ladungsträgern. Bei einem bestimmten Wert von c wird ein Maximumerreicht, wo sich beide Eekte gerade kompensieren. Danach tritt trotz Erhöhung von ceine Abnahme der Leitfähigkeit ein, da der Dissoziationsgrad abnimmt.

Die Leitfähigkeit σ einer Elektrolytlösung ist stark temperaturabhängig. Leitfähigkeitsda-ten sind somit immer nur mit einer Temperaturangabe verwendbar und zwar ist sowohlder Dissoziationsgrad, als auch die Beweglichkeit der Ionen temperaturabhängig, was zusehr unterschiedlichen Temperaturabhängigkeiten der Widerstandes führen kann. Wir be-schränken uns hier auf kleine Konzentrationen c und starke Elektrolyten (siehe Abb. 1). Indiesem Fall kann man von einer vollständigen Dissoziation ausgehen, daher ist n nahezu

unabhängig von der Temperatur. Die Temperaturabhängigkeit von σ wird dann nur vonder Beweglichkeit der Ionen µ bestimmt und diese hängt hauptsächlich von der Viskositätη der Flüssigkeit ab. η sinkt exponentiell mit steigender Temperatur:

η(T ) = η0 · eEA

kB ·T (3)

wobei η0 und EA (Aktivierungsenergie, auch Platzwechselenergie) materialspezische Kon-stanten darstellen. kB ist die Boltzmannkonstante. Je kleiner η, desto gröÿer µ, dahererwartet man aus Gl. 3, dass die Leitfähigkeit mit steigender Temperatur exponentiellzunimmt und ρ = 1/σ exponentiell abnimmt. Bei gleichbleibender Geometrie der Flüssig-keitsprobe sollte man für die Temperaturabhängigkeit des Widerstandes R nden:

R(T ) = R0 · eEA

kB ·T (4)

wobie R0 eine empirische Konstante ist.

1.1.4 Festkörper

In Festkörpern, deren Atomrümpfe mehr oder weniger fest aneinander gebunden sind,können ganze Moleküle oder Atome nicht als Ladungsträger dienen. Hier sind es im All-1Starke Elektrolyte sind in Lösung vollständig dissoziiert, so dass die Konzentration der Ionen propor-tional zu der Konzentration des Elektrolyten ist. Dazu gehören ionische Verbindungen wie KCl, NaCl,MgCl2, CuSO4 etc. und starke Säuren wie H2SO4, HCl, HClO4 u.a. Zu den schwachen Elektrolytengehören schwache Säuren (z.B. Essigsäure), sowie schwache Basen (z.B. Ammoniak), die in Lösungnicht vollkommen dissoziiert sind.

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Abbildung 2: Energiediagramm zum Bändermodell

gemeinen Elektronen aus den Atomhüllen. Allerdings nicht alle Elektronen, sondern nursolche in bestimmten Zuständen - so genannte Leitungselektronen.

Elektronen können in einem Festkörper ebenso wie in einem Atom nur diskrete Energie-werte annehmen. Die Wechselwirkung der Elektronen in Festkörpern führt aber dazu, dassjedes Energieniveau in N Niveaus aufgespaltet wird (N ist die Anzahl der Einzelatomeim Festkörper), die mit 2N Elektronen besetzt werden können. Bedenkt man, dass sich ineinem Festkörper von 1 cm3 Gröÿe etwa N = 1022 Atome benden, so ist evident, dassdie Anzahl der möglichen Energieniveaus sehr groÿ und sie so dicht nebeneinancer liegen,dass sie quasi-kontinulierlich erscheinen. Man spricht daher von Energiebändern.

Jeder Festkörper besitzt eine Vielzahl an Energiebändern, zwischen denen sich auch Zonenbenden, die keine erlaubten Energiezustände aufweisen, sogenannte Energiebandlücken,engl. gaps. Das oberste, von Elektronen (fast) vollständig besetzte Band nennt man Va-

lenzband, das nächsthöhere das Leitungsband. Die Gröÿe dieser Energiebandlücke Eg (gsteht für Gap) zwischen Valenz- und Leitungsband ist charakteristisch für die elektrischenEigenschaften des Materials.

Die Fermi-Energie EF ist eine charakteristische Gröÿe zur Beschreibung von Fermi-Gasen

(z.B. Elektronen), einem quantenmechanischen Modell für Teilchen. Im Grundzustand T =0 K sind alle Zustände bis zu EF besetzt, darüber unbesetzt. Mit steigender Temperatursteigt die Besetzungswahrscheinlichkeit oberhalb von EF und sinkt unterhalb von EF .

Bendet sich EF innerhalb eines Energiebandes, so können Elektronen bereits bei sehrkleinen Temperaturen T & 0 K die winzigen Energieunterschiede zwischen besetzten undunbesetzten Energieniveaus überwinden. Liegt EF innerhalb eines Gaps, so benötigen dieElektronen mindestens die Lücken-Energie (Gap-Energie) Eg, um in einen angeregten Zu-stand (in das Leitungsband) überzugehen.

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In Metallen liegt EF innerhalb eines Energiebandes (vgl. Abb. 2). Die Elektronen inder Nähe von EF können sich schon im Grundzustand praktisch frei bewegen, da immerfreie Energieniveaus in der Nähe vorhanden sind. Diese Leitungselektronen2 sind delokali-

siert und können mit Hilfe elektrischer Felder leicht innerhalb des Festkörpers verschobenwerden. Darum nennt man die Leitungselektronen in Metallen auch Elektronengas.

Die Anzahl der Ladungsträger ist in Metallen über weite Temperaturbereiche konstant. Daaber bei steigender Temperatur die Atomrümpfe stärker schwingen, wird die Bewegung derElektronen in Metallen stärker behindert und die Beweglichkeit µ sinkt. Folglich sinkt dieLeitfähigkeit und der elektrische Widerstand R(T ) steigt. Metalle haben daher einen po-

sitiven Temperaturkoezienten (PTC - positive temperature coecient) und man nenntsie deswegen auch Kaltleiter. Über weite Temperaturbereiche kann R(T ) mit einem Poly-nom höherer Ordnung beschrieben werden. In mittleren und höheren Temperaturbereichenverläuft er näherungsweise linear:

R(T ) = RT0 [1 + α(T − T0)] (5)

wobei T0 eine Referenztemperatur innerhalb des betrachteten Temperaturbereiches ist undRT0 der zugehörige Widerstand. Tabelle 1 zeigt ausgewählte Parameter einiger Metalle undLegierungen.

Tabelle 1: Leitfähigkeit und Temperaturkoezient des spezischen Widerstands einigerWerkstoe bei 20C.

Elektrische Temperaturkoezient

Material Leitfähigkeit des spez. Widerstands

σ (S m−1 × 106) α20 (K−1 × 10−3)

Silber 62.89 4.1Kupfer 59.77 4.3Gold 42.55 4.0Aluminium 37.66 4.5Molybdän 19.20 4.35Wolfram 17.69 4.8Nickel 14.60 6.8Eisen 10.29 6.5Platin 9.48 3.8Blei 4.76 4.22Konstantan 2.0 -0.035

Bei sehr tiefen Temperaturen sind die Gitterschwingungen eingefroren, die Elektronenwerden nur noch am nicht perfekten Gitteraufbau, also an Störstellen gestreut (was sind

2Leitungselektronen sollten nicht mit freien Elektronen verwechselt werden, welche komplett von Atomenlosgelöst existieren (z.B. β− -Strahlung, Elektronenstrahlen in elektrischen Bauteilen,...).

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die Störstellen in einem Metall? ) und daher mündet die R(T )-Kurve bei T = 0 K in denendlichen Restwiderstand R0.

Beachten Sie die Information zum Ladungstransport in Metallen in der

Grundlagen-Vertiefung auf der eLearning Seite von PW10

In Halbleitern liegt EF im Gap zwischen Valenz- und Leitungsband. Das Gap ist zwarschmal (siehe Abb. 2 und Tab. 2), aber immer noch groÿ gegenüber der thermischen Energieder Elektronen bei Zimmertemperatur (≈ 25 meV). Da die Energie der Elektronen jedochstatistisch verteilt ist, haben immer einige Elektronen genügend Energie, um - anschaulichformuliert - vom Valenzband ins Leitungsband zu gelangen. Für jedes Elektron, das insLeitungsband gelangt, bleibt ein unbesetzter Energiezustand (Loch) im Valenzband zurück(Paarbildung). Löcher und Leitungselektronen tragen beide zur Leitfähigkeit bei. Je höherdie Temperatur ist, desto mehr Elektronen benden sich im Leitungsband und desto mehrLöcher benden sich im Valenzband. Die Ladungsträgerdichte ist daher bei Halbleiternstark temperaturabhängig.

Tabelle 2: Energiebandlücken ausgewählter Materialien in eV.Material 0 K 300 K

Diamant 5.4 5.46 - 6.4Si 1.17 1.12Ge 0.75 0.67Se 1.74InAs 0.43 0.355GaAs 1.52 1.43ZnO 3.436 3.37

Legt man an den Halbleiter eine äuÿere Spannung, so driften die Elektronen zur positivenElektrode und die Löcher im Valenzband in die entgegengesetzte Richtung. Im Unter-schied zu Metallen sind bei reinen Halbleitern stets Elektronenstrom und Löcherstrom amLeitungsvorgang beteiligt.3 Die Leitfähigkeit σ ergibt sich aus den Beweglichkeiten derLeitungselektronen µ− und der Löcher µ+, sowie der intrinsischen Ladungsträgerdichte ni(Dichte der Leitungselektronen bzw. Dichte der Löcher):

σ = e0ni(µ− + µ+

).

3Es sollte hier wie schon in PW 1 betont werden, dass der Ladungstransport des Elektronenstromesund des Löcherstromes in die gleiche Richtung erfolgt, eben weil die beiden Teilchenarten in entge-gengesetzte Richtungen driften; das hat nichts mit einer technischen Konvention zu tun (technischeStromrichtung), sondern ist eine logische Folge der entgegengesetzten Vorzeichen der Ladungen.

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Aus der Fermi-Dirac-Statistik folgt

σ ∝ ni ∝ e− Eg

2kBT . (6)

Die Ladungsträgerdichte steigt in Halbleitern also exponentiell mit der Temparatur an.Gl. 6 ist nur eine Näherung, die innerhalb gewisser Temperaturbereiche gilt. Die Energie-bandlücke ist temperaturabhängig (siehe dazu Tab. 2).

Wie in jedem Festkörper nehmen µ− und µ+ mit steigender Temperatur ab. Bei Zim-mertemperatur und darüber wird dieser Eekt allerdings durch die Zunahme von ni beiweitem überkompensiert. Die elektrische Leitfähigkeit von Halbleitern steigt dann expo-nentiell mit der Temperatur an, der Widerstand nimmt exponentiell ab - sie haben einennegativen Temperaturkoezienten (NTC - negative temperature coecient), man nenntsie auch Heiÿleiter.

Wegen Gl. 6 kann R(T ) bei hohen Temperaturen mit einer Exponentialfunktion beschrie-ben werden.

R(T ) = RT0e−b

(1T0

− 1T

)(7)

T0 ist eine Referenztemperatur, RT0 der Widerstand bei dieser Temperatur. Gl. 7 ist eineNäherungsformel, wobei T0 als die untere Grenze eines interessierenden Temperaturberei-ches zu verstehen ist, also für T ≥ T0. Nach Gl. 6 besteht zwischen dem Temperaturkoef-zienten b und der Lückenenergie Eg folgender Zusammenhang:

b =Eg2kB

(8)

Dieser Zusammenhang ist jedoch von vielen Parametern wie Gitterfehlstellen, Verunreini-gungen etc. abhängig und kann daher nur als Abschätzung der Gröÿenordnung verstandenwerden. Tabelle 3 fasst die wichtigsten (nicht-trivialen) Parameter zusammen.

Tabelle 3: Wichtige Gröÿen zur Beschreibung von HalbleiternFormelzeichen Einheit Bezeichnung

b K Temperaturkoezient des elektri-schen Widerstandes

Eg J bzw. eV EnergielückekB J/K bzw. eV/K Boltzmannkonstante

Bei Isolatoren ist das Gap sehr breit, wie man in Abb. 2 erkennen kann. Es könnenpraktisch keine Elektronen vom Valenzband ins Leitungsband gelangen.

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1.2 Aufgaben

Hinweis: Für die Aufgaben 2 bis 4 beachten Sie unbedingt die Anweisungen im AbschnittAuswertung weiter unten!

1. Messen Sie die elektrischen Widerstände R(T ) eines Halbleiters, eines Metalles undeines Elektrolyten in Abhängigkeit von der Temperatur zwischen Zimmertemperaturund 80C.

2. Tragen Sie R(T ) des Metalles mit Hilfe eines geeigneten Auswerteprogrammes wiez.B. QTIPlot grasch auf und bestimmen Sie den Temperaturkoezienten α mittelseines Kurven-Fits (Regression). Wählen Sie dazu eine möglichst günstige grascheAuftragung. Um welches Metall könnte es sich handeln?

3. Führen Sie eine sinnvolle Auswertung an R(T ) des Halbleiters durch und bestimmenSie die Breite der Bandlücke Eg des Halbleiters. Um welchen Halbleiter könnte essich handeln?

4. Tragen Sie R(T ) des Elektrolyten grasch auf und diskutieren Sie die Temperatur-abhängigkeit. Verhält sich R(T ) so, wie man es aufgrund der Gleichung 4 erwartenkann? Wenn ja, dann bestimmen Sie die Aktivierungsenergie EA des Elektrolyten.

1.3 Versuchsaufbau und Durchführung

Sie können diese Messung automatisch (mittels CassyLab) oder manuell durchführen. DieMessanordnung ist in beiden Fällen die gleiche, nur dass die Spannungsmessungen entwederdurch CassyLab oder durch Sie selbst mittels Multimetern durchgeführt wird.

Abb. 3 zeigt die Schaltung: die drei Proben sowie ein bekannter Widerstand R0 (ca. 14 kΩ,genauen Wert mittels Ohmmeter selbst bestimmen!) werden in Serie geschaltet und dievier Spannungen werden gemessen. Die Proben benden sich in einem Wasserbad, R0 aufeinem Steckbrett. Der Elektrolyt benötigt eine Wechselspannung, um Polarisationseektean den Elektroden zu vermeiden; der Einfachheit halber werden auch die anderen Wi-derstände mit Wechselspannung gemessen. Hier wird mit einem 8-V-Transformator (sieheAbb. 4 , 1) gearbeitet; die Frequenz ist die der Netzspannung (und zwar?). Das Wasserbadkann mittels Tauchsieder erhitzt werden. Nach dem Einstellen der Messparameter bei Zim-mertemperatur werden die drei Proben auf 80 C erwärmt, dann die Heizung ausgeschaltetund während der Abkühlung bis auf ca. 30 C werden die Spannungen gemessen.

Automatische Messung

Für die Messung benötigen Sie 2 Sensor-Cassys, die kaskadiert (zusammengesteckt) sind.An den Eingängen A1, A2, B1 und B2 messen Sie die vier Spannungen. KongurierenSie die Eingänge bei Zimmertemperatur: Eektivwerte (AC-Anteil) wählen, Messbereich

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einstellen. Tipp dazu: wenn sich die Spannungen erwartungsgemäÿ verhalten, dann nehmendie Spannungen am Halbleiter und am Elektrolyten beim Aufheizen ab, die Spannungam Metall jedoch (ein wenig!) zu. Mit Hilfe dieser vier Spannungen und dem bekanntenWiderstand können die drei Widerstände berechnet werden (Spannungsteilerformel!). Siekönnen das gleich in Cassy Lab machen 4 oder die Messwertetabelle in QTI (oder ähnlichesProgramm) importieren und dort die Berechnungen durchführen (empfohlen!).

Abbildung 3: Schaltskizze zur Messung der temperaturabhängigen Widerstände einesElektrolyten (Elektr.), eines Metalles (PTC) und eines Halbleiters (NTC).

Jetzt müssen Sie noch den Temperatursensor aktivieren. Für zumindest einen der vierWiderstände muss der Ablauf der Messung festgelegt werden (dieser gilt dann für allegemessenen und errechneten Gröÿen). Empfehlung: Messintervall 1 Messwert pro min, ge-samte Messdauer 2 h. Optional können Sie eine automatische Stopp-Bedingung einrichten,welche die Messung einer gewünschten Temperatur beendet.

Bei Darstellung (im Fenster Einstellungen) achten Sie darauf, dass nur entweder dievier Spannungen oder - falls Sie die Widerstände in Cassy ausrechnen lassen - die drei zubestimmenden Widerstände gegen die Temperatur aufgetragen werden (auf die Darstellungdes bekannten Widerstandes kann aus begreiichen Gründen verzichtet werden).

Tipp: lesen Sie das Dokument Erste Schritte mit Cassy Lab und ULAB auf

der eLearning-Seite von PW10.

Für die weitere Durchführung lesen Sie beim Absatz Temperaturregelung weiter.

4 Dazu müssen Sie im Rechner in den Einstellungen für jeden Widerstand eine neue Formel eingeben.Es empehlt sich, für die Darstellung einen Bereich von 0-1500 Ω und 2 Dezimalstellen zu wählen.

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Abbildung 4: Die wichtigsten Geräte für die Messung der temperaturabhängigen Wider-stände: 1. 8V∼ Netzgerät, 2. Heizung, 3. Wasserbad mit (a) Rührwerk, (b)PTC, (c) NTC, (d) Elektrolyt, (e) Tauchsieder, (f) Temperaturmesser

Manuelle Messung

Wählen Sie die manuelle Messung, dann lesen Sie die vier Spannungen mittels Multimeter(Fluke 175 oder ähnliches Gerät) ab. Die Auswertung erfolgt dann in QTIPlot (bzw. einemanderen geeigneten Programm).

Temperaturregelung

Die drei zu messenden Widerstände benden sich in einem Wasserbad (destilliertes Was-ser verwenden), in Abb. 3 durch das blaue Kästchen dargestellt. Das Wasser wird miteinem Rührwerk (siehe Abb. 4 , 3a) bewegt, um einen Temperaturgradienten innerhalbdes Gefäÿes so gut es geht zu vermeiden. Mittels Tauchsieder (siehe Abb. 4 , 3e) wird dasWasser von Zimmertemperatur auf 80C erhitzt. Dazu drücken Sie auf der Heizung (sieheAbb. 4 , 2) die Set-Taste und halten diese gedrückt. Falls notwendig, stellen Sie 80C ein.Dann stellen Sie die Heizleistung auf halb. Bei 80C stoppt die Heizung (Erlöschen desroten Lämpchens). Überprüfen Sie, ob die Messbereiche auch bei dieser Temperatur nochpassend sind und stellen Sie dann den Kippschalter auf 0. Beginnen Sie die Messung. Beider manuellen Messung lesen Sie die 4 Spannungen alle 5 C ab.

Auswertung

Die Daten aus der Messwerttabelle in Cassy Lab können Sie mit Copy and Paste in jedes

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beliebige Datenauswertungsprogramm übernehmen.

Der Widerstand eines Metalles (PTC) ist nach Formel 5 von der Referenztemperatur T0abhängig. Tabelle 1 bezieht sich auf T0 = 20C. Zur Auswertung Ihrer Daten sollten Siedaher folgendermaÿen vorgehen: tragen Sie R(T ) gegen (T − T0), wobei Sie T0 = 20Csetzen. Dadurch können Sie Ihre Ergebnisse mit Tabelle 1 vergleichen und ersparen sichauÿerdem die Umrechnung der Temperatur in Kelvin (Temperaturdierenzen sind aufbeiden Skalen gleich). Ein linearer Fit ergibt direkt RT0 und zusammen mit der Steigungerhält man dann α20.

Auch die Lücken-Energie Eg des Halbleiters (NTC) bestimmt man aus dem Anstieg einerlinearen Funktion. Dazu müssen Sie die betreende Gleichung 7 in folgende Form bringen:

lnR(T )

RT0

= b · 1

T+ d (9)

Das konstante Glied d ist hier uninteressant, ebenso RT0 - nehmen Sie dafür einfach denWert des Widerstandes bei der niedrigsten Temperatur5. Tragen Sie also ln(R(T )/RT0)gegen 1/T auf und bestimmen Sie aus einem linearen Fit die Steigung b. b hängt mitEg gemäÿ Gl. 8 zusammen. Da Eg üblicherweise in eV angegeben wird, setzen Sie ambesten den Wert der Boltzmannkonstanten kB in entsprechenden Einheiten ein: kB =8.616× 10−5 eV/K, wobei gilt: 1 eV = 1.6×10−19 J.

Beim Elektrolyten verfahren Sie wie beim Halbleiter. Nach Gl. 4 sollte lnR(T )/R0 gegen1/T eine Gerade mit der Steigung EA/kB ergeben; nehmen Sie für R0 wieder den Wertbei der kleinsten Temperatur. Berechnen Sie EA (dabei kB in SI-Einheiten nehmen!). Ineiner wässrigen Lösung, welche Sie im Experiment verwendet haben, entspricht die Akti-vierungsenergie der Energie der Wasserstobrückenbindung EH : EA ≈ EH . Für schwacheWasserstobrückenbindungen liegt EH pro mol, also EH ·NA (NA ... Avogadro-Konstante),im Bereich zwischen 5 und 40 kJ/mol. Liegt Ihr Ergebnis in diesem Bereich?

1.4 Hinweise zu Protokoll und Fehlerrechnung

Vergessen Sie die Interpretation der Daten nicht. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit denWerten in Tab. 1 bzw. Tab. 2 um welche Materialien könnte es sich handeln? WelcheFehlerquellen beeinussen Ihre Messungen? Finden Sie Abweichungen vom theoretischenVerlauf, wie er in den Grundlagen beschrieben wurde? Beim Elektrolyten: ist die Tempe-raturabhängigkeit der Viskosität tatsächlich der bestimmende Faktor? Sind in dem unter-suchten Elektrolyten schwache Wasserstobrückenbindungen vorhanden?

5 Die Division durch RT0ist aus physikalischen Gründen erforderlich, da der natürliche Logarithmus nur

für eine dimensionslose Zahl deniert ist. Mathematiker kennen keine Dimensionen von Gröÿen undkümmern sich um solche Überlegungen kaum.

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PW 10 2 Transformator

2 Transformator

2.1 Grundlagen

2.1.1 Begrie

Maxwell-Gleichungen, Induktion, Lenz'sche Regel, Impedanz, Transformatorverluste, Wirk-leistung, Blindleistung, Magnetisierung, Leerlauf, Übersetzungsverhältnis, Vektordiagramm,Phasenwinkel, Transformatorgleichung.

2.1.2 Beschreibung von Transformatoren

Ein klassischer Transformator besteht aus zwei getrennten Spulen, die um den selbenEisenkern gewickelt sind. Eine Spannungsänderung an der Primärspule bewirkt auch eineSpannungsänderung an der Sekundärspule. Transformatoren werden deshalb häug zurgalvanischen Trennung eingesetzt. Andererseits könnnen Transformatoren dazu eingesetztwerden um Spannungen zu transformieren. Durch die Verwendung des Eisenkerns wirderreicht, dass ein in einer der Spulen erzeugter magnetischer Fluss nahezu vollständigdurch die andere Spule geführt wird. Dadurch wird die Streuung des Transformators, dasheiÿt der Anteil des magnetischen Flusses, der nur jeweils eine Spule durchsetzt, geringgehalten.

2.1.3 Unbelasteter Transformator

Ein Transformator gilt als unbelastet, wenn an seiner Sekundärspule kein Verbraucherangeschlossen ist. Da beide Spulen um den selben Eisenkern gewickelt sind, spüren auchbeide den selben magnetischen Fluss. Das Modell des idealen Transformators besteht auszwei Spulen, die keinen ohmschen Widerstand besitzen. Legt man an den Transformatorbzw. an die Primärspule mit n1 Windungen eine Wechselspannung mit Amplitude U1

an, so kompensiert die Spule diese durch Induktion einer entsprechenden Gegenspannung.Dadurch ändert sich der Fluss Φ im Eisenkern

dΦ

dt= −U1

n1

.

Diese Flussänderung erzeugt in der Sekundärspule der Induktivität L2 mit n2 Windungeneine Spannung U2 = −n2 dΦ/dt, woraus folgt:

U1

U2

=n1

n2

= ü. (10)

ü wird Übersetzungsverhältnis genannt. Ist ü < 1, so wird die Spannung hinauftransfor-miert, ist ü > 1, so wird sie hinuntertransformiert.

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Der Strom I1(t), der durch die Primärspule ieÿt, induziert dort die Gegenspannung Uind,die der Primärspannung U1(t) entgegen gerichtet ist (Lenz'sche Regel):

Uind = −U1(t) = −L1dI1(t)

dt;

mit dem Ansatz I1(t) = I1eiωt erhält man

U1(t) = iωL1I1 eiωt = ωL1I1 e

i(ωt+π/2)

(11)

Zur Umformung wurde die Beziehung ei π/2 = i verwendet. Da Stromstärke und Spannungum π/2 phasenverschoben sind (die Spannung eilt dem Strom voraus), fällt an der Pri-märspule keine Wirkleistung ab. Der Primärstrom ist im unbelasteten Transformator alsoein reiner Blindstrom.

2.1.4 Belasteter Transformator

Wird an die Sekundärspule ein ohmscher Widerstand R geschaltet, dann ieÿt auf derSekundärseite ein Strom I2(t), erzeugt durch das Magnetfeld aus der Primärspule

I2(t) =U2(t)

R.

Der Sekundärstrom I2(t) erzeugt in der Sekundärspule ein Magnetfeld und damit einenmagnetischen Fluss, der dem Fluss in der Primärspule entgegengerichtet ist. Dies würde zueiner Verminderung der Primärspannung führen, welche jedoch durch die äuÿere Spannungkonstant gehalten wird. Als Folge davon steigt der Primärstrom an. Nach dem Energiesatzmuss die gesamte Leistung P2 = U e

2 Ie

2 = P16 aus der Primärseite kommen. Somit muss

auf dieser Seite eine Phasenverschiebung ϕ entstehen

U e

1 Ie

1 cosϕ = U e

2 Ie

2 .

Aus Gl. 10 folgtIe1Ie2

cosϕ =n2

n1

.

Diese Gleichungen zeigen, dass der zusätzliche Primärstrom ein Wirkstrom ist und da-her der Wechselstromwiderstand der Primärspule im Fall der Belastung nicht mehr reininduktiv sein kann.

2.1.5 Realer Transformator

Hier müssen folgende Verlustquellen berücksichtigt werden:

6Die (messbare) eektive Spannung und Stromwerte sind mit dem Index e markiert.

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• Ohm'sche VerlusteDie Windungen eines Transformators bestehen aus Metall, welches einen Ohm'schenWiderstand besitzt. Daher entsteht Joul'sche Wärme. Durch Verwendung von Kup-ferleitungen mit groÿen Querschnitten versucht man diesen Eekt zu minimieren.

• Wirbelströme

Dadurch, dass ein Transformator mit Wechselstrom betrieben werden muss, bildensich bei jeder Stromänderung in der Primärspule Wirbelfelder, die im Eisenkern Wir-belströme induzieren. Diese werden durch den ohmschen Widerstand des Materials zuWärme. Man kann diese Verluste minimieren, indem man den Eisenkern in viele elek-trisch getrennte Schichten zerlegt und so die Ausdehnung der Wirbelströme begrenzt.Die Querschnitte der Eisenbleche wirken jeweils als sekundäre Kurzschlusswindun-gen, wobei allerdings jedes Blech nur einen Teil des Flusses kurzschlieÿt. Besteht derKern aus N Blechen der Dicke d, dann ist die Spannung pro Blech ∝ d ∝ 1/N , derWiderstand ∝ 1/d ∝ N , die Leistung ∝ U2/R also pro Blech ∝ N−3 und somit dieVerlustleistung im ganzen Kern ∝ N−2. Es ist also wesentlich, eine feine Unterteilungzu verwenden.

• HystereseAlle ferromagnetischen Materialien haben ein Gedächtins, d.h. wurden sie bereitseinmal magnetisiert, so verschwindet die Magnetisierung nicht vollständig, wenn dasMagnetfeld entfernt wird. Diese sogenannte Remanenz kann man durch Anlegen einesentsprechend starken Gegenfeldes beseitigen. Die Energie, die für die Magnetisierungaufgewendet werden muss, wird in Wärme umgewandelt. Dieser Eekt lässt sichdurch die Wahl des Materials für den Kern beeinussen.

• StreufelderDer magnetische Fluss kann nie vollständig im Eisenkern gefangen werden, d.h., dassim Gegensatz zum idealen Transformator Φ1 > Φ2. Die Leistung der Primärspulewird nicht vollständig auf die Sekundärspule übertragen.

2.2 Aufgaben

1. Messen Sie am unbelasteten Transformator Primär- und Sekundärspannung, sowieden Primärstrom und bestimmen Sie das Spannungsübersetzungsverhältnis ü.

2. Bestimmen Sie die Abhängigkeit des (i) Primärstroms Ip = Ie1 und (ii) der se-kundären Klemmenspannung Us = U e

2 von der Belastung. Diese sind beide in einDiagramm einzutragen. Überlegen Sie, welche physikalische Gröÿe die Belastungsinnvoll charakterisiert. Welche Gröÿe hat nur bei Belastung einen Wert > 0?

3. Die Primärinduktivität Lp ist zu berechnen, wobei angenommen wird, dass die Pri-märimpedanz rein induktiv ist. Wann ist das der Fall, wenn man vom Ohm'schenWiderstand der Primärspule absieht?

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4. Eine Fehlerabschätzung ist für Lp durchzuführen. Wie gehen die Fehler der beidenMessgeräte in die Messung ein?

2.3 Versuchsaufbau und Durchführung

Abbildung 5: Versuchsanordnung zur Messung des Transformators.

Messprinzip:

Das Verhalten eines Transformators wird untersucht. Die charakteristischen Gröÿen einesTransformators wie das Spannungsübersetzungsverhältnis, die Primärinduktivität, die Ab-hängigkeit des Primärstroms und der sekundären Klemmenspannung von der Belastungwerden mit Hilfe von Digital-Multimetern gemessen.

Durchführung:

Abb. 5 zeigt das Schaltbild des Messaufbaues. Der Transformator ist in einem Gehäuseaus Aluminium und Plexiglas eingebaut (siehe dazu auch Abb. 6). Die Messgeräte auf derPrimärseite (zwei schwarze Digitalmultimeter) sind fest verdrahtet. Benutzen Sie die be-schrifteten Buchsen zum Aufbau der Schaltung auf der Sekundärseite. Der Ausgang wirdmit dem entsprechenden Eingang am Schiebewiderstand verbunden, um die Belastung zuvariieren. Sekundärstrom und Sekundärspannung werden mit zwei weiteren Digitalmulti-metern gemessen.

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PW 10 3 Empfohlene Zusatzliteratur

Abbildung 6: Geräte für die Transformator-Schaltung in Abb. 5. Die Multimeter sindnur als Beispiel gedacht; es können auch andere Typen eingesetzt werden.

2.4 Hinweise zur Protokollierung und Fehlerrechnung

Vergessen Sie die Interpretation der Daten nicht. Welche Fehlerquellen beeinussen IhreMessungen? Was können Sie über den Phasenwinkel eines unbelasteten Transformatorssagen?

3 Empfohlene Zusatzliteratur

• Bergmann, Schäfer; Elektromagnetismus; DeGruyter

• Standardliteratur, siehe Praktikumsleitfaden für Studierende

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