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XI. L~ngen von Fo.rme.ln

von Ernst Spacker und Georges Wick

Oisser Vortrag besteht aus zwei - unabh~ngig vonelnander lesbaran -

Tailen. Grundlage des ersten Tailes ist eine Arbait van Netschiporuk V,

(Neczporuk 1986). Grundlage des zweiten Teiles ist sin Artikal yon

Hodes und S p e a k e r (Hodes & S p e o k e r l g 6 8 ) ,

Im ersten Tail wind dar Grundgedanke der Arbeit yon Netschiporuk im

Anschluss an einen Artikel yon Harper und Savage (Harper g Savage 1972)

als allgemeiner Satz fermuliert, und dann auT zwei spezielle Problems

angewandt, Der Kern des allgameinen Satzes ist das folgende Lemma:

Es sei feine Boole'sche Abbildung in (k+n) Variablen, d.h. f ordne

jedem Boole'schen (k+n)-Tupel

<Pl P k ' X l > = 

e i n e n d e r Wer te O, 1 zu . FOr s i n s o l c h e s ~ s e i e ( f , X ) d i e A n z a h l j e n e r

A b b i l d u n g e n g yon { 0 , 1 } n i n { 0 , 1 } , zu denen es a i n B o o l e ' s c h a s k - T u p e l

p gibt, sodass for alla Boole'schen n-Tupel ~ gilt: g(x) = f(<~,~>).

Ist nun ~ sins Boole'sche Formal Ober 0,I,÷,., und in den Variablen

• , welche T darstellt, und ist ~(@,X) die Anzahl der - Pl . . . . . P k ' X l . . . . Xn

mit Vielfachheit gez~hltan - Variablen x I .... ,x n in ~, so gilt

log a(~,X) < ~ ( ~ , X ) ,

log 5

Oe.r B u c h s t a h e X i n " a ( ~ , X ) " und " ~ [ ~ , X ] " i s t f o r d i e s e s Lamma ohne Be-

d e u t u n g , d e u t a t a b e t d i e M 6 g l i c h k s i t an, d i e Mange d e r V a r i a b l e n yon f

b a l i e b i g zu z e r l e g e n i n " p - V a r i a b l e " und " x - V a r i a b l e "

O iesa M S g l i c h k a i @ l e i t e t ~ b e r yam Lemma zum a l l g e m a i n a n S a t z , I s t nSm-

l i o h f e i n e B o o l e ' s c h e A b b i l d u n g i n d e r V a r i a b l e n m e n g e V, und V 1 . . . . . V m

sins Partition von V, so ergibt die Summation:

m m

I o g 5 i =1 z i = I ~ ' V i "

Oiese Ungleichung ergibt sine untere Schranke f~r die L~nge einer Oar-

stellung der Boola'schen Abbildung ~,

Eine erste Anwendung des Satzes zeigt, dass die darin angegebene

Schranke in einem gewissen Sinne schar~ ist. (Vgl. Korollar I au~ Seite

7). In einem zweitsn Korollar (vgl, Seite 10) wird der Satz auf das

Heiratsproblem angewandt, sin Beispiel, welches schon im Artikel von

-XI. 2- 183

Harper und Savage in anderer Form behandelt worden ist. Bei diesem

Beispiel liegen die untere und dis obere Schranke wait auseinanden. Zur

Vorbereitung auf den zweitsn Tail des Vortraz s wird gezeigt, dass for

eine symmetrische Abbildung f die Summe

I ~log eCf,V i) l o g 5 .

1

h~chstens gleich der Anzahl der Variablen aus V ist.

Zum Schluss des ersten Teiles wird der vorgefOhrte Beweis des Satzes

verallgemeinert, und zwar vom Fall der speziellen Basis 0,I,+," auf

den - auch yon Netschiporuk betrachteten - Fall einer allgemeinen Ba-

sis. FOr Basen, welche Abbildungen mit hBehstens q Stellen enthalten,

lautet die Ungleichung des Lemmas:

Io~ e[f,X] < ~[~,X).

leg[2q+1]

Die Verallgemeinerung des Satzes auf Abbildungen Ober einer beliebigen

endliehen MeHge (z.B. mit k Elementen] ist im Verhrag nicht durchge-

fOhrt. Es l~sst sich aber leicht und schnell verifizieren, dass in die-

sem Fall die Ungleiehung des entseheidenden Lemmas wie folgt lauten

m u s s : log e ( f , X )

< ~[~,X). log[kq-2ckk-k)2+1]

Oar zweite Tail gibt im Wesentlichen den erw~hnten Artikel von Hodes

und Specker wieder. Oie Beweise wurden etwas modifiziert. Binige Teil-

schritte wurden vom speziellen K~rper mit dam Universum {0,1} auf einen

beliebigen endlichsn und kommutativen Rinz mit Einsslsment vsrallgemei-

hart. Damit soll gezeigt werden, an welchen Teilschritten es liegt,

dass die S~tza selbst nicht verallgemeinert werden k~nnen.

In etwas naehl~ssiger Sprechweise kann das Resultat des Artikels yon

Hodes und Specker so formuliert warden:

Es sei ~ eine Boole'sche Formel Ober 0,1,+,. und der Variablenmenge V.

FOr eine Teilmenge U yon V bezeichne ~/U jene Formel, welche aus

durch Ersstzsn der Variablen aus VxU durch 0 entsteht. Ist dann das

Verh~ltnis zwischen der L~nge yon ~ und IV[ genOgend klein, so gibt es

eine noch relativ @rosse Teilmenge U yon V, sodass @/U ~quivalent ist

einer Formal der Form

a + b. ~[1+x) + c- ~ x. xEU xEU

184 -XI. 3 -

Zum Schluss wird dieses Resultat angewandt aug gewisse symmetrische Ab-

bildungen. Oa die Formulierung dieser S~tze nicht ganz ein~ach ist, er-

w~hnen wit hier nut ein unmittelbares Korollar:

Essei S eine Abbildung yon ~ in ~ mit der EigenschaTt, dass jade sym-

metrischa Abbildung f: {0,I} n ~> {0,1} dargestellt warden kann dutch

eine Formel, deren L~nge kleiner ist ale Sin). Oann gilt:

lim S(n) . . . . n n

Zum g l e i c h e n Theme i s t 1975 e i n e A r b e i t e r s e h i e n e n ( F i s c h e r , Meyer g

Paterson 1975). Oanach l~sst sich des obige Korollar ~olgendermassen

versch~r£en:

lim S(n)'l°~[l°~ n) = ~. n n.log n

1, Tail

Essei V eine Mange von Varisblen; ¢(V) sai die kleinste Mange F yon

Formeln, welche die ~olgenden Eigenscha~ten hat: Die Formeln O, I und

die Vsriablen sus V geh6ren zu F; mit ~ und ~ gehBren such [~+~) und

( e ' ~ ] zu F.

FOr e i n e Fo rma l ~ sue ~(V) und e i n e T e i l m e n g e X yon V s e i ~ ( ~ , X ) d i e -

m i t V i e l ~ a c h h e i t g a z ~ h l t e - A n z a h l d e r V s r i a b l e n sue X i n ~, d . h . as

sai

~(@,X) = O, falls ~ aine der Formeln 0 oder I, oder

Calls @ eine Variable nicht sus X let;

~(@,X) = I, Calls ~ eine Variable aus X ist;

~ ( ( ~ 1 . ¢ 2 ) , X ) = ~ ( ¢ 1 , X ] + ~ ( ~ 2 , X ) , wobe i ( ~ 1 . ~ 2 )

~Or (e1+@2 ] o d e r (@1.~2 ] s t e h t .

~(~,V) ist die L~nge von 9-

Einer Formel@ sue ¢[V) ist in bekannter Weise eine Abbildung ~ yon V

{ 0 , 1 } i n { 0 , 1 } z u g e o r d n e t :

I s t b sus { 0 , 1 } V, d . h . b: V ~ > { 0 , 1 } , so w i r d ~ (b ) e r h a l t e n , indem d i e

V a r i a b l e n x i n ~ d u t c h b ( x ] e r s e t z t w a r d e n , und d i e e n t s t e h e n d e Fo rme l

ausgewertet wird, wobei + und • als Boole'sche Summe und Produkt in

{ 0 , 1 } i n t e r p r e t i e r t w a r d e n ,

-XI. 4 - 185

Es ssi X eine Teilmenge yon V, Je zwei Abbildungsn b I, b 2 mit

b1: X . . . . > { 0 , 1 }

b2= V X '> { 0 , 1 }

ist e ine Abbildung [ b l , b 2 ] yon V in 0,1 z u g e o r d n e t , welche definiert

i s t durch

[ b l , b 2 ] ( x ) = b l ( X ) , f ~ r x aus X,

[ b t , b 2 ] ( x ) = b 2 ( x ) , f o r x aus VxX,

Es s e i f e ine Abb i l dung yon { 0 , 1 } V in { 0 , 1 } , und X e ine Te i lmenge von

V, Dann se i E(~,X) d ie ~o lgende Menge von Abb i l dungen yon { 0 , 1 } X i n

{0 ,1 }=

Die Abbi&dung yon { 0 , 1 } X in { 0 , 1 } g e h 6 r t genau dann zu E ( ~ , X ) , wenn es

e i ne Abb i l dung c yon VxX i n { 0 , 1 } g i b t , sodass ~Sr a l l e Abb i l dungen b

von X i n { 0 , 1 } g i l t : g(b) : f ( [ b , c ] ) ,

E(~,X) b e s t e h t somi t aus d e n j e n i g e n Abb i l dungen von { 0 , 1 } X in { 0 , 1 } ,

welche aus der Abb i l dung { v o n { 0 , 1 } V in { 0 , 1 } e r h a l t e n werden, indem

d ie Elemente aus V%X durch Werte 0,1 b e l e g t werden,

LBmma

Es se i ~ e i ne Formel aus ~ (V ] , X e ine Te i lmenge von V. Oann i s t d ie An-

1 CS~(e,X) zah l der Elemente yon E[~ ,X) hSchstens g l e i c h ~. +3).

Zum Beweis ordnen w i r zun~chst e i n e r Menge E yon Abb i l dungen yon { 0 , t } x

i n { 0 , 1 } e i ne Menge ~ von ebenso lchen Abb i l dungen zu gem~ss de r Vor-

s c h r i f t :

Die A b b i l d u n g { gehSr t genau dann zu ~, wenn f e i ne der be iden kons tan -

ten Abb i l dungen i s t , oder wenn es e ine Abb i l dung g in E g i b t , sodass

d ie B o o l e ' s c h e Summe f+g k o n s t a n t i s t ( d . h . dass es e ine k o n s t a n t e Ab-

b i l d u n g c g i b t m i t ~ = g+c) .

O { {enba r i s t EC ~. FUr den Beweis des Lemmas ze igen w i r m i t I n d u k t i o n

nach dem Fo rme lau fbau : Die Anzah l der Elemente yon ~ (~ ,X ) i s t hSchstsns 1 (5~(~ ,X) gleich ~. +3).

I s t ~ e ine der Formeln 0,1 oder e ine V a r i a b l e , we lche n i c h t zu X gehSr t ,

so i s t £ (~ ,X ) = O, und ~ ( ~ , X ) b e s t e h t aus den be iden kons tan ten A b b i l - 1 dungen; es i s t abe t ~ . ( 5 ° + 3 ) = 2.

I s t ~ e ine V a r i a b l e aus X, so i s t ~ (e ,X ) = 1, und ~ (~ ,X ) b e s t e h t aus

den 4 A b b i l d u n g e n , welche durch d ie Formeln O, I , x und ( l + x ) d a r g e s t e l l t

186 -XI. 5-

1 werden; es ist abet ~-{51*3] = 4.

Es sei nun @ sine der beiden Formeln [~I+@2 ], {@I.~); wit £assen die

beidsn F~lle dutch (~I*~2) zusammen. Es ist A[[@I.~2],X] = A[~I,X]+

~[@2,X]. Ist £ sin Element yon E[~,X], so gibt es Elements {i van

E[~i,X),sodass f = {i,£2, [Oabei deutet der Stern bier die Boole'sche

Summa oder das Produkt an je nach dam Zeichen in (@I*~2).] Ist{ in

[(~,X), so ist £ konstant, oder es gibt Elements £i in E(~i,X] - und

damit auch in [(~i,X] und sine Konstante c, sodass £ = [£I*{2]÷c,

Oie Anzahl der Elements von [[~i,X) sei gleich a i, Zur Absch~tzung der

Anzahl der Elements von [[~,X) untsrscheiden wit 4 F~lle (wobei stets

(I) £ ist konstant, oder { = (£I*£2)+c, wobei £I' £2 beide konstant

sind.

In diessm Fall ist £ konstant; es gibt zwei konstante Abbildungen.

[2) Es ist { = ({I*{2]+c, wobei {I nicht konstant, und {2 konstan%.

Ist• die Summa, so ist £ = {I+C ' It' konstant], d.h. £ ist sin

nicht konstantes Element von ~[~I,X). Es gibt ai-2 solche Elements.

Ist* das Produkt, so ist £ konstant, falls £2 konstant O, oder

{ = {I+c, falls £2 konstant I. O.h. £ ist sin Element yon [[~I,X).

Es gibt auch in dissem Fall h~chstens ai-2 nicht konstante Elsmente,

[3) Es ist £ = [£I*{2)+c, wobei £I konstant, und £2 nicht konstant.

Nicht konstante Elemente dieser Art gibt es h~chstens a2-2 (ent-

sprechend dam Fall 2].

(4] Es ist { = ({I*{2]+c, wobei die {i nicht konstante Elements von

[{~i,X) sind. FOr {i gibt es h6chstens ai-2 MBglichkeiten, {Or c

h6bhstens 2. Oie Anzahl der dargestellten Abbildungen ist hBchstens

2"(al-2].[a2-2).

Zusammen{assend erhalten wit die Absch~tzung

[(~o,X] < 2+(al-2)+(a2-2)+2(al-2)[a2-2]

= !. ( (2aj-3] (2a2-3]+3) 2

Nach Induktionsvoraussetzung ist

1 5 ~ [ ~ i , X ] a i _< ~ ' ( + 3 ] , d , h .

[ 2 a . - 3 ] < 5 ~ [ ~ i 'X) 1

- X I , 6- 187

Usher ist 1. 5~(@1 X) 5~ (~2 ,X )+3 )

= !.(5~(el,x)+~(e2,x)+3) 2

= ! . ( 5 ~ ( e , x ) + 3 ) . 2

Bemerkun$ Die angegebene Schranke i s t genau; im F a l l ~(@,X) = 2 i s t

s i s 14. Durch

(Co+ClX l ) [C2+C3X2)+c4

werden wirklich 14 Abbildungen dargestsllt. Von den total m~glichsn IB

Abbildungen fehlsn dabei die dutch (x1+x 2) und (1+(x1+x2)) dargestellten.

Wit werdsn das Lsmma in der folgenden Form verwenden:

K o r o l l a r

Es se i @ s i ne Formel aus @CV), und X e ine Te i lmenge von V. I s t dann d ie

Anzah l n d e r Elements von E(~ ,X) g r 6 s s e r a ls 2 ( d , h , e n t h ~ l t E(@,X)

e ine n i c h t k o n s t a n t e A b b i l d u n g ) , so g i l t f o r d i s L~nge yon ~ i n V a r i s -

b len aus X d ie f o l g e n d e Absch&tzun~:

log n < ~(~ ,X ) log 5

1. 5~ [~ ,X ) IE[~,X)I g rBsse r a ls 2, Beweis Nach dem Lemma i s t n < ~ [ +3) . De 1 i s t O<~(~ ,X) . FOr p o s i t i v e ganze Zahlen m g i l t ~ . (5m+3) < 5 m, und somi t

ist log n < ~(~,X)-log 5.

(Babei und im folgenden ist mit log stets dsr Logarithmus zur Basis 2

g s m e i n t . )

Satz von Netschipo£uk

Es sei V sine Menge yon Variablen, f eine Abbildung von (0,I} v in

{0,I}, ~ sine Formel aus ~(V), welche T darstellt, und {X I ..... X m} sine

Menge yon disjunkten Teilmengen yon V. Die Anzahl e. der Elemente yon i

E(f,X i) sei grosset als 2 (i=I ..... m). Oann gilt

1 , ~ log s e. < ~ [@,V] . log 5 i=I l

Beweis Nach dem vorigen Korollar ist

I l'og 5 "l°g ei < ~[~'Xi)

Da die Mengen X I ..... X m disjunkt sind, gilt

( i=1 . . . . . m).

188 -XI.7-

m

i=1 z -

woraus die Behauptung ~olgt.

Erste A qwendung

Es saien m, n natOrliohe Zahlen gresssr als I, und V sei die Mange der

Variablen Xik mit 1<i<m, l<k<n. Wit de~inieren sine Abbildung ~ von

{0,I} v in {0,1}:

Ist b sins Abbildung yon V in {0,I}, so ist genau dann F(b) = I, wann

as Zahlen i,j mit 1<i<j<m gibt, sodass @Or ells k mit 1<k~n gilt:

b(Xik] = b(Xjk]-

Ist ~ sine Formal aus ~(V]j welche £ darstellt, so besagt ~ in anschau-

licher Ausdrucksweise, dass in der Matrix

!o 1 Xml X:n ~

zwe i i n v e r s a h i e d e n a n Z e i l e n s t a h a n d e n - T u p a l g l e i c h s i n d .

Korollar I FOr die LQnge einer Formal ¢o, welche f m6glishst kurz dar-

stallt, gilt I ~n~ 2

l og 5 " m ' l ° Z ~m j - < ~ ( ~ , V ] < m . n .

FOr m = 2n/2+I (bai geradem n] gilt dann

1 (m.n) 2 3 (m.n] 2 36 log(m.n] < ~[~,V] < [,log(m.n),

d.h. ~[@,V] ist bis au~ einen Faktor 54 bestimmt.

Zur oberen Schranke: Es sei ~.. die folgende Formal: ij n

( X i k +x . k+ t ] ; k= l J

d.h. es sei zum Beispiel ~Or n=3 s12 die Formal

[ { ( x 1 1 + x 2 1 ] + 1 ) ' ( [ [ x 1 2 + x 2 2 ] + 1 ] ' ( ( x 1 3 + x 2 3 ) + 1 ] ) ) .

O~fenbar ist genau dann ~..[b) = I, warm ij

b(xij) = b(×jk] for all8 k.

sei die Formal

(i<~Tj(~ij+1)). . * I.

-X , I , 8- 189

O f f e n b a r i s t genau dann &(h ) = 1, wenn es Z a h l e n i , j m i t l < i < j ! m und

& . . ( b ) 1 g i b t . O .h . s s t e l l t f d a r . FOr d i e L~nge von ~ g i l t d i e f o l - 1 j gende A b s c h ~ t z u n g :

m 2 ~ ( ~ , V ) ( 2 ) . 2 n = m [ m - 1 ) n < m . n ,

Zur unteren Schrankm: Es sei for 1<i<m

X i = { X i l . . . . , X i n } ,

{X 1 . . . . . X m} i s t dann e i n e Mange von d i s j u n k t e n T e i l m e n g e n yon V. I s t @

e i n e F o r m e l aus ~ ( V ) , w e l c h e f d a r s t e l l t , und e. d i e A n z a h l d e r E l e m e n t e 1

yon E ( f , X . ) ( l < i < m ) , so i s t 2 < e . , und d a s h a l b nach dam S a t z van N e t s c h i - 1 - - 1

poruk

1 • ~ l o g e. < ~ ( ~ , V ) , log 5 i=I m

Zur Absch~tzung der Anzahl e I der Elemente von E(f,X I) d.h. yon

E(~,X I] bedienen wit uns der anschaulichen Ausdrucksweise und unter-

scheiden 2 F~lle:

(I) Zwei der in den letzten (m-l) Zailen stahendan n-Tupel sind gleich.

Dann sind zwei n-Tupel in der ganzen Matrix gleich, und dis resul-

tierande Abbildung yon {0,I} XI in {0,1} ist die konstante Abbil-

dung I.

(2) Je zwei der in den letzten (m-l) Zeilsn stehenden n-Tupel sind ver-

schieden. Die resultierende Abbildung yon {0,I} XI in {0,1} ist dann

gerade die charakteristische Abbildung der Menge der n-Tupel, wel-

che in den letzten (m-lJ Zeilan stehen. Jade solche Mange ist eine

(m-1)-alementiga Tailmenge dar Menga der n-Tupel; yon dissan Tail-

m e n g e n g i b t a s m-1 v e r s c h i e d e n e ,

Es gilt nun also:

< I + = e, (1<i<m) m-Ij m-1 l - -

und somit:

I !2n I log 5 "m'l°g m-1 < ~(@,V].

Wird ausserdem f dutch ~ in minimaler L~nge dargestellt, so gelten for

die L~nge yon @ die folgenden Schranken:

I [2n I 2 log 5 "m'l°g m-1 < ~(@,V) < m .n.

Nun soll gezeigt werden, dass for spezielle Werte yon n und m die bei-

190 -XI. 9 -

den Schranken vonder gleichen GrSssenordnung sind; genauer, dass sis

(m.n) 2 beide von den GrBssenordnung log(m.n) sind. Oabei ist (m.n) gerade die

Anzahl der Variablen aus V.

Es sei n positiv gerade, und m = 2n/2+I.

Lemma 1 FOr solche Warts von n und m geltsn die Ungleichungen

~ -log(m.n) < n < 2.log(m-n)

~. (m-n) , < 2 n / 2 3 log(m.n]

Lemma 2 FOr alle nagOrlichen Zahlen r gr~sser als I gilt

~-'r-log r < log 5

(Beweis mittels Absch~gzung von Integralen.)

Aus diesen Lemmata folgt einerseits, dass

2 I (m-n) I n.2n/2

38 log(m.n) < "~ m-

1 2n /2 2n /2 = ~-.m- .log

< t'o'g 5 "m'l°g 2n/2

und a n d e r s e i t s , dass

I (2n} log 5 m. log m-1 ;

2 2 3 Cm-n)

m , n < - - " 2 log[m'n]

Ist also ~ sine Formal aus ~(V), welche f in minimaler LQnge darstellt,

so geltan for die L~nge von ~ die folgenden Schranken:

1 (m.n) 2 3 (m.n) 2 36 l o g ( m . n ) < %(~,V) < 2 l o g [ m . n ) '

f a l l s n p o s i t i v g e r a d e i s t , und m = 2 n / 2 + 1 ; d a b e i i s t (m.n) d i e A n z a h l

d e r V a r i a b l e n aus V.

Zweite A nwendun~ (He±ratsproblem)

Es sei m sine natOrliche Zahl grBsser als 3, und V die Mange der Vari-

ablen xia k mit l~±,k<m. Wir definieren sine Abbildung f yon {0,I} V in

{ 0 , 1 } :

- X I . 1 0 - 191

I s t b e i n e A b b i l d u n g von V i n { 0 , 1 } , so i s t genau dann f ( b ] = 1, wenn

es e i n e P e r m u t a t i o n p a u f { 1 , 2 . . . . . m} g i b t , s o d a s s f ~ r a l l e Z a h l e n i

mit 1_<i<_m gilt: b(Xi,p(i]] = I.

Ist ~ eine Formal aus ~(V], welche f darstellt, so besagt Co in anschau-

licher Ausdrucksweise, dass es in der Matrix

einen Wag der L~nge m gibt. Ein Weg der L~nge s ist eine Menge von s

Stallen Xi,p[i], welche alle mit I belegt sind [dabei ist peine Per-

mutation auf {I ..... m}).

Korollar 2 FOr die L~nge einer Formal ~, welche f m6glichst kurz dar-

stellt, gilt: I 3 2m

3 2 . 1 o g 5 m < ~ [ ~ , V ] < m

Zur oberen Schranke: F~r jade Permutation pauf {I ..... m} sei ~ die P

Formel m

]-[x i i = 1 , p ( i ) '

und ~ die Formel

1 + ~ [ [ 1 + ~ ] , P p

Offenbar sfiellt ~ die Abbildung f dar. Bez~glich der Anzahl nder Ele-

manta yon V (n=m 2) gilt daon for die L~nge yon ~:

£(~,V) = m-m! < m 2m = n ¢~"

Zur unteren Schranke: Wit wenden den Satz yon Netschiporuk nicht auf f

an, sondern auf die folgende Hilfsabbildung g yon {0,1} V in {0,1}:

2r sei die gr6sste gerade Zahl, welche kleiner als mist. Ist b eine

Abbildung yon V in {0,I}, so ist genau dann g(b) = I, wenn es eine Per-

mutation pauf {I ..... m} gibt, sodass for mindestens [2r-I] verschiede-

ne Zahlen i (l!i<2r) gilt: b(Xi,p[i)) = I.

Ist ~ eine Formal aus ~(V), welehe g darstellt, so besagt ~ in anschau-

licher Ausdruckswsise, dass es in der Matrix

192 -XI, 1 1 -

r x1'1 ' ' ' X l 2 r t

[X2r,1 x2r,2rJ

einen Wag der L~ng8 (2r -1) oder 2n g i b t .

FOr l < j < 2 r se± X. die Menge der Var iablen x i , k D.h. es se£ zum Be isp ie l f o r r=2:

mit j+i = k+1 (modulo 2r).

X 1 = { x 1 , 1 , x 2 , 2 , x 3 , 3 , x 4 , 4 } ,

X 2 = { x 1 , 2 , x 2 , 3 , x 3 , 4 , x 4 , 1 } ,

X 3 = { x 1 , 3 , x 2 , 4 , X 3 , l , X 4 , 2 } ,

X 4 = { x 1 , 4 , x 2 , 1 , x 3 , 2 , x 4 , 3 } .

{X I ..... X2r} ist also eine Menge von disjunkten Teilmengen yon V.

Zur Absch~tzung der Anzshl e I der Elsmente von E(g,X I) zeigen wir

folgendes:

Sind c I undc 2 zwei verschiedene Abbildungen von VxX I in {0,I}, for

welche gilt

c1(xi, k) = c2(x±, k) = O, falls r<i oder k<r,

so entsprechen c I undc 2 verschiedene Abbildungen auf XI; d.h. es gibt

eine Abbildung b yon X I in {0,I}, sodass f([b,Cl]) + f([b,c2]).

Zum Beweis zeigen wir:

Ist c1(xi, k) + c2(xi, k) und ist b definiert dutch

b(x..) = I, for j ~ i,k , J,J

b ( x i , i ) = b(Xk, k) = O,

so ist fC[b,c 1]) + ~[[b,c z]), OaTOr muss man o ~ e n b s r beweisen~ dabs es in der Matr ix

1 o! ] }r

- X I . 1 2 - 193

genau dann einen Weg der Lgnge (2 r -1 ) oder 2 r g i b t , wenn a g l e i ch 1 i s t ,

Falls a = I, gibt as ersichtlicher Weiss einen solchen Weg.

Falls es umgekehrt einen solchen Weg gibt, so geh~ren alle (2r-2) Stel-

lender Diagonals dazu, welche dutch b mit I belegt werden, (Fehlt z.B.

eine der Stellsn in den erstsn r Spalten, so enth~lt der Wag in diesen

Spalten h~chstens (r-2) Stellen, im Ganzen also h~chstens (2r-2) Stel-

lsn.) Ausser den Stellen xj,j (j+i,k) kann sin solchsr Weg hSchstens

noch die Stellen xi,i,Xi,k,Xk,i,Xk, k enthalten. Nach Konstruktion ist

nun b(xi, i] = b(Xk, i) = b(Xk, k) = O. Also muss der Weg die Stelle xi, k

enthalten, und d.h,, dass a=1.

(r 2 ) Da es 2 verschiedene Abbildungen yon VxX I in {0,1} mit der oben gs-

nannten Eigenscha£t gibt, ist damit also gezeigt, dass r 2 < log s I,

Of£ensichtlich ist e I = e 2 = ... = e2r.

gaher gilt nach dem Satz yon Netschiporuk ~Or die L~nge einer Formel

aus ~(V) , welche g d a r s t e l l t :

1 2 r 2 2 3 log-----~" [ r , r < ~ (~ ,V ) j : l log 5

Es se i ~ s ine Formel aus ~ (V ] , welshe d ie eingangs d e g i n i e r t e Abbi ldung

darstellt.

Ist m = 2r+I, so stellt die Formel @', welche durch Substitution yon I

~Or Xi,m' Xm,i (l<i<m)_ _ aus ~ entsteht, die Hilgsabbildung g dar. An-

schaulich gesprochen gibt es n~mlich genau dann in der Matrix

Xl , 1 , , , X l , 2 r 1

X2r,1 ' ' ' x2 r , 2 r

1 , . , 1 1

einen Weg der L~ngs (2 r+1 ) , wenn es in der Ma t r i x

I x1, , , X l , 2 r 1

~X2r ,1 , , , x 2 r , 2 r J

einen Weg der LQnge (2r-I) oder 2r gibt.

194 -X I . 1 3-

Offenbar ist

2 3 io Z 5 r

< ~ ( ~ ' , V ) < ~ [ ~ , V ] .

Ist m = 2r+2, so stellt die Formel ~", welche dutch Substi@ution von I

for Xm, m, Xm_1, i, xi,m_ I [1<i<m-1) und dutch Substitution yon 0 for

xm, j, xj, m [lJj!m-1] aus ~ entsteht, die Hilfsfunktion g dar, Anschau-

lich gesprochen gibt es n~mlich genau dann in der Matrix

"X l , 1 . . . X l , 2 r 1 0

• m

x2r,1 ... X2r,2 r I 0

I ... I I 0

0 ... 0 0 I

einen Weg der L~nge [2r+2], wenn as in der Matrix

x1'1 " ' ' X l ' 2 r 1

Lx2~, l . . . x 2 r , 2 r J

einen Weg der L~nge [2r-I] oder 2r gibt.

Offenbar ist

2 3 < ~ [ ~ " , V ] < ~[@,V] . log ~'r

m Oa 3!m, gilt abet in beiden F~llen: [ < r, und somit:

I 3 32-1og 5 m < Z[~,V].

Stellt nun ~ die Abbildung f von {0,I} V in {0,1} ausserdem in minimaler

L~nge dar, so gelten bezOglich der Anzahl nder Elements von V [n=m 2]

for die L~nge von@ die ~olgenden Absch~tzungen:

1 3/2 V~ n < ~ [~ ,V ] < n

32.10g 5

- X T , 1 4 - 195

Dritte Anwsndun~

Oer Satz von Netschiporuk soil nun angewandt werden auT Formeln, welche

symmetrische Abbildungen darstellen. Wit zeigen, dass der Satz for die

L~nge solcher Formeln nut triviale untere Schranken liefert.

Es sei neine natOrliche Zahl, und V die Menge der Variablen x. mit l

1<i<n. FOr jede Teilmenge Q yon {0,I ..... n} de~inieren wir sine Abbil-

dung fQ yon {0,I} v in {0,I}:

Ist b sine Abbildung yon V in {0,I}, und r b die Anzahl der natOrlichen

Zahlen j mit 1<j<n und b(x.) = I, so ist genau dann fQ(b} = I, wenn - - 0

r b in Q.

Es gibt genau 2 (n+1) verschiedene solche Abbildungen ~O' und diese sind

gerade die symmetrischen Abbildungen yon {0,I} v in {0,I}.

Ist zum Beispiel 2 E n, und Q = {2 ..... n}, so wird ~0 dargestellt durch

die Formel

1 + TT{I+xi.x j) (1<i<j<n).

Es s e i {X 1 . . . . . X m} s i n e Mengs yon d i s j u n k t s n T e i l m e n g e n yon V. Es s e i

zudsm n. d i e A n z a h l d a r E l e m e n t s von X . , und s. d i e A n z a h l d e r E l e m e n t s 1 1 1

yon E ( f Q , X i ) . I n E [ f ~ , X . ) s i n d a b e t n u t s y m m e t r i s u h e A b b i l d u n g e n a n t - w 1

h a l t e n . Oarum i s t e. < 2 [ n i + l l 1

S e t z t man a u s s e r d e m v o r a u s , dass 2 < s. [ l < i < m ) , so b e s a g t d e r S a t z yon

N e t s c h i p o r u k ? o l g e n d e s :

1 m

log 5 "i=I ~ log s.l < ~[~,V),

fails @ sine Formel aus ~(V] ist, welchs fQ darstellt.

Es ist abet (n1+...+n ) < n, und unter diesen spsziellen Voraussetzungen m

m < n. Somit gilt:

m m I I

log 5 " i=I~ log e i <_ --lo~ 5 " !"~=1(n'+1)z

I < - " (n+m)

log 5

2 < - - " n - log 5

< n ,

196 -XI. 1 5-

Oar Satz von Netschiporuk besagt also ~Or symmetrische Abbildungan von

{0,I} V in {0,I} hie mehr, als dass deren Oarstellungen L~ngen haben,

die mindes£ens so gross sind wie die Anzahl der Elemente yon V - d.h.

wie die Anzahl der Variablen.

Verallgemainenung

Es soll hier gezeigt warden, dass man mit den gleichen Methoden, wia

sie im Beweis des Lemmas au~ Sei~e 4 benOtzt wurden, auch den allgemei-

nan Satz yon Ne~schiporuk ~Om Formeln Ober beliebigen Basen beweisen

kann.

Es sai V eine Mange yon Variablen, q eine natOrliche Zahl grBsser als

I, und B die Mange der Zeichen for die Abbildungen von {0,I} q in {0,1} q

mit genau q wesentlichen Argumsntstellen. ~ (V) sei die kleinsta Mange q

F yon Formeln, welche die folgendan Eigenscha~ten hat: Die Formeln 0,1

und die Variablan aus V gehBnen zu F; ist b aus B , so gehBrt mit q

~1 ,~2 . . . . . ~q auch b ( ~ 1 . . . . . ~q) zu F,

F~r e i n e Fo rme l ~ aus { (V) und e i n e T e i l m e n g e X yon V s e i ~ ( ~ , X ) d i e - q

m i t V i e l ~ a c h h e i t g e z ~ h l t e - A n z a h l d e r V a r i a b l e n aus X i n ~,

E i n e r F o r m a l e aus { (V) i s ~ i n b e k a n n L e r Weise e i n e A b b i l d u n g ~ von q { 0 , 1 } v i n { 0 , 1 } z u g e o r d n e t ,

FOr e i n e Forme[ ~ aus { (V) und e i n e T e i l m e n g e X von V s e i e n E [ ~ , X ) und q

~(~,X) die Mangen von Abbildungen, wie sie im Spazial~all de~iniert

wurden . O ~ e n b a r ±s t E [ ~ , X ) ~ ~ [ ~ , X ) .

Lemma Es sei @ eine Formel aus ¢ (V), X eine Teilmenge yon V. Dann ist _ .q

die Anzahl a der Elemente yon E(~,X) hBchstens gleich

2 ( 1 - q ) . ( ( 2 q + 1 ) ~ ( ~ , x ) + ( 2 q - 1 ) ) .

Win beweisen das mit Induktion nach dam Formelaufbau:

Iat ~ sine der Formeln O, I, oder eine Variable, welche nicht zu X ge-

h~rt, so ist ~[~,X) = O, und ~(~X) besteht aus den beiden konstanten

Abbildungen; es ist abet 2(1-q).((2q+1)O+(2q-1)) = 2.

Ist ~ eine Variable aus X, so ist ~(~,XI = I, und ~(~,X] besteht aus 4

Abbildungen; es ist aber 2(1-q)'[(2q+1)1+(2q-1]) = 4.

Es sei nun @ die Formal b(~ I ..... @q), wo b aus Bq ist. Es ist dann

~(@,X) = ~ ( @ l , X ) + . . . + ~ ( ~ q , X ) . I s t ~ e i n E lemen t von ~ [ ~ , X ) , so i s t T

- X I . 1 6 - 197

konstant, ode~ as gibt Elements T i in ~[~i,X) und sine Konstante c, so-

dass T = b(#1 ..... #q)+C. (Dabei deutet + die Boole'sche Summa, und

die BoolB'sche Abbildung zum Zeichsn b an.)

Die Anzahl de~ Elements yon ~(~i,X) sei gleioh a i. Zur Absch~tzung der

Anzah l a der E lements von ~ ( ~ , X ) u n t e r s c h e i d e n wit 3 F ~ l l e :

(1] ~ ist k o n s t a n t , odor T = b ( # l . . . . . ~q)+C, wobei a l l e ~i k o n s t a n t

s i n d .

In diesem F a l l i s t # k o n s t a n t ; es g i b t zwei k o n s t a n t e Abbi ldungsn.

(2) Es i s t T = b (~ l . . . . . ~ )+c, und es g i b t s i n i C l< i<q) m i t : q - -

~1 . . . . . f i - 1 ' f i + l . . . . . £q s i n d k o n s t a n t , f i i s t n i c h t k o n s t a n t .

Es g i b t dann Kons tan ten c und d, sodass ~ = c . f . + d . S o l l T n i c h t 1

= + d , k o n s t a n t s e i n i s t c 1. I s t aber # i i n ~ ( ~ i , X ) , so auch f i

Es gibt also #Or jades solches i h~chstens a,-2, ~r diesen Fall i insgssamt hSchs tens ( a l - 2 ) + . . . + ( a q - 2 ) n i c h t k o n s t a n t e Elemente .

(3) Es i s t # = b ( ~ l . . . . . ~ )+c, und as g i b t s i n e k - e l e m e n t i g e Te i lmengs q I yon {1 . . . . . q} (2<k<q] m i t : f i i s t genau dann k o n s t a n t , wenn i

n i c h t i n I .

(D ie Menga der k -e lemen~ igen Te i lmengen yon { I . . . . . q} beze ichnen

w i r mi t Pk.)

Far jades konstante 4. and Tar o gibt es h~chstens 2, f~r jades z

nicht konstante {. h~chstens a.-2 M~glichkeiten, Es warden also

~Or j ede s I aus Pk h~chs tens

2 . 2 ( q - k ) . T - [ ( a i - 2 ) , i ( I

und in di~sem Fall insgesamt h~chstens

2- I ~ 2 ( q - k ) " ~ [ a . - 2 ) k=2 I£P k i £ I

Abbildungen dargestellt.

Zusammsn{assend erhaltsn wit die Absch~tzung:

a < 2 + q (q -k ) -2) ( a i - 2 ) + 2" [ ~ 2 • ~ ( a i i=I k=2 IEP k &El

q

2. ~Ta i (2q-I) • ~ Ca.-2) - 2.(2q-I) i=I i=I l

q

< 211-q ) [~2(q-1).[a _2)+I ) + c2q-I)). i=I l

Zum Beweis der letzten Ungleichung L < R zeigt man, dass £Qr alle

198 -XI, 1 7-

• , w e l c h e g r S s s e r o d e r g l e i e h 2 s i n d , n a t O r l i c h e n Z a h l e n q , a I . . . . aq

gilt: q q

(L -R) = -2 ( 1 - q ) o ~ ( 2 ( q - 1 ) . a i - 2 q + l ) + 2- t ~ a ± i=I i=I

q ( 2 q - 1 ) • ~ ( a . - 2 ) - 2 ( q + l ) + 2 ( l - q )

i=1 1

q

( 2 - a i ) i=1

i-I i-1

( t ~ ( 2 [ q - 1 ) a . _ 2 q + l ) _ 2q. ~ [ a j / 2 + 2 q - 1 ) ; j = l J j= l

dieser letzte Ausdruck ist abet kleiner oder gleich O. well bei jedem

Glied der Summe jeweils der erste Faktor kleiner oder gleich O, und der

zweite Fektor - wie man leieht mit Induktion nach i (lji<q) zeigt -

grBsser oder gleich 0 ist.

Nach Induktionsvoraussetzung ±st

2 ( q ' l ) ( a . - 2 ) + 1 < [ 2 q + 1 ) ~ ( ~ i 'X) &

Desha lb g i l t #Or d i e A n z a h l a d e r E l e m e n t e yon ~(£p , X ) : q

a < 2 ( l -q ) (]-[ (2q+1) ~(g~i'×) ÷ (2q-1)) i=t

2 ( I -q ) ° ((2q÷1)'~(~ ,×) ÷ (2q-1 ) ) ,

Wit werden des Lemme in der folgenden Form verwenden:

Koroller Es sei ~ eine Formel aus ¢ (V), und X eine Teilmenge van V, q

Ist dann die Anzahl n der Elemente yon E(~,X) grSsser a!s 2, so gilt

~Or die L~nge von ~ in Verieblen aus X die ~olgende Absoh~tzung:

lo~ n < ~ [ ~ , X ) ,

l o g ( 2 q + l )

Beweis Nach dam Lemma i s t

n < a < 2 ( 1 - q ) - ( ( 2 q * 1 ) ~ ( ~ ' X ) + ( 2 q - 1 ) ) .

FOr positive ganze Zahlen m und q (2<q) gilt aber

2(1~q ) ( ( 2 q + 1 ) m + ( 2 q _ 1 ) ) < (2 q t ) m

und s o m i t i s t l o g n < ~ ( ~ , X ) . l o g ( 2 q + l ) .

Sa tz Es s e i V e i n e Menge von V e r i a b l e n , ~ e i n e A b b i l d u n g yon { 0 , 1 } v

i n { 0 , 1 } , ~ e i n e Fo rme l eus ~ q ( V ] , w e l o h e f d a r s t e l l t , und {X 1 . . . . . X m}

e i n e Menge yon d i s j u n k t e n T e i l m e n g e n von V. Die A n z a h l e i d e r E lemen te

- X l . 1 8 - 199

von E ( f , X i ) sei grSsser als 2 ( l < i < m ) , Oann gilt

m

I ~ log e. < &C~,V). l og (2q+1 ) i= I l

Zum Beweis:Oa die Mengen X I ..... X m disjunkt sind, ist m

X ~ ( ~ , x . ) < ~ ( ~ , v ) . i= 1 1

Bemerkung I s t V e ine Va r iab lenmenge , und s i n d p, q ganze Zahlen mi t

O<p<q, 2 !q , so kann jede A b b i l d u n g von { 0 , 1 } v i n { 0 , 1 } m i t p Argument-

s t e l l e n dutch einm Formal ~ aus ~ (V) der L~nge p d a r g e s t e l l t warden, q

d .h . %(m,V] = p.

Oeshalb g i l t der Satz von N e t s c h i p o r u k auch i n der f o l g e n d e n Form:

Satz Es sei V e/he Mange von Variablen, f eina Abbildung von {0,I} v

in {0,I}, und ~ eine Formml, die nut Zeichen von Abbildungen mit

hBchstens q Argumentstellen enth~lt. Ist dann {X I ..... X m} eine Mange

von disjunkten Teilmengen von V, und die Anzahl e. der Elemente von 1

E ( f , X i ) grosset als 2 ( l < i < m ) , so gilt

m

1 ~ log e. < ~ [ ~ , V ] . l og (2q+1 ] i = l I

Folzerung Oer Satz von Netschiporuk allein liefert niemals Funktionen-

folgen, mit denen Basenvergleiche zu machen sind [Subbotovskaja 1963).

FOr 2<q<q' mBohte man zum Beispiel zeigen, dass die Basen B und B - q q'

nioht ~quivalent sind. 8ereits aus der Bemerkung oben weiss man, dass

B.~B; q q

d.h.: Es gibt eine Konstante M, welohe nut yon B und B abh~ngt, q q'

sodass for jede Abbildung f yon {0,I} V in {0,1} eine f -darstellende n

Formel ~ aus ~ ,(V) existiert, q

sodass for jede f -darstellende Formel ~ aus ~ [V) gilt: n q

~ [ ~ , V ] < M . ~ [ ~ , V ] .

Was man zeigen m~ohte, ich also, dams

n i o h t Bq ~ B q , . ( * ]

Angenommen {V } se i e ine Folge von Mengen von V a r i a b l e n , und es se i : { 0 , 1 } V n n

{fn ~> {0 . . . . . 1~ eine Folge von Abbildungen (n=l,2, ) Weiter-

bin angenommen aus dam Satz von Netschiporuk w~re das folgende Resultat

vorhanden:

200 -XI. I 9 -

Ist @ eine Formel aus {q(Vn], welche fn darstellt, so gilt

I • S < ~[ ] . log(2q+1] n ~ 'Vn

Oann k6nnte [*) bewiesen wsrden, ±ndsm man {olgendes zeigt:

Zu jeder Konstanten M g±bt ss e±ne Zahl n, sodass es zu jeder {n-dar-

stellenden Formel ~ aus ~ (V ] eine { -darstellende Formel ~ aus q n n

%q,(V n) zibt, wo~Or gilt

I M . ~ ( ~ , V n) < ,S < ~C ] .

- l o g ( 2 q + l ) n ~ 'Vn

Nun l i e £ e r t abe~ de r Sa tz von N e t s c h i p o r u k auch , dass

und somit

I • S < ~ (@,Vn) ,

l o g ( 2 q ' + l ) n

........... 1 .S < l ° g [ 2 q ' + l ) .~(@,V n) log(2q+1) n log(2q+1)

Oamit aber wird der gewOnschte Schluss verunmSglicht.

2. Tell

Es se± V eine Menge von Variablen, und K eine Nenge von Konstanten,

welche 0 und I enth~it. ~(V,K) sei die kleinste Menge F von Formeln,

welche die ~olgenden Eigenscha~ten hat: Die Variablen aus V und die

Konstanten aus K gehBren zu F; mit ~ und ~ geh6ren auch (~+~) und (~-~)

zu F. FOr ~((v},K) schreiben wit kOrzen ~(v,K].

Ist ~ ein endlicher kommutativer Ring mit Einselement und mit dem Uni-

versum K, so ist in bekannter Weise jeder Formel ¢ aus ~{V,K) sine Ab-

bildung ~(~) yon K V in K zugeordnet.

Es seien ~ und ~ Formeln aus ~(V,K), X eine Teilm~nge und vein Element

von V, Oann de~inieren wit:

£(@,X) sei die - mit Viel~achheit gez~hlte - Anzahl der Variablen aus

X in ~. ~[@,V) ist die L~nge yon ~. FOr ~(~,{v}) schreiben wit kOrzer

~ C ~ , v ) .

h ( ~ , X ) s e i das Maximum yon ~ ( ~ , x ) ~ r x aus X.

Va r e s e i d i e Menge d e r V a r i a b l e n aus V, w e l c h e i n ~ vorkommen, FOr

Va t ~1 U . . . U Var ~n s c h r e i b e n w i r kOnzer V a r ( ~ l . . . . . ~ n ) .

-Xl.20- 201

@/X sei diejenige Formal, welche aus @ entsteht, warm alla Variablen

aus VxX Oberall dutch 0 ersatzt warden.

~I~v se i d i e j e n i g e Formal , we lehe aus ~ e n t s t e h t , wenn d ie V a r i a b l e v

O b e r a l l dutch @ a r s e t z t w i r d .

Bezugnehmend au f e i ne I n t e r p r e t a t i o n de r Formeln aus ¢(V,K) in einem

e n d l i c h e n kommutat iven Ring ~ m i t E i n s e l e m a n t , d e f i n i e r e n w i t f o r For -

meln ~ und @ aus ¢ [ V , K ] :

e aq ~ bedeu te , dass eC~) = ~ ( ~ ) .

e ~ ~ bedeu te , dass e aq ~, und, dass fSr a l l e v aus V:

~[~,v) ~ ~[~,v) ,

Bemerkun~, FOr Formeln ~ und ~ aus ¢(V,K) und e ine Te i lmenge X von V

gilt:

h(~ /X ,V) < h ( ~ , V ) .

I s t ~ ~ 4, so i s t h (~ ,V) < h ( ~ , V ) .

Formeln aus ¢(V,K) yon der Form

x + (six (~le e'" ¢1)'

wo ~ und B aus ¢ ( x , K ) (d .h . Formeln in e i n e r V a r i a b l e n ! ) , e und ~ aus

¢ ( V , K ) , beze ichnen w i t m i t ( e * ~ ) ,

Jades Paar <~,6> aus ¢ ( x , K ) 2 d e f i n i e r t a tso e ine S t e r n o p a r a t i o n . Zur

Un te rsche idung von S L e r n o p e r a t i o n e n warden d ie S te rne i n d i z i e r t , apo-

s t r o p h i e r L und O b e r s t r i c h e n .

Bemerkun~ Werden die Formeln im KBrper ~o' dam K8rper mit dam Universum

(0,1} interpretiert, gibt as zu jeder Formel ~ aus @({x,y},K) eine

Sternoperation , , sodass @ ~q (x,y).

Bemerkun~ Zu Formeln ~o und 9 aus ¢[V,K), einer Variablen v aus V, einer

und * gibt es Sternoparatio- Konstanten c aus K, und Sternoperationen I 2

, * mit: nan ~ ~ und 5

(v~[v~p)) ~q [v~).

Ist Vat {p = { v } , so ist (~@) ~ (v~,~).

Ausssrdem z e i g t man l a i c h t (m i t I n d u k t i o n hash dam Aufbau von ~ ! ) , dass

es zu jedem ~o aus ¢(V,K) und j e d e r Te i lmenge X yon V Formeln X und ~ aus

¢(V,K) und e ine S t e r n o p e r a t i o n • g i b t m i t :

2 0 2 - X 1 , 2 1 -

I ~ l v a t × I .

i . I v a ~ \ X I { 1 , 2 . . . . . } ;

F ( k , m , q , £ ] = 4 ( k + l ) k ' r - l . q + m.

Lemma I

Zu jedem endlichen kommutativen Ring ~ mLt E±nselement und mit dem Uni-

v e r s u m K,

zu jeder VarLablanmenge V und allen natOrliohen Zahlen k,m,q,r mit

£ ( k , m , q , r ) < l V l ,

und zu j e d e r F o r m e l ~p aus { [ V , K ) mit h [~p ,V) < k ,

g i b t as e i n e T e i l m e n g e W von V, { O r w e l c h e e i n e r d e r d r e i f o l g e n d e n

F ~ l l e z u t r i ~ £ t :

[I) e/W ist ~quivalent einer Konstanten aus K, und IWI = m;

(II] es gibt Formeln p,~ und sine Sternoperafiion * mit"

~/W ~ [p*(~], und

q < I Varp n Var~ I~

(III) IWI = r, und

as gibt eine Formel ~ und Sternoperationen ~ I ..... r mit:

e/W ~q [w I ~ ,(w ~ ~] ,] t " " r :D " wo { w 1 , w 2 . . . . . w } = W, und h [ ~ , V ] < ( k - l ] .

BBweis

Falls m ~ I V\var @I, trif#t TOt W = V\Var @ der Fall (I) zu. Andern-

#alls ist 4(k+1)k'r-l.q ~ I Vat ~I; es genOgt dann, das Folgende zu be-

weisen:

Wenn es keine Teilmenge W yon V gibt, sodass (II), so gibt es eine

Teilmenge W von V, sodass (III],

I, Schritt Es sei p = [k+1) (k'r), Wir deTinieren rekursiv eine Folge

yon Formeln aus ~(V,K):

- X I . 2 2 - 203

(t~O I(t~I 2 ''" (tPi-1 i (Pi)'''))

(~o ~c~.1 ~ " " ~p-~ p % ) " ' ) ) Mi t den Beze ichnungen

X. = V a r ( ~ o . . . . .t~i_1.ei) 1

Y i - 1 = Var(@o" ' ' " " $ i - I )

s o l l f o r d i e s e F o r m e l f o l z e z e l t e n :

(a ] f0 ' r a l l a i ( l I und Vat ~i_I c Yi-2'

Wit setzen zu Beginn (~Or i=I]"

t~O sei O, ~I sei ~p, und

(~0 ~ ~°I) sei (~)0+([I+@0).~oI)].

Oa X I = XI"-Y 0 = Vat ~o, &st (a] sicher er{Ollt.

Wit nehmen nun an, die Formelfolge sei ~Or irgendein i (1<_i<_p-1) de4~i -

niert bis (t~ 0 ~..,(t~i_ I ~ ~i)..,), Nach unserer Bemerkun Z ~ber Stern-

operationen au~ S. 20 gibt es nun abet Formeln Xi und ~±, und eine

Sternoperation * mit:

~i ~- (Xi*~'~.)"

_< I v ~ x~ I . 1

" IVa r ~ i ~ Y i _ l [ < I V a r ~ i ~ Y i _ I I •

Wit beze i chnen e i n i g e , p a a r w e i s e d i s j u n k t e , Te i lmenzen von X. :

A = (Va t X i ~ Va t ~ i ) "~ Y i - 1

B = ( V a t X{ ( ] Va t m i ) (l Y i - I

C = (Vat mi\Var Xi] ~ Yi-I

O = (Va~ ~ . ~ Va t Xi) f] Y. ~-1

204 - X I , 2 3 -

Es seiBU F + ¢"

E = (Va t x i \ V a r mi ) \ Y i - 1

F = (Va r XL~,Var m i ] A Y i - I

F B D

E A C

Var Xi Ve t m. 1

li i- 1

Va t ~i

In diesem Fall setzmn wir,

@i sei Xi/[B U F),

~i+I sei wi/(B U O U C).

Oie Bedingung (b) ist dann sicher erfOllt, well

Yi = Yi-1 '

Xi+ I = Yi U C,

Var ~i c Yi-I"

Es s e i B U F = 0, und x aus Va t X i :

E

Va t Xi

<D A C

Va t ~. 1

t Y i - 1

Ve t ~ i

J

In diesem Fall setzen wir:

~i s e i X i / { x } ,

@i+I sei ~i/({x} U O U C).

Die Bedingung (b) ist denn sicher erfOll%, well

Y = u { x } , i Y i - 1 X i+ 1 = Y.U1 C,

I ve~ e i l = 1.

Oass auch d i e B e d i n g u n g (e) e m f O l l t i s t , z e i g e n w i r f ~ r b e i d e F ~ l l e

- XI. 24- 205

gemeinsam. Ers tens gilt wsgen dar Wahl yon X± und ~ . : 1

& . 4 ( p - i ) 1. 2 "q ~ ~ f x i \Y i - l l

= L ' ( f A I + E c t + I E I ~

< I A I + I c l ,

Z w e i t e n s muss ge l tan IAI < q; a n d e r n f a l l s wOrde wegen unserar Bamerkung

Ober S t s rnope ra t i onen au~ S. 20 mi t x I / A a ls p, wi /A als ~ und W=A der

F a l l ( I I ) z u t r e f f e n . ,Daraus { o l g t nun aber:

4 P - ( i + l ) ' q < ½ " 4 P - i ' q - q j (rA[+]Cl) - IA[ = Ic l fXi+l\Yi[. Ausserdem g i l t mi t • a ls * : i + I

e/xi+l ~ (% ~ " ' ( ~ i - 1 [ ~ i ) ' " ) / x i + l

(~o ~'''(~i-I ~ [ x i / X i + l * ~ i / X i + l ) ) ' ' ' ) • * [ * ) ] )

i , e , [~o 1 " ' ' ( 9 1 - 1 i @i i + l @i+I . . . .

Es i s t a lso auch die Bsdingung (a) e r ~ O l l t ,

Au? Grund der O e ? i n i t i o n unserer Formel~otge g i l t nun insbesondere :

~/Xp ~- (~o " I " ' ' ( ~ p - 1 p* ~ p ) ' ' ' )

- * (~p-1 * ~ p ) ' ' ' ) und ; (¢I 2" '" p '

1 2 q ! [Xp~Yp_ll 2 ]Var ep[, Wit de~inieren nun noch zus~tzlich eina Formal ~p und eine Variablen-

menge VI:

~ Yp-1' falls Vat ~pR Yp-1 + ~

V I =

IYp_IU {x}, ~alls Var @pR Yp-1 = ~' und x eine Variable aus

Vat ~p.

~p sel ~p/V I.

Zusammen~assend erhalten wit also ~Or p = (k+1](k'r):

(~) ~/v~ ~ (~ ~ " ' [~p -1 p ~p ) ' " )~

(2) ~Sr alle i (1<i<p)= 1 = IVar ~il, odor

I < ]Var ~il und Vat ~±c Var(@1.,...@i_1);

(3) die bisher noch n±cht ve~eendete Voraussetzung

h(¢/Vl,V) ~ h(~,V) < k.

206 -XI, 2 5-

2. Schritt Es sei s = k'r, d.h. p = (k+1) s, Win beweisen mit Induktion

nach s (12s):

Zu jede~ natOrlichen Zahl p, ~Or welche (I~, (2), (3) und (k+1) s 2 p S

, , > aus Stern- gilt, gibt es elne geei~nsts VariablenTol~e <v I ... v s VI,

*' *' und sins Formel ~', sodass o p e r a t i o n e n I . . . . . s

{ v 1 } : Va t

• ' *' ~') ..)) und e / { v~ . . . . v s } ~ (v~ ~ ( . . . ( v s s

h ( ~ ' , V ) < k - l .

W i t nennen <v 1 . . . . . Vs> genau dann s i n e g e e i g n e t e V a r i s b l e n T o l g e , wenn

J TOr a l l e i l , i 2 , i 3 g i l t : I s t 1 < i 1 < i 2 < i 3 < s und V i l = v i 3 so i s t auch = V . •

v i 1 x 2

Es s e i v 1 d i e in ~1 vorkommende V a r i a b l e .

* (t~p_ 1 * t ~ p ) , , . ) / { v 1} a l s ~ ' wegen u n s e r e r Ist s:1, so gilt mit (~2 3"'' p

Bemerkung ~ber Sternoperationen auf S, 20

_ * ~ , ] ~ (v 1 ~ ' ~ ' ) ~ e / { V l } ~ [~1 2

ausse~dem i s t t r i v i a l e r w e i s e h ( ~ ' , V ) = ~ ( ~ ' , v 1) < k - 1 .

I s t l < s , se t zen w±r t = ( k + 1 ) ( s - 1 ) + 1 und un te rsche~den zwei F ~ l l e :

v I sei nioht enthalten in V 2 = Var(~2....-~t):

Wit wenden die Induktionsvoraussetzung an au£ die £olgende Formel,

welche wir mit ~' bezeichnen:

(~2 3 " ' ' ( ¢ t - 1 t ~t "

dabe i s e i 9~ d ie Formel (~ t t ~ l ' ' ' [ ~ p - 1 p ~ p ) ' ' ' ) / V 2 "

Es g i b t dann a l s o s i n g e e i g n e t e s <v 2 . . . . . Vs> und s i n w' m i t :

• [v 2 * ' . . [ v * ' ~ ' ] . . . ] , ~ ' / { v 2 . . . . Vs} ~ 2 ' s s h ( ~ ' , V ) < k - 1 .

Wegen u n s e r e r Bemerkung Obe# S t e r n o p e r a t i o n e n au~ S. 20 g i l t dann aber :

. . . . _ * e ' / { v I . . . . v }) ~ / { V l " v s } ; [~1 2 ' s

(v 1 ~' ~ ' / { v 2 . . . . . %}1

[V l 1'' (v2 2 * ' ' ' ' [ V s s*' ~ ' ] ' ' ' ] ) ; S ' , , > s i n e g e e i g n e t e Fo lge aus V 1, dabe i i s t h(~ ,V) ~ k-1 und <v 1, , , v s

v 1 s e i e n t h a l t e n i n V a r ( ¢ 2 - , . , . ~ t ) :

Wi r s e t z e n h : m i n { j l v 1 i n Va t ~ j , 2 ~ j < t } und

V 3 = V \ V a r ( ¢ 2 . , . , . @ h _ l ) . Es i s t nun

e/V 3 ~_ (~ t /V3 ~ , - . [ @ p _ l / V 3 p* ~ p / V 3 ) . , , ) .

- X I . 26- 207

Von den Formeln ~ i / V 3 [ l < i ~ p ) e n t h a l t e n dann z .B . noch d ie Golgenden

mindestens e ine V a r i a b l e :

@1/V3 ' @h/V3 ' @h2/V3 . . . . . @h /V [h<h2<hp ,~p) . p '

Wir d e ~ i n i e r e n nun Formeln Wo' ~1 . . . . . Up, wi8 f o l g t :

n ° se i @i/V3,

~1 se i ~h/V3, d ,h . dass Var ~1 = Var Wo = { V l } "

~ j se i ~h /V3, GOt 2 < j < p ' - l , J

, /V 3 . . . [@p /V 3 • @p /V3 ) . , . ), ~p se i [~hp,_1+1 hp , :1+ 2 - I p

Wegen unsermr Bemerkung Ober S t e r n o p e r a t i o n e n aug S. 20 / s t

e /V3 ~ (~o ~"(ml ~ " ' ' ' ( m p ' - 1 p r a p , ) . . . ) )

• " * " ) . . . ) d ie Bedingungen und ausserdem g e l t e n ~Qr (ml 2 ' ' ' ( m p ' - I p 'mp'

(1 ) , ( 2 ) , (3 ) . Um auf d iese Formel ( w i t nennen s i e @'] d ie I n d u k t i o n s -

vo rausse t zung anwenden zu kSnnen, mUssen w i t noch z e i g e n , dass ( k + l ] s-1 < p'

Die Var iab lenmenge V a r ( ~ 2 . . . . . ~ h _ l ] e n t h ~ l t wegen (2] h6chstens h-2

V a r i a b l e , yon denan wegen (3) j ede h~chstens k-1 mal in

(@h h+l * " ' ' ( @ p - 1 p * @ p ) ' ' ' ) vorkommt. Deshalb e n t h a l t e n mindes tens noch

p - ( ( h - 2 ) + ( h - 2 ) [ k - 1 ) ) de r Formeln @j/V 3 ( l < j < p ) e ine V a r i a b l e . Das

h e i s s t : p - ( ( h - 2 ) + ( h - 2 ) ( k - 1 ) ) = p - ( h - 2 ) - k ~ p ' + l .

Damit g i l t nun aber :

( k + 1 ) s - l + l < ( k + l ) S - l + k

= ( k + l ) s - ( ( k + 1 ) s - 1 _ 1 ) . k

< p - ( t - 2 ) - k

< p - ( h - 2 ) . k

, S t e r n o p e r a t i o n e n 2 ' ' s

Fosmel ~ ' , sodass

e ' / { v 2 " . . . . Vs} -~ (v2 2 ' ' ' ' ' [ V s s'' ~ ' ) ' ' ' ) "

h (m ' ,V ) < k - l , und

{v 2} = Vat ~1 ' d .h . v 1 = v 2,

De£ha lb , und wegen u n s e r e r Bemerkung Ober S t e r n o p e r a t i o n e n aug S. 20

i s t dann aber

e / { V l Vs} ~ (~o 1 . . . . . _ ~" e , / { v 2 . . . . vs}) V I V 2 ' ' . ( v * ' ~ ' ) . . . ) , ~ ( - ~'( 2"" s s

208 -XI.27-

we h ( ~ ' , V ) < k - l .

<v I , v 2 . . . . . Vs> Le t mine g e e i g n e t e F o l g e , w e l l <v 2 . . . . . Vs> e i n e g e e i g -

n e t s Fo lge i s t , und w e l l v 1 = v 2,

3. S c h r i t t We l l h ( ~ , V ) < k, und s = k . r , e n t h ~ l t { v 1 . . . . . v s } m inde -

s t e n s r v e r s c h i e d e n e V a r i a b l e w 1 . . . . . w . Au{ Grund d e r f o l g e n d e n E i g e n -

s c h a ~ t e n d e r S t e r n o p e r a t i o n e n :

(v * ( v * e l l ~q (v 3 e) 1 2 (c *Ce * @)) ~ (e 4 4) I 2

gibt ms sine Formel w und Sternoperationen ~ T sodass J'''r'

~ / { w 1 ' ' ' ' ' W r } aq (Wl ~I(W2 ~ 2 ' ' ' ( w r Tr m ) . . . ) , und h ( m , V l < k - 1 .

Dami t w~re des Lemma 1 b e w i e s e n .

Normale Formeln

Bezugnehmend au{ die Interpretation in einem endlichen kommutativen

Ring ~ mit Einselement und Universum K, wollen wir gewisse Formeln aus

~ ( V , K ) a u s z e i c h n e n und " n o r m a l " nennen . W i r d e ~ i n i e r e n

- d i e Menge H [ x , ~ ) d e r homogenen Fo#meln i n de r V a r i a b l e n x :

e geherm genau dann zu H ( x , E I , x ~q O. wenn e aus ~ ( x , K l und el °

d i e Menge S[W,~) d e r Summen#ormeln, und d i e Menge P [ W , [ ) de r P r o d u k t -

#o rme ln Ober m i n e r T e i l m e n g e W yon V:

gehBre genau dann zu S(W,~) bzw. P (W,~ ) ,

wenn ms e i n hemogenes 9 g i b t , sodass

die eormel ~ 9 I ~ bzw. R ( l + ~ l ~ ) i s t . w£W wEW

N.B, S i n d z , B . w l , w 2 , w 3 , w 4 d i e v e r s e h i e d e n e n E lemen ts yon W, so b e z e i o h -

non w i r m i t ~ w d i e Forme l ( w 1 + [ w 2 + ( w 3 + w 4 ) ) ) . wEW

- d i e Menge G(W,~) d e r G r u n d { o r m e / n Obmr W:

G(W,~) = ~ (S(W,~) U P ( W , ~ ) , K ) .

- dim Mengm N [V ,~ ) dmr normmien Formm/n mus ~ ( V , K I :

N v,Kt U GCw, l. W=V

Bemerkun6 I s t ~ de r K 6 r p e r ~o m i t dem U n i v e r s u m { 0 , 1 } , so i s t j ede i n

x homogene Forme l ~ q u i v a l e n t

x o d e r O,

j e d e Summen{ormml Ober W ~ q u i v a l m n t

-XI. 28- 209

0 odor [ w, wEW

j ede P roduk t£o rme l ~ber W ~ q u i v a l e n t

1 odor ~ T ( l + w ] , wEN

und jede Grund fo rme l 8ber W Q q u i v a l e n t e i n e r Formel

( + ( ( b . ~ w) + ( o ' T - [ ( I + w ) ) ) ) , wEW wEN

we a , b , c aus { 0 , 1 } sind.

Bemerkun~ FOr Formeln 9, @ und Te i lmengen W, W' von V gilt:

(i) Alle Kenstanten sind Grundformeln.

(ii) Sind ~ und ~ Grundformeln Ober W, so auch (9"~].

(iii) Ist ~ eine Grundformel Ober W, und W'm W, so ist 9/W' eine Grund-

formel Ober W'. D.h. die Menze der normalen Formeln ist abge-

schlessen gegen~ber dem Nullsetzen yon Variablen.

(iv) Ist ~ eine Grundformel ~ber W, so ist 6(~) eine symmetrische

Abbildung yon K W in K.

LBmma 2

Es se i ~ der KSrper ~ m i t dem Universum K = { 0 , 1 } , FUr jede V a r i a b l e n - o

menge V, jede Formel 9 aus { [ V , K ) und jede n a t ~ r l i c h e Zah l t g i l t dann:

G ib t es a l l e s v e r s c h i e d e n e V a r i a b l e n Wl, . . . . w5t und e ine Formel ~, so-

dass e / {w 1 , , . , , w 5 t } ~q (w 1 ~1,,, (w5t ~5t ~) . . . . ) so g i b t es e ine Te i lmenge

Z ven {w 1 . . . . . w 5 t } , e ine Grund{erme l ~ Gber Z, e ine S t e r n o p e r a t i o n •

und e ine Formel T, sedass IZ] = t , 9 /Z ~q ( ~ * T ) , und h [ T , V ] < h ( ~ , V ) ,

Beweis Bez~glich ~o gilt f~r jede Sternoperation :

(x * ~) ~q ( ( a + ( b . x ) ) + ( ( c + [ d . x ) ] . @ ) ) .

D.h. es g i b t n u t d ie f o l g e n d e n Typen von S t e r n e p e r a t i o n e n :

" N u l l - S t e r n e " : [ x * e) ~q ( ( a + ( b . x ) ) + ( ( d . x ] . 9 ] ) ,

" A - S t e r n e " : ( x *9 ) ~q ( [ a + [ b . x ) ) + ~ ] ,

" B - S t e r n e " : ( x *9 ) ~q ( a + ( ( l + x ] . 9 ] ,

" C - S t e r n e " : ( x *9 ) ~q ( ( a + 1 ) + ( ( 1 + x ] . ( 1 + @ ] ) ) .

Dabei s i n d a , b , c und d Elemente von { 0 , 1 } .

• ~ sodass Zu jedem C-S te rn ~ g i b t es e inen B -S te rn 1 '

• * X)) ~q (9 ~'(~ 2 X]) (9 1 (~ 2 * ' "

Es g i b t darum S t e r n o p e r a t i o n e n ~ , . . * u n t e r denen ke ine C-S te rne " ' 5 t

s i n d , und e ine Formel T1, sodass

210 -XI, 29

e/ {w1 . . . . . wst} ~q (wl ~'"(~5t ~t T1) '") ' dabe i i s t T t en tweder ~ oder (1+~) , d . h . h ( T I , V ) = h ( ~ , V ) .

Fall I 8ei ~ .... * sei ein Null-Stern dabei. • 4t

FOr Z = (w4t+1 ..... wst} gilt dann: IZl = t, und ~/Z ist ~quivalent ei-

nar Konstantan, d,h. zum Beispiel ~quivalent (ci*c2).

Fall 2 8ei I ..... ~t sei kain Null-Stern dabei, Die Anzahl der A-Sterne

darunter sei n A, die Anzahl dar B-Sterna darunter sei nB; as ist also

nA+n B = 4t. FOr Z I = {w I ..... w4t} gibt es ein T 2, sodass

@/ZI aq (Wl ~'''(w4t it T2)''')' und aussardem h(T2,V) < h(TI,V).

Fall 2,1 Es se± 2t < nA; Z 2 = {z I ..... z2t} sei eina Teilmange yon

{wil 1<i<4t,_ _ i ~ ist ein A-Stern} mit Iz21 = 2t. Es ist dann

2t

e/Z 2 ~q (e + ( ~ (bi'z i) + T2]). i=I

Es sei nun T die Formal T 2, und Z eina t-alementige Tailmenge einer der

baiden folgenden Mengen

{z. 1<i<2t, b.=O} 1 - - l

{z. 1<i<2t~ b.=1}. l - - l

Oann i s t m/Z ~ q u i v a l e n t (e+T) oder ( (e+ ~ z ) + T ) , und zEZ

h (T ,V ) = h (T2 ,V ) < h T1,V) = h ( ~ , V ) .

F a l l 2.2 Es se i 2 t ! n B ; Z 2 = {z 1 . . . . . z 2 t } se i e ine Te i lmenge von

{wiJ 1~i~4t, iist ein B-Stern} mit JZ21 = 2t.

Es ist dann z.B.

~/Z 2 aq ( e l + ( ( l + Z l ) ' ( e 2 + ( ( l + z 2 ) ' , . . ' ( e 2 t + ( ( l + z 2 t ) ' ( a + T 2 ) ) ) . . . ) ) ) )

w i t d e f i n i e r e n nun Formeln ~1,~2 . . . . . ~ 2 t + I :

Falls for ella i (2<i<2t] a. = O, seien

2t ~I die Formal T~ (1+zi), und

i=I

~2,~3 . . . . . ~2t+1 a l l e d ie Formal 1,

Falls e. = I ganau dann, wenn i = ii,i 2 ..... i h (2<i I <...< ih<2t),

seien

-XI. 30- 211

ii-I

~1 d ie Formel f ~ ( l + z i ) , i - - I

i 2 - 1

~2 d ie Formel T~ ( l + z . ) , i=il !

2t ~h+1 die Formel ~T (1+z,),

i =i h l

alle d ie Formel 1. If h+ 2 ..... ~2h+i

Es ist dann ~,'ir irgendein h (O<h<2t-1):

~#/Z 2 aq ( e l + ( T r l " [ l + ( T r 2 " . . . " ( 1 + ( 1 T h + l ' ( e + T 2 ) ) ) . . . ) ] ) ) .

I s t T d i e Formal T 2 oder d ie Formel (1+T2) , und Z s i n e t - e l e m e n t i g s

Te i lmenge e i n e r der be iden { o l g e n d e n Mengen

V a r ( ~ l "~3" " " ~ 2 t + I )

Va r (~2 "~ 4, • .~2 t ) , so ist

~/Z ~q (6 ' + ( T ~ ( l + z ) • T)) zEZ

und

h (T ,V ) = h (T2 ,V ) < h ( T l , V ) = h ( ~ , V ) .

Oamit wQre such das Lemma 2 bewiesen .

Um d ie be iden n a c h f o l g e n d e n SQtze e i n f a c h e r ~ o r m u i i e r e n zu k6nnen, de-

~ i n i e r e n w i t zwei z a h l e n t h e o r e t i s c h e F u n k t i o n e n :

FOr a l l e n a t 8 r l i c h e n Zah len m se i

e(O,m) = m,

und {Or k = 1,2 . . . . :

e (k ,m) = r ( k , m , @ ( k - l , @ ( k - l , m ) ) , 5 - e ( k - l , m ) )

( k + l ) 5 k ' @ ( k - 1 ) , m ) _ l 4 . e ( k - l , @ ( k - l , m ) ) + m.

FSr a l l e n a t O r l i c h s n Zah len c und m se i

A(c ,m) = 2 . e ( 2 c , m ) .

Satz 1

Es se i ~ der K6 rpe r ~ m i t dem Universum K = { 0 , 1 } . F~r jede n i c h t - n e - 0

gative ganze Zahl k, jede nat~rlichs Zahl m, jsde Variablenmsnge V und

jede Formel ~ aus ~(V,K) gilt:

Ist @(k,m) < IVl und h(~,V) < ks so gibt ss eine Tsilmenge U yon V und

212 - X I , 31 -

mine Grundformel ~ Ober U, sodass IUI = m und ~/U ~q ~.

Bewe is m i t I n d u k t / o n nach k. I s t k=O, so g i l t m < IV[ und h ( e , V ) = O.

D .h . es g i b t mine m - e l e m e n t i g e T e i l m e n g e U van V, und ~/U i s t ~ q u i v a -

lent e±ner Konstanten:

Ist O<k, so gilt nach Lemma I:

(I], oder

[ I I ] m i t q = @ [ k - 1 , @ ( k - l , m ) ) , o d e r

[llI] mit r = 5-e[k-l,m].

Im Fall [I] sind wit fmrtig mit U = W.

Im Fall [II] gilt for U I = VarpQ Vary:

~/U I ~ [ p / U 1 * ~ / U l ] ,

@ ( k - 1 , ¢ ( k - l , m ] ) < l U l l ,

h ( p / U I , V ) < k-1 und h ( d / U 1 , V ) < k - 1 .

Nach Induktionsvoraussetzung gibt es mine Teilmenge U 2 van U I und eine

Grundformel X Ober U 2, sodass

P/U 2 aq X,

@(k-l,m) = [U2[, und

h(~/U2,V) ~ k-1.

Nach Induktionsvoraussetzung gibt es mine Teilmenge U van U 2 und eine

Grundformel w abet U, sodass

~/U ~q m, und m = I U I ,

Es ist datum

~/U { [p/U • a/U)

~q (x/U * w];

(x/U * ~) ist abet sicher eine Grundformel Ober U.

Im Fall (III) wenden wir das Lemma 2 an mitt = @(k-l,m). Oanach gibt

es mine Teilmenge Z van V, eine Grundformel ~ Ober Z, eine Sternopera-

tion * und mine Formel T, sodass

1ZI = t = ~ ( k - l , m ] ,

~ /Z ~q (@*T) , und

h ( T , V ) < k - l .

Nach I n d u k t i o n s v o r a u s s e t z u n g g i b t ms mine T e i l m e n g e U van Z und mine

Grundformel m Ober U, sodass

T/U ~q ~, und m = iUI,

Es ±st datum

~/U ~q (~ /O * ~ ) ;

(@/U • m) i s t a b e r s i c h e r mine G r u n d f o r m e l Ober U.

-XI. 32- 213

Satz 2

Es sei ~ der KBrper ~o mit dam Univsrsum K = {0,I}. FOr alle nat~rli-

chen Zahlen c und m, jade Variablenmenge V und jade Formal ~ aus

~(V,K) gilt:

Ist &(o,m) < IVl und ~(~,V) < o. lV], so gibt es sine Teilmenge U von V

und sins GrundTormel ~ 8ber U, sodass lul = m, und @/U ~q ~.

Beweis Nach Voraussstzung ist

A[o,m) = 2.@(20,m) ~ Ivl, ~(~,v) ~ c - lV l .

Wir z s r l e g e n d ie Var iab lenmenge V:

X 1 = {xEV t 2c < ~ [ ~ , x ) }

x 2 = {x~Vl ~ ( ~ , x ] ~ 2c } .

Es g i l t dann #o lgendes :

l x l l + l x21 Ivl

20" lx l l < zI~,Xll 2 ~(~,v) < o. l v l , e c 2 o , m l < I v l = I v l t v l 2' 2 < I v l - l x l l = I x 2 1 ,

h [ ~ / X 2 , X 2) 2 2c,

Nach Satz 1 g i b t as dann s i n e Te i lmenge U yon X 2 und s i ne Grund fo rme l

Ober U, sodass IUI = m und e/U ~q ~.

Verall~emeinerung

Im Folgenden soll gezeigt warden, dass im Falls ~ ~ ~ keins dam Lem- 0

ms 2, dam Satz I und dam Satz 2 entspreohenden S~tze gelten. Wit zei-

gen das for den Satz I, indsm wit ~olgendes beweisen:

Ist + ~o" so gibt es zu jeder natOrlichen Zahl t eine Variablenmsnge

V und sine Formal @ aus ~(V,K) mit:

]vl ° t,

h(~,V) = 3, und

ist W sine Teilmsnge yon V mit 2 < IWI,

so ist ~/W nioht ~quivalent einsr

Grundformsl Ober W.

Es genOgt den Beweis durchzu~Ohren for Teilmengen U yon V mit IuI = 2;

denn ist UC W und @/U nicht ~quivalsnt siner Grundformel Ober U, so ist

@/W nioht ~quivalent siner Grund~ormel Ober W. Es sei also

214 - X l , 33-

V = {v 1 . . . . . v t } ,

d ie Formel ( v t + ( l + ( v t . v t ) ) - . . . ( v 2 * ( l * ( v 2 " v 2 ) ) - V l ) . . . ) , und

U = {U l ,U 2} c V.

Es i s t dann z ,B . @/U d ie Formel ( u 2 + ( ( 1 + ( u 2 . u 2 ) ) - u 1 ) ) .

I s t aber ~ + ~o' so g i b t es c 1 u n d c 2 aus K, sodass

2 2 c2"c 1 ~ c2"c 1

2 ) . c 2 c 2 + ( 1 + c ~ ) ' c 1 + c1+(1+c 1

~/U s t e l l t aZso ke ine symmetr ische Abb i l dung von K U in K dar und i s t

desha lb n i c h t ~ q u i v a l e n t e i n e r Grundformel Ober U.

Anwendung

Im Fall ~ = ~ sollen bier einige Gegenbeispiele zur folgenden Behaup- o

tung konstruiert werden:

Es gibt eine nat~rliche Zahl c, sodass es f~r alle Variablenmengen V

und alle Abbildungen f yon {0,I} V in {0,1} eine Formel e aus {(V) gibt

mit: @ stellt f dar , und

o-lvl. (Wir schreiben hier wie im Aufsatz ~ber den Satz von Netschiporuk for

~ ( V , { 0 , 1 } ) kOrze r ~ ( V ) ) ,

Zur Konstruktion dieser Gegenbeispiele definieren wir zuerst spezielle

Folgen yon symmetrischen Abbildungen:

Es sei neine natOrliche Zahl, und V die Menge der Variablen x. mit n j

1~j~n. FOr jede Teilmenge O von {0,I,2 .... } definieren wir eine Folge

 mit: yon Abbildungen fo,fQ,.. Vn

fQn ist eine Abbildung von {0,1} in {0,I}. Ist b eine Abbildung yon Vn

in {0,1}, und r b die Anzahl der natOrlichen Zahlen j mit l<j<n und

n(b) I wenn r b in @. bCxj ) = 1, so / s t genau dann fÙ

Bemerkung Es gibt Folgen yon symmetrisahen Abbildungen

V n f : {0,1} > {0,1} (n=1,2 .... ) n

welche nicht von dem eben definierten Typ sind.

I. Beispiel f (b) = I genau dann, wenn r b = n. Diese Abbildungen sind n

darstellbar durch (x1"(x2 "'°'(xn-1"xn)'''))'

2. Beispiel Es sei fn(bl I genau dann, wenn r b ~ n (modulo 2). Oiese

sind darstellbar dutch ((1+Xl)+{C1+x2)+'''+(1+Xn)°''))" Abbildungen

- X I . 34- 215

Wit b e t r a c h t e n nun s p e z i e l l e T e i l m e n ~ e n von { 0 , 1 , 2 . . . . } :

Q1 = 0 0 5 = { 0 , 1 , 2 . . . . }

02 = { 0 } 06 = { I , 2 , 3 . . . . }

Q3 = { 1 , 3 , 5 . . . . } 0 7 = { 0 , 2 , 4 . . . . }

04 = { 0 , 1 , 3 , 5 . . . . } O 6 = { 2 , 4 , 6 . . . . }

FOr d i e n - t e n A b b i l d u n g e n dec z u g e h 6 r i g e n F o l g e n g i b t es i n ¢(V n) d i e

~ o l ~ e n d e n D a r s t e l l u n g s n ( i n a b g a k O r z t e r S c h r e i b w e i s e ) :

~n fn : 1 01 : 0 Q5

n n fn ~:n

02 : TT ( I+x . )~ : 1 + ~ ( l ÷ x i ) i=1 06 i=1

n n f n .F n

°3 ~ i=1~ x. _ 1 + i=1~ x. i 07 : i

n n n n fn hen Q4 " i=1 f ] [ l +x .1 ] + i=1~ x.1 Q8 " ~ ÷ i=lT] [ 1 + × i l + i=1~ x i

Oiese Folgen sind also keine Gegenbeispiele zur elngangs formulierten

Behauptung.

Es bedeute nun ~(@), dass @ sins Teilmenge von {0,1,2 .... } und ver-

schisden yon QI,~2 ..... O 8 ist. Man sieht sogort, dass ~(@) gleichbe-

deutand ist mit:

0 i s t s i n e T s i l m e n g e von { 0 , 1 , 2 . . . . } , und es g i b t zwe i Zah ten p und q

aus { 1 , 2 , 3 . . . . } m i t : p = q (modu lo 2 ) , und p n i c h t aus O, q aus O.

Sa t z FOrt j a d e s 0 m i t 5 ( 0 ) kann zu j s d e c n a t O r l i c h e n Z a h l c s i n e na-

t ~ r l i c h e Z a h l n angegeben w a r d e n , sodass TOt j a d e F o r m a l @ aus ¢(V ] , n

n welchs fO darstellt, gilt:

c - I V n l = c-n < ~ ( ~ , V n ) .

Mit dec zahlentheoretischsn Funktion & aus Satz 2 gibt man n wie £olgt

an:

n = A(c,max[p,q)).

Beweis Es s e i p=q [mod 2 ) , p ~ @, q E 0 und n w ie eben angegeben de-

{ i n i e r t . I s t nun ~ s i n e Fo rma l aus ~(V ) m i t ~ ( ~ , V n) < c .n = c. rVnl,. n - '

so £ o l g t nach Sa tz 2:

Es g i b t e i n e T e i l m e n g e U yon V und e i n e G r u n d f o r m e l @ Ober U, sodass n

IU[ = m a x ( p , q ) , und @/U ~q ~.

216 -XI. 35 -

In unserm Fall bedeutet das, dass ~ ~quivalent

A + B -]-[C1+w~ + c - X w ,

w EU wEU

we A, B und C Konstante aus {0,I} sind.

Es sei nun Z eine Teilmenge yon U mit Izl = min(p,q). Iu,zl i~t dann

gerade, und I < IzI. wit definieren zwei Abbildungen b und b' van V in n

{ o , 1 } :

b ( w ) = I , f~r w aus Z,

b(w) = O, for w aus V \Z; n

b ' ( w ] = 1, TOt w aus U,

b'[w) = O, for w aus V \U. n

Es ist dann ~(b = ~(b] = ~(b'] = ~[b'].

Anderseits ist abet r b = min(p,q) und r b , = max(p,q).

Oarum gilt: r b E O und rb, ~ @, oder

r b ~ O und rb, E O.,

n nicht dutch n(b'); womit gezeigt ist, dass fO Oas heisst, dass f (b) + fO

dargestellt wird.

B e i s p i e l Es s e i 0 = ( 0 , 1 , 2 . . . . } ' ~ { 0 , 1 } , Wegsn 1~ Q, 3E D und 1=3

n w i r d ( i n a b g e k O r z t e r S c h r e i b w e i s e ) d a r g e s t e l l t (mod 2] gilt (](0), TO

duroh die Formal

I + ~(1+x,-x.], (I<i j<_n]. 1 j

U n s e r S a t z b e s a g t nun :

FOr a l l e n a t O r l i c h e n Z a h l e n c und n m i t n = A ( c , 3 ) h a t j a d e F o r m a l aus n

~[Vn), welche fO darstellt, eine L~nge grosset als c.n.

Literatur

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