Woerle k. 200 aufgaben aus der trigonometrie mit loesungen 1963

200AUFGABENAUS DER TRIGONOMETRIE

MITL\303\226SUNGEN

von KarlW\303\266fxe

Zur Vorbereitungauf das Abitur an Gymnasien,

Realgymnasien,Wirtschaftsoberrealschulensowief\303\274r

Studierendeund FreundederMathematik

HRISCHERSCHULBUCH-VERLAGM\303\234NCHEN

DiesesHeft ist ein Sonderdruckaus dem im Rahmen desMathematischen Unterrichtswerkesdes BayerischenSchulbuchverlageserscheinenden Band GeometrieII \342\200\224 Trigonometrie.Es wendet sich [in erster Linie an die Abiturienten der Gymnasien,Realgymnasien und Wirtschaftsoberrealschulen,f\303\274r die esreichhaltigen \303\234bungsstoflF

zur Vorbereitung auf dieReifepr\303\274fung bietet,

sowiean Studierendeder technischenWissenschaften.F\303\274r Hinweiseund Anregungen zur weiterenAusgestaltung sowief\303\274r Verbesserungsvorschl\303\244gesind Verlag und Verfasserdankbar.

1963

Verlegt im Bayerischen Schulbuch-Verlag, M\303\274nchen 19,Hubertusstra\303\237e 4,Verlags-Nr. 727

GesamthersteUung: Graphische Betriebe Dr. F.P.Datterer & Cie.-Inh. Sellier - Freising

Vorbemerkungzum Rechnenmit Me\303\237werten

Beiden bisherigenAufgaben haben wir dieZahlenangabenals absolutgenau betrachtet.In der PraxisderTrigonometriehat man es jedochmeist mit Me\303\237werten zu tun. Wirdbeispielsweiseeine Streckezu 3,64m gemessen,so hei\303\237t dies, da\303\237 die wahre

L\303\244nge

zwischen3,635m und 3,645m liegt.Ein zu 32\302\260 gemessenerWinkel liegt zwischen31,5\302\260

und 32,5\302\260. Im ersten Fall besteht eine Unsicherheitvon\302\261 0,005m, im zweitenFall eine

solche von\302\2610,5\302\260.

Wie sich dieseUnsicherheitenauf das Ergebnisauswirken, zeigtfolgendes

Beispiel:In einem rechtwinkligen Dreieckist eine Kathete o zu 3,64m gemessen,der ihr anliegendeWinkel

\303\237

konnte nur auf Grad genau zu 32\302\260 bestimmt werden. Berechne dieKathete b!Innerhalbwelcher Grenzen kann b liegen ?

0,3569

L\303\266sung:

b = o \342\200\242tan/9 = 3,64\342\200\242tan 32\302\260

logt = 0,5611+9,7958-10b = 2,274[m]Untere Grenze von b: bu = 3,635\342\200\242tan

31,5\302\260

log6w = 0,5605+ 9,7873-10= 0,3478bu = 2,228[m]ObereGrenze von b: b0 = 3,645\342\200\242tan

32,5\302\260

log&o = 0,5617+ 9,8042-10= 0,3659b0 = 2,322[m]

Abb. 1

W\303\274rden wir nun dasErgebnis mit b = 2,274m angeben, so hie\303\237e dies, da\303\237 b zwischen 2,2735mund 2,2745m liegen w\303\274rde mit einer Genauigkeit von \302\261 0,0005m. Wir erkennen, da\303\237 dieseGenauigkeit sinnlos ist und da\303\237 wir, um den Schwankungsbereich einigerma\303\237en zu erfassen,runden m\303\274ssen. In unserem Fall kann das Ergebnis nur mit 6 = 2,3m angegeben werden, wobeiselbst hier noch eine Unsicherheit von 1 Einheit der letzten Stelle besteht. Obwohl also dieKathete o drei geltende Ziffern besitzt, kann das Ergebnis \303\274berraschenderweise nur mit 2geltenden Ziffern angegeben werden. Diesliegt daran, da\303\237 derWinkel

\303\237

nur auf Grad genau bestimmtwerden konnte1). Eine Genauigkeit von 1\302\260 in der Winkelma\303\237zahl l\303\244\303\237t also offenbar in derStreckenma\303\237zahl nur 2 geltende Ziffern zu. Wir erkennen:

DieGenauigkeit desErgebnisseswird durch dieungenaueste, an der Rechnung beteiligte Ma\303\237gr\303\266\303\237e

bestimmt.

Mit der Berechnungder Fehler und Schwankungen befa\303\237t sich ein besondererZweigder Mathematik, in den wir mit unserenbisherigenKenntnissenjedochnicht eindringenk\303\266nnen. Wir werden aber den Verh\303\244ltnissen einigerma\303\237en gerecht,wenn wir folgendeFaustregelbeachten:

Es entsprechen:2 geltendeZiffern der Streckenma\303\237zahl einer Winkelgenauigkeit von ^ 1\302\260 und umgekehrt3 geltendeZiffern der Streckenma\303\237zahl einer Winkelgenauigkeit von ^

0\302\2731\302\260und umgekehrt

4 geltendeZiffern der Streckenma\303\237zahl einer Winkelgenauigkeit von ^ 1' und umgekehrt5 geltendeZiffern der Streckenma\303\237zahl einer Winkelgenauigkeit von ^5\" und umgekehrt

l) Hier liefert nicht nur die 48tellige Tafel, sondern sogar der Rechenstab ein zu genaues Ergebnis I

1

Beispiel:DieH\303\266he einer Stange wurde zu 1,72m, die

L\303\244ngeihres Schattens zu 1,42m gewessen. Wie hoch

steht dieSonne ?

L\303\266sung:

Mit der 4stelligen Tafel erh\303\244lt man a =50,45\302\260.

DieserWert ist zu genau. Wir geben nach der

Faustregel alsErgebnis an:a =50,5\302\260,

womit wir uns derGenauigkeit desRechenstabes angepa\303\237t

haben. H\303\244tte der Schatten, etwa wegen unscharfer Konturen, nur auf Dezimeter genau gemessenwerden k\303\266nnen, sow\303\244re derWinkel a auf ganze Grad zu runden gewesen.

Zur Beachtung: Bei allen folgendenAufgaben, in denen aus dem Text eindeutigzuerkennen ist, da\303\237 diebeteiligtenGr\303\266\303\237en

Me\303\237werte sind, ist dieGenauigkeit,falls nicht mitdemRechenstabgerechnetwurde, nach obigerFaustregelsinnvoll zu begrenzen.

AUFGABEN

I. RechtwinkligesDreieck1.Wie lang ist dieWinkelhalbierende wa im rechtwinkligen Dreieckmit den Katheten

a = 5 cm und 6=7cm?

2.Ein DreieckABC ist beiB rechtwinklig. Es ist a =35\302\260 und AB = c = 6,5cm. Wie

lang ist das St\303\274ck der Mittelsenkrechtenzur Hypotenuse,das durch die Schenkelvon a begrenztwird ?

3.a) In einem gleichseitigenDreieckwird eine Seitein 3 gleicheTeile geteilt. DieTeilpunkte werden mit der gegen\303\274berliegenden Ecke verbunden. In welcheTeilwinkelwird dadurch der 60\302\260-Winkel zerlegt?

b) In einem gleichschenkligenDreieck,dessenBasiswinkel doppeltsogro\303\237

sindwie der Winkel an der Spitze,wird die Basisin 3 gleicheTeilegeteilt.DieTeilpunkte werden mit der gegen\303\274berliegenden Eckeverbunden.In welcheTeilwinkel zerf\303\244llt dadurch derWinkel an der Spitze?

4.Die Grundlinie a eines gleichschenkligenDreiecksmit dem Basiswinkel\303\237

wirdbeiderseitsum den SchenkeldesDreiecks

verl\303\244ngert.DieEndpunkte werden mit

der Spitzeverbunden.Wie lang sind die Seitendesneuen Dreiecks? a = 35mm;0=69\302\260

18'.5. Von einem stumpfwinkligen Dreieckist die Grundlinie c und der Winkel a

bekannt. DerFu\303\237punkt F der H\303\266he hc liegt auf der Verl\303\244ngerung von AB so, da\303\237

BF=\302\243

AB. Berechnedie fehlenden St\303\274cke des DreiecksI c = 6 cm; oc =35\302\260.

6.Auf eine a Meterhohe Bretterwand fallen die Sonnenstrahlenunter dem Winkel agegen die Horizontale, d Meter vor derWand steht eineh Meterhohe Stange. Umwie vieleMeterragt der Schattender Stangeaus dem Schlagschattender Bretterwandheraus,wenn die durch die Sonnenstrahlenund die Stange bestimmte Ebeneauf derWand senkrecht steht (Abb.2)? a = 2;h= 5 ; d = 3; a =

32\302\260. Zeichnung imAbb. 2 Ma\303\237stab 1:100.

2

7. Von einemh Meterhoch gelegenenFenstereinesHausessieht man die SpitzeeinesTurmes unter dem H\303\266henwinkel a,den Fu\303\237 desTurmesunter demTiefenwinkel

\303\237.

Wie hoch ist der Turm und wie weit ist er vom Haus entfernt, wenn er mit diesemauf dergleichenwaagrechtenEbenesteht ?

Me\303\237werte:h = 9,95m; a =

19,2\302\260 ;\303\237

=3,9\302\260.

8.1)Von einem Punkt A des Talgrundes aus erscheintein BerghotelH unter demH\303\266henwinkel a,vom Punkt B desTalgrundesunter demH\303\266henwinkel

\303\237.

Wie hochliegt das Berghotel \303\274ber dem Tal, wenn AB = s horizontal verl\303\244uft, Ay By H ineiner Lotebeneliegen und die Augenh\303\266he desBeobachtersh

betr\303\244gt?

Me\303\237werte:s = 295m; <x =

32,6\302\260 ;\303\237

=23,4\302\260; h = 1,1m.

9.1)Ein Billard hat die Form eines Rechtecks ABCD.Eine Kugel K hat von derBandeAB den Abstand x, von der BandeBCdenAbstand y. Unter welchemWinkelmu\303\237 die Kugel an der Bande AB aufschlagen,damit ein in der Mitte desBillardsstehenderKegela) nach einmaligerReflexionan der BandeAB,b) nach Reflexionan derBandeAB und nachfolgenderReflexionan der BandeAD

getroffen wird?AB = 2m; BC= 1,2m;x = 0,4m; y

= 0,6m;Zeichnung im Ma\303\237stab 1 :20!^Breitformat! Gan2eHeftseite!Anleitung: Spiegeleden Kegela) an der Bande AB b) an der Bande AD und das Spiegelbildnochmals an ABl

10.1)Stellt man einen Theodoliten an den Fu\303\237 eines Turmes, so da\303\237 das Fernrohr aMeter \303\274ber dem Bodenliegt, so sieht man das GipfelkreuzeinesBergesunter demH\303\266henwinkel a.Bringt man das Instrument in ein FensterdesTurmes, so da\303\237 dasFernrohr b Meter \303\274ber dem Bodenliegt, so erscheintdas Gipfelkreuzunter demH\303\266henwinkel

\303\237.

Wie hoch liegt das Gipfelkreuz\303\274ber der durch denFu\303\237punkt

desTurmes gehendenHorizontalebene?Me\303\237werte:

a = 1,32;a =32\302\260 17';b = 59,82;

\303\237

= 28\302\26044'.

II.1)Auf der h Meter \303\274ber dem BodengelegenenPlattform A eines Aussichtsturmeswird ein Theodolit aufgestelltund die SpitzeS eines Fernsehmastesanvisiert. Sieerscheintunter dem H\303\266henwinkel a.Vom Fu\303\237 F desTurmesaus ist SwegeneinesdazwischenliegendenBaumes nicht sichtbar. Geht man aber mit dem Instrumentvon F aus b Meter in Richtung auf den Mastbiszum Punkt By soerscheintS unterdem H\303\266henwinkel

\303\237.

DieH\303\266he desFernrohrs \303\274ber der Plattform bzw. demErdboden ist a Meter.Berechnedie H\303\266he desFernsehmastes,wenn angenommenwerden darf, da\303\237 A, F,B und S in einerLotebeneliegen!Me\303\237werte:

h = 59,4; b = 160; a = 1,32; a =19,2\302\260;

\303\237

=42,6\302\260.

12.!)Ein Berghotelliegt h Meter \303\274ber dem SpiegeleinesSees.Vom Hotelaus sieht einBeobachtereineWolke unter dem H\303\266henwinkel a,ihr Spiegelbildim Seeunter demTiefenwinkel

\303\237.

Welchesist die H\303\266he der Wolke \303\274ber dem Seespiegel?

Me\303\237werte:h = 70,2; a =

58,1\302\260;\303\237

=61,2\302\260.

13.Ein Sandkastenhat die Form eines geraden, dreiseitigenPrismas, dessenQuerschnitt ein gleichschenkligesDreieckist mit der Basis1,2m und der H\303\266he 1,0m.

l) Diese Aufgaben sollen dadurchgel\303\266st werden, da\303\237 2 Strecken als Unbekannte eingef\303\274hrt und 2 Gleichungen zu

ihrer Berechnung aufgestellt werden.

3

Abb. 3

Er ruht mit der Basisfl\303\244che auf demErdboden. Eine der

schr\303\244gen Seitenw\303\244nde wirdvon der Sonnebeschienen,und zwar so, da\303\237

die unter demWinkel 35\302\260 gegendieHorizontale einfallendenSonnenstrahlendiedreieckigen

Stirnw\303\244nde gerade streifend ber\303\274hren.

Zwischen Sonne und Kasten steht in 0,8m

Entfernung von diesem(auf dem Bodengemessen) eine hinreichend lange Bretterwandvon der H\303\266he 1,6m. Wieviel % der Fl\303\244che

derschr\303\244gen

Seitenwandliegt im Schatten?Zeichnung im Ma\303\237stab 1:20 (Abb. 8)!

II.SchiefwinkligesDreieck14.Cosinussatzmit Me\303\237werten

In den folgenden Aufgaben stellen die Streckenma\303\237zahlen gemesseneWerte mit 4 geltenden Ziffern

dar. Dann mu\303\237 beachtet werden, da\303\237 auch die Quadrate dieser Ma\303\237zahlen nur mit 4 geltendenZiffern angegeben werden k\303\266nnen. Zu ihrer Berechnung benutzt man die Quadratwurzeltafel vonrechts nach links, gegebenenfalls mit Interpolation

Beispiel:x2 = 6,0732+ 4,9182-26,0732= 36,88(Tafel!)4,9182= 24,19(Tafel!)~~Y= 61,07

P = 43,54

6,073 \342\200\2424,918\342\200\242cos43\302\26012'

log2 -0,3010log 6,073 = 0,7834log 4,918= 0,6918logcos..= 9,8627-10

x2 = 17,53x = 4,187(TafelI)

logP =-1,6389P = 43,54

Berechnedie fehlendenSt\303\274cke, wenn gegebenist:a) b = 5,128km;b) a = 7,425km ;c) a = 63,32m;d)6= 2,728km;e) a = 3,245km;f) a= 52,54m;g) a = 548,8m;

c= 3,918km;b = 6,203km;c= 79,46m;c = 3,155km;b = 4,375km;b= 29,85m;b = 235,2m;

a= 62\302\26023'

y =102\302\260 47'

\303\237=\303\266l0^'

<x= 52,33\302\260

c = 5,514kmc = 65,38mc = 712,4m

15.In einem Kreis sind von einem Punkt P seinesUmfangs aus 2 Sehnen von derL\303\244nge

7 cm und 5 cm eingetragen,welcheeinenWinkel von 23\302\260 einschlie\303\237en. Wie

gro\303\237ist der Radius desKreises?

16.In einemDreieckist a = 58,5mm, b = 73,5mm und y=

76,3\302\260. Wie lang sind dieAbschnitte, in welchedieSeitec durch dieWinkelhalbierende wy zerlegtwird ?

17.(Vorpr\303\274fung 1962)Von einem Feldwegzweigt in P ein

Fu\303\237wegunter einem Winkel von 20\302\260 nach

vorne rechtsab und f\303\274hrt nach 173m zu einemPunkt A. 141m nach derAbzweigung

in P geht von dem Feldweg im Punkt Q ein zweiterFu\303\237weg

unter einemWinkel von 50\302\260 nach vorne links ab zu dem von Q60m entfernten Punkt B.Alle

4

drei Wegeverlaufen geradlinigund befindensich in einerEbene.Wiegro\303\237

ist dieEntfernung d der beidenPunkte A und B? (Winkel sind auf Minuten zu runden!)

18.In Abb.4 ergibt sich die rot gezeichneteStreckex durch eine leicht ersichtlicheKonstruktion aus den Gr\303\266\303\237en c, oc und

\303\237.

a) Stellex als Funktion der gegebenenGr\303\266\303\237en dar!b) Berechnex f\303\274r c = 5 cm; oc =

70,5\302\260;\303\237

=39,5\302\260.

c) UntersuchedieSpezialf\303\244lleLa =60\302\260, \303\237=30\302\260;

IL a=90\302\260; III.oc =\303\237.

Abb. 5

19.In Abb.5 ergibt sich die Streckex durch Konstruktion aus den Gr\303\266\303\237en a und a.a) Stellex als Funktion von a und oc dar!b) Berechnex f\303\274r a = 5,25cm! oc =

37\302\260 12'.c) Untersuchedie

Spezialf\303\244lleoc =

30\302\260 sowieoc =45\302\260!

20.DerTangenssatza) Zeige,da\303\237 zwischen2 Seitena und b und ihren Gegenwinkelnoc und

\303\237

dieBeziehung besteht

a + b

a \342\200\224 b

a +\303\237tan -^

a-\303\237

tan\342\200\224/ ._

Anleitung: Benutze dieSehnenbeziehungen o = 2 r \342\200\242sina und b = 2 r \342\200\242sin/9!Bemerkung: DerTangenssatz eignet sich f\303\274r die Berechnung eines Dreiecks aus 2 Seiten und

a +\303\237 Ydem eingeschlossenen Winkel. Ist beispielsweise o, 6 und y gegeben, soist \342\200\224-\342\200\224 = 90\342\200\224

\342\200\224 .Mithin l\303\244\303\237t sich (a \342\200\224

\303\237),und weil (a +

\303\237)

bekannt ist, schlie\303\237lich aund\303\237

berechnen. DerTangenssatz hat gegen\303\274ber dem Cosinussatz den Vorteil, da\303\237 durchgehend logarithmisch gerechnetwerden kann. Seine Anwendung ist insbesondere dann am Platz, wenn lediglich nach denWinkeln, nicht aber nach der fehlenden Seitegefragt ist.

b) Berechneein Dreieckaus a = 59,23m; b = 48,43m; y =42\302\260 54'.

c) Ebenso: a = 31,75m; c = 53,20m;\303\237

= 41\302\26038'.

d) Ebenso: b= 1,638km; c= 2,635km; oc = 107\302\26020'.

e) Auf den Schenkeln des Winkels oc =35\302\260 werden vom Scheitel S aus zwei

StreckenSA und SBsoabgetragen,da\303\237 SA = 2 \342\200\242SB.Wiegro\303\237

sind die WinkelSABund SBA ?

f) Von einemPunkt P aus sieht man den Kirchturm K in der Richtung N53,5\302\260 E1)

und den trigonometrischenPunkt T in der Richtung S12,2\302\260

W. In welcherRichtung erscheint von T aus der Kirchturm K, wenn PK =2,19km undPT= 3,05km gemessenwurden?

l) E = Osten (von engl. east).

5

g) An einem Hang, dessenNeigung zu16,5\302\260 gemessenwurde, steht ein 41,5m

hoher Turm. Wie hoch steht die Sonne,wenn der genau hangaufw\303\244rts gerichteteSchattendesTurmeszu 32,2m bestimmt wurde ?

21.Der Halbwinkelsatz

a) Best\303\244tige zun\303\244chst, da\303\237 in Abb. 6 AD = s

Zeige da\303\237 sich mit Benutzung der Formel FFormel schlie\303\237lich ergibt:

a und weiter tan-\302\243-

= \342\200\224-\342\200\224 .2 s \342\200\224 a= g - s und der Heronischen

2 V a-(8-a)tanl^^--^7^2 r 8-(s-b)tan^V'\303\226-^2 V 8 \342\200\242

(\302\253

-C)

Abb. 6

Bemerkung: DerHalbwinkelsatz kann bei der Berechnung des schiefwinkligen Dreiecks imFall IV an die Stelle des Cosinussatzes treten, wenn die gegebenen Zahlenwerte eine

logarithmische Durchf\303\274hrung der Rechnung als ratsam erscheinen lassen.

b) Zeichneein Dreieckmit den Seitenc = 5 cm; a = 3cm; b = 4,5cm!Konstruiere den Inkreisund die 3 Ankreise 1 Berechnedie Radien der vier Kreisesowiedie Winkel desDreiecks!(GanzeSeite!)

c) Berechnedie Winkel einesDreiecksmit den Seitena = 248,4m, b = 315,7mund c= 286,9m!

d) Berechnedie Winkel eines Dreiecks,wenn bekannt ist, da\303\237 a :b = 3:4 undb:c=3:41Anleitung: Stelle eine fortlaufende Proportion her!

e) Leiteden Halbwinkelsatz rechnerisch,ohne jedeFigur, aus dem Cosinussatzab!&2 +c2-a2 ,

Anleitung: Zeige zuerst, da\303\237 tan \342\200\224 = \\*\342\226\240 cosg und ersetze cosadurch

2 f 1+ cosa 2bcf) Um die EckendesDreiecksABC sind Kreisegezeichnet,die sichpaarweise

ber\303\274hren. Berechnedie Fl\303\244che desvon ihnen gebildetenKreisbogendreiecks f\303\274r

a) a = 51mm; b = 41mm ; c = 58mm;b) a = 35 mm ; b = 53mm; c = 66mm.

22.Dier-FormelnIn den folgenden Formeln sind wichtige Dreiecksgr\303\266\303\237en

durch den Radius desUmkreises r und dieWinkel desDreiecksausgedr\303\274ckt. DieAusgangsbeziehungen f\303\274r die Ableitung dieser Formelnsind dieSehnenbeziehungen

a = 2 r \342\200\242sina b = 2 r \342\200\242sin/9 c = 2 r \342\200\242siny

Beweise:a) ha = 2 r \342\200\242sin/? siny; hb = ?; hc = ?

b) F = 2 r2 \342\200\242sina sin/? siny;\\ a a

\303\237 yc) s = Ar cos \342\200\224 cos-j-cos-y ;

6

j\\ a * \342\200\242

\303\237 yd) s \342\200\224 a = 4 r cos\342\200\224 sin -\302\243- sin -y;

e) ^ = 4 r sin y sin y sin-\302\243-

;

23

\342\226\2406= ?; f-^= ?

f) Qa= 4 r sin \342\200\224 cos-\302\243-

cos

g) wa=2r

aY \342\204\242 2

sin/9 siny

cosJ(0-y)

Zeige:a) F2 = q ga \342\200\242gb'

2

W\303\237

=Qb

= ?; Qc=?= ?\342\200\242

Wy= P

b) J_ J_11_

24. DreiecksberechnungenDieL\303\266sung kann einer eventuell m\303\266glichen Konstruktion folgen. Eine rein rechnerische

Behandlung ergibt sich meist durch Benutzung der r-Formeln von Aufgabe 22.Berechnedie fehlenden Seitenund Winkel sowie die Fl\303\244che desDreiecks,wenngegebensind:a) r = 4 cm;b) r = 3,5cm ;c) ha :h = 4 :3 ;d) c = 5,8cm;

Hinweis: Es l\303\244\303\237t sich y

e) a :r = 3 :2 ;f) \303\237=2cm;

g) 2?=1dm2;h) wy = 5 cm;i) Aa = 4 cm;k) a 4-b = 9cm;1) c \342\200\224 a = 1,5cm;m)a 4-6 4-c = 12cm;n) c = 6cm;o) a = 5cm;p) c = 6cm;q) a :6 = 7 :3 ;

a =65\302\260 j

hb = 4,5cm;\303\237

= 2<x;r = 3,5cm;

/S=54\302\260

y=59\302\260

r = 4cma-

\303\237

=32\302\260

und damit a +\303\237

berechnen.

ha = 6cm;a =

49\302\260;

\302\243=65\302\260;

a =32,5\302\260;

a =40\302\260

a =45\302\260

\303\237=80\302\260

a=78\302\260

a \342\200\224 b = 2cm;y - 60\302\260;a:b=5:3;\302\253:/J-3:l;

r) Beweisedie Mollweideschen Formeln1)

a +C

\302\253-/?

6 COS~sin

-\302\243-

\"5

y-

\303\237

=30\302\260

0=62\302\260

y =58\302\260

y =63,5\302\260

0=45\302\260

/?=56\302\260

y =64\302\260

/?=46\302\260

a-/3=30\302\260

g:r=2:5a-/?=26\302\260hc = 2,5cm

. *-\303\237

a ~ b _ Sm~^~c y

cosy

und benutze eine dieserBeziehungenin Verbindung mit dem TangenssatzzurBerechnungder Seitec, wenn b = 3,225km;a = 5,575km und y =

70\302\260 48'1s) (Vorpr\303\274fung 1961,gek\303\274rzt.)

Von einemDreieckABCist gegeben:c = 10,5cm,y =60\302\260,

a :b = 3 :8.a) Berechnedie Seitena und 6, die H\303\266he ha, den Winkel a und die Entfernung

desInkreismittelpunktes vom Punkt A1

b) BerechnedieL\303\244nge

desUmkreisbogenszwischenA und C,der B nichtenth\303\244lt!

0 Mollweide, Astronom, 1775\342\200\2241825.

7

25.Durch den Mittelpunkt desInkreisesdesDreiecksABC ist zu AB = c die Parallelegezogen.SieschneidetAC in X und BCin Y. Zeige,da\303\237 f\303\274r die

L\303\244nge z derTransversalen XY gilt:

cos\342\200\224-\342\200\224

_ 1. 22 ~

2 <x 0cos\342\200\224 cos \342\200\224

2 2Berechnesodannz f\303\274r a) c= 6cm;a =

\303\237

=60\302\260; b) c = 5cm;a =

74\302\260; /?=59\302\260.

26.Gegebendas gleichschenkligeDreieckABC mit der Grundlinie AB = c und demWinkel y an der Spitze.Durch den Mittelpunkt der H\303\266he hc wird zur GrundlinieAB die Parallelegezogen.Sieschneidetden Umkreis des DreiecksABC in denPunkten X und Y. Zeige,da\303\237 f\303\274r die

L\303\244nges der SehneXY gilt:

tV\302\273+

sinV/2Berechnesodanns f\303\274r

a) ein gleichseitigesDreieckmit AB = 6 cm!b) c = 4 cm; y

=40\302\260.

27.In einemgleichschenkligenTrapez sind die Schenkelebensolangwie dieGrundlinie a.Au\303\237erdem ist Winkel BAC= a.a) Berechnedie Fl\303\244che desTrapezes!b) Zeige,da\303\237 der prozentualeAnteil der

Trapezfl\303\244chean der Fl\303\244che des

umbeschriebenen Kreises-^!sin3a % betr\303\244gt1 F\303\274r welchesTrapez nimmt dieser

Prozentsatzseinengr\303\266\303\237tm\303\266glichen

Wert an und wiegro\303\237

ist dieser?28.DieSeitenhalbierende im Dreieck

Beweise,da\303\237 f\303\274r dieL\303\244nge

der SeitenhalbierendensceinesDreiecksmit den Seitena, b und c gilt:

Sc = ^y2a2+ 2&2-c2

Anleitung: Setzein den beiden Teildreiecken f\303\274r o und b jeweils den Cosinussatz an und addierebeide Gleichungen!

29.Die Winkelhalbierende im Dreiecka) Beweisemit HilfedesSinussatzes,da\303\237 eineDreiecksseitevon der Halbierenden

desGegenwinkelsim Verh\303\244ltnis der anliegendenSeitengeteilt wird!b) Berechnedie Teilabschnittem und n aus den SeitendesDreiecks1c) Zeige,da\303\237 f\303\274r die

L\303\244ngeder Winkelhalbierenden wY gilt:

wY =b \\(a 4-b 4-c) (a 4-b -c)

Anleitung: Setzein den beiden Teildreiecken f\303\274r o und b jeweils den Cosinussatz an und

eliminiere das Glied mit wy durch Addition der beiden Gleichungen nach vorhergehenderMultiplikation mit b bzw. o!

d) Beweisedie Formel _ ,' lab ywv = r cos-^-Y a + b 2

Anleitung: Setzef\303\274r m und n jeweils den Cosinussatz an und beachte, da\303\237 wegen m:n= b:adie Beziehung o2 m2 = b2n2 besteht!

8

30.

31.

e) Auf dem einen Schenkeleines 60\302\260-Winkels wird die StreckeSA = 6cm, aufseinerWinkelhalbierenden die StreckeSB= 4cm abgetragen.AB schneidetdenfreien Schenkelin C.Zeige,da\303\237 SC=

f\303\244 (2 + 3 y3~)!DasSehnenviereck

a) Zeige,da\303\237 f\303\274r die Diagonalee = AC einesSehnenvierecksgilt:2_ (ad + bc) (ac+ bd)

ab + cdAnleitung: Setzef\303\274r dieDiagonale e zweimal den Cosinussatz an und eliminiere

\303\237\\

b) Berechne die Winkel einesSehnenvierecksaus den vier Seiten a = 104mm;b = 56mm; c = 49mm; d = 39mm I

c) Beweiseden Satzdes Ptolem\303\244us:

Im Sehnenviereck ist dasRechteck aus den Diagonalen gleich der Summe der Rechteckeausje%wei Gegenseiten.

d) Zeige,da\303\237 f\303\274r die Fl\303\244che desSehnenvierecksgilt:

32.

F =-V(7^i\302\273)(\302\253- -&)(\302\273- -c)(\302\253- -<*)

wobei 2s=a+b+c+dyund berechne 2?f\303\274r a = 60mm ; b = 33mm;c=25mm; d = 16mm.

Anleitung: Wende auf dieDiagonale ewieder zweimal den Cosinussatz an und eliminierediesmal el Welcher Ausdruck ergibt sich f\303\274r cos/9?Setzesodann dieFl\303\244che desVierecks additiv ausden Fl\303\244chen zweier Teildreiecke zusammen und beachte, da\303\237

sin/9 = y'l -cos2/? = |/(i+cosjS)(l-cos/5)Das

H\303\266henfu\303\237punktdreieck

DieSeiten eines DreiecksABC sind a,6,c,seine Winkel a,\303\237t yt seine Fl\303\244che F.A\\ B\\ C seien die Fu\303\237punkte der

C \303\237

Abb.

H\303\266hen hat hf\302\273 hc (Abb. 7).a) Berechnef\303\274r jedeSeitedesDreiecksABC die

beidenAbschnitte, in diesiedurch den H\303\266hen-

fu\303\237punkt zerlegtwird 1

b) Zeige,da\303\237 jedesder DreieckeAC'B\\ BC'A\\CA'B'zum DreieckABC \303\244hnlich ist!

c) Berechne Winkel und Seiten des H\303\266henfu\303\237-A

punktdreiecksundbest\303\244tige

den Satz:Die H\303\266hen eines Dreieckssind die Winkelhalbierenden seines

H\303\266henfu\303\237punktdreiecks.

d) Zeige,da\303\237 f\303\274r die Fl\303\244che F'desH\303\266henfu\303\237punktdreiecks gilt:F'= 2 F cosacos/Scosy

Auf dem einen SchenkeldesWinkels a mit dem ScheitelSwird die StreckeSA = sabgetragen.Derandere Schenkelwird vom Kreis um S mit dem Radius SA in Bund vom Halbkreis\303\274ber SA alsDurchmesserin Cgeschnitten.Esentsteht einevonder StreckeCBund den beidenBogenAB und AC begrenzteklauenf\303\266rmige Figur.Zeige,da\303\237 f\303\274r den Umfang u und die Fl\303\244che / dieserFigur gilt:

82u = s (2 arca\342\200\224 cosa+1) / = \342\200\224 (2arca\342\200\224 sin 2a)oBerechneu und / speziellf\303\274r s = 6cm und a =

70\302\260!

9

in.Aus derRaumgeometrie33.

L\303\244nge,Breite und H\303\266he eines Quaders verhalten sich wie 3:2:1.Berechneden

Neigungswinkel der Raumdiagonalen gegen die Grundfl\303\244che!

34. DieKanten einesdreiseitigenschiefenPrismas ABCDEFhabens\303\244mtlich dieL\303\244nge

a.Die EckeD der Deckfl\303\244che f\303\244llt in der Projektion auf die Grundfl\303\244che mit demMittelpunkt desUmkreisesder Grundfl\303\244che zusammen. Fertigeeinen Grund- undAufri\303\237 des

K\303\266rpersan mit A(l;6;0), B(5;6;0)! Konstruiereund berechneden

Neigungswinkel der SeitenkanteAD und den Neigungswinkel der Seitenfl\303\244che

BEFCgegendie Grundfl\303\244che!

35.DieGrundfl\303\244che einergeradenPyramide ist ein Rechteckmit den Seiten2 a unda.DieH\303\266he ist 3a.Berechnea) den Neigungswinkel der Seitenkante gegendie Grundfl\303\244che,

b) den Neigungswinkel jeder Seitenfl\303\244che gegendie Grundfl\303\244che!

36.Die Grundfl\303\244che einer geraden Pyramide ist ein Quadrat mit der Seite4 cm.Berechne das Volumen der Pyramide, wenn

a) eine Seitenkanteunter dem Winkel75\302\260,

b) eine Seitenfl\303\244che unter dem Winkel 75\302\260 gegendie Grundfl\303\244che geneigtist!37.Die Grundfl\303\244che einer geraden Pyramide ist ein

regelm\303\244\303\237igesSechseckmit der

Seitea.Berechnedas Volumen, wenn

a) eine Seitenkanteunter dem Winkel a,b) eine Seitenfl\303\244che unter demWinkel

\303\237 gegendie Grundfl\303\244che geneigtist!a=3cm; a=68,5\302\260;

\303\237

=70\302\260.

38.Die Seitenkanten einer geradenPyramide mit quadratischerGrundfl\303\244che sind 1 m

lang. Berechnedie Neigungswinkel von Seitenkanteund Seitenfl\303\244che gegen dieGrundfl\303\244che, sowiedasVolumen, wenn

a) zwei gegen\303\274berliegende Seitenkanten den Winkel30\302\260,

b) zweibenachbarteSeitenkanten den Winkel 30\302\260 einschlie\303\237en!

39.(Vorpr\303\274fung 1960)DieGrundkante einer

regelm\303\244\303\237igen achtseitigenPyramide ist a, der von 2benachbarten Seitenkanten gebildeteWinkel ist a. (Skizze1)a) BerechnedasVolumen und die Oberfl\303\244che der Pyramide 1 Ergebnissein einer f\303\274r

die logarithmische Rechnung geeignetenForm!b) Wie

gro\303\237ist das Volumen speziellf\303\274r a = 3m und oc =

15\302\260?

40. Ein Pyramidenstumpf hat als Grundfl\303\244che ein Quadratvon der Seitea.DieSeitenkanten sind so lang wie die Grundkanten und unter dem Winkel 60\302\260 gegen dieGrundfl\303\244che geneigt.Dr\303\274cke das Volumen des

K\303\266rpersdurch a aus 1

41.Grund- und Deckfl\303\244che einesgeradenPyramidenstumpfes sind gleichseitigeDreiecke mit den Seitena bzw. \342\200\224. DieSeitenfl\303\244chen sind unter demWinkel a gegendieGrundfl\303\244che geneigt. Berechnev zuerst allgemein und dann f\303\274r a = 15cm;a =65\302\260 17'!

42. Eine schiefePyramide hat als Grundfl\303\244che ein gleichseitigesDreieckABC mit derSeitea.DieProjektionder SpitzeS auf die Grundfl\303\244che f\303\244llt mit dem Mittelpunktder SeiteBC zusammen. Die H\303\266he der Pyramide ist ebenfallsa. Zeichne einenGrund- und Aufri\303\237 sowie ein

Schr\303\244gbilddes

K\303\266rpersmit w =

30\302\260, q =\302\261!

Kon-

10

struiere und berechne die Neigungswinkel der Seitenkanten und Seitenfl\303\244chen

gegendie Grundfl\303\244che!

,4(1;5;0); 5(5;5;0); C(?;<2;0).43.Die Grundfl\303\244che einer schiefenPyramide ist ein DreieckABC mit den Winkeln a

und\303\237.

Die durch C gehendeSeitenkantesteht senkrechtauf der Grundfl\303\244che undhat die

L\303\244nges.Der Neigungswinkelder durch die Grundkante AB gehenden

Seitenfl\303\244che gegendie Grundfl\303\244che ist d. Zeige,da\303\237 f\303\274r dasVolumen v gilt:1

\302\253

,\302\253csin (a +

\303\237)

6 sina sinp

Wie vereinfachtsich dieseBeziehung,wenn das Grunddreieckgleichschenkligistmit AB als Basis,wie, wenn es rechtwinklig ist mit y =

90\302\260, wie, wenn esgleichschenklig-rechtwinklig ist?

44. (Vorpr\303\274fung 1962)Eine Pyramidehat als Grundfl\303\244che ein gleichseitigesDreieckABC mit derSeitenl\303\244nge

a.Ihre H\303\266he ist a/2.Dievierte EckeS der Pyramide ist die Spitzedesgleichschenkligen DreiecksBCSydessenEbenemit der Grundfl\303\244che einenrechtenWinkeleinschlie\303\237t.

a) BerechnenSiedie Winkel desSeitendreiecksABS!b) DiePyramide wird von einer Ebenegeschnitten,die durch die Grundkante BC

geht und die SeitenkanteAS in D schneidet.BerechnenSieden Winkel e, dendie Schnittfl\303\244che mit der Grundfl\303\244che bildet zun\303\244chst allgemein f\303\274r AD = d undsodann speziellf\303\274r AD = f a\\

45. Ein geraderKreiszylindermit dem Grundkreismittelpunkt M hat den Radius r, dieH\303\266he 2 r und ruht mit seinerGrundfl\303\244che in der Grundri\303\237ebene. A seiein Punkt desDeckkreises,B die Projektion von A auf den Grundkreis.Auf dem Umfang desDeckkreisesliegt der Punkt X, auf dem Umfang desGrundkreisesder Punkt Y.Zum BogenAX geh\303\266rt,

im Uhrzeigersinngerechnet,der Mittelpunktswinkel 45\302\260,

zum BogenBYy entgegen dem Uhrzeigersinngerechnet,ein solchervon 120\302\260.

Konstruiereund berechnedie Entfernung XY sowiedie Neigung der GeradenXY

gegendie Grundfl\303\244che 1

M(5;2,5;0);r = 2cm;4(3;2,5;?).46. Berechne das Volumen und die Oberfl\303\244che eines geraden Kreiskegels,dessen

Grundfl\303\244che den Radius r hat und dessenMantellinien unter dem Winkel a gegendie Grundfl\303\244che geneigt sind! r = 2 cm; a =

62\302\260 19'.47. Von einem geradenKreiskegelist die Mantelfl\303\244che M und der \303\226ffnungswinkel 2 a

an der Spitzebekannt. Berechnedas Volumen desKegels!M=lm2; 2<x =

40\302\260.

48. Ein Kreisquadrantwird zu einemkegelf\303\266rmigen Trichterzurechtgebogen.Berechneden \303\226ffnungswinkel desTrichters1

49. Ein gerader Kreiskegelmit dem Mittelpunkt M, dem Radius r und der H\303\266he 3 rliegt mit seiner Grundfl\303\244che in der Grundri\303\237ebene. Durch einen Punkt A dieserEbenewird unter dem Neigungswinkel cp gegendieseparallel zur Aufri\303\237ebene eineGeradegelegt.Berechne die H\303\266he der Durchsto\303\237punkte der Geraden mit demKegelmantel \303\274ber der Grundri\303\237ebene f\303\274r r= 3cm!Wie

gro\303\237darf

cph\303\266chstens

werden, damit die Geradeden Kegelwirklich durchst\303\266\303\237t? Konstruiere undberechne die H\303\266he speziellf\303\274r M(6; 4 ; 0) ; r = 3 cm; ^(1;4;0); tp

=56\302\260 19'.

11

50.DieAchseeinesschiefenKreiskegelsvom Radius r = 3 cm ist parallelzurAufri\303\237ebene und unter oc =

46,5\302\260 gegen die Grundri\303\237ebene geneigt.Diegr\303\266\303\237tm\303\266gliche

Neigung einerMantellinie gegendie Grundfl\303\244che ist\303\237

=70\302\260. ZeichneeinenGrund-

und Aufri\303\237 desKegelsmit M(6;4;0) und berechnedie kleinstm\303\266gliche NeigungeinerMantellinie gegendie Grundfl\303\244che zuerstallgemein,dann mit denangegebenenWerten!

51.EineKugelvom Radius r ber\303\274hrt dieGrundri\303\237ebene. Derh\303\266chste Punkt der Kugelist zugleichdieSpitzeeines geradenKreiskegelsmit dem \303\226ffnungswinkel 2 oc.Berechne den Radius desDurchdringungskreisessowieden Abstand h der Kreisebenevon der Grundri\303\237ebene! Fertige f\303\274r r = 3 cm und a) 2 oc =

40\302\260, b) 2<x= 140\302\260

einen Grund- und Aufri\303\237 und berechne f\303\274r diesebesonderenF\303\244lle h zuerstallgemein, dann mit den angegebenenWerten auf 0,1mm genau!

52.Gegebeneine Kugel mit M(4;3;3), welchebeideRi\303\237ebenen ber\303\274hrt. Eine zurAufri\303\237ebene senkrechteEbeneist unter oc =

60\302\260 gegendie Grundri\303\237ebene geneigtund schneidetdie Ri\303\237achse in S(l;0;0).a) Zeichne den Grund- und Aufri\303\237 der Kugel, konstruiere den Schnittkreis in

wahrer Gr\303\266\303\237e f\303\274r oc =60\302\260 und berechnedie Schnittfl\303\244che, zuerst als Funktion

von a, dann speziellf\303\274r oc =60\302\260!

b) DieEbenewird parallelsoverschoben,da\303\237 siedie Kugel ber\303\274hrt. BerechnedieLage desSchnittpunktes T der Tangentialebenemit der Ri\303\237achse, zuerstallgemein, dann speziellf\303\274r oc =

60\302\260 (2 F\303\244lle).

53.Rotationsk\303\266rper

a) DasDreieckABC, von demAB = cund dieWinkel oc und\303\237

bekannt sind, rotiertum AB. Zeige,da\303\237 der entstehendeDoppelkegeldas Volumen

1 \302\253 r sina sin/? ~|23 [_ sin (a +

\303\237) Jbesitzt!Wie vereinfacht sichdieseFormel,wenn AB dieHypotenuseeinesrechtwinkligen Dreiecksist?Wie

gro\303\237ist in diesemFall v, wenn c = 6cm und a =

15\302\260

betr\303\244gt?

b) DasTrapezABCDmit AB = 4,5cm, oc =90\302\260,

\303\237

=40\302\260,

AD = 2cmrotiert umdie SeiteAB. BerechneRauminhalt und Oberfl\303\244che desRotationsk\303\266rpers!

c) Von einerRaute ABCDist die Seitea und der Winkel oc bekannt. Sierotiert umeine Parallelezur DiagonaleAC durch B.1)Berechne das Volumen des Rotationsk\303\266rpers zuerst allgemein, dann f\303\274r

a= 4cm und a =28\302\260 34'!

2) Zeige,da\303\237 das Volumen gleich ist dem Produkt aus der Rautenfl\303\244che unddem Weg desDiagonalschnittpunktes (=Schwerpunkt) bei einervollenUmdrehung 1

d) Ein Kreissektorvom Radius r und dem Mittelpunktswinkel a rotiert um dieWinkelhalbierende von oc. Berechnedas Volumen und die Oberfl\303\244che desentstehenden

K\303\266rpers!

r= 3,5cm; oc =39\302\260.

54. Winkel zweierEbenena) Welchen Winkel bildendie Seitenfl\303\244chen eines

regul\303\244renTetraeders?

b) Die Grundfl\303\244che einer geradenPyramide ist ein gleichseitigesDreieckmit derSeite 5cm. Die Seitenkanten sind 6,5cm lang. Konstruiereund berechnedenWinkel, den2 Seitenfl\303\244chen miteinander bilden!

12

Hinweis: Ist F der gemeinsame Fu\303\237punkt der von B bzw. C auf ASgef\303\244llten Lote,soist der

Winkel AFCder gesuchte. Warum ?

c) Die Grundfl\303\244che einer geraden Pyramide ist ein Quadrat mit der Seitea. DieSeitenfl\303\244chen sind gleichschenkligeDreiecke,deren Winkel an der Spitze 30\302\260

mi\303\237t. Konstruiere und berechneden Winkel x, den zwei Seitenfl\303\244chen

miteinander bilden f\303\274r a = 4cm!d) Das sternf\303\266rmige Netz einer vierseitigenPyramide besteht aus einemQuadrat

von der Seitea und 4 angesetztengleichschenkligenDreiecken.Wiegro\303\237

mu\303\237

der Winkel an der Spitze diesergleichschenkligenDreieckegew\303\244hlt werden,

wenn nach dem Auffalten des Netzes eine Pyramide entstehen soll, bei der2 Seitenfl\303\244chen einen Winkel von 120\302\260 einschlie\303\237en? Konstruieredas Netz mita = 5cm und stelleden

K\303\266rperher!GanzeHeftseite!

e) (Vorpr\303\274fung 1960)An einer dreiseitigenPyramide mit der Grundfl\303\244che ABC und der SpitzeS istdie Seitenfl\303\244che SABein gleichseitigesDreieckmit der Seite p, w\303\244hrend diebeidenanderen Seitenfl\303\244chen SACund SBCkongruente rechtwinklige Dreieckemit der gemeinsamenHypotenuseSCvon der

L\303\244nge q sind (Skizze)1 BerechnedenWinkel e, den die beidenSeitenfl\303\244chen SACund SBCmiteinander

einschlie\303\237en! F\303\274r die Zahlenrechnung:p = 10m; ^ = 13m.F\303\274r wesentlicheGedankeng\303\244nge

sind Begr\303\274ndungen zu geben!

IV.Goniometrie55.Berechneden Ausdruck sina

sin\303\237 ^cot^/?\342\200\224 cot^a f\303\274r die Winkel a =54,2\302\260

und

\303\237

=35,8\302\260

a) ohne Umformung,b) nachdem der Ausdruck auf eine f\303\274r die logarithmische Rechnung geeignete

Form gebrachtwurde!mr v ~ . ~ 3 tan ol \342\200\224 tan a56.a) Zeige:tan3a= \342\200\224\342\200\224-

5\342\200\224.76 1-3tan2\302\253

b) Die3 Punkte A, B und C liegen in der angegebenenReihenfolgeauf einerGeraden. Es ist AB = a und AC = b. Im Punkte A wird das Lot zu AC errichtet.Auf diesemist ein Punkt X zu suchen, so da\303\237

<\302\243AXC = 3 \342\200\242

<\302\243AXB wird.

Berechne AX \\ Determinationund Konstruktion dieserStreckef\303\274r denbesonderenFall 6=4 a!Hinweis: Mit Benutzung von a) l\303\244\303\237t sich f\303\274r diegesuchte Strecke eine quadratische Gleichungaufstellen.

57.Die3 Punkte Ay B und C liegenin der angegebenenReihenfolgeauf einerGeraden.Es ist AB = 5cm und BC= 4cm.In B wird das Lot zu AC errichtet.Auf diesemLot ist ein Punkt X zu bestimmen,von dem aus die StreckeAC unter dem Winkel42\302\260 erscheint.BerechneBX\\

58.Rekursionsformeln.Vollst\303\244ndige InduktionMittels der anschlie\303\237end noch zu beweisendenFormeln

sinn <x = 2 cosasin (n \342\200\224 1)a \342\200\224 sin (n \342\200\224 2)acoswa= 2 cosacos(n \342\200\224 1)a \342\200\224 cos(n \342\200\224 2)a

13

wird der Sinus und CosinuseinesVielfachen von a auf die Funktionen niedrigererVielfache von a

zur\303\274ckgef\303\274hrt. Durch wiederholteAnwendung dieserFormelnkann schlie\303\237lich der Sinus und CosinusjedesVielfachen von oc durch die Funktionenvon oc ausgedr\303\274ckt werden.Solche,in der Mathematik

h\303\244ufigauftretenden Formeln

hei\303\237en R\303\274cklauf- oderRekursionsformeln.

Beispiel:sin4 a = 2 cosasin3 a \342\200\224 sin2 asin3 a = 2 cosasin2 a \342\200\224 sinasin2 a = 2 sina cosaDurch

r\303\274ckl\303\244ufigesEinsetzen ergibt sich:

sin4 a = 8 sina cos3a\342\200\224 4 sina cosa

F\303\274r den Beweiswollenwir ein f\303\274r das mathematische DenkentypischesVerfahren

kennenlernen, den Beweisdurch vollst\303\244ndige Induktion, auch Schlu\303\237 von n auf(n 4- 1)genannt.Dazu

\303\274berlegenwir folgendes:DieFormeln sind sicherrichtig f\303\274r n = 2.In diesem

Fall gehen sie n\303\244mlich in die uns bereits bekannten Formeln sin2oc= 2 sinacosaund cos2 a = 2 cos2a\342\200\224 1 \303\274ber. Gelingtes nun, aus der Annahme der Richtigkeit derFormeln f\303\274r n ihre

G\303\274ltigkeitf\303\274r (w+ 1)zu folgern, so ist damit die

Allgemeing\303\274ltigkeitbewiesen.Denn aus der Richtigkeit f\303\274r n = 2 folgt die f\303\274r n = 3, aus

dieserdie f\303\274r n = 4 usw.und damit f\303\274r jedesbeliebigen.

Beweis:Durch fortgesetztes Umformen erhalten wir

sin (n + 1)a = sin (n a + a) = sinn a cosa+ cosna sina \342\226\240=

-2cos2asin(n-l)a\342\200\224cosa sin (n-2)a+2sina cosacos(n \342\200\224

l)a\342\200\224sina cos(n\342\200\2242) a =-2cosa[cosasin (n \342\200\224 1)a +sina cos

(n\342\200\2241) a]-[sin (n\342\200\2242)acosa+cos

(n\342\200\2242) asina]-= 2cosasin (n a) \342\200\224 sin (n \342\200\224 1)a

Diesist genau die Rekursionsformel f\303\274r sinn a wenn n durch (n + 1)ersetzt wird. W.z.b.w.!

a) Dr\303\274cke mittels der Rekursionsformelcos4a durch cosaaus!b) BeweisedieFormel f\303\274r cosn <x durch vollst\303\244ndige Induktion!

59.Weitere Summenformelna) Beweise:

sin (a+ h) + sin (a4-2 h) + sin (a+ 3 h) 4- \342\200\242.. 4- sin (a4- n h) =h)

~2>\302\273(a + \342\200\224 I-cos(a + (2n + 1)-

o h

2smyAnleitung: Setzeden Ausdruck gleich A und berechne 2 A sin \342\200\224 indem du die Produkte jezweier Sinuswerte durch dieDifferenz zweier Cosinuswerte ersetzt und aufsummierst!1)

b) Berechne:sin75\302\260 4- sinl35\302\260 + sinl95\302\260 4-...sin615\302\260

c) Zeigemit Benutzung von a):

sinn|sin (n + 1)y \\

sina4-sin2a 4-sin3a 4-...+ sinn a = x 'a

l) Es ist 2 sinx siny = cos(x-y) -cos(x + y) .14

Pr\303\274fe dieseFormel, indem du den folgendenAusdruck auf 2 Arten berechnest:sin60\302\260 + sin 120\302\260 + ...4- sin600\302\260!

d) BeweiseFormelc) mittels vollst\303\244ndiger Induktion!e) Beweiseebenso:

sin In yj cos((n + 1)yjsin|cosa-hcos2a 4-cos3a + ...+ cosna =

asin -7T

60.L\303\266se die Gleichungena) sinx4-sin2x4-sin3x= 0;b) sinx4-sin2x 4-sin3 x 4-sin4x = 0;c) tanx 4- tan2x 4-tan3x= 0.

61.DieGleichunga tan*+ b cot\302\253 = cHinweis: Es l\303\244\303\237t sich eine quadratische Gleichung f\303\274r tana; gewinnen, aus der f\303\274r die Existenz von

L\303\266sungen dieBedingung folgt: c2\342\200\224 4a b ^ 0.Zeige diesund gib an, wie viele L\303\266sungen es im

einzelnen gibt!

a) tanx 4-2 cotx= 3 ;b) 4 tanx 4-cotx= 4 ;c) 2 sin2x \342\200\224 5 sinxcosx\342\200\224 3 cos2x= 0 ;d) 3 sin2x \342\200\224 sinxcosx4-cos2x= 2 .

Anleitung: Ersetze das konstante Glied 2 durch 2 (sin2x + cos2x)I DieGleichung wird dadurch

\342\200\236homogen\"vom 2.Grad in bezug auf sinx und cosx.

e) sin4x 4-2 sin2x cos2x4-7 sinxcos3x\342\200\224 3 cos2x\342\200\2241= 0;

Anleitung: Mache die Gleichung dadurch homogen vom 4.Grad, da\303\237 du die Konstante 1durch (sin2x + cos2x)2und den Faktor 3 durch 3 (sin2x + cos2x)ersetzt I

62.DieGleichunga sin*+ b cos*= cb

Anleitung: Dividiere die Gleichung durch a und f\303\274hre mit \342\200\224 = tang? den Hilfswinkel q> ein. Eser-c

gibt sich sin (x + <p)= \342\200\224 cos<p, hieraus (x + q>) und schlie\303\237lich x.

Ic 1 . . 1

Determination: Aus | \342\200\224 cosg? | ^ 1 folgt mit Benutzung der Beziehung cos2g? =\302\243\342\200\224

schlie\303\237lich c2< a2 + b2 als Bedingung f\303\274r die Existenz zweier verschiedener L\303\266sungen undc2 = a2+ b2 f\303\274r die Existenz einer Doppell\303\266sung.

a) sinx4- \\^3 cosx= 1;b) y^3 sinx4-cosx= 2 ;

c) cosx4- \\^3 sinx=y^3 ;

d) sinx \342\200\224 cosx= 1 ;

e) 3 sinx4-2 cosx\342\200\2241= 0.

63.UngleichungenBeispiel:F\303\274r welche Winkel x im Bereich 0\302\260 ^ x < 360\302\260 gilt: 2 sin2x -1 > 0 ;

15

L\303\266sung:

sin2x > 1 ist erf\303\274llt f\303\274r

30\302\260 < 2x < 150\302\260 und 390\302\260 < 2x <510\302\260,

d.h.15\302\260 < x < 75\302\260 und 195\302\260 < x < 255\302\260 (Abb. 8).

Ermittle und zeichne den Bereich jener Winkel x, f\303\274r

welchegilt:sinx \342\200\2243

\"^-^TL^--\"*\"

>0 ;(sinx + 2)(2sinx-l)

Hinweis: sinx \342\200\224 3 ist stets negativ, sinx + 2 stets positiv!

2 \342\200\224 cos2x \302\253

Abb. 8

10cos^x \342\200\224 17cosx+ 6Hinweis: Verwandle den Nenner in ein Produkt durch L\303\266sung der Gleichung 10z2\342\200\224 17z+ 6=0und Benutzung desSatzes von Vieta!

c) 2 sinx+ 3 cosx> 1 ;Anleitung: Dividiere durch 2 und f\303\274hre mit tangp =-1,5den Hilfswinkel

<pein mit 0\302\260 <

<p< 90\302\260.

d) 2cos2x-l<0;

e) tan3x-1<0 ;

f) (2cosx-1)(3cosx-2)<0.

64. Gleichungenmit 2 Unbekannten

a) I. x+2/=120\302\260;

II.sinx+ siny = 1,5;Anleitung: Aus II.l\303\244\303\237t sich mit Benutzung der Formel f\303\274r die Summe zweier Sinuswerte undmit Beachtung von I.(x \342\200\224 y) gewinnen.

b)I. x-y=45\302\260;IL cosx \342\200\224 cosy

= \342\200\224 0,2071;c) I. x+ y=240o;

IL sinxsin^= 0,5;Anleitung: Beachte Fu\303\237note zu Aufgabe 59!

d) I. x-y=60\302\260;IL cosxcosy= \342\200\224 0,25;Anleitung: Es ist 2cosxcosy = cos(x \342\200\224 y) + cos(x + y).

e) I. x+ y=60\302\26051';

11.-^1=2;siny

sinx + sinyAnleitung: Durch korrespondierende Addition und Subtraktion ergibt sich

sina. _ 8ini/-

2-i \342\200\242

Mit Beachtung der einschlagigen Formeln l\303\244\303\237t sich hieraus x \342\200\224 y berechnen. (Vgl. Titze,Algebra I,S.142.)

f) I. x+ y= 88\302\260 18';ILf5\303\234L=0,5;cosy

16

g) Berechneein Dreieckaus c = 5cm; hc = 5,7cm und y=

47\302\260!

Hinweis: Durch c und y ist r bestimmt. Aus he = 2rsina sin/? ergibt sich sina sin/3 und da(a +

\303\237)bekannt, l\303\244\303\237t sich (a \342\200\224

\303\237)

berechnen.

65.Aufgaben mit Determinationa) WelcheWerte darf a in der Gleichung

sin 2 x 4-a cos2x = a

annehmen, damit die Gleichung l\303\266sbar ist? L\303\266se siespeziellf\303\274r a = \342\200\224 2!b) In welchemBereich mu\303\237 a liegen, damit die Gleichung sinxcosx=a eine

L\303\266sunghat ? F\303\274r welchenWinkel nimmt sin x cosx den

gr\303\266\303\237tenWert an ?

c) Die Gleichung a sinx\342\200\224 b tanx =0 (a > 0, b >0) hat entweder genau 2 odergenau 4 L\303\266sungen. Welche Beziehung mu\303\237 im letzten Fall zwischena und bbestehen?

d) WelcheBeziehungmu\303\237 zwischenden Koeffizientena und b der Gleichunga tanx 4- b cotx= 1; (a >0, b >0)

bestehen,damit die Gleichung \303\274berhaupteine

L\303\266sunghat ?

e) F\303\274r welcheWerte von a ist die Gleichungtanx 4-a (cotx+ 1)= 0

l\303\266sbar ?

f) In welchemBereichmu\303\237 a liegen,damit die Gleichungcos2x4- sinx= a

eineL\303\266sung

hat?

g) Gegebenist die Gleichungsin 2 xeota= tanx;

1.WelcheWerte f\303\274r cotasindzul\303\244ssig,

damitL\303\266sungen

x existieren?2.WelcheWerte f\303\274r a

(0\302\260<oc <

360\302\260)sind

zul\303\244ssig,damit

L\303\266sungenexistieren?

3.Welche Winkel x zwischen 0\302\260 und 360\302\260gen\303\274gen

der Gleichung, wenncota=2?

h) (Vorpr\303\274fung 1960)Gegebenist die Gleichungsin2cp

\342\200\224 coscp= a;1.L\303\266se dieGleichungnach einertrigonometrischenFunktion desWinkelscp

auf!2. F\303\274r welchepositiven und negativen Werte von a hat dieseGleichungkeine

L\303\266sung?

3.WelcheWinkelcp

sindL\303\266sungen

dieserGleichung f\303\274r a = 1 und a = \342\200\224 1?(0\302\260^9?<360\302\260)

i) (Vorpr\303\274fung 1961)Eine Pyramide besitzt quadratischeGrundfl\303\244che. Die Seitenkanten sind gleichdergegebenenGrundkante a.DiePyramide wird von einer Ebenegeschnitten,die 2 gegen\303\274berliegende Eckender Grundfl\303\244che enth\303\244lt und mit dieserdenWinkel

cpbildet,a seiderBasiswinkelderSchnittfigur (gleichschenkligesDreieck).

1.Bestimmedie Fl\303\244che der Schnittfigur zuerst als Funktion von a, dann alsFunktion von cp!WelcherZusammenhang bestehtdaher zwischena und

cp?

(Erg.:cota= sincp 4-coscp.)

17

2.Berechnecp

f\303\274r cota= 1,24!3.Wie

gro\303\237mu\303\237 a mindestens sein,damit die Gleichungsincp + cos(p= cota

eine reelleL\303\266sung

f\303\274r sincp

besitzt?4. Wie

gro\303\237darf a h\303\266chstens sein,damit die

L\303\266sungvon 3.geometrischsinnvoll

ist?

k) (Vorpr\303\274fung 1962)1.L\303\266sen Sie die Gleichung:sin3 a = b sina (beachten Sie:3 a = 2 a + ex).

b sollzun\303\244chst einebeliebigeKonstantesein.Wieh\303\244ngt

dieZahl derL\303\266sungen

im Bereich0 \302\260 ^ a <360\302\260 von b ab ?GenaueDiskussionallerm\303\266glichen

F\303\244lle!

2.WelcheL\303\266sungen

erh\303\244lt man f\303\274r 6=2?

V. Aufgaben aus der Vermessungskunde,der Navigation und Nautik

66.In einemSeesind 2BojenA und Bverankert. Von einerh Meter\303\274ber demSeespiegelliegendenBergspitzesieht man A und Bunter denTiefenwinkeln a bzw.

\303\237,

w\303\244hrend

die Visierlinien nach A und B den Winkel y einschlie\303\237en. Berechne dieEntfernung

ABl

Me\303\237werte:h = 321 (aus der Karte); a =

21,5\302\260;\303\237

=23,0\302\260; y

=70,5\302\260.

67.Um von Land aus die H\303\266he FS (S= Spitze)eines Leuchtturms zu bestimmen,stecktman am Strand eineStandlinie AB = s ab und mi\303\237t < BAF = a, < ABF =

\303\237,

< FAS=\303\266. Berechnet!

Me\303\237werte:s = 180m; a =

58,4\302\260;\303\237

=83,2\302\260; \303\266

=8,1\302\260.

68.Auf einerwaagrechtenEbenesind 2 Punkte P und Qabgesteckt.Esist PQ= 320,0mund Q liegt genau n\303\266rdlich von P.Von P aus wird eineStandlinie PR = 550,0m in

Richtung NW und von Q aus eineStandlinie QS= 630,0m in Richtung NNEabgemessen. Berechnedie Entfernung RS und die Richtung der Visierlinie RS!

69.Die Punkte P, Q und R sind die Eckeneines in ebenem Gel\303\244nde durch Stangenmarkierten Dreiecks.In der Richtung QRwird ein nicht zug\303\244nglicher Neupunkt Xeingewiesenund

<\302\243RPX gemessen.Berechnedie Entfernung RX (2 L\303\266sungen)!

Me\303\237werte: PQ= 65,41m; QR= 51,86m; PR = 49,15m; <\302\243RPX = 27\302\26015'.

70.1)Eine BojeB ist von einemLeuchtturm 5,51km entfernt und liegt genau s\303\274d\303\266stlich

davon.Ein SchiffpassiertB mit Kurs N 11\302\260 E, h\303\244lt konstante Geschwindigkeitundwird vom Leuchtturm aus nach 12Minuten in Richtung N 63\302\260 E gepeilt.WelcheGeschwindigkeitin Knoten hatte das Schiff? (1kn = 1 sm/Std.= 1,852km/Std.)

71.l)Ein SchiffpassierteineBojemit Kurs N 25\302\260 E mit einerGeschwindigkeitvon 15kn.10Minuten

sp\303\244terf\303\244hrt ein zweitesSchiff an der Bojemit Kurs E 46\302\260 S vorbei.

Nach weiteren 10Minuten wird das zweite Schiff vom ersten in der RichtungE 85\302\260 Sgepeilt.Berechnedie Geschwindigkeitdeszweiten Schiffesin kn!

72.1)Ein Flugzeug startet aus dem Flugplatz P(2,l;0,9).Nach 1 Minute Flug peilt esdas Funkfeuer J?(5,4;6,5) in der Richtung N 70\302\260 W und den Flugplatz P in derRichtung S 44\302\260 W. Berechneden Kurs desFlugzeugsund die Fluggeschwindigkeitin km/h! Koordinatenin km.

18

73.1)Ein Sportflugzeug besitzt eineEigengeschwindigkeit von 240km/h. Es steuerteinen Kurs von N 40\302\260 E bei Seitenwindaus NW mit 60 km/h. BerechnedieAbtrift in Grad, den Kurs \303\274ber Grundsowie die Geschwindigkeit\303\274ber Grund(Abb. 9)!

74.x)Ein Hubschrauber fliegt mit seinermaximalen Horizontalgeschwindigkeit von210km/h. Er steuert Kurs N 32\302\260 E. AufGrund der Karte stellt der Funker fest,da\303\237 der Kurs \303\274ber Grund N 41\302\260 E und dieGeschwindigkeit \303\274ber Grund 240 km/hbetr\303\244gt. Aus welcherRichtung kommt derWind und welche Geschwindigkeithat er(Abb. 9)?

DasKursdreieck

75.

76.

ve = Eigengeschwindigkeitvw = Windgeschwindigkeitvg = Geschw.\303\274ber Grund

\303\237

= Steuerkursy = Kurs \303\274ber Grunda = Abtrift

Abb. 9

(Vorpr\303\274fung 1960)Auf einer horizontalenStandlinie AC wird der Mittelpunkt B bestimmt (AB = BC= a).Von Ay B und C aus wird die SpitzeS einesBergesanvisiert und man mi\303\237t

dabeider Reihenach dieH\303\266henwinkel a,\303\237

und y.a) Bestimmeallgemeindie relativeH\303\266he x desBerges\303\274ber der durch AC

bestimmten Horizontalebene!

(Erg.:*=ay-cot2a + cotV -2cot20 /

b) F\303\274r den besonderenFall y= oc ist die gefundeneFormel auf eine zur

logarithmischen Rechnung geeigneteForm zu bringen.c) Berechnex f\303\274r a = 10km <x =

y=

10\302\260;\303\237

= 2 <x\\

Anleitung des Verfassers: Es seiS'die Projektion von S auf dieHomontalebene. Dr\303\274cke AS',BS'und CS'durch x ausl Setzedann f\303\274r AS' und CS'in jedem der beiden TeildreieckedenCosinussatz an und addiere beideGleichungen!

V

Das Vorw\303\244rtseinschneiden aus 2 Punkten2 (Abb. 10)Aufgabe: ' ^ ^^^^ y

Es ist die Entfernung zweier unzug\303\244nglicher Punkte Xund Y zu bestimmen.

Praktische Durchf\303\274hrung: Man w\303\244hlt eine Basis AB = c und mi\303\237t

< BAX =\302\253lf

< BAY - a2, < ABX =\303\237lt

< ABY =\303\2372

.Rechnerische

L\303\266sung:Im DreieckABX ist AXt im DreieckABY A Y

beidemal nach dem Sinussatz berechenbar. Schlie\303\237lich ergibt sichXY aus dem DreieckXAY mit Hilfe desCosinussatzes.

F\303\274hre die Rechnung durch f\303\274r

a) c = 700m; ax =97,5\302\260; a2 =

60,5\302\260;\303\237x

=32,5\302\260;

\303\2372

=59,5\302\260,

b)c=450m;a1=104\302\26015/; a2=42\302\26025/; \303\237x

= SO^'; 02=99\302\26035/.

Abb. 10

*)Geeignet f\303\274r das Stabrechnen I

\342\226\240)Beim Vorw\303\244rtseinschneiden wird von bekannten Punkten nach unbekannten, beim R\303\274ckw\303\244rtseinschneiden von

unbekannten nach bekannten Punkten hin visiert.

19

77.R\303\274ckw\303\244rtseinschneiden nach 2 Punkten (HansenscheAufgabe)1) (Abb. 11)Aufgabe:Es ist dieEntfernung zweiereinzelnzug\303\244nglicher Punkte X und Y durchAnvisieren zweier,der Lagenach bekannter, aber unzug\303\244nglicher Punkte A und Bzu bestimmen.

Praktische Durchf\303\274hrung: Man visiert von X und Y aus die Endpunkte A und B der StandlinieA\303\237

= c an und bestimmt < AXY= ylt <BXY = y2, < AYX =\303\266lt

und < BYX =\303\2662

.Zeichnerische L\303\266sung:

Man w\303\244hlt XY = \\ LE und konstruiert ein zu dem gesuchten Viereck\303\244hnliches Viereck XY'B'A' mit A'B' = c'.Dann zentrische Streckung vom Zentrum X aus mitStreckfaktor c:c'.Rechnerische L\303\266simg: Folgt der Zeichnung.

F\303\274hre die Rechnung durch f\303\274r

a)c=654,8m; 7l =104\302\26010'; y2=53\302\260\\l'; (S1= 46\302\26035/; d2 = 103\302\26042\\

(X und 7 liegenauf derselbenSeiteder GeradenAB.)b)c=715,0m; yi = 24

\302\2605'; y2=40\302\26025'; d1=81\302\26019'; <32= 55\302\26011'.

(X und 7 liegenauf verschiedenenSeitender GeradenAB.)

78.R\303\274ckw\303\244rtseinschneiden nach 3 Punkten (PothenotscheAufgabe)2) (Abb. 12)Aufgabe: Es ist die Lage eines zug\303\244nglichen Neupunktes X durch Anvisierendreier, der Lage nach bekannter, aber unzug\303\244nglicher Punkte Ay B und C zubestimmen.

Praktische Durchf\303\274hrung: Man visiert von X aus nach den Punkten Ay B und C und erh\303\244lt sodieWinkel a und

\303\237>

unter denen die Strecken AC = a und BC= b erscheinen.

ZeichnerischeL\303\266sung:

X ist der 2.Schnittpunkt der Fa\303\237kreisbogen \303\274ber o und b mit den Umfangs-winkeln a bzw.

\303\237.

DieAufgabe ist unbestimmt, wenn a +\303\237

+ y =180\302\260. Dann ist Viereck

ACBX ein Sehnenviereck und beideFa\303\237kreise fallen zusammen.

RechnerischeL\303\266sung:

Die Lage von X ist bestimmt durch Berechnung von <* CAX =

Im Dreieck ^4CX gilt:

Im Dreieck CBX gilt:

sina asinip y

sin/9~

b

360\302\260-(a +

\303\237

+ y) = (5.

csin/9= 9

weiter ist: + tp=

\303\266 und der Quotient q ihrer Sinuswerte bekannt. Nach

Aufgabe 64e l\303\244\303\237t sich (p und y) berechnen.

*)Hansen (1795\342\200\2241874), deutscher Astronom.

2) Gel\303\266st von dem Holl\303\244nder Willebrod Snellius (1581-1692ver\303\266ffentlichte.

\342\226\2401626),benannt nach dem Franzosen Pothenot, der die

L\303\266sung

20

F\303\274hre die Rechnung durch mit

a)a=400m;b = 600m; y=

120\302\260; a =35\302\260; 0=

50\302\260.

b) Auf einer Geraden liegen 3 Punkte P, Q und \303\204. Es ist PQ= 3 cm undQ\303\204

= 6 cm.Von einemPunkt X aus erscheintsowohldie StreckePQ als auch dieStreckeQRunter einemWinkel von 30\302\260. KonstruierediesenPunkt und berechneseineEntfernung von Q!

79.Aufgaben imKoordinatensystemBei Vermessungsaufgaben haben wir bisher einen Neupunkt durch Berechnung von Strecken undWinkeln bestimmt. In der praktischen Landesvermessung wird er jedoch meist durch seine beidenKoordinaten in bezug auf ein Achsenkreuz festgelegt, dessen X-Achse nach Norden und dessenF-Achse nach Ostenweist, bei dem alsodie .X-Achse im Uhrzeigersinn um 90\302\260 gedreht werden

mu\303\237,bis siemit der F-Achse zusammenf\303\244llt (Geod\303\244tisches Rechtssystem). Beiden folgenden

Aufgaben ist jedoch das \303\274bliche, aus der Algebra und Analytischen Geometrie bekannte Linkssystemzugrunde gelegt.Unter dem Richtungswinkel a einer gerichteten Strecke (Pfeil) verstehen wir den Winkel, um denman die gerichtete X-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn um den Ursprung drehen

mu\303\237,bis sie

gleichsinnig parallel zum Pfeil verl\303\244uft. 0\302\260 ^ a < 360\302\260. Als positiver Drehsinn beim AntrageneinesWinkels gilt ebenfalls die Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn. Koordinatenangaben inMetern. DieMa\303\237zahlen sind Me\303\237werte. Quadrieren mit Hilfe der Tafel der Quadratwurzeln I

a) Gegebendie Punkte P^a^; yx) und P2(x2\\ y^' BerechnedieL\303\244nge

und denRichtungswinkel desPfeilesPXP21

1)

1

2)

*1

95,3

333,1

2/i

198,4

175,2

*2

471,5

119,0

2/2

520,3

691,8

b) An den Punkt P(x1;yx) soll der Pfeil PQy dessenL\303\244nge

sbetr\303\244gt,

unter demRichtungswinkel a angesetztwerden.Berechnedie Koordinatenvon Q!

1)

2)

*i

180,9

631,2

2/i

129,8

629,5

s

439,7

522,2

a

33\302\26024'

215\302\260

c) An den Pfeil PXP2 wird in Px der Winkel\303\237 angetragenund auf seinemfreien

Schenkeldie StreckePXQ= s abgemessen.Berechnedie Koordinatenvon Q\\

1)

2)

*i

249,0

644,5

2/i

201,5

410,0

*2

680,3

166,2

2/2

511,1135,1

\303\237

+ 20\302\260 14'-61\302\26037'

3

482,0

485,2

d) Gegebendie beidenPunkte P^a^;y^) und P2(x2;y^. Derzu vermessendeNeupunkt

N liegt so, das <fc P2PXN =\303\237

und<\302\243 P^J^ = y. BeideWinkel werden

von der BasisPXP2 aus gerechnet.Berechnedie Koordinatenvon N!21

1)

1 2)

*i

124,5

212,3

Vi

135,1

721,8

*2

581,0

712,4

v%

422,3

519,7

\303\237

+ 43\302\260 9'-25\302\260 15'

y

-53\302\26025'

+ 124\302\260 53'

e) Zur Neuvermessungeines trig. Punktes N werden von ihm aus die 3 festenPunkte Ply P2 und P3 anvisiert und ^PXNP2= q> und

<\302\243 P^P3=y) bestimmt.

Berechnedie Koordinatenvon N!

1)

2)

*i

80,2

965,2

Vi

378,1

891,7

*2

369,9

471,8

V%

119,2

645,3

*3

830,6

70,1

2/s

270,0

755,1

<P

38\302\26023'

21\302\26058'

V

50\302\260 6'39055/

Drehsinn

+-

22

L\303\226SUNGEN

Vorbemerkung:

F\303\274r die Durchf\303\274hrung der numerischen Rechnung kann entweder eine vier- oder f\303\274nfstellige Tafelben\303\274tzt werden.

F\303\274r eine vierstellige Tafel gilt:

L\303\244ngensind mit 4 geltenden Ziffern bestimmbar. Dieletzte Ziffer weist, wie diesbeim Rechnen mit

gerundeten Zahlen immer derFall ist, eineUnsicherheit von einer Einheit, in seltenen F\303\244llen von zweiEinheiten auf. Wurde daher auf einem Weg das Ergebnis beispielsweise zu 3,428,auf einem anderenWeg zu 3,429gefunden, som\303\274ssen beide Werte als richtig akzeptiert werden.Winkel sind auf Minuten bestimmbar. Auch hier besteht eine Unsicherheit von 1'.F\303\274r eine

f\303\274nfstellige Tafel gilt:

L\303\244ngen sind mit 5 geltenden Ziffern angebbar, wieder mit einer Unsicherheit von einer, in

ung\303\274nstigenF\303\244llen zwei Einheiten der letzten Ziffer. Durch

Beschr\303\244nkung auf 4 geltende Ziffern kann dieseUnsicherheit mit

gro\303\237erWahrscheinlichkeit ausgeschaltet werden.

Winkel sind nicht auf Sekunden genau bestimmbar. Hier besteht eine Unsicherheit von rund 5\", diemanchmal auf 6\342\200\2248 Sekunden anw\303\244chst, so da\303\237 man beiWinkelsummenproben sich nicht daran sto\303\237en

darf, wenn Differenzen bis zu 15\" auftreten.Eswird daher empfohlen, alle mit einer f\303\274nfstelligen Tafel berechneten Winkel auf 5\" zu runden. Nochbesserist es,auf Minuten zur\303\274ckzugehen. In diesem Fall ist mit sehr

gro\303\237er Wahrscheinlichkeit derWinkelwert in der Minutenzahl unanfechtbar.

1.wa= 7,35cm.

2. 2,778cm.3. a) 19\302\2606'; 21\302\26048'; 19\302\2606' b) 11\302\26049'; 12\302\26022'; 11\302\26049'.

4. 81,45mm; 134mm; 81,45mm.5. b = 10,98cm; a = 6,978cm;

\303\237

=115\302\26027';

6. x = (h \342\200\224 o)cota \342\200\224

d\\ x = 1,8m.7. H = h (1 + tana cot/9);

8. // = h + ;cotp \342\200\224 cota

e = hcot/?;

H = 396m.

y =29\302\260 33'.

H = 60,8m; e = 146m.

9. a) tangp = -tan\302\251

= \342\200\224

u(Abb. 13).Mit x = 40; o -200;folgt: (1) u + z-40.Durch Gleichsetzen derAusdr\303\274cke f\303\274r tangp: (2) 3 z = 2 u;hieraus: z = 16; u -24;und damit tangp

= 2,5;also q>

=68\302\260 12';

Erg.:Die Kugel mu\303\237 an derBande AB unter q>

=68\302\260 12'in

dem Punkt aufschlagen, der vonB 76 cmjentfernt ist. Abb. 13

28

b) tany = tany = :(y+4

10.h =

V + U + Z

Mit x = 40; b = 120; a = 200 folgt:t> - 56 und tany = 5:12; hieraus tp

=20\302\260 37';

Erg.:DieKugel mu\303\237 an der Bande AB unter yj= 22\302\26037' an einer Stelle aufschlagen, dievon A

44cm entfernt ist.

b tana \342\200\224 a tan/?

11.i= o +

tana \342\200\224 tan/?

fe 4- h cota

444m.

x = 187m.cota \342\200\224 cot/?12.Ist TTdieWolke, W ihr Spiegelbild, WW = 2xund der Abstand desHotels von WW gleich y,

sogilt:

I.tanax \342\200\224 h II.tan/3 -

a; + h

Elimination von y liefert:

x = h tan/? + tana

tan/? \342\200\224 tanax = 1130m.

13.<2 = yl00%; 5 = Vl,36;

I.y = z tana; mit tana

H-y(Abb. 14);

n.d + ;

= tan 35\302\260;

III.s ;cosaErgebnis: Q= 73,23%.

14.a) a = 4,797km; y =46\302\26022'

b) c = 10,68km; a =42\302\26041'

c) 6 = 74,12m;d) o = 2,622km

e) a =36\302\2603';

f) a =51\302\26057/;

g) a =38\302\26040';

15.r = 3,957cm.16.45,87mm; 36,51mm.

17.106,5m.

sin2/?18'a) * = C

sin(a + /?)sin(a-/?):b) 4,19cm;

c

Abb. 14

a =48\302\26033'

\303\237

=55\302\26026'

\303\237

= 52\302\26030'

/? =26\302\260 35'

\303\237

=15\302\26032'

/?= 71\302\26015/

/?= 34\302\26032'

y =70\302\260 8'

y= 72\302\26014'

y = 91\302\26027'

y = ioi\302\26028'.

y = 125\302\26048'

c)I.s= - n. x = c \342\200\242tan2/?;

III.F\303\274r a =\303\237

wird der Nenner desAusdruckes f\303\274r x gleich null, a darf nicht kleiner odergleich \303\237

werden. Geometrisch bedeutet dies:D r\303\274ckt ins Unendliche; CDwird parallel AB.

cos2a19.a) x = a \342\200\224 ;2cos2ab) 1,113cm;

c)1.a =30\302\260;

x = y ; 2. a =45\302\260;

x = 0.

24

20.a) Aus a = 2r sina; b = 2r sin/? folgt:

a \342\200\224 l

a +\303\237

a +\303\237 a-\303\237a + 6 == 4r sin \342\200\224\342\200\224\302\243- cos\342\200\224\342\226\240rJ\342\200\2242 2

.\342\200\236

\302\253 + /? . a-/?a \342\200\224 b = 4r cos\342\200\224~- sin \342\200\224\342\200\224J\342\200\224

und durch Division:

b) a =82\302\260 52'

c)a =35\302\260 36'

d) \303\237

=26\302\260 36'

e) 119\302\2606';

f) 29,3\302\260;

g) Sonnenh\303\266he: 46'

-_6_ _ _2-6

\" \"'\"a-\303\237

'tan \342\200\224-r-*-

2

/? =54\302\26014'; c- 40,64m;

6 = 26,24m; y =102\302\260 46';

y =46\302\260 4'; o = 3,492;

25\302\260 54';

21.a) Bezeichnet man jeden derbeiden Tangentenabschnitte von einer Dreieckseckebis zu den

punkten mit dem Inkreis mit x bzw. y bzw. z, sogilt:I.x + y = c;II.y + z = o;III.z + * = 6;

DieAufl\303\266sung diesesGleichungssystems liefert :x = 8 \342\200\224 o; y = 8 \342\200\224

b\\ z = s \342\200\224 c; (2s = a + b + c);folglich ist:

atan \342\200\224

2V\302\253 (\302\253

-o)(s-6) (\302\253

-c)\302\253

\342\200\224 o \302\253

(\302\253

\342\200\224 o) *(\302\253

\342\200\224 o)b) q = 1,07cm; pa = 2,05cm; Qb

= 3,81cm; qc = 5,33cm;a =

36\302\26020'; 0 =62\302\26044'; y =

80\302\26056';

c) a =48\302\26024'; /? =

71\302\26052'; y =59\302\26044/;

d) o:6:c = 9:12:16;a = 9 Je; b = 12Jfc; c = 16Jfc; \302\253= 18,5Jfc;

usw. ;

a +1 65 /? t/5-19 V t/19*13tany = Vl9^37; tanT =

Vl7TT3T; tanT= VT^r;

a =33\302\26050'; /? =

47\302\26056/; y =98\302\26014/;

e) sin21

y (1 + cosa);62cosa= \342\200\224

1 \342\200\224 cosa=

1 + cosa=

a

(1\342\200\224cosa); cos2\342\200\224

f- c2-o\302\273

2 6c ;

(o + 6j-c)(o-6+ c)2 6c

(a + 6 + e)(6+ e \342\200\224 o) _ 2* \342\200\2422(\302\253

-a)

tan 2 V l+i

2^(*-c)2 (*-6)26c

26c 26c hieraus:

tan \342\226\240 _ 1/(\302\253-\302\273)(\342\200\224c)\" .f) a) r^ =

\302\253

\342\200\224 o;r^ = 24mm;

r* -\342\200\242-*;

fg = 34mm;a =

59\302\2604'; /? =43\302\26036';

F = 1020mm2; 2^ = 296,9mm2;

rc =s-c;rc = 17mm;y =

77\302\26020';

F\303\237

= 439,9mm2; Fc= 195,0mm2;

Fl\303\244che desKreisbogendreiecks: 88,22mm2;

b)r^=42mm; rB = 24mm; rc = 11mm;a =31\302\26054/;

\303\237

=53\302\2608'; y =

94\302\26058/;

F = 924mm2; FA= 491,1mm2;

F\303\237

= 267,1mm2; Fc = 100,3mm\302\273;

Fl\303\244che desKreisbogendreiecks: 65,56mm2.

22.a) ha= c sin/? = 2r sin/? siny;

hb= csina= 2r sinasiny;

h = 6 sina = 2r sina sin/?;

b) F = ^ a b siny; F = 2r2 sina sin/? siny;

c)2\302\253= a + & + c; \302\253

= r (sina + sin/? + siny) = r [sina + sin/? + sin(a + /?)]a +

\303\237 a-\303\237. . a + 0 a + /?cos

\342\200\224y-*\342\200\224

+ 2 sin\342\200\224y-*-

cos\342\200\224y*-

=r^2sin\342\200\224^

+ /? /a-\303\237Y-[cos-2-= 2r sin

= 2r sin

a+\303\237\\

(y\\ ol\303\237

a\303\237 y

90\302\260-y 1 \342\200\2422cos\342\200\224 cosy = 4r cos\342\200\224 cosy cosy ;

a ad) Mit Ben\303\274tzung von c)und sina = 2 sin \342\200\224 cos\342\200\224 folgt:

a\303\237 y a a

8 \342\200\224 a = 4r cos\342\200\224 cos\342\200\224 cos-\302\243

4r sin \342\200\224- cos\342\200\224

2 2 2 2 2

4r cos-

= 4r cos\342\200\224

(cos|-cos|--sin^)= 4

0 ri\303\237,sycosy\"lcosy

0 y .\303\237

.cos4\342\200\224 sin \342\200\224

\303\237 y \303\237 y\\]-\302\243-

cos-\302\243\342\200\224

cosI-\302\243-

+-\302\243-2 2 \\2 2/J

ysmy)a tf= 4r cos\342\200\224 sin

-\302\243-sin2 2

\303\237** y

entsprechend: s \342\200\224 b = 4r cos-y-sin \342\200\224 sin -y ; y a \342\200\242

\303\237i \342\200\224 c = 4r cos-y sin \342\200\224 sin y-;

e) \302\243

mit Verwendung derErgebnisse von b) und c) folgt

a\303\237 y

<4rsin\342\200\224 sin-^-sin-*-;

f) Unter Verwendung derErgebnisse von b) und d) folgt mit qa = -

ol\303\237 y

Qa= 4r sin \342\200\224 cos\342\200\224 cos\342\200\224 und entsprechend

\303\237ol y y ol

\303\237

Qb= 4r sin \342\200\224 cos\342\200\224 cos-y und qc = 4r sin -y cos\342\200\224 cos-y

Zt Zd A Zi Zi Zt

g) Mit Ben\303\274tzung desSinussatzes gilt:

wa:c = sin/?:sin 180(-(/?+y)j; da a + /? + y =180\302\260, gut:

180\302\260-

(\303\237

+ f)]=sin(/?

+ f) =sin(/?

+ 90\302\260- A+X)= cos\302\243zZ ;

folglich ist mit c = 2r siny:2r sin/? siny 2r sina siny

Wa.=

1 'W\303\237

= icos\\ (\303\237

-y)p cos\\ (a-y)

2r sina sin/?

cosi (a-\303\237)

23.a) Mit den Ergebnissen von 22b),e),f) ergibt sich:F* = 4r* sin2a sin2/? sin2y, sowie

26

Q Qa Qb Qc= 4f* sin2a sin2/? sin2y und damit F2 = q qa Qh qc ;

b) _\342\200\224

4r sin \342\200\224 sin --

folglich:

2 \302\253 sin-\302\243-2 2

sina + sin/? + siny2r sina sin/? sin y

a\303\237 y4 cos\342\200\224 cos-jr- cos\342\200\224

2r sin a sin /? sin y

1

o = 7,25cm; b = 6,47cm;0 =

72,4\302\260;a = 5,25cm;

/? =96\302\26023/; y =

35\302\26025';

^ = 13,73cm2;

a)y =61\302\260;

b) a =48,6\302\260;

c) a-48\302\26012';

c = 4,63cm

d) 1.L\303\266sung:

y -56\302\260;

2.L\303\266sung:

y =124\302\260;

e)1.L\303\266sung:

a =48\302\26036';

c = 7,75cm; F2.L\303\266sung:

a =131\302\26024/;

\303\237

=9\302\26018/; y = 39\302\26018'

c = 37,13cm; F = 131,9cm2;

78\302\260;

\303\237

=12\302\260;

\303\237

=46\302\260

44\302\260

/? =50\302\26042'; y =

80\302\26042';

17,68cm2;

f) y =69\302\260

g) a =57\302\260

h) /? =84\302\260

i) y =95\302\260

k) y =79\302\260

1) a =36\302\260

m) y =56\302\260

n) a -65,95\302\260;

o) a =85,85\302\260;

P) \302\253

=55,7\302\260;

q)a=72,3\302\260;

J7-7,98cm;

o = 6,24cm; 6 -= 7,30cm;o - 1,477dm; 6 - 1,597dm;o = 4,53cm; b = 8,38cm;o = 3,651cm;6 = 4,016cm;o = 4,143cm; b \342\200\224 4,857cm;o = 2,84cm; 6 - 4,75cm;o = 4,65cm; b \342\200\224 3,42cm;/? =

35,95\302\260;

/? =34,15\302\260;

\303\237

=29,7\302\260;

\303\237

=24,1\302\260;

y =78,1\302\260;

b = 2,81cm;y =

94,6\302\260;

y =83,6\302\260;

01 .\303\237 y4rsin \342\200\224sin-^-sin-f^-2 2 2

c = 7 cm;6 = 6,67cm;o = 5,96cm;

o = 6,85cm;

o = 4,86cm;

o = 5,89cm;

o - 43,95cm;

c = 7,72cm;c = 1,494dm;c = 7,54cm;c = 5,657cm;c = 5,751cm;c = 4,34cm;c = 3,94cm;o = 5,6cm;c \342\200\224 4,34cm;o = 4,97cm;o = 6,12cm;

F - 20,5cm2;c = 6,00cm; F = 15cm2;6 = 7,95cm;

b = 5,04cm; J7 = 14,29cm2

6=1,45cm; J7 -2,92cm2;

b -6,08cm;

6 = 9,47cm;

J7 = 21,26cm2;

**= 16,99cm2;F = 7,30cm2;J7-9,875cm2;**= 6,05cm2;J7 = 6,58cm2;6 = 3,6cm; ^ = 9,87cm2F -6,09cm2;6 = 2,98cm; 1^ = 7,39cm2b = 2,62cm; c -6,39cm;

o a + 6 2r (sina + sin/?)c ^ r sin (a + /?)

o \342\200\224 b

yCOSy

2r (sina \342\200\224 sin/?)2rsin(a+0)

c \302\253= 5,446km;

s) o = 4,5cm; 6 = 12cm; a =21\302\26047'; ha

= 10,39cm;

MA = 9,17cm (M Inkreismittclpunkt); Bogen = 20,79cm.

25.Es gilt: \302\261-\302\261=*-;c hc

mit hc= 2r sina sin/?

a a\303\237 \303\237

a\303\237 yoder hc

= 8r sin \342\200\224 cos\342\200\224 sin \342\200\224 cos\342\200\224 und q = 4r sin \342\200\224 sin \342\226\240\302\243- sin -^-,

folgt z = yc cos\342\200\224(a-\303\237)

\302\253 0''

COS \342\200\224 COS \342\200\224

2 2a) z = 4cm;

b) z = 3,566cm.

26.Umkreismittelpunkt: ifMittelpunkt von XY: Z

CM=r; CZ=^-; MZ=r-^; MZ = r sin\302\273 -|-;A 3fFZ: (yj*= r2 -r2sin4-|-,a) \302\253

= 3 V5 cm;

b) s = 6,18cm.

27. a) FT = 2o2 sina cos2y ;

-r\342\200\224: folgt s \342\200\224

2 sinye 2 1/'*=*'

b) Q= \342\200\242100%,

mit^\303\204

4sin2

\342\200\224 und FT = 2o2 sina cos2\342\200\224 folgt:

Q= sin3a ,71

Q,\342\204\242

= 63,6%(f\303\274ra =

90\302\260).

28.I.62 = \342\200\224 +8C*

~2 * y \342\200\242& cos= < (y,*J ;

c2 cII.a2 = \342\200\224 +\302\253c2

+ 2 \342\200\224 6cosgp

I + II:a2 + &2 = y + 2*c2 :2

28

29.wy= DC\\ AD = m; DB= n\\ < ADC = q>;

\342\200\242 y \342\200\242 ysin -J- sin ~-2 2

a) m = b \342\200\242

\342\200\224: ; n = a \342\200\242

\342\200\224: ; hieraus: m\\n = b\\a\\sing? sing?

b) I.m + n -c;& , \342\200\242 r 1 & C \303\266 CII.m -= \342\200\224 n; hieraus folgt: m = \342\200\224 ; n -= \342\200\224 .a a + 0 a + 0

c2 &2\303\204

cbc) A ^#C: I.&2 = -7 7TT-+

\302\253vf+ 2 10 cos<p,7 (a + &)2

y o + 6 y r

A Z>\302\243C: II.a2 - ,aC-Xfl + w* -2 -^\342\200\224

wv cos<p,(o + &)2v a + & v r

c2(II). 6 + (I).o:o 6(o + &)

=rr^r ab(a+ b) + w* (o + b) ,(o + 0)* r

l/\303\266& ,hieraus: wv = \342\200\224-\342\200\224- \\(a + b + c)(o + 6 \342\200\224 c);7 a + 0

d) I.m2 = &2 + try2-26

M?ycosy

II.n2 = a2 + tu 2-2owycos \342\200\224 .Wegen m: n = 6:o ist o2 m2 = 62n2. Multipliziert man (I) mit o2, (II) mit 62 und setzt gleich,soergibt sich

2ab y\"V

= T7&-cosT:e) Ist SC= x, sofolgt mit Verwendung desErgebnisses von d):

. 2 \342\200\2426 \342\200\242x 12 , _v4 =6 + x

cos30\302\260. Hieraus x = \342\200\224 (2+ 3 y3) .

30.a) I. e\302\253= a2 + &2-2a&cos/3; (5 =

180\302\260-/?

T/ . e2-a2-&2I. cosp=\342\200\224.\342\200\224 coso= \342\200\224 cosp

n. e2 = d2 + c2 + 2cd cos/?;

11.cos/?- -1TS7-;t/ 1 tt/ 1 \342\200\2421 -i \302\253 (ad + 6c) (ac + 6d)I'und IT gleichgesetzt ergibt: e2 = \342\200\224/-^- ;a 0 + a c

b) e = 80mm; a -76\302\26027'; /? - 49\302\26035/; y =

103\302\26033'; (5 =130\302\26025';

v A x 9 (ad + bc)(ac+ bd)c)Ausa) \342\202\254,_.\342\200\224_.___. t

bc + ade2/2 = (oc + 6d) (a c + b d) ,e/ =oc+ y;

29

d) Aus e2 = o2 + b2 \342\200\224 2a b cos/? und

e2 = d2 + c2 + 2dccos/?, folgt durch Gleichsetzen:

o2 + 62-c2-d2

da sin2/? = (1 + cos/?)(1-cos/?) ergibt sich:

Sin2/* =~4(ab\\cd)2[(\303\266

+ by \" (C\" d)2] [(C+ *\" ~~(\303\266

\" 6)2] Und

sin/? = \342\200\224 V(o + 6 + c \342\200\224 d) (a + 6 \342\200\224 c + <f) (c+ d \342\200\224 a + 6)(c+ d + a \342\200\224 6);2 (o6 + ca)mit a + 6 + c + d =

2\302\253 ist a + b + c \342\200\224 d = 2(s\342\200\224 d) usw.

Da (5 =180\302\260

\342\200\224

\303\237(Sehnenviereck) ist sin(5 = sin/? und

ff =\302\243

a 6sin/? + |cdsind =\302\243

(o6 + cd) sin/? =

ab + cd4 (ab + cd) \\fc (\302\253

-rf) 2

(\302\253

-c)2 (\302\253

-a)2(\302\253

-6);

ff = V(<-o) (^-b) (s-c)(s-d) ,

speziell: a = 60mm; b = 33mm; c = 25mm; d = 16mm ergibt ff = 714mm2.

31.a) AC = 6cosa; \302\243C\"= ocos/?;

A47 = ccos/?; CA' = 6cosy;CB'= ocosy; AB' = ccosa;

b) DieDreieckestimmen in einem Winkel und im Verh\303\244ltnis der ihn einschlie\303\237enden Seiten

\303\274berein.

c) Unter Verwendung desErgebnisses von b) folgt:

A'B' = ccosy; CA'= b cos/?; BfC= ocosa;d) F = J a b siny; ff' =

\302\243

a'&' sin/; / =180\302\260

-2y;ff' = \\ a cosa\342\200\2426cos/?\342\200\242sin

(180\302\260

\342\200\224 2y) = J o b cosacos/?\342\200\2422 siny cosy;F'= 2 ff cosacos/?cosy.

32.-4(7= \342\200\224 arc2a=\302\253 arca; -42?= s arca; \302\243C

= s \342\200\224 s cosa;

u =\302\253(arca

+ arca+ 1 \342\200\224 cosa)= \302\253(2arca\342\200\224 cosa+ 1);

S2 82 S2 S2f = \342\200\224 arca- \342\200\224 arc2a- \342\200\224 sin

(180\302\260

-2a)= \342\200\224 (2arca-sin2a),2 8 8 o

speziell: s = 6cm; a =70\302\260;

u = 18,61cm / = 8,103cm2.

33.<p

=15\302\260 30'.

34.Neigungswinkel der Seitenkante AD gegen dieGrundfl\303\244che:=

70\302\260 52';b) \302\243l

=\302\2433

=80\302\26032'; \302\2432

=\302\2434

= 71\302\26034/.

30

36.a) V = 56,29cm\302\273;

b) V = 39,80cm\302\273.

37. a) V = 59,36cm8;

b) V = 55,62cm8.

38.a) Neigungswinkel der Seitenkanten: q>=

75\302\260,der Seitenfl\303\244chen: e =

79\302\260 16',V = 0,0431m8;

b) <p=

68\302\26032'; e =74\302\26028'; V = 0,0831m8.

sin \342\200\224 sin zztD

sin|0= 2a2

sin22,5\302\260

sin-\302\243-2

b) speziell: o = 3m; a -15\302\260: V = 156,5m3.

40.F=-g-V'3 (7-3V/2).

1341.V =-324ra8tan\302\253;

speziell: a = 15cm; a - 65\302\26017/: F = 294,2cm8.

42.Neigungswinkel der Seitenkanten gegen dieGrundfl\303\244che: 49\302\2606'; 63\302\26026'; 63\302\26026';

Neigungswinkel der Seitenfl\303\244chen gegen die Grundfl\303\244che:90\302\260; 66\302\26035'; 66\302\26035'.

43.0= ^ a \342\200\242b \342\200\242siny; hc= 8 * cot(5;

\303\204COt(5 , \302\253COt\303\226\342\200\236rtrtn , ^

o-i cot\302\273\302\253 sin(o^?;2 sina sinp

t/ * a .ajB sin(\" +\303\237)V = \342\200\224

\302\2533 COt2(5\342\200\224r-^\342\200\224r-^- J6 sina sinp

Spezialf\303\244lle:

DasGrunddreieck ist gleichschenklig mit AB als Basis: V = ^ \302\2538cot2(5 cota.

DasGrunddreieck ist rechtwinklig mit y =90\302\260 : V = ks3 cot2 \303\266

\342\200\242

~r-=\342\200\224 \342\200\242* r *> Sin2a

DasGrunddreieck ist gleichschenklig rechtwinklig mit y =90\302\260 : V = J \302\2538 cot2(5.

44.a) AB = o;ASf-a; \303\204S=yV2;

DasDreieck4\303\2048 ist gleichschenklig mit derBasisBS= \342\200\224 ^2.< ABS -

\302\253\303\204SM=

69\302\26018';

< SAB \302\25341\302\260 24';

81

b) 2 L\303\266sungsm\303\266glichkeiten:

1.F seider H\303\266henfu\303\237punkt. [FS= y j

< FAD =30\302\260;

AF = --\\/3; AD = d; < AFD = e; * 54Z) =180\302\260

-(30\302\260

+ e).

Aus dem Sinussatz folgt:sin(30\302\260+e) _o_ ^ '

o V3 sine = 2d-\\cose+ 2d \342\200\242i \\3 sine; (sine * 0; d * 0);o \342\200\224 dcote V3-

F\303\274r d0 =|o folgt: e0 =60\302\260.

2. F seider Fu\303\237punkt der Pyramidenh\303\266he(f\\S

= -|) (Abb. 15).

^\303\204= x = |-V3; \302\243f

= j, = i-V3(a-d);v . \303\266

\342\200\224 d i\342\200\224cote= \342\200\224 ; liefert wieder cote= \342\200\224\342\200\224\342\200\224 y3 .h d

45.Neigungswinkel-=

45\302\260 15'X7 = 5,632cm.

46. V = 15,97cm3;0 = 39,62cm2.

47. 7 = 0,1034m3.

48. \303\226ffnungswinkel desTrichters: 2<p- 28\302\26058'.

49.Ax= 6cm; h2 = 8cm; q> < 60\302\26057'.

50.H\303\266he desschiefen Kreiszylinders: h

Entfernung desH\303\266henfu\303\237punktes vom n\303\244chstliegenden Punkt desGrundkreises: xx r + x 2r + x

cot<p0= -; cot<pw=

\342\200\224j\342\200\224

; cot^= \342\200\224 ;

cot<pu-

coup0 = 2 (cot<pw-cottpj;

cot<pu= 2cot<pm-cot<p0;

speziell: <pm=

46,5\302\260; <p0=

70\302\260:

<pu=

33\302\2606'.

51.a) rx - 1,928cm; hx = 0,702cm;

*>) ra= 1,928cm; Aa

= 5,298cm.

52.a) Mittelpunkt desSchnittkreises: X

Radius desSchnittkreises: qMN = x; <MSN=

a-45\302\260; MS-r }/2;

32

x = r V2sin(a-45\302\260); g2=r2-x2;g=r \\4\303\234n2~\303\244;

F = q2ti = r27isin2a;speziell: a =

60\302\260;r = 3cm: F = 4,5ji V3 ;

b) 7\\, r2 seien dieSchnittpunkte der Tangentialebenen mit der Ri\303\237achse.

1 3\342\200\224 TXT2 = \342\200\224 . Es ergeben sich folgende Koordinaten:2 sina

T1(4+ 3cota+-^\342\200\224; 0; o) T2U + 3cota- -^\342\200\224 ; 0; o)\\ sina / \\ sina /

oder:

T1(4+ 3cot|-;0; o); T2(4-3tan~;0; o) ;

speziell a -60\302\260:

T1(4+ 3\\/3; 0; 0); T2(4-V3;0; 0);7^(9,2; 0; 0); T2(2,3; 0; 0).

r253.a) V = \342\200\224 7i (hx + h2); h\302\261

+ h2 = c;r2

V = \342\200\224 n c; A,= r cota;

\303\2442

= r cot/?;0V c csina sin/?r (cota+ cot/?) = c; r = \342\200\224 ; r = \342\200\224\342\200\224

\302\243- ;v ' cota + cot\303\237 sin(a +

\303\237)

V=\302\261-C*7lsina sin/?sin (a + /?)

Sonderfall: a +\303\237

=90\302\260: F = ^c3rcsin2 2a;

speziell:c = 6cm, a -15\302\260: F = 4,5n cm3;

b) V = -^-(3a-2rfcot0);F = 36,58cm8; O= 58,70cm2;

(x a ac) 1.F = 47i o3 sin2 \342\200\224 cos\342\200\224 = 2 ti o3 sina sin \342\200\224 ;

speziell: o = 4cm, a =28\302\260 34': F = 47,44cm3;

2. V = F -s; F = 0,5t>\342\200\242/; s = 2n-

-jm> Erg- wie obenJ

d) F = ^j- r3 sin2 -?-; speziell: F = 5,152cm3; O= 17,27cm2.

54.a) 70\302\260 32';b) 65\302\26036';

c) Punkte A,B,C,Dsind Eckpunkte desGrundquadrats. F ist dergemeinsame Fu\303\237punkt derLotevon A und Cauf DA. Es gilt

AC = a\\/2>-4\\/2; < ADF =75\302\260;

^^ =4sin75\302\260;

L\303\266sungsm\303\266glichkeiten:

\302\253. * 2 V2 .x V21.sin\342\200\224

\342\200\242 \342\200\224 \342\200\224

2 4 sin 75\302\260

' 2 2 sin 75\302\260

88

2. Anwendung desCosinussatzes im DreieckACF:

(4 V2)2 = (4sin75\302\260)2 + (4sin75\302\260)2-2 \342\200\242(4sin75\302\260)a cosa;;

sin275\302\260 -1COSX =

\342\200\242 27CO~ 'sin275cosa;= -

cot275\302\260; hieraus: x = 94\302\260T.

d) Zur Konstruktion desNetzes (Abb. 16):1.Konstruktion desGrundquadrats ABCDmit o = 5cm;2. Konstruktion desNcigungsdreiecks AF0C mit < AF0C =

120\302\260

bzw. < CAF0 = < F0CA =30\302\260.

3. CF (und -4-F)stellen die H\303\266hen von C (bzw. 4) in den Seitendreiecken BCS(bzw. ABS)dar.

fliegt also:I.auf dem Thaieskreis \303\274ber BC.II.auf demKreis um Cmit Radius CF0.Sliegt:

I.auf BF.II.auf derMittelsenkrechten von BC.

Durchfuhrung derBerechnung:

AC = a \\/2; A i\302\273fF0C:\303\204

\302\273-JVS;

cos30\302\260

A5C5: \302\253C\303\204S=

90\302\260-^-

cos-|-= \342\200\224 V6 y - 70\302\26030/.

e)Man zeichne zuerst dasNetz derPyramide. DasNeigungsdreieck ABF la\303\237t sich dann konstruieren.AB = p; AF=BF= h;AF und BF sind jeweils H\303\266hen auf dieHypotenuse in den kongruenten rechtwinkligenDreiecken ACS und BCS.

V

. e 6,52 V69

'55.a) 0,5617;

AABF: sin4- ,9

2 2\\/q2-<p2

e =103\302\260.

b) Vsin (\302\253+ /?)sin (a-/?)= 0,5617.

_, v ,, sin(2a + a) 3sinacos2a\342\200\224sin'jt56.a) tan3 a = \342\200\224=\302\273 ... \302\253

\342\200\242

cos(2a+ a) cos3a\342\200\224 3 sin2a cosa 'Nach Division von Z\303\244hler und Nenner durch cos3afolgt:

3 tana \342\200\224tan8a

tan3a \342\226\240 l-3tan2a q.e.d;

34

b)AX=x\\ <AXB =<p; < BXC =

3\302\251;

a ^ besgut: tan\302\251= \342\200\224 ; tan3\302\251 = \342\200\224 ;

_ . _ 3 tan\302\251\342\200\224

tan3\302\251

Formel: tan 3\302\251=

--\342\200\224_\342\200\224-9- ;^ 1-3tan2\302\251

a a*b xx* \\ I '\342\200\242

aus-2\342\200\224

folgt: x = o 1/-=,.3.^ z-L^i'x*

Determination: Vor: a,b > Q;b> a; wegen \342\200\224\342\200\224-\342\200\224 > 0; b > 3o;

speziell: 6 = 4a; \302\243= a\\/ll.

57. Bezeichnet man die Teilwinkel desWinkels 42\302\260 mit y und z, soist:I.y + z =

42\302\260;

5II.tan y = \342\200\224 ;ar

4III.tanz = \342\200\224 .xtan v + tanz

Mit Benutzung der Formel tan(v + z) = und tan42\302\260 & 0,9 ergibt sich die quadra-\303\266 v 1-tan y tanz \303\266 ^

tische Gleichunga:2_ioa;_20= 0,hieraus: s~5 + 3 \\/5 ~ 11,71.

58.a) cos4a = 8cos4a\342\200\224 2 cos3a\342\200\224 6cos2a+ 1;b) cos(n+ l)a = cos(na) cosa\342\200\224 sin (na) sina

= 2 cos2acos(n\342\200\224 l)a \342\200\224 cos(n\342\200\224 2)acosa\342\200\224 2cosasina sin(n \342\200\224 l)a+ sina sin(n \342\200\2242)a

= 2cosa[cosacos(n\342\200\224 l)a \342\200\224 sina sin(n \342\200\224 l)a]\342\200\224 [cos(n-2)acosa

\342\200\224sin(n

\342\200\224 2)asina]= 2cosacos(n a) \342\200\224 cos(n \342\200\224 1)a .

Diesist dieRekursionsformel, wenn man (n + 1)durch n ersetzt.

59.a) A = sin (a + h) + sin (a + 2 h) + ...+ sin(a + n h);

2 A sin \342\200\224 = 2 sin (a + h) sin \342\200\224 + 2 sin (a + 2h) sin \342\200\224 + ...+ 2 sin (a + n A) sin \342\200\224

= cos(a+y)-cos(a+^-)+ cos(a+^-)-cos(a+-y-)

+cos(a+-^-)-cos(\302\253

+ ^-)+ ...usw.;

85

2 A sin \342\200\224 = cos2

A =

(\302\253+y)-cos(\302\253+-^i*);

5(a+y)-cos(a+2jtJL\303\244)

2 sin

,4 =a+ y (n + 1) sin(n- yj

b) \303\204=

60\302\260; a =15\302\260;

n = 10; \302\243= -

(cos75\302\260-

cos45\302\260)= 2 sin60\302\260 sinl5\302\260;

^=^V3^2-V3.

Sy-cos(2n+ l)y sin(n + 1)y \342\200\242sinfnyjc)A = a; 5:2smy

1.a =60\302\260;

n = 10; 5 = J V3 ;

2. a =0\302\260;

\303\204=

60\302\260;n = 10; 5 = J \\/3 ;

d) Formel richtig f\303\274r n = 1,n = 2. Annahme: Formel richtig f\303\274r n.\302\243

= sina + sin2a 4- ...+sin (na) + sin(n + l)a

sin(nyj-sin(n+ 1)y

sin(n + l)y (a \\ a an \342\200\2241 + 2 sin \342\200\224 cos(n+ 1) \342\200\224-

a (x I <x\\ ada 2 sin \342\200\224 cos(n+ 1) \342\200\224 = sin I\342\200\224 n \342\200\224 I + sin(n + 2) \342\200\224 gilt:

sin(n + l)y^ .sjn (n + 2) \342\200\224 .a 2Sln7

Diesist diezu beweisende Formel, wenn n durch n + 1 ersetzt wird. Aus ihrer Richtigkeit f\303\274r

n = 2 folgt die f\303\274r n = 3, aus der f\303\274r n = 3 die f\303\274r n = 4 und soallgemein die G\303\274ltigkeit f\303\274r

beliebiges n.

60.a) sina; + sin 2a:+ sin3 a; = 0; Anwendung der Summenformel (o=0\302\260;

h = x; n = 3):a; 7 a;

cosT-cos-22smy

3a; .\342\200\236sin \342\200\224\342\200\224 \342\200\242sinza;

letzter Bruch null gesetzt:1.sina; = 0; xx =

0\302\260; x2 =180\302\260;

36

2. sinx + 0 Nullset2en der Z\303\244hlerfaktoren liefert:

x3 =120\302\260; x4 =

240\302\260; x5 ~90\302\260; xa =

270\302\260;

b) \303\204hnliche Rechnung wie beia) liefert:

a;1=0\302\260; x2 =180\302\260; x3 =

90\302\260; x4 - 270\302\260; x5 - 72\302\260; xa =144\302\260; x7 ^

288\302\260;

c) Mit Benutzung der Formeln f\303\274r tan2a und tan3a l\303\244\303\237t sich die Gleichung in der Produktformschreiben:

tanx \342\200\242(3-tan2x) \342\200\242(2-4 tan2*) =-- 0;L\303\266sungen: 0\302\260; 35\302\26016'; 60\302\260; 120\302\260; 144\302\26044'; 180\302\260; 215\302\26016'; 240\302\260; 300\302\260;

324\302\26044'.

61.c2.\342\200\224 4a b > 0:4 L\303\266sungen; c2 \342\200\224 4 a b = 0:2 L\303\266sungen; c2 \342\200\224 4 \302\253 & < 0:keine L\303\266sung;

a) 45\302\260; 63\302\26026'; 225\302\260; 243\302\26026';

b) 26\302\26034'; 206\302\26034';

c) 71\302\26034'; 153\302\26026'; 251\302\26034'; 333\302\26026';

d) 31\302\26043'; 58\302\26017'; 121\302\26043'; 148\302\26017';

e) 45\302\260; 53\302\2608'; 225\302\260;233\302\2608'.

62.Man kann o sina; + b cosa;= c darstellen in derForm: A sin(x + q>)---- c;

Ansatz: a sina; + b cosx= A sin (x + <p);a sinx + b cosa;= A sina; costp + A cosa;sing?;sina; (o \342\200\224 A costp) = cos-r(A sing? \342\200\224

i>) .DieseBeziehung ist eine Identit\303\244t, die f\303\274r alle x gilt. Siekann nur bestehen, wenn

I.o \342\200\224 A costp = 0;II.b \342\200\224 A sing? = 0 .Mit II:I und II2 + I2 folgt

tano? = \342\200\224 und A = \\/a2 + b2 ;a

a) 90\302\260;330\302\260 b) 60\302\260 c) 30\302\260;

90\302\260 d) 90\302\260;180\302\260 e) 130\302\260 12';342\302\26025'.

Bemerkung: Eine andere L\303\266sungsm\303\266glichkeit der Gleichung o sina; + b cosa;= c ergibt sich, wennman quadriert und c2 = c2sin2a; + c2cos2a;setzt. Dann erh\303\244lt man nach Division durch cos2a;+ 0

(o2-c2)tan2a; -2o b tana; + (&2-c2)= 0 ,

mit den Sonderf\303\244llen c = a (4 b)f c = b (+ o)und o = b = c.Es ist zu beachten, da\303\237 man durch dasQuadrieren eine Gleichung erh\303\244lt, die nicht mehr \303\244quivalent mit der Ausgangsgleichung ist. DieProbeist daher unerl\303\244\303\237lich.

63.a) Dasina; \342\200\224 3 negativ und sina; + 2positiv ist, mu\303\237,wenn dergegebene Ausdruck positiv sein soll

2 sina; \342\200\224 1 < 0 sein;L\303\266sungsbereiche: 0\302\260 ^ x ^ 30\302\260 und 150\302\260 < x <

360\302\260;

b) L\303\266sungsbereiche: 0\302\260 ^ x < 60\302\260 und 300\302\260 < x <360\302\260;

c) Nach 62.findet man dieDarstellung:2 sina; + 3cosa;- \\^13 sin (x + 56\302\26019');

damit ergeben sich die L\303\266sungsbereiche: 0\302\260 ^ x <, 107\302\26035' und 319\302\26047' < x <360\302\260;

d) L\303\266sungsbereiche: 30\302\260 < x < 150\302\260 und 210\302\260 < x <330\302\260;

e) L\303\266sungsbereiche: 0\302\260 S x <15\302\260;

75\302\260 < x <135\302\260; 195\302\260 < x <

255\302\260;315\302\260 < x <

360\302\260;

37

4 \302\26013'

a) b) O

d)

W1T

f) 1.Fall: 2cosx-1 < 0 und gleichzeitig 3cosx-2 > 0;cosx< \\ \342\200\236 \342\200\236

cosx>|;60\302\260<x<300\302\260

\342\200\236 \342\200\236-48\302\26012'<x<48\302\26012'.

BeideBedingungen nicht gleichzeitig erf\303\274llbar (der Durchschnitt ist leer).2.Fall: 2cosx\342\200\224 1 > 0 und gleichzeitig 3cosx\342\200\224 2 < 0;

cosx> \\ \342\200\236cosx<

\302\247\342\226\240;-60\302\260 < x < 60\302\260

\342\200\236 \342\200\23648\302\26012' < x < 311\302\26048/.

DerDurchschnitt dieserbeiden Bereicheist der L\303\266sungsbereich.

L\303\266sungsbereich: 48\302\260 12'< x < 60\302\260 und 300\302\260 < x < 311\302\26048/.

64.a) x =90\302\260;

b) x -186\302\26048/;

c)x =90\302\260;

d) xx =120\302\260;

c)x =41\302\26030';

f) x -eye-,g) a -

70\302\26038';

V =30\302\260;

y =141\302\26048';

y =150\302\260;

yi =60\302\260;

y =19\302\26021';

y =25\302\26012';

\303\237

=62\302\26022';

x2 =300\302\260; ya =

240\302\260;

a = 6,436; 6-6,044; F = 14,25.65.a) sin2x + acos2x= a;

2 sinx cosx+ acos2x\342\200\224 a sin2x \342\200\224 a cos2x=

sinx (2cosx\342\200\224 a sinx) = 0,0,

1.sinx = 0,2. sinx * 0;

hieraus: xA =0\302\260; x2- 180\302\260;

cotx =2 '

a darf alle Werte annehmen zwischen \342\200\224 oound +\302\260\302\260;

speziell: a = \342\200\224 2; cotx = \342\200\224 1*a \"

135\302\260, x4 - 315\302\260;

88

b) \342\200\224

\302\243^ o ^ ^. F\303\274r o =

\302\243,

a; =45\302\260 nimmt sina; cosa;den

gr\303\266\303\237tenWert an.

c) 0\302\260 und180\302\260; cosa;= \342\200\224 ; f\303\274r b^a erh\303\244lt man 2, f\303\274r b < a 4 L\303\266sungen;

d) L\303\266sungen f\303\274r a b ^ J,genau 2 L\303\266sungen f\303\274r o 6 = };

e)DieGleichung hat L\303\266sungen f\303\274r\342\200\224 oo < \302\253 <;0; 4 ^ a < oo ;

f) -l^a j;g) 1.a) xx =

0\302\260, x2 =180\302\260;

1b) cos2a;2rr =

2cota

+ 1^- ^0, d.h.:cota^0,5;~ 2cota _ - '2. 0\302\260 < a ^ 63\302\260 26' und 180\302\260 < a ^ 243\302\260 26';3.

60\302\260; 120\302\260; 240\302\260; 300\302\260;

h) 1.cosg? = ;

2. keine L\303\266sungen f\303\274r:\342\200\224 1^ o ^ 1,25;

3. a = 1:\302\253Pj

=90\302\260; g?2

=270\302\260; g?3

=180\302\260;

a = \342\200\224 1:g?=

0\302\260;

i) 1.J*= i\303\2662 tana und J7 = , .* ^

ACO, .' 2 4 sin (q> + 45\302\260)

Durch Gleichsetzen der Werte f\303\274r F folgt:

V2tana =\342\200\224\342\200\224;\342\200\224 tttt2 sin (q> + 45\302\260)

oder: 2 sing? cos45\302\260 + 2 cosg?sin45\302\260= V2 cota;

schlie\303\237lich: sing? + cosg?= cota;2. sing? + cosg?= 1,24; hieraus tp1

=16\302\260 16'und (p2

=73\302\26044';

3. sing? + cosg? = cota;

sin(g? +45\302\260)

=\302\243

\\2 cota, d.h.:a ^ 35\302\26016';

4. sin(g? +45\302\260)

= \\ V2cota.DieL\303\266sung ist geometrisch sinnvoll, wenn 0\302\260 <

g? < 90\302\260.

Bedingung hiefur: ^ V2 cota > J \\2

oder cota > 1,somit a <

45\302\260;

k) 1.sin3a \302\253= 6sina;sin2acosa+ cos2asina \342\200\224 b sina = 0;sina [4cos2a-(l+ b)] =0;a) sina = 0 mit ax \302\253=

0\302\260 und aa- 180\302\260;

b) cosza-\342\200\224-\342\200\224 ;

89

cosa =\302\261

\302\243V1 + &J

Begrenzung: 6^-1 und 6^3,d.h.:-1^ 6^ 3.Gesamtzahl der L\303\266sungen: 2 wenn \342\200\224 oo < b < \342\200\224 1

4\342\200\236

6=-l6

\342\200\236

-1 < b < 32

\342\200\236

6 = 32

\342\200\2363<6<+ oo.

2. speziell:b = 2; L\303\266sungen: 0\302\260; 30\302\260; 150\302\260; 180\302\260; 210\302\260; 330\302\260.

66.981m.

67. 41,0m.

68.RS = 812,6m; Richtung RS:N 50\302\26051' E.

69.23,65m bzw. 28,02m.

70. 18kn.

71.24kn.

72. 420km/Std.

73. a -14\302\260; y: 2V 54\302\260 #; vg

= 242km/Std.

74. W4\302\260 S; v = 46km/Std.

75. a) Es mu\303\237 als 2. Unbekannte < C\303\204S'= y eingef\303\274hrt werden. < ABS' - 180\302\260

-y;

b) F\303\274r die logarithmische Rechnung geeignet ist bereits

ax = \342\200\224 \342\200\224 ;V(cota +

cot\303\237) (cota-cot\303\237)

durch weitere Umformung erh\303\244lt man

o sina sin/?x = \342\200\224 \342\200\224 ;Vsin(/? + a) sin

(\303\237

-a)c) x = 2016m.

76. a) 424,1m; b) 784,0m.

77. a) 339,4m; b) 713,7m.

78. a) <p=

92\302\2609';x = 555,8m; b) XQ = 6cm.

79. a) 1)495,1; 40\302\26033';

2) 559,2; 112\302\26031';

b) 1) g (548,0;371,9);2) \303\226 (203,4;330,0);

c) 1) Q (519,2;600,7);2) \302\253 (231,8;665,2);

d) 1) N (234,9;556,8);2) N (815,4;69,3);

e) 1) N (543,9;703,1);2) 2V (282,0;144,8).

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MATHEMATIKF\303\234R H\303\226HERE SCHULEN

RECHNEN UND RAUMLEHRE Ivon Oberstudienrat Karl W\303\266rle

RECHNEN UND RAUMLEHRE IIvon Oberstudienrat Karl W\303\266rle

GEOMETRIEIvon Studienprofessor Johannes Kratz

GEOMETRIEII-TRIGONOMETRIEvon Studienprofessor Johannes Kratz

und Oberstudienrat Karl W\303\266rle

ANALYTISCHE GEOMETRIEvon Oberstudienrat Hans Honsberg

ALGEBRA Ivon Oberstudienrat Dr.Helmut Titze

ALGEBRA IIvon Oberstudienrar Dr.Helmut Titze

ALGEBRA F\303\234R DIEOBERSTUFEvon Studienrat Dr. Helmut Dittmann

INFINITESIMALRECHNUNGvon Oberstudienrat Karl W\303\266rle,

Studienprofessor Dr.Karl-August Keilund Studienprofessor Johannes Kratz

VIERSTELLIGESMATHEMATISCHES TAFELWERKvon Oberstudienrat Karl W\303\266rle

und Studienrar Paul M\303\274hlbauer

BAYERISCHERSCHULBUCH-VERLAGM\303\274nchen 19,Hubertusstra\303\237e 4

Woerle k. 200 aufgaben aus der trigonometrie mit loesungen 1963

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