Zahlen, Folgen, Reihen - Mathematics TU Grazlichtenegger/ananf2.pdf · 2005. 1. 26. · Zahlen,...

Kapitel 2

Zahlen, Folgen, Reihen

In diesem Kapitel wird nun wirklich der Grundstein der Analysis gelegt, daruber hinaus solltenwir uns noch etwas den verschiedenen Zahlbereichen widmen. Mit naturlichen Zahlen rechnetman bereits in der Volksschule; weil mit ihnen aber viele Gleichungen nicht losbar sind, werdenganze und rationale Zahlen eingefuhrt. Auch die rationalen Zahlen sind in vieler Hinsicht unbe-friedigend, wir werden sie daher zu den reellen Zahlen erweitern. Aber selbst in N sind manchePolynomgleichungen nicht losbar, das wird uns letztendlich zu den komplexen Zahlen bringen.

Parallel zu dieser Entwicklung des Zahlsystems werden wir eine machtige Beweismethodekennenlernen, die vollstandige Induktion, und eine wesentliche Eigenschaft von Mengen disku-tieren, namlich ihre Machtigkeit.

Vor allem aber werden wir uns mit Folgen befassen, den Begriff des Grenzwertes einfuhrenund damit erstmals versuchen, das Unendliche mathematisch faßbar zu machen. The truth istout there – der Schlussel zur hoheren Mathematik liegt draußen in der Unendlichkeit, in derBeschaftigung mit unendlich vielen, unendlich großen oder unendlich kleinen Objekten. Dochhier liegen auch viele Schwierigkeiten und bis heute ungeloste Probleme.

Als Anwendung werden wir die praktisch bedeutsamsten Folgen behandeln, die Reihen. Einkleiner Exkurs am Ende des Kapitels wird daruber hinaus einen ersten Einblick in die Welt derFraktale geben.

1

Kapitel 2: Zahlen, Folgen, Reihen 2.1 Naturliche Zahlen

2.1 Naturliche ZahlenDie naturlichen Zahlen hat uns der liebe Gott gegeben, allesandere ist Menschenwerk.

(Leopold Kronecker)

Tatsachlich sind ganze, rationale, reelle und komplexe Zahlen aus den naturlichen Zahlen ab-geleitet und von daher tatsachlich eine ”Erfindung“ des Menschen. Aber selbst die naturlichenZahlen sind in der modernen Mathematik nicht gottgegeben, sondern eine Menge, welche diePeano-Axiome erfullt:

• 1 ist eine naturliche Zahl.

• Jede naturliche Zahl n hat einen “Nachfolger” n∗, der auch eine naturliche Zahl ist.

• Fur alle naturlichen Zahlen n gilt n∗ 6= 1.

• Fur alle naturlichen Zahlen n und m gilt: Wenn n∗ = m∗ dann ist auch n = m.

• Wenn die Menge T nur naturliche Zahlen enthalt, 1 enthalt und, wenn sie n enthalt, damitauch n∗ enthalt, dann ist T gleich der Menge aller naturlichen Zahlen.

Damit erhalt man die Menge aller positiven ganzen Zahlen. Naturlich wird man sich an dieublichen Konventionen halten, also 1∗ mit 2 bezeichnen, 1∗∗ = 2∗ mit 3, 1∗∗∗ = 2∗∗ = 3∗ mit 4usw. Ob man die naturlichen Zahlen mit Null oder Eins beginnen laßt, ist eher Geschmackssa-che, in diesem Skriptum wird ein Mittelweg gegangen und auf eine weite verbreitete Notationzuruckgegriffen:

N = {1, 2, 3, 4, . . .} N0 = {0, 1, 2, 3, . . .}

2.1.1 Summen und Produkte

Eines der wichtigsten Dinge, die man mit naturlichen Zahlen tun kann, ist das Zahlen. So werdennaturliche Zahlen oft als Laufzahlen oder Indizes (Einzahl Index ) fur Summen und Produkteverwendet. Die Summe von n Zahlen, die mit gekennzeichnet werden, kann man daher kurz als

n∑

k=1

ak = a1 + a2 + . . . + an

schreiben. Das kleine k ist hier die Laufvariable, sie nimmt alle Werte von 1 bis n an. Analogschreibt man fur ein Produkt von n Zahlen

n∏

k=1

ak = a1 · a2 · . . . · an.

An sich werden Summen und Produkte rekursiv definiert. Das bedeutet, eine Summe n-terOrdnung wird auf eine (n − 1)-ter Ordnung zuruckgefuhrt, diese auf eine Summe (n − 2)-terOrdnung und so fort. Dieses Spiel wird so lange fortgesetzt, bis man nur mehr eine Summe ersterOrdnung vorliegen hat, die man leicht definieren kann:

n∑

k=1

ak =

an +n−1∑

k=1

ak fur n ≥ 2

a1 fur n = 1

n∏

k=1

ak =

an ·n−1∏

k=1

ak fur n ≥ 2

a1 fur n = 1

3


Fakultat und Binomialkoeffizient

Die Zahl n!, gesprochen ”n Faktorielle“ oder ”n Fakultat“, ist ein ganz besonderes Produkt,namlich das aller naturlichen Zahlen von Eins bis n:

n! =n∏

k=1

k = 1 · 2 · 3 · . . . · n

Per Definition ist ubrigens 0! = 1 gesetzt worden, was sich spater noch als praktisch erweisenwird. Naturlich kann man auch die Fakultat rekursiv anschreiben:

n! ={

n · (n− 1)! fur n ≥ 11 fur n = 0

Eine besonders wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik spielt der Bino-mialkoeffizient (

n

k

)=

n!k! · (n− k)!

,

gesprochen ”n uber k“. Er gibt die Anzahl der Moglichkeiten an, aus einer Menge von n Objektengenau k auszuwahlen. Da es immer nur eine Moglichkeit gibt, kein oder alle Objekte auszuwahlen,ist

(nn

)=

(n0

)= 1. Wahlt man genau ein Objekt oder alle bis auf eines (damit wahlt man genau

eines, das man nicht will), gibt es n Moglichkeiten:(n1

)=

(n

n−1

)= n. Ganz allgemein gilt

auch: Wahlt man k Objekte aus, laßt man damit die ubrigen links liegen, was einer negativenAuswahl entspricht, fur die es genau gleich viele Moglichkeiten geben muß:

(nk

)=

(n

n−k

). Weitere,

allerdings weniger wichtige Rechenregeln fur Binomialkoeffizienten sind:(

n + 1k

)=

n + 1n− k + 1

(n

k

) (n

k + 1

)=

n− k

k + 1

(n

k

) (n + 1k + 1

)=

(n

k + 1

)+

(n

k

)

In der Praxis, besonders in vielen Beweisen,in denen derartige Ausdrucke vorkommen, istes meist sicherer, diese Binomialkoeffizientengemaß Definition in Quotienten von Fakultatenaufzuspalten. Konkrete Zahlenwerte lassen sichleicht aus dem Pascalschen Dreieck ablesen. Je-de Zahl darin ist die Summe ihrer beiden oberenNachbarn. In der (n+1)-ten Zeile stehen die Bi-nomialkoeffizienten

(nk

)mit k = 0, 1, . . . n.

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Fur beliebige Zahlen α ∈ R ist der Binomialkoeffizient definiert durch(

α

k

)=

α · (α− 1) · (α− 2) · . . . · (α− k + 1)k!

Gelegentlich stoßt man auch auf den Ausdruck n!!: Das bedeutet das Produkt aller geraden bzw.ungeraden Zahlen von n bis Zwei bzw. Eins.

n!! ={

n · (n− 2) · (n− 4) · . . . · 4 · 2 fur gerade nn · (n− 2) · (n− 4) · . . . · 3 · 1 fur ungerade n

4


Spezielle Summen und Produkte

Wie groß ist die Summe der ersten hundert naturlichen Zahlen? Bis man durch bloßes Zusam-menzahlen zu einem Ergebnis kommt, dauert es wahrscheinlich relativ lange. Doch es gibt eineelegantere und vor allem wesentlich schnellere Methode, so etwas auszurechnen. In unserem Fallbraucht man ja die Zahlen nicht der Reihe nach zu addieren, sondern man kann etwa zuerst ein-mal 1 und 100 zusammenzahlen und erhalt 101. Auch 2+99 ergibt wieder 101, ebenso 3+98 undso weiter. Man erhalt also insgesamt 50 Paare, die jeweils 101 ergeben, die gesuchte Summe istalso 50501. Verallgemeinert man diesen Schluß, kommt man zur arithmetischen Summenformel :

n∑

k=1

k =n (n + 1)

2

Eine weitere interessante Frage ist jene nach der Summe 1+q+q2 + . . .+qn, also nach∑n

k=0 qk.Wiederum wurde es unter Umstanden sehr lange dauern, diese Summe direkt auszurechnen, undwiederum hilft ein wenig Nachdenken:Wir nennen die Summe S = 1+ q + q2 + . . . + qn

und multiplizieren sie mit q: S · q = q + q2 + . . . + qn + qn+1

Nun subtrahieren wir die zweite von der ersten Gleichung:

S − S · q = 1 + q − q + q2 − q2 ± . . . + qn − qn − qn+1

Auf der rechten Seite bleiben nur 1 und qn+1 ubrig, alle anderen Terme kommen je einmal mitpositivem und einmal mit negativem Vorzeichen vor. Also erhalt man

(1− q) · S = 1 + qn+1

und daraus die geometrische Summenformel :

n∑

k=0

qk =1− qn+1

1− q

Auch manche Produkte braucht man nicht unbedingt Term fur Term auszumultiplizieren,sondern kann einfachere Formeln verwenden. Fur die ersten Potenzen (a + b)n gilt ja:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 und (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Die Zahlenkombinationen 1, 2, 1 und 1, 3, 3, 1 kommen vielleicht manchem bekannt vor, eshandelt sich einfach um die Binomialkoeffizienten. Allgemein gibt es namlich beim Ausmultipli-zieren

(nk

)Moglichkeiten, ein Produkt akbn−k oder an−kbk zu bilden, es gilt also der binomischer

Lehrsatz:

(a + b)n =n∑

k=0

(n

k

)akbn−k

1Der Legende nach wurde diese Aufgabe dem jungen Carl Friedrich Gauss in der Schule gestellt, weil seinMathematiklehrer ihn endlich einmal fur einige Minuten dazu bringen wollte, keine Fragen mehr zu stellen. DerVersuch mißlang, da Gauss die Aufgabe mit dem selben Trick, den auch wir angewendet haben, binnen kurzesterZeit loste.

5


2.1.2 Die Abzahlbarkeit

Es gibt genau drei Arten von Mathematikern: die, die zahlenkonnen, und die, die nicht zahlen konnen.

(sprichtwortlich)

Ein sehr wesentlicher Begriff beim Umgang mit Mengen ist ihre Machtigkeit. Fur endliche Men-gen ist das schlicht die Anzahl der Elemente, so hat etwa M = {1, a, 29, 3+i, xy} die MachtigkeitFunf. Wie ist es aber mit unendlichen Mengen?

Hier laßt sich die Machtigkeit nicht mehr durch eine einfache Zahl beschreiben. Man kannnaturlich die Machtigkeit als Unendlich bezeichnen – dabei zeigt sich aber, daß es verschiede-ne Arten von Unendlichkeit gibt. Dagegen sind konnen zwei unendliche Mengen, die intuitivverschieden groß wirken, durchaus die gleiche Machtigkeit haben.

Als Beispiel betrachte man die naturlichen und die gerade Zahlen. Intuitiv wurde man wohlsagen, daß es doppelt so viele gerade wie naturliche Zahlen gibt. Aber schreiben wir die beidenMengen einmal untereinander:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .}G = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, . . . }

Anscheinend entspricht jeder naturlichen Zahl n genau eine gerade Zahl 2n und umgekehrt.Wenn es aber eine solche in beide Richtungen eindeutige Zuordnung gibt, mussen beide Mengengleich machtig sein. Jede Menge, die gleich machtig ist wie jene der naturlichen Zahlen, wirdabzahlbar genannt.

Ganz allgemein gilt, daß zwei Mengen gleich machtig sind, wenn es eine bijektive bbildungzwischen ihnen gibt, also eine Zuordnung, die ein beide Richtungen eindeutig ist und beide Men-gen abdeckt. Spater wird gezeigt, daß die rationalen Zahlen abzahlbar sind – obwohl zwischenzwei naturlichen Zahlen unendlich viele rationale liegen! Ganz allgemein kann eine Teilmengeeiner unendlichen Menge noch ebenso machtig sein wie die ursprungliche Menge – ein Umstandder durchaus fur Verwirrung sorgen kann. Die Abzahlbarkeit ist ubrigens der ”kleinste“ Gradan Unendlichkeit, die reellen Zahlen beispielsweise sind bereits uberabzahlbar.

Exkurs: Auf den großen Mathematiker David Hilbert geht ein Gedankenexperiment zuruck,das als Hilberts Hotel bekannt ist und mit dessen Hilfe man sich die Eigenschaften (abzahlbar)unendlicher Mengen gut veranschaulichen kann.

Hilberts Hotel hat die bemerkenswerte Eigenschaft, (abzahlbar) unendlich viele Zimmer zubesitzen. Trotzdem, eines Abends kommt ein neuer Gast an und muß zur Kenntnis nehmen, daßalle Zimmer belegt sind. Empfangschef Hilbert denkt eine Weile uber das Problem nach undversichert dem Neuankommling schließlich, er werde ihm ein freies Zimmer beschaffen.

Hilbert bittet nun alle schon einquartierten Gaste, in das Zimmer mit der nachsthoherenNummer umzuziehen. Wer zuerst in Zimmer Eins gewohnt hat, ubersiedelt nach Zwei, wer inZwei gewohnt hat, nach Drei und so fort. Jeder, der vorher ein Zimmer gehabt hat, hat auchhinterher eines, und Nummer Eins ist fur den neuen Gast frei.

Doch am nachsten Abend stellt sich Hilbert ein noch viel großeres Problem: Wieder sind alleZimmer belegt, aber diesmal halt vor dem Hotel ein Bus mit (abzahlbar) unendlich vielen Gasten,die alle ein Zimmer wollen. Doch auch hier laßt sich eine Losung finden: Jeder Hotelgast wirdgebeten, in das Zimmer mit der doppelt so großen Nummer umzuziehen. Der Gast von Einsubersiedelt nach Zwei, der von Zwei nach Vier, der von Drei nach Sechs usw. Damit werdenunendlich viele Zimmer (alle mit einer ungeraden Nummer) fur die neuen Gaste frei.

6


2.1.3 Vollstandige Induktion

Wir kommen nun zu einer außerordentlich machtigen Beweistaktik, die sich in vielen Fallenanwenden laßt, wenn eine Aussage von einer naturlichen Zahl n abhangt. Einige Beispiele dafurhaben wir schon kennengelernt, etwa die Summenformeln

n∑

k=1

k =n (n + 1)

2und

n∑

k=0

qk =1− qn+1

1− q

Schon der Beweis dieser Formeln erforderte etwas Gehirnakrobatik, erst recht muhsam wurde

es, wenn man es Aussagen wie etwa ”

n∑

k=0

k + 12k

= 4− n + 32n

fur alle n ∈ N0“ so angehen wollte.

Deswegen wollen wir nun einen formalisierten Weg finden, solche Formeln zu beweisen. Alskonkretes Beispiel nehmen wir A(n): ”n

2 + 7 < n3 fur alle n ≥ 3“.Setzen wir n = 3 ein, erhalten wir 9+7 < 27, also eine wahre Aussage. Auch fur n = 4, 5, 6, . . .

ergeben sich jeweils wahre Aussagen. Bewiesen ist damit allerdings noch nichts, denn es konnteja eine (unter Umstanden sehr große) Zahl N geben, fur die A(N) plotzlich falsch ist. Einsetzenkonkreter Zahlen bringt uns also nicht weiter. Wechseln wir also die Taktik: Wenn fur irgendeine(nicht naher festgelegte) Zahl n die Aussage A(n) gilt, was laßt sich dann uber A(n+1) aussagen?In unserem Beispiel setzen wir also n2 + 7 < n3 fur ein bestimmtes n als richtig voraus. Nunbetrachten wir

(n + 1)2 + 7 = n2 + 7 + 2n + 1.

Jetzt haben wir aber bereits angenommen, dass n2 + 7 < n3 ist, und wenn wir das verwenden,konnen wir weiter schreiben

(n + 1)2 + 7 = n2 + 7 + 2n + 1 < n3 + 2n + 1.

Mit Sicherheit ist aber (n + 1)3 = n3 + 3n2 + 3n + 1 großer als n3 + 2n + 1, da ja nur nochzusatzlich ein positiver Term 3n2 + n vorkommt. Wir erhalten also weiter

(n + 1)2 + 7 = n2 + 7 + 2n + 1 < n3 + 2n + 1 < n3 + 3n2 + 3n + 1 = (n + 1)3,

insgesamt also (n + 1)2 + 7 < (n + 1)3. Wir haben also die gleiche Aussage, die wir fur einebeliebige Zahl n als wahr angenommen haben, auch fur die nachste, namlich n + 1 erhalten.Unter der Voraussetzung, dass A(n) stimmt, stimmt also auch A(n + 1). Die Zahl n war abernicht naher festgelegt, also gilt das Gleiche auch fur A(n + 1) und A(n + 2) usw. Findet manalso eine Zahl n0, fur die A(n0) gilt, dann stimmt A(n) auch fur alle n ≥ n0. In unserem Fall istaber bereits A(3) eine wahre Aussage, also stimmt n2 + 7 < n3 fur alle n ≥ 3.

Eine haufig zitierte Analogie ist die des Domi-nos: Will man erreichen, dass dabei alle Steineumfallen, dann genugen dazu zwei Dinge: JederStein muss im Fallen auch den nachsten umwer-fen – und der erste Stein muss per Hand umge-stoßen werden.Auch wenn das Ganze ein wenig nach Munch-hausens ”sich selbst an den Haaren aus demSumpf ziehen“ aussieht, es funktioniert und istlogisch einwandfrei begrundet.

7


Das Prinzip der vollstandige Induktion

Der Beweis einer von einer naturlichen Zahl n abhangigen Aussage A(n) fur n ≥ n0 mittelsvollstandiger Induktion verlauft formal in drei Schritten:

1) A(n) Induktionsannahme: Hier wird die zu beweisende Annahme formuliert.2) A(n0) Induktionsbeginn: muß eine wahre Aussage sein.3) n → n + 1 Induktionsschritt : Unter der Annahme, dass A(n) richtig ist, muß (z.B.

mittels Umformungen) gezeigt werden, dass A(n+1) ebenfalls richtig ist.Dabei sollte man auf die Verwendung der Induktionsannahme explizithinweisen, ansonsten ist der entsprechende Schritt fur andere oft schwernachzuvollziehen.

Noch einmal kurz das Prinzip: Aus A(n0) und A(n) → A(n+1) folgt selbstverstandlich A(n0+1),A(n0 + 2), A(n0 + 2), . . . und damit ist die Aussage fur alle n ≥ n0 bewiesen.

Hangt eine Aussage von mehreren naturlichen Zahlen ab, so braucht der Induktionsbeweis nurfur eine davon gefuhrt zu werden, allerdings darf sich fur die anderen dabei keine Einschrankungergeben. In manchen Fallen ist es einfacher, den Schluss von n − 1 nach n zu vollziehen, auchdass ist naturlich zulassig.

Der Induktionsschritt ist meist schwieriger zu vollziehen, dementsprechend wird das Haupt-gewicht meist auf diesen gelegt. Doch der Induktionsanfang ist nicht weniger wichtig, es gibtBehauptungen, die fur alle n ∈ N falsch sind und fur die sich der Induktionsschritt trotzdemdurchfuhren laßt. So ist beispielsweise

∏nk=1 k = 0 mit Sicherheit falsch, nimmt man aber an, es

ware fur n richtig, so ergibt der Induktionsschritt:∏n+1

k=1 k = (n+1) ·∏nk=1 k

Ann.= (n+1) · 0 = 0.

Exkurs: Induktion und Deduktion In der Logik und allgemein in der Wissenschaft gibtes zwei unterschiedliche Schlußweisen: Induktion und Deduktion. Ganz grob gesprochen ist In-duktion der Schluß vom Speziellen auf das Allgemeine, Deduktion der Schluß vom Allgemeinenauf das Spezielle. Wahrend die Deduktion logisch einwandfrei ist, ist der Schluß durch Induk-tion nicht zwingend richtig (die einzige Ausnahme ist die vollstandige Induktion)! Als Beispiel:Setzen wir Newtons Gravitationsgesetz als richtig voraus, so konnen wir daraus deduktiv denSchluß ziehen, daß ein Stein nach unten fallt, daß sich die Erde auf einem Kegelschnitt um dieSonne bewegen muß und anderes mehr. Stimmt das Gravitationsgesetz, so stimmen auch dieseVorhersagen. Nun fallt aber ein Naturgesetz nicht vom Himmel, und so muß man zuerst denumgekehrten Weg gehen. Aus vielen Beobachtungen leitet man induktiv ein Naturgesetz ab,ob es sich nun um das Gravitationsgesetz, die Maxwell-Gleichungen oder die Evolutionstheoriehandelt. Erst aus solchen Gesetzen lassen sich deduktiv Schlusse ziehen. Wegen der prinzipiellenUnzuverlassigkeit der Induktion kann man sich aber nie vollkommen sicher sein, daß die aufsolchem Weg abgeleiteten Erkenntnisse wirklich wahr sind. Naturlich, wenn sich eine Theoriemit den Beobachtungen deckt und wenn sie Vorhersagen macht, die sich spater auch tatsachlichals richtig erweisen, spricht viel fur ihre Gultigkeit. Es kann aber immer passieren, daß sich einEreignis der Theorie widerspricht, und dann ist diese zu verwerfen oder zumindest zu erwei-tern2. Die Mathematik lehnt ja die Induktion (mit Ausnahme der vollstandigen) als Schlußweisevollkommen ab: Auch tausend Beispiele sind noch kein Beweis.

2Viele Vertreter solcher Theorien neigen allerdings dazu, einfach das Ereignis selbst zu ignorieren. Provo-kant, aber nicht ganz unwahr gesagt: Neue Theorien setzen sich nicht durch, indem sich die Vertreter der altenuberzeugen lassen, sondern indem diese mit der Zeit aussterben.

8


2.1.4 Ubungsaufgaben – vollstandige Induktion

Man beweise durch vollstandige Induktion:n∑

k=1

(k − 1)2 <n3

3fur alle naturlichen n.

n = 1: 0 < 13 ist offensichtlich richtig

n → n + 1:n+1∑

k=1

(k − 1)2 =n∑

k=1

(k − 1)2 + n2 laut Induktionsannahme<

<n3

3+ n2 =

n3 + 3n2

3<

n3 + 3n2 + 3n + 13

=(n + 1)3

3

Man beweise fur naturliche Zahlen n ≥ 2:n∏

k=2

(1− 2

k (k + 1)

)=

13

(1 +

2n

)

n = 2: 1− 22 · (2 + 1)

=23

=13

(1 +

22

)stimmt.

n → n + 1:n+1∏

k=2

(1− 2

k (k + 1)

)=

n∏

k=2

(1− 2

k (k + 1)

)·(

1− 2(n + 1) (n + 2)

)lt. Ind.−Ann.=

=13

(1 +

2n

)· (n + 1) (n + 2)− 2

(n + 1) (n + 2)=

13· n + 2

n· n (n + 3)(n + 1) (n + 2)

=

=13· n + 3n + 1

=13· n + 1 + 2

n + 1=

13·(

1 +2

n + 1

), was zu beweisen war.

Man zeige fur n ∈ N:n−1∑

k=0

(n + k) (n− k) =n (n + 1) (4n− 1)

6

n = 1:0∑

k=0

(1 + k) (1− k) = 1 =1 · 2 · 3

6stimmt.

n− 1 → n:n∑

k=0

(n + 1 + k) (n + 1− k) =n−1∑

k=0

(n + 1 + k) (n + 1− k) + (2n + 1) =

=n−1∑

k=0

((n + k) (n− k) + (2n + 1)) + (2n + 1) =

=n−1∑

k=0

(n + k) (n− k) +n−1∑

k=0

(2n + 1) + (2n + 1) laut Induktionsannahme=

=n (n + 1) (4n− 1)

6+ n (2n + 1) + (2n + 1) =

n (n + 1) (4n− 1)6

+6 (n + 1) (2n + 1)

6=

=(n + 1) (4n2 − n + 12n + 6)

6=

(n + 1) (4n2 + 8n + 3n + 6)6

=

=(n + 1) (n + 2) (4n + 3)

6, womit die Behauptung bewiesen ist.

Man beweise, dass 5n − 1 durch 4 teilbar ist.

n = 1: 5− 1 = 4 ist naturlich durch 4 teilbar.n → n + 1: 5n+1 − 1 = 5 · 5n − 1 = 4 · 5n︸︷︷︸

durch 4 tb.

+ 5n − 1︸︷︷︸tb. lt. Ann.

ist ebenfalls durch 4 teilbar.

9


Man beweise induktiv die beiden Summenformeln a)n∑

k=1

k =n (n + 1)

2und b)

n∑

k=0

qk =1− qn+1

1− q.

a) n = 1:1∑

k=1

k = 1 =1 (1 + 1)

2stimmt.

n → n + 1:n+1∑

k=1

=n∑

k=1

+(n + 1) nach Annahme=n (n + 1)

2+ (n + 1) =

=n (n + 1)

2+

2 (n + 1)2

=(n + 1) (n + 2)

2.

b) n = 0:0∑

k=0

qk = 1 =1− q

1− qstimmt.

n → n + 1:n+1∑

k=0

qk =n∑

k=0

qk + qn+1 nach Annahme=1− qn+1

1− q+ qn+1 =

=1− qn+1

1− q+

qn+1 − qn+2

1− q=

1− qn+2

1− q.

Man beweise∏n

k=1(1 + xk) ≥ 1 + x1 + x2 + . . . + xn, wenn alle xk ∈ (−1, 0) oder alle xk > 0sind und leite daraus die Bernoulli-Ungleichung (1 + a)n ≥ 1 + na fur a > −1 ab.

n = 1: 1 + xk ≥ 1 + xk ist eine wahre Aussage.n → n + 1: Unter den Voraussetzungen fur xk ist xj xk > 0 und 1 + xk > 0.

n+1∏

k=1

(1 + xk) = (1 + xn+1) ·n∏

k=1

(1 + xk)lt. Ann.≥ (1 + xn+1) · (1 + x1 + x2 + . . . + xn) =

= 1 + x1 + x2 + . . . + xn + xn+1 + xn+1x1 + . . . xn+1xn > 1 + x1 + x2 + . . . + xn+1.Fur die Wahl x1 = . . . = xn = a erhalt man sofort die Bernoulli-Ungleichung fur a ∈ (−1, 0) odera > 0, fur den Fall a = 0 erhalt man trivialerweise 1n ≥ 1 + n · 0. Schließt man den Fall a = 0 aus,so erhalt man fur n ≥ 2 statt des ”≥“ ein echt ”>“.

Man beweise fur alle n ∈ N die Formeln∑

k=1

k · 2k = 2 + 2n+1(n− 1).

n = 1: 1 · 2 = 2 + 2 · 0 stimmt naturlich.

n → n + 1:n+1∑

k=1

k · 2k =n∑

k=1

k · 2k + (n + 1) · 2n+1 laut Induktionsannahme=

= 2 + 2n+1 · (n− 1) + (n + 1) · 2n+1 = 2 + 2n+1 · (n− 1 + n + 1) == 2 + 2n+1 · 2n = 2 + 2n+2 n.

Scheitert der Beweis von ”2n + 1 ist gerade fur alle n ≥ 100 am Induktionsanfang, am Indukti-onsschritt oder an beidem?

201 ist ungerade, womit der Induktionsanfang nicht gegeben ist, der Induktionsschritt hingegenlaßt sich vollziehen: 2 (n + 1) + 1 = 2n + 1︸︷︷︸

gerade nach Annahme

+2 ware gerade.

10

Kapitel 2: Zahlen, Folgen, Reihen 2.2 Folgen

2.2 Zahlenfolgen

Nach den naturlichen Zahlen stellen wir in diesem Abschnitt nun ein Konzept vor, das sich alseines der wichtigsten der gesamten Analysis erweisen wird, das der (unendlichen) Folgen. Erstmit ihrer Hilfe kann man zum Begriff des Grenzwertes vordringen, und nur mit diesem kann manwiederum alles, was spater noch kommen wird – Stetigkeit, Ableitungen, Integrale und mehr –auf ein solides Fundament stellen.Aber immer langsam, was versteht man nun uberhaupt einmal unter einer Folge? Eine solcheerhalt man, wenn man mittels einer vollig beliebigen Vorschrift jeder naturlichen Zahl n eindeutigeine reelle Zahl an zuordnet. Diese Zahlen bilden nun eine Folge, hier eine reelle Zahlenfolge. Diean werden dabei als Folgenglieder bezeichnet, fur eine Folge schreibt man gewohnlich {an}∞n=1,{an}n∈N oder auch kurz {an}; runde Klammern sind dabei ebenso ublich wie geschwungene.

Bsp: Beispiele fur solche Folgen waren etwa:{an} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . .},{bn} =

{1, 1

2 , 13 , 1

4 , 15 , 1

6 , 17 , . . .

},

{cn} ={

14 , 1

2 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .},

{dn} = {1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, . . .},{en} =

{2,√

3, 3√

5, 4√

7, 5√

11, . . .},

{fn} ={0, 3

2 , −23 , 5

4 , −45 , 7

6 , . . .},

{gn} = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .},aber ohne weiteres auch{hn} =

{1,√

π, 27256 , 1024, π2

6 , −144, . . .}

,

selbst wenn hier das Bildungssgesetz ein wenig unklar erscheint

N → Rn 7→ an

1 7→ a1

2 7→ a2

2 7→ a3

4 7→ a4

. . . 7→ . . .

Die Zuordnung selbst kann durch eine explizite Formel erfolgen, aber durch eine verbale Bil-dungsvorschrift, rekursiv oder auf jede andere denkbare Art. Die Schreibweise mit den dreiPunkten wird oft verwendet, es sollte aber dann unmittelbar klar sein, wie es weitergehen soll,nicht so wie bei der Folge {hn} im oberen Beispiel.3

Bsp: Mittels an = n oder bn = 1n wird also genauso eine Folge erklart wie mit ”en ist die

n-te Wurzel der n-ten Primzahl“ oder ”g1 = 1, g2 = 1, gn+2 = gn + gn+1“.

Ein wenig schlampig werden Folgen oft direkt durch ihre Bildungsvorschrift gekennzeichnet, also

”die Folge an = (−1)n

1+n “ statt ”die Folge {an} mit an = (−1)n

1+n “. Der Kurze zuliebe wird das auchin diesem Text gelegentlich passieren. Neben den hier behandelten Zahlenfolgen gibt es naturlichauch Folgen von fast beliebigen Objekten, vor allem Funktionenfolgen werden spater noch einewichtige Rolle spielen.Graphisch veranschaulicht werden Zahlenfolgen meist auf eine von zweiArten: In der aufwandigeren tragt man an gegen n auf (wie spater auchbei Funktionsgraphen; und tatsachlich sind Folgen ja Funktionen N→ R).Fur die Folgen {an} bis {cn} aus dem obigen Beispiel erhalt man dafurdas rechts dargestellte Bild. Oft verzichtet man bei Folgen aber auf eineAchse und zeichnet einzelne Folgenglieder direkt auf der Zahlengeradenein:

3Strenggenommen laßt sich aus einer endlichen Anzahl von Folgengliedern naturlich die Bildungsvorschrift niemit Sicherheit feststellen.

11


Beschranktheit und Monotonie

Zahlenfolgen haben auf den ersten Blick große Ahnlichkeiten mit Mengen; der wichtigsteUnterschied ist, dass bei Folgen eine Ordnung vorgegeben ist. Wahrend bei Mengen mitM1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .} und M2 = {2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, . . .} naturlich M1 = M2 ist, sind{an} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .} und {bn} = {2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, . . .} zwei vollkommen unter-schiedliche Folgen.

Oft macht es aber Sinn, die Menge A aller Folgenglieder an zu betrachten. Auf diese Weisekonnen wir namlich manche Begriffe, die fur Teilmengen von R (oder allgemeiner eines geord-neten Korpers bzw. metrischen Raumes) definiert sind, recht einfach auf Folgen ubertragen:

So heißt eine Folge an nach oben beschrankt, wenn es eine reelle Zahl M gibt, so dass an ≤ Mfur alle n ∈ N, nach unten beschrankt, wenn es ein m ∈ R gibt, so dass an ≥ m fur alle n ∈ Nund beschrankt, wenn sie nach oben und unten beschrankt ist.

Bsp: {an} mit an = n ist nach unten,{bn} mit bn = 1

n nach oben und unten,{dn} mit dn = (−1)n+1 ebenfalls nach oben und unten sowie{fn} mit fn = (−1)n + 1

n wieder nach oben und unten beschrankt.

Neben der Beschranktheit gibt es noch eine andere sehr wichtige Eigenschaft von Folgen, dieMonotonie. Ist jedes Folgenglied gleich groß oder großer als das vorangegangene, so heißt dieFolge monoton wachsend, schließt man auch den Fall der Gleichheit aus, so spricht man vonstrenger Monotonie. Analoges gilt fur kleiner werdenden Folgenglieder und monotones Fallen.Ist eine Folge sowohl monoton wachsend als auch monoton fallend, dann ist sie konstant, alsoan = a1 fur alle n.

Bsp: So sind an = n und cn = 2n−3 streng monoton wachsend. Das ist zwar vollkommenoffensichtlich, der formale Beweis laßt sich aber auch auf raffiniertere Beispiele uber-tragen. Im ersten Fall ergibt sich sofort: an+1−an = n+1−n = 1 > 0, die Differenz derFolgenglieder ist immer positiv. Im zweiten Fall konnte man ebenfalls so argumentieren,noch eleganter ist aber die Betrachtung des Quotienten cn+1

cn= 2n−2

2n−3 = 2 > 1, auch dasbedeutet streng monotones Wachsen.Die Folge bn = 1

n ist streng monoton fallend, denn bn+1 − bn = 1n+1 − 1

n = n−(n+1)n·(n+1) =

− 1n·(n+1) < 0. Hingegen sind dn = (−1)n+1 und fn = (−1)n + 1

n sicher nicht monoton,die Folgen springen ja standig zwischen positiven und negativen Werten hin und her.Im ersten Fall etwa erhalt man fur die Differenz zweier Folgenglieder dn+1 − dn =(−1)n+2 − (−1)n+1 = (−1)n+2 + (−1)n+2 = 2 · (−1)n+2 = 2 · (−1)n.

Beschranktheit Monotones Wachstum

12


2.2.1 Konvergenz und Grenzwert

Betrachtet man die Folge an = 1n so fallt auf, dass sich ihre Werte mit großer werdendem n

immer mehr der Null nahern. So scheint die Null, auch wenn sie gar kein Folgenglied ist, fur dieFolge doch irgendwie charakteristisch zu sein.

Aber immer schon langsam. Um das ”irgendwie charakteristisch“ etwas exakter zu fassen:Was macht die Besonderheit dieser Zahl bezogen auf die Folge in unserem Beispie aus? Dochwohl, dass der Abstand der Foglenglieder zu ihr beliebig klein wird, d.h. |an − 0| < ε fur jedesbeliebige ε > 0, wenn nur n groß genug ist.

Anders gesagt: Wenn wir eine ε-Umgebung (wieder mit beliebig kleinem ε > 0 des Punktesx = 0 betrachten, dann liegen fast alle (also alle bis auf endlich viele) Folgenglieder in dieserUmgebung:

Dies erweitern wir nun auf den ganz allgemeinen Fall: Wenn es zu einer Folge {an} eine Zahl Agibt, so dass der Abstand der Folgenglieder an zu A, also |an−A| fur genugend großes n beliebigklein wird, so nennen wir die Folge konvergent und A den Grenzwert der Folge.

Symbolisch schreibt man das (vom lateinischen limes fur Grenze) als

limn→∞ an = A

oder kurzer. an −→n→∞ A bzw. uberhaupt nur an → A. Etwas formaler ausgedruckt, liest sich die

”Abstand beliebig klein“-Bedingung als:

{an} ist konvergent zum Grenzwert A,⇐⇒

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N : |an −A| < ε

Die Zahl N wird im allgemeinen naturlich von ε abhangen, deshalb schreibt man dafur auchgerne Nε. Ihr genauer Wert ist aber nicht entscheidend (und wenn die Bedingung |an − A| furalle n > N erfullt ist, gilt das ebenso fur alle n > N ′ mit einem beliebigen N ′ ≥ N .

Bsp: Die Folgen an = (−1)n

n , bn = n2+n+12n2+n−7

und cn = 1−n!1+n! sind jeweils konvergent mit den

Grenzwerten limn→∞ an = 0, limn→∞ bn = 12 , limn→∞ cn = −1.

Was hier recht einleuchtend, vielleicht sogar ein wenig trivial ausieht, ist das Ergebnis jahr-hundertelanger Bemuhungen, das Fundament, auf dem nahezu die gesamte Analysis auf dereinen oder anderen Weise aufbaut. Mittels Konvergenz von Folgen begrundet man beispielswei-se Grenzwerte von Funktionen und damit wiederum die gesamte Differentialrechnung, ebensoist das Konzept des Integrals das Ergebnis eines ahnlichen Grenzprozesses.

13


Rechenregeln fur Grenzwerte

Aus der Definition des Grenzwerts lassen sich naturlich sofort einige allgemeine Aussagen undRechenregeln ableiten. So ist klar, dass nicht jede Folge einen Grenzwert haben wird, manbetrachte z.B. an = n oder cn = (−1)n. Folgen, die nicht konvergent sind, nennt man divergent4.

Gibt es aber fur eine Folge einen Grenzwert, so ist dieser eindeutig bestimmt. Klar, denn gabees zwei unterschiedliche Grenzwerte A1 und A2, so hatten diese einen endlichen Abstand d12, undfur ε < d12 konnten nicht in einer ε-Umgebung von jedem dieser Werte fast alle Folgengliederliegen. Fundamentale Rechenregeln fur konvergente Folgen sind:

• Wenn {an} und {bn} konvergente Folgen sind, so ist auch {an + bn} konvergent mit:

limn→∞(an + bn) = lim

n→∞ an + limn→∞ bn

• Ebenso ist dann {an · bn} konvergent mit limn→∞(an · bn) = lim

n→∞ an · limn→∞ bn

• Aus limn→∞ an = 0 folgt: lim

n→∞(an · bn) = 0, wenn {bn} beschrankt ist.

• Konstanten konnen vor den Grenzubergang gezogen werden: limn→∞(c · an) = c · lim

n→∞ an.

Vorsicht, die Umkehrung der obigen Regeln muss keinesfalls gelten! Betrachtet man etwaan = (−1)n und bn = (−1)n+1 sind beide divergent, die Summenfolge {an + bn} ist hingegenklar konvergent: lim

n→∞(an + bn) = limn→∞((−1)n + (−1)n+1) = lim

n→∞((−1)n − (−1)n) = limn→∞ 0 = 0

”Epsilontik“

Zum Beweis der obigen Rechenregeln greift man meist direkt auf die Definition des Grenzwerteszuruck. Man nimmt also ein ε > 0 als gegeben an und zeigt dann, dass der Abstand zwischendem aktuellen Folgenglied und dem Grenzwert fur genugend großes n kleiner als dieses ε wird.Da ε je beliebig klein gewahlt werden kann, ist damit der Beweis erbracht.

Bsp: Wir beweisen die erste der obigen Rechenregeln, also dass aus limn→∞ an = A undlimn→∞ bn = B unmittelbar limn→∞(an + bn) = A + B folgt. Wenn {an} konvergentzum Grenzwert A ist, gibt es zu jedem ε ein N1 ∈ N, so dass |an − A| < ε

2 fur n >N1 wird (der Abstand soll ja beliebig klein werden konnen). Außerdem gibt es einN2, so dass |bn − B| < ε

2 fur n > N2 ist. N sei die großere der beiden Zahlen N1

und N2, also N = max(N1, N2). Damit gilt aber fur alle n > n (man beachte dieDreiecksungleichung):|(an + bn)− (A + B)| = |(an −A) + (bn −B)| ≤ |an −A|+ |bn −B| < ε

2+

ε

2= ε

Diese Beweise werden aufgrund der intensiven Verwendung von ε > 0 halb scherzhaft unter

”Epsilontik“ zusammengefaßt; aus ihrem Umfeld stammt auch der wahrscheinlich kurzeste Ma-thematikerwitz:

Epsilon kleiner Null.5

4Gibt es fur eine Folge {an} zu jedem R ∈ R ein n ∈ N, so dass an > R bzw. an < R fur alle n > N ist, wenndie Folge also uber jede beliebige Schranke wachst oder unter jede fallt, so nennt man sie bestimmt divergent undschreibt symbolisch auch lim

n→∞an = +∞ bzw. lim

n→∞an = −∞.

5Es handelt sich dabei weniger um einen wirklichen Witz, eher um eine Art Indikator: Man erzahlt ihn aufeiner Party – die, die lachen, sind Mathematiker.

14


2.2.2 Konvergenzkriterien fur Folgen

Arbeitet man mit der direkten Definition von Grenzwert und Konvergenz, so erweist sich dieUberprufung bei komplizierteren Folgen oft als recht aufwendig oder unpraktisch. Zudem mussman dazu den Grenzwert ja schon kennen. Im Folgenden werden daher noch drei Kriterien vorge-stellt, mit deren Hilfe man die Konvergenz von Folgen manchmal auf leichtere Weise uberprufenkann:

• Hauptsatz uber monotone Zahlenfolgen: Eine nach oben beschrankte monoton wach-sende Folge ist konvergent, ebenso eine nach unten beschrankte monoton fallende.Das ist unmittelbar einsichtig, wenn eine Folge immer wachst, einen gewissen Wert abernicht uberschreiten kann, muss sie ja wohl einen Grenzwert haben, und analog fur dasFallen.

• Cauchy-Kriterium: Wenn es fur jedes ε > 0 eine naturliche Zahl N gibt, so dass|an − am| < ε fur alle n,m > N ist (Cauchy-Folge), dann ist die reelle Zahlenfolge{an} konvergent.Man beachte, dass (im Gegensatz zur ”normalen“ Konvergenz) im Cauchy-Kriterium derGrenzwert A uberhaupt nicht vorkommt (”inneres Kriterium“), man kann also die Kon-vergenz uberprufen, ohne den Grenzwert uberhaupt zu kennen. Allerdings ist das Cauchy-Kriterium rechnerisch meist schwierig zu handhaben. Außerdem ist zu beachten, dassdieses Kriterium etwa fur Folgen in den rationalen Zahlen Q nicht anwendbar ist, da Qnicht vollstandig ist (dazu mehr in ??).

• Sandwich-Kriterium: Wenn an ≤ bn ≤ cn fur alle bis auf endlich viele n und limn→∞ an =

limn→∞ cn =: A ist, so folgt daraus: Auch {bn} ist konvergent und hat den Grenzwert A.

Zum Beispiel hat die Folge {bn} mit bn = 1+ sin nn den Grenzwert Eins, weil wegen | sinn| ≤

1 immer gilt an := 1− 1n ≤ 1 + sin n

n ≤ 1 + 1n =: cn und weil ja lim

n→∞ an = limn→∞ cn = 1 ist.

Kompliziertere Grenzwerte konnen mittels Umformungen in einfachere aufgespalten werden.Dabei ist aber zu beachten, dass das nur zulassig ist, wenn alle so entstehenden Einzelgrenzwerteauch tatsachlich existieren und insgesamt keine unbestimmte Form (wie etwa 0

0) erhalten wird:

limn→∞

1 + 1n

1 + 1n2

=lim

n→∞(1 + 1n)

limn→∞(1 + 1

n2 )=

1 + limn→∞

1n

1 + limn→∞

1n2

= 1 limn→∞

(1 +

1n

)n

6=(

1 + limn→∞

1n

) limn→∞n

Zur effektiven Berechnung von Grenzwerten ist es gut, die folgenden Limiten zu kennen:

limn→∞

n√

a = 1, limn→∞

n√

n = 1, limn→∞

n√

n! = ∞, limn→∞

an

n!= 0, lim

n→∞

(1 +

1n

)n

= e ≈ 2, 71828

Außerdem ist limn→∞

1nα = 0 fur jedes α > 0. Das kann man bei der Berechnung der Grenzwerte

von Folgen ausnutzen, deren Glieder rationale Funktionen in n sind, die also die Form an =Cpnp+Cn−1np−1+...+C1n+C0

Drnr+Dr−1nr−1+...+D1n+D0haben. Man dividiert Zahler und Nenner durch die hochste irgendwo

vorkommende Potenz nmax(p,r). Wegen limn→∞

1nα = 0 spielen nun nur mehr die Koeffizienten dieser

Potenz eine Rolle.

Bsp: Wir erhalten limn→∞

4n2 − 7n + 22n2 + n + 11

= limn→∞

4− 7n + 2

n2

2 + 1n + 11

n2

=4− 0 + 02 + 0 + 0

= 2

15


2.2.3 Limes superior und Limes inferior

In viele Fallen wird es fur eine Folge keinen Grenzwert geben (also eine Zahl, fur die in jederbeliebig kleinen Umgebung fast alle Folgenglieder liegen), sehr wohl aber einige Werte, bei denenman in jeder noch so kleinen Umgebung unendlich viele Folgenglieder findet.

Nehmen wir zum Beispiel an = (−1)n + 1n . Hier liegt zwar Divergenz vor, aber in jeder

Umgebung von x = 1 und x = −1 finden sich unendlich viele Folgenglieder (fast alle geradenbzw. fast alle ungeraden). Wir konnen also die Folge {an} in zwei Teilfolgen unterteilen:

bk := a2k = 1 +12k

ck := a2k+1 = −1 +1

2k + 1

die beide konvergieren: bk → 1, ck → −1.Im allgemeinen Fall kann es naturlich viele Punkte geben, bei denen sich Folgenglieder haufen

(

und wiederholen dabei auch gleich noch etwas Topologie: Die Glieder einer Folge {an} bilden(siehe Einleitung) eine Menge A, die unter Umstanden auch Haufungspunkte haben kann. Esgilt nach Bolzano-Weierstraß ja sogar, daß jede beschrankte unendliche Menge zumindest einenHaufungspunkt haben muss. In jeder Umgebung eines solchen Haufungspunktes H muss zumin-dest ein Element liegen, das heißt, die Folgenglieder drangen sich an den Haufungspunkt beliebigdicht heran. Zusammen mit allen Werten, die von der Folge unendlich oft angenommen werden(wie etwa x1 = −1 und x2 = 1 von dn = (−1)n+1), bilden die Haufungspunkte die Menge derVerdichtungspunkte. In jeder Umgebung eines Verdichtungspunktes liegen also unendlich vieleFolgenglieder.

Der großte dieser Verdichtungspunkte heißt Limes superior(lim supn→∞ an oder limn→∞an), der kleinste heißt Limes inferior(lim infn→∞ an oder limn→∞an).

Bsp: Fur die Folge {fn} ={0, 3

2 , −23 , 5

4 , −45 , 7

6 , −67 , 9

8 , . . . , (−1)n + 1n , . . . ,

}gilt:

lim supn→∞ fn = 1 und lim infn→∞ fn = −1.Es kann naturlich fur eine Folge der Fall sein, dass Limes superior und Limes inferior zu-

sammenfallen. In diesem Fall spricht man bei beschrankten Folgen einfach vom Grenzwert oderLimes einer Folge (A = limn→∞ an). Außerhalb jeder Umgebung von A durfen demnach nurendlich viele Folgenglieder liegen.

Der Begriff des Grenzwerts einer Folge ist einer der wichtigsten, wenn nicht der wichtigsteder gesamten Analysis.

16


2.2.4 Ubungsaufgaben – Folgen

Man berechne den Grenzwert der Folge an = n− n ·√

1 + 1n .

an = n ·(1−

√1 + 1

n

)=

n·�1−√

1+ 1n

�·�1+√

1+ 1n

�1+√

1+ 1n

=n·(1−(1+ 1

n )1+√

1+ 1n

=n·(− 1

n )1+√

1+ 1n

= − 1

1+√

1+ 1n

Damit erhalt man problemlos limn→∞

an = limn→∞

−1

1 +√

1 + 1n

=−1

1 +√

1 + 0= −1

2

Man berechne den Grenzwert der Folge an =

√4n(n− 2)−

√2n(n− 1)√

3n(n + 3).

an =

√4n(n− 2)−

√2n(n− 1)√

3n(n + 3)·

√1

n2√1

n2

=

√4(1− 2

n )−√

2(1− 1n )

√3(1 + 3

n )

limn→∞

an = limn→∞

√4(1− 2

n )−√

2(1− 1n )

√3(1 + 3

n )=

√4(1− 0)−

√2(1− 0)√

3(1 + 0)=

2−√2√3

Man untersuche die Folgen an = (−1)n√n(√

n + 1−√n)

und bn =1 + 2 + 3 + . . . + n

n + 2− n

2auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls die Grenzwerte.

an = (−1)n√

n

(√n + 1−√n

) (√n + 1 +

√n)

√n + 1 +

√n

= (−1)n√

n(n + 1)− n√n + 1 +

√n

= (−1)n

√n√

n + 1 +√

n

Nun ist limn→∞

√n√

n + 1 +√

n=

12; wegen des (−1)n ist {an} also divergent.

bn =∑n

k=1 k

n + 2− n

2=

n (n + 1)/2n + 2

− n

2=

n (n + 1)2(n + 2)

− n(n + 2)2(n + 2)

=n2 + n− n2 − 2n

2(n + 2)= − n

2n + 4

limn→∞

bn = limn→∞

(− n

2n + 4·

1n1n

)= lim

n→∞

(− 1

2 + 4n

)= − 1

2 + 0=

12

Man berechne den Grenzwert der Folge an =2 + 4 + 6 + . . . + 2n

1 + 3 + 5 + . . . + (2n− 1).

an =2(1 + 2 + . . . + n)

1 + 2 + . . . + (2n− 1))− 2(1 + 2 + . . . + (n− 1))=

2n (n+1)2

(2n−1) 2n2 − 2 (n−1) n

2

=

=n (n + 1)

n(2n− 1)− (n− 1)n=

n + 12n− 1− n + 1

=n + 1

n−→

n→∞1

Man berechne den Grenzwert der Folge an =√

n2 + n−√

n2 − n.

an =(√

n2 + n−√n2 − n)(√

n2 + n +√

n2 − n)√n2 + n +

√n2 − n

=n2 + n− (n2 − n)√n2 + n +

√n2 − n

=2n√

n2 + n +√

n2 − n

limn→∞

an = limn→∞

2√1 + 1

n +√

1− 1n

=2√

1 + 0 +√

1− 0= 1

17


Man zeige, dass mit [an, bn], wobei an =1

(n + 1)2

n−1∑

k=0

(k + 1) und bn =1

(n + 1)2

n+1∑

k=1

k ist, eine

Intervallschachtelung vorliegt. Welche reelle Zahl wird dadurch definiert?

an =1

(n + 1)2

n∑

`=1

` =1

(n + 1)2·(n

2(n + 1)

)=

n (n + 1)2(n + 1)2

=n

2(n + 1)

bn =1

(n + 1)2

n+1∑

k=1

k =1

(n + 1)2

(n + 1

2(n + 2)

)=

(n + 1) (n + 2)2(n + 1)2

=n + 2

2(n + 1)

Man erkennt schon limn→∞ an = limn→∞ bn = 12 . Mit diesem Wissen kann man versuchen, die

Folgenglieder noch etwas umzuformen:

an =12− 1

2+

n

2(n + 1)=

12− n + 1

2(n + 1)+

n

2(n + 1)=

12− 1

2(n + 1)wachst streng monoton

bn =12− 1

2+

n + 22(n + 1)

=12− n + 1

2(n + 1)+

n + 22(n + 1)

=12

+1

2(n + 1)fallt streng monoton

Fur die Differenz der beiden Folgen gilt: bn−an = 1n+1 → 0. Da beiden Folgen den gleichen Grenz-

wert haben, die eine monoton wachst, die andere monoton fallt, liegt eine Intervallschachtelungvor, sie definiert die Zahl 1

2 .

Gegeben ist an =(

2n

3n + 1

)(−1)n

+(−1)n n

2(n + 1)− 1

2. Man bestimme lim sup

n→∞an und lim inf

n→∞ an.

Bei Ausdrucken, in denen (−1)n vorkommt, bieten sich meist Fallunterscheidungen an:

gerade: n = 2k a2k =4k

6k + 1+

2k

4k + 2− 1

2−→k→∞

46

+24− 1

2=

23

ungerade: n = 2k + 1 a2k+1 =(

4k + 26k + 4

)−1

− 2k + 14k + 4

− 12−→k→∞

64− 2

4− 1

2=

12

Demnach ist lim supn→∞

an =23

und lim infn→∞

an =12.

Man zeige, daß die Folge an = (n+a)n an

nn·n! fur jede reelle Zahl a konvergiert und bestimme denGrenzwert.

Wir wissen limn→∞

an = limn→∞

((n + a)n

nn· an

n!

)= lim

n→∞

(n + a

n

)n

· limn→∞

an

n!.

Nun kennt man bereits (oder sollte zumindest kennen) limn→∞

(n + a

n

)n

= limn→∞

(1 +

a

n

)n

= ea.

Weiters ist limn→∞

an

n!= 0 – das sieht man am einfachsten, indem man ein allgemeines Folgenglied

explizit anschreibt:an

n!=

a · a · . . . · a1 · 2 · . . . · n . Sowohl im Zahler als auch im Nenner steht ein Produkt von

n Faktoren, aber wahrend diese uber dem Bruchstrich den immer den Wert a haben, werden siedarunter mit wachsendem n immer großer, und fur n → ∞ geht der Ausdruck gegen Null. BeideGrenzwerte existieren, damit ist der Grenzwert des Produkts gleich dem Produkt der Grenzwerte,und man erhalt lim

n→∞an = ea · 0 = 0.

18


2.2.5 Rekursive Folgen

Neben den Folgen, deren Glieder durch eine explizite Formel angegeben sind, an = f(n), habenvor allem jene Folgen große Bedeutung, die rekursiv definiert werden. Sie machen ublicherweiseauch (sei es jetzt bei realen Problemen oder bei Prufungen) die meisten Probleme.

Eine Folge, deren Glieder nicht durch eine explizite Bildungsvorschrift (), sondern aufbauendauf vorangegangene Folgenglieder angegeben werden (z.B. , gegeben), nennt man eine rekursiveFolge. kann gewohnlich erst berechnet werden, wenn bereits alle vorherigen Folgenglieder be-kannt sind. Bsp: Eines der bekanntesten Beispiele fur eine rekursive Folge ist die Fibonacci-Folgemit der Bildungsvorschrift : , , und , also den Werten . Diese Folge ist divergent, der Quotienthingegen konvergiert gegen den Goldenen Schnitt (proportio divina) . Die meisten Erkenntnisseuber rekursive Folgen werden durch vollstandige Induktion gewonnen, mittels dieser kann manfast alle entsprechenden Beweise fuhren. Um die Konvergenz einer rekursiven Folge nachzuwei-sen, gibt es in den meisten Fallen nur zwei Moglichkeiten: Kann man (induktiv) zeigen, daß dieDifferenz immer großer bzw. immer kleiner als Null ist (die Folge also monoton ist) und daß dieFolge nach oben bzw. nach unten beschrankt ist, so ist die Konvergenz bewiesen. Die andereMoglichkeit ist die Anwendung des (meist aufwendigen) Cauchy-Kriteriums. Zur Erinnerung:Monotonie und Beschranktheit

Cauchy-Kriterium: Wenn es fur alle eine naturliche Zahl gibt, so daß der Abstand kleiner alswird, wenn nur n und m großer als sind, dann ist die Folge konvergent.

Hat man erst einmal bewiesen, daß eine rekursive Folge konvergent ist, ist das Berechnendes entsprechenden Grenzwertes zumindest im Prinzip nicht mehr schwer. Im Grenzfall gehennamlich alle , , usw. in den Grenzwert a uber. Man erhalt damit eine implizite Gleichung , die

”nur noch“ nach a aufgelost werden muss. Bsp: Fur die Folge , erhalt man als erste Glieder, man kann vermuten, dass die Folge monoton wachsend und durch 1 nach oben beschranktist. Beide laßt sich leicht mittels Induktion beweisen: ; : ; : lt. Induktionsannahme ; : ; : Furden Grenzwert erhalt man nun Gelingt es nicht, auf einfachem Weg eine passende Schranke zufinden, hilft es oft, den Grenzubergang formal durchzufuhren, auch wenn nicht sicher ist, obdie Folge wirklich konvergiert. Die so gefundene Zahl kann probeweise als Schranke eingesetztwerden. Erhalt man so einen Grenzwert, der nicht in Frage kommt, etwa weil er kleiner ist alsein bestimmtes Folgenglied und die Folge monoton steigt, ist die Divergenz nachgewiesen.

19


Exkurs: Kaninchen und der Goldene SchnittNaturlich divergiert die Fibonacci-Folge offensichtlich gegen Unendlich. Der Quotient zweier

Folgenglieder allerdings strebt gegen einen konstanten Wert:

φ := limn→∞

an+1

an=

1 +√

52

Diese Zahl heißt der Goldene Schnitt (oder auch proportio divina, die gottliche Teilung) undstammt ursprunglich aus geometrischen Uberlegungen:

Teilt man namlich eine Strecke a in zwei Teile und fordert, dass sich der großere Teil a1 zumkleineren a2 so verhalten soll wie die gesamte Strecke zum großeren, so ist genau

a

a1=

a1

a2= φ.

Abgesehen davon, dass der Goldene Schnitt eine Reihe netter arithmetischer Eigenschaften(z.B. 1 + φ = φ2, 1

φ = φ− 1) und interessante Darstellungen wie

φ =

√1 +

√1 +

√1 + . . . = 1 +

11 + 1

1 + 11 + . . .

hat, taucht er auch in den verschiedensten Bereichen der Naturwissenschaften ebenso wie derKunst auf.

20


Exkurs: Ein diskretes PopulationsmodellFibonaccis Kaninchen sind zwar als Ausgangspunkt fur mathematische Konzepte außerordent-lich dankbar, als okologisches Modell jedoch eine mittlere Katastrophe. Daneben existiert abereine ganze Reihe von Modellen, die ebenfalls auf rekursiven Folgen aufbauen, allerdings sehr vielrealistischer sind – und deren Vorhersagen dementsprechend mehr Aussagekraft haben.

Eines davon soll an dieser Stelle vorgestellt werden, namlich das diskrete logistische Popula-tionsmodell (wobei jedoch auch dieses unmittelbar an ein faszinierendes Phanomen heranfuhrt,dessen Implikationen weit uber dieses spezielle Modell hinausreichen):

Beginnen wir aber mit den Fragen, die am Anfang jeder Modellierung stehen sollten: Waswill man uberhaupt beschreiben? Mit welcher Genauigkeit soll das erfolgen? Welche Mittel wirdman dazu verwenden?

Das logistische Modell will nur Aussagen uber eine Population in einem begrenzten Lebens-raum machen. Dabei soll die gesamte Population zu einem bestimmten Zeitpunkt durch eineeinzige Zahl Pn ausgedruckt werden, und diese wiederum nur von der Population zu einemvorherigen Zeitpunkt, Pn−1 abhangen, also

Pn = f(Pn−1).

Unterschiede zwischen Individuen kommen also nicht zum Tragen, es kann dementsprechendweder eine Alters- noch eine sonstige Struktur beschrieben werden. Außerdem kennen wir diesePopulation nur zu (diskreten) Zeitpunkten mit klar definierten Abstand, d.h. wir haben P1, P2,P3 usw., im gesamten Modell kommt niemals ein P1,5 vor.

Diese Taktik wird von vornherein nur funktionieren, wenn man Arten betrachtet, deren Le-benszyklus dieser Beschreibung entgegenkommt. Ein gutes Beispiel waren viele Insektenarten,bei denen alle Tiere alle im Fruhling etwa zur gleichen Zeit schlupfen, sich spater paaren, Eierlegen und im spaten Herbst alle sterben. Hier hat man eine weitgehend homogene Population,die in jedem Jahr durch eine Kenngroße (vernunftigerweise die Zahl der Tiere, die es bis zurFortpflanzung bringen) beschrieben werden kann. Lebewesen mit einem komplexeren Lebens-zyklus hingegen, vielleicht gar noch einem echten Sozialsystem, sind sicher jenseits dessen, wassich mit einem solchen Modell behandeln laßt.

Soviel also zur Aussagekraft. Bevor wir die Modellgleichungen aufstellen, noch eine kleineVereinfachung:

xn+1 = r · xn · (1− xn)

21


2.2.6 Ubungsaufgaben – rekursive Folgen

{an} ist definiert durch a0 = 1, a1 = 2, an+2 = an+1 + an. Man beweise:(

32

)n ≤ an ≤ 2n

Induktiv: n = 0:(

32

)0 = 1 ≤ 1 ≤ 1 = 20 stimmt; n = 1:(

32

)1 = 32 ≤ 2 ≤ 2 = 21 stimmt ebenfalls.

(n, n + 1) → n + 2 an+2 = an+1 + an ≥(

32

)n+1 +(

32

)n = 52 ·

(32

)n> 9

4 ·(

32

)n =(

32

)n+2

an+2 = an+1 + an ≤ 2n+1 + 2n = 3 · 2n < 4 · 2n = 2n+2

Man untersuche an+1 = 1 +√

1 + an, a1 = 0 auf Konvergenz und bestimme ggf. den Limes.

Ausrechnen: {an} = {0, 2, 2.73, 2.93, . . .}Vermutung: {an} ist monoton wachsend und an ≤ 3

Monotonie: an+2−an+1 =√

1 + an+1−√

1 + an; wenn an+1 > an ist, muss demnach auchan+2 > an+1 sein. Weil a2 = 2 > 0 = a1 ist, wachst die Folge monoton.

Schranke: a1 < 3. Induktionsannahme: an < 3, daraus folgt an+1 < 1 +√

1 + 3 = 3, dieFolge ist nach oben beschrankt und wegen der Monotonie konvergent.

Grenzwert:a = 1 +

√1 + a bzw. a− 1 =

√1 + a und nach Quadrieren a2 − 2a + 1 = 1 + a

bzw. a2−3a = a(a−3) = 0. Von den beiden Losungen a = 0 und a = 3 kommtnur die zweite in Frage: limn→∞ an = 3.

Man untersuche an+1 = a2n + an, a1 = 1

4 auf Konvergenz und bestimme ggf. den Grenzwert.

Aus an+1 = a2n + an und a1 > 0 folgt weiter an > 0 fur alle n ∈ N. Wegen an+1 − an =

a2n +an−an = a2

n ist die Folge streng monoton wachsend und durch a1 = 14 nach unten beschrankt.

an+1 = an · (an + 1) ≥ an · 54 ≥ an−1 ·

(54

)2 ≥ . . . ≥ a1 ·(

54

)n wachst uber jede Schranke. Demnachist {an} nach oben unbeschrankt, also divergent.Alternativer Nachweis der Divergenz: Der formale Grenzubergang n → ∞ liefert die impliziteGleichung a = a2 + a mit der einzigen Losung a = 0. Dies steht aber im Widerspruch zummonotonen Wachsen einer Folge mit positiven Gliedern, {an} kann deshalb nicht konvergent sein.

Man untersuche an+1 = C+an2 , a1 = 0, C > 0 auf Konvergenz und bestimme ggf. den Grenzwert.

Die ersten Glieder der Folge sind {an} = {0, C2 , 3C

4 , 7C8 , . . .}, man kann also monotones Wachsen

und Beschranktheit nach oben vermuten. Fur die Monotonie erhalt man an+1−an = C2 + an

2 −an =C−an

2 . Solange also an < C ist, ist an+1 > an. Nun zeigt man Beschranktheit nach oben durch C(und damit auf einen Schlag auch die Monotonie) ganz einfach mittels Induktion. Ist an < C, soist an+1 = C+an

2 < C+C2 = C. Die Folge ist also konvergent und man erhalt fur den Grenzwert

A = limn→∞ an (wenig uberraschend) A = A+C2 , also A = C.

Gegeben ist die Folge an+1 = 2an−1 mit a1 = a ∈ R. Man bestimme ein explizites Bildungsgesetzfur die Folgenglieder und untersuche, fur welche a ∈ R die Folge konvergiert.

Eine Berechnung der ersten Glieder zeigt: a1 = a, a2 = 2a− 1, a3 = 2(2a− 1)− 1 = 4(a− 1) + 1;a4 = 2(4(a− 1) + 1)− 1 = 8(a− 1) + 1. Man kann vermuten: an = 2n−1(a− 1) + 1, was allerdingsnoch mittels vollstandiger Induktion bewiesen werden sollte:an+1 = 2an − 1 Ann= 2(2n−1(a− 1) + 1)− 1 = 2n(a− 1) + 2− 1 = 2n(a− 1) + 1Der Induktionsanfang ist bereits gemacht, demnach stimmt die Rekursionsformel. Man erkenntauch sofort, daß die Folge divergiert, wenn nicht gerade a = 1 ist (der Ausdruck wachst fur a > 1uber und fallt fur a < 1 unter jede Schranke). Die Folge ist also nur konvergent fur a = 1.

22

Kapitel 2: Zahlen, Folgen, Reihen 2.3 Unendliche Reihen

2.3 Unendliche Reihen

2.3.1 Einleitung, Historisches

Ein, ja geradezu der klassische Einstieg in die Theorie der Reihen geht auf auf den griechischenPhilosophen Zenon von Elea zuruck, und auch wir wollen ihn hier aufgreifen:

Es geht dabei um einen Wettlauf zwischen dem HeldenAchill, dem schnellsten Laufer der Antike, und einer Schild-krote. Da Achill zehnmal schneller ist als die (anscheinendgar nicht so langsame) Schildkrote, erhalt diese zum Aus-gleich einen Vorsprung von 100 Metern. Nun aber, so ar-gumentiert Zenon, kann Achill die Schildkrote niemals ein-holen, egal wie sehr er sich auch anstrengen mag. Denn, soerklart Zenon, weiter, wenn Achill die ersten hundert Meter

zuruckgelegt hat, ist die Schildkrote ja schon zehn Meter weiter. In der Zeit, die Achill furdiese Strecke benotigt, schafft sie aber einen weiteren Meter und ist immer noch vorn. So gehtes weiter, zehn Zentimeter, ein Zentimeter, . . . , der Abstand wird zwar standig kleiner, aberimmer ist die Schildkrote vorn und Achill hat das Nachsehen.

Auf ahnliche Art ”beweist“ Zenon auch, daß man nie von einem Ort zu einem anderen gelan-gen kann. Denn um von A noch B zu kommen, mußte man zuerst die halbe Strecke dazwischenzuruckgelegt haben. Dafur mußte man aber wiederum die davon die Halfte uberwunden haben,und so fort.

Nun sagt schon der Hausverstand, dass Achill seinen Gegner naturlich uberholen wird, unddass man doch von einem Ort zum nachsten kommen kann. Zenons Paradoxa (es gibt noch einigemehr) wenden sich eher gegen die Art, wie zu seiner Zeit mit dem Unendlichen argumentiertwurde, und fuhrt sie ins Absurde.

Wenn wir uns den Wettlauf noch einmal ansehen, spielt die Summe

100 + 10 + 1 + 0, 1 + 0, 01 + 0, 001 + . . .

dort eine wesentliche Rolle. Zenons Argument lautet ja eigentlich, dass die Summe von unendlichvielen positiven Zahlen auch unendlich groß sein muss. Aber kann das stimmen? Sehen wir unseinmal die ersten Teilsummen an:

s1 = 100 = 100s2 = 100 + 10 = 110s3 = 100 + 10 + 1 = 111s4 = 100 + 10 + 1 + 0, 1 = 111, 1s5 = 100 + 10 + 1 + 0, 1 + . . . = 111, 1 . . .

Anscheinend habe wir hier eine Zahlenfolge vor uns, von der wir annehmen, dass sie ge-gen 111, 1 = 111, 111111 . . . konvergiert. Bei dieser Marke wird Achill also wahrscheinlich dieSchildkrote uberholen. Ahnliche Probleme wie dieses fuhren direkt zur Theorie der unendlichenReihen. Allerdings ist es zwar manchmal hilfreich, aber definitiv nicht ganz richtig, sich eineReihe einfach als Summe mit unendlich vielen Gliedern vorzustellen. Tatsachlich werden wir dieReihen als spezielle Folgen ansehen, die unter bestimmten Umstanden naturlich einen Grenz-wert haben konnen. Doch bis man zu diesem in sich konsistenten Standpunkt gelangte, war eshistorisch ein langer und manchmal recht muhsamer Weg.

23


Auch nach Zenon standen Reihen immer wieder im Mittelpunkt mathematischer, philosophi-scher, ja sogar theologischer Diskussionen. Eines der beruhmtesten Beispiele ist dabei die Reihe

S = 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . .

Mit unterschiedlichen Begrundungen wurde ihr der Wert Null, Eins oder 12 zugewiesen, und

keine dieser Vorschlage wirkt ganz falsch. Fasst man namlich jeweils zwei Glieder zusammen, sokann man das auf folgende Weise tun:

S = 1− 1︸︷︷︸0

+1− 1︸︷︷︸0

+1− 1︸︷︷︸0

+ . . . = 0 + 0 + 0 + . . . = 0.

Genausogut konnte man aber auch so arbeiten:

S = 1 + (−1 + 1)︸︷︷︸0

+(−1 + 1)︸︷︷︸0

+(−1 + 1)︸︷︷︸0

− . . . = 1 + 0 + 0 + 0 + . . . = 1.

Mit derartigen Argumenten wurden anhand dieser Reihe sogar Gottesbeweise gefuhrt, denn,so lautete die Uberlegung, wenn 0 = 0 + 0 + 0 + . . . = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + . . . =1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + . . . = 1 + 0 + 0 + . . . = 1 ist, dann kann Gott auch die ganze Welt ausdem Nichts erschaffen haben.

Das letzte Ergebnis erhalt man, indem man die durch formale Division gewonnene Summen-formel

11− x

= 1 + x + x2 + x3 + x4 + . . .

anwendet: S = 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . . = 11−(−1) = 1

2 . Dieses Ergebnis wurde auch noch mitdiversen Argumenten untermauert (etwa, wenn zwei Bruder einen Edelstein immer untereinanderhin und her geben, so besitzt ihn jeder insgesamt die halbe Zeit).

In Wirklichkeit gilt diese Formel nur fur einen begrenzten Zahlenbereich, namlich |x| < 1,fruher allerdings wurde sie bedenkenlos fur alle x 6= 1 verwendet, uns selbst große Mathematikerwie Leibniz verteidigten seitenlang gewisse merkwurdige Resultate wie etwa

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + . . . = −1.

Erst langsam wurde deutlich, dass gar nicht alle Reihen uberhaupt einen definierten Werthaben mussen. Solche die das tun, nennt man wie bei Folgen konvergent, die anderen divergent.Tatsachlich wurde, etwa von Euler, teils recht erfolgreich, mit divergenten Reihen gerechnet –um das zu tun, braucht man aber ein gehoriges mathemtisches Fingerspitzengefuhl. So gerietendivergente Reihen allmahlich ins schiefe Licht, so schrieb etwa Nils Henrik Abel: ”DivergenteReihen sind ein Unglucksding, und es ist eine Schande, damit etwas zu beweisen.“ Mehr noch,er nannte sie sogar ”eine Erfindung des Teufels“.

So weit wollen wir zwar nicht gehen, aber es ist klar, dass wir klar fassen mussen, was Kon-vergenz in diesem Zusammenhang bedeutet – und wir brauchen eine Moglichkeit herauszufinden,welche Reihen denn nun konvergent sind und welche nicht.

24


2.3.2 Definition

Wie schon angedeutet wollen wir Reihen auf die Theorie der Folgen zuruckfuhren. Dazu nehmenwir eine beliebige Folge {ak} und bilden nun die Partialsummen

sn =n∑

k=1

ak = a1 + . . . + an

Die Reihe entsteht also gewissermaßen durch das Aufsummieren einer Folge, die Partialsummensn bilden selbst wieder eine neue Folge, die – je nach Aussehen von {ak} – konvergent oderdivergent sein kann.Im Falle der Konvergenz schreibt man fur den Grenzwert symbolisch

∞∑

k=1

ak := limn→∞ sn

und nennt die entsprechende Zahl den Wert der Reihe. Die Schreibweise suggiert die Auffassungeiner Reihe als ”Summe mit unendlich vielen Summanden“, es sei aber nochmals darauf hinge-wiesen, dass diese Vorstellung zwar manchmal hilfreich sein kann (insbesondere bei Aufstelleneiner Reihe), aber auch viele Gefahren in sich birgt – so gelten machen Regeln fur das Rechnenmit endliche Summen bei Reihen plotzlich nicht mehr.

Strenggenommen haben wir es mit dem Grenzwert einer speziell definierten Folge {an} zutun – und mit nichts sonst. Trotzdem wird die Schreibweise

∞∑

k=1

ak ≡ a1 + a2 + a3 + . . .

haufig verwendet, und auch wir werden uns dem gelegentlich anschließen.

Nehmen wir aber nun als erstes konkretes Beispiel die Reihe∞∑

k=0

12k

= 1 +12

+14

+18

+ . . .

Fur endliche Summen von analoger Gestalt gilt (wie bereits gezeigt)n∑

k=0

qk =1− qn+1

1− q.

Wenn nun n → ∞ geht, geht qn+1 gegen Null, sofern |q| < 1 ist. Man erhalt also allgemein furdie geometrische Reihe:

∞∑

k=0

qk = limn→∞

n∑

k=0

qk = limn→∞

1− qn+1

1− q=

11− q

fur |q| < 1 und somit fur den obigen Spezialfall q = 12 unmittelbar:

∞∑

k=0

12k

=1

1− 12

= 2,

wie es auch die graphische Anschauung (siehe rechts) nahelegen wurde. Fur|q| > 1 divergiert qn+1 mit n →∞, und damit auch die Reihe; auch fur |q| = 1liegen divergente Reihen vor, namlich

∑nk=0(−1)k bzw.

∑nk=0 1).

25


Wie man sich leicht uberzeugen kann, wird betragsmaßig kleiner als jede beliebige positiveZahl, wenn der Betrag von r kleiner als Eins und N groß genug ist. Eine Reihe der Form nenntman ubrigens geometrische Reihe, sie konvergiert eben gerade, wenn ist, ansonsten divergiertsie. In unserem Beispiel ist , also lautet der Wert der Reihe .

Wie man sich leicht uberlegen kann, muss fur eine konvergente Reihe∑∞

n1 an auf jeden Falllimn→∞ an = 0 sein, die Reihenglieder mussen also eine Nullfolge bilden.

Doch nicht jede Reihe, fur die das zutrifft, ist auch konvergent. Ein Beispiel fur eine solchedivergente Reihe ist die harmonische Reihe . Es ist zwar , von Konvergenz ist hier aber keineRede. Am besten sieht man das, wenn man die ersten Glieder der Reihe explizit anschreibt:

Die ersten beiden Glieder sind großer bzw. gleich . Nun faßt man die nachsten beiden Gliederzusammen: . Jedes der nachsten vier Glieder ist mindestens gleich , ihre Summe ist also wiederumgroßer als :

So kann man immer wieder Glieder zu Summen zusammenfassen, die großer sind als . Daßman dabei immer mehr Reihenglieder braucht, ist vollig egal - man hat ja unendlich viele zurVerfugung. Damit kann man den Wert der Reihe mit nach unten abschatzen - dieser Ausdruckwachst uber jede Schranke.

Die harmonische Reihe ist divergent.Halten wir das fest:

Die geometrische Reihe∞∑

k=0

qk konvergiert genau dann, wenn |q| < 1 ist,

sie hat dann den Wert1

1− q.

26


2.3.3 Absolute und bedingte Konvergenz

27


2.3.4 Konvergenzkriterien fur Reihen

Um die Konvergenz einer gegebene Reihe zu uberprufen, stehen diverse Kriterien zur Verfugung,von denen hier die wichtigsten vorgestellt werden sollen. Die meisten davon haben durchauseinschneidende Voraussetzungen (z.B. dass alle an ≥ 0 sind und monoton fallen); diese werdenbeim jeweiligen Kriterium explizit angegeben.

Quotientenkriterium

Hier betrachtet man den Grenzwert zweier aufeinanderfolgender Glieder der Reihe und kannfeststellen:

limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ =

< 1 Konvergenz= 1 keine Aussage> 1 Divergenz

Wenn der Grenzwert nicht existiert, konnen immer noch limes superior und limes inferior ei-ne Aussage bringen. Wenn sogar lim supn→∞

an+1

an< 1 ist, liegt ebenfalls Konvergenz vor, ist

dagegen bereits lim infn→∞an+1

an> 1, hat man divergentes Verhalten.

Bsp: Man untersuche die Reihe∑∞

n=12n

n ! auf Konvergenz. Dazu bilden wir mit an := 2n

n !

an+1

an=

2n+1

(n + 1) !·(

2n

n !

)−1

=2n+1

(n + 1) !· n !2n

=2 · 2n

(n + 1) · n !· n !2n

=2

n + 1→ 0 < 1,

die Reihe konvergiert demnach.

Wurzelkriterium

Mit dem Quotientenkriterium verwandt ist das Wurzelkriterium, in dem man die n-te Wurzeldes Betrags von an im Limes n →∞ betrachtet. Auch hier gilt:

limn→∞

n√|an| =

< 1 Konvergenz= 1 keine Aussage> 1 Divergenz

Sollte der Limes nicht existieren, genugt es in diesem Fall, lim sup n√|an| zu untersuchen, auch

dann zeigt ein Wert < 1 Konvergenz und einer > 1 Divergenz an; im Falle = 1 kann auch hierkeine Aussage getroffen werden.

Anm: Das Wurzelkriterium ist insofern ”starker“ als das Quotientenkriterium, als dass auchfur Falle, in denen das Quotientenkriterium keine Entscheidung bringt, noch manchmalAussagen erlaubt. (Das gilt allerdings nur dann, wenn der Grenzwert von an+1

annicht

existiert und auch lim sup und lim inf nicht weiterhelfen. Fur an+1

an→ 1, liefert auch

das Wurzelkriterium n√|an| → 1 und damit keine Entscheidung.) Versagt allerdings das

Wurzelkriterium, so bringt auch das Quotientenkriterium sicher keine Aussage.Bsp: Man untersuche die Reihe

∑∞n=1

(1− 1

n

)n2

auf Konvergenz:

n√|an| = n

√(1− 1

n

)n2

=(

1− 1n

)n

→ 1e

< 1,

die Reihe ist konvergent.

28


Vergleichskriterium

Das Vergleichskriterium versucht, die Konvergenz/Divergenz einer gegebenen Reihe∑∞

n=0 an

anhand einer anderen Reihe∑∞

n=0 bn zu uberprufen, deren Konvergenzverhalten bereits bekanntist. Ublicherweise wird es in einer der drei folgenden Arten verwendet (wir betrachten dabei nurReihen mit positiven Gliedern an):

• Wenn an ≤ bn fur fast alle n ist, und∑∞

n=0 bn konvergiert, dann konvergiert auch∑∞

n=0 an

(Majorantenkriterium, die Reihe∑∞

n=0 bn heißt dann eine konvergente Majorante).

• Wenn an ≥ bn fur fast alle n ist, und∑∞

n=0 bn divergiert, dann divergiert auch∑∞

n=0 an

(Minorantenkriterium,∑∞

n=0 bn heißt analog zu oben eine divergente Minorante).

• Wenn limn→∞ anbn

= C ∈ R+ ist, dann haben die beiden Reihen∑∞

n=0 an und∑∞

n=0 bn dasgleiche Konvergenzverhalten. Ansonsten gilt immerhin noch:

– Wenn anbn→ 0, und

∑∞n=0 bn konvergiert, dann konvergiert auch

∑∞n=0 an.

– Wenn anbn→∞, und

∑∞n=0 bn divergiert, dann divergiert auch

∑∞n=0 an.

Naturlich ist das Vergleichskriterium nur so gut wie die Reihen, die zum Vergleich zur Verfugungstehen. Insbesondere praktisch sind in dieser Hinsicht die schon von vorhin bekannten Reihen∞∑

n=0

qn . . .

{konv. f. |q| < 1div. f. |q| ≥ 1

∞∑

n=1

1nα

. . .

{konv. f. α > 1div. f. α ≤ 1

∞∑

n=1

1n · (lnn)α

. . .

{konv. f. α > 1div. f. α ≤ 1

Bsp: Man untersuche die Reihe∑∞

n=1n2−7n+1

4n4+3n3+2n2+nauf Konvergenz.

Die hochste Potenz im Zahler ist n2, die hochste im Nenner n4; man kann also vermuten,dass sich die Reihe ein analoges Verhalten haben wird wie

∑∞n=1

n2

n4 =∑∞

n=11n2 , also

Konvergenz vorliegt. Das gilt es nun noch zu beweisen. Mit an := n2−7n+14n4+3n3+2n2+n

undbn := 1

n2 erhalt man:

an

bn=

n2 − 7n + 14n4 + 3n3 + 2n2 + n

· n2

1=

n4 − 7n3 + n2

4n4 + 3n3 + 2n2 + n=

1− 7n + 1

n2

4 + 3n + 2

n2 + 1n3

→ 14∈ R+

Die beiden Folgen haben also gleiches Konvergenzverhalten, und wie erwartet konver-giert

∑∞n=1

n2−7n+14n4+3n3+2n2+n

tatsachlich.

Leibniz-Kriterium

Nun betrachten wir Reihen der Form∑∞

n=0(−1)n an mit an ≥ 0, also Gliedern mit jeweilswechselndem Vorzeichen. Hier gilt: Wenn an monoton fallend ist und an → 0 geht, dann ist dieReihe

∑∞n=1(−1)nan konvergent.

Bsp: Man untersuche die alternierende harmonische Reihe∑∞

n=1(−1)n 1n auf Konvergenz:

Diese Reihe hat auf jeden Fall die richtige Form mit wechselndem Vorzeichen undan = 1

n ≥ 0, auch dass limn→∞ an = 0 ist, ist klar. Was also noch zu uberprufen bleibtist die Monotonie:

an+1 − an =1

n + 1− 1

n=

n

n (n + 1)− n + 1

n (n + 1)= − 1

n (n + 1)< 0

Die alternierende harmonische Reihe ist also wie fruher schon behauptet tatsachlichkonvergent.

29


Verdichtungskriterium

Im Falle, dass in der Reihe∑∞

n=1 an die Glieder an alle positiv sind und monton fallen, wird dieKonvergenz einer Reihe schon von einer sehr viel ”dunneren“ Teilreihe bestimmt. Es gilt dabeider Cauchy’sche Verdichtungssatz:

Die Reihe∞∑

n=1

an konvergiert genau dann, wenn die ”verdichtete“ Reihe∞∑

n=1

2na2n konvergiert.

Cauchy-Kriterium

Im Gegensatz zu allen bisher angegebenen Kriterien setzt das Cauchy-Kriterium keine spezielleGestalt der an voraus und ist damit das allgemeinste hier verfugbare Kriterium – allerdingsist es auch technisch am anspruchsvollsten, und man wird es nur dann verwenden, wenn dieanderen Kriterien alle nicht anwendbar sind oder versagen. Auf Reihen umgelegt lautet seineFormulierung:

Eine Reihe∞∑

k=1

ak ist genau dann konvergent, wenn es zu jedem ε > 0 ein N ∈ N gibt, so dass∣∣∣∣∣

m∑

k=n+1

ak

∣∣∣∣∣ < ε fur beliebige m > n > N ist.

Analog zum letzten Abschnitt gilt auch hier das Kriterium nur dann, wenn man es mit re-ellen (oder komplexen) Zahlen zu tun, aber nicht notwenigerweise in einem ”unvollstandigen“Zahlbereich wie etwa Q.

30


Exkurs: Weitere Konvergenzkriterien fur Reihen

Neben den hier vorgestellten Konvergenzkriterien gibt es noch eine ganze Reihe anderer,die entweder auf Mittel zuruckgreifen, die erst spater in diesem Skriptum folgen (Integralkrite-rium) oder allgemein technisch anspruchsvoller sind (Kriterien von Kummer und Raabe). DerVollstandigkeit halber seien sie an dieser Stelle trotzdem kurz angefuhrt:

• Integralkriterium: Eine Reihe∑∞

n=n0f(n) mit monoton fallendem f(n) ist genau dann

konvergent, wenn∫∞n0

f(x) dx existiert. (Das Integral braucht nur an der oberen Grenzeausgewertet zu werden.) Das kann man sich anhand einer graphischen Darstellung unmit-telbar veranschaulichen:

• Kriterium von Kummer :

• Kriterium von Raabe:

31


Exkurs: Unendliche Produkte

32


2.3.5 Ubungsaufgaben – Reihen

Der Erwartungswert einer Große ist die Summe aller moglichen Werte gewichtetmit jeweils der Wahrscheinlichkeit fur ihr Eintreten. So ist der Erwartungswerteines (fairen) n-seitigen Wurfels

〈Wn〉 =1n

(1 + 2 + . . . + n) =1n

n (n + 1)2

=n + 1

2

Berechnen Sie, wie sich dieser Wert durch die Zusatzregel andert, dass beimWurfeln der hochsten Zahl n jeweils weitergewurfelt und das Ergebnis immerzum bisherigen addiert wird.

Aus dem Erwartungswert 1n (1 + 2 + . . . + n) wird nun

⟨W+

n

⟩=

1n

(1 + . . . + n +

1n

(1 + . . . + n +

1n

(. . .)))

Aus der Summe ist eine unendliche Reihe geworden, die man mit N = 1 + . . . + n = n (n+1)2

einfacher schreiben kann als:

⟨W+

n

⟩=

1n

N +1n2

N +1n3

N + . . . = N ·∞∑

k=1

1nk

= N ·( ∞∑

k=0

1nk

− 1

)= N ·

(1

1− 1n

− 1)

=

= N ·(

n

n− 1− 1

)= N · 1

n− 1=

n (n + 1)2

· 1n− 1

=n

n− 1· n + 1

2

Der Erwartungswert erhoht sich also um einen Faktor nn−1 .

Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz:

a)∞∑

n=1

2 + (−1)n

2n−1, b)

∞∑

n=1

1n + n2

, c)∞∑

n=1

(2n

n

)2−3n−1

a) n√|an| = n

√2 + (−1)n

2n−1=

n√

2 + (−1)n

2n−1

n

→ 12, die Reihe ist konvergent nach Wurzelkriterium

b) Abschatzung an =1

n + n2≤ 1

n2. Da die Reihe

∞∑n=1

1n2

konvergent ist, ist auch diese Reihe

konvergent (Majorantenkriterium).

c) Es ist an =(

2n

n

)2−3n−1 =

(2n)!n! n!

2−3n−1 und damit gilt∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ =(2n + 2)! 2−3n−4

(n + 1)! (n + 1)!·

n! n!(2n)! 2−3n−1

=(2n + 2) (2n + 1) 2−3

(n + 1) (n + 1)=

2 (n + 1) (2n + 1)23 (n + 1) (n + 1)

→ 24

=12

< 1, die Reihe ist

also konvergent.

Man untersuche die Reihe∞∑

n=1

1 · 3 · 5 · . . . · (2n + 3)n !

auf Konvergenz.

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ =1 · 3 · . . . · (2n + 3) (2n + 5) · n !

1 · 3 · . . . · (2n + 3) · (n + 1) !=

(2n + 5) · n !(n + 1) · n !

=2n + 5n + 1

→ 2 > 1, divergent

33



a)∞∑

n=1

(−1)n sin√

n

n5/2, b)

∞∑

n=1

3n

n3, c)

∞∑

n=1

ln√

n

n5/4

a)∣∣∣∣(−1)n sin

√n

n5/2

∣∣∣∣ ≤1

n5/2, die Reihe konvergiert, da auch

∞∑n=1

1n5/2

konvergiert.

b)∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ =3n+1/(n + 1)3

3n/n3=

3n+1 · n3

3n · (n + 1)3= 3 · n3

n3 + 3n2 + 3n + 1→ 3 > 1, divergent

c) Vgl. mit∞∑

n=1

1n9/8

:an

bn=

ln√

n/n5/4

1/n9/8=

ln√

nn9/8

n5/4=

ln(n1/2)n5/4−9/8

=12

lnn

n1/8→ 0, da der

Logarithmus ”im Unendlichen“ langsamer wachst als jede Potenz. Also ist die Reihe c)

”konvergenter“ als die bereits konvergente Vergleichsreihe.


a)∞∑

n=1

n · (√n + 1)n2 + 5n− 1

, b)∞∑

n=1

(−1)n 1n

(13

+1n

)n

, c)∞∑

n=1

sin2

(π ·

(n +

4n

))

a) Vergleich mit∞∑

n=1

1√n

liefert:an

bn=

(n3/2 + n) · √n

n2 + 5n− 1=

n2 + n3/2

n2 + 5n− 1=

1 + 1√n

1 + 5n − 1

n2

→ 1, die

Reihen haben gleiches Konvergenzverhalten und divergieren demnach beide.

b) Wurzelkriterium: n√|an| = 1

n√

n

(13

+1n

)→ 1

1

(13

+ 0)

=13

< 1, konvergent

c) sin2

(π ·

(n +

4n

))= sin2

(nπ +

4π

n

)= sin2

(4π

n

)=

(4π

n

)2 (sin

(4π

n

) /4π

n

)2

≤(4π)2

n2, d.h. die Reihe ist konvergent, weil

∞∑n=1

1n2

konvergent ist.

Man untersuche die Reihen∞∑

n=1

(−1)n

[e−

(1 +

1n

)n]und

∞∑

n=1

(4n

3n

)−1

auf Konvergenz.

1. Weil(

1 +1n

)n

monoton wachst und limn→∞

(1 +

1n

)n

= e ist, ist[e−

(1 +

1n

)n]eine

monoton fallende Nullfolge und die Reihe ist nach dem Leibniz-Kriterium konvergent.

2. Es ist an =(

4n

3n

)−1

=(

(4n)!(3n)! n!

)−1

=(3n)! n!(4n)!

und damit∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ =(3n + 3)! (n + 1)!

(4n + 4)!·

(4n)!(3n)! n!

=(3n + 3) (3n + 2) (3n + 1) (n + 1)!(4n + 4) (4n + 3) (4n + 2) (4n + 1)

=27n4 + . . .

256n4 + . . .→ 27

256< 1, konvergent.

Man bestimme alle x ∈ (−π, π), fur die die Reihe∞∑

n=1

(sin 2x)n konvergiert.

n√|an| = | sin 2x| ist kleiner Eins außer fur 2x = ±π

2 ,± 3π2 , . . . ⇐⇒ x = ±π

4 ,± 3π4 , . . .. In diesen

Fallen erhalt man die divergenten Reihen∞∑

n=1

1 bzw.∞∑

n=1

(−1)n. Die Reihe konvergiert also fur

x ∈ (−π, π) \ {− 3π4 ,−π

4 , π4 , 3π

4 }.

34

Kapitel 2: Zahlen, Folgen, Reihen 2.4 Reelle und komplexe Zahlen

2.4 Reelle und komplexe Zahlen

35

Kapitel 2: Zahlen, Folgen, Reihen 2.5 Erganzungsaufgaben

2.5 Erganzungen (Teil Zwei)

1. Man beweise fur alle n ≥ 1 die Gultigkeit von:

n∑

k=1

k3 =

(n∑

k=1

k

)2

2. Man berechne den Grenzwert der Folge an =(

1− 1n2

)n

.

3. Beweisen Sie: 7n − 2n ist fur alle n ∈ N durch 5 teilbar.

4. Man untersuche die Folge {an} mit

an =1

n + 1+

1n + 2

+ . . . +12n

auf Konvergenz.

5. Man untersuche die Folge {an} mit

an =n + sin n

3n + 1

auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls den Grenzwert.

6. Man untersuche die Reihe ∞∑

n=1

(n

n + 2

)2n2

auf Konvergenz.

7. Beweisen Sie die Summenformeln∑

k=1

2k + 1k2 (k + 1)2

= 1− 1(n + 1)2

und bestimmen Sie den Wert der unendlichen Reihe∞∑

k=1

2k + 1k2 (k + 1)2

8. Ein schwer Betrunkener kommt spat (bzw. recht fruh) nach Hause und steht nun vor derHaustur. An seinem Schlusselbund befinden sich N Schlussel, die er in seinem Zustandnicht mehr unterscheiden kann und die er deshalb auf gut Gluck probiert. Nun ist aber nichtnur zu betrunken, um den Haustorschlussel noch zu erkennen, er vergißt sogar zwischenjedem Versuch wieder, welche Schlussel er schon probiert hat. Wie viele Versuche benotigter im Mittel, bis er den richtigen Schlussel erwischt?

9. Untersuchen Sie, fur welche Werte von q ∈ R die Reihe∞∑

n=1

nqn

konvergiert und bestimmen Sie fur diese Falle den Wert der Reihe.

36


10. Eine Folge ist rekursiv definiert uber an+1 = λ+a2n

2 mit λ ∈ [0, 1] und a) a1 = 0, b)a1 = 1. Untersuchen Sie diese Reihe auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfallsden Grenzwert.

37


38

Inhaltsverzeichnis

2 Zahlen, Folgen, Reihen 12.1 Naturliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Summen und Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.2 Die Abzahlbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.3 Vollstandige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.4 Ubungsaufgaben – vollstandige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.1 Konvergenz und Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Konvergenzkriterien fur Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.3 Limes superior und Limes inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.4 Ubungsaufgaben – Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.5 Rekursive Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.1 Einleitung, Historisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.3 Absolute und bedingte Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.4 Konvergenzkriterien fur Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.5 Ubungsaufgaben – Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4 Reelle und komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5 Erganzungen (Teil Zwei) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

39

Zahlen, Folgen, Reihen - Mathematics TU Grazlichtenegger/ananf2.pdf · 2005. 1. 26. · Zahlen,...

Documents

Transcript of Zahlen, Folgen, Reihen - Mathematics TU Grazlichtenegger/ananf2.pdf · 2005. 1. 26. · Zahlen,...