Wolfram Mathematica Kompaktkurs.pdf

download Wolfram Mathematica Kompaktkurs.pdf

of 20

Transcript of Wolfram Mathematica Kompaktkurs.pdf

  • Mathematica Kompaktkurs

    Inhaltsbersicht

    1. Einfhrung

    2. Arithmetik

    3. Fortgeschrittene Anwendungen

    4. Analysis

    5. Lsen von Gleichungen6. Lineare Algebra

    7. Grafik8. Einige vollstndige Beispiele

    1. Einfhrung

    i. AllgemeinesModerne ComputeralgebraSysteme (CAS) wie Mathematica, Maple oder MuPad sind mchtige Mathe|Programme,die neben dem numerischen Rechnen (mit beliebiger Genauigkeit) auch symbolische Mathematik und dieVisualisierung von Ergebnissen beherrschen. Entgegen anderslautenden Bekundungen der Hersteller enthalten diesePakete zwar nicht das mathematische Wissen der Welt und ersetzen auch keinen Mathematiker, aber sie knnen einemimmerhin viele zeitaufwndige Arbeiten abnehmen.

    ii. Starten des Programmes und Erste HilfeUnter Unix kann Mathematica von einem Terminal aus mit dem Kommando "mathematica" gestartet werden. Dassollte normalerweise das graphische Benutzerinterface aktivieren. Mathematica ist ein interaktives System, dasEingaben vom Benutzer liest, diese auswertet, und das Ergebnis unmittelbar ausspuckt:

    In[1]:= 1 + 2

    Out[1]= 3

    Eingaben werden in Mathematica immer durch gleichzeitiges Drcken von und ausgewertet!

    Die Ausgabe des Ergebnisses kann man unterdrcken, indem man ein Semikolon an die Eingabe anhngt. Vor allem beiumfangreichen Zwischenergebnissen hilft das, den berblick zu bewahren.

    Printed by Mathematica for Students

  • Dieses Handbuch ist zu kurz, um auch nur die vorgestellten Funktionen von Mathematica im Detail zu behandeln. Frumfangreichere Informationen zu bestimmten Themen ist daher die OnlineHilfe unentbehrlich. Informationen zuspeziellen Funktionen lassen sich zustzlich mit "?" abrufen:

    In[2]:= ? Log

    Log@zD gives the natural logarithm of z Hlogarithmto base eL. Log@b, zD gives the logarithm to base b.

    Um eine Liste aller Funktionen zu erhalten, deren Namen auf ein bestimmtes Muster passen, kann man ein Sternchen inden gesuchten Namen einfgen:

    In[3]:= ? Eq*

    Equal EqualColumns EqualRows EquatedTo

    In[4]:= ? F*ListFactorList FactorTermsList FixedPointList FoldListFactorSquareFreeList FindList

    iii. Mathematica als TaschenrechnerDie Notation von Ausdrcken in Mathematica orientiert sich an der gebruchlichen mathematischen Notation. Einegltige Eingabe ist beispielsweise

    In[5]:= H2^12 + 7.1L * H-1.5 2.5LOut[5]= -2461.86

    Es gelten die gebruchlichen Vorrangsregeln fr Operatoren, Ausdrcke knnen aber auch mit runden Klammernexplizit gruppiert werden. Funktionsargumente werden in eckige Klammern eingeschlossen, um sie von gewhnlichenAusdrcken zu unterscheiden:

    In[6]:= [email protected] Sqrt@2DOut[6]= 0.029402

    Die Namen aller in Mathematica vordefinieren Funktionen, Prozeduren und Konstanten beginnen mit einem Grobuchstaben.

    Das MultiplikationsZeichen kann hufig weggelassen werden, etwa ist 2 Sin@3 xD gleichbedeutend mit2 * Sin@3 * xD. Auch Leerzeichen zwischen zwei (abgeschlossenen) Ausdrcken erwirken die Multikplikation derbeiden: x y ist also x * y, xy (ohne Leerzeichen) wird dagegen als ein Symbol "xy" gewertet.Auf die letzen beiden Ausgaben kann mit % (letzte Ausgabe) und %% (vorletzte Ausgabe) Bezug genommen werden.Meist ist es aber sinnvoller, wichtige Zwischenergebnisse in Variablen zu speichern, um spter auf sie zurckgreifen zuknnen.

    2. Arithmetik

    i. Exakte und Inexakte ArithmetikMathematica unterscheidet zwischen exakten und inexakten, also genherten numerischen Ausdrcken. ExakteRechnungen werden mit beliebiger Genauigkeit durchgefhrt, bei inexakten kann es nach einigen Schritten zuRundungsfehlern kommen. Kommazahlen und die N|Funktion erzwingen die numerische Auswertung einesAusdrucks. N nimmt als optionalen Parameter die Anzahl der signifikanten Stellen des Ergebnisses:

    2 mref2.nb

    Printed by Mathematica for Students

  • In[7]:= Factorial@50DOut[7]= 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000

    In[8]:= N@%DOut[8]= 3.04141 1064

    In[9]:= Sin@Pi 3DOut[9]=

    !!!!32

    In[10]:= N@%, 20DOut[10]= 0.86602540378443864676

    In[11]:= Sin@Pi 3.0DOut[11]= 0.866025

    Vorsicht: Die Regeln, die Mathematica fr numerische Rechnungen anwendet, sind kompliziert und knnen zuberraschenden Ergebnissen fhren. Zudem ist umfangreiche Numerik Mathematica meist sehr langsam. In solchenFllen kann es von Vorteil sein, die eigentlichen Berechnungen in C| oder Fortran|Programme auszulagern.

    Ein Beispiel, warum man der Numerik von Mathematica nicht immer trauen sollte:

    In[12]:= x = 1.11111111111111111111;Do@x = 2 * x - x, 860

  • Infinity, inf Symbol fr Degree, Umrechnungsfaktor Grad Rad : 180

    Integers, Rationals, Reals Zahlenmengen Hetwa fr Annahmen in SimplifyL... und Funktionen sind in Mathematica vordefiniert:

    Sin@xD, Cos@xD, Tan@xD Trigonometrische FunktionenSinh@xD, Cosh@xD, Tanh@xD Hyperbolische FunktionenLog@xD, Log@b, xD, Exp@xD Logarithmus Hnatrlich zur Basis bL, Exponentialfunktion

    Sqrt@xD QuadratwurzelRandom@D Zufallszahl zwischen 0 und 1

    In[19]:= ? Random

    Random@ D gives a uniformly distributed pseudorandom Real inthe range 0 to 1. Random@type, rangeD gives a pseudorandomnumber of the specified type, lying in the specified range.Possible types are: Integer, Real and Complex. The defaultrange is 0 to 1. You can give the range 8min, max< explicitly;a range specification of max is equivalent to 80, max

  • In[24]:= Table@Sin@2D, 85
  • In[33]:= Table@randint@2, 10D, 810
  • Manche symbolischen Ausdrcke knnen nur unter bestimmten Annahmen vereinfacht werden. Zum Beispiel giltSqrt@x^2D x nur fr reelle x. In solchen Fllen mssen die Annahmen explizit an Simplify bergeben werden:

    In[44]:= Simplify@Sqrt@x^2DDOut[44]= !!!!!!x2In[45]:= Simplify@Sqrt@x^2D, x < 0D

    Out[45]= -x

    In[46]:= Simplify@Sin@x + 2 Pi nD, n IntegersDOut[46]= Sin@xD

    Manchmal findet FullSimplify zustzliche Vereinfachungen, die Simplify nicht entdeckt

    In[47]:= FullSimplify@HI 4L E^H2 * I * xL - I 4 * E^H2 * I * xLDOut[47]= Cos@xD Sin@xD

    Sqrt@x^2D konnte in obigem Beispiel nicht vereinfacht werden, da x als komplexe Variable angenommen wurde,fr die die gewhnlichen Potenzregeln nur eingeschrnkt gelten. Die Anwendung dieser Potenzregeln kann mitPowerExpand erzwungen werden

    In[48]:= PowerExpandA9!!!!!!!!!!x^2 , Ha * bL^c, Ha^bL^c=EOut[48]= 8x, ac bc, ab c