y

20

10

0

-10

-20

Zu. Kap:itel 2

2.2.1.

y

160

120

80

40

2.2.2.

I 2

I 3

I 4

40

I 5

50

I 7

X

I 8

I 9

2.2.3.

I 10 x

-3 -2 -1

y

2

o 2 3 X

269

2.4.1. m 1. b = 4 2. m = 2, b = -1 3. m .. 1. b = 0 4. m .. 0, b = 4

y

2.5.1.

a) Nachfragefunktion

270

bekannt: Punkt 1 (0; 500) Punkt 2 (200; 0)

2-Punkteform: 0-500 500-p

200-0 O-x

p = 500 - 2,5x

Angebotsfunktion bekannt: Punkt (0; 100)

Steigung m = 1,5

Punktsteigungsform: 1,5 = 100-p

O-x

p l,5x + 100

x

b) p

500

400

300

P9' - 250

200

100

500 - 2.5x .. 1.5x + 100 x.. .. 100 POI - 250

c) Bei einem Preis von 200 DM ist die Nachfrage groBer als das Angebot. wie die Abbildung zeigt. nachgefragte Menge xn: 200 - 500 - 2.5xn

Xn = 120 angebotene Menge x.: 200 - 1.5x. + 100

x. - 66.67 Es besteht ein NachfrageUberhang von ca. 53 StUck.

2.5.2.

a) K(x) - 1.000 + 2x U(x) - 3x u. K

2000

1000

500 1000 xo

1500

KOPozit4ts9'renze x

U(x)

K(x)

271

G(x) - U(X) - K(x) - 0 - 3x - 1.000 - 2x

Xc - 1.000

b) Wenn der Preis auf 1.50 DM fallt. ist der StUck­deckungsbeitrag negativ. und es kann kein Gewinn erzielt werden. Die Steigung der Kostenfunktion ist dann groBer als die der Umsatzfunktion. so daB kein Schnittpunkt existiert.

2.6.2.

a) U(x}, - 590x - 14.75x'"

b)

272

G(x) - -15XZ + 570x 3.255

Die Nullstellen der Umsatzfunktion begrenzen den rele­vanten Bereich. Sie lauten X1 - 0 Xz - 40

x I 0

U 0 K 3.255 G -3.255

U. K. G

! 6000

5000

10

4.425 3.480

945

4000 L-.../.:-----~ 3000

2000

1000

20

5.900 3.755 2.145

30

4.425 4.080

345

O+---~~~-----r------TT-----;------~

x -1000

-2000

-3000

-4000

-5000

G(x) - 0 X1 - 7 Xz - 31

40

o 4.455

-4.455

Bei 7 Einheiten des Produktes wird die Gewinnschwelle erreicht. Der Preis. der verlangt werden muB. ist aus der Preisabsatzfunktion ablesbar. p(7) - 486.75 DM

c) Die Gewinnfunktion stellt eine nach unten geoffnete Parabel dar, die ihr Maximum wegen der Symmetrie in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen annimmt. Der maximale Gewinn wird bei der Absatzmenge von 19 StUck erreicht und hat einen Wert von 2.160 DM.

Zu Kap:1tel :3

3.4.3.

a) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen z-Achse: x 0, y - 0, z - 20

b)

y

x-Achse: y 0, Z = 0, x - 5 y-Achse: x = 0, Z = 0, y = 4

z

y

x

3

2

2 3 4 x

z - 0: Schnittgerade mit x-y-Ebene y = 4 - o,ex

273

x = 0: Schnittgerade mit z-y-Ebene z = 20 - 5y

z

20

16

12

8

4

2 3 4

c) z - 0, y = 4 - o.ax z -20, y - o,ax z = 40, y - 4 - o,ax

-5 -4 -3 -2

z

20

16

12

8

4

y

y

y 0: Schnittgerade mit z-x-Ebene z ... 20 - 4x

2 3 4

x

5

3.5.1. Graphische Ermittlung

274

Zeichnung des Ertragsgebirges. das durch die Produk­tionsfunktion aufgespannt wird. Parallel zur X1-X2-Ebene werden Schnittebenen durch das Ertragsgebirge gelegt. deren Hehe dem gesuchten y entspricht. Diese sich ergebenden Schnittkurven (Isohehenlinien) werden auf die X1-X2-Ebene projiziert. Auf diesen Iso­quanten sind aile Kombinationen der beiden Produktions-

x

faktoren ablesbar, die zu einer bestimmten Produktions­menge fUhren.

3.5.2.

Analytische Ermittlung Die gesuchte Produktionsmenge y - const wird in die Produktionsfunktion eingesetzt, die dann nach X1 oder X2 aufgelost wird.

x

446

Zu Kap:itel 4

4.3.1. f besitzt keine Sprungstelle, da ansonsten fUr ver­schiedene Definitionsintervalle unterschiedliche Funktionsgleichungen angegeben waren. Andere Unstetigkeitsstellen konnen bei dieser Funktion nur in DefinitionslUcken auftreten.

Nullstellen des Nenners: X1 ~ S X2 - -3 An den Stellen X1 und X2 ist die Funktion nicht definiert, damit liegen Unstetigkeitsstellen vor.

x - S 1 f(x) - ------ II> - IR \{S, -3}

(x - S) (x + 3) x + 3

An der Stelle X1 - S hat die Funktion eine behebbare LUcke.

lim f(x) - 1/8 x-)5-

lim f (x) - 1/8 x-)S+

275

Die stetige Erganzung lautet:

1 g - II> - IR \{-3}

x + 3

An der Stelle X2 - -3 liegt eine Poistelle mit Vor­zeichenwechsel vor. da

lim l/x + 3 - - m x-)-3-

lim l/x + 3 - + m x-)-J+

Zu. Kap:1tel :5

5.3.1. f(x) - 4x:l .... '" + 3 er - 2 In x + 3/5 f' (x) - 2/~x + 3 e" - 2/x

5.3.2. f' (x) - (3x'" - l/x)e" + (x:S - In x + 10)e"

(2x + l/~x) (x'" + 7) - (x'" + 2~x) 2x 5.3.3. f'(x) -

(x'" + 7) '"

14x + 7/~x - 3~X:S

5.3.4a. f' (x) - 50 (3x'" + 1/x"')49 (6x - 2/~)

5.3.4b. f' (x) - - 50 (3x'" + l/x"')-S:l (6x - 2/X:S)

5.3.4c. f' (x) - 1/50 (3x'" + 1/x"')-49 .... so (6x - 2/~)

5.3.4d. f' (x) - e (6x - 2/~)

5.3.4e. Potenzregel 3x'"' + 1/x'"

f' (x) - (In 20) 20 (6x - 2/X:S)

5.3.4f. f' (x) - -----

5.3.5a. f(x) - (x.x1 .... "'):l .... '" _ (x:s .... "'):l .... '" <_ x:s .... 4 3

f' (x) -

5.3.5b. f' (x) - 20·Z19 • (..Jx+l' + 1)' - 20. Z19. «x+l) 1 .... '" + 1)' - 20·Z19• (l/2(x+1)-1 .... "'»·1

276

- 20. (./x+l' + 1) 1 ....

1

2..Jx+1°

5.4.1.1. Nullstellen von fO X1 - O. X:z - -3. x,"S - -2 fO 0 (0) 36 ) 0 -) Minimum fOO(-3) - 18) 0 -) Minimum fO 0 (-2) - -12 < 0 -) Maximum

5.4.1.2. Nullstellen von fO X1 - O. X2 - -5/6 fO 0 0 0 0 (0) - 120 -) Sattelpunkt fO 0 (-5/6) - 2.89 ) 0 -) Minimum

5.5.1. f(x) - x'eM

1. Definitionsbereich unbeschrankt 2. keine DefinitionslUcken 3. x -) m : f(x) -) m

X -) -m : f(x) -) 0 da lim x/e lMI - 0 x-)-m

4. eine Nullstelle in x - 0 5. f 0 (x) - eM + X· ~ - 0 fUr x - -1

fO 0 (-1) - eM. (x + 2) - 0.3679 ) 0 -) Minimum 6. fO 0 hat eine Nullstelle in x - -2

f 00 0 (-2) - ~. (x + 3) - 0.1353 -) Wendepunkt 7. x von -m bis -2: fallend. rechtsgekrUmmt

x von -2 bis -1: fallend. linksgekrUmmt x von -1 bis m : steigend, linksgekrtimmt

8.

y

-1 x

5.5.2. Standardnormalverteilung

1. Definitionsbereich unbeschrankt 2. keine DefinitionslUcken

277

5.5.3.

278

3. x -) 00 : f(x) -) 0 x -) -m : f(x) -) 0

4. keine Nullstellen 5. X -0,5X2

f 0 (x) -- __ oe - 0 fUr x .. 0

.J2-ii' 1 -0,5xf:2 xf:2 -O,5xf:2

f 0 0 (x) -- _oe + __ oe ~2'11"i {21i'

1 -0,5xf:2 - _0 e (xf:2 - 1)

{Zi'

1 f 00 (0) '" - _

..fT1f -) Maximum fUr x '" 0

6. fO 0 hat Nullstellen in x - 1 und x - -1

x -0,5xf:2 fi 0 0 (x) - _0 e (-xf:2 + 3)

f OOO (_l) 7. x von -m

X von -1 x von 0 x von 1

8.

x f (x) ..

)('S-9x

..f2'i' + 0, fO 0 0 (1) + 0 -) Wendepunkte bis -1: steigend, linksgekrtimmt bis 0: steigend, rechtsgekrtimmt bis 1: fallend, rechtsgekrtimmt bis 00: fallend, linksgekrtimmt

o x

1. Definitionsbereich: Reelle Zahlen au~er 0, 3, -3

2. DefinitionslUcken a) x '"' 0 lim f(x) 1/9

x->O-lim f (x) - 1/9 x->O+

Rechts- und linksseitiger Grenzwert existieren und sind gleich. d.h. an der Stelle x = 0 liegt eine behebbare LUcke vor; die stetige Erganzung lautet 1

g(x) --­x2-9

b) x = 3 lim f(x) c -m x->3"" lim f (x) '"' CD

x->3+ Poistelle mit Vorzeichenwechsel

c) x = -3 lim f(x) - CD

x->-3-lim f(x) '"' -CD

x->-J+ Poistelle mit Vorzeichenwechsel

3. x -> CD: f(x) -> 0 x -> -CD : f(x) -> 0

4. keine Nullstellen 5. -2x

g' (x) '"' --- - 0 fUr x

g' '(x) - ----

g' '(0) - -0.0247 < 0

o

Maximum an der Stelle x - 0 fUr die stetige Erganzung; f hat keinen Extremwert. da 0 nicht im Definitionsbereich liegt.

6. g" hat keine Nullstellen. damit haben fund g keine Wendepunkte.

7. x von -CD bis -3: steigend. linksgekrtimmt x von -3 bis 0: steigend. rechtsgekrtimmt x von 0 bis 3: fallend. rechtsgekrtimmt x von 3 bis CD: fallend. linksgekrtimmt

279

8. y

0.6

0.6

0.4

2.

I ..

X

-0.4

-0.6

-0.8

5.6.1. Eine Nullstelle liegt (gerundet) bei 0.6926419 Die zweite Nullstelle liegt -1.7843598

5.7.2.1. GK - K' (x) - 3XZ - 50x + 250 K' (2) - 162 K' (8) 42 K' (18) - 322 GK' - K' '(x) - 6x - 50 - a fUr x - 8.3333 GK" - K' , '(8.33) - 6 ) a -) Minimum GK(8) - 42 und GK(9) - 43 Bei einer Produktion von 8 Einheiten sind die Grenzkosten minimal. Das Minimum der Grenzkostenfunktion ist gleichzeitig der Wendepunkt der Kostenfunktion.

5.7.2.2.a) U(x) - 1.500x - 0.05XZ U' (x) - 1.500 - O.lx

280

b) U'(x) - 0 fUr x - 15.000 U' '(0) - -0.1 -) Maximum p(15.000) - 750

c)

P. U'

1500

x

(Tsd.Sttick)

(Mio.DM)

U(x)

10

8

4

5 10 15 20 25

5.7.2.4. VeX) - 12x - 0,8X2 G(x) = -0,8X2 + lOx - 32 G' (x) = -1,6x + 10 - 0 fUr x - 6,25 G' '(6,25) < 0 -) Maximum p(6,25) - 7 G (6 , 25) .. -0, 75 Das Gewinnmaximum entspricht einem Verlustminimum.

P. U.

50

40

30

20

Pc ~7

10

0

U' • K. K'

K(x)

15

U' (xl

K' (xl

20 x

30 x

(Tsd.Sttick

281

5.7.2.5. J 200·2.000·50' Xopt:. - .. 250

8·40 Es mtissen 8 BesteIIungen aufgegeben werden.

5.7.2.6. Marktgieichgewicht in p = 70 und x .. 20 Preiselastizitat der Nachfrage ew,p .. -2·70/20 = -7 Preiselastizitat des Angebots e ....... 1·70/20 .. 3,5

Zu. Kap:l.tel 6

6.1.1. bz bz 6x2 - 2xy + 4y2 .. -X2 + 8xy + 9y2

.ox by

2. bz bz = a .. b

.ox by

3. bz bz x .. In y - .. -.ox by y

4. bz 6x bz 2y -= -

ox ..J6x2 - 2y2 by ~6x"' - 2y2'

5. bz X"'_y2 X,'"'-y2 x"'-Y'" e + x·2x·e .. e (1 + 2X2)

.ox

bz x"'-y2 - 2xY'e

by

6. bz bz 10x~ X",4 X:3"'X4 20x. 2 X:;, "'x",'" X4

bx~ .oX:;,

bz bz = 15x. 2 X:;,4 X",2 X4 5X. 2 X:;,4 X::s'"

.ox", bX4

6.2.1. bz bz b2 z b2 z b2 z 2x 3y2 = 2 6y

bz

.ox.."

.ox by .ox'" by2 bxby

2. bz bz 18x2 y'" = 12x'3 y

.ox by

282

1

0

02z '" 36xy'" .. 12x'"

ox'"

6.3. V(x.) - 1.800x. - 8x.'" V(x",) '" 2.000X2 - 10X22

02z '" 36x"'y

OXOy

G(x •• x",) .. 850Xl - 8x.'" + 950X2 - 10X2 2 - 15x.X2 - 3.000

oG '" 850 - 16x. - 15x2 - 0

ox.

oG = 950 - 20X2 - 15x. '" 0

x ... 28,9474 X2 '" 25,7895

02G 02G - 16 - - 20

OX1 2

(-16)· (-20) > (-15)2 -> Maximum

'" - 15

Oer Vnternehmer sollte gerundet 29 StUck von Produkt 1 zu einem Preis von 1.568 OM und 26 StUck von Produkt 2 zu einem Preis von 1.740 OM anbieten (GmAK = 21.552 OM).

6.4.3.1.

f* (x,y.z,.\) .. 5x+10y+20z-1/2 x'"'-1/4 Y"'-z""+,A (x+2y+4z-17)

of* -5-x+A-0

ox

of* '" 10 - 1/2 y + 2 A = 0

Oy

of* 20 - 2z + 4>. '" 0

oz

of* '" x + 2y + 4z - 17 = 0

Stationarpunkt: x = 1 y .. 4 z .. 2 A--4 f(1.4,2) '" 76,5

Zur Kontrolle Berechnung des Nutzens an benachbarten Stellen, die ebenfalls die Nebenbedingungen erfUllen: f(3.5,1) = 73,25 f(3,3.2)" 74.25 Es handelt sich um das Maximum der Nutzenfunktion.

283

6.4.3.2.

bf* - 1/2 X1 + 3.\ .. 0

bf* .. 1/4 xz + 2)." 0

bf* - X:s + 4.\ - 0

bf*

Stationarpunkt: X1 - 3 f(3.4.2) - 28.25

X:z .. 4 X:s .. 2

Benachbarte Punkte: f(5.3.1) - 29.875 f(3.2.3) - 29.25

Es handelt sich um das Minimum.

6.4.3.3.

Zielfunktion:

G _ O. 15 • ( 40x 2+0.002x

+ 30y )

3+0,0015y

Nebenbedingung: x + y - 500

Erweiterte Zielfunktion:

- x - y

). ... -0.5

G*-0.15· ( _ _ 4_0_X __ + 30y )

- x - y +..\ (x + y - 500) 2+0.002x 3+0.0015y

6x 4.5y + - x - y +). (x + y - 500)

2+0.002x 3+0.0015y

partielle Ableitungen:

bG* 6(2+0.002x)-6x·O.002 12 -- -1+..\- -1+).-0 bx (2+0.002x}2 (2+0.002x)2

284

bG* 4.5(3+0.0015y)-4.5y·0.0015 13.5 - - - 1+.\ - - 1+}. - 0 by (3+0.0015y)2 (3+0.0015y)2

bG* - - x + y - 500 - 0

Auflosung des Gleichungssystems:

12 13.5

(2+0.002x)2 (3+0.0015y)2

x - 500 - y

12 13.5

(2+1-0.002y)2 (3+0.0015y)2

12 13.5

9-0.012y+0.000004y2 9+0.009y+0.00000225YZ

0.000027y2 - 0.27y + 13.5 - 0

y2 - 10.000y + 500.000 - 0

Ys - 50.2525 Xs - 449.7475 Y2 - 9.949.7475 X2 - -9.449.7475 okonomisch nicht

relevant ). - -0.4274

Stationarpunkt: xs - 449.7475 Ys - 50.2525

Hinreichende Bedingung fUr Vorliegen eines Extremwertes

t:f2 G* 0 • 048

by2 (3+0.0015y)3

t:f2 G* - 0

bxby

f' ...... (x...y"")·f"yy(x...y,,,,) > (f" ... y(x...y",,»2

(-0.00196913) (-0.00139238) > 0 0.00000274 > 0

285

f" .... (x...y .. ) und f"yy(x...y .. ) sind negativ; daraus folgt. daB an der gefundenen Stelle ein Maximum vorliegt.

Zu Kap:i.tel 7

7.1.1. F(x) - 1/2 x:a + C

2. F (x) - e" + 1/7 x7' + C

3. F(x) - 3x2 - 3x + C

2.,j x=s' 4. F(x) ---+ C

3

5. F(x) - + 7x + C 8

6. F(x) - - l/x + C

7. F(x) - 2~x + C

8. F (x) - "Jf!5 + x"" - 1/2 x:a + 4/3 ...fx:"" - 9x + C

7.2.1. 71. 6667

2. 102.4

3. 1. 7183

4. 18

5.a) Nullstelle xo - - 2/3 auBerhalb des Intervalls. A - 32

b) Nullstellen X1 - 0 und X:z - 2 F - IF11 + IF21 + IF3 1 - 141 + 1-41 + 141 - 12

286

y

15

-2 -\ x

y

-2

\0

9

8

7.2.6. f(x) - 2~ - 4X'" + 2x

1. Definitionsbereich unbeschrankt 2 . keine DefinitionslUcken 3. x -) m: f(x) -) m

X -> -m : f(x) -> -m 4. Nullstellen: x. - 0, X2 - 1 5. Extrema: Minimum fUr x - 1

Maximum fUr x - 1/3 6. Wendepunkt an der Stelle x - 2/3 7. x von -m bis 1/3: rechtsgekrUmmt, steigend

x von 1/3 bis 2/3: rechtsgekrUmmt, fallend x von 2/3 bis 1: linksgekrUmmt, fallend x von 1 bis m: linksgekrUmmt, steigend

8. Skizze

-0.5 x

Flache: 1/6 - 0,1667

5 x

287

7.3.1. K(x) - X" - 3x'" + 3x + 3 Vex) - 16x _2X2 G(x) - -x3 + X2 + 13x - 3 G' (x) - -3X2 +2x + 13 - 0 X1 - 2,4415 X:z - -1,7749 okonomisch nicht relevant G' '(2,4415) - -6x + 2 < 0 -) Maximum G(2,4415) - 20,1468 p(2,4415) - 11,1170

7.3.2. Bei p - 8 gilt x - 20. Konsumentenrente - 186,6667 - 160 - 26,6667

Zu Kapitel a 8.4.1.

a) Nicht moglich, da Spaltenzahl von A nicht mit der Zeilenzahl von B Ubereinstimmt.

b) (21 24 -9 30)

c)

d)

e)

(82 12 58

(J (-~

-40 -40 -30

4 o o

f) 102

g) (-78 -42) -85 -39 (-27 -51)

-58 -90

h) Nicht moglich, Matrizen sind nicht vom gleichen Typ.

i) H -~ J) 8.4.2.

a) (80 100 50)

b) (40 60 70)

288

Multiplikation mit Einheitsmatrix

( 80

• 100 50

8 6) 8 5 6 6

100) 90 40

(860

(12.700

1.740 1. 280)

12.200)

c) Betriebskosten pro Minute bestimmen und mit Ergebnis

::~5a) o~:lt:~::ziere(::~:g) 3.404 OM

1.280

d) Kosten fUr Einzelteile

(80 100 50) • t~i) 5.470 OM

Gesamtkosten 3.404 + 5.470 - 8.874 OM Gewinn - Umsatz - Kosten - 12.700 - 8.874 - 3.826 OM

8.4.3.

(~ (~ 4

~) 5

~) C - (~ :) A - 8 B - 5 3 4

(38 38

30) A·B - 90 97 88 37 48 26 P1 P2

( 600 696) R:r. I 600 696

G - A·B·C - 1.480 1.812 R:z 1.480 1.812 647 696 R:s 647 696

8.5.6.1.

a) X1 - 10 X::2 - 100 ~ - 2

b) X1 - -2 X::2 - 4 ~ -50 x... - 1

8.5.6.2. 0.5X1 + X2 + 3x,. - 40 X1 + 3~ + x... - 40

2X1 + 4~ - 40 X2+ X:s + x ... - 40

X1 - 10 X::2 - 20 X3 - 5 x... -15

8.5.6.3. X1 - Anzahl der Packungen 1 X2 - Anzahl der Packungen 2

4X1 + 3X2 - 17 2X1 + 3X2 -13

X1 - 2 X::2 - 3

289

Zu. Kap:1tel 9

9.2.1. x. - Produktionsmenge CD-Player X2 - Produktionsmenge Videorecorder

1/6 x. + 1/4 X2 i 120 1/5 x. + 1/2 X2 i 200 1/20 x. + 1/12 X2 i 37 x. 1 0 X2 1 0

G - 30x. + 60 X2 Isogewinngerade: G - 12.000

1000

500

Parallelverschiebung zeigt: Gewinnmaximum liegt im Schnittpunkt der Kapazitatsgrenzen von Anlage II und Endkontrolle. Schnittpunkt: x. - 220 X2 - 312 Der Gewinn betragt dann: G - 25.320 OM

9.2.2. x. - Bestellmenge von Typ A X2 - Bestellmenge von Typ B

290

Gewinnfunktion: G - 5.100x. + 6.000X2

Nebenbedingungen: - Mindestabnahme: x. 1 30

X2 1 20 - Lagermoglichkeit: x. i 65

X:z i 45 - Einkaufsetat: 20.000x. + 25.000X2 i 2.000.000 - Abnahmeverpflichtung: Xi i 3X2

x. - 3X2 i 0 - Nichtnegativitatsbedingungen: x. 1 0 X2 1 0

Isogewinngerade fUr G - 306.000

80

60

40

20 +--------i~

20 40 60 80 100 Xl

Parallelverschiebung zeigt: Gewinnmaximum liegt im Schnittpunkt von Xl i 65 und der Begrenzung durch den Einkaufsetat. Schnittpunkt: Xl - 65 X2 - 28 Der Gewinn betragt dann: G - 499 . 500

9.3.1. Xl + 2X:z i 80 Xl + 0.5x", i 40

1.6xl + 1. 6x", i 80 G - 30Xl + 50x",

Xl X:z Yl y", Y:s G II 1 2 1 0 0 0

II 80

1 0.5 0 1 0 0 40 1.6 1.6 0 0 1 0 80

-30 -50 0 0 0 1 II 0

Ergebnis:

Xl X:z Yl y", Y:s G II 0 1 1 0 -0.625 0

II 30

0 0 0,5 1 -0.9375 0 5 1 0 -1 0 1.25 0 20

0 0 20 0 6.25 1 II 2 . 100

291

Zu. Kap:1.tel 10

10.1.1. gefaltet Dicke

o 1 2

30

100

0.001 m -0.002 m 0.004 m

0.001,2° 0.001·2:1. 0.001.22

0.001·~0 - 1.073.7418 km

0.001· 2:1.00 - 1. 2677· 1(12 .... km

1 Lichtjahr entspricht 9.4605·10:1.2 km 1.2677.102 .... km entspricht 1.3399,10:1.:1. Lichtjahren

Der Radius des Weltalls wird auf 13·10· Licht jahre geschatzt. Die 100-mal gefaltete Zeitung pa8t nicht in das Universum.

10.1. 2.1. n l: ~ - 14.000

i-1

a:l. - 225 d - 50 14.000 - n/2· (2·225 + en-1)· 50) nl - 20 n2 - -28 okonomisch nicht relevant Nach 20 Wochen ist der Auf trag erfUllt. In der letzten Woche werden 1.175 Nahmaschinen hergestellt.

10.1. 2.2. 64

292

l: 2:1.-:1. - 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... + ~3

~""-1 - 1·----- - ~ .... - 1 • 2· .... - 1.84467441·10:1.9

2-1

Annahme: 1 Tonne entspricht 50 Mio. Reiskornern.

---------- - 3.68934882'10:1.:1. Tonnen 50.000.000

3.68934882·10:1.:1. - 778.507874 Welternten

10.2.1.

a) 10.000 - 500.000· (1-0,25)n log 0,02 - n· log 0,75 n - 13,5984 Oas Unternehmen mu8 14 Jahre lang abschreiben.

b) Jahr Abschreibung Restbuchwert

1 125.000 375.000 2 93.750 281.250 3 70.312,5 210.937,5 4 52.734,375 158.203,125 5 39.550,78125 118.652,3438 6 21.730,46876 96.921,87504 7 21.730,46876 75.191. 40628 8 21.730,46876 53.460,93752 9 21.730,46876 31.730,46876

10 21.730,46876 10.000

10.2.2.2.1. 54.000 Ko - ----- - 36.000 OM

1 + 10·5/100

10.2.2.2.2. Kn - 2·Ko

n - (2/1 - 1)·100/6 - 16,6667 Jahre

10.2.2.2.3. 50.000 100 p - --- - 1 ) • - - 15 %

20.000 10

10.2.2.3.1. log 2/1

10.2.2.3.2.

10.2.2.4.1.

n - - 11,8957 Jahre log 1. 06

a) A: Kn - 205.512,9995 DM B: Kn - 200.000 OM

b) A: Ko - 150.000 OM B: Ko - 145.976,1673 OM

c) A: p - 6,5 % B: p - 5,9224 %

2 - 1 1 (6 )"' 12 + 12·100

log 2 - log l,005120n - 12n· log 1,005 n - 11,5813 Jahre

10.2.2.4.2. a) Kn - 226.098,3442 OM b) Kn - 221.964,0235 OM

p* - 8,30 %

293

1 n·0.06 10.2.2.5.1. 2 - . e

In 2 n - -------- - 11,5525 Jahre

0,06· In e

10.2.2.5.2. a) p* - 9 %

10.2.2.5.3.

10.2.3.1.

10.2.3.2.

10.2.4.

a) Jahr

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

294

b) p* - 9,0980 % c) p* - 9.0897 %

a) 18 - 13. eO, 05·p p - 6,5084 % pro Tag

b) 50 -13.e O,065084.n

n .. 20.6975 Tage

c) K.-, 13 0,065084' 30 - • e -

a) Rn - 41.269,9655 OM b) Ro - 41.269,9655 OM

Rn - 67.224,4251 OM r 5.344,6493 OM

Kn - 39.343,03 OM Rn - 29.014,54 OM

Restschuld Zinsen Jahresanfang Jahresende

400.000 32.000 400.000 32.000 400.000 32.000 400.000 32.000 400.000 32.000 400.000 32.000 320.000 25.600 240.000 19.200 160.000 12.800

80.000 6.400

256.000

91.6035 %

Tilgungsrate

0 0 0 0 0

80.000 80.000 80.000 80.000 80.000

400.000

Annuitat

32.000 32.000 32.000 32.000 32.000

112.000 105.600

99.200 92.800 86.400

656.000

b) Jahr Restschuld Zinsen Tilgungsrate Annuitat Jahresanfang Jahresende

1 400.000 32.000 0 32.000 2 400.000 32.000 0 32.000 3 400.000 32.000 0 32.000 4 400.000 32.000 0 32.000 5 400.000 32.000 0 32.000 6 400.000 32.000 68.182.58 100.182.58 7 331.817.42 26.545.39 73.637.19 100.182.58 8 258.180.23 20.654.42 79.528.16 100.182.58 9 178.652.07 14.292.17 85.890.42 100.182.58

10 92.761.67 7.420.93 92.761.65 100.182.58

260.912.91 400.000 660.912.90

10.2.5.

a) Ko - - 2.000.000 - 921.658.99 + 169.891.06 + + 704.617.29 + 1.082.361.43 + 997.568.13

- 32.778.92 DM b) A - 8.318.17 DM

Zu Kap:l. t. 1 11

11.1.1. 126 22.537.515

11.1.2. (~) n! n! (g) - --- I -- -O!n! n! O!

11.1.3. (s + t)'" - sl5 + 5s4 t + 10s:St2 + 10s2 t 3 + 5st4 + t'"

11.2.1.

a) P - 19! - 1.21645.1017

b) P - 4! - 24 c) 19!

P - ---- - 1.955.457.504 5!6!3!5!

11.3.1. Komb. o. Wdh .• mit Ber. d. Anord .• k - 3. n - 50 K - 117.600

11.3.2.a) Komb. o. Wdh .• o. Ber. d. Anord .. k - 2. n - 32 K - 496

b) Komb. o. Wdh .• o. Ber. d. Anord. 1. Runde: k - 2. n - 32. K - 496 2. Runde: k - 2. n - 16. K - 120 3. Runde: k - 2. n - 8. K - 28 4. Runde: k - 2. n - 4. K - 6 5. Runde: k - 2. n - 2. K - 1 Insgesamt 31 Wettkampfe.

295

11.3.3. Komb. mit Wdh .. mit Ber. d. Anord. Buchstaben: k - 2. n - 26. K - 676 Zahlen: k - 3. n - 10. K - 1.000 - 1 - 999

da 000 nicht erlaubt Insgesamt: 675.324 Moglichkeiten Zusatzfrage: Buchstaben: K - 676 + 26 - 702 Insgesamt: 701.298 Moglichkeiten

11.3.4.a) Perm. o. Wdh. P - 12! - 479.001.600 b) Perm. mit Wdh. P - 27.720

11.3.5.a) Komb. o. Wdh .• mit Ber. d. Anord .• k - 4. n - 20 K - 116.280

b) Komb. mit Wdh .• mit Ber. d. Anord .• k - 4. n - 20 K - 160.000

c) 1. Gang: 5 2. Gang: 4 3. Gang: 7 4. Gang: 4 Insgesamt: 560 Moglichkeiten

11.3.6. Klassensprecher: Komb. o. Wdh .• mit Ber. d. Anord. k - 1. n - 25. K - 25

Stellvertreter: Komb. o. Wdh .• o. Ber. d. Anord. k - 2. n - 24. K - 276

Insgesamt: 6.900 Moglichkeiten

11 .3.7. Komb. mi t Wdh.. mi t Ber. d. Anord.. k - m. n - 2 K - 2"'

11.3.8. Perm. mit Wdh .• P - 5.765.760 Wahrscheinlichkeit: 1:5.765.760

11.3.9. Komb. mit Wdh .• o. Ber. d. Anord .• k - 8. n - 2 K - 9

11.3.10.a) Komb. o. Wdh .• o. Ber. d. Anord .• k - 3. n - 21 K - 1.330

b) ein beliebtes: Komb. o. Wdh .• o. Ber. d. Anord .• k - 1. n - 3. K - 3

zwei unbeliebte: Komb. o. Wdh .• o. Ber. d. Anord .• k - 2. n - 18. K - 153

Insgesamt: 459 Moglichkeiten

11.3.11.a) Komb. mit Wdh .• o. Ber. d. Anord .• k - 5. n - 6 K - 252

b) Komb. mit Wdh .• o. Ber. d. Anord .• 5 Fische: 252 4 Fische: 126 3 Fische: 56 2 Fische: 21 1 Fisch: 6 o Fische: 1 Insgesamt: 462 Moglichkeiten

11.3.12. Komb. o. Wdh .• o. Ber. d. Anord .• k - 10. n - 32 K - 64.512.240

296

L~eungen zur Falletud~e

Produktionsbereich

1. K(x) == 25.25·x + 850.000

2. p(x) = 250 - 0.006·x

3. a) Umsatzfunktion: U(x) - p·x: U(X) - 250x - 0,006x2

Bestimmung des gewinnmaximalen Preises G - U - K G(x) == 224.75·x - 0,006·x2 - 850.000 G' (x) - 224,75 - 0,012·x - 0 x - 18.729.1667 ~ 18.729 G"(x) = - 0,012 -) Maximum G(18.729) - 1.254.690.10 OM

Oa jedoch die Kapazitatsgrenze (15.000 ME) tiberschritten ist, ist der mogliche Gewinn geringer. Er betragt bei einer produzierten Menge von 15.000 Einheiten 1.171.250 OM. Oer Preis ftir eine Pumpe mti6te folglich 160.- OM betragen, um diese Menge absetzen zu konnen.

Bestimmung des umeatzmaximalen Preises U' (x) == 250 - 0,012·x - 0 x == 20.833,33 U"(x) - - 0,012 -) Maximum

Auch hier liegt das Umsatzmaximum tiber der Kapazitats­grenze. An der Kapazitatsgrenze (15.000 ME) konnten hoch­stens 2.400.000 OM Umsatz erreicht werden. Somit liegt der Preis auch hier bei 160 OM ftir eine Pumpe.

b) Bestimmung von Gewinnschwelle und Gewinngrenze G(x) - 224,75·x - 0,006·x2 - 850.000 == ° x~ - 33.190 X2 - 4.268

Bestimmung der jeweiligen Preise p(x) - 250 - 0,006·x p~ (33.190) = 50.86 OM P2(4.268) - 224.39 OM

p~ ist nicht realisierbar. da die Menge aufgrund der Kapa­zitatsgrenze nicht produzierbar ist.

4. Konsumentenrente p(x) = 250 - 0,006·x X(Gm.H) == 15.000 ME p (Gm .... ) == 160 OM

l:!JOOO

Jo (250 - 0,006·x)dx - 15.000 • 160 ==

1:5000

[250X - 0,003· X2JO

- 15.000 • 160

Konsumentenrente == 675.000 OM

297

5. a) Ermittlung der zus~tzlichen Kosten

K~ - A/n + A/2 • i K~ - A/5 + A/2 • 0.1 K~ - 0.2·A + 0.05·A K~ - 0.25·A

b) H6he der Anschaffungskosten Zusatzlicher Gewinn: G(18.729) - G(15.000) .. 83.440.10 DM Zusatzliche Kosten: 0.25·A

0.25·A i 83.440.10 DM A - 333.760.40 DM (Zusatzliche Kosten ~ - 83.440.10 DM)

c) Aufstellen der neuen K08tenfunktion K(x) - 25.25·x + 850.000 + 83.440.10 K(x) - 25.25·x + 933.440.10

G(x) - 224.75·x - 0.006·x2 - 933.440.10 G(18.729) .. 1.171.250 DM

6. Ermittlung der maximalen AU8bringungsmenge f*(x.y.~) - 2100x + 5280y - 240x2 - 360y2 +

+ .\. (480x + nOy - 4230)

of* - - 2100 - 480x + 480'\ .. 0 Ox

Of* - - 5280 - nOy + no). - 0 Oy

of* - - 480x + nOy - 4.230 .. 0 0.\

x = 1.75 y - 4.7083 >. = - 2.625

Hinreichende Bedingung

480 -- .. - no

(-480) • (-no) ) (0) 2 -480 < 0 und -720 < 0 -)

- 0 OXOY

Maximum

f(1.75;4.7083) .. 19.819.312 ~ 19.819 maximale Aus­bringungsmenge

Die gewinnmaximale Menge x - 18.729 (s. Aufg. 3a) kann also realisiert werden.

298

PRODUKTIONSBEREICH II

1. a) Bestimmung der Mengenfunktion der Pumpe A

Aus den Daten laSt sich folgendes lineares Gleichungs­system aufstellen:

I. 500 - as + bs"3.500 + cs"2.000 II. 400 - as + bs"3.500 + c1"1.825 III. 510 - as + bs"3.465 + cs"2.000 as .. 357.143 bs - - 2/7 cs - 4/7 x - 357.143 - 2/7 PM + 4/7 Pv

b) Bestimmung der Mengenfunktion der Pumpe B I. 1.000 - a2 + h2"3.500 + 02"2.000 II. 1.400 - a2 + h2"3.500 + c2"1.825 III. 995 - a2 + h2"3.465 + 02"2.000 a2 - 5.071.43 h2 .. 1/7 C2 - - 16/7 y .. 5.071.43 + 1/7 PM - 16/7 Pv

c) Ermittlung der Umkehrfunktionen

2.

I. x - 357.143 - 2/7 PH + 4/7 Pv II. y - 5.071.43 + 1/7 PM - 16/7 Pv

4x - 1.428.572 - 8/7 PH + 16/7 Pv (1·4) (+) y - 5.071.43 + 117 PM - 1617 Py (II)

4x + y - 6.500 - p.. Umkehrfunktion PH: PM - 6.500 - 4x - y

Pv - 2.218.75 - 7/16 y + 1/16 p.. (11·7/16) Pv - 2.218.75 - 7/16 y + 1/16 (6.500 - 4x - y)

Umkehrfunktion Pv: Pv - 2.625 - 1/4 x - 1/2 y

a) Beatimmung der umeatzmaximalen Preiaea U(x.y) - PMOX + Pv·y -

4X2 - 1/2 y2 - 5/4 xy + 6.500x + 2.625y

aU 8x - 5/4 y + 6.500 = 0

Ox

OU - - y - 5/4 x + 2.625 - 0

Oy

Kritischer Punkt: x - 500 y - 2.000

299

- - - 8 - - - 1 -- - - 5/4

(-8) • (-1) < (-5/4)2 - 1.5625 -8 < 0 und -1 < 0 -> Maximum

bxby

Einsetzen in die Preisabsatzfunktionen: PM (500;2.000) - 2.500 OM py(500;2.000) = 1.500 OM

b) Be.timmung de. gew1nnmaximalen Pre i.e. G(x,Y) 4X2 - 1/2 y2 - 2xY + 4.800x + 1.700y - 500.000

bG - 8x - 2y + 4.800 - 0

bx

- y - 2x + 1.700 - 0 by

Kritischer Punkt: x - 350 y - 1.000

- - - 8 - - - 1 -- - - 2 bxby

(-8) • (-1) < (-2)2 -8 < 0 und -1 < 0 -> Maximum

Einsetzen in die Preisabsatzfunktion: PM (350;1.000) - 4.100 OM py(350;1.000) - 2.037,50 OM

PROOUKTIONSBEREICH III

1. Ermittlung der Ko.ten Roh.toffe

MR PR KR

(~ 2 5 3 ~) {

0,5 } 0,1 0,3

(2, 9) 2,1 4,5

Kosten Rohstoffe

Erm1ttlung de. Lohne. Halbfert1gfabr1kate ZH Lohnkosten LH

(t 1

300

Lohn Halbfertigfabrikate

2.

Erm1ttlung der Kosten Halbfert1gfabrikate KR + LH KH

(2' 9) 2,1 4,5

+ (5,4) 4,1 7,5

Ermittlung Materialkosten Fert1gfabrikate

Kosten Halbfertig­fabrikate

MH "KH MF

(0,4871 0,3883

0,3654 0,7767

(5 ,4) 0,4871)" 4,1 1.3592 7,5

- ( 7,78) 15,48

Materialk. Fertig­fabrikate

Ermittlung Lohn Fert1gfebr1kate ZF Lohnkosten LF

(2'4357) 5,0485 (0,51 (1. 22)

2,52

Erm1ttlung der Kosten Fert1gfebr1kete LF + MF KF

l1. 22) 2,52 +

I 7,78) 115,48

Variable Kosten Otise 01: 9 OM Variable Kosten Otise 02: 18 OM

Lohn Fertigfabrikate

Kosten Fertig­fabrikate

Bestimmung der zulKssigen Herstellungsmengen (Skizze)

11fO \

\ 120 \

V~M

foo \ I \ \M3 110 \

\ I --T-t"---

... I -WI "0 ... ... , ... , " ..... Ml. zO "-, ... " ... , " ... .....

II,

'''0 Zielfunktion: U(X~ ,>e:z) 21x1 + 28>e:z -) zu maximieren Nebenbedingungen: M1: 6X1 + 3X2 i 480

M2: 2X1 + 4X2 i 280 M3: 3X1 i 210 M4: 5X2 i 300

X1, X2 1 0

301

b) Parallelverschiebung zeigt: Umsatzmaximum liegt im Schnitt­punkt von M1 und M2 Schnittpunkt: x, = 60 X2 = 40 U(60,40) = 2.380 OM/Tag

c) G .. U - K G(X1,X2) .. 12x1 + 10x2 - 1.200 x, - 100 X2" 120 (Skizze)

Wie ersichtlich ist. erreicht der Produktionsbereich III nicht die Gewinnzone.

3. Make:

302

G(X1,X2) = 10,5 x, + 12X2 - 840 6(60,40) .. 270 DM/Tag Buy: G(X1,X2) .. 10/3 x, + 5,6 X2 6(60,40) .. 424 OM/Tag

Bei unveranderter Produktion ist der Gewinn um 154 OM hoher. Bei Fremdbezug konnten auch andere Mengenkombina­tionen realisiert werden, da die Kapazitatsgrenzen nicht mehr gelten. Ein weiterer Vorteil waren eventuell Liquida­tionser16se bei der Oesinvestition der Maschinen.

GESCHXFTSSTELLE FRANKREICH

1. Ermittlung der Kapitalwerte

Anlage I: Uber-

J. schtisse Barwert

o -170.000,00 1 20.000 16.949,15 2 20.000 14.363,69 3 20.000 12.172,62 4 50.000 25.789,44 5 47.000 20.544,13 6 47.000 17.410,28 7 62.000 19.463,35 8 62.000 16.494,37 9 62.000 13.978,28

10 62.000 11.846,00

Ko - 988,69

Anlage II: Uber-

schtisse Barwert

-200.000,00 38.000 32.203,39 38.000 27.291,01 38.000 23.127,97 78.000 40.231,53 75.000 32.783,19 75.000 27.782,37 95.000 29.822,88 95.000 25.273,63 95.000 21.418.33 95.000 18.151,12

78.085,42

Anlage III Uber-

schtisse Barwert

-220.000,00 34.000 28.813,56 34.000 24.418,27 34.000 20.693,45 72.000 37.136,80 70.000 30.597,65 70.000 25.930,21 89.000 27.939,33 89.000 23.677,40 87.000 19.614,68 87.000 16.622,61

35.443,96

Da Anlage II den hochsten Kapitalwert aufzeigt, gilt sie als die vorteilhafteste Investition!

2. Bestimmung der Amortisationszeit

Anlage I I : Jahr Uberschtisse Barwert kumulierte Barwerte

1 38.000 32.203,39 32.203,39 2 38.000 27.291. 01 59.494,40 3 38.000 23.127,97 82.622,37 4 78.000 40.231.53 122.853,90 5 75.000 32.783,19 155,637,09 6 75.000 27.782,37 183.419,46 7 95.000 29.822,88 213.242,34 8 95.000 25.273,63 238.515,97 9 95.000 21.418,33 259.934,30

10 95.000 18.151.12 278.085,42

Die Amortisationszeit liegt bei 7 Jahren.

3. Bestimmung der j~hrlichen konstanten Annuit~t q - 1

A .. Ko' qn • qn - 1

1.18 1 A = 78.085,42 • 1,1810 • .. 17.375,15

1.1810 - 1

Die konstante jahrliche Annuitat betragt 17.375,15 DM. Auch hier laBt sich erkennen, daB die Investition vorteil­haft ist, da die Bedingung A > 0 erftillt ist.

303

4. Pessimistische I nvestitionsrechnung , Kapitalwertbestimmung

Veranderte Absatzerwartungen: 1 - 3 Jahr: 240.000 StUck/Jahr 4 - 6 Jahr: 320.000 StUck/Jahr 7 - 10 Jahr: 360.000 StUck/Jahr

Anlage II: Jahr Ausgaben Einnahmen UberschUsse

0 200.000 1 73.800 96.000 22.200 2 73.800 96.000 22.200 3 73.800 96.000 22.200 4 73.800 128.000 54.200 5 76.500 128.000 51.500 6 76.500 128.000 51. 500 7 76.500 144.000 67.500 8 76.500 144.000 67.500 9 76.500 144.000 67.500

10 76.500 144.000 67.500

K..

Barwert

- 200.000.00 19.304.35 16.786.39 14.596.86 30.989.03 25.604.60 22.264.87 25.375.75 22.065.87 19.187.71 16.684.97

12.860.40

Der Kapitalwert wird durch die pessimistische Schatzung zwar niedriger. ist jedoch noch positiv. Der ursprUngliche Zins­satz von 18 % hatte einen negativen Kapitalwert bewirkt.

304

stich~ortverzeichnis

A

Ableitung 88 ff. elementare Funktionen 90 f. erste 88 ff. Exponentialfunktion 95 hohere 96,101 logarithmierte Funktionen 95 partielle 130 ff. partielle gemischte 133 verkettete Funktionen 93 ff. verkntipfte Funktionen 91 ff.

, zweite 96 Abschreibung 220 ff.

arithmetisch-degressive 221 ff. digitale 223 geometrisch-degressive 224 f.

, lineare 220 Abszisse 25 Abzinsung 228 Abzinsungsfaktor 228 Amortisationsmethode 244 Analysis 22 Anfangskapital 226 Angebotsfunktion 35 ff. Annuitat 238 ff.,242 Annuitatenmethode 242 Annuitatentilgung 239 f. Arithmetische Folge 206 ff.,

221 -, Bildungsgesetz 207 Arithmetische Reihe 211 ff. -, Summenformel 212 f.,221,

223,255 Asymptote 82

B

Barwert 228 Basis 12 Basislosung 200 Behebbare Lticke 83 ff.,105 Bestellmenge, optimale

122 ff.

Binomialkoeffizient 247 Binomischer Lehrsatz 247

c Ceteris-paribus-Bedingung 33 Cournotscher Punkt 122

o Definitionsbereich 23,33,

70 f., 105 Definitionslticke 83,105 Diagonalmatrix 156 Differentialquotient 88 f. -, partiell 131 Differentialrechnung 86 ff.

, mehrere Variablen 130 ff. -, okonomische Anwendung

112 ff. -, zwei Variablen 86 ff. Differenzierbar 88 f. Differenzierungsregeln 90 ff.

Exponentialfunktion 95 logarithmierte Funktionen 95 partielle Ableitung 132 f. verkettete Funktionen 93 ff. verkntipfte Funktionen 91 ff.

Diskontierung 228,236.241 f. Divergenz 218.219 Doppelsummen 20 f. Dreiecksmatrix 156

E

Effektiver Jahreszins 230 f., 233

Einfache Verzinsung 226 f. Einheitsmatrix 156 Elastizitat 125 ff. -, Funktion 128 Endkapital 226 Eulersche Zahl 16,219 Exponent 12 Exponentialfunktion 51 f.,

91,95 Exponentialgleichung 17

305

Extrema 71 f.,97 ff.,105 Bestimmungsschema 101 hinreichende Bedingung 99 ff. mehrere Variablen 135 ff. notwendige Bedingung 98 f. unter Nebenbedingungen 136 ff.

Extremwerte 71 f.

F

Fakultat 246 Falksches Schema Finanzmathematik -, Verfahren 220 Fixkosten 39

163 206 ff. ff.

Fo 1ge 206 ff. -, arithmetische 206 ff.,221 -, geometrische 208 ff.,

224,235 Funktion 22 ff.

G

au6ere 94 analytisch 25,54 Begriff 22 ff. Darstellungsformen 24 ff. Def inition 23 Eigenschaften 70 ff. eineindeutige 23,26 Gleichung 25,54 graphisch 25,56 ff. innere 94 lineare 28 ff. lineare mit drei Variablen 57 ff. lineare 6konomische 32 ff. mehrdimensionale okonomische 64 f. mehrere Variablen 54 ff. nichtlineare 44 ff. nichtlineare mit drei Variablen 60 ff. tabellarisch 24,55 Umkehrfunktion 26 ff. zwei Variablen 22 ff.

Ganze Zahlen 11 Geometrische Folge 208 ff.,

224,235 - , Bildungsgesetz 209 Geometrische Reihe 214 ff. ,

235 -, Summenformel 214 f.,235

306

Gerade 28 ff. -, Steigung 29 ff. Geradengleichung 28,30 f. Gewinnfunktion 42 f.,l16

graphische Darstellung 42 f.

-, Grenzgewinn 116 -, lineare 42 f. Gewinnmaximierung 117 ff. Gewinnschwelle 43 Gleichgewichtsmenge 36 f. Gleichgewichtspreis 36 f. Gleichungssystem 170

homogen 172 inhomogen 172

-, lineares 170 ff. -, Losbarkeit 180 f. -, Matrizenschreibweise 171 f. Grenzgewinn 116 -, Funktion 116 Grenzkosten 40 -, Funktion 112 ff.,149 f. Grenzumsatz 115 f. -, Funktion 115 f.,150 Grenzwert 76 ff.,105,232 f.

H

Folge 216 ff. I inksseitig 80 rechtsseitig 79 Reihe 218 f. satze 78

Haufungspunkt 217 f. Hyperbel 48 ff.

I

Imaginare Zahlen 12 Indifferenzkurve 65 ff. Innerbetriebliche Leistungs-

verrechnung 183 ff. Integral 143 ff.

bestimmtes 145 ff. -, okonomische Anwendung

149 ff. -, unbestimmtes 143 ff. Integralrechnung 143 ff. -, Summenregel 145 Integralzeichen 144 Integrand 144 Integrationsgrenze 146 Integrationskonstante 144 Integrationsvariable 144 Interner Zinsfu6 243 f.

Inverse einer Matrix 166 Investitionsrechnung 240 ff.

,Amortisationsmethode 244 -, Annuitatenmethode 242 -, interner ZinsfuB 243 f. -, Kapitalwertmethode 240 ff. Irrationale Zahlen 11 Isohohenlinie 63 ff.,192 Isoquante 67

Jahreszins, effektiver 230 f., 233

K

KalkulationszinsfuB 241 Kapazitatsbeschrankung 188 Kapitalwertmethode 240 ff. Kettenregel 93 ff. Koeffizientenmatrix 171 -, erweiterte 176 Kombination 249 ff. - Formeln 258 - k-ter Ordnung 249 - mit Berticksichtigung der

Anordnung 250,251 f.,254 - mit Wiederholung 249,

254 ff. ohne Berticksichtigung der Anordnung 250,252 f., 255 ff. ohne Wiederholung 249, 251 ff.

KOmbinatorik 246 ff. -, Formeln 257 f. Komplexe Zahlen 12 Konkav 74 f.,103 Konstante 22 Konstantenregel 90 Konsumentenrente 151 f. Konsumfunktion 68 Konvergenz 77,216,218 Konvex 74 f.,103 Koordinatenebenen 59 Koordinatensystem 25,56 Kostenfunktion 37 ff.,

112 ff., 149 f degressive 38 Funktionsgleichung 39 f. Grenzkosten 112 ff. I ineare 37 ff, nichtlineare 47,51 progressive 37

,S-formige 38 f. Kritischer Punkt 134 KrUmmung 73 ff .. 103.104.105 Kurvendiskussion 105 ff.

Schema 105

L

Lagrangescher Multiplikator 139 ff.

Leistungsverrechnung. inner-betriebliche 183 ff.

Linear abhangig 173 Lineare Algebra 153 Lineare Optimierung 186 ff. -. allgemeine Vorgehensweise

194 -. graphische Methode 189 ff. Lineares Gleichungssystem

170 ff. Linearkombination 173 Logar i thmus 16

dekadisch 16 funktion 53.95 nattirlich 16.91

M

Marginalanalyse 112 Marktgleichgewicht 36 f. Matrix 153 ff.

Diagonal 156 Dreiecks 156 Einheits 156 Element 153 erweiterte Koeffizienten 176 Koeffizienten 171 Null 156 quadratische 156 Rang 174 f. Spalten 153 spezielle 155 ff .

• Zeilen 153 Matrizenoperationen 157 ff.

Addition 157 f. aquivalente Umformungen 176 ff. Gleichheit 157 Inverse 166 Multiplikation 161 ff. skalare Multiplikation 159 Skalarprodukt 159 ff. Transponierte 157 Zeilenoperationen 177

307

Matrizenrechnung 153 ff. Maximum 71 f .• 105 -. absolutes 71 f. -. relatives 71 f .• 97 ff. Mengenanpasser 41.42 Minimum 71 f .• 105 -. absolutes 71 f. -. relatives 71 f .• 97 ff. Mode 11 33.54 Monoton fallend 73 Monoton steigend 72 f. Multiplikatorregel nach

Lagrange 139 ff.

N

Nachfragefunktion 33 ff .• 68 Naherungsverfahren. Newton-

sches 108 ff.,244 Nattirliche Zahlen 11 Nebenbedingung 136 ff. Newtonsches Naherungsverfahren

108 ff .• 244 -, Schema 110 Nichtnegativitatsbedingung

188 Nullstelle 31.70 f.,105,

108 ff. -, Bestimmungsgleichung 70 Nutzenfunktion 65 ff.

o Optimale Bestellmenge 122 ff. Ordinate 25 Ordinatenabschnitt 28,29

p

Parabel 44 ff. -. dritten Grades 45 -. hoherer Ordnung 45 -, zweiten Grades 44 Partialsumme 211.218 -. Folge der 218 f. Partielle Ableitung 130 ff. PeriodentiberschuB 241 Permutation 248 f .• 250 -, Formeln 257 -. mit Wiederholung 248 f. -, ohne Wiederholung 248 Pivot-Element 202 Pivot-Spalte 201 Pivot-Zeile 202 Poistelle 81 ff .• 105

308

Potenzen 12 ff. Potenzregel 90 P-Q-Formel 15 Preisabsatzfunktion 33 Preiselastizitat 127 Produktionsfunktion 67 f. Produktregel 91 Produktzeichen 246 Produzentenrente 151 f. Punktelastizitat 127 Punktsteigungsform 30

Q

Quadratische Gleichungen 14 Quotientenregel 92

R

Rang 174 f. Rate 234 Ratentilgung 238 f. Rationale Zahlen 11 Reelle Zahlen 11 Regressionsanalyse 54 Reihe 211 ff.

arithmetische 211 ff .• 218 endliche 211 geometrische 214 ff.,218, 235 Partialsumme 211 Summe der unendlichen 218

, unendliche 211,214.218 Relation 22 Rente 234 -, nachschtissig -, vorschtissig Rentenbarwert Rentenendwert Rentenrechnung Restwert 220

s

235 235.236

235 234 ff. 234 ff., 239

Sattigungsmenge 35 Sattelpunkt 100 f.,105 Schattenpreis 204 Schlupfvariable 199 Schnittgerade 59 Schnittkurve 60 ff. Schnittpunktbestimmung 32 Simplex-Methode 198 ff.

Basislosung 200 • Pivot-Element 202

-, Pivot-Spalte 201

Pivot-Zeile 202 Schattenpreis 204 Schema 205

• Schlupfvariable 199 Simplex-Tableau 200 Skalarprodukt 159 ff. Spaltensumme 21 Sprungstelle 81.i05 Stammfunktion 143 ff. Stationarpunkt 140 f. Steigung 29.72 f .• 86 ff .•

102.105 Stetige Erganzung 83 ff. Stetige Verzinsung 232 f. Stetigkeit 80 ff. Sttickdeckungsbeitrag 42 Sttickkosten 49 -. fixe 50 -. funktion 49 -. variable 39 Summationsgrenze 18 Summationsindex 18 Summenregel 91.145 Summenzeichen 17 ff. -. Rechenregeln 18 ff. Symmetrie 75

T

Punkt 75 Spiegel 75

Tangentensteigung 88 Tilgung 238 ff. -. Annuitaten 239 f. -. Raten 238 f. Tilgungsplan 238 ff. Tilgungsrechnung 238 ff. Transponierte Matrix 157

u

Umgebung 216 ff. Umkehrfunktion 26 ff .• 34 -. graphische Bestimmung 28 Umsatzfunktion 41.115 f .• 150 -. Grenzumsatz 115 f. -. lineare 41 -. nichtlineare 46 Ungleichung 186 ff. -. graphisch 188 f. -. Rechenregeln 186 f. Unterjahrige Verzinsung

229 ff.

v Variable 22 f. -. abhangige 23 -. relative Xnderung 125 -. unabhangige 23 Variable Kosten 39 Variablensubstitution 138 Variable Sttickkosten 39 Vektor 155

• lineare Abhangigkeit 173 f. -. Null 156 -. Spalten 155 -. Zeilen 155 Verrechnungspreise 184 f. Verzinsung 226

einfache 226 f. • stetige 223 f.

-. unterjahrige 229 ff. -. Zinseszins 227 ff.

w Wachstumsfunktion 52.233 Wendepunkt 104.105 -. Bestimmungsschema 104 Wertebereich 23.33 Wertetabelle 24.55 Wurzelfunktion 50 f. Wurzeln 14 f.

z

Zahlbegriffe 11 f. Zahlenfolge 206 ff. Zeilensumme 21 Zielfunktion 137.192 -. erweiterte 139 Zinsen 226 -. nachschtissig 226 -. vorschtissig 226 Zinseszinsrechnung 227 ff. Zinsrechnung 226 ff. Zinssatz 226 Zuordnung 22 -. eindeutige 22 -. eineindeutige 23.26 Zwei-Punkteform 31

309

Wichtige lehrbiicher zu Wirtschaft und Recht

Hans Arnolds/Franz Heege/ Werner Tussing Materfalwlrtschaft und Einkauf 7., durchgesehene Auflage 1990 360 Seiten, 54,- DM ISBN 3-409-35157-4

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Dieter Dahl Volkswirtschaftslehre -Aufgaben mit Losungen 2. Auflage 1990 175 Seiten, 29,80 DM ISBN 3-409-60202-X

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Willi Gross Arbeit.recht Bd. I: Individualarbeitsrecht 1986, 244 Seiten, 48,- DM ISBN 3-409-17099-5

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Bd. II: Schuldrecht - Allgemeiner Teil 5., uberarbeitete Auflage 1990 316 Seiten, 49,80 DM ISBN 3-409-72727-2

Bd. III: Schuldrecht - Besonderer Teil 4., uberarbeitete Auflage 1990 288 Seiten, 48,- DM ISBN 3-409-7222734-5

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Wolfgang Korndorfer Allgemeine Betriebswirtschaftslehre 9., verbesserte Auflage 1989 416 Seiten, 54,- DM ISBN 3-409-32055-5

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