WS 03/04 Algorithmentheorie 02 – Polynomprodukt und Fast Fourier Transformation Prof. Dr. S....
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WS 03/04 Algorithmentheorie 02 – Polynomprodukt und Fast Fourier Transformation Prof. Dr. S. Albers Prof. Dr. Th. Ottmann
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WS 03/04
Algorithmentheorie
02 – Polynomprodukt undFast Fourier Transformation
Prof. Dr. S. Albers
Prof. Dr. Th. Ottmann
2 WS 03/04
Polynomprodukt
Berechnung des Produkts zweier Polynome p, q vom Grade < n
p,q Grad n-1, n KoeffizientenAuswertung:
2n Punkt/Wertpaare und
Punktweise Multiplikation
2n Punkt/Wertpaare
Interpolation
pq Grad 2n-2, 2n-1 Koeffizienten
12
2
1
2
0
2 ,,, nnnn
i
n
i
n p 22 , i
n
i
n q 22 ,
i
n
i
n pq 22 ,
3 WS 03/04
Diskrete Fourier Transformation
n-te komplexe Haupteinheitswurzel: nin e /2
))(,),(),(()( 110 nnnnn ppppDFT
Fast Fourier Transformation:Berechung von DFTn(p) mittels eines Divide-and ConquerAnsatzes
4 WS 03/04
Diskrete Fourier Transformation
Ansatz: (n sei gerade)
2/2
1311
2/2
2200
n
n
n
n
xaxaaxp
xaxaaxp
2
12
0
2/221
231
2/222
220
11
331
22
220
1110
xxpxp
xaxaax
xaxaa
xaxaxa
xaxaa
xaxaaxp
n
n
n
n
nn
nn
nn
5 WS 03/04
Diskrete Fourier Transformation
Auswertung für k = 0, ... , n – 1
2/ falls
2/ falls
,
2/2/1
2/2/2/0
2/12/0
nk
pp
nk
pp
pnk
nnk
nnk
n
kn
kn
kn
kn
6 WS 03/04
6. Fast Fourier Transformation
Algorithmus FFTInput: Ein Array a mit den n Koeffizienten eines Polynoms p
und n = 2k
Output: DFTn(p) 1. if n = 1 then /* p ist konstant */2. return a
3. d[0] = FFT([a0, a2, ... , an-2 ], n/2)
4. d[1] = FFT([a1, a3, ... , an-1], n/2)
5. n = e2i/n
6. = 1
7. for k = 0 to n/2 – 1 do /* = nk*/
8.9.10.11.return d
n
102/
10
kknk
kkk
ddd
ddd
7 WS 03/04
FFT : Beispiel
a = [0, 18,-15, 3 ]
a[0] = [0, -15] a[1] = [18, 3]
FFT([0, -15], 2) = (FFT([0],1) + FFT([-15],1), FFT([0],1) - FFT([-15],1))
= (-15,15)
FFT([18, 3],2) = (FFT([18],1) + FFT([3],1), FFT([18],1) - FFT([3],1))
= (21,15)
k = 0 ; = 1
d0 = -15 + 1 * 21 = 6 d2 = -15 – 1 * 21 = -36
k = 1 ; = i
d1 = 15 + i*15 d3 = 15 – i*15
FFT(a, 4) = (6, 15+15i, -36, 15 –15i)
018153 23 xxxxp
8 WS 03/04
7. Analyse
T(n) = Zeit um ein Polynom vom Grad < n an den Stellen
auszuwerten.
T(1) = O(1)
T(n) = 2 T(n/2) + O(n)
= O(n log n)
12
2
1
2
0
2 ,,, nnnn
9 WS 03/04
Polynomprodukt
Berechnung des Produkts zweier Polynome p, q vom Grade < n
p,q Grad n-1, n KoeffizientenAuswertung durch FFT:
2n Punkt/Wertpaare und
Punktweise Multiplikation
2n Punkt/Wertpaare
Interpolation
pq Grad 2n-2, 2n-1 Koeffizienten
122
12
02 ,,, n
nnn
i
n
i
n p 22 , i
n
i
n q 22 ,
i
n
i
n pq 22 ,
10 WS 03/04
Interpolation
Umrechnung der Punkt/Wert-Darstellung in dieKoeffizientendarstellung
Gegeben: (x0, y0),..., (xn-1, yn-1) mit xi xj, für alle i j
Gesucht: Polynom p mit Koeffizienten a0,..., an-1, so dass
1
1
111101
2
1
212102
1
1
111101
0
1
010100
n
n
nnnn
n
n
n
n
n
n
yxaxaaxp
yxaxaaxpyxaxaaxpyxaxaaxp
11 WS 03/04
Interpolation
Matrixschreibweise
1
1
0
1
1
0
1
11
1
21
1
00
1
1
1
nn
n
nn
n
n
y
y
y
a
a
a
xx
xx
xx
12 WS 03/04
Interpolation
Spezialfall (hier) : Definition:
jixx
y
y
y
a
a
a
xx
xx
xx
ji
nn
n
nn
n
n
allefür ,für lösbar ist
1
1
1
systemGleichungs
1
1
0
1
1
0
1
11
1
11
1
00
V
, ,
1
n
,
yVaya
yyaaV
n
iiji
ij
nn
i
nix
13 WS 03/04
Interpolation
SatzFür alle 0 i, j n – 1 gilt:
n
Vij
n
ijn
1
Beweis
ji
ijn
n nV
,
1
zu zeigen:
nnnIVV 1
14 WS 03/04
Interpolation
ij
jn
n
j
n
j
nni
n
i
n
ijnn
nn
nnn
VV
jiVV
)1(
2
)1(
1
1
1
1
: Spalte , in Zeile von Eintrag Betrachte
15 WS 03/04
Interpolation
1
0
)(1
0
1 1 n
k
kji
n
n
k
jk
n
ik
n
ijnn nnVV
Fall 1: i = j
1
0
01
01
11 n
k
k
n
n
k
kji
n nn
Fall 2: i j, : | damit
und 11 d.h. jin
njin
1
00
1 n
k
kji
nn
16 WS 03/04
Interpolation
Summationslemma
:gilt |mit 0,0 alleFür jnjn
1
00
n
k
jkn
17 WS 03/04
Interpolation
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
,,,1
n
k
kink
n
k
ikn
k
n
nin
in
ini
yn
ny
y
y
y
nnn
yVa
18 WS 03/04
Interpolation
)1(10
1
1
2
210
1
0
1
0
11
0
10
,,,1
,,,1
n
nnn
n
n
n
k
n
k
kn
nk
kn
k nk
k
nk
rrrn
a
xyxyxyyxr
yyyn
a
19 WS 03/04
Interpolation und DFT
0 )(1
irDFTn
a inni
)1(10 ,,,1 n
nnnrrr
na
11 ,,,1
nnn
nn rrr
na 1nndenndenn
)(1
00 rDFTn
a n
20 WS 03/04
Polynomprodukt durch FFT
Berechnung des Produkts zweier Polynome p, q vom Grade < n
p,q Grad n-1, n KoeffizientenAuswertung durch FFT:
2n Punkt/Wertpaare und
Punktweise Multiplikation
2n Punkt/Wertpaare
Interpolation durch FFT
pq Grad 2n-2, 2n-1 Koeffizienten
122
12
02 ,,, n
nnn
i
n
i
n p 22 , i
n
i
n q 22 ,
i
n
i
n pq 22 ,
