Wenn MathematikerInnen Billard spielen · Wenn MathematikerInnen Billard spielen... JORN¨ STEUDING...

Wenn MathematikerInnen Billard spielen...

JORN STEUDING (UNI WURZBURG)

WURZBURG, 21. MARZ 2013

Tubinger Studenten beim Billardspiel, fruhes 19. Jahrhundert, Stadtische Sammlungen Tubingen; Quelle: R.A. Muller, Geschichte der Universitat, 1990 – p. 1

Worum geht es?

§1. Mathematisches Billard§2. Kombinatorik mit Wörtern§3. Ausblick: Ergodizität

Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 2

Eine Frage vonKonig & Szucs aus dem Jahr 1913

Wann ist die Bahn einer Billardkugel auf einem quadratischen(rechtwinkligen) Billardtisch periodisch?




Die Kugel bewege sich reibungsfrei auf geradlinigen Bahnen,

wird reflektiert mit Einfallswinkel=Ausfallswinkel ohne Effet

und treffe niemals eine Ecke!




Die Kugel bewege sich reibungsfrei auf geradlinigen Bahnen,

wird reflektiert mit Einfallswinkel=Ausfallswinkel ohne Effet

und treffe niemals eine Ecke!

Satz: Ist der Tangens des Einfallswinkels rational, so ist die Bahn

der Kugel auf dem Billardtisch periodisch.

Die Kugelbahn sei anfänglich in der xy-Ebene beschrieben durch

y = y0 + αx.

Die Steigung dieser Geraden ist der Tangens des Einfallswinkels

oder dessen Kehrwert.


Periodische Bahnen

Wir legen ein Gitter in die xy-Ebene durch die Geraden

x = k, y = j für k, j ∈ 1

2{. . . ,−2, ,−1, 0, 1, 2, . . .}

und denken uns den Billardtisch als die Masche mit denEckpunkten (0, 0), (1

2, 0), (1

2, 12), (0, 1

2).


Periodische Bahnen

Wir legen ein Gitter in die xy-Ebene durch die Geraden

x = k, y = j für k, j ∈ 1

2{. . . ,−2, ,−1, 0, 1, 2, . . .}

und denken uns den Billardtisch als die Masche mit denEckpunkten (0, 0), (1

2, 0), (1

2, 12), (0, 1

2).

Statt die Kugelbahn an der Bande zu reflektieren, spiegeln wir denBillardtisch an der berandenden Geraden...


Periodische Bahnen

treten genau dann auf, wenn es eine ganzzahlige Translation(x, y) 7→ (x+ q, y + p) gibt;


Periodische Bahnen

treten genau dann auf, wenn es eine ganzzahlige Translation(x, y) 7→ (x+ q, y + p) gibt;

in diesem Fall ist α = pq.

Also ist die Kugelbahn genau dann periodisch, wenn α rational ist.


Nicht-periodische Bahnen

Was lässt sich über die Bahn sagen, wenn sie nicht periodisch ist?wenn also α irrational ist?




Satz: Ist der Tangens des Einfallswinkels irrational, so kommt die

Bahn der Kugel jedem Punkt des Billardtisches beliebig nahe

(besucht aber nicht jeden Punkt!).




Satz: Ist der Tangens des Einfallswinkels irrational, so kommt die

Bahn der Kugel jedem Punkt des Billardtisches beliebig nahe

(besucht aber nicht jeden Punkt!).

Der Beweis basiert auf folgendem Resultat aus der diophantischen Approximationstheorie:

Satz von Kronecker (1884): Sei α irrational. Zu jedem x mit 0 < x < 1

und jedem ǫ > 0 gibt es eine natürliche Zahl n, so dass

|nα− ⌊nα⌋ − x| < ǫ,

d.h. die gebrochenen Anteile von nα kommen jedem Punktx ∈ [0, 1) beliebig nahe; die Aussage ist falsch für rationale α.


Gleichverteilte Zahlenfolgen

Die Vielfachen der gebrochenen Anteile irrationaler Zahlen

kommen jedem Punkt des Einheitsintervalls beliebig nahe:

π − ⌊π⌋ = 0, 1415 . . . , 2π − ⌊2π⌋ = 0, 2831 . . . , 3π − ⌊3π⌋ = 0, 4247 . . . ,

. . . , 10π − ⌊10π⌋ = 0, 4159 . . . , . . .





π − ⌊π⌋ = 0, 1415 . . . , 2π − ⌊2π⌋ = 0, 2831 . . . , 3π − ⌊3π⌋ = 0, 4247 . . . ,

. . . , 10π − ⌊10π⌋ = 0, 4159 . . . , . . .

Satz von Bohl (1909): Bei irrationalem α ist der Anteil der

{nα} := nα− ⌊nα⌋ in einem vorgegebenem Intervall

proportional zu dessen Länge.





π − ⌊π⌋ = 0, 1415 . . . , 2π − ⌊2π⌋ = 0, 2831 . . . , 3π − ⌊3π⌋ = 0, 4247 . . . ,

. . . , 10π − ⌊10π⌋ = 0, 4159 . . . , . . .

Satz von Bohl (1909): Bei irrationalem α ist der Anteil der

{nα} := nα− ⌊nα⌋ in einem vorgegebenem Intervall

proportional zu dessen Länge.

Solche gleichverteilten Zahlenfolgen werden in so genannten Monte

Carlo-Methoden zur näherungsweisen Berechnung von Integralen

wie etwa∫

exp(−x2) dx eingesetzt...


Eine weitere Frage zum Billard:

Wie oft besucht eine Kugel ein gegebenes Gebiet auf demBillardtisch?




Im nicht-periodischen Fall vermutlich

proportional zur Größe des Gebietes...






... dies lässt sich mit der Theorie der Gleichverteilung zeigen;






... dies lässt sich mit der Theorie der Gleichverteilung zeigen;

Gleichverteilung ist eine einfache Form von Ergodizität...


Eine Knobelaufgabe: Kreisbillard

Wie verhält sich eine Billardkugel im Inneren einer Kreislinie?


Eine Knobelaufgabe: Kreisbillard

Wie verhält sich eine Billardkugel im Inneren einer Kreislinie?

Ein periodisches Beispiel mit Einfallswinkel π5= 36◦

Lewis Carroll , der Schöpfer von Alice im Wunderland, erdachte ein rundes Kreisbillard.


Billard in Parabeln

Parabolantennen nutzen die Geometrie von Parabeln.


Billard in Parabeln

Parabolantennen nutzen die Geometrie von Parabeln.

Jeder Strahl wird so reflektiert, dass er durch den Brennpunkt geht!

(Die Bilder sind dem wikipedia-Artikel zu Parabolantennen entnommen.)


Irgendein Raum mit spiegelnden Wänden...

... kann man diesen stets vollends beleuchten? fragte Straus 195?.




Roger Penrose gab 1958 das erste Beispiel eines nicht komplett

beleuchtbaren Raumes.




Roger Penrose gab 1958 das erste Beispiel eines nicht komplett

beleuchtbaren Raumes.

Links ein Bild von Wolfram eines solchen Raumes; rechts ein Bild von

Penrose auf dem nach ihm benannten Parkett; in den 1980er Jahren entdeckte man

Quasikristalle mit eben dieser Symmetrie! Mehr unter http://en.wikipedia.org/wiki/Penrose tiling


Verwandte Irrationalitätsphänomene

(Dieses Bild ist von einer Webseite von Wolfram.)



Sturmsche Wörter

Eine Gerade mit irrationaler Steigung durch den Nullpunkt – wieetwa y = 1

2(√5 + 1)x – besitzt keine rationalen Punkte außer dem

Nullpunkt.


Sturmsche Wörter

Eine Gerade mit irrationaler Steigung durch den Nullpunkt – wieetwa y = 1

2(√5 + 1)x – besitzt keine rationalen Punkte außer dem

Nullpunkt.

Goldener Schnitt: 1

2(√5 + 1) → 010010100100 . . .


Das Fibonacci-Wortf

ist Fixpunkt der Transformation 0 7→ 01, 1 7→ 0

f = 0 1 0 0 1 0 1 0 0 . . .

= 01 0 01 01 0 01 0 01 01 . . . ;


Das Fibonacci-Wortf


f = 0 1 0 0 1 0 1 0 0 . . .

= 01 0 01 01 0 01 0 01 01 . . . ;

es ist nicht-periodisch und ist Grenzwert der Rekursion

f0 := 0, f1 := 01 und fn+1 = fnfn−1.


Das Fibonacci-Wortf


f = 0 1 0 0 1 0 1 0 0 . . .

= 01 0 01 01 0 01 0 01 01 . . . ;

es ist nicht-periodisch und ist Grenzwert der Rekursion

f0 := 0, f1 := 01 und fn+1 = fnfn−1.

Die Fibonacci-Zahlen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . . sind

rekursiv definiert durch F0 = 0, F1 = 1 und Fn+1 = Fn + Fn−1; die

Quotienten aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen konvergieren

gegen den goldenen Schnitt:

1, 2, 3

2= 1, 5, 5

3= 1, 6, 8

5= 1, 6, 13

8= 1, 625, . . . →

√5+1

2= 1, 618 . . .


Und noch einmal

schneiden wir die Gerade y =√5+1

2x mit dem Gitter:


Und noch einmal

schneiden wir die Gerade y =√5+1

2x mit dem Gitter:

Die Zahlen ⌊n√5+1

2⌋ für n = 1, 2, 3, . . . sind der Reihe nach

1, 3, 4, 6, 8, . . .


Beatty-Folgen

Sei α > 1 irrational, dann heißt

B(α) = {⌊nα⌋ : n = 1, 2, . . .}

die zugehörige Beatty-Folge.


Beatty-Folgen


B(α) = {⌊nα⌋ : n = 1, 2, . . .}

die zugehörige Beatty-Folge. Sei β definiert durch 1

α+ 1

β= 1,


Beatty-Folgen


B(α) = {⌊nα⌋ : n = 1, 2, . . .}


α+ 1

β= 1, dann

ist auch β irrational und es gilt:

Satz von Beatty.

B(α) ∪B(β) = 1, 2, 3, . . . B(α) ∩B(β) = ∅;

d.h. die beiden Beatty-Folgen bilden eine disjunkte Zerlegung der

Menge der natürlichen Zahlen!


Beatty-Folgen


B(α) = {⌊nα⌋ : n = 1, 2, . . .}


α+ 1

β= 1, dann

ist auch β irrational und es gilt:

Satz von Beatty.

B(α) ∪B(β) = 1, 2, 3, . . . B(α) ∩B(β) = ∅;

d.h. die beiden Beatty-Folgen bilden eine disjunkte Zerlegung der

Menge der natürlichen Zahlen!

Im Falle des goldenen Schnittes√5+1

2ergibt sich beispielsweise

1,2,3, 4,5,6,7,8, 9, . . .


Thue 1906 und 1912 und Marston Morse 1921 studierten...


... eine weiteren Folge von Nullen und Einsen

t = 0 1 10 1001 10010110 . . .



t = 0 1 10 1001 10010110 . . .

Die Ziffern von t = t0t1t2 . . . sind definiert über

t0 = 0, t2n = tn, t2n+1 = 1− tn.



t = 0 1 10 1001 10010110 . . .


t0 = 0, t2n = tn, t2n+1 = 1− tn.

t ist auch Fixpunkt der Transformation 0 7→ 01, 1 7→ 10

t = 0 1 1 0 1 0 0 1 1 . . .

= 01 10 10 01 10 01 01 10 10 . . . ;



t = 0 1 10 1001 10010110 . . .


t0 = 0, t2n = tn, t2n+1 = 1− tn.

t ist auch Fixpunkt der Transformation 0 7→ 01, 1 7→ 10

t = 0 1 1 0 1 0 0 1 1 . . .

= 01 10 10 01 10 01 01 10 10 . . . ;

Thue zeigte u.a., dass t nicht periodisch ist und

keine dreimal direkt aufeinanderfolgenden Sequenzen enthält!


Der Mathematiker und passionierte Schachspieler und spätereWeltmeister Machgielis Euwe wiederentdeckte die Folge 1929 imZusammenhang mit dem Problem unendlicher Schachpartien...


Die Deutsche Regel

besagte, dass eine Schachpartie mit einem Unentschieden endet,wenn dieselbe Folge von Zügen – mit allen Figuren in denselbenPositionen – dreimal hintereinander vorkommt.

Euwe bemerkte, dass trotzdem nicht erwünschte, unendlichandauernde Schachpartien möglich sind!


Arbeitet man nämlich die Thue-Morse Folge gemäß folgender

Vorschrift

0 : Sb1-c3, Sb8-c6; Sc3-b1, Sc6-b8

1 : Sg1-f3, Sg8-f6; Sf3-g1, Sf6-g8

in eine passende Schachstellung ein, so kann man nach den 1929gültigen Regeln unendlich lange Schach spielen!



Vorschrift

0 : Sb1-c3, Sb8-c6; Sc3-b1, Sc6-b8

1 : Sg1-f3, Sg8-f6; Sf3-g1, Sf6-g8


Die Deutsche Regel wurde im Nachhinein abgeschafft und



Vorschrift

0 : Sb1-c3, Sb8-c6; Sc3-b1, Sc6-b8

1 : Sg1-f3, Sg8-f6; Sf3-g1, Sf6-g8



Euwe 1935-1937 Weltmeister :-)



Vorschrift

0 : Sb1-c3, Sb8-c6; Sc3-b1, Sc6-b8

1 : Sg1-f3, Sg8-f6; Sf3-g1, Sf6-g8



Euwe 1935-1937 Weltmeister :-)

Dreimal dieselbe Stellung wäre ein hinreichendes Abbruchkriterium

für endliches Schach!


Hintergrund

Satz (Thue, 1912): Die Thue-Morse Folge t = t0t1t2 . . . enthält keine

sich direkt hintereinander dreimal wiederholende Sequenz:

. . . BBB . . . 6⊂ t für alle B ∈ {0, 1}n.


Hintergrund

Satz (Thue, 1912): Die Thue-Morse Folge t = t0t1t2 . . . enthält keine

sich direkt hintereinander dreimal wiederholende Sequenz:

. . . BBB . . . 6⊂ t für alle B ∈ {0, 1}n.

Ein Satz von Hedlund und Morse liefert sogar die Unmöglichkeit des

Auftretens von BBb, wobei b die erste Ziffer von B sei.

Beweisidee: Induktion nach der Anzahl ♯B der Ziffern in B. Die

Bausteine von t sind 01 bzw. 10, was das Auftreten von 000 bzw.

111 bereits unmöglich macht; Sequenzen wie 010101 bzw. 101010

korrepsondieren mit dem Morphismus 0 7→ 01, 1 7→ 10 mit 000 bzw.

111, sind also auch unmöglich...


Hedlund und Morse begründeten mit einer Reihe vonUntersuchungen in den 1940ern das Gebiet der symbolischenDynamik (bzw. auch Kombinatorik von Wörtern).


Abschließend ein Problem der Physik...

Laplace , Boltzmann und Maxwell (von der Webseite des MacTutor History of Mathematics archive)



Ergodizität

findet man bei der Abbildung n 7→ nα− ⌊nα⌋ bei irrationalem α;


Ergodizität


ergodische Abbildungen besitzen ein chaotisches (unstetes,

schwer vorhersagbares) Verhalten.


Ergodizität




Die Physiker Boltzmann (1871) und Maxwell (1879) stellten

Vermutungen zu den Trajektorien von physikalischen Teilchen in

geschlossenen Systemen auf (z.B. die Hauptsätze zur

Thermodynamik);


Ergodizität







Thermodynamik); der Physiker und Mathematiker Poincar e (1890)

widerlegte die Ergodenhypothese mathematisch und lieferte der

Physik ein neues statistisches Verständnis von Vorhersagbarkeit

entgegen dem vorherrschenden Determinismus (’Laplacescher

Dämon’).


Ergodizität







Thermodynamik); der Physiker und Mathematiker Poincar e (1890)

widerlegte die Ergodenhypothese mathematisch und lieferte der

Physik ein neues statistisches Verständnis von Vorhersagbarkeit

entgegen dem vorherrschenden Determinismus (’Laplacescher

Dämon’). Ergodentheorie wurde weiter entwickelt von Weyl (1914),

Neumann und Birkhoff (1931)...


Arnold’s Cat Map

”Arnold’s cat map” ist eine von Vladimir Arnold erdachte ergodischeAbbildung; hier zu sehen sind Iterationen eines Bildes von Felix

unter dieser Abbildung!


Arnold’s Cat Map

”Arnold’s cat map” ist eine von Vladimir Arnold erdachte ergodische

Abbildung; hier zu sehen sind Iterationen eines Bildes von Felix

unter dieser Abbildung! Felix kehrt nach 135 Iterationen zurück!


Wie die Abbildung funktioniert

”Arnold’s cat map” ist definiert durch

A : [0, 1)2 → [0, 1)2(

x

y

)

7→(

2

1

1

1

)(

x

y

)

mod 1.

Hierbei steht mod 1 für das Abschneiden des Ganzteils: x mod 1 = x− ⌊x⌋.


Wie die Abbildung funktioniert

”Arnold’s cat map” ist definiert durch

A : [0, 1)2 → [0, 1)2(

x

y

)

7→(

2

1

1

1

)(

x

y

)

mod 1.

Hierbei steht mod 1 für das Abschneiden des Ganzteils: x mod 1 = x− ⌊x⌋.

Aber wieso kommt Felix vollständig wieder?


Poincaré s Wiederkehrsatz

besagt, dass in autonomen hamiltonschen Systemen, derenPhasenraum X ein endliches Maß hat, in jeder offenen TeilmengeA ⊂ X im Phasenraum fast jedes Element x ∈ A eine Trajektoriebesitzt, die beliebig oft wieder nach A zurückkehrt.

Völlig neue Konzepte: die mengentheoretische Sichtweise und Sprache wie insbesondere

”fast jedes”. Probabilistische und maßtheoretische Methoden in der Physik!


Friedrich Nietzsche...

schrieb in seiner Frohlichen Wissenschaft

” Dieses Leben, wie du es jetzt lebst und gelebt hast, wirst du noch

einmal und noch unzahlige Male leben mussen; und es wird nichts

Neues daran sein, sondern jeder Schmerz und jede Lust und jeder

Gedanke und Seufzer und alles unsaglich Kleine und Große deines

Lebens muß dir wiederkommen, und alles in derselben Reihe und

Folge – und ebenso diese Spinne und dieses Mondlicht zwischen den

Baumen, und ebenso dieser Augenblick und ich selber. Die ewige

Sanduhr des Daseins wird immer wieder umgedreht – und du mit ihr,

Staubchen vom Staube! ”

und bezog sich dabei auf namhafte Mathematiker und Physikerseiner Zeit :-)


Thermodynamik

Gegeben eine geschlossene Box mit leerer rechter Kammer undmit einem Gas gefüllter linker Kammer. Wird die trennende Wandentfernt, verteilen sich die Gasmoleküle in der ganzen Box. Wirerwarten eine Gleichverteilung derselben!

• • • • • | ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ • ◦ • • ◦ ◦ • ◦ • •• • • • • | ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ • ◦ ◦ • ◦ • ◦ • ◦ ◦• • • • • | ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ • • ◦ ◦ ◦ • ◦ • ◦• • • • • | ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ −→ • ◦ • • ◦ • ◦ • • ◦• • • • • | ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ • • • ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ •• • • • • | ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ • ◦ • • ◦ •• • • • • | ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ • ◦ • • • • ◦ ◦ • •


Entgegen unserer Intuition zeigt der POINCAREsche Wiederkehrsatz,

dass das System aus fast jeder Konfiguration heraus nach einer

gewissen Zeit nahezu in die Ausgangssituation zurückkehren wird!Insofern ist eine deterministische Formulierung des zweitenHauptsatzes der Thermodynamik, dass die Entropie einesgeschlossenen Systems nicht abnehmen kann, falsch, vielmehr istdieser Satz statistischer Natur!


Entgegen unserer Intuition zeigt der POINCAREsche Wiederkehrsatz,

dass das System aus fast jeder Konfiguration heraus nach einer

gewissen Zeit nahezu in die Ausgangssituation zurückkehren wird!Insofern ist eine deterministische Formulierung des zweitenHauptsatzes der Thermodynamik, dass die Entropie einesgeschlossenen Systems nicht abnehmen kann, falsch, vielmehr istdieser Satz statistischer Natur!

Beim Billard stellt sich auch fast sicher nahezu die

Ausgangssituation wieder ein, aber auch fast jede andere

Konfiguration...


Murphy’s Law

from the blog Discover at blogs.discovermagazine.com

Anything that can go wrong will wrong!


Empfehlenswerter Lesestoff:

• M. BETTINAGLIO, F. LEHMANN, Mathematisches Billard – Zwei Vorschläge zu projektartigemUnterricht, Grüne Berichte an der ETH Zürich 1998,www.educ.ethz.ch/unt/um/mathe/gb/Billard Text.DOC

• K. DAJANI, C. KRAAIKAMP, Ergodic Theory of Numbers, Carus Mathematical Monographs,2002 — schlichtweg die beste Einführung in Ergodentheorie!

• F. HERRLICH, G. SCHMITHUSEN, Mathematik auf Billardtischen, Karlsruhe 2008,jdm.mathematik.uni-karlsruhe.de/herrlich/vortrag.pdf — sehr schöne Illustrationen und ungelösteFragen!

• J. STEUDING, Ergodic Number Theory, http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/∼steuding/agzt.htm

• K.B. STOLARSKY, Beatty sequences, continued fractions, and certain shift operators,Canadian Math. Bull. 19 (1976), 473-482 — knüpft an den zweiten Teil des Vortrages an

• S. TABACHNIKOV, Geometry and Billiards, AMS Bookstore 2005 – sehr lesenswert undinformativ; enthält vieles mehr als das hier angesprochene und im internet frei verfügbar!

• die Webseiten von WOLFRAM MATHWORLD http://mathworld.wolfram.com/ zu Billiard


Vielen Dank!

Die Folien gibt es auch auf meiner webseite

http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/∼steuding/


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