Zur Arbeit mit offenen Aufgaben im Mathematikunterricht...

Zur Arbeit mit

offenen Aufgaben

im Mathematikunterricht

der Klassen 5 und 6

Herausgeber: Landesinstitut für Schule und Ausbildung

Mecklenburg-Vorpommern Ellerried 5 19061 Schwerin

Autoren: Lutz Hellmig Sabine Hoffmann Eva Kleinschmidt Evelyn Kowaleczko Grit Kurtzmann Dieter Leye Marion Lindstädt Peter Lorenz Marion Roscher Prof. Dr. Hans-Dieter Sill Druck: cw Obotritendruck GmbH Schwerin

Umschlagfoto: DUDEN PAETEC GmbH/Dr. Gerd Sonnenfeld Auflage: 2. überarbeitete Auflage, September 2007

Inhaltsverzeichnis:

Vorwort ................................................................................................................................................... 4

1 Allgemeine Kompetenzen am Ende der Klassenstufe 6 ............................................................ 5

2 Zur Arbeit mit offenen Aufgaben im Mathematikunterricht ....................................................... 7

3 Stoffverteilungsvorschlag für die Klassen 5 und 6 .................................................................. 18

4 Vorschläge für die Klasse 5 ........................................................................................................ 20

4.1 Themenbereich „Natürliche Zahlen“................................................................................... 20 4.1.1 Ziele und Schwerpunkte ............................................................................................................ 20

4.1.2 Hinweise zu den Aufgaben ....................................................................................................... 23

Aufgaben zu natürlichen Zahlen............................................................................................... 28

4.2 Themenbereich „Stochastik“............................................................................................... 30 4.2.1 Ziele und Schwerpunkte ............................................................................................................ 30


Aufgaben zur Stochastik............................................................................................................ 34

4.3 Themenbereich „Gebrochene Zahlen“ ............................................................................... 35 4.3.1 Ziele und Schwerpunkte ............................................................................................................ 35


Aufgaben zu gebrochenen Zahlen ........................................................................................... 40

4.4 Themenbereich „Größen“ .................................................................................................... 41 4.4.1 Ziele und Schwerpunkte ............................................................................................................ 41


Aufgaben zu Größen.................................................................................................................. 45

4.5 Themenbereich „Ebene Geometrie“ ................................................................................... 46 4.5.1 Ziele und Schwerpunkte ............................................................................................................ 46


Aufgaben zur Geometrie in der Ebene.................................................................................... 51

4.6 Themenbereich „Räumliche Geometrie“............................................................................ 52 4.6.1 Ziele und Schwerpunkte ............................................................................................................ 52


Aufgaben zur Geometrie im Raum .......................................................................................... 56

5 Vorschläge für die Klasse 6 ........................................................................................................ 57

5.1 Themenbereich „Teilbarkeit“ ............................................................................................... 57 5.1.1 Ziele und Schwerpunkte ............................................................................................................ 57


Aufgaben zur Teilbarkeit............................................................................................................ 61

5.2 Themenbereich „Gebrochene Zahlen“ ............................................................................... 62 5.2.1 Ziele und Schwerpunkte ............................................................................................................ 62


Aufgaben zu Gebrochenen Zahlen .......................................................................................... 68

5.3 Themenbereich „Stochastik“............................................................................................... 71 5.3.1 Ziele und Schwerpunkte ............................................................................................................ 71


Aufgaben zur Stochastik............................................................................................................ 74

5.4 Themenbereich „Geometrie“ ............................................................................................... 75 5.4.1 Ziele und Schwerpunkte ............................................................................................................ 75


Aufgaben zur Geometrie ........................................................................................................... 85

Vorwort

Im Februar 2006 hat der Landtag von Mecklenburg-Vorpommern mit dem neuen Schulgesetz die Ein-führung des längeren gemeinsamen Lernens an Regional- und Gesamtschulen in den Klassenstufen 5 und 6 beschlossen.

Dieses Gesetz eröffnet die Möglichkeit, Entscheidungen über den angestrebten Abschluss erst nach dem sechsten Schuljahr treffen zu müssen und damit die Entwicklung der Schüler innerhalb zweier wichtiger Lebensjahre angemessen berücksichtigen zu können.

Damit betreten Sie als Lehrerinnen und Lehrer der umgestalteten Orientierungsstufe Neuland. Sie sind unter anderem in besonderem Maße gefordert, Aspekte der Binnendifferenzierung zu berücksich-tigen, d.h. Lernangebote und Lernanforderungen im Rahmen der pädagogischen Förderung differen-ziert zu gestalten, um den unterschiedlichen Begabungen, Lernvoraussetzungen und dem unter-schiedlichen Lernverhalten der Schüler gerecht zu werden. Ziel ist es, alle Schüler auf die Anforde-rungen der nachfolgenden Bildungsgänge gut vorzubereiten.

Offene Aufgaben bieten nach internationalen Erfahrungen ein besonders hohes Potential, um alle Schüler einer Klasse bezogen auf ihre individuellen Fähigkeiten am Mathematikunterricht teilhaben zu lassen. Durch die Vielfältigkeit der Lösungswege und möglichen Ergebnisse ergeben sich für die Schüler Anlässe, Ideen zu präsentieren, zu argumentieren und gegeneinander abzuwägen. Oft wird am Ende die Erkenntnis stehen, dass es mehrere verschiedene und jeweils akzeptable Wege gibt, eine Aufgabe zu lösen.

Zur Unterstützung der Arbeit mit offenen Aufgaben in der Orientierungsstufe haben die Fachberaterin-nen und Fachberater für Mathematik der Regionalen Schulen in Mecklenburg-Vorpommern gemein-sam mit Mathematik-Didaktikern der Universität Rostock und mit Unterstützung des Landesinstitutes für Schule und Ausbildung Mecklenburg-Vorpommern diese Broschüre verfasst, die eine Fortschrei-bung einer entsprechenden Broschüre für die Klasse 5 darstellt. Die Vorschläge für die Klasse 5 wur-den im Schuljahr 2006/2007 im Rahmen einer einjährigen unterrichtsbegleitenden Lehrerfortbildung erprobt. Die dabei gesammelten Erfahrungen fließen in diese Fortschreibung ein.

Die offenen Aufgaben in diesem Heft sind vor allem danach ausgesucht worden, inwieweit sie ma-thematisch unterschiedlich befähigten Schülern Möglichkeiten eröffnen, die Aufgabe ihrem Wissen und Können gemäß zu meistern. Diese Aufgaben besitzen oft pragmatische und elegante, anschauli-che und abstrakte, einfache und anspruchsvolle Lösungen.

Ein Vorschlag für eine mögliche Stoffverteilung für den Mathematikunterricht der Orientierungsstufe dient als Anregung für Ihre eigene schulinterne Planung.

Die Broschüre kann auch von der Internetplattform www.mathe-mv.de herunter geladen werden.

Ich wünsche Ihnen viel Freude und Erfolg beim Erproben der offenen Aufgaben im Unterricht.

Heidrun Breyer Landesinstitut für Schule und Ausbildung Mecklenburg-Vorpommern

1 Allgemeine Kompetenzen am Ende der Klassenstufe 6 5

1 Allgemeine Kompetenzen am Ende der Klassenstufe 6 Mathematische Allgemeinbildung muss sich im verständnisvollen Umgang mit Mathematik und in der Fähigkeit zeigen, das „Werkzeug“ Mathematik funktional beim Bewältigen von mathematikhaltigen Anforderungen in verschiedenen Kontexten zu nutzen. Für eine entsprechende Kompetenzentwick-lung ist es hilfreich, zwei verschiedene, aber eng miteinander verbundene Sichtweisen zu unterschei-den. Dabei handelt es sich zum einen um die Betrachtung allgemeiner mathematischer Kompetenzen und zum anderen um die Betrachtung inhaltsbezogener mathematischer Kompetenzen.

Mit allgemeinen mathematischen Kompetenzen sind bestimmte Leistungsdispositionen gemeint, die Fähigkeiten, Fertigkeiten, Kenntnisse und Verhaltenseigenschaften umfassen, die zwar fachspezifisch vom mathematischen Arbeiten geprägt sind, aber nicht an spezielle mathematische Inhalte gebunden sind. Sie können aber nur durch inhaltsbezogene mathematische Tätigkeiten entwickelt werden und bestimmen vor allem die Unterrichtskultur. Zur Entwicklung der allgemeinen mathematischen Kompetenzen tragen auch viele andere Unter-richtsfächer bei, da es sich meist um fachübergreifende Zielsetzungen handelt.

Mit inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen sind bestimmte Leistungsdispositionen gemeint, die ebenfalls Fähigkeiten, Fertigkeiten, Kenntnisse und Verhaltenseigenschaften umfassen, aber sich auf das Bewältigen von Anforderungen in speziellen mathematischen Inhaltsbereichen beziehen. Diese Kompetenzen werden hinsichtlich der Erwartungen am Ende der Orientierungsstufe in dieser Broschüre jeweils zu Beginn der Stoffverteilungsvorschläge aufgeführt.

Die folgende Zusammenstellung allgemeiner Kompetenzen bezieht sich auf die Bildungsstandards der KMK für den Mittleren Schulabschluss und für den Hauptschulabschluss1 sowie auf die fachübergrei-fenden Linienführungen im Rahmenplan für die Orientierungsstufe. Es werden Konkretisierungen der Kompetenzen aus den Bildungsstandards angegeben, die am Ende der Orientierungsstufe erreicht werden sollen.

Argumentieren, Begründen und Beweisen Die Schülerinnen und Schüler – sind daran gewöhnt, nach Argumenten oder Begründungen für die Wahrheit von Aussagen zu

suchen, – sind in der Lage, einfache Aussagen zu begründen, indem sie bekannte Begriffe, Regeln oder

Sätze anwenden, – können zu bekannten Sachverhalten die Wahrheit von Existenzaussagen durch die Angabe eines

Beispiels und die Falschheit von Allaussagen durch die Angabe eines Gegenbeispiels begründen.

Erläuterungen: Mit einem Argument soll eine Person von der Richtigkeit einer Aussage überzeugt werden. Aus dem Argument muss die Aussage nicht logisch exakt oder vollständig abgeleitet werden können. So sind z. B. Messergebnisse auch im Mathematikunterricht für die Schüler überzeugende Argumente. Mit einer Begründung wird die Richtigkeit einer einzelnen Aussage durch einen deduktiven Schluss vollständig gesichert. Ein Beweis ist eine lückenlose Kette von Begründungen für einen mathematischen Satz.

Lösen von Problemen Die Schülerinnen und Schüler – kennen eine allgemeine Schrittfolge zur Bewältigung eines auftretenden Problems, die aus folgen-

den vier Schritten besteht: 1. Erfassen und Analysieren des Problems 2. Suchen nach Lösungsideen und Aufstellen eines Lösungsplans 3. Ausführen des Planes 4. Kontrolle des Lösungsweges und Ergebnisses

– sind gewöhnt und befähigt, in allen geeigneten Fällen, insbesondere beim Lösen von Sachaufga-ben informative Figuren (Skizzen) oder Tabellen anzufertigen,

– können das Probieren bzw. Betrachten von Beispielen und das Zurückführen auf Bekanntes als heuristische Verfahren zum Suchen nach Lösungsideen nutzen.

Erläuterungen: Ein Problem entsteht für einen Schüler, wenn er eine mathematische Aufgabenstellung nicht unmittel-bar lösen kann. Ein Problem existiert also nicht an sich, sondern immer nur in Bezug auf die Schüler, 1 In Mecklenburg-Vorpommern entspricht dies der Mittleren Reife bzw. der Berufsreife.

6 1 Allgemeine Kompetenzen am Ende der Klassenstufe 6

die es lösen sollen. Die Befähigung zum Problemlösen umfasst deshalb auch die Bewältigung einfa-cher Aufgaben durch leistungsschwächere Schüler, wenn diese nicht sofort eine Lösung finden. Unter einer Lösung werden der Lösungsweg und das Ergebnis verstanden.

Modellieren Die Schülerinnen und Schüler – können zu wichtigen mathematischen Begriffen Beispiele aus ihrer Erfahrungswelt angeben und

unterschiedliche Bedeutungen der Wörter erläutern, – können bestimmte Sachzusammenhänge mit Rechenoperationen beschreiben, – können verständnisvoll mit Näherungswerten umgehen.

Kommunizieren Die Schülerinnen und Schüler – können wichtige Begriffe, Sätze und Verfahren an Beispielen erläutern, – können einfache mathematische Lehrtexte verstehen und mit eigenen Worten wiedergeben, – sind daran gewöhnt, Antworten möglichst in vollständigen Sätzen zu geben, – sind bei sicher zu beherrschenden Begriffen in der Lage, die mathematische Bedeutung mit um-

gangssprachlichen Bedeutungen zu vergleichen, – sind daran gewöhnt, auf Äußerungen anderer Schüler einzugehen.

Darstellen und Kontrollieren Die Schülerinnen und Schüler – sind daran gewöhnt, die Lösungen von Aufgaben sauber, übersichtlich und in der entsprechenden

mathematischen Form darzustellen, – sind daran gewöhnt, ihre eigenen Ergebnisse, die Ergebnisse der Mitschüler sowie die Darlegun-

gen des Lehrers auf Richtigkeit zu überprüfen und verwenden dazu geeignete Möglichkeiten.

Strukturierung der Ziele

In den Klassen 5 und 6 ist eine große Anzahl inhaltsbezogener mathematischer Kompetenzen zu realisieren. Fast alle wesentlichen Linienführungen des Rahmenplans beginnen in diesen Klassen-stufen und es werden damit entscheidende Grundlagen für den folgenden Unterricht gelegt. Ange-sichts der zur Verfügung stehenden Unterrichtszeit und der Fülle der Ziele können diese nicht alle auf dem gleichen Niveau realisiert werden. Für eine entsprechende Schwerpunktsetzung im Unterricht hat es sich als sinnvoll erwiesen, drei Aneignungsniveaus zu unterscheiden.

Niveau 1: Sicheres Wissen und Können Die Schüler beherrschen das Wissen und Können jederzeit auch nach der Schule ohne eine spezielle Reaktivierung. Die Anforderungen sollten der Hauptgegenstand täglicher Übungen sowie unvorberei-teter Leistungsüberprüfungen sein.

Niveau 2: Reaktivierbares Wissen und Können Die Schüler beherrschen das betreffende Wissen und Können sicher am Ende eines Stoffgebiets. Nach einem gewissen Zeitraum ist jedoch z. B. zur Vorbereitung auf eine zentrale Leistungsüberprü-fung eine Wiederholung und Reaktivierung des Wissens und Könnens erforderlich, bei der der schon einmal vorhandene Beherrschungsgrad wieder erreichbar ist.

Niveau 3: Exemplarisches Wissen und Können Die Schüler haben erste Einsichten, Vorstellungen bzw. Fähigkeiten hinsichtlich des betreffenden Inhalts des Unterrichts. Sie können z. B. einfache Beispiele angeben, einige wichtige Merkmale nen-nen oder Gedanken zu einer Vorgehensweise äußern. Die Vermittlung der entsprechenden Unter-richtsinhalte sollte in der Regel nur exemplarisch erfolgen. Die Anforderungen sollten kein Gegen-stand von Leistungsüberprüfungen sein. Die Ausweisung des bei den einzelnen Kompetenzen zu erreichenden Niveaus ist ein schwieriges, erst längerfristig und zentral zu lösendes Problem. Die Bildungsstandards wurden zunächst als Regel-standards formuliert, die in etwa dem Niveau 2 entsprechen. In Mecklenburg-Vorpommern wurden bereits Standpunkte für inhaltsbezogene Kompetenzen, die auf dem Niveau des sicheren Wissens und Könnens zu erreichen sind, für das Arbeiten mit Größen und das geometrische Können erarbeitet und in Form von Broschüren an alle Schulen verteilt. Die entsprechenden Dateien können unter www.mathe-mv.de herunter geladen werden.

2 Zur Arbeit mit offenen Aufgaben im Mathematikunterricht 7

2 Zur Arbeit mit offenen Aufgaben im Mathematikunter-richt

Begriff und Rolle von Aufgaben im Mathematikunterricht

Schüler lernen nur durch eigene geistige Tätigkeit, die im Mathematikunterricht vor allem durch Auf-gaben angeregt wird. Deshalb spielen Aufgaben zu Recht eine zentrale Rolle bei allen Betrachtungen zum Mathematikunterricht.

Eine mathematische Schüleraufgabe ist eine mündliche oder schriftliche Aufforderung an Schüler zum Ausführen von Handlungen, die mathematisches Wissen und Können zur Vervollständigung mathe-matischer Zusammenhänge erfordern. Die Aufgabe (bzw. synonym Aufgabenstellung) beinhaltet die Angabe von bestimmten Ausgangsbedingungen und einem Ziel. Jeder Aufgabe können mögliche Lösungswege und das Ergebnis bzw. die Ergebnisse der Aufgabe zugeordnet werden.

Eine einzelne Aufgabe kann nicht für sich betrachtet werden („Das ist aber eine schöne Aufgabe!“). Ihre Wirksamkeit für den Lernprozess der Schüler ergibt sich nicht nur aus ihrem mathematischen Gehalt oder einer schönen Verpackung, sondern hängt in erster Linie davon ab, an welcher Stelle sie im Lernprozess eingesetzt wird, d. h. was vorher und hinterher im Unterricht passiert und davon, wie die Schüler diese Aufgabe bearbeiten. Aufgaben sind also kein Selbstzweck, eine Menge von schö-nen und interessanten Aufgaben ergibt noch keinen guten Unterricht. Entscheidend sind die mit der Aufgabe verfolgten Ziele.

Unter einem Ziel des Unterrichts verstehen wir in diesem Zusammenhang nicht solche allgemeinen Aufgabenstellungen wie Lebensvorbereitung oder Entwicklung von Sach- und Methodenkompetenzen oder auch solche Ziele, die die Schaffung von Voraussetzungen des Lernens betreffen, wie das Ziel, dass alle Schüler motiviert sind und sich aktiv am Unterrichtsgeschehen beteiligen.

Ein Ziel im engeren Sinne ist die Ausbildung bzw. weitere Ausprägung bestimmter psychischer Dispo-sitionen eines Schülers. Psychische Dispositionen sind Kenntnisse, Fähigkeiten, Fertigkeiten, Einstel-lungen, Gewohnheiten, Charaktereigenschaften u. a. Als Oberbegriff für könnensorientierte Dispositi-onen hat sich heute die Bezeichnung „Kompetenz“ etabliert, die außer einer reinen Angabe der Dis-positionen auch noch einen bestimmten Grad der Aneignung intendiert. Der Kompetenzbegriff soll auf die möglichst unmittelbare Verfügbarkeit der Dispositionen orientieren. Die Verfügbarkeit stellt aller-dings nur einen Qualitätsparameter von psychischen Dispositionen dar und es ist sehr praxisfern, diese Qualität bei allen Zielen erreichen zu wollen. Wir plädieren deshalb für eine Unterscheidung von 3 Ausprägungsgraden der Verfügbarkeit (s. S. 6).

Die Betrachtung mathematischer Schüleraufgaben führt somit zur Frage nach der Funktion dieser Aufgabe im Lernprozess einer bestimmten Schülerpopulation, d. h. zur Frage, welchen Beitrag die Anforderungen der Aufgabe und damit verbundene mögliche Schülertätigkeiten zur Entwicklung be-stimmter psychischer Dispositionen der Schüler leisten können.

Von Pädagogen werden die Begriffe Aufgabe und Problem oft als Gegensatz definiert. Sie sprechen von einer Aufgabe, wenn ein Zielzustand klar definiert ist, die erforderlichen Schritte zu seiner Errei-chung bekannt sind und keine Barriere existiert. Eine Aufgabe soll dann als Problem bezeichnet wer-den, wenn sie nicht im ersten Zugriff unter Nutzung einer eingeübten Routine gelöst werden kann.2 Diese Betrachtungsweise ignoriert den üblichen Sprachgebrauch sowie die Tatsache, dass von einem Problem immer nur in Bezug auf einen Schüler gesprochen werden kann. Das Bilden der 1. Ableitung der Funktion f(x) = x² ist für einen Schüler der 5. Klasse ein unlösbares Problem, während es für einen Abiturienten kein Problem sein dürfte. Aber auch in einer 5. Klasse kann dieselbe Aufgabe für einige Schüler ein großes und für anderen gar kein Problem sein. Deshalb sollte der Begriff Aufgabe im obi-gen Sinne allgemein als Aufforderung an Schüler verwendet werden, unabhängig davon, ob die Auf-gabenstellung eindeutig ist, wie viele Lösungswege und Lösungen existieren oder ob die Schüler da-mit sofort zurecht kommen bzw. erst Barrieren überwinden müssen.

2 Landesinstitut für Schule und Ausbildung Mecklenburg-Vorpommern (L.I.S.A.); Dr. Gabriele Lehmann: Glossar - ausgewählte pädagogische Begriffe, 2006

8 2 Zur Arbeit mit offenen Aufgaben im Mathematikunterricht

Offene und geschlossene Aufgaben im Mathematikunterricht

Die Betrachtung von Ausgangsbedingungen, Lösungswegen und Ergebnissen und die Sicht auf den die Aufgabe lösenden Schüler führen zum Begriff der offenen Aufgabe.

Sind für einen Schüler die Ausgangsbedingungen einer Aufgabe nicht vollständig, sind für ihn mehrere Lösungswege möglich und/oder kann er zu mehreren Ergebnissen kommen, so spricht man von einer offenen Aufgabe bezüglich des jeweiligen Schülers.

Eine Aufgabe ist für einen Schüler demzufolge nicht offen, d. h. geschlossen, wenn für ihn die Aus-gangsbedingungen und die Fragestellung vollständig und eindeutig sind sowie nur ein Lösungsweg und nur ein Ergebnis möglich sind.

Beispiel 1: Berechne für ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 5 cm den Flächeninhalt A in Quadratzentimetern mithilfe der Flächeninhaltsformel für Quadrate.

Die Aufgabenstellung weist auf das im Unterricht trainierte Verfahren hin und grenzt andere Techniken wie das Auszählen des Flächeninhalts in einer zeichnerischen Dar-stellung oder die Interpretation des Quadrates als ein Spezialfall des Rechtecks aus. Für einen Schüler ist nach Behandlung der Flächeninhaltsformeln für Quadrate diese Aufgabe geschlossen.

Die Offenheit einer Aufgabe wird u. a. durch das Vorhandensein alternativer Lösungsmöglichkeiten bestimmt. Nur wenn diese dem Schüler bewusst sind und sie von ihm genutzt werden können, ist diese Aufgabe für den Schüler offen. Das folgende Beispiel verdeutliche dies.

Beispiel 2: Berechne den Flächeninhalt des abge-bildeten Rechtecks.

Ein Schüler der Orientierungsstufe wird die Länge der Seiten in der Regel durch Messen bestimmen, damit er die Seitenlängen miteinander multiplizieren kann. Wenn er im Unterricht noch keine Fähigkeiten im Zerlegen und Ergänzen von Figuren erworben hat, ist die Aufgabe ist für ihn geschlossen. Ansons-ten könnte er den Inhalt auch ohne Messung durch eine geschickte Zerlegung in rechtwinklige Dreiecke bzw. Ergänzung zu einem Rechteck bestimmen.

Zum Abschluss der Sekundarstufe I kann der Schü-ler die Seitenlängen mit dem Satz des Pythagoras rechnerisch bestimmen, während einem Schüler der Sekundarstufe II weitere Möglichkeiten zur Flächen-inhaltsberechnung offen stehen.

1LE = 1 cm

Bereits an einfachen Beispielen wie der Aufgabe 3 · 4 = 12 lässt sich zeigen, dass im Grunde jede mathematische Aufgabe potentiell offen ist – zumindest in Bezug auf den Lösungsweg. Ob die Aufga-be für den Schüler tatsächlich offen ist, hängt von mehreren Faktoren ab:

• Mangels entsprechender Kenntnisse und Fähigkeiten der Schüler – bedingt durch den Ent-wicklungsstand der Schüler oder die Zahl der im Unterricht vermittelten Verfahren – können alternative Lösungswege und Ergebnisse nicht gefunden werden.

• Bei der Kontrolle von Lösungen im Unterricht wird ausschließlich der favorisierte Lösungsweg besprochen oder ein Ergebnis genannt. Damit gelangen die Schüler sukzessive zu der irrefüh-renden Anschauung, dass mathematische Aufgaben stets eindeutig lösbar seien.

• Die Bearbeitung bestimmter Aufgabentypen ist soweit automatisiert worden, dass andere Lö-sungsansätze nicht mehr verfolgt werden. Das ist beispielsweise beim kleinen Einmaleins so. Dieser Vorgang ist ein wichtiger und nützlicher Bestandteil des Lernprozesses und dient der Entwicklung einer rationellen Arbeitsweise.

• Durch eine eingrenzende Formulierung der Aufgabenstellung werden alternative Lösungs-wege und Ergebnisse unterbunden.

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

0

0


Formen offener Aufgaben

Es gibt verschiedene Formen offener Aufgaben, die sich auch durch einen unterschiedlichen Grad der Öffnung unterscheiden.

Aufgaben mit unvollständigen Ausgangsbedingungen und fehlender Fragestellung

Bei diesem Typ offener Aufgaben sind die Ausgangsbedingungen soweit reduziert, dass die Schüler selbst fehlende Vorgaben vervollständigen müssen, nötigenfalls durch das Treffen von Annahmen. Zu dieser Form gehört auch die Formulierung eigener Aufgabenstellungen durch die Schüler.

Beispiel 3: Für eine Urlaubsreise plant Familie Krajewski 380 € Benzinkosten, 970 € für die Unterkunft, 400 € für die Verpflegung und 270 € für Ausflüge. In der Urlaubskasse sind 1800 €.

Die Aufgabe wurde von einem Lehrer in einer Klassenarbeit in einer 5. Klasse gestellt. Zu seinem Erstaunen gab es in der Arbeit keine Nachfragen, was denn eigentlich ge-sucht ist und 19 der 27 Schüler kamen nach richtigen Rechnungen zu Antworten wie „Sie brauchen mehr Geld“, „Sie müssen noch sparen“, „Sie können nicht fahren“ oder „Sie müssen die Ausflüge weglassen“.

Aufgaben mit verschiedenen Lösungswegen

Aufgaben dieser Kategorie besitzen klar definierte Ausgangsbedingungen und eine eindeutige Lö-sung, die jedoch mittels verschiedener Verfahren ermittelt werden kann.

Beispiel 4: Löse die Gleichung 15 – 2 · x = 5.

Wie jede Gleichung lässt sich auch diese durch inhaltliche Überlegungen lösen, die be-reits ab Klasse 5 möglich sind oder ab Klasse 8 auch durch formale Umformungen. In-haltliche Lösungsmöglichkeiten sind: Probieren mit geeigneten Zahlen, Zerlegen der Zahl 5 in eine Differenz aus 15 und einer Zahl, Umkehren der Rechnung oder Veran-schaulichen auf der Zahlengeraden. 3

Aufgaben mit mehreren Ergebnissen von unterschiedlicher Qualität – polyvalente Aufgaben

Aufgaben, deren Lösung mehrere Arten von Ergebnissen beinhaltet oder deren Lösungsmenge nicht vom Schüler überblickt werden kann, bilden einen weiteren Typ offener Aufgaben.

Unter diesen Aufgaben gibt es einen speziellen Typ, den wir als polyvalente Aufgaben4 bezeichnen.

Eine Aufgabe heißt polyvalent für eine Schülergruppe, wenn sie folgende Merkmale besitzt:

(1) Jeder der Schüler findet mit hoher Wahrscheinlichkeit eine zutreffende Antwort.

(2) Die Aufgabe ermöglicht Schülerantworten unterschiedlicher Qualität.

Das höhere Niveau einer Antwort kann sich zeigen in der Anzahl der gefundenen Antworten, in dem höheren Schwierigkeitsgrad einer gefundenen Antwort, in der Suche nach Spezialfällen und Struktu-ren (Systematisierungen, Fallunterscheidungen, Mustern) oder in dem Streben nach Verallgemeine-rungen von gefundenen Antworten.

Diese Aufgaben sollen also von allen Schülern einer Klasse weder als zu schwer noch als zu leicht empfunden werden, so dass möglichst viele Schüler mit der selbstständigen Bearbeitung der Aufgabe beginnen. Diese Aufgaben ermöglichen eine implizite innere Differenzierung im frontalen Unterricht und sind nicht an Formen der expliziten Aufgabendifferenzierung oder der Gruppenarbeit gebunden.

Es ist Anliegen dieser Broschüre, dass die vorgeschlagenen offenen Auf-gaben möglichst einen polyvalenten Charakter haben. Die nach unseren bisherigen Erfahrungen und Einschätzungen zu dieser Gruppe gehörenden Aufgaben sind im Folgenden durch das nebenstehend abgebildete Symbol gekennzeichnet. 3 Diese Aufgabe wurde in einer Vergleichsarbeit in den 7. Klassen aller Haupt- und Realschulen in MV gestellt und nur von 20 % der Schüler richtig gelöst. 4 Die Anregungen zu diesem Aufgabentyp entnahmen wir aus dem Buch: The open-ended approach: a new pro-posal for teaching mathematics/edited by Jerry P. Becker, Shigeru Shimada. – National Council of Teachers of Mathematics, Reston, 1997. Für “open-ended approach” fanden wir keine geeignete Übersetzung.

poly�alent


Beispiel 5: Zeichne verschiedene Parallelogramme.

Jeder Schüler einer 6. Klasse sollte mit seinen Zeichengeräten mindestens zwei Paral-lelogramme mit unterschiedlichen Seitenlängen und Winkelgrößen zeichnen können und so zu einer vollwertigen Lösung der Aufgabe kommen. Einige Schüler können auf die Idee kommen, auch Rechtecke oder Quadrate als Lösung anzugeben oder die La-ge zu variieren (eine Kante nicht parallel zur Heftkante, α als stumpfer Winkel). Je inte-ressierter und kreativer die Schüler sind, umso mehr Möglichkeiten werden sie finden.

Generelle Probleme der Entwicklung von polyvalenten Aufgaben

Es gibt bisher wenig erprobte Aufgaben, die im oben definierten Sinne polyvalent sind. Ein Hauptan-liegen dieser Broschüre ist es, Vorschläge zur Konstruktion solcher Aufgaben zu unterbreiten und für die einzelnen Themen der Jahrgangsstufen 5 und 6 von uns entwickelte Aufgaben vorzustellen.

Bei der Entwicklung polyvalenter Aufgaben gehen wir zum einen von bekannten Aufgaben aus und versuchen, sie in unserem Sinne zu „öffnen“. Zu jedem mathematischen Inhalt existiert ein reicher Fundus von wenig bis gar nicht geöffneten Aufgaben, der als "Rohstoff" für offene Aufgaben dienen kann. Wenn im Folgenden von der "Öffnung einer Aufgabe" die Rede ist, bedeutet das die Erhöhung des Grades der Offenheit einer wenig oder nicht geöffneten mathematischen Aufgabe. Vielfach führen dabei Techniken wie die Umkehrung des Problems, die Variation von Daten oder Fragestellungen oder das Weglassen oder Anreichern von Ausgangsgrößen zu geeigneten offenen Aufgaben.

Weiterhin wollen wir an Beispielen Möglichkeiten zur Neukonstruktion polyvalenter Aufgaben darstel-len. Dazu gehen wir von den Bestandteilen und der Struktur der durch die Schüler anzueignenden Wissens- und Könnensziele aus und betrachten als Hauptgruppen von Aneignungsprozessen die Entwicklung von Fertigkeiten, die Aneignung von Kenntnissen zu Begriffen und Zusammenhängen und die Entwicklung von Problemlösefähigkeiten.

Beim Einsatz polyvalenter Aufgaben entsteht – wie in der Regel bei allen offenen Aufgaben – ein nicht unerheblicher Zeitbedarf. Diese Aufgaben sollten deshalb vor allem an wesentlichen Kontenpunkten bei der Aneignung von mathematischem Wissen und Können eingesetzt werden. Das entscheidende Kriterium für ihren Einsatz ist ihre Wirkung auf zentrale Aneignungsprozesse bei möglichst vielen Schülern. Zu berücksichtigen sind dabei auch die bisherigen Erfahrungen und Traditionen im Umgang mit Aufgaben – bis hin zu den üblichen Anforderungen in Leistungsüberprüfungen.

Zur Öffnung und Konstruktion polyvalenter Aufgaben für wichtige Aneig-nungsprozesse

Im Mathematikunterricht geht es aus fachspezifischer Sicht vor allem um die Aneignung mathemati-scher Begriffe, mathematischer Zusammenhänge (Sätze) und mathematischer Verfahren und Regeln; das Entwickeln mathematischer Denk- und Arbeitsweisen sowie um die Entwicklung bestimmter Fä-higkeiten wie z.B. des räumlichen Vorstellungsvermögens oder des Abstraktionsvermögens.

Zur Entwicklung von Fertigkeiten

In Übungsstunden zur Entwicklung von Fertigkeiten sollten zur vollständigen Ausbildung der entspre-chenden Handlungen folgende Aufgabentypen verwendet werden.

(1) Variation der sprachlichen Formulierungen und der Bezeichnungen

(2) Umkehraufgaben

(3) Spezial- und Extremfälle

(4) Aufgaben, die nicht mit dem Verfahren lösbar sind

(5) Aufgaben mit verschiedenen Lösungswegen

(6) Bewerten vorgelegter Aufgaben und deren Lösung

(7) Aufgabenstellungen zum Selbstbilden von Aufgaben durch Schüler Davon sind die Typen (2), (5) und (7) oft Aufgaben mit einem hohen Grad der Offenheit, von denen einige auch den Charakter polyvalenter Aufgaben haben.


Begriff und Konstruktion von Umkehraufgaben

Zu einer Aufgabe erhält man eine Umkehraufgabe, wenn das Gesuchte mit dem Gegebenen bzw. Teilen des Gegebenen der Aufgabe vertauscht wird. Umkehraufgaben dienen der Ausbildung der Reversibilität der Handlung.

Beispiel 6: Zerlege die Zahl 12 in ein Produkt aus zwei Faktoren.

Dies ist eine Umkehraufgabe zu der Aufgabe "Wie viel ist 3 · 4?" Solche Aufgaben sind für die Entwicklung von sicheren Rechenfertigkeiten unverzichtbar. Die Aufgabe ist po-lyvalent, da sie verschiedene Lösungen besitzt, jeder Schüler eine Antwort finden soll-te und einige Schüler zur Suche nach allen Möglichkeiten anregen kann.

Der gleiche Aufgabentyp kann bei allen Rechenoperationen und für alle Zahlenbereiche eingesetzt werden. Der Grad der Offenheit der Aufgabe und damit die zu erwartende Qualität einiger Schüler-antworten kann durch folgende Variation der Aufgabenstellung weiter erhöht werden. "Finde möglichst viele Multiplikationsaufgaben, deren Ergebnis 12 ist." Damit wird die Beschränkung auf 2 Faktoren aufgehoben und es wird ein systematisches Vorgehen zum Finden von Lösungen angeregt. Pfiffige Schüler werden erkennen, dass es durch den Faktor 1 schon im Bereich der natürlichen Zahlen un-endlich viele Aufgaben gibt.

Das folgende Beispiel ist eine Umkehraufgabe der Standardaufgabe im Ablesen von Werten aus be-schrifteten Skalen. Fertigkeiten im Ablesen von Skalen sind insbesondere für naturwissenschaftliche Unterrichtsfächer eine wichtige Vorleistung des Mathematikunterrichts, mit deren Entwicklung in Klas-se 5 begonnen werden sollte.

Beispiel 7: Beschrifte die übrigen Markierungen der Skalen. Finde verschiedene Möglichkeiten.

a) b) 10 20 Die unterschiedliche Qualität der Antworten zeigt sich in der Anzahl der gefundenen Möglichkeiten, in der Verwendung von negativen Zahlen und in Überlegungen zur ma-ximalen Zahl der Möglichkeiten.

Zu Aufgaben mit verschiedenen Lösungswegen

Aufgaben mit verschiedenen Lösungswegen können insbesondere der Integration der Verfahrens-kenntnisse und der Ausprägung des Wechselverhältnisses von inhaltlichen und formalen Vorgehens-weisen dienen.

Beispiel 8: Finde verschiedene Begründungen für die Richtigkeit der folgenden

Gleichung: 1 3 1

+ = 12 4 4

.

Mit dieser Aufgabe können in der Klasse 6 zum einen die Kenntnisse zum Rechnen mit Brüchen und die inhaltlichen Vorstellungen zu Brüchen und zur Addition gefestigt werden. Es können auch zielgerichtet Fähigkeiten im Argumentieren und Begründen entwickelt werden. Antworten sind durch Arbeiten mit Größen (Zeit, Volumen), Ge-genständen, Zeichnungen oder auf formaler Ebene möglich.

Aufgaben zur Begründungen von mathematischen Zusammenhängen sind stets polyvalente Aufga-ben, da sie mehrere Antworten unterschiedlicher Qualität erlauben. Sie können neben der Festigung der betreffenden Zusammenhänge insbesondere auch zur Entwicklung von Fähigkeiten im Argumen-tieren und Verallgemeinern sowie der sprachlich-logischen Schulung dienen.

Zum Selbstbilden von Aufgaben durch Schüler

Eine wichtige Grundlage für die Entwicklung einer Fertigkeit in der Anwendung eines Verfahrens ist die Aneignung der Einsatzbedingungen des Verfahrens. Vor dem Lösen einer entsprechenden Aufga-be sollte sich ein Schüler stets fragen: „Worum geht es in der Aufgabe“, um so den Typ zu erkennen. Das Selbstbilden einer Aufgabe eines gegeben Typs ist eine dazu inverse Handlung und somit auch ein Typ von Umkehraufgaben.


Beispiel 9: Stelle deinem Banknachbarn unterschiedliche Aufgaben zur Addition zweier Brüche und korrigiere seine Lösungen.

Bei dieser polyvalenten Aufgabe muss der Schüler den Typ „Addition zweier Brüche“ und die verschiedenen Möglichkeiten zum Bilden eines Hauptnenners realisieren.

Aneignung5 von Kenntnissen zu Begriffen

Bei der Aneignung von Begriffen geht es um die Einordnung neuer Merkmale in so genannte semanti-sche Netze im Kopf der Schüler. Diese sind ein Modell für die vielfältigen Begriffsbeziehungen im Ge-dächtnis. Begriffe können Objekte, Eigenschaften, Operationen und Relationen bezeichnen.

Die grundlegenden Handlungen zur Aneignung von Begriffen sind das Identifizieren und Realisieren von Begriffen. Beim Identifizieren geht es darum zu erkennen, ob vorgelegte Objekte Repräsentanten des Begriffs sind oder nicht. Das Anforderungsniveau der Aufgaben wird erhöht, wenn gleichzeitig mehrere Objekte und mehrere Begriffe in Beziehung gesetzt werden sollen. Eine typische Formulie-rung für polyvalente Aufgaben ist: „Vergleiche die Objekte miteinander, finde gemeinsame und unter-schiedliche Eigenschaften.“ Mit dieser Aufgabenstellung werden insbesondere auch allgemein geisti-ge Fähigkeiten der Schüler angesprochen und entwickelt.

Das folgende Beispiel zeigt Möglichkeiten der Öffnung einer geschlossenen Aufgabe für die Aneig-nung des Operationsbegriffs Quersumme in verschiedenen Aneignungsphasen. Die geschlossene Grundaufgabe lautet:

Beispiel 10: Bestimme die Quersumme der Zahlen 102, 111, 120, 210, 201 und 300!

Das Ziel dieser Aufgabe ist die Festigung des Begriffs Quersumme und des Verfah-rens zur Berechnung der Quersumme einer Zahl. Die Aufgabe ist geschlossen, da Er-gebnis und Lösungsweg eindeutig sind.

Mit der folgenden Öffnung der Aufgabe kann der Begriff Quersumme erarbeitet werden.

Beispiel 10a: Gegeben sind die Zahlen 102; 111; 120; 210; 201 und 300. Finde gemeinsame Merkmale dieser Zahlen!

Hier wurde die Technik des Weglassens benutzt, um die Aufgabe zu öffnen. Das Weg-lassen einer Angabe aus der Aufgabenstellung (hier: Bestimmen der Quersumme) er-laubt jetzt Schülerantworten mit unterschiedlichem Anspruchsniveau wie etwa:

Alle Zahlen sind dreistellig. Die Zahlen sind größer als 100 und kleiner oder gleich 300. In allen Zahlen kommen nur die Ziffern 0,1,2 oder 3 vor. Die Ziffern 2 und 3 kommen höchstens einmal vor, die 0 und die 1 öfter. Die Summe der Ziffern ist bei allen Zahlen stets 3. Alle Zahlen kann man durch 3 teilen.

Zur Festigung des Begriffes kann eine Umkehraufgabe gebildet werden, so dass die Schüler Zahlen finden müssen, um eine gewisse Quersumme herzustellen.

Beispiel 10b: Finde dreistellige Zahlen, deren Quersumme 3 beträgt.

Es gibt nur 6 mögliche Lösungen. Die Qualität unterschiedlicher Antworten ergibt sich einerseits aus der Zahl der gefundenen richtigen Lösungen und andererseits aus dem Grad der Abstraktheit weiterführender Fragestellungen. (z. B. “Sind das alle Mög-lichkeiten? Wie viele Möglichkeiten gibt es bei der Quersumme 4? ...) Die Aufgabe ist also ebenso wie 10a polyvalent.

Die Öffnung der Aufgabe kann auch durch das Hinzufügen von Bedingungen erfolgen. Soll der Begriff Quersumme mit anderen Begriffen vernetzt werden, kann die geschlossene Aufgabe z.B. so geöffnet werden:

5 "Aneignung" umfasst sowohl die Erstvermittlung als auch die Festigung.


Beispiel 10c: Denke dir eine Zahl, die größer als 10 und kleiner als 1000 ist. Für jede Aussage, die auf deine Zahl zutrifft, erhältst du einen Punkt. −−−− Sie ist mehr als zweistellig. −−−− Sie ist ein Vielfaches von 4. −−−− Es ist eine gerade Zahl. −−−− Die Quersumme ist 3. −−−− Sie ist kleiner als 400.

−−−− Alle Ziffern der Zahl sind Primzahlen. −−−− Sie enthält eine ungerade Ziffer. −−−− Es ist eine Quadratzahl. −−−− Die Ziffern werden von links nach

rechts größer. Suche nach einer Zahl, auf die möglichst viele Aussagen zutreffen.

Die Schüler sollten schrittweise daran gewöhnt werden, weiterführende Aufgabenstellungen selbst-ständig zu entwickeln. Damit demonstrieren sie ein höheres Verständnis des Sachverhalts. Ein tiefe-res Nachdenken über die Aufgabe kann sich beispielsweise im Entstehen der Frage zeigen, ob es möglich sein kann, dass eine Zahl alle Bedingungen erfüllen kann bzw. wie viele Bedingungen höchs-tens gleichzeitig erfüllbar sind.

Im folgenden Beispiel wird eine offene Aufgabe gezeigt, die konstruiert wurde, um in Klasse 5 eine Festigung (Vernetzung) der Begriffe Potenz, Zehnerpotenz, Quadratzahl, Basis und Exponent zu er-reichen. Die Schüler sollen Objekte identifizieren und Beziehungen zwischen ihnen herstellen. Des-halb müssen die gemeinsamen und unterschiedlichen Merkmale der Begriffe auftreten und so variiert werden, dass sie bei einem Vergleich von je zwei Objekten in unterschiedlichen Varianten hervortre-ten. Es werden also Potenzen angeboten, deren Basen 2 (zur Unterscheidung von Quadratzahl), 10 (Zeh-nerpotenz) oder einer beliebigen anderen Zahl (Potenz) entsprechen. Bei den Exponenten müssen die 2 (Quadratzahl) und zur Unterscheidung andere beliebige Zahlen auftreten. Es sollten (um den Unterschied von Basis und Exponent zu provozieren) auch Zahlen auftreten, die bereits als Basis verwendet wurden.

Beispiel 11: Vergleiche jeweils zwei der folgenden Ausdrücke miteinander. Finde Gemeinsamkeiten und Unterschiede.

(1) 32 (2) 103 (3) 510 (4) 102 (5) 22

Aneignung von Zusammenhängen

Unter der Aneignung von Zusammenhängen wird die Entwicklung von Kenntnissen über mathemati-sche Sätze, insbesondere auch von Formeln verstanden. Den Schülern können z. B. bestimmte Konfigurationen vorgegeben werden und sie haben die Auf-gabe, in diesen Konfigurationen möglichst viele Zusammenhänge zu erkennen. Die unterschiedliche Qualität der Ergebnisse zeigt sich in der Anzahl und dem Anspruchsniveau der gefundenen Zusam-menhänge. Die Offenheit der Aufgabe 12 entsteht durch die Offenheit des Ziels. Es sind mehrere geometrische Objekte (Parallelogramm, Dreiecke, Winkel an geschnittenen Parallelen,…) vorhanden und es können eine Vielzahl von Zusammenhängen auf unterschiedlichem Niveau gefunden werden.

Beispiel 12: ABCD ist ein Parallelogramm, DF ist die Verlängerung der Seite AD . BF ist die Win-kelhalbierende des Winkels ABC.

Finde Beziehungen zwischen den Winkeln und Strecken in der Figur.

Diese Aufgabe dient der Festigung der Winkelsätze an geschnittenen Geraden sowie Parallelen und des Basiswinkelsatzes durch selbständiges Identifizieren von Beziehungen in der Figur. Es lassen

sich zahlreiche Eigenschaften in der Figur erkennen bis hin zur Feststellung, dass DF AB BC= − ist.

A B

C D

F

E


Entwicklung von Problemlösefähigkeiten

Zur Entwicklung von Fähigkeiten liegen bisher noch die wenigsten abgesicherten Ergebnisse vor, insbesondere wenn es sich um allgemeine Fähigkeiten handelt. Allgemeine Fähigkeiten wie das Ar-gumentieren, Modellieren oder Abstrahieren können nicht an sich entwickelt werden, sondern nur im Zusammenhang mit konkreten mathematischen Tätigkeiten. Es ist deshalb auch nicht möglich, die Entwicklung allgemeiner Fähigkeiten als Grundlage für eine Strukturierung des Unterrichts zu verwen-den. Bei jeder Aufgabe werden auch immer mehr oder weniger allgemeine Fähigkeiten gefordert und damit entwickelt.

In dieser Broschüre beschränken wir uns auf die Entwicklung von Problemlösefähigkeiten im Zusam-menhang mit der Lösung von Sachaufgaben als einem zentralen Gegenstand des Unterrichts in der Orientierungsstufe. Dabei soll es insbesondere um die Entwicklung von Fähigkeiten in der Verwen-dung der heuristischen Hilfsmittel Skizze und Tabelle gehen.

Für das Lösen von Sachaufgaben wurden zahlreiche unterschiedliche heuristische Orientierungs-grundlagen für Schüler vorgeschlagen. Nach unserer Auffassung ist die folgende gut geeignet. Es werden nur für die ersten Phasen der Problembearbeitung weitere Orientierungen in Form von Fragen eines Schülers an sich selbst angegeben.

1. Erfassen des Sachverhaltes (1) Erfassen der Hauptinformation

Worum geht es in der Aufgabe? (2) Klären unbekannter Begriffe und Sachverhalte

Verstehe ich alles in dem Text? (3) Schätzen des Ergebnisses

Wie könnte vermutlich die Antwort sein? 2. Analysieren des Sachverhaltes

(1) Ermitteln des Gesuchten und Gegebenen Was ist gesucht? Was ist gegeben?

(2) Bezeichnen des Gesuchten und Gegebenen Wie kann ich das Gesuchte und Gegebene günstig bezeichnen?

(3) Skizzieren des Sachverhaltes Ist eine Skizze möglich? • Welche Situationen müsste ich skizzieren? • Welche Beziehungen kann ich erkennen?

(4) Anfertigen einer Tabelle Kann ich die gesuchten und gegebenen Größen in einer Tabelle erfassen? • Wofür benötige ich Zeilen? (Welche Objekte treten auf?) • Wofür benötige ich Spalten? (Zu welchen Eigenschaften der Objekte gibt es Aussa-

gen?) • Welche Beziehungen innerhalb der Zeilen und Spalten erkenne ich?

3. Suchen nach Lösungsideen und Planen eines Lösungsweges 4. Durchführen des Lösungsplanes 5. Kontrolle und Auswertung der Lösung und des Lösungsweges

Eine der Hauptursachen für die mangelnden Leistungen der Schüler im Lösen von Sachaufgaben sind gering ausgebildete Fähigkeiten und Gewohnheiten im Arbeiten mit Skizzen und Tabellen bei der Analyse des Sachverhaltes.

Beispiel 13: Ein Tunnel soll 3,5 km lang werden. Die Bohrung wird von beiden Sei-ten begonnen. Nach fünf Monaten ist der eine Bohrtrupp 1,8 km, der andere 0,7 km vorgedrungen.

Fertige eine Skizze zu dem Sachverhalt an und beschrifte sie.

Zur Anfertigung einer Skizze muss ein Schüler zuvor den Sachverhalt erfasst haben, d. h. er muss sich ein Tunnel (z. B. durch einen Berg) und die Arbeit eines Bohrtrupps vorstellen. Es sind verschiedene Skizzen möglich, die einen unterschiedlichen Abstrak-tionsgrad haben. Eine Strecke mit zwei Unterteilungen ist bereits ausreichend.6

6 Die Aufgabe wurde im Rahmen einer Vergleichsarbeit aller 7. Klassen der Haupt- und Realschulen in Mecklen-burg-Vorpommern im Schuljahr 1999/2000 gestellt. In einer repräsentativen Stichprobe von 1295 Schülern zeigte sich, dass nur 34 % der Schüler eine dem Sachverhalt entsprechende Skizze angefertigt haben.


Unterrichten mit polyvalenten Aufgaben

Vorteile des Einsatzes offener Aufgaben

Das Öffnen von Aufgaben sollte nicht dazu dienen, ihren Schwierigkeitsgrad zu erhöhen. Vielmehr können viele Schüler durch die Bearbeitung offener Aufgaben einen veränderten Zugang zur Mathe-matik erleben. Mathematik wird danach weniger als ein starres System gesehen, bei dem die Lösun-gen nach genau definierten Algorithmen exakt bestimmt werden müssen. Stattdessen eröffnet sich den Schülern die Vielfältigkeit mathematisch gültiger Betrachtungen, die es prinzipiell jedem erlauben, sich der Aufgabe seinen Fähigkeiten entsprechend zu nähern. Durch diesen Ansatz werden nicht die Wissenslücken der Schüler betont, sondern eine Vielzahl von jeweils korrekten Schülerantworten er-möglicht eine genauso hohe Zahl von Erfolgserlebnissen – gerade bei Schülern, die das bisher im Mathematikunterricht selten selbst erlebt haben.

Die Mannigfaltigkeit der entstehenden Lösungen für ein und dieselbe Aufgabe erfordert entsprechen-de didaktische Konzepte zur Sicherung der Ergebnisse. Das Besprechen unterschiedlicher Schüler-antworten ist mehr als nur eine Kontrolle auf "Richtigkeit". Die der Aufgabenbearbeitung folgende Dis-kussion in der Klasse setzt den Lernprozess beim einzelnen Schüler fort. Der Schüler kann die Ideen seiner Mitschüler nachvollziehen und sich zu eigen machen. Damit dient die Phase der Diskussion der Lösungen auch dem Entwickeln allgemeiner Fähigkeiten, wie z.B. dem Argumentieren, dem Kommu-nizieren und dem Verwenden mathematischer Darstellungen.

Offene Aufgaben können trotz dieser Vorzüge weitgehend geschlossene Aufgabenstellungen nicht ersetzen. Im Gegenteil, die Bearbeitung offener Aufgaben und die Gestaltung eines entsprechenden offenen Unterrichts setzt die gründliche Beschäftigung mit geschlossenen Aufgaben und weite Stre-cken eines lehrerzentrierten Unterrichts voraus, um notwendige kognitiven und Verhaltenseigenschaf-ten der Schüler für ein Arbeiten mit offenen Ausgaben auszubilden. Über diese notwendigen Voraus-setzungen hinaus müssen die Schüler aber auch an die spezifischen Arbeitsweisen im Umgang mit offenen Aufgaben und insbesondere mit polyvalenten Aufgaben gewöhnt werden.

Offene Aufgaben finden ihren Platz in verschiedensten Unterrichtsformen. Nahe liegend ist, dass im Rahmen mathematischer Projekte, im Gruppenunterricht und in anderen freien Arbeitsformen offene Aufgaben bearbeitet werden können. Darüber hinaus sind offene Aufgaben in besonderem Maße für binnendifferenziertes Arbeiten in frontalen Unterrichtsphasen geeignet.

Polyvalente Aufgaben im frontalen Unterricht

Das Arbeiten mit polyvalenten Aufgaben in frontalen Unterrichtsformen erfordert zwei Arbeitsphasen.

In der ersten Phase bearbeiten die Schüler die Aufgabenstellung. Hierzu gehören das Erfassen der Aufgabenstellung, das Entwerfen eines Lösungsplanes, die eigentliche Lösung der Aufgabe und die Überprüfung der Lösung. Das kann für gewöhnlich in Einzel- oder auch in Partnerarbeit erfolgen.

In der zweiten Arbeitsphase stellen die Schüler ihre Ergebnisse zur Diskussion. Diese Phase erfolgt durch eine Kommunikation im gesamten Klassenverband. Der Bedeutung dieses Prozesses ist auch zeitlich Rechnung zu tragen. Dem selbstständigen Bearbeiten der Aufgaben und dem Besprechen der Lösungen sollte erfahrungsgemäß jeweils die Hälfte der insgesamt geplanten Zeit zur Verfügung ste-hen.

Gesamtarbeitszeit

50%

Bearbeiten der Aufgabenstellung in Einzel- oder Partnerarbeit durch die Schüler

50%

Vorstellen und Diskutieren verschiedener Lösungen in der Klasse durch die Schüler

Wichtig für die zweite Arbeitsphase ist, dass zunächst diejenigen Schüler zum Vorstellen ihrer Ideen aufgefordert werden sollten, die eine mathematisch weniger anspruchsvolle Lösung erarbeitet haben. Damit sind nachfolgende Schüler nicht durch eine "perfekte Musterlösung" zum Anfang der Diskussion gehemmt. So kann eine Vielzahl unterschiedlicher Aufgabenlösungen vorgetragen werden.

Die Aufgabe des Lehrers besteht in beiden Arbeitsphasen darin, Impulse für den Fortgang des Ar-beitsprozesses zu geben. In der Bearbeitungsphase sind Fragen zum Verständnis der Aufgabe oder Hinweise auf verschiedene Lösungsstrategien zu bevorzugen. Gezielte Tipps zu konkreten Lösungen oder Lösungswegen sind zu vermeiden. In der Diskussionsphase wird von den Schülern erwartet, die


30 m

20 m

22 m

16 m

Ergebnisse vorzustellen und – als Zuhörer – kritisch zu hinterfragen und zu beurteilen. Auch hier sollte der Lehrer anstreben, die Diskussion nur zu lenken, aber nicht selbst zu bestreiten.

Wege zu offenen Aufgaben im Unterricht

Polyvalente Aufgaben wie auch alle anderen offenen Aufgaben sollen die Freude und das Verständnis für die Mathematik beim Schüler durch das Schaffen von Erfolgserlebnissen fördern. Der erfolgreiche Umgang mit offenen Aufgaben im Unterricht bedarf aber einer gewissen Übung seitens der Schüler und Lehrer. Dieser Entwicklungsprozess – beginnend mit dem Entwickeln von Fähigkeiten im Präsen-tieren und Diskutieren mathematischer Sacherhalte – führt über das Öffnen der Aufgabenstellung zum Öffnen des mathematischen Sachverhaltes. Das benötigt Zeit. Sie vermeiden Aversionen der Schüler offenen Aufgaben gegenüber, wenn Sie sie allmählich an diese Aufgabenform gewöhnen.

Die Diskussionsphase umfasst weit mehr als das pure Nennen von Ergebnissen. Das Darstellen von Lösungswegen, das Begründen und Argumentieren sind Schülertätigkeiten, die einen festen Platz in der gesamten Unterrichtskultur haben sollten. Dem Sprechen der Schüler vor der Klasse zu mathema-tischen Sachverhalten kommt in diesem Zusammenhang eine besondere Bedeutung zu.

Das Öffnen von Aufgabenstellungen sollte schrittweise erfolgen:

In der ersten Etappe lernen die Schüler, mit der Verschiedenartigkeit mathematischer Darstellungs-formen umzugehen. Der mathematische Gehalt ist in dieser Phase klar umrissen. Den Schülern ob-liegt es, eine geeignete Form für die Darstellung des Ergebnisses zu finden. Beispielsweise kann im Stoffgebiet Stochastik die Form der Darstellung von Daten den Schülern freigestellt werden. Als Alter-nativen stehen hier die Textform, Strichlisten, Tabellen oder Diagramme zur Auswahl.

Die Öffnung des mathematischen Sachverhaltes kann mit dem Weglassen der Aufgabenstellung bei einfachen Aufgaben beginnen. Den Satz "In einer Konzerthalle stehen 84 Stuhlreihen mit je 72 Plät-zen." ohne explizite Fragestellung interpretieren die Schüler in aller Regel als mathematische Aufgabe für das Ermitteln der Gesamtzahl aller Sitzplätze der Konzerthalle7. Die Bearbeitung der Aufgabe führt mit hoher Sicherheit zur Multiplikation von 84 und 72, so dass der Grad der Offenheit dieser Aufgabe noch gering ist. Die Schüler nehmen jedoch wahr, dass sie einen eigenen geistigen Beitrag zum Er-fassen der Aufgabe leisten müssen. Eine wörtliche Formulierung der Aufgabenstellung durch die Schüler führt zu verschiedenen gleichwertigen Varianten.

Im nächsten Schritt können die Schüler über die Diskussion ver-schiedener Lösungsverfahren für ein und dieselbe Aufgabe den kreativen Charakter mathematischen Arbeitens intensiver erle-ben. Beispielsweise führt die Flächenberechnung einer zusam-mengesetzten Fläche wie in nebenstehender Skizze zu ver-schiedenen Möglichkeiten der Flächenzerlegung als Lösungs-weg. Diese Alternativen können durch die Schüler in der Klasse vorgestellt und gegeneinander abgewogen werden.

Hiernach wird den Schülern auch der Umgang mit offenen Auf-gaben, die verschiedenartige Lösungen besitzen, leichter fallen. Sie akzeptieren die Vielgestaltigkeit mathematischer Lösungen und besitzen Routine im Darstellen und Diskutieren mathematischer Sach-verhalte in der Klasse. Auch Aufgaben, bei denen die Fragestellung unterschiedlich interpretiert wer-den kann oder die Ausgangsbedingungen unscharf formuliert oder gar nicht genannt sind, werden nun durch die Schüler besser bewältigt.

Zur Bewertung polyvalenter Aufgaben

Obwohl polyvalente Aufgaben ursprünglich für die Beurteilung mathematischer Leistungen im höheren Anspruchsniveau entwickelt worden sind, liegen bislang nur wenige Erfahrungswerte zu dieser Prob-lematik vor. Der Grund dafür ist in der Charakteristik der polyvalenten Aufgaben selbst begründet.

Wollte man polyvalente Aufgaben in der gleichen Weise wie geschlossene benoten, müssten eine Menge verschiedener Lösungswege und Lösungen im Vorfeld als Erwartungsbild mit einem Bewer-tungsmaßstab versehen werden. Dieses Vorgehen wäre sehr aufwändig. Hinzu kommt, dass man bei aller Weitsicht trotzdem von unvorhergesehenen Lösungsvorschlägen der Schüler überrascht werden kann.

7 Schüler, die routiniert mit offenen Aufgabenstellungen umgehen können, werden in der Lage sein, ein breiteres Spektrum an Aufgabenstellungen zu entwickeln. Denkbar wären auch Fragestellungen wie: "Reichen die Plätze für die Schüler unserer Schule?" oder "Kann man die Stühle auch gleichmäßig auf 80 Reihen verteilen?"


Einige Überlegungen, wie man sich dem Problem der Bewertung polyvalenter Aufgaben nähern kann, sollen im Folgenden vorgestellt werden. Man kann die erbrachten Schülerleistungen zunächst in den einzelnen Phasen des Aufgabenlösens betrachten.

− In der ersten Phase Aufgabenanalyse können beispielsweise die Qualität eventuell hinzugefügter Größen und Annahmen ein Kriterium der Bewertung sein. Bei Aufgaben mit fehlender Fragestel-lung können die Relevanz und die Komplexität der Frage berücksichtigt werden.

− Bei der Planung und Ausführung der Lösung können je nach Aufgabentyp die Zahl der beachteten Einflussgrößen, der Zahl der betrachteten Lösungswege, die Effizienz des Lösungsweges, der Grad der Allgemeinheit der Lösung oder die Zahl verschiedener Lösungen bewertet werden.

− In der Phase der Überprüfung der Ergebnisse kann bewertet werden, ob Fehlerdiskussionen statt-gefunden haben, Betrachtungen zur Genauigkeit des Ergebnisses angestellt worden sind oder wei-terführende Fragestellungen formuliert wurden.

− Bei einer möglichen Darstellung des Ergebnisses können die Wahl einer geeigneten Darstellungs-form, die Anzahl verschiedener Präsentationsformen oder die sprachliche und optische Gestaltung der Ergebnisdarstellung zur Bewertung herangezogen werden. Die Beteiligung von Schülern an der Diskussion mit durchdachten Fragestellungen oder in Form von Hinweisen zu Lösungen kann ein weiterer Aspekt der Bewertung sein.

Die Anwendbarkeit dieser Kriterien ist von der konkreten Aufgabenstellung abhängig. Dabei kann sich auch zeigen, dass sich polyvalente Aufgaben unterschiedlich gut für eine Bewertung eignen. Das Be-arbeiten polyvalenter Aufgabenstellungen erfordert häufig einen Mehraufwand an Zeit, die bei der Leistungserbringung zu berücksichtigen ist. Aus diesem Grund wird es nur in wenigen Fällen möglich sein, diese Aufgaben in schriftlichen Leistungskontrollen einzusetzen.

Für die Vergabe von Punkten wäre es denkbar, 60% der vorher festgelegten Gesamtpunktzahl für eine richtige Lösung vergeben. Die restlichen für die Bewertung vorgesehenen Punkte können verge-ben werden, wenn höherwertige Lösungen oder Ergebnisdarstellungen im Sinne der oben beschrie-benen Kriterien erbracht worden sind. Eine derartige Verfahrensweise sollte vor der ersten Anwen-dung gemeinsam mit den Schülern besprochen werden.

Offene Aufgaben im schulischen Umfeld

Wenn Sie beginnen, offene Aufgaben zu einem Bestandteil Ihres Unterrichts zu machen, sollten Sie in Betracht ziehen, dass diese Innovation Fragen, Irritationen und vereinzelt auch Widerstände hervorru-fen können. Das ist besonders von Bedeutung, wenn Sie die Arbeit an offenen Aufgaben auch bewer-ten wollen. Nutzen Sie rechtzeitig Fachkonferenzen, schulinterne Fortbildungen und Elternabende, um die anstehenden Veränderungen im Mathematikunterricht transparent zu machen und gewinnen Sie dadurch Unterstützung für Ihr Anliegen, Mathematik etwas anders zu machen.

Zu den Aufgaben in der Broschüre

Aufgaben, die nach unserer Einschätzung einen polyvalenten Charakter haben, werden bei den Hin-

weisen mit dem Logo poly�alent

gekennzeichnet. Die übrigen Aufgaben sind zwar offen, aber nicht polyvalent, da entweder nicht alle Schüler ohne Hilfen eine zutreffende Antwort finden können oder die Aufgabe keine Potenzen für Antworten bzw. weiterführende Gedanken höherer Qualität besitzt.

Es wird bei jeder Aufgabe der mögliche Zeitbedarf für die selbstständige Schülerarbeit angegeben, zu dem in der Regel noch einmal soviel Zeit für die Vorstellung von Schülerantworten einzuplanen ist.

Bei jeder Aufgabe wird eine große Zahl möglicher Schülerantworten angegeben, ohne dass der An-spruch auf Vollständigkeit besteht. Mit der Angabe der zahlreichen Antwortmöglichkeiten ist aber nicht gemeint, dass alle diese Antworten auch in der Auswertung der Aufgaben zu behandeln sind.

Die Schüler müssen schrittweise an die Bearbeitung polyvalenter Aufgaben gewöhnt werden. Dazu gehört, dass jeder Schüler weiß, dass von ihm eine mögliche Antwort erwartet wird und er sich des-halb auch sofort selbstständig mit dieser Aufgabe beschäftigt. Interessierte und befähigte Schüler sollten sich angewöhnen, nach besonderen Antworten, Strukturen, Verallgemeinerungen oder weiter-führenden Fragen zu suchen. Dazu werden in den Hinweisen teilweise Anregungen gegeben.

Für jedes Stoffgebiet geben wir weiterhin eine Auswahl besonders empfehlenswerter Aufgaben an, die wir aufgrund ihrer Bedeutung für zentrale Aneignungsprozesse mathematischen Wissens und Könnens und ihres ausgeprägten polyvalenten Charakters für besonders wichtig halten.

18 3 Stoffverteilungsvorschlag für die Klassen 5 und 6

3 Stoffverteilungsvorschlag für die Klassen 5 und 6 Die Stoffverteilungsvorschläge in dieser Broschüre sind als eine Unterstützung bei der Aufstellung schuleigener Fachpläne8 zu verstehen. Dabei werden nur die fachspezifischen Kompetenzen berück-sichtigt. Planungen für fachübergreifende Ziele, wie etwa der Entwicklung der Lesekompetenz können nur ausgehend von dem schulinternen Lehrplan des Gesamtkollegiums erfolgen.

Die für das Lernen genutzte Unterrichtszeit hat sich in Untersuchungen der empirischen Bildungsfor-schung neben einer klaren Strukturierung des Unterrichts als eines der entscheidenden Kriterien für eine hohe Qualität des fachlichen Lernens erwiesen9. Die Planung der einzelnen Unterrichtszeiten, die zur Realisierung der zahlreichen Ziele und Inhalte des Mathematikunterrichts in den Klassen 5 und 6 vorzusehen sind, ist allerdings ein sehr komplexes Problem. Dieses so genannte Stoff-Zeit-Problem spielt in der täglichen Arbeit eines jeden Lehrers eine erhebliche Rolle. Es gibt allerdings in Mecklen-burg-Vorpommern kaum Untersuchungen, Planungen und Orientierungen für zeitliche Rahmenbedin-gungen. Im nationalen Maßstab haben Bundesländer, deren Pläne gut durchdachte zeitliche Orientie-rungswerte und konkrete Anforderungen enthalten, bei nationalen und internationalen Leistungsver-gleichen wesentlich besser abgeschnitten als Bundesländer, in denen dies nicht der Fall ist.

In der Schule wird das Stoff-Zeit-Problem häufig mit defizitären Sichtweisen verbunden. Die Zeit, die einem Lehrer zur Verfügung steht, um die Unterrichtsziele auf dem von ihm persönlich erwarteten Niveau zu realisieren, wird in der Regel als viel zu gering empfunden. Dies führt dann bei vielen Leh-rern zu einem ständigen Gefühl fehlender Zeit und unbefriedigender Lernergebnisse. Untersuchungen in Mecklenburg-Vorpommern zur realisierten Stofferteilung ergaben erhebliche Differenzen bei den Themengebiete der Klassen 5 und 6, die bei den natürlichen und gebrochenen Zahlen bis zu 100 Stunden betrugen. Die Ausdehnung der aufgewendeten Zeit für einzelne Themen führt unweigerlich zu einer Reduzierung der Zeit für andere Gebiete.

Wir halten langfristig eine Änderung der gegenwärtig dominierenden Sichtweise auf das Stoff-Zeit-Problem für erforderlich. Die für ein bestimmtes Themengebiet und auch für einzelne Unterrichtsein-heiten zur Verfügung stehende Zeit sollte als eine gegebene und im Wesentlichen nur wenig verän-derbare Größe angesehen werden. Die Aufgabe eines Lehrers besteht dann darin, in der zur Verfü-gung stehenden Zeit möglichst optimale Ergebnisse unter Berücksichtigung der konkreten Klassensi-tuation zu erreichen.

Die Festlegung der zeitlichen Rahmenbedingungen kann allerdings nicht aus Sicht eines einzelnen Lehrers oder Fachkollegiums erfolgen. Sie ergibt sich als wissenschaftliches Problem aus den not-wendigen Zeiten für die Aneignung der betreffenden Lerngegenstände, aus den Lernprozessen, die im weiteren Schulverlauf zu konzipieren sind und aus der Festlegung der Anforderungen in zentralen Leistungsüberprüfungen.

Der Begriff Unterrichtsstoff wird im engeren Sinne als Element einer wissenschaftlichen Theorie auf-gefasst. Es hat sich in unserem Land aus historischen Gründen aber längst eine erweiterte Fassung des Stoffbegriffes im Denken von Rahmenplanautoren und Lehrern durchgesetzt, die auch Vorstel-lungen, Fertigkeiten, Fähigkeiten bzw. geistige Tätigkeiten in den Stoffbegriff einbezieht. Wenn etwa in einem Plan vom Bruchbegriff die Rede ist, so versteht jeder Lehrer darunter nicht nur die mathemati-sche Definition des Begriffes Bruch, sondern die Vermittlung sämtlicher inhaltlicher Aspekte des Bruchbegriffes und der Fähigkeiten im Umgang mit Brüchen in verschiedenen Sachsituationen. Es macht deshalb wenig Sinn, den bewährten Stoffbegriff in einen Gegensatz zum neuen Kompetenz-begriff zu bringen. Die Aneignung jeglichen Unterrichtsstoffes ist immer mit der Ausbildung fachspezi-fischer Kompetenzen verbunden und Kompetenzen ohne stoffliche Inhalte gibt es nicht. Wir bleiben deshalb bei der Bezeichnung „Stoffverteilungsplan“ und haben uns bemüht, die mit dem einzelnen Unterrichtsstoff verbundenen Kompetenzen im Rahmen der knappen Darstellung deutlich zu machen.

Die unterbreiteten Vorschläge für die einzelnen Themengebiete beziehen sich auf 28 Unterrichtswo-chen. In diesen Planungen sind keine Zeiten für die Durchführung und Auswertung von Leistungskon-trollen sowie von Projekten enthalten.

Zu Beginn eines jeden Gebietes werden die in den Leitideen der Bildungsstandards enthaltenen fach-lichen Kompetenzen, die für dieses Thema zutreffend sind, aufgeführt.

8 Vgl.: Leitfaden Schulinterner Lehrplan, L.I.S.A. M-V, Schwerin 2006 9 Meyer, H.: Was ist guter Unterricht. – Berlin : Cornelsen Verlag, 2004

3 Stoffverteilungsvorschlag für die Klassen 5 und 6 19

Stoffverteilungsvorschlag für die Klassen 5 und 6

Klasse 5 Std. 1 Natürliche Zahlen 40 Mit Schwung ins neue Schuljahr 3 1.1 Verwenden und Darstellen nat. Zahlen 5 1.2 Rechenoperationen mit natürlichen Zah-

len 10

1.3 Rechengesetze, Rechenvorteile, Vor-rangregeln

3

1.4 Schriftliche Rechenverfahren 10 1.5 Gleichungen und Ungleichungen 4 1.6 Gemischte Aufgaben 5 2 Beschreiben und Auswerten zufälli-

ger Vorgänge 10

2.1 Zufällige Vorgänge, Wahrscheinlichkeit 4 2.2 Durchführen und Auswerten statistischer

Untersuchungen 6

3 Gebrochene Zahlen 25 3.1 Bruchbegriff, Darstellen von Brüchen auf

dem Zahlenstrahl 4

3.2 Erweitern und Kürzen von Brüchen 3 3.3 Vergleichen und Ordnen gleichnamiger

Brüche; Addieren und Subtrahieren gleichnami-

ger Brüche

3

3.4 Dezimalbrüche 2 3.5 Vergleichen, Ordnen und Runden von

Dezimalbrüchen 3

3.6 Rechnen mit Dezimalbrüchen 6 3.7 Gemischte Aufgaben 4 4 Größen 15 Rückblick 1 4.1 Währung 2 4.2 Masse 3 4.3 Zeit 4 4.4 Länge 3 4.5 Gemischte Aufgaben 3 5 Ebene Geometrie

Rückblick 26 4

5.1 Winkelbegriff 6 5.2 Das Koordinatensystem 2 5.3 Spiegelungen 3 5.4 Umfang und Flächeninhalt von Figuren 6 5.5 Gemischte Aufgaben 4 6 Räumliche Geometrie

Rückblick 24 4

6.1 Geometrische Körper – Eigenschaften von Quadern

2

6.2 Schrägbilder von Quadern 4 6.3 Berechnen des Oberflächeninhalts von

Quadern 2

6.4 Volumen von Körpern – Einheiten des Volumens

6

6.5 Gemischte Aufgaben 6 Summe: 140

Klasse 6 Std. 1 Teilbarkeit 12 Mit Schwung ins neue Schuljahr 2 1.1 Teilermengen und Primzahlen 3 1.2 Teilbarkeitsregeln 3 1.3 Kleinstes gemeinsames Vielfaches 3 1.4 Größter gemeinsamer Teiler 1 2 Gebrochene Zahlen 40 2.1 Rückblick; Begriff der gebrochenen Zahl 5 2.2 Gleichnamigmachen von Brüchen 2 2.3 Vergleichen und Ordnen von ungleich-

namigen Brüchen 3

2.4 Addieren und Subtrahieren von un-gleichnamigen Brüchen

5

2.5 Multiplizieren von Brüchen 4 2.6 Dividieren durch einen Bruch 3 2.7 Dividieren von Dezimalbrüchen;

Periodische Dezimalbrüche 8

2.8 Eigenschaften gebrochener Zahlen 4 2.9 Gemischte Aufgaben 6 3 Stochastik 18 3.1 Ermitteln der Anzahl von Möglichkeiten 3 3.2 Zufällige Vorgänge, Wahrscheinlichkeit (2) 3.3 Wahrscheinlichkeit und relative Häufig-

keit 3

3.4 Berechnen von Wahrscheinlichkeiten 4 3.5 Arithmetisches Mittel 4 3.6 Darstellen und Auswerten von Daten 4 4 Geometrie 70 4.1 Geometrische Abbildungen 12 4.2 Winkelbeziehungen 9 4.3 Konstruieren 3 4.4 Dreiecke 16 4.5 Vierecke 10 4.6 Körper 15 4.7 Gemischte Aufgaben 5 Summe: 140

20 4.1 Vorschläge zum Themenbereich „Natürliche Zahlen“ in Klasse 5

4 Vorschläge für die Klasse 5 4.1 Themenbereich „Natürliche Zahlen“

4.1.1 Ziele und Schwerpunkte

Forderungen der Bildungsstandards

Die Schülerinnen und Schüler – nutzen Vorstellungen von natürlichen Zahlen entsprechend der Verwendungsnotwendigkeit, – stellen Zahlen der Situation angemessen dar, unter anderem in Zehnerpotenzschreibweise, – rechnen mit natürlichen Zahlen auch im Kopf, – nutzen Rechengesetze, auch zum vorteilhaften Rechnen, – nutzen zur Kontrolle Überschlagsrechnungen, – runden Rechenergebnisse entsprechend dem Sachverhalt sinnvoll, – erläutern an Beispielen den Zusammenhang zwischen Rechenoperationen und deren Umkehrun-

gen und nutzen diese Zusammenhänge, – wählen, beschreiben und bewerten Vorgehensweisen und Verfahren, denen Algorithmen bzw.

Kalküle zu Grunde liegen, – prüfen und interpretieren Ergebnisse in Sachsituationen.

Planungsvorschlag

Thema Std. Schwerpunkte Bemerkungen

Mit Schwung ins neue Schuljahr

3 • Interesse am Mathematikunterricht entwickeln

• beim Lösen von unterhaltsamen Kopfrechenaufgaben zu allen Re-chenoperationen den Stand der Rechenfertigkeiten der Schüler feststellen

− Zu Beginn des neuen Ma-thematikunterrichts sollten besondere Anstrengungen unternommen werden.

• Auswahl von Aufgaben nach den

Interessen der Schüler o Rechenketten, Zahlenmauern o Zahlenrätsel o Knobel- und Scherzaufgaben o Fortsetzung von Zahlenfolgen o Rechenspiele o Erfassen und Auswerten von

Daten

− Es sollten unterschiedliche Aufgabentypen berücksich-tigt werden, die alle durch Kopfrechnen lösbar sind. Aufgabe 1

1.1 Verwenden, Dar-stellen natürlicher Zahlen

5

Verwenden natürli-cher Zahlen

• Wiederholung der Verwendungs-aspekte an Beispielen ohne expli-zite Systematisierung und Diskus-sion

− Aspekte das Zahlbegriffes

Zahlen auf dem Zahlenstrahl

• Erfassen unterschiedlicher Eintei-lungsmöglichkeiten und Ablesen von Skalenwerten

− Arbeit mit Skalen ist bedeut-sam für andere Fächer Aufgabe 2

Vergleichen und Ordnen

• Vergleichen von Zahlen durch schrittweises Vergleichen der Stel-len

Zahlen in der Stel-lentafel

• Einführen Zehnerpotenz, Basis, Exponent

4.1 Vorschläge zum Themenbereich „Natürliche Zahlen“ in Klasse 5 21


Große Zahlen • Kenntnis der Bezeichnungen Milli-

arde und Billion • Festigung der Schreibweise und

des Lesens von Zahlen • Erleben, dass man große oder

wenig anschauliche Zahlen durch geeignete Vergleiche erfassbar machen kann

• erste Entwicklung eines „Zahlen-vorstellungsvermögens“ über na-türliche Zahlen bis zur Milliarden-größe

Zahlensysteme (Zusatz)

(3) • Vertiefung der Bildungsprinzips von Zahlen in Positionssystemen durch Vergleich mit Additionssys-temen und dem Dualsystem

• Festigung der römischen Zahlzei-chen

• Kennenlernen des Dualsystems

− Römische Zahlen gehören zur Allgemeinbildung und sollten bis zur Zahl 20 be-trachtet werden.

1.2 Rechenoperatio-nen mit natürli-chen Zahlen

10

Mündliches Addie-ren und Subtrahie-ren

• inhaltliches Verstehen der beiden Operationen

• Festigung der Verfahren des

mündlichen Rechnens • Vertraut machen mit Rechenvortei-

len beim Kopfrechnen • Lösen von Gleichungen durch

Zerlegen von Zahlen

− Verwendungsaspekte; Bewegen auf dem Zahlen-strahl bereitet Addition / Subtraktion rationaler Zahlen vor Aufgabe 3 a), b)

− Verfahren des mündlichen Rechnens

Multiplizieren im Kopf

• inhaltliches Verstehen der Verwen-dungsaspekte der Multiplikation

• Testen und Entwickeln der Kopfre-chenfertigkeiten

− Rechnen mit 0 und 1 Aufgabe 3 c)

Quadratzahlen • inhaltliches Erfassen von Quadrat-

zahl, Verbindung zur Geometrie erkennen

• Quadratzahlen bis 20 zunehmend auswendig wissen

Multiplizieren mit Zehnerpotenzen

• Sicheres Rechnen, Anfügen der Nullen inhaltlich erfassen

− Vorbereitung des Umrech-nens von Größen

Potenzen natürli-cher Zahlen

• Verallgemeinern von Zehnerpo-tenz, Quadratzahl zu Potenz einer natürlichen Zahl

− Potenzbegriff Aufgabe 4

Vielfache und Teiler • Wiederholen von Teiler und Vielfa-

chem, Zusammenhang erkennen • Zerlegen von Zahlen in Produkte

zur Bestimmung der Teiler

− vor Wiederholung der Divisi-on möglich, da Teilbarkeit auf Multiplikation beruht

Dividieren im Kopf • inhaltliches Verstehen der Verwen-

dungsaspekte der Division • Testen und Entwickeln der Kopfre-

chenfertigkeiten

− Verwendungsaspekte Aufgabe 3 d)

Dividieren durch Zehnerpotenzen

• Sicheres Rechnen, Abstreichen der Nullen inhaltlich erfassen

− Vorbereitung der Umrech-nung von Größen



Runden und Nähe-rungswerte

• sichere Kenntnis der Rundungs-regeln und Können im Runden auf vorgegebene Stellenwerte

• erste Erfahrungen im sinnvollen Runden

Aufgabe 5

1.3 Rechengesetze, Rechenvorteile, Vorrangregeln

3 − Rechengesetze sind teilwei-se aus der Grundschule be-kannt

Geschicktes Multi-plizieren

• Vertraut machen mit Rechenvortei-len

Geschicktes Divi-dieren

• Vertraut machen mit Rechenvortei-len

Vorrangregeln • Wiederholen der Vorrangregeln,

insbesondere Arbeit mit Klammern • Übersetzen von Texten

1.4 Schriftliche Re-chenverfahren

10

Schriftliches Addie-ren und Subtrahie-ren

2 • Festigung der Verfahren des schriftlichen Addierens und Sub-trahierens, Gewöhnen an Kontroll-verfahren

• Übersetzen sprachlicher Formulie-rungen in mathematische Form

− Bei der schriftlichen Addition und Subtraktion sollte kein Überschlag verlangt werden.

Überschlags-rechnung

1 • Festigung der Kopfrechenfertigkei-ten

• Durchführen sinnvoller Überschlä-ge für Multiplikations- und Divisi-onsaufgaben

− Das Bilden und Berechnen eines Überschlags sollte vor Wiederholung der schriftli-chen Multiplikation erfolgen.

Schriftliches Multip-lizieren

2 • Festigung des Verfahrens der schriftlichen Multiplikation, Beherr-schung und bewusste Nutzung von Kontrollmöglichkeiten

Schriftliches Divi-dieren

3 • Festigung des Verfahrens der schriftlichen Division mit und ohne Rest (auch mit zweistelligem Divi-sor), Beherrschung und bewusste Nutzung von Kontrollmöglichkeiten

• Festigung der Kenntnis des Zu-sammenhangs von Multiplikation und Division

Lösen von Sach-aufgaben

2 • Wiederholung und Vertiefung einer heuristischen Schrittfolge zum Lö-sen von Sachaufgaben, insbeson-dere Erfassen der Hauptinformati-on

− Lösen von Sachaufgaben; Schrittfolge als Methode Aufgabe 6

• Übungen im Anfertigen von Skiz-zen zu Sachaufgaben

• Übungen in der Arbeit mit Tabellen • Erstes Bekanntmachen mit dem

Rückwärtsarbeiten (Ausgehen vom Ziel)



1.5 Gleichungen und Ungleichungen

4 • Wiederholung des inhaltlichen Ver-ständnisses der Begriffe Glei-chung, Ungleichung, Lösen einer Gleichung, Lösung einer Glei-chung

• Lösen von Gleichungen durch Probieren

• Lösen von Gleichungen durch Zerlegen von Zahlen

• Lösen von Gleichungen durch Um-kehren der Rechnungen

• Lösen von Gleichungen und Un-gleichungen durch systematisches Probieren

− Inhaltliches Lösen − Vorstellung inhaltlicher Lö-

sungsverfahren und entspre-chende Aufgaben zum Üben der Verfahren

1.6 Gemischte Aufga-ben

5 • Integration aller nacheinander behandelten Rechenverfahren und heuristischen Vorgehensweisen durch bewusste Identifizierung des Aufgabentyps und zielgerichtete Reaktivierung der Regel bzw. der Vorgehensweise

• Mögliche Schwerpunkte: o Knobeleien und Scherzaufga-

ben o Zahlenrätsel o Fortsetzung von Zahlenfolgen o Vergleichen, Ordnen, Stellen-

wertsystem o Rechenspiele o Überschlagen und Abschätzen o Finden von Fehlern o Funktionale Betrachtungen o Schriftliches Rechnen o Vorgehensweisen bei Sachauf-

gaben o Große Zahlen

− Auswahl von Schwerpunkten

entsprechend der Klassensi-tuation

alle Aufgaben

Summe 40

4.1.2 Hinweise zu den Aufgaben10 Aufgaben zum Heranführen an die Behandlung offener Aufgaben Das Ziel dieser Aufgaben ist das Vertrautmachen der Schüler mit diesem Aufgabentyp. Der Grad der Öffnung dieser Aufgaben ist noch gering, der Wert des Einsatzes dieser Aufgaben liegt in der Diskus-sion über das Erfassen der Aufgabe, der Formulieren einer Fragestellung oder mehrerer Schülerant-worten. Im Allgemeinen sollten die Schüler hierzu Erfahrungen aus der Primarstufe mitbringen, so dass sich die Notwendigkeit einer "Gewöhnungsphase" in Klasse 5 aus den konkreten Gegebenheiten ergibt. E1 Roy liest in der Zeitung: „In der neuen Konzerthalle gibt es 84 Reihen mit je 72 Plätzen.“ Stelle dir dazu eine Frage und beantworte sie. Mögliche Schülerantworten und weitere Überlegungen: Eine geschlossene Aufgabe zur Multiplikation natürlicher Zahlen gewinnt einen offenen Charakter durch das selbstständige Finden einer Problemstellung und der sprachlichen Formulierung einer Ant-wort. Das Hinzufügen von Informationen erhöht den Grad der Offenheit deutlich, wie z.B. Eine Karte kostet 10 €, Kinder zahlen die Hälfte. oder

10 vgl. Hinweise S. 17


Die gesamten Kosten einer geplanten Veranstaltung (z.B. Künstlergagen, Bezahlung des Personals, Technik) betragen 40 000 €. Mögliche Fragestellungen wären Wie hoch sind die Einnahmen, wenn genauso viele Kinder wie Erwachsene kommen? (Geht das ü-berhaupt?) Wie hoch können die Einnahmen höchstens sein? Wie teuer ist eine Kinderkarte? oder für den zweiten Fall Wie teuer muss eine Karte sein, wenn das Haus ausverkauft ist? Wie viele Besucher müssen kom-men, wenn eine Karte 20€ kostet?

Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 5 Minuten (Die Zeit erhöht sich, wenn wie beschrieben zusätzliche Informationen gegeben werden.) E2 Für eine Urlaubsreise plant Familie Krajewski 380 € Benzinkosten, 970 € für die Unterkunft, 400 € für die Verpflegung und 270 € für Ausflüge. In der Urlaubskasse sind 1800 €. Mögliche Schülerantworten und weitere Überlegungen: Die Offenheit der Aufgabe entsteht durch das Weglassen der Fragestellung. Damit sind die Schüler frei in der Interpretation der Tatsache, dass die Summe der geplanten Kosten das Budget um 220 € übersteigt. Denkbare und zu diskutierende Schülerantworten können hierbei sein: „Sie brauchen mehr Geld“, „Sie müssen noch sparen“, „Sie können nicht fahren“ oder „Sie müssen die Ausflüge weglas-sen“. Verschiedene Rechenstrategien sind ebenfalls möglich. Der Versuch des Abziehens aller Einzelposi-tionen vom Gesamtbudget (1800 – 380 – 970 – 400 – 270 = ?) führt ebenso zu gültigen Antworten wie der Vergleich der gesamten geplanten Ausgaben mit der zur Verfügung stehenden Summe (380 + 970 + 400 + 270 > 1800).

Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 5 Minuten

E3 Die Kinder einer 5. Klasse besuchen eine Imkerei und erfahren viel über Bienen und Honig. Lara möchte es genau wissen und fragt den Bienenzüchter: „Wie viele Bienen sind in diesem Bienenvolk?“. Sie bekommt zur Antwort: „Es sind etwa 20 000 Bienen.“ Lara überlegt, wie groß die Anzahl tatsächlich sein könnte. Diese Aufgabe ermöglicht die Festigung des Arbeitens mit sinnvoller Genauigkeit, Wertschranken und dem Runden.

Es sind Schülerantworten in zwei Richtungen möglich.

1. Überlegungen zu Fehlerschranken In welchem Bereich könnte die tatsächliche Anzahl liegen? Hier können als sinnvolle Fehlerschranken angegeben werden: ± 500, ± 1000 oder ± 2000 2. Überlegungen zum Runden Durch die Rundung welcher Zahl könnte die Angabe entstanden sein? Mögliche Schülerantworten und weitere Überlegungen wären: – Es kann auf- bzw. abgerundet werden. – Es kann auf Zehner, Hunderter oder Tausender gerundet werden – Mögliche Zahlenwerte:

abgerundet, maximale Werte bei Runden auf Einer: 20 004, auf Zehner 20 049, auf Hunderter: 20 499; auf Tausender: 24 999 aufgerundet, minimale Werte bei Runden auf Einer: 19 995, auf Zehner: 19 950, auf Hunderter: 19 500, auf Tausender: 15 000

– Ist es möglich (und wichtig) zu wissen, wie groß die Anzahl der Bienen auf Einer / Zehner / Hun-derter / Tausender genau ist? Es werden ständig Bienen geboren und es sterben auch einige.

– Es ergeben sich weitere Aufgabenstellungen, z. B. wie groß die maximale Differenz zwischen den gerundeten Werten ist.

Differenzierungen ergeben sich durch das Finden verschiedener Zahlen, das Finden der Möglichkei-ten zum Auf- und Abrunden sowie zum Runden auf verschiedene Stellenwerte, durch das Suchen nach größten und kleinsten Zahlen und die Überlegungen zur sinnvollen Genauigkeit.



Aufgabe 1 In einer Zahlenmauer ist eine Zahl (bis auf die Zahlen der untersten Reihe) immer die Summe bzw. das Produkt der beiden darunter stehenden Zahlen. Fülle die linke Zahlenmauer vollständig aus.

141 62 79 31 31 48 200 21 10 21 27 100 100 17 4 6 15 12 49 51 49 14 3 1 5 10 2 23 26 25 24

Trage in die rechte Zahlenmauer die Zahlen 23; 24; 25; 26; 49; 51; 100; 200 ein. Sie können auch doppelt vorkommen.

a) Baue selbst verschiedene Zahlenmauern.

(1) Die Zahl 100 wird durch Addieren erreicht.

100 100 100 51 49 50 50 10 90 21 30 19 25 25 25 5 5 85

100 100 100 2 98 1 99 0 100

1 1 97 0 1 98 0 0 100

(2) Die Zahl 180 wird durch Multiplizieren erreicht.

180 180 180 2 90 3 60 4 45

1 2 45 1 3 20 4 1 45

180 180 180 6 30 9 20 1 180

2 3 10 9 1 20 1 1 180

Ziel der Aufgabe ist das Festigen der Kopfrechenfertigkeiten im Addieren und Multiplizieren. Die Schü-ler trainieren auf spielerische Weise den Umgang mit den natürlichen Zahlen und wenden die Kopfre-chenverfahren für die Rechenoperationen an.

Die Aufgaben a) und b) dienen dem Vertrautmachen mit Zahlenmauern. Die Aufgabe c) ist die eigent-lich interessante offene Aufgabe mit möglichen Schülerantworten unterschiedlicher Qualität. Die Teil-aufgaben aus c) sollten nacheinander bearbeitet und besprochen werden. Zum Besprechen der ver-schiedenen Lösungen hat sich der Einsatz eines Projektors und zweier Folien bewährt. Auf die untere Folie ist eine Zahlenmauer kopiert worden, auf der oberen, verschiebbaren Folie können die Schüler mit Folienstiften zeitsparend ihre Lösungen präsentieren.

Mögliche Schülerantworten: s. o.

Die Aufgabe a) hat eine eindeutige Lösung und im Prinzip nur einen Lösungsweg. Die Lösung der Aufgabe b) ist ebenfalls eindeutig bis auf das Umkehren der Reihenfolge der Zahlen in der untersten Reihe. Bei den Aufgaben c) sind in der zweiten Zeile alle Zerlegungen der Zahl 100 in eine Summe aus zwei Summanden bzw. der Zahl 180 in ein Produkt aus zwei Faktoren möglich. Das Ausfüllen der Mauer erfolgt von oben nach unten.

Die unterschiedliche Qualität der Antworten ergibt sich durch die Anzahl der gefundenen Lösungen und die Berücksichtigung von Sonderfällen, insbesondere mit den Zahlen 0 bzw. 1.


poly�alent


Aufgabe 2 Beschrifte die übrigen vier Markierungen der Skalen. Finde verschiedene Möglichkeiten.

a) b)

10 20

c) d) 150 3500

Das Ziel dieser Aufgabe ist die Entwicklung von Fertigkeiten im Ablesen von Skalen. Die Aufgabe ist eine Umkehraufgabe der Standardaufgabe im Ablesen von Werten aus beschrifteten Skalen.

Hinweise zu möglichen Schülerantworten

Mögliche Abstände zweier benachbarter Skalenwerte: a) 1; 2; 5; 10 b) 1; 2; 5; 10; 20 c) 1; 2; 5; 10; 20; 50 d) 1; 2; 5; 10; 20; 50; 100; 500

Die Diskussion der Schülerantworten sollte getrennt nach Teilaufgaben erfolgen. Es ist nicht nötig, alle Teilaufgaben zu bearbeiten. Die unterschiedliche Qualität der Antworten zeigt sich in der Anzahl der gefundenen Möglichkeiten, in der Verwendung von negativen Zahlen (analog zur Thermometerskala) und in Überlegungen zur maximalen Zahl der Möglichkeiten.

Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten für eine Teilaufgabe

Aufgabe 3 a) Finde verschiedene Sachverhalte, die zur Aufgabe 13 + 17 passen.

Suche dabei verschiedene Umschreibungen für das Rechenzeichen "+". b) Finde verschiedene Sachverhalte, die zur Aufgabe 17 – 13 passen.

Suche dabei verschiedene Umschreibungen für das Rechenzeichen "–". c) Finde verschiedene Sachverhalte, die zur Aufgabe 3 · 7 passen.

Suche dabei verschiedene Umschreibungen für das Rechenzeichen " · ". d) Finde verschiedene Sachverhalte, die zur Aufgabe 32 : 4 passen.

Suche dabei verschiedene Umschreibungen für das Rechenzeichen " : ". Ziele der Aufgabe sind das Festigen der Verwendungsaspekte von Rechenoperationen und die Ent-wicklung der sprachlichen Fähigkeiten.

Es ist nicht nötig, alle Teilaufgaben zu bearbeiten. Die Diskussion der Schülerantworten erfolgt sepa-rat für jede Teilaufgabe.

Mögliche Schülerantworten entstehen aus den Verwendungsaspekten der Rechenoperationen: – Addieren: vermehren, zusammenfassen, hinzufügen, verlängern, bekommen, … – Subtrahieren: verringern, wegnehmen, abziehen, abtrennen, verkürzen, ausgeben, … – Multiplizieren: mehrfaches Addieren, zusammenfassen, vervielfachen, Paarbildung – Dividieren: mehrfaches Subtrahieren, aufteilen, verteilen, halbieren, dritteln Die unterschiedliche Qualität der Antworten zeigt sich in der Anzahl der Verwendungsaspekte und der sprachlichen Qualität der Aufgaben.

Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten für eine Teilaufgabe Aufgabe 4 Suche dir von den fünf Potenzen zwei heraus und vergleiche sie miteinander. (1) 102 (2) 52 (3) 103 (4) 25 (5) 32 Das Ziel der Aufgabe ist die Festigung der Begriffe Zehnerpotenz, Quadratzahl, Basis, Exponent und Potenz.

Mögliche Schülerantworten:

Es können 10 Paare von Ausdrücken gebildet werden.

poly�alent

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Ausdrücke Gemeinsamkeiten Unterschiede (1) und (2) Exponent ist 2 Basis verschieden, Zehnerpotenz, Quadratzahl (1) und (3) Zehnerpotenzen Exponenten verschieden (1) und (5) (2) und (5)

Quadratzahlen Basis verschieden

(2) und (4) gleiche Ziffern Basis und Exponent vertauscht (3) und (5) Ziffer 3 3 als Exponent, 3 als Basis

Die Anzahl der gefundenen Vergleiche kann unterschiedlich sein. Das Erkennen von 102 als Zehner-potenz und Quadratzahl ist anspruchsvoll.

Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten (für mehrere Paarbildungen) Aufgabe 5 Wie viele Holzstämme sind auf dem Foto zu sehen? Suche verschiedene Mög-lichkeiten, wie man die Anzahl bestimmen kann und beschreibe, was dabei zu beachten ist. Ziel dieser Aufgabe ist die Festigung des Schätzens als Vergleich mit Vergleichsgrößen. Ein weiterer Schwerpunkt ist das mathematische Argumentieren und Kommunizieren. Die Schüler sollen erken-nen, dass eine genaue Lösung nicht möglich und nicht sinnvoll ist, da einige Objekte nur teilweise zu sehen sind. Über verschiedene Wege kann eine ungefähre Anzahl gefunden werden.

Hinweise zu möglichen Schülerantworten:

Es sind etwa 290 Baumstämme ganz oder teilweise zu sehen. Um diese Anzahl zu ermitteln, kann im einfachsten Fall gezählt werden. Das Bild kann auch in gleich große Felder eingeteilt werden. Die Anzahl der Objekte in einem Feld kann dann für das ganze Bild hochgerechnet werden. Dabei ist zu beachten, dass man ein Feld auswählt, das möglichst repräsentativ für das Bild ist. Teilt man z. B. das Bild in 8 Teile, so befinden sich im linken oberen Feld nur etwa 27 Baumstämme. Weiterhin muss diskutiert werden, wann man ein Objekt noch zählt, wenn es nur sehr wenig zu sehen ist.

Die unterschiedliche Qualität der Antworten ergibt sich aus der gefundenen Zahl von Einteilungsmög-lichkeiten und der Qualität der Diskussionen zu den Bedingungen der Anzahlermittlung.

Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten Aufgabe 6 Denke dir zu den angegebenen Informationen Aufgaben aus. a) In der Klasse 5a sind 23 Schülerinnen und Schüler und in der Klasse 5b sind

es 26. b) Jeder der 23 Schüler der Klasse 5a soll 5 € zum Wandertag mitbringen. c) Im Sportunterricht der Mädchen sollen für einen Wettbewerb Gruppen gebildet werden. Aus der

Klasse 5a nehmen 12 Mädchen und aus der Klasse 5b 15 Mädchen teil. Das Ziel der Aufgabe ist die Entwicklung der sprachlichen und der Problemlösefähigkeiten. Der Lehrer sollte eine der drei Teilaufgaben auswählen.


a) In welcher Klasse sind mehr Schüler? Wie groß ist der Unterschied zwischen den Schülerzahlen? Wie viele Schüler sind in beiden Klassen zusammen?

b) Wie viel Geld wird insgesamt mitgebracht? Vier Schüler haben vergessen, Geld mitzubringen. Wie viel fehlt noch am Gesamtbetrag?

c) Wie viele Gruppen können gebildet werden, wenn eine Mannschaft aus 3 (4, 5, 6, 7) Schülerinnen besteht? Wie viele Schülerinnen bleiben jeweils übrig? Bei welchen Gruppengrößen bleiben keine Schülerinnen übrig?


Aufgabenempfehlungen: Aufgaben 1, 2 und 3

poly�alent

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Aufgaben zu natürlichen Zahlen E1: Roy liest in der Zeitung: „In der neuen Konzerthalle gibt es 84 Reihen mit je 72 Plät-

zen.“ Stelle dir dazu eine Frage und beantworte sie. E2: Für eine Urlaubsreise plant Familie Krajewski 380 € Benzinkosten, 970 € für die Unter-

kunft, 400 € für Verpflegung und 270 € für Ausflüge. In der Urlaubskasse sind 1800 €. E3: Die Kinder einer 5. Klasse besuchen eine Imkerei und

erfahren viel über Bienen und Honig. Lara möchte es genau wissen und fragt den Bienenzüchter: „Wie viele Bienen sind in diesem Bienenvolk?“. Sie bekommt zur Antwort: „Es sind etwa 20 000 Bienen.“ Lara überlegt, wie groß die Anzahl tatsächlich sein könnte.

1. In einer Zahlenmauer ist eine Zahl (bis auf die Zahlen der untersten Reihe) immer die

Summe bzw. das Produkt der beiden darunter stehenden Zahlen. a) Fülle die linke Zahlenmauer vollständig aus.

31 31 21 6 15 14 2

b) Trage in die rechte Zahlenmauer die Zahlen 23; 24; 25; 26; 49; 51; 100; 200 ein.

Sie können auch doppelt vorkommen.

c) Baue selbst verschiedene Zahlenmauern.

(1) Die Zahl 100 wird durch Addieren erreicht.

100 100 100

100 100 100


180 180 180

180 180 180

Foto: privat


2. Beschrifte die übrigen vier Markierungen der Skalen. Finde verschiedene Möglichkeiten. a) b) 10 20 c) d) 150 3500

3. Erfinde zu jeder Rechnung eine andere Sachaufgabe und schreibe sie auf. a) Finde verschiedene Sachverhalte, die zur Aufgabe 13 + 17 passen.

Suche dabei verschiedene Umschreibungen für das Rechenzeichen "+". b) Finde verschiedene Sachverhalte, die zur Aufgabe 17 – 13 passen.

Suche dabei verschiedene Umschreibungen für das Rechenzeichen "–". c) Finde verschiedene Sachverhalte, die zur Aufgabe 3 · 7 passen.

Suche dabei verschiedene Umschreibungen für das Rechenzeichen " · ". d) Finde verschiedene Sachverhalte, die zur Aufgabe 32 : 4 passen.

Suche dabei verschiedene Umschreibungen für das Rechenzeichen " : ". 4. Suche dir von den fünf Potenzen je zwei heraus und vergleiche sie miteinander.

(1) 102 (2) 52 (3) 103 (4) 25 (5) 32 5. Wie viele Holzstämme sind auf dem Foto zu sehen? Suche verschiedene Möglichkeiten,

wie man die Anzahl bestimmen kann und beschreibe, was dabei zu beachten ist.

6. Denke dir zu den angegebenen Informationen Aufgaben aus.

a) In der Klasse 5a sind 23 Schülerinnen und Schüler und in der Klasse 5b sind es 26. b) Jeder der 23 Schüler der Klasse 5a soll 5 € zum Wandertag mitbringen. c) Im Sportunterricht der Mädchen sollen für einen Wettbewerb Gruppen gebildet wer-

den. Aus der Klasse 5a nehmen 12 Mädchen und aus der Klasse 5b 15 Mädchen teil.

Foto: privat

30 4.2 Vorschläge zum Themenbereich „Stochastik“ in Klasse 5

4.2 Themenbereich „Stochastik“



Die Schülerinnen und Schüler – beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen, – sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stellen sie graphisch dar, auch unter

Verwendung geeigneter Hilfsmittel (wie Software), – werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus, – interpretieren Wahrscheinlichkeitsaussagen aus dem Alltag, – bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei einfachen Zufallsexperimenten.

Planungsvorschlag


2.1 Zufällige Vor-gänge und Wahrscheinlich-keit

4 • Analysieren zufälliger Vor-gänge (mögliche Ergebnisse, betrachtetes Merkmal, Bedin-gungen)

• Entwicklung des Wahrschein-lichkeitsbegriffes

• einfache Zufallsexperimente

– Es sollte eine Prozessbe-trachtung zufälliger Er-scheinungen erfolgen (s. Hinweise) Aufgaben 1 und 2

2.2 Durchführen und Auswerten sta-tistischer Unter-suchungen

6 • Lesen und Interpretieren von Häufigkeitsverteilungen (kleinster, größter, häufigster Wert, größter Unterschied)

• Anfertigen von Strichlisten und Häufigkeitstabellen

• Lesen von Diagrammen und Anfertigen von Strecken- und Streifendiagrammen

• Vertrautmachen mit Stamm-Blätter-Diagrammen

– Die Prozessbetrachtung sollte auch bei statistischen Untersuchungen angewen-det werden. (s. Hinweise) Aufgaben 3 bis 7

Summe 10

4.2.2 Hinweise zu den Aufgaben11

Aufgabe 1 Du gehst mit deinen Eltern in einen Einkaufsmarkt. Gib verschiedene Merkmale an, die man bei diesem Vorgang betrachten kann und nenne Bedingun-gen, von denen die Wahrscheinlichkeit der möglichen Ergebnisse abhängt.

Vor der Bearbeitung dieser Aufgabe müssen die Schüler mit der Prozessbetrachtung zufälliger Er-scheinungen vertraut gemacht werden. Das Ziel der Aufgabe ist dann die Anwendung dieser Betrach-tung auf alltägliche Vorgänge aus der Erfahrungswelt der Schüler und die Entwicklung des komparati-ven Wahrscheinlichkeitsbegriffes.


Merkmale mögliche Ergebnisse Bedingungen Zeitdauer A: < 10 min

B: 10 bis 20 min C: > 20 min

– Art des Marktes – Kaufwünsche – Angebote des Marktes

Anzahl der für mich gekauf-ten Süßigkeiten

A: keine B: 1 bis 3 C: > 3

– vorhandene Süßigkeiten – Versprechungen – meine Wünsche

Ich darf draußen bleiben. A: ja B: nein

– Wetter – Spielmöglichkeiten



poly�alent

4.2 Vorschläge zum Themenbereich „Stochastik“ in Klasse 5 31

Aufgabe 2 Fritz behauptet: „Eine Reißzwecke fällt immer mit der Spitze nach oben.“ Anne sagt: „Es ist wahr-scheinlicher, dass eine Reißzwecke mit der Spitze nach oben fällt, als dass sie auf der Seite liegt.“ Wie könnte man überprüfen, ob Fritz bzw. Anne Recht haben? In dieser Aufgabe geht es um die Begriffe „gleichwahrscheinlich“ und „mehr oder weniger wahrschein-lich“ bei nicht symmetrischen Objekten und zwei möglichen Ergebnissen eines zufälligen Vorgangs. Es soll die oft vorhandene Fehlvorstellungen überwunden werden, dass bei zwei Ergebnissen die Wahrscheinlichkeiten immer gleich sind. Beim regulären Würfel oder beim Werfen von Münzen haben die Schüler durch eine entsprechende Anzahl von Versuchen erfahren, dass die Ergebnisse alle gleichwahrscheinlich sind. Die Schüler festigen weiterhin die Einsicht, dass Aussagen zur Wahrscheinlichkeit durch Experimente überprüft werden können und man nur durch eine entsprechend große Anzahl an Versuchen die Be-hauptungen (Hypothesen) überprüfen kann.


Die Aussage von Fritz kann man leicht experimentell widerlegen, indem man eine Reißzwecke so lange wirft, bis sie zum ersten Mal auf die Seite fällt. Man kann aber auch ohne Werfen überlegen, wie die Reißzwecke auf der Unterlage aufkommen müsste, damit sie auf die Seite fällt. Schließlich könn-ten die Schüler auch an Hand eigener Erfahrungen die Aussage widerlegen.

Mathematischer Hintergrund: Um die Aussage von Anne zu überprüfen, muss eine möglichst große Zahl von Versuchen durchgeführt werden. Beim Werfen von normalen Reißzwecken beträgt die Wahr-scheinlichkeit, dass die Reißzwecke mit der Spitze nach oben liegt etwa 40 %. Bei 100 Würfen liegt die zu erwartende relative Häufigkeit des Ereignisses „Die Reißzwecke fällt mit Spitze nach oben“ mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % im Intervall 0,4 ± 0,13 und bei 500 Würfen im Intervall 0,4 ± 0,057.

Als Zusatz können die Schüler ein Experiment planen und zu Hause durchführen. Nach dem Durch-führen des Experimentes können die Schüler nach weiteren Beispielen für Vorgänge suchen, bei de-nen die Gleichwahrscheinlichkeit überprüft werden kann (z. B. Dauer von Rot- und Grün-Phasen einer Ampel).

Zeit für selbstständige Schülerarbeit (ohne Experiment): 10 Minuten

Aufgabe 3 Was könnten die Angaben in dem Diagramm bedeu-ten? Diese Aufgabe kann zur Festigung des Lesens von Diagrammen dienen. Die Schüler entwickeln eigene Ideen, für welche Daten dieses Diagramm stehen kann.


Absolute Häufigkeiten für – Auswertung einer Klassenarbeit – Notenverteilung in der Klasse – Ergebnisse bei 28 Würfen eines Würfels – Anzahl der Katzen bei einem Wurf – sechs verschiedene Freizeitbeschäftigungen von Schülern

Messwerte für – Niederschlagsmenge / Höchsttemperaturen an 6 Tagen – Massen für 6 Körper

Die unterschiedliche Qualität der Antworten ergibt sich aus den gefundenen beiden Deutungen als Häufigkeit oder Messwert und der Anzahl der gefundenen konkreten Beispiele. Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6

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Aufgabe 4 Der Tourismusverband Mecklenburg-Vorpommern möchte wissen, wie viele Urlauber im September ungefähr auf der Insel Rügen waren. Wie könnte der Tourismusverband dies ermitteln? Diese Aufgabe kann eingesetzt werden, wenn die Schüler erste Erfahrungen zur Auswertung von Daten gesammelt haben. Hier werden den Schülern die vielfältigen Möglichkeiten und dabei zu be-achtenden Probleme des Sammelns von Daten bewusst gemacht.


Eine Idee sollte jeder Schüler finden. Weiterführende Gedanken sind die Be-trachtung auftretender Probleme und die Überlegung, dass eine Vollerhebung oder eine Stichprobe möglich sind.

Ideen zum Sammeln von Daten mögliche auftretende Probleme Befragung der Hotels und Zimmervermieter Berücksichtigung von Übernachtungen über die Mo-

natsgrenzen hinweg, Tagesurlauber nicht erfasst Zählen der Autos, die über den Rügendamm fahren

Autos von Rüganern und Tagesbesuchern; Ausflüge von Urlaubern aufs Festland

Zählen der Personen, die die Tourismus-information besuchen

Nicht alle Touristen besuchen Informationen, einige vielleicht mehrfach.

Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten Aufgabe 5 Alle Schüler einer 5. Klasse gaben in einer Um-frage ihre Lieblingstätigkeit an. Stelle Fragen, die man mit diesen Daten beant-worten kann. Diese Aufgabe kann zur Übung der Auswertung von Tabellen dienen. Die Schü-ler haben die Möglichkeit, diese Daten auszuwerten und dabei Auswertungskri-terien zu finden.


Frage Antwort Wie viele Schüler sind in der Klasse? 27 Welches ist die häufigste Lieblingstätigkeit? Lesen Was ist beliebter, Treffen mit Freunden oder Computerspielen? Treffen mit Freunden

Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten Aufgabe 6 Stimmt dies in deiner Klasse? Überlege, mit wel-chen Daten man dies untersuchen könnte.


Mit der Aufgabe können die Kenntnisse und Fähigkeiten zur Planung und Auswertung von statisti-schen Untersuchungen weiterentwickelt werden. Klassendaten sind eine gute Möglichkeit, die Schüler intensiv an dem Problem arbeiten zu lassen.

Zunächst sollte mit den Schülern die Formulierung: „Wir leben auf großem Fuß“ diskutiert werden. Hier könnten folgenden Deutungen erfolgen: 1. Es könnte die Fuß- bzw. Schuhgröße gemeint sein, die im Mittel beson-

ders groß ist. 2. Es könnte auch um die finanziellen Verhältnisse bei den einzelnen Schülern gehen. 3. Es könnte der finanzielle Aufwand bei Klassenveranstaltungen gemeint sein.

Zum Beantworten der Frage müssen neben den Daten der Klasse auch Daten aus vergleichbaren Populationen (Schüler der Altersgruppe; 5. Klassen) vorhanden sein. Diese werden in der Regel nicht vorliegen, so dass nur eine Diskussion der Möglichkeiten zur Datenerfassung erfolgen kann.


Lieblingstätigkeit Anzahl der Schüler Fußball spielen 3 Treffen mit Freunden 8 Lesen 10 Computerspielen 6

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Aufgabe 7 Diese Zuschauertabelle ist nach dem letzten Spieltag einer Bundesliga-Saison entstanden. Jede Mannschaft bestreitet in einer Saison 17 Heimspiele.

Zuschauerzahlen bei den Heimspielen der Mannschaften

Mannschaft am letzten Spieltag

Minimum in der Saison

Maximum in der Saison

FC Bayern München 66 000 22 500 66 000

1. FC Köln 20 600 20 600 50 374

MSV Duisburg 61 500 14 000 66 000

DSC Arminia Bielefeld 35 000 18 000 35 000

a) Formuliere Fragen, die man mithilfe der Angaben aus der Tabelle beantworten kann und gib die jeweiligen Antworten an.

b) Vergleiche die Zuschauerzahlen und stelle eine Reihenfolge der Mannschaften auf. Gib an, wie du die Mannschaften geordnet hast und was dies bedeuten könnte.

Das Hauptziel der Aufgabe ist die Entwicklung der Fähigkeiten im Lesen von Tabellen und in der For-mulierung von Fragen, die mit Daten beantwortet werden können. Dabei werden die sprachlichen Fähigkeiten der Schüler entwickelt. Es werden die Wörter Minimum und Maximum geübt. Die Schüler müssen weiterhin Zahlen lesen können und es werden die schriftlichen Verfahren der Addition und der Subtraktion natürlicher Zahlen wiederholt und geübt. Es können auch Vorstellungen zu großen Zahlen entwickelt werden, wenn geeignete Vergleiche etwa mit Einwohnerzahlen von Städten angestellt wer-den. Ausgehend von der Angabe der maximalen Zuschauerzahl beim 1. FC Köln kann auch über sinnvolle Angaben und gerundete Werte bzw. Schätzungen diskutiert werden.


Zu a) Bei welcher Mannschaft waren am letzten Spieltag die meisten / die wenigsten Zuschauer? Welche der vier Mannschaften hatte in der Saison die meisten / die wenigsten Zuschauer? Bei welcher Mannschaft ist der Unterschied zwischen Minimum und Maximum am größten / am kleins-ten? Wie viele Zuschauer waren am letzen Spieltag in den vier Stadien insgesamt anwesend? (183100) Wie viele Zuschauer waren bei den Heimspielen von Bayern München mindestens / maximal anwe-send? (22 500 · 16 + 66 000 = 426 000 / 22 500 + 66 000 · 16 = 1 078 500)

b) M … München; K … Köln; D … Duisburg; B … Bielefeld

Reihenfolge Merkmal mögliche Bedeutungen K B D M Anzahl der Zuschauer

am letzten Spieltag – Wie spannend war es bei den Mannschaften am

letzten Spieltag? – Wie waren die Zuschauer mit dem Abschneiden

der Mannschaften zufrieden? D B K M Minimum der Zuschau-

erzahlen – Wie treu sind die Fans, wenn es nicht so läuft?

B K D/M Maximum der Zuschau-erzahlen

– Wie viele Zuschauer kommen, wenn es gut läuft oder der Gegner interessant ist?

B K M D Differenz zwischen Ma-ximum und Minimum

– Wie stabil sind die Zuschauerzahlen? – Wie lassen sich die Anhänger der Mannschaften

durch die Leistungen beeinflussen? – Wie treu sind die Fans?

Bei Teilaufgabe a) können die Fragen von unterschiedlicher Qualität und die Anzahl der gefundenen Fragen verschieden sein.



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Aufgaben zur Stochastik

1. Du gehst mit deinen Eltern in einen Einkaufsmarkt. Gib verschiedene Merkmale an, die man bei diesem Vorgang betrachten kann und nenne Bedingungen, von denen die Wahrscheinlichkeit der möglichen Ergebnisse abhängt.

2. Fritz behauptet: „Eine Reißzwecke fällt immer mit der Spitze nach oben.“

Anne sagt: „Es ist wahrscheinlicher, dass eine Reißzwecke mit der Spitze nach oben fällt, als dass sie auf der Seite liegt.“ Wie könnte man überprüfen, ob Fritz bzw. Anne Recht haben?

3. Was könnten die Angaben in dem Dia-gramm bedeuten?

4. Der Tourismusverband Mecklenburg-Vorpommern möchte wissen, wie viele Urlauber im

September ungefähr auf der Insel Rügen waren. Wie könnte der Tourismusverband dies ermitteln?

5. Alle Schüler einer 5. Klasse gaben in einer

Umfrage ihre Lieblingstätigkeit an. Stelle Fragen, die man mit diesen Daten beantworten kann.

6. Stimmt dies in deiner Klasse? Überlege, mit welchen Daten man dies untersuchen könnte.

7. Diese Zuschauertabelle ist nach dem letzten Spieltag einer Bundesliga-Saison entstan-

den. Jede Mannschaft bestreitet in einer Saison 17 Heimspiele.

Zuschauerzahlen bei den Heimspielen der Mannschaften

Mannschaft am letzten Spieltag

Minimum in der Saison Maximum in der Saison

FC Bayern München 66 000 22 500 66 000

1. FC Köln 20 600 20 600 50 374

MSV Duisburg 61 500 14 000 66 000

DSC Arminia Bielefeld 35 000 18 000 35 000

a) Formuliere Fragen, die man mithilfe der Angaben aus der Tabelle beantworten kann und gib die jeweiligen Antworten an.

b) Vergleiche die Zuschauerzahlen und stelle eine Reihenfolge der Mannschaften auf. Gib an, wie du die Mannschaften geordnet hast und was dies bedeuten könnte.

Lieblingstätigkeit Anzahl der Schüler

Fußball spielen 3

Treffen mit Freunden 8

Lesen 10

Computerspiele 6

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6

4.3 Vorschläge zum Themenbereich „Gebrochene Zahlen“ in Klasse 5 35

4.3 Themenbereich „Gebrochene Zahlen“


Forderungen der Bildungsstandards Die Schülerinnen und Schüler − können ein Gefühl für Zahlen entwickeln, − können den Aufbau des Dezimalsystems verstehen, − können die Notwendigkeit der Zahlenbereichserweiterung an Beispielen begründen, − nutzten sinntragende Vorstellungen von gebrochenen Zahlen entsprechend der Verwendungsnot-

wendigkeit, − stellen Zahlen der Situation angemessen dar, − rechnen mit gebrochenen Zahlen, die im täglichen Leben vorkommen, auch im Kopf, − können Messergebnisse und berechnete Größen in sinnvoller Genauigkeit darstellen, − können gebrochene Zahlen ordnen und vergleichen, − erkennen Beziehungen zwischen verschiedenen Darstellungsformen gebrochener Zahlen, − nutzen zur Kontrolle Überschlagsrechnungen und andere Verfahren.

Planungsvorschlag


3.1 Bruchbegriff, Dar-stellen von Brü-chen auf dem Zah-lenstrahl

Verwenden von Brüchen

4 • Entwickeln inhaltlicher Vorstellun-gen von Brüchen durch schrittwei-se Anreicherung mit verschiede-nen Aspekten

− Die Aspekte sollen nicht ex-plizit thematisiert werden

• Einführung der Begriffe Bruch,

Zähler, Nenner, Bruchstrich • Brüche als Teile eines Ganzen • Brüche als Zahlenwerte von Grö-

ßen

− konkrete Handlungen zum

Teilen von Ganzen durchfüh-ren

− Verwenden von gemischten Zahlen; Anknüpfen an Kennt-nisse über Brüche als Maß-zahlen

• Bruch als Teil einer Menge − auf ganzzahlige Anteile be-schränken

• Bruchteile von Größen • Fertigkeiten im Bestimmen von

Bruchteilen • Bruch als Ergebnis einer Divisions-

aufgabe

− auf Teilbarkeit der Größenan-gabe durch Nenner beschrän-ken

− nur als Ergänzung

• Einführen der Begriffe echter und

unechter Bruch Aufgaben 1, 2 und 4

Darstellen von Brü-chen auf dem Zah-lenstrahl

• Identifizieren von Punkten • Darstellen für ausgewählte Nenner

3.2 Erweitern und Kürzen von Brü-chen

3 • inhaltliche Vorstellungen vom Er-weitern und Kürzen

• Fertigkeiten im Erweitern und Kür-zen

− beides gleich gemischt üben − Beschränken auf einfache Er-

weiterungs- und Kürzungs-zahlen

− ausführliche Schreibweise lange beibehalten

− Kürzen größerer Zahlen nur schrittweise ausführen Aufgabe 2

36 4.3 Vorschläge zum Themenbereich „Gebrochene Zahlen“ in Klasse 5


3.3 Vergleichen und Ordnen gleich-namiger Brüche

3 • erste Erfahrungen im Vergleichen von Brüchen

– Vergleiche begründen lassen, als Begründung auch Kennt-nisse über Lage echter bzw. unechter Brüche auf dem Zahlenstrahl nutzen Aufgabe 3

Addieren und Sub-trahieren gleich-namiger Brüche

• erste Erfahrungen im Addieren und Subtrahieren von Brüchen

• einfache Umwandlungen von ge-mischten Zahlen in unechte Brü-che und umgekehrt durch Rück-führung auf Addition gleichnamiger Brüche

− auch einige Beispiele mit un-gleichnamigen Brüchen, z.B. ½ + ¼, Lösung auf anschauli-cher Grundlage

3.4 Dezimalbrüche 2 Erweiterung der

Stellentafel • Einführung von Dezimalbruch und

der Stellensprechweise • Bedeutung der Endnullen erfassen

− Anknüpfen an Komma-schreibweise bei Größenan-gaben

Dezimalbrüche und Zehnerbrüche

• Umwandeln von Dezimalbrüchen in Zehnerbrüche und umgekehrt

• Kenntnisse zur Zuordnung be-stimmter Brüche zu Dezimalbrü-chen ausbilden und festigen

Ablesen von Ska-lenwerten

• Erkennen der Skaleneinteilung, Zuordnen von Skalenwerten

− Anknüpfen an das Darstellen natürlicher Zahlen auf dem Zahlenstrahl

3.5 Vergleichen, Ord-nen und Runden von Dezimal-brüchen

3

Vergleichen und Ordnen von Dezi-malbrüchen

• Vergleichen von Dezimalbrüchen durch schrittweisen Stellenver-gleich

− Bezug zum Vergleichen na-türlicher Zahlen

Runden von Dezi-malbrüchen

• Können im Runden von Dezimal-brüchen

• Festigung der Rundungsregeln

− Vorbereitung der Wertschran-kenbestimmung von Nähe-rungswerten

3.6 Rechnen mit De-zimalbrüchen

Addieren und Sub-trahieren von De-zimalbrüchen

6 • sichere Kenntnis der Regel zum Addieren bzw. Subtrahieren von Dezimalbrüchen, Anwenden beim mündlichen und schriftlichen Rech-nen

• Festigung der Kopfrechenfertigkei-ten mit natürlichen Zahlen

• Lösen von Gleichungen durch Zerlegen von Zahlen bzw. Umkeh-rung von Rechenoperationen

Multiplizieren und Dividieren von De-zimalbrüchen mit Zehnerpotenzen

• Erarbeiten der Regel • sicheres Können im Anwenden der

Regeln, auch bei Sachproblemen

− Arbeit mit Pfeilen wird emp-fohlen

− Vorbereitung des Umrech-nens von Größen

Multiplizieren von Dezimalbrüchen mit natürlichen Zahlen

• Erarbeiten und Festigen der Regel

Multiplizieren von Dezimalbrüchen mit Dezimalbrüchen

• Erarbeiten der Regel und erste Fertigkeiten im Anwenden

• Gewöhnen an Kontrolle • Festigung der Kopfrechen-

fertigkeiten

− Da die Multiplikation gemei-ner Brüche erst in Kl. 6 er-folgt, wird eine Plausibilitäts-erklärung empfohlen

− Beachtung typischer Fehler z.B. 0,3 · 0,2 ≠ 0,6!



Lösen von Sach-aufgaben

• Anwenden der Multiplikation von Dezimalbrüchen

• Weiterführung der Warenmenge-Preis-Berechnungen aus der Grundschule

− In den Sachaufgaben werden

nur Sachverhalte benutzt, in denen direkte Proportionalität vorliegt.


4 Auswahl von Schwerpunkten entspre-chend der Klassensituation:

• Integration der Kenntnisse zu Brü-chen und Dezimalbrüchen

• Rechengesetze und Vorrangregeln • Integration der behandelten Re-

chenoperationen • Arbeit mit großen Zahlen • Lösen von Sachaufgaben zur Mul-

tiplikation von Dezimalbrüchen

Aufgaben 2 und 3

Summe 25

4.3.2 Hinweise zu den Aufgaben12 Aufgabe 1 Gib gemeinsame und unterschiedliche Bedeutungen von „Bruch“ in folgenden Wortverbindungen an. Vergleiche mit einem „Bruch“ in der Mathematik. (1) ein Steinbruch (2) ein Knochenbruch (3) ein Bruchteil der Klasse Das Ziel der Aufgabe ist die Ausbildung reichhaltiger Vorstellungen zum mathe-matischen Bruchbegriff und sein Einbettung in das Begriffsnetz der Schüler.


Gemeinsam ist allen Bedeutungen, dass etwas zerlegt / geteilt wird. In einem Steinbruch werden Stei-ne von einem Gesteinsmassiv abgebrochen. Da man das gesamte Gesteinsmassiv meist nicht kennt, kann man nicht sagen, welchen Anteil ein Stein daran ausmacht. Es gibt deshalb keine Bezüge zum Bruchbegriff in der Mathematik. Bei (2) wird ein Gegenstand zerbrochen, in zwei oder mehrere Teile zerlegt. Man könnte ermitteln, welchen Anteil jedes Knochenstück an der Länge, der Masse oder dem Volumen des ganzen Knochens hat. Dies kann auch mit einem Bruch im mathematischen Sinne aus-gedrückt werden. Bei (3) wird nichts zerstört oder zerbrochen, sondern es ist eine bestimmte (sehr geringe) Anzahl von Schülern einer Klasse gemeint. Diesen Anteil gibt man in der Regel immer mit einem Bruch im mathematischen Sinne an. (ein Fünftel der Klasse).


Aufgabe 2

Finde gemeinsame und unterschiedliche Eigenschaften der Brüche: 41 , 4

3 , 26 , 8

3 , 57 und 8

2 .

Das Ziel dieser Aufgabe ist die Festigung der Begriffe Zähler, Nenner, echter Bruch und unechter Bruch. Die Schüler verwenden die Begriffe beim Vergleich, nutzen die Eigenschaften von echten und unechten Brüchen sowie die Darstellung natürlicher Zahlen durch einen Bruch.


– 41 und 8

3 sind echte Brüche, der Zähler ist bei diesen Brüchen kleiner als der Nenner, ihr Wert ist

kleiner als 1.

– 26 und 5

7 sind unechte Brüche, ihr Zähler ist größer als der Nenner, die Brüche sind größer als 1.

– Bei den Brüchen 43 , 2

6 , 83 , 5

7 sind die Nenner unterschiedlich. Die Brüche 41 und 4

3 sowie 82 und

83 haben die gleichen Nenner.



– Die Brüche 43 und 8

3 haben die gleichen Zähler, bei den übrigen Brüchen sind die Zähler verschie-

den.

– Der Bruch 26 stellt eine natürliche Zahl dar. Er hat den gleichen Wert wie die Zahl 3.

– Die Brüche 41 und 8

2 haben den gleichen Wert.

– Weitere Merkmale: o Unterschied zwischen Zähler und Nenner gleich; o Zähler/Nenner sind gerade/ungerade Zahlen; o Nenner ist ein Vielfaches des Zählers

Hinweise zum Einsatz der Aufgabe:

Auch ohne Kenntnis des Erweiterns und Kürzens können Schüler die Äquivalenz von 41 und

82 an-

schaulich erfassen. Ein Einsatz der Aufgabe ist auch zur Festigung / Kontrolle (Komplexe Übung / Vorbereitung der Klassenarbeit / mündliche Leistungskontrolle / tägliche Übung) der Begriffe möglich. Die unterschiedlichen Qualitäten der Antworten ergeben sich aus der Zahl der gefundenen Gemein-samkeiten, der sicheren Verwendung der Begriffe und dem Erkennen von Beziehungen.


Aufgabe 3 Falte ein quadratisches Stück Papier (z.B. einen quadratischen Notizzettel) so,

dass du mit Hilfe der entstandenen Faltkanten 43 des Papiers färben kannst.

Diese Aufgabe dient der Festigung des Bruchbegriffs bzw. der Festigung von Brüchen als Teile eines Ganzen. Es kann die Bedeutung von Zähler- und Nennerdefinitionen, die Ver-anschaulichung von Brüchen im Bild sowie das Erweitern von Brüchen gefestigt werden. Hinweise zum Einsatz der Aufgabe: – Es muss eine der Klassenstärke entsprechende Anzahl von „Notizzetteln“ bereitgestellt werden. – Durch weiteres Falten des Blattes entsteht eine Übung zum Erweitern von Viertel- auf Achtelbrü-

che. – Der gleiche Bruch repräsentiert gleich große Flächen unterschiedlicher Gestalt. – Die gleiche Fläche kann verschiedenen Bruchdarstellungen zugeordnet werden (z.B.

42

21

= )

Hinweise zu möglichen Schülerantworten: Die Schüler können das Papier in verschiedener Weise falten, so dass 4 gleiche Teile entstehen. Es ist jeweils möglich (zumindest theoretisch), noch weiter zu falten, so dass 8 (16, …) gleiche Teile entstehen.

– Die Kennzeichnung von 43 kann ebenfalls in verschiedenen Varianten erfolgen.

Eine Differenzierung ergibt sich aus der Anzahl der gefundenen Falt- und Färbemöglichkeiten.


Aufgabe 4

Finde möglichst viele verschiedene Erklärungen dafür, dass 4

1 kleiner als

31

ist.

Es können verschiedene Aspekte des Bruchbegriffs gefestigt werden. Die Aufgabe erfordert Überlegungen zur Verwendung von Brüchen im täglichen Leben. Erworbenes Wissen zum Begriff Bruch in seiner Vielfalt kann ange-wendet werden, ebenfalls das Vergleichen und Erweitern von Brüchen.

Hinweise zu möglichen Schülerantworten: – Vergleich über gleiche Zähler, verschiedene Nenner – je kleiner der Nenner, desto größer der

Bruch, d.h. über die Definition des Nenners – Vergleich durch Veranschaulichung der Brüche im Bild (z. B. im Rechteck 3 cm mal 4 cm)

Auszählen der „kleinen Quadrate“

– Vergleich durch Berechnung als Teile von Ganzen (z.B. 31

41 / von 12 kg)

– Vergleich durch Darstellung auf dem Zahlenstrahl

– Vergleich von 41 / 3

1 Liter Wasser, eventuell auch durch Abfüllen im Messbecher


– Vergleich über die Vorstellung der Torte / der Pizza

– Vergleich auch durch das Erweitern beider Brüche auf gleiche Nenner möglich (z.B. 123

41 = ,

31

41

124

123

124

31 , <⇒<= )

Hinweise zum Einsatz der Aufgabe:

Das Vergleichen ungleichnamiger Brüche sollte erst in Klasse 6 als Fertigkeit ausgebildet werden. Diese Aufgabe bietet sich auch zum Einsatz in der Freiarbeit / Stationsarbeit an. Sie kann Teil einer komplexen Übung zum Bruchbegriff sein. Folgende Arbeitsmittel sollten bereitgestellt werden: Messbecher, Papier, Schere, Kreisvorlagen mit Winkelkennzeichnung am Rand, eventuell auch ein Pizzaessen möglich


Aufgabe 5 Beschrifte die übrigen vier Markierungen der Skalen. Finde verschiedene Möglichkeiten.

Analog zur Aufgabe aus dem Bereich der natürlichen Zahlen ist das Ziel dieser Aufgabe auch die Ent-wicklung von Fertigkeiten im Ablesen von Skalen. Die Aufgabe ist eine Umkehraufgabe der Standard-aufgabe im Ablesen von Werten aus beschrifteten Skalen. Um mehrere Lösungen zu finden, ist die Anwendung von Verfahren zum Erweitern und Kürzen sowie zum Umwandeln in Dezimalbrüche hilf-reich.


Die unterschiedliche Qualität der Schülerantworten zeigt sich in der Zahl der gefundenen Lösungen, dem Verwenden verschiedener Repräsentationen gebrochener Zahlen (gemeine Brüche, gemischte Brüche, Dezimalbrüche), dem Einbeziehen negativer Werte und Überlegungen zur Zahl verschiedener Lösungen.


Aufgabe 6

a) Gib Brüche an, deren Summe 1 ergibt. b) Gib Brüche an, deren Summe 2 ergibt

Ziel der Aufgabe ist die Entwicklung von Vorstellungen zum Bruchbegriff. Abhängig vom Wert der Summe können sich die Summanden auf echte Brüche beschränken bzw. sind unechte Brüche nötig.


Möglich ist die Zerlegung in zwei Summanden der Form m

n und

n - m

n (m, n ∈ N, n ≥ m, n > 0) für

den Summenwert 1 bzw. m

n und

2n - m

n für den Summenwert 2. Für die Summe 2 ist das Rechnen

mit unechten oder gemischten Brüchen nötig. Eine Zerlegung in mehr als zwei Summanden ist eine höherwertige Schülerantwort. Die unterschiedliche Qualität der Schülerantworten zeigt sich darüber hinaus in der Zahl der gefundenen Lösungen, der Betrachtung von Sonderfällen (Ein Summand ist 0.) oder allgemeinen Betrachtungen zur Lösungsmenge.



21

21

41

45

43 1

21

231 0 2

21

0,3 0,7 0,9 1,1 21

0,4 0,6 0,7 0,8


Aufgaben zu gebrochenen Zahlen 1. Gib Gemeinsamkeiten und Unterschiede in der Bedeutung des Wortes „Bruch“ in folgen-

den Wortverbindungen an. (1) ein Bruchteil der Schüler (2) ein Knochenbruch (3) ein Steinbruch

2. Finde gemeinsame und unterschiedliche Eigenschaften der Brüche 4

1 ,4

3 ,2

6 ,8

3 ,5

7 und 8

2 .

3. Falte ein quadratisches Stück Papier (z.B. einen quadratischen Notizzettel) so, dass du

mit Hilfe der entstandenen Faltkanten 4

3 des Papiers färben kannst.

Wie viele verschiedene Möglichkeiten findest du?

4. Finde möglichst viele verschiedene Erklärungen dafür, dass 4

1 kleiner als 3

1 ist.

5. Beschrifte die übrigen vier Markierungen der Skalen. Finde verschiedene Möglichkeiten.

6. a) Gib Brüche an, deren Summe 1 ergibt. b) Gib Brüche an, deren Summe 2 ergibt.

21

21

21

21

4.4 Vorschläge zum Themenbereich „Größen“ in Klasse 5 41

4.4 Themenbereich „Größen“


Forderungen der Bildungsstandards Die Schülerinnen und Schüler – nutzen das Grundprinzip des Messens, insbesondere bei der Längen-, Flächen- und Volumen-

messung auch in außermathematischen Bereichen, – wählen Einheiten von Größen situationsgerecht aus (insbesondere für Zeit, Masse, Geld, Länge)

und wandeln sie ggf. um, – schätzen Größen mit Hilfe von Vorstellungen über geeignete, alltagsbezogene Repräsentanten, – nehmen in ihrer Umwelt gezielt Messungen vor, entnehmen Maßangaben aus Quellenmaterial,

führen damit Berechnungen durch und bewerten die Ergebnisse. Planungsvorschlag


Rückblick 1 • Auftreten und Bestandteile einer Größenangabe

• Vorleistung aus der Grundschu-le: o Kenntnisse über die qualita-

tive Bestimmung, die wich-tigsten Einheiten und Um-rechnungszahlen von Grö-ßen

o Vorstellungen zu wichtigen Einheiten der Größen Geld, Länge, Zeit, Masse und mit Einschränkung Volumen

Aufgabe 1

4.1 Währung 2 • Umrechnung von Größenanga-ben

• Festigung im Addieren und Sub-trahieren von Dezimalbrüchen

• Festigung des proportionalen Schließens (von der Einheit auf die Vielheit)

Aufgabe 2

4.2 Masse 3 • Vertiefung der Größenvorstel-lung, Schätzen

• Erarbeiten einer Schrittfolge zum Umrechnen von Größenangaben

• Anwenden der Schrittfolge, auch gemischte Größenangaben

• Lösen von Sachaufgaben

– Zur Entwicklung von Grö-ßenvorstellungen zur Masse können Balkenwaagen durch die Schüler gebaut und ausprobiert werden. (Die Stunden hierfür sollten aus der Planungsreserve genommen werden.)

4.3 Zeit 3 • Vertiefung der Größenvorstel-lung, Schätzen

• Umrechnen von Größenangaben • Berechnen von Zeitspannen,

Lesen von Fahrplänen

4.4 Länge 3 • Vertiefung der Größenvorstel-lung, Schätzen, auch unter Ver-wendung der eigenen Körper-maße

• Umrechnen von Größenanga-ben, auch gemischte Angaben

42 4.4 Vorschläge zum Themenbereich „Größen“ in Klasse 5



3 • gemischte Aufgaben zur Um-rechnung und zum Schätzen

• Rechenoperationen mit Größen • komplexe Untersuchung eines

Sachverhaltes (z.B. Projekt)

Aufgaben 3 und 4 sowie Projekte:

"Aufarbeitung von Datenmateri-al" - geeignete Themen:

Planung einer Klassenfahrt oder Wanderung

- Arbeit in Gruppen, nach Grob-ablauf

- empfohlen: - Klärung des Gesamtpro-

blems mit der Klasse - Festlegung der zu lösenden

Teilaufgaben - Arbeit in den Gruppen - Vorstellung der Arbeitser-

gebnisse Summe 15

4.4.2 Hinweise zu den Aufgaben13 Aufgabe 1

Vergleiche die Bedeutung des Wortes „Größe“ in den folgenden Sätzen. (1) Die Größe von Napoleon soll 1,69 m betragen haben. (2) Napoleon war ein großer Feldherr.

Die Aufgabe dient den Schülern zum Bewusstmachen verschiedener Aspekte des Begriffs "Größe" und zur Erarbeitung der Merkmale für die Verwendung des Begriffs „Größe“ in der Mathematik. In der Umgangssprache wird der Begriff Größe sowohl zur Beschreibung von messbaren Eigenschaf-ten eines Objekts, als auch qualitativ zur Betonung einer Eigenschaft oder der besonderen Bedeutung eines Objekts oder Ereignisses benutzt. Diese Aufgabe eignet sich auch zum Einstieg in das Thema bzw. bei der Reaktivierung von Wissen und Können aus der Grundschule.


Im Satz (1) ist die Körpergröße gemeint und im Satz (2) die Bedeutsamkeit von Napoleon.


Mögliche Weiterführungen und Verallgemeinerungen:

Verwendung des Wortes Größe für nicht messbare Eigenschaften:

Größe eines Augenblicks → Bedeutsamkeit einer besonderen Situation eine Größe in der Politik → eine besondere Persönlichkeit

Verwendung des Wortes Größe für messbare Eigenschaften:

Umgangssprache messbare Eigenschaft Größe des Zimmers → Flächeninhalt, Volumen Größe des Gefäßes → Volumen, Länge (Höhe) Schuhgröße → Länge des Schuhs Größe einer Familie → Anzahl der Personen Größe des Hefters → Flächeninhalt, Seitenlängen

Diese Aufgabe wird den unterschiedlichen Fähigkeiten der Schüler im Argumentieren und im münd-lichen Ausdruck gerecht.

13 Vgl. Hinweise S. 17


Aufgabe 2

Anne, Boris, Carolin und Dominik spielen oft zusam-men Oldtimer-Autoquartett. Sie haben die Daten Ihrer Lieblingslimousinen in einer Tabelle zusammen-gestellt und können sich nicht einigen, welches Auto das Größte ist. Wie würdest Du entschei-den? Begründe!

Ziel der Aufgabe ist das Entwickeln von Vorstellungen zur Bedeutung ver-schiedener Größen. Vor Bearbeitung der Aufgabenstellung durch die Schü-ler sollte die Bedeutung aller verwendeten Größen geklärt werden. Dabei kann auf das Vorwissen an Technik interessierter Schüler zurückgegriffen werden. Als weiterführende Aufgabe bietet sich der Vergleich dieser Daten mit denen heutiger Automodelle an.


Im einfachsten Fall kann die Größe des Autos als seine Höhe oder seine Länge interpretiert werden. Je nach verwendetem Kriterium sind Carolins und Dominiks (Höhe je 1400 mm), Boris' (Brei-te = 1650 mm) oder Annes und Dominiks (Länge jeweils 4100 mm) das größte Auto. Die Hinzuzie-hung eines zweiten Kriteriums zur endgültigen Entscheidung kennzeichnet ein höheres Niveau der Aufgabenlösung. Qualitativ hohe Schülerantworten können durch die simultane Berücksichtigung mehrerer Eigenschaften wie Länge, Breite und Höhe entstehen. Obwohl kein Auto quaderförmig ist, könnte – ähnliche Karosserieformen der Limousinen vorausgesetzt – das Produkt aus Länge, Breite und Höhe als Vergleichswert für den Rauminhalt des Autos dienen. In diesem Fall wäre Dominiks Auto das größte. Das Einbeziehen interner technischer Daten, wie der Größe des Hubraums, ist eine weitere denkbare Interpretationsmöglichkeit. Die Qualität der sprachlichen Darstellung ist ein weiterer qualitativer Aspekt der Schülerantwort.


Aufgabe 3 Anja muss 1,23 € bezahlen. Sie gibt der Kassiererin 2 € und erhält 6 Münzen zurück. Ist das möglich? Begründe. Kann die Kassiererin das Wechselgeld mit weniger Münzen herausgeben?


Diese Aufgabe kann bei der Größe Währung eingesetzt werden. Anhand einer Alltagssituation sollen die Schüler nachweisen, dass sie im Umgang mit Münzen sicher sind und verschiedene Lösungen, Überlegungen, Lösungswege und Ergebnisse beschreiben und verständlich darstellen können. Die Aufgabe ist für den Einstieg in das Stoffgebiet geeignet.


77 ct (6 Münzen): → 50 ct + 10 ct + 10 ct + 5 ct + 1 ct + 1 ct 50 ct + 20 ct + 2 ct + 2 ct + 2 ct + 1 ct

77 ct (5 Münzen): → 50 ct + 20 ct + 5 ct + 1 ct + 1 ct

77 ct (4 Münzen): → 50 ct + 20 ct + 5 ct + 2 ct Mit dieser Aufgabe können die Unterschiede der Schüler in den allgemeinen geistigen Fähigkeiten wie dem Analysieren, dem schöpferischen Denken, dem systematischen Darstellen und der Anstren-gungsbereitschaft berücksichtigt werden.


Aufgabe 4

Gib Paare von Einheiten an, deren Umrechnungszahl 10 (100, 1000, 60) ist. Finde verschiedene Möglichkeiten.

Diese Aufgabe ist eine Umkehraufgabe zum Umrechnen von Größen. Notwendig zum Lösen ist eine inhaltliche Vorstellung von Größen und deren Einheiten. Sinnvoll ist in diesem Zusammenhang, zu jeder Einheit jeweils ein Vergleichsobjekt prototypisch zu verinnerlichen, welches dann automatisch ins visuelle Arbeitsgedächtnis gerufen wird. Diese Aufgabe kann bei allen Größen eingesetzt werden.

Anne Boris Carolin Dominik Höchstgeschwindigkeit in km/h 174 188 173 180 Länge in mm 4100 3500 3700 4100 Breite in mm 1620 1650 1610 1600 Höhe in mm 1360 1100 1400 1400 Leistung in kW 70 96 71 83 Umdrehungszahl in U/min 5750 5400 6500 6500 Hubraum 1490 1962 1290 1570 Baujahr 1983 1980 1955 1962

poly�alent

poly�alent

44 4.4 Vorschläge zum Themenbereich „Größen“ in Klasse 5


Die Reihenfolge der Einheiten kann auch vertauscht werden.

Umrechnungszahl Einheitenpaare

1000 t – kg; kg – g; g – mg; km – m; mm – m;m3 – l; l – ml; cm3 – mm3; … 100 € - ct; dt – kg; cm – m; km² - ha; m² - dm²; cm² - mm²; hl – l; … 10 t – dt; m – dm; cm – dm, cm – mm; … 60 h – min; min – s

Eine Differenzierung ergibt sich durch die Anzahl der gefundenen Einheitenpaare.


Aufgabe 5 a) Nenne Eigenschaften eines Brotes, die du mit mathematischen Größen beschreiben kannst.

Gib die Größe und sinnvolle Einheiten der Größe an. b) Finde andere Gegenstände, auf die du die Aufgabenstellung übertragen kannst.

In dieser Aufgabe müssen die Schüler zeigen, dass sie mit den Größen sinnvoll umgehen und diese im Alltag anwenden können. Dabei wird der mathematische Größenbegriff gefestigt. Die Schüler üben sich im Beschreiben und verständlichen Darstellen ihrer Überlegungen, Lösungswege und Ergeb-nisse. Diese Aufgabe kann bei der Bearbeitung aller Größen eingesetzt werden, aber auch bei ge-mischten Aufgaben am Ende des Stoffgebietes.


Objekt Eigenschaft Größe sinnvolle Einheiten a) Brot Preis Währung €; ct Gewicht Masse g; kg Größe Volumen cm³; l Länge Länge cm Backdauer Zeit min; h b) z.B. Glühlampe Preis Währung €, ct Betriebsdauer Zeit h Höhe Länge cm Durchmesser Länge cm z.B. Kühlschrank Preis Währung € Stellfläche Flächeninhalt m² Länge/ Breite/ Höhe Länge m; cm Größe Volumen l

Es ist möglich, dass die Schüler den Größen nur Einheiten zuordnen, aber auch zugehörige Zahlen-werte angeben.


Aufgabe 6 Frau Müller will mit der Bahn von Schwerin nach Stralsund fahren. Frau Müller muss um 10:00 Uhr in Stralsund sein. Für die Fahrt zum Bahnhof benötigt sie eine halbe Stunde. Wann sollte sie ihre Woh-nung spätestens verlassen haben?


Die Aufgabe dient dem Entwickeln von Größenvorstellungen zur Zeit. Binnendifferenziertes Arbeiten ergibt sich durch Unterschiede in der Einbeziehung verschiedener Einflussgrößen, wie z.B.: „Wie er-folgt die Fahrt zum Bahnhof – mit Fahrrad, Auto, öffentlichen Verkehrsmitteln?“, „Was umfasst die Fahrt zum Bahnhof – nur die reine Fahrzeit oder auch Wartezeiten für ÖPNV bzw. Parkplatzsuche und Weg zum Bahnsteig?“, „Muss Frau Müller noch eine Fahrkarte kaufen und wie lange könnte das dauern?“, „Wo in Stralsund findet das Treffen statt: direkt am Bahnhof oder an einem anderen Ort? Muss der Wege zum Treffpunkt berücksichtigt werden?“, „Für welchen Zug entscheidet sich Frau Mül-ler - schnell, bequem (ohne Umsteigen) oder preiswert?“




Aufgaben zu Größen 1. Vergleiche die Bedeutung des Wortes „Größe“ in den folgenden Sätzen.

(1) Die Größe von Napoleon soll 1,69 m betragen haben. (2) Napoleon war ein großer Feldherr.

2. Anne, Boris, Carolin und Dominik spielen oft zusammen Oldtimer-Autoquartett. Sie haben die Daten Ihrer Lieblingslimousinen in einer Tabelle zusammengestellt und können sich nicht einigen, welches Auto das Größte ist.

Wie würdest Du entscheiden? Begründe!

Anne Boris Carolin Dominik Höchstgeschwindigkeit in km/h 174 188 173 180 Länge in mm 4100 3500 3700 4100 Breite in mm 1620 1650 1610 1600 Höhe in mm 1360 1100 1400 1400 Leistung in kW 70 96 71 83 Umdrehungszahl in U/min 5750 5400 6500 6500 Hubraum 1490 1962 1290 1570 Baujahr 1983 1980 1955 1962

3. Anja muss 1,23 € bezahlen. Sie gibt der Kassiererin 2 € und erhält 6 Münzen zurück.

Ist das möglich? Begründe. Kann die Kassiererin das Wechselgeld mit weniger Münzen herausgeben?

4. Gib Paare von Einheiten an, deren Umrechnungszahl 10 (100, 1000, 60) ist.

Finde verschiedene Möglichkeiten. 5. a) Nenne Eigenschaften eines Brotes, die du jeweils mit einer mathematischen Größe

beschreiben kannst. b) Finde andere Gegenstände, auf die du die Aufgabenstellung übertragen kannst.

6. Frau Müller will mit der Bahn von Schwerin nach Stralsund fahren. Im Internet hat Frau

Müller folgende Zugverbindungen gefunden:

Strecke Zeit Dauer Umsteigen Zug Preis

Schwerin Hbf Stralsund

ab 05:46 an 07:58 2:12 0 RE 24,60 € RE: Regionalexpress


ab 06:55 an 09:26 2:31 1 RE 24,60 €


ab 07:46 an 09:58

2:12 1 RE, NZ 30,00 € NZ: Nachtzug


ab 08:37 an 10:41 2:04 0 IC 30,00 € IC: Intercity


ab 09:46 an 11:58 2:12 1 RE 24,60 €


ab 10:37 an 12:51

2:14 0 IC 30,00 €

Frau Müller muss um 10:00 Uhr in Stralsund sein. Für die Fahrt zum Bahnhof benötigt sie eine halbe Stunde. Wann sollte sie ihre Wohnung spätestens verlassen haben?

Abb. mit freundlicher Genehmigung von www.best-classics.de

46 4.5 Vorschläge zum Themenbereich „Ebene Geometrie“ in Klasse 5

4.5 Themenbereich „Ebene Geometrie“

4.5.1 Ziele und Schwerpunkte Forderungen der Bildungsstandards Die Schülerinnen und Schüler − erkennen und beschreiben geometrische Strukturen in der Umwelt, − operieren gedanklich mit Strecken, Flächen und Körpern, − können ebene Figuren nach Eigenschaften sortieren und Fachbegriffe zuordnen, − stellen geometrische Figuren im kartesischen Koordinatensystem dar, − beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte (wie Sym-

metrie, Lagebeziehungen) und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachzusammenhängen,

− wenden Sätze der ebenen Geometrie bei Konstruktionen und Berechnungen an, − zeichnen und konstruieren geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel wie

Zirkel, Lineal, Geodreieck oder dynamischer Geometriesoftware, − berechnen Flächeninhalt und Umfang von Rechtecken. Planungsvorschlag


Rückblick 4

Strecke, Gerade, Strahl

• Unterscheiden der Begriffe Strecke, Strahl, Gerade

• Erzeugen und Zeichnen zu-einander paralleler bzw. senk-rechter Geraden

• Identifizieren zueinander pa-ralleler bzw. senkrechter Ge-raden und Strecken

Aufgaben 1 und 2

Streifen, Abstand, Vierecke

• Wiederholen der Begriffe „Ab-stand von Punkten“, „Abstand eines Punktes von einer Gera-den“; Einführung von Streifen

• Erzeugen von Figuren durch Schnitt zweier Streifen

• Identifizieren von Vierecken

Kreis • Wiederholung der Begriffe

Kreis, Radius, Durchmesser • Zeichen von Kreisen

− Der sichere Umgang mit dem Zirkel ist eine wich-tige Voraussetzung für die weiteren Abschnitte.

5.1 Winkelbegriff 6

Winkelbegriff, Win-kelmaß, Winkel- und Dreiecksarten

• Wiederholung „rechter Win-kel“, „senkrecht zueinander“

• Einführen des Begriffes „Win-kel“, Bestandteile eines Win-kels

• Bezeichnen von Winkeln, Ü-bungen im Sprechen und Schreiben von griechischen Buchstaben

• Einführungen eines Winkelma-ßes

• zu Winkelarten, • Einteilung der Dreiecke nach

Winkeln

− keine Übungen zu über-stumpfen Winkeln

− Mit einem beweglichen Winkelmodell kann die Stofffülle durch Visuali-sierung besser bewältigt werden.

− Hinweis auf Bedeutun-gen des Winkelbegriffs im Alltag Aufgabe 3

4.5 Vorschläge zum Themenbereich „Ebene Geometrie“ in Klasse 5 47


Vergleichen, Messen und Zeichnen von Winkeln

• Vergleichen von Winkeln nach Augenmaß, mit Transparent-papier und durch Antragen

• erste Fertigkeiten im Messen von Winkeln

• Hinweis auf Messfehler • Schätzen von Winkelgrößen • erste Fertigkeiten im Zeichnen

von Winkeln mit dem Geodrei-eck

• weitere Entwicklung der Fer-tigkeiten im Messen von Win-keln

− Verdeutlichen, dass Grö-ße eines Winkels unab-hängig von Schenkel-längen ist

− keine Übungen zu über-stumpfen Winkeln

5.2 Das Koordinaten-system

2 • erste Bekanntschaft mit dem Koordinatensystem als Mög-lichkeit, die Lage von Punkten genau zu beschreiben

• erste Übungen im Ablesen und Einzeichnen von Punkten

5.3 Spiegelungen 4

Achsensymmetrische Figuren

• Einführen von „achsensymme-trisch“ (symmetrisch) und „Symmetrieachse"

• Untersuchen von Figuren auf Achsensymmetrie

• Untersuchen von Vierecken und Kreisen auf Symmetrie

Spiegelung • Verwenden von „Originalfigur“,

„Bildfigur“, „deckungsgleich“ • Einführen von „Spiegelung an

einer Geraden“, Merkmale der Spiegelung

• Identifizieren von Spiegelun-gen

• Anwenden der Merkmale der Spiegelung zum Zeichnen von Spiegelbildern

• Entwicklung des Raumvorstel-lungsvermögens

− Günstig ist, vor der Zeichnung das Bild aus der Vorstellung heraus dünn zu skizzieren

− eine Kontrolle ist mit ei-nem halbdurchlässigen Spiegel möglich

5.4 Umfang und Flä-cheninhalt von Fi-guren

6

Der Umfang von Figuren

• Vertiefen des Umfangsbegrif-fes; Berechnung von Umfän-gen geradlinig begrenzter Fi-guren; Hinweis auf nicht ge-radlinig begrenzte Figuren

• Berechnen des Umfangs von

Quadraten und Rechtecken in-haltlich und mithilfe einer For-mel, Einführen eines Lösungs-schemas

− Ausgehen vom Begriff „Körperumfang“ (Kopfum-fang, Bauchumfang) möglich, inhaltliches Ver-ständnis erreichen, nicht auf Umfang bzw. Um-fangsformel für Recht-ecke einengen

− erstmaliges Arbeiten mit einer Formel in der Geo-metrie Aufgabe 5

Der Flächeninhalt von Figuren

• Vertiefung des Begriffes Flä-cheninhalt, Vergleichen und Bestimmen von Flächeninhal-ten durch Auslegen und Aus-zählen, Hinweis auf Flä-



cheninhalt nichtgradlinig be-grenzter Figuren

• Einführen der Flächeneinhei-ten und Umrechnungszahlen

• Entwicklung von Größenvor-stellungen zu wichtigen Ein-heiten

• Umrechnen von Größenanga-ben

Berechnung des Flä-cheninhalts von Rechtecken

• Kennenlernen von Formeln für den Flächeninhalt eines Qua-drates und eines Rechtecks, Anwenden der Formeln, Festi-gen der Arbeit mit Formeln

• formale und Sachaufgaben zur Flächenberechnung

− Finden der Formeln durch Auslegen

Aufgaben 4 und 6


4 • Integration der Kenntnisse zu Längen und Flächeneinheiten

• Integration der Kenntnisse zur Umfangs- und Flächeninhalts-berechnung

Summe 26

4.5.2 Hinweise zu den Aufgaben14 Die Aufgabenbeispiele berücksichtigen die Erfahrungswelt der Schüler und die fachspezifischen Leit-ideen Messen, Raum und Form sowie funktionaler Zusammenhang. Die Aufgaben 1 und 2 sind zur Wiederholung und Festigung grundlegender mathematischer Begriffe geeignet, die die Schüler mit bekanntem Wissen über ihre Umwelt in Beziehung bringen sollen. Sie sollen bei allen Aufgaben er-kennen, dass Wörter völlig unterschiedliche Bedeutungen haben können, sowohl gleiche als auch un-terschiedliche Bedeutungsteile besitzen können und dass die mathematischen Begriffe Idealisierun-gen realer Objekte darstellen. Dies führt zu Diskussionen, die auf unterschiedlichem Anspruchsniveau geführt werden können. Es werden die sprachlichen Fähigkeiten der Schüler entwickelt. Es geht nicht darum, dass alle aufgeführten Bedeutungen auch im Unterricht besprochen werden.

Aufgabe 1

Schreibe verschiedene Redewendungen auf, in denen das Wort „Punkt“ vorkommt und vergleiche ihre Bedeutungen.


Mit dem Wort Punkt kann ein kleiner kreisrunder Fleck bzw. Tupfen, ein punktförmiges Zeichen beim Schreiben, ein geographischer Ort, ein Zeitpunkt bzw. Stadium innerhalb eines Prozesses (jetzt ist der Punkt gekommen, ein toter Punkt) oder die Bestandteile eine Liste (die Punkte in einer Rede) bezeichnet werden. Gemeinsame Bedeutungen einiger Objekte sind: es handelt sich um etwas Rundes, Kreisförmiges, das in der Regel sehr klein ist; es handelt sich um etwas Bestimmtes, genau Festgelegtes (um einen bestimmten Ort oder um einen bestimmten Zeitpunkt). Es können reale Objekte (Schriftzeichen) oder auch nur gedankliche Objekte (Zeitpunkt, Punkte einer Rede) sein. Manchmal ist im Wort die Bedeu-tung enthalten, dass etwas zu einem bestimmten Abschluss gebracht wird (Punkt am Satzende, auf den Punkt kommen). In der Mathematik gehört der Begriff Punkt zu den nicht definierten Grundbegriffen. Ein Punkt besitzt als ideelles Objekt keine Ausdehnung, lässt sich aber zeichnerisch darstellen und hat bei dieser Dar-stellung im Unterschied zum Denkobjekt immer auch eine bestimmte Fläche. Man kann mit den Schülern über die Darstellung von Punkten sprechen. Es gibt dafür verschiedene Möglichkeiten: ein Kreuz: ×, ein kleiner nicht ausgefüllter Kreis: ◦, ein kleiner ausgefüllter Kreis: •, ein kleiner Strich senkrecht zu einer Linie ( ) oder der Schnitt zweier beliebiger Linien. Es ist üblich, aber nicht erforderlich, dass der Punkt auch beschriftet ist.

Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten 14 vgl. Hinweise S. 17

poly�alent


g A

B

Aufgabe 2

Finde Gemeinsamkeiten und Unterschiede in der Bedeutung des Wortes „Strecke“ in der Mathematik und in den folgenden Formulierungen: Auf der Strecke von Berlin nach Rostock kommt es zu Verspätungen im Zugverkehr.

a) Die letzte Strecke des Weges gingen sie zu Fuß. b) Die Läufer legen eine Strecke von 100 m zurück.


Gemeinsamkeiten: Alle Strecken haben eine Länge. Alle Strecken haben je einen Anfangs- und End-punkt, die allerdings bei der Bahnstrecke nicht eindeutig bestimmt sein müssen. Unterschiede: Die Bahnstrecke und die Wegstrecke sind in der Regel nicht geradlinig, während eine Laufstrecke von 100 Metern im Normalfall geradlinig ist. Bei einer Strecke in der Mathematik sind die Endpunkte gleichberechtigt, man kann eigentlich nicht vom Anfangs und Endpunkt einer Strecke sprechen. Bei den drei Strecken in der Realität sind die Endpunkte nicht gleichwertig, es handelt sich jeweils um den Start und das Ziel einer gerichteten Bewegung.


Aufgabe 3

Vergleiche die Bedeutung des Wortes „senkrecht“ in den folgenden Sätzen.

(1) Die Strecke AB ist senkrecht zur Geraden g. (2) Der Zaunpfahl steht senkrecht.


Gemeinsamkeiten: In beiden Fällen treten rechte Winkel auf.

Unterschiede: Eine Strecke und eine Gerade bil-den, wenn die Eckpunkte nicht auf der Geraden liegen, vier rechte Winkel. Der Zaunpfahl und die Erdoberfläche (eben, bei vernachlässigter Krüm-mung) bilden zwei rechte Winkel. Der Zaunpfahl ist immer senkrecht zur Horizontalen. Wenn eine Ge-rade schräg zu einer Heftkante verläuft, dann ver-läuft auch die Strecke schräg zur Heftkante. Das Wort 'waagerecht' ist kein mathematischer Begriff, sondern bezieht sich auf die Erdoberfläche. Ein Zaunpfahl kann senkrecht stehen und trotzdem schräg zu seiner Standfläche sein, zum Beispiel an einem Hang.

Weitere Hinweise:

– Wegen der doppelten Bedeutung des Wortes 'senkrecht' sollten die Schüler darauf orientiert wer-den, im Mathematikunterricht stets die Formulierung „senkrecht zu“ bzw. „senkrecht zu einander“ zu verwenden.

Es können auch Bezüge zur Bedeutung der Wörter lotrecht, horizontal und vertikal hergestellt werden. Es handelt sich dabei ebenfalls nicht um mathematische Begriffe, sondern um Relationen, die Ge-meinsamkeiten mit der Relation der Orthogonalität (rechter Winkel) in der Mathematik haben.


Aufgabe 4

Ein Raum besitzt eine Grundfläche von 36 m2. Welche Form kann die Grundfläche dieses Raumes haben?


Als Lösungen können zunächst Rechtecke mit den entsprechenden Seitenlängen (Spezialfall: Quad-rat mit Seitenlänge 6 m) erwartet werden. Das gründliche Analysieren des Sachverhaltes führt zum Ausschluss wenig wahrscheinlicher Lösungsmöglichkeiten (z.B. 1 m × 36 m). Die Wahl nicht ganzzah-liger Seitenlängen (z.B. 8,5 m × 4 m) erfordert ein tieferes Zahlenverständnis. Die Betrachtung verwin-kelter Räume, d.h. von aus Rechtecken zusammengesetzten Figuren sind qualitativ höherwertige Lösungsideen, ebenso wie allgemeine Lösungsvorschläge. Mathematisch begabte Schüler könnten über den Schulstoff hinausgehende Formen einbeziehen, die keine Rechtecke sind oder in sie zerlegt werden können (z.B. rechtwinklige Dreiecke).


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Aufgabe 5

Bauer Piepenbrink möchte mit 36 Zaunfeldern einen neuen Hühnerhof einzäunen. Jedes Zaunfeld ist 1 m lang. Welche Form kann der Hühnerhof haben?


Als Lösungen können zunächst Rechtecke mit den entsprechenden Sei-tenlängen (Spezialfall: Quadrat mit Seitenlänge 9 m) erwartet werden. Beliebige rechteckige Aussparungen an den Ecken des Grundstücks (s. Skizze) verändern den Umfang nicht.

Vielen Schülern ist bereits seit der Grundschule ein Verfahren zur Kon-struktion eines regelmäßigen Sechsecks bekannt. Ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge 6 m ist beispielsweise eine Lösung der Aufgabe, die von den Schülern auch zeichnerisch bewältigt werden kann.

Allgemein sind alle Polygone, die sich aus 36 Zaunfeldern herstellen lassen, Lösungen der Aufgabe.

Eine Betrachtung des realen Sachverhalts kann zu der Frage führen, ob ein Teil des Hofes durch ein Gebäude begrenzt wird oder ein Ein-gang für das Gelände ausgespart werden sollte.


Aufgabe 6

Beschreibe verschiedene Möglichkeiten, wie man den Flächeninhalt der Figur in der Skizze ermitteln kann.


Das Ziel der Aufgabe ist das Finden einer Lösungsidee, bei der der kon-krete Flächeninhalt als scheinbares Ergebnis der Aufgabe (82cm2) unin-teressant ist. Schülern, deren Denken sich bevorzugt an konkreten Ob-jekten orientiert, steht mit dem Auszählen der Kästchen jedoch die Mög-lichkeit einer zutreffenden Lösung offen. Die Zerlegung der Figur in Rechtecke und das Addieren der Teilflächen ist eine denkbare Lösungsstrategie. Eine Berechnung des Flächeninhalts des umgeben-den Rechtecks, vermindert um die Flächeninhalte der 4 ausgeschnittenen Eck-Quadrate verfolgt ei-nen subtraktiven Ansatz. Anhand des Grades der Allgemeinheit der Lösung, des Einbeziehens einer Skizze in die Beantwortung der Frage und der sprachlichen Güte der Schülerantworten kann die Qua-lität der Schülerantworten differenziert werden.



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Aufgaben zur Geometrie in der Ebene

1. Schreibe verschiedene Redewendungen auf, in denen das Wort „Punkt“ vorkommt und vergleiche ihre Bedeutungen.

2. Finde Gemeinsamkeiten und Unterschiede in der Bedeutung des Wortes „Strecke“ in der Mathematik und in den folgenden Formulierungen:

a) Auf der Strecke von Berlin nach Rostock kommt es zu Verspätungen im Zugverkehr.

b) Die letzte Strecke des Weges gingen sie zu Fuß.

c) Die Läufer legen eine Strecke von 100 m zurück.

3. Vergleiche die Bedeutung des Wortes „senkrecht“ in den folgenden Sätzen:

(1) Die Strecke AB ist senkrecht zur Geraden g.

(2) Der Zaunpfahl steht senkrecht.

4. Ein Raum besitzt eine Grundfläche von 36 m2. Welche Form kann die Grundfläche dieses Raumes haben?

5. Bauer Piepenbrink möchte mit 36 Zaunfeldern einen neuen Hühnerhof einzäunen. Jedes Zaunfeld ist 1 m lang. Welche Form kann der Hühnerhof haben?

6. Beschreibe verschiedene Möglichkeiten, wie man den Flächeninhalt der Figur in der Skizze ermitteln kann.

52 4.6 Vorschläge zum Themenbereich „Räumliche Geometrie“ in Klasse 5

4.6 Themenbereich „Räumliche Geometrie“


Forderungen der Bildungsstandards Die Schülerinnen und Schüler − können Körper und ebene Figuren nach Eigenschaften sortieren und Fachbegriffe zuordnen, − Körper und ebene Figuren in der Umwelt wieder erkennen, − berechnen Volumen und Oberflächeninhalt von Würfeln und Quadern sowie aus zwei Quadern

zusammengesetzte Körper, − stellen Würfel und Quader als Netz und Schrägbild dar und erkennen Körper aus ihren ent-

sprechenden Darstellungen, − festigen ihr räumliches Vorstellungsvermögen, − erkennen, beschreiben und nutzen räumliche Beziehungen. Planungsvorschlag


Rückblick 4 • Wiederholen und Systematisie-ren der Bezeichnungen und Ei-genschaften von Körpern

• Vertiefen des Begriffes „Netz eines Quaders bzw. Würfels“

• Zuordnen, Vervollständigen bzw. Zeichnen von Netzen

− Unterscheidungsmerkmale: Ecken, Kanten, Begrenzungsflä-chen

− Das Arbeiten mit Netzen dient vor allem der Entwicklung des räumli-chen Vorstellungsvermögens. Aufgabe 1

6.1 Geometrische Körper – Ei-genschaften von Quadern

2 • Identifizieren und Realisieren von Würfeln und Quadern

• Eigenschaften von Quadern

− als Zusatz: Symmetrieebenen von Quadern Aufgabe 2

6.2 Schrägbilder von Quadern

4 • Einführen von „Schrägbild“ als Schattenbild

• Kenntnis eines Verfahrens zum Zeichnen von Schrägbildern auf Gitterpapier, Vervollständigen und Anfertigen von Schrägbil-dern

Aufgabe 3

6.3 Berechnen des Oberflächen-inhalts von Quadern

2 • Anwenden der Flächeninhalts-formeln für Rechtecke

− Rückführung auf Bekanntes, auf Formel kann verzichtet werden Aufgabe 4

6.4 Volumen von Körpern

6

Volumen von Körpern

• Begriff Volumen (Rauminhalt) eines Körpers, Vergleichen und Bestimmen des Volumens durch Zerlegen in volumenglei-che Teilkörper und Auszählen der Teilkörper

• Entwicklung von Größenvorstel-lungen zu den Einheiten des Volumens

• Umrechnen von Volumenanga-ben

Aufgabe 5

4.6 Vorschläge zum Themenbereich „Räumliche Geometrie“ in Klasse 5 53

poly�alent


Berechnung des Volumens von Quadern

• Kennenlernen von Formeln für das Volumen, Anwendung der Formeln, Festigung der Arbeit mit Formeln

• funktionale Betrachtungen • Sachaufgaben zur Volumenbe-

rechnung, Festigung der Vorge-hensweisen zum Lösen von Sachaufgaben

− Finden der Formel durch Auslegen eines Quaders

Aufgabe 6

6.5 Gemischte Aufgaben

6 Auswahl von Schwerpunkten ent-sprechend der Klassensituation • Integration der Kenntnisse zur

Flächen- und Volumenberech-nung

• Umrechnung von Größen, Ent-wickeln von Größenvorstellun-gen

• Ermittlung und Berechnung von Flächeninhalten und Volumina, Größenvorstellungen

• Zeichnen bzw. Ergänzen von Schrägbildern

• Knobelaufgaben zum räumli-chen Vorstellungsvermögen

Summe 24


Vergleiche die 6 Körper miteinander. Finde eine gemeinsame Eigenschaft mehrerer Körper. Schreibe die Eigenschaft auf und gib die Nummern der Körper an, die diese Eigenschaft haben. Finde möglichst viele weitere gemeinsame Eigenschaften.

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

Alle sechs dargestellten Körper sind den Schülern bereits aus der Grundschule namentlich bekannt, wobei die Schüler bei dieser Aufgabe nicht die Namen den Körpern zuordnen müssen. Die Aufgabe dient der Festigung der Merkmale von Körpern und der damit verbundenen Begriffe Ecke, Spitze, Kante, Begrenzungsfläche, eben und gekrümmt. Die Aufgabe kann deshalb entweder im Rückblick zur Wiederholung oder in den gemischten Übungen verwendet werden.


Die Schüler könnten folgende Eigenschaften von Körpern mit den dazugehörigen Nummern der ab-gebildeten Körper nennen.

(A) Körper, die nur ebene Begrenzungsflächen16 haben: (1), (4), (5) (B) Körper mit ebenen und gekrümmten Begrenzungsflächen: (2), (6) (C) Körper, die gekrümmte Begrenzungsflächen haben: (2), (3), (6) (D) Körper mit einer Spitze (2), (5) (E) Körper, die Kanten17 haben: (1), (4), (5)

15 Vgl. Hinweise S. 17 16 Es sollte mit Blick auf die weitere Behandlung der Körper generell von Begrenzungsflächen und nicht von Sei-tenflächen gesprochen werden, obwohl dies bei Würfeln und Quadern durchaus üblich ist.


poly�alent

(F) Körper mit sechs Flächen, acht Ecken und 12 Kanten: (1), (4) (G) Körper, die rollen können: (2), (3), (6) (H) Körper, die sich stapeln lassen: (1), (4), (6) (I) Körper, die eine Grundfläche haben: (1), (2), (4), (5), (6) (J) Körper, die eine Grundfläche und eine Deckfläche haben: (1), (4), (6) (K) Körper, die ein Netz haben: (1), (2), (4), (5), (6)

Die Eigenschaft (F) kann auch noch weiter untergliedert werden.

Eine Differenzierung ergibt sich durch die Anzahl der gefundenen Eigenschaften, aber auch durch den Bekanntheitsgrad der Eigenschaften. Die Eigenschaften (A) bis (F) sollten von allen Schülern gefun-den werden können. Die Eigenschaften (G) und (H) betreffen die Funktionalität der Körper und die Eigenschaften (I) bis (K) sind wahrscheinlich nur wenigen Schülern bekannt.


Aufgabe 2

Nenne verschiedene Beispiele für Gegenstände, die die Form eines Quaders haben.


Bei dieser Aufgabe geht es um die Ausprägung des Wechselverhältnisses von formalen und inhaltli-chen Aspekten der Körperbegriffe. Das Wort Quader bezeichnet sowohl einen mathematischen Kör-per als auch die Form von realen Gegenständen, die mit diesem Begriff mathematisch modelliert wer-den. Die Ausprägung dieses Wechselverhältnisses ist eine wesentliche Grundlage für die Anwendbar-keit der Körperbegriffe. Mit dem Wort Quader wird auch ein behauener Steinblock von der Form eines Quaders bezeichnet.

Von den Schülern könnten z. B. folgende Gegenstände genannt werden: Buch, Schreibblock, Tisch-platte, CD-Hülle, Mauerstein, bestimmte Schränke, Verpackungen oder Häuser. Dabei ist eine Dis-kussion sinnvoll, inwieweit man bestimmte Gegenstände noch als quaderförmig bezeichnen kann.


Aufgabe 3

Zeichne verschiedene Schrägbilder eines Würfels auf Kästchenpapier.


Mit dieser Aufgabe können die Fertigkeiten im Zeichnen von Schrägbildern und das räumliche Vorstellungsvermögen entwickelt werden. Mögliche Lösungen, von denen die erste und dritte durch alle Schüler gefunden werden könnten:


Aufgabe: 4

Der Oberflächeninhalt eines Quaders beträgt 52 cm². Wie groß könnten die Seitenflächen sein?


Die Aufgabe dient der Festigung des Begriffes Oberfläche eines Körpers und der Kenntnisse über die Oberfläche von Quadern. Mögliche Schülerantworten sind alle Tripel, die zusammen 26 cm² ergeben, also z. B.: (10 cm², 10 cm², 6 cm²) oder (6 cm², 8 cm², 12 cm²). Zu jedem Tripel lassen sich die entsprechenden Kanten-

17 Der Begriff Kante wird in der Mathematik in zwei Bedeutungen verwendet, im engeren Sinne als eine geradlini-ge und im weiteren Sinne auch als eine krummlinige eindimensionale Figur. In der Schule sollten unter Kanten nur Strecken, d. h. geradlinige Figuren verstanden werden.

4.6 Vorschläge zum Themenbereich „Räumliche Geometrie“ in Klasse 5 55

poly�alent

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längen des Quaders eindeutig ermitteln, was allerdings den Schülern der 5. Klasse noch nicht möglich ist, da dies auf die Lösung einer quadratischen Gleichung führt. Durch Probieren könnten einige Schü-ler eventuell auf einen Quader mit den Kantenlängen 2 cm, 3 cm und 4 cm kommen. Dies ist die ein-zige ganzzahlige Lösung.


Aufgabe 5

Jessica will aus 64 Würfeln einen Quader legen.

Aufgabe 6

Ein großer Raum in einem Bürogebäude hat ein Volumen von 60 m3. Gib mehrere Möglichkeiten für seine Abmessungen an. Mit den Aufgaben 5 und 6 können die Kenntnisse der Schüler zur Vo-lumenberechnung von Quadern gefestigt werden. Es handelt sich je-weils um eine Umkehraufgabe zur Volumenberechnung bei gegebenen Kantenlängen. Bei beiden Aufgaben müssen ebenfalls die konkreten Sachverhalte berücksichtigt werden.


Antworten bei Aufgabe 5: Die Zahl 64 ist in ein Produkt aus drei Faktoren zu zerlegen. Es sind fol-gende Tripel möglich: (1, 1, 64), (1, 2, 32), (1, 4, 16), (1, 8, 8), (2, 2,16), (2, 4, 8), (4, 4, 4). Alle Lösun-gen können von den Schülern durch systematisches Probieren gefunden werden. Inhaltlich ist zu be-achten, dass die Würfelbauten jeweils verschiedene Formen haben können. So können im ersten Fall alle 64 Würfel nebeneinander gelegt oder übereinander gestapelt werden.

Antworten bei Aufgabe 6: Die Anzahl der möglichen Antworten ist beliebig groß, da auch nicht ganz-zahlige Längenmaße möglich sind. Aus inhaltlicher Sicht wären bei ganzzahligen Maßen folgende Abmessungen sinnvoll: 3 m, 4 m und 5 m, wobei ein Längenmaß jeweils die Höhe des Raumes dar-stellen könnte. Bei Verwendung gebrochener Zahlen könnten Schüler auch auf folgende Tripel kom-men: (2,5 m; 4 m, 6 m), (2,5 m; 3 m; 8 m), (2 m; 4 m; 7,5 m), (2,5 m; 3,2 m; 7,5 m), (4 m, 4 m, 3,75 m). Diese Möglichkeiten können die Schüler u. a. durch weiteres Zerlegen und Zusammensetzen der Zah-len finden: 60 = 3 · 4 · 5 = 2 · 1,5 · 2 · 2 · 2 · 2,5

Zeit für selbstständige Schülerarbeit: jeweils 20 Minuten



Aufgaben zur Geometrie im Raum

1. Vergleiche die 6 Körper miteinander. Finde eine gemeinsame Eigenschaft mehrerer Kör-per. Schreibe die Eigenschaft auf und gib die Nummern der Körper an, die diese Eigen-schaft haben. Finde möglichst viele weitere gemeinsame Eigenschaften.

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

2. Nenne verschiedene Beispiele für Gegenstände, die die Form eines Quaders haben. 3. Zeichne verschiedene Schrägbilder eines Würfels auf Kästchenpapier.

4. Der Oberflächeninhalt eines Quaders beträgt 52 cm².

Wie groß könnten die Seitenflächen sein? 5. Jessica will aus 64 Würfeln einen Quader legen. 6. Ein großer Raum in einem Bürogebäude hat ein Volumen von 60 m3.

Gib mehrere Möglichkeiten für seine Abmessungen an.

5.1 Vorschläge zum Themenbereich „Teilbarkeit“ in Klasse 6 57

5 Vorschläge für die Klasse 6 5.1 Themenbereich „Teilbarkeit“



Die Schülerinnen und Schüler – rechnen mit natürlichen Zahlen auch im Kopf, – nutzen Rechengesetze, auch zum vorteilhaften Rechnen, – wählen, beschreiben und bewerten Vorgehensweisen und Verfahren, denen Algorithmen bzw.

Kalküle zu Grunde liegen, – prüfen und interpretieren Ergebnisse in Sachsituationen.

Planungsvorschlag


Mit Schwung ins neue Schuljahr

2 • Reaktivierung der Kopfrechenfertig-keiten; Entwicklung des Interesses am Mathematikunterricht; Auswahl einiger Aufgaben:

− Zu Beginn des neuen Ma-thematikunterrichts sollten besondere Anstrengungen unternommen werden.

o Rechenketten, Zahlenpyramiden o Zahlenrätsel o Knobel- und Scherzaufgaben o Umrechnen von Größen o Bilden von Termen o Rechenspiele o Fortsetzung von Zahlenfolgen

• Wiederholen des Rechnens mit Po-tenzen

− Zusatz: Kubikzahl

1.1 Teilermengen und Primzahlen

3 • Bestimmen von Teilern und Vielfa-chen, Einführen einer Schreibweise

• Primzahlbegriff

− Zusatz: Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren

Aufgabe 1 • Untersuchungen von Eigenschaften

natürlicher Zahlen

• Zusatz: Erarbeiten und Anwenden der

Sätze zur Teilbarkeit von Summen und Produkten

− ein beispielgebundenes Begründen ist ausreichend

1.2 Teilbarkeits-regeln

3 • Teilbarkeitsregeln für 2; 3; 5; 10 und 100

− Zusatz: Teilbarkeitsregeln für 4 und 8

• Einführen von Quersumme und der

Teilbarkeitsregel für 3 • Untersuchung von Aussagen zur

Teilbarkeit

− Zusatz: Teilbarkeitsregeln für 9 und 6

Aufgaben 2, 3, 4 und 5

1.3 Kleinstes ge-meinsames Viel-faches

3 • Begriff kleinstes gemeinsames Vielfa-ches

• Einführen und Festigen des Verfah-rens des Vervielfachens zum Bestim-men des kgV

− Zusatz: Verfahren der Primfaktorzerlegung

Aufgabe 6

1.4 Größter gemein-samer Teiler

1 • Einführen des Begriffes größter ge-meinsamer Teiler, Anwenden beim Kürzen

− Zusatz: Euklidischer Algo-rithmus

Summe 12

58 5.1 Vorschläge zum Themenbereich „Teilbarkeit“ in Klasse 6

5.1.2 Hinweise zu den Aufgaben18 Aufgabe 1 Arne hat zwei Rechtecke aus sechs quadratischen Kästchen zusammengelegt. Zeichne jeweils verschiedene Rechtecke, die aus folgenden Anzahlen quadratischer Kästchen zu-sammengelegt sind.

a) 12 Kästchen b) 13 Kästchen c) 14 Kästchen


a) b) c) Länge 1 12 2 6 3 4 1 13 1 14 2 7 Breite 12 1 6 2 4 3 13 1 14 1 7 2

Hinweise zum Einsatz: Das Ziel der Aufgabe ist die Erarbeitung bzw. Festigung des Begriffs Primzahl und die Festigung der Fertigkeiten zu den Grundaufgabengleichungen der Multiplikation durch Zerlegung von Zahlen in Pro-dukte aus 2 Faktoren. Die unterschiedliche Qualität der Antworten zeigt sich in der Anzahl der gefundenen Lösungen, dem Finden der maximalen Zahl der Möglichkeiten und der Möglichkeit für die weiter führenden Frage: „Wann sind zwei Rechtecke verschieden?“

Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten Aufgabe 2 Finde dreistellige Zahlen, die durch folgende Zahlen teilbar sind. Suche besondere Zahlen. a) 3 b) 5 c) 10 d*) 6


a) Die Schüler müssen Zahlen finden, deren Quersumme 3 ist. Dabei können sie u. a. auf folgende Spezialfälle stoßen:

o drei gleiche Ziffern, die durch 3 teilbar sind: 333; 666; 999 o drei Ziffern, die alle durch 3 teilbar sind: z. B. 369; 663; 993 o drei aufeinander folgende Ziffern: z. B. 123; 345; 789 o alle Ziffern lassen den Rest 1 bei der Division durch 3: z. B. 147; 714 o alle Ziffern lassen den Rest 2 bei der Division durch 3: z. B. 258; 582 o eine Ziffer ist durch 3 teilbar, die anderen nicht: z. B. 372; 618

Antworten mit höherem Niveau: Schüler könnten auch herausfinden, welche Fälle nicht möglich sind (z. B. 2 Ziffern durch 3 teilbar, eine nicht) und wie viele Zahlen es insgesamt gibt. (300)

b), c), d*) Auch hier können die Schüler nach Spezialfällen suchen, wie z. B.:

5 | 555, da Zahl auf 5 endet 10 | 410, da Zahl auf 0 endet 6 │ 666, da jede Ziffer durch 6 teilbar i 5 | 210, da Zahl auf 0 endet 10 | 100, da Zahl auf 0 endet 6 │ 324, da gerade Zahl und QS … 5 | 865, da Zahl auf 5 endet Hinweise zum Einsatz: Diese Aufgabe ist eine Umkehraufgabe zu den behandelten Teilbarkeitsregeln. Sie sollte deshalb auch am Ende dieses Stoffabschnittes eingesetzt werden.


18 Vgl. Hinweise S. 17


Aufgabe 3 Finde zweistellige Zahlen, die zugleich durch folgende beiden Zahlen teilbar sind. Was fällt dir auf? a) 2 und 5 b) 3 und 4 c) 4 und 6 Mögliche Schülerantworten: a) 10; 20; … Alle Zahlen sind durch 10 teilbar. b) Erhalten die Schüler 8 Lösungen, haben sie die maximale Anzahl aller Möglichkeiten, alle durch 12 teilbaren Zahlen, ermittelt: 12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96 c) 12, 24; 36; … Es sind wieder alle durch 12 teilbaren Zahlen. Weiterführende Überlegungen und Verallgemeinerungen:

o Wenn eine Zahl durch 2 und 5 teilbar ist, dann ist sie auch durch 10 teilbar. o Wenn eine Zahl durch 3 und 4 teilbar ist, dann ist sie auch durch 12 teilbar. o Wenn eine Zahl durch 4 und 6 teilbar ist, dann ist sie auch durch 12 teilbar. o Wenn eine Zahl durch a und b teilbar ist, dann ist sie auch durch das kgV von a und b teilbar.

Hinweise zum Einsatz: Das Ziel der Aufgabe ist die Festigung der betreffenden Teilbarkeitsregeln und die Entwicklung der Verallgemeinerungsfähigkeiten der Schüler. Alle Schüler müssten erkennen, dass die Zahlen durch 10 bzw. 12 teilbar sind, was insbesondere von leistungsstarken Schülern verallgemeinert werden kann. Bei der Bearbeitung der Aufgaben kann auch ein Bezug zum kgV hergestellt werden.

Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten Aufgabe 4: Denke dir eine Zahl, die größer als 10 und kleiner als 1000 ist. Finde Zahlen, die mehrere Bedingun-gen erfüllen. Für jede Aussage, die auf deine Zahl zutrifft, erhältst du einen Punkt. (1) Sie ist mehr als zweistellig. (2) Sie ist ein Vielfaches von 4. (3) Es ist eine gerade Zahl. (4) Die Quersumme ist 3. (5) Sie ist kleiner als 400. (6) Alle Ziffern der Zahl sind Primzahlen. (7) Sie enthält eine ungerade Ziffer. (8) Es ist eine Quadratzahl. (9) Die Ziffern werden von links nach rechts größer. Mögliche Schülerantworten: Jeder Schüler sollte eine Zahl finden, die die Eigenschaften (1), (5), (7) und (9) hat, wie z. B. 123. Hinweise zum Einsatz: Die Aufgabe ermöglicht eine Festigung der Begriffe Vielfaches, Quersumme, Primzahl, ungerade Zahl und Quadratzahl durch Herstellen von Objekten, die Repräsentant möglichst vieler Begriffe sind. Durch den Wettbewerbscharakter sind allerdings nicht alle Lösungen gleichwertig.

Mögliche Überlegungen auf höherem Niveau: Gibt es eine Zahl, die alle Bedingungen erfüllt? Dies ist nicht möglich. Begründung: Es gibt mit 256 nur eine Zahl, die (1), (2), (3), (5), (7), (8) und (9) erfüllt. Diese Zahl erfüllt jedoch nicht (4) und (6).


Aufgabe 5 Ersetze die Sternchen so durch Ziffern, dass Zahlen mit den angegebenen Eigenschaften entstehen a) Die Zahl ist durch 4 teilbar. (1) *72 (2) 1*6 (3) 45* b) Die Zahl ist durch 3 aber nicht durch 2 teilbar. (1) 23* (2) 4*1* (3) *83* Mögliche Schülerantworten: a) (1): Es sind alle Ziffern von 1 bis 9 möglich.

(2): 4 | 116 4 | 136 4 | 156 4 | 176 4 | 196 (3): 4 | 452 4 | 456 b) Es müssen stets ungerade Zahlen sein. (1): 3 | 231 3 | 237

60 5.1 Vorschläge zum Themenbereich „Teilbarkeit“ in Klasse 6

(2): 3 | 4011 3 | 4017 3 | 4119 3 | 4113 3 | 4215 3 | 4311 3 | 4317 3 | 4413 3 | 4419 3 | 4515 3 | 4611 3 | 4617 3 | 4713 3 | 4719 3 | 4815 3 | 4911 3 | 4917 (3): 3 | 0831 3 | 0837 3 | 1833 3 | 1839 3 | 2835 3 | 3831 3 | 3837 3 | 4833 3 | 4839 3 | 5835 3 | 6831 3 | 6837 3 | 7833 3 | 7839 3 | 8835 3 | 9831 3 | 9837 Hinweise zum Einsatz: Diese Aufgabe kann zur Systematisierung der Teilbarkeitsregeln für 4, 3 und 2 genutzt werden. Sie stellt eine Umkehraufgabe zur Untersuchung von Zahlen auf Teilbarkeit dar. Die unterschiedliche Qualität der Antworten zeigt sich sowohl in der Anzahl der gefundenen Lösun-gen, als auch in der möglichen Feststellung bei b), dass die Teilbarkeit durch 6 ausgeschlossen wer-den muss.

Zeit für selbstständige Schülerarbeit 15 Minuten

Aufgabe 6 Gib zwei Zahlen an, deren kgV 30 ist. Mögliche Schülerantworten: Jeder Schüler sollte das Paar (5; 6) finden, aber auch (5; 20) und (10; 20) sollten gefunden werden. Hinweise zum Einsatz: Die Aufgabe dient als eine Umkehraufgabe zur Berechnung des kgV dem Ausbilden von Fertigkeiten im Ermitteln des kgV durch Vervielfachen der größeren Zahl. Es sind folgende Überlegungen eines Schülers auf höherem Niveau möglich: Wie viele Zahlenpaare gibt es? Welche Besonderheiten/Sonderfälle treten auf? Kann man die Lösun-gen in Gruppen einteilen? Antworten zu diesen Überlegungen können sein:

1. Fall: Beide Zahlen sind teilerfremd, d. h. ihr Produkt ist 30. 2. Fall: Eine Zahl ist 30 und die andere ein Teiler von 30. 3. Fall: Die Zahlen sind nicht teilerfremd, keine Zahl ist 30 (oder keine ist Teiler der anderen).

Lösungen zu den Zusatzüberlegungen:

1. Fall 2. Fall 3. Fall 1. Zahl 5 3 2 1 2 3 5 6 10 15 6 6 10 2. Zahl 6 10 15 30 30 30 30 30 30 30 15 10 15

Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 5 Minuten (ohne die Zusatzüberlegungen) Aufgabenempfehlungen: Aufgaben 1, 2 und 6


Aufgaben zur Teilbarkeit 1. Arne hat zwei Rechtecke aus sechs quadratischen Kästchen zusammengelegt.

Zeichne jeweils verschiedene Rechtecke, die aus folgenden Anzahlen quadratischer Kästchen zusammengelegt sind. a) 12 Kästchen b) 13 Kästchen c) 14 Kästchen

2. Finde dreistellige Zahlen, die durch folgende Zahlen teilbar sind. Suche besondere Zahlen. a) 3 b) 5 c) 10 d*) 6

3. Finde zweistellige Zahlen, die zugleich durch folgende beiden Zahlen teilbar sind.

Was fällt dir auf? a) 2 und 5 b) 3 und 4 c) 4 und 6

4. Denke dir eine Zahl, die größer als 10 und kleiner als 1000 ist.

Finde Zahlen, die zugleich mehrere der folgenden Bedingungen erfüllen. Für jede Aussage, die auf deine Zahl zutrifft, erhältst du einen Punkt.

(1) Sie ist mehr als zweistellig. (2) Sie ist ein Vielfaches von 4. (3) Es ist eine gerade Zahl. (4) Die Quersumme ist 3. (5) Sie ist kleiner als 400. (6) Alle Ziffern der Zahl sind Primzahlen. (7) Sie enthält eine ungerade Ziffer. (8) Es ist eine Quadratzahl. (9) Die Ziffern werden von links nach rechts größer.

5. Ersetze die Sternchen so durch Ziffern, dass Zahlen mit den angegebenen Eigenschaf-

ten entstehen.

a) Die Zahl ist durch 4 teilbar. (1) *72 (2) 1*6 (3) 45*

b) Die Zahl ist durch 3 aber nicht durch 2 teilbar. (1) 23* (2) 4*1* (3) *83*

6. Gib zwei Zahlen an, deren kgV 30 ist.


5.2 Themenbereich „Gebrochene Zahlen“


Forderungen der Bildungsstandards Die Schülerinnen und Schüler − können ein Gefühl für Zahlen entwickeln, − können den Aufbau des Dezimalsystems verstehen, − können die Notwendigkeit der Zahlenbereichserweiterung an Beispielen begründen, − nutzten sinntragende Vorstellungen von gebrochenen Zahlen entsprechend der Verwendungsnot-

wendigkeit, − stellen Zahlen der Situation angemessen dar, − rechnen mit gebrochenen Zahlen, die im täglichen Leben vorkommen, auch im Kopf, − können Messergebnisse und berechnete Größen in sinnvoller Genauigkeit darstellen, − können gebrochene Zahlen ordnen und vergleichen, − erkennen Beziehungen zwischen verschiedenen Darstellungsformen gebrochener Zahlen, − nutzen zur Kontrolle Überschlagsrechnungen und andere Verfahren.

Planungsvorschlag


2.1 Rückblick; Begriff der gebro-chenen Zahl

5 • Wiederholung von Aspekten des Bruchbegriffes (Teile eines Gan-zen, Teile einer Anzahl, Bruchteil von Größen); Ermitteln der Aus-gangsgröße; gemischte Zahlen

• Wiederholung des Erweiterns und Kürzens von Brüchen; Erweitern auf Zehnerbrüche; Wiederholung wichtiger Zuordnungen Dezimal-bruch – Bruch

• Einführung von „gebrochene Zahl“, Darstellung von Brüchen und Dezimalbrüchen auf dem Zahlenstrahl

• Beispiele für bevorzugte Anwen-dung einer der Darstellungsarten

2.2 Gleichnamigma-chen von Brüchen

2 • Wiederholung von „gleichnamig“ und „ungleichnamig“

• Einführen von „Hauptnenner“, Wiederholung des Verfahrens zur Bestimmung des kgV

− Die Entwicklung von Fertigkeiten im Gleich-namigmachen sollte in 2.3 und 2.4 erfolgen

2.3 Vergleichen und Ordnen von un-gleichnamigen Brüchen

3 • Wiederholung des Vergleichens gleichnamiger Brüche

• Festigung des Gleichnamig-machens, Vergleichen und Ord-nen ungleichnamiger Brüche, Anwendungen

• Anwenden des Vergleichens beim Lösen von Ungleichungen

2.4 Addieren und Sub-trahieren von un-gleichnamigen Brüchen

5 • Inhaltliches Verständnis des Ver-fahrens

• Entwicklung sicherer Fertigkeiten im Addieren und Subtrahieren von zwei einfachen Brüchen mithilfe folgender Aufgabentypen:

− Treten in einer Aufgabe Brüche und Dezimalbrü-che auf, sollte auf das Arbeiten mit Dezimal-brüchen orientiert wer-den



o Lösen formaler Rechenaufga-ben

o Umwandeln von gemischten Zahlen

o Übersetzen von Texten o Lösen von Sachaufgaben o Lösen von Gleichungen

• Festigung des Addierens und Subtrahierens von Dezimalbrü-chen

− Diff.: unterschiedliche Anzahl von Summan-den

Aufgaben 1 und 5

2.5 Multiplizieren von Brüchen

4 • Inhaltliches Verständnis des Ver-fahrens

• Entwicklung erster Fertigkeiten im Multiplizieren von zwei einfachen Brüchen mithilfe folgender Aufga-bentypen: o Lösen formaler Rechenaufga-

ben, auch auf Quadrate o Bestimmen eines Bruchteils

von Größen o Vervielfachen von Brüchen o Lösen von Gleichungen o Inhaltsberechnungen

• erste gemischte Aufgaben zur Identifizierung der Rechenart und Wiederholung der Addition und Subtraktion gemeiner Brüche

− Die Gleichungen sollten durch Zerlegen in Pro-dukte gelöst werden.

− Diff.: unterschiedliche Anzahl der Faktoren

Aufgabe 2

2.6 Dividieren durch einen Bruch

3 • inhaltliches Verständnis des Ver-fahrens

• Einführung des Reziproken • Entwicklung sicherer Fertigkeiten

im Dividieren von einfachen Brü-chen mithilfe folgender Aufgaben-typen o Lösen formaler Rechenaufga-

ben o Lösen von Sachaufgaben durch

Schließen auf die Einheit und Dividieren

o Lösen von Gleichungen

− Die Sachaufgaben soll-ten möglichst auf zwei Arten gelöst werden: durch inhaltliche Überle-gungen (z.B. proportio-nales Schließen) und mithilfe einer Divisions-aufgabe.

2.7 Dividieren von Dezimalbrüchen

Dividieren durch eine natürliche Zahl

Dividieren durch

einen Dezimalbruch

8 • inhaltliches Verständnis des Ver-fahrens

• Dividieren im Kopf, Dividieren durch Zehnerpotenzen, schriftli-ches Dividieren, Überschlag

• Sachaufgaben zum Schließen auf die Einheit

• inhaltliches Verständnis des Ver-fahrens

Periodische Dezi-

malbrüche

• Übungen zum Verschieben des Kommas, Dividieren im Kopf

• Festigung der schriftlichen Divisi-on und des Überschlages

• Kenntnis der Entstehung, der Schreib- und Sprechweise perio-discher Dezimalbrüche

− durch Vergleichen mit dem Überschlag und Durchführen einer Probe (Multiplikation) sollten das Bedürfnis zur Kon-trolle weiterentwickelt werden.


poly�alent

poly�alent


• Wiederholung des Vergleichens von Dezimalbrüchen

• Wiederholung des Rundens von Dezimalbrüchen

Aufgabe 8

2.8 Eigenschaften gebrochener Zah-len

4 • Rückschau auf Zahlenbereichs-erweiterung: o Ausführbarkeit von Rechenope-

rationen o Zusammenhang von Q+ und N

• Anwendung der Rechengesetze zum vorteilhaften Rechnen

− Diff.: Erkenntnis der Dichtheit der gebroche-nen Zahlen im Unter-schied zu den natürli-chen Zahlen


6 Auswahl eines Schwerpunktes ent-sprechend der Klassensituation: • Geschicktes Lösen von Aufgaben

mit verschiedenen Rechenopera-tionen, Suchen von Fehlern

• Lösen von Sachaufgaben, Kno-bel- und Scherzaufgaben

• Projekt: Heimische Wälder • Festigung der Anzahlbestimmung • Berechnen relativer Häufigkeiten Aufgaben 3, 4, 6 und 7

Summe: 40


Stelle die gebrochene Zahl 21

als Summe zweier Brüche dar.

Ziele der Aufgabe:

Diese Umkehraufgabe zur Addition von ungleichnamigen Brüchen dient der Ausbildung sicherer Fertigkeiten im Addieren zweier einfacher Brüche.


Lösungen sind z.B.: 21

41

41

=+ 2

1

8

1

8

3=+

21

51

103

=+ 21

61

31

=+

Jeder Schüler sollte mindestens 2 Lösungen finden. Die unterschiedliche Qualität der Antworten zeigt sich in der Anzahl der gefundenen Lösungen und der Berücksichtigung von Sonderfällen. Mögliche Überlegungen auf höherem Niveau könnten sein:

– Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Brüche gleich sein sollen? – Welche Möglichkeiten gibt es, wenn der Zähler beider Brüche 1 sein soll (Stammbrüche)? – Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Nenner gleich sein sollen?


Aufgabe 2

Stelle die gebrochene Zahl 43

als Produkt zweier Brüche dar.

Ziele der Aufgabe:

Diese Umkehraufgabe zur Multiplikation von ungleichnamigen Brüchen dient der Ausbildung sicherer Fertigkeiten im Multiplizieren zweier einfacher Brüche.



poly�alent

poly�alent



13

41

=⋅ 43

51

415

=⋅ 4

3

28

24

8

7=⋅

43

34

169

=⋅

Jeder Schüler sollte mindestens 2 Lösungen finden. Die unterschiedliche Qualität der Antworten zeigt sich in der Anzahl der gefundenen Lösungen und der Berücksichtigung von Sonderfällen. Mögliche Überlegungen auf höherem Niveau: Welche Sonderfälle gibt es? Z. B.: 1 im Zähler und/oder/Nenner; 4/3 tritt auf; beide Nenner sind 4; …

Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 5-10 Minuten.

Aufgabe 3

Es sind 16 mit Zahlen bedruckte Karten ausgelegt. Bilde Rechenaufga-ben mit benachbarten Karten, die das folgende Ergebnis haben

a) 0 b) 81

c) 2 d) 25

.


Die Aufgabe erfordert und trainiert Fähigkeiten in den Grundrechenarten mit gebrochenen und natürlichen Zahlen. Die Schülerantworten können sich unterscheiden durch die Wahl der Operanden (Natürliche Zahlen oder gemeine Brüche), die Wahl der Rechenoperationen (z.B. Addition, Division durch gemeine Brüche, Potenzieren), die Zahl der verwendeten Operanden in den Aufgaben und die Zahl der gefundenen Aufgaben. Es sollte jeweils nur eine Teilaufgabe bearbeitet werden. Weitere

mögliche Ergebnisse, zu denen sich mehrere Aufgaben bilden lassen, sind z.B. 41

, 21

, 43

, 1, 23

, 4, 6,

8, 9, 24, 36.

Zeit für selbstständige Schülerarbeit: je 10-15 Minuten

Aufgabe 4

Gib verschiedene Möglichkeiten an, bei einer Rechenoperation mit zwei Brüchen das Ergebnis 85

zu

erhalten.

Ziele der Aufgabe: Diese Aufgabe dient der Entwicklung sicherer Fertigkeiten im Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von einfachen Brüchen.



41

83

=+ 85

45

21

=⋅ 85

38

:35

= 85

21

89

=−

Jeder Schüler sollte mindestens 4 Lösungen finden. Die unterschiedliche Qualität der Antworten zeigt sich in der Anzahl der gefundenen Lösungen und der unterschiedlichen Verwendung der verschiede-nen Rechenoperationen. weiterführende Aufgabestellung: Verwende auch gemischte Zahlen.


Aufgabe 5

Finde verschiedene Begründungen für die Richtigkeit der folgenden Gleichung: 41

143

21

=+

Ziele der Aufgabe: Mit dieser Aufgabe können in der Klasse 6 zum einen die Kenntnisse zum Rechnen mit Brüchen und die inhaltlichen Vorstellungen zu Brüchen und zur Addition gefestigt werden. Es könne auch zielgerichtete Fähigkeiten im Argumentieren und Begründen entwickelt werden.

Hinweise zu möglichen Schülerantworten: Antworten sind durch Arbeiten mit Größen (Zeit, Volumen), Gegenständen, Zeichnungen oder forma-ler Ebene möglich. Jeder Schüler sollte mindestens 4 Lösungen finden. Die unterschiedliche Qualität der Antworten zeigt sich in der Vielzahl der gefundenen Aufgaben und der Anwendung der verschie-denen Rechenverfahren.



Aufgabe 6

In einer Zahlenmauer ist eine Zahl (bis auf die unterste Reihe) immer die Summe bzw. das Produkt der beiden darunter stehenden Zahlen. a) Fülle die linke Zahlenmauer vollständig aus.

2,52 3,75 2,24 1,1 1,14 0,2 2

b) Trage in die rechte Zahlenmauer die Zahlen 0,01; 1,5; 1,51; 2,5; 2,51; 4,02; 6,51; 10,53 ein.

Sie können auch doppelt vorkommen. c) Baue selbst verschiedene Zahlenmauern.

(1) Die Zahl 2 wird durch Addieren erreicht. (2) Die Zahl 1 wird durch Multiplizieren erreicht. 2 1

Ziele der Aufgabe: Mit diesen Aufgaben können in der Klasse 6 die Kenntnisse zum Rechnen mit Dezimalbrüchen und die inhaltlichen Vorstellungen zu Dezimalbrüchen und zur Addition und Multiplikation gefestigt werden.


15,45

6,27 9,18

2,52 3,75 5,43 10,53

1,01 1,51 2,24 3,19 6,51 4,02

0,6 0,41 1,1 1,14 2,05 4 2,51 1,51

0,2 0,4 0,01 1,09 0,05 2 1,5 2,5 0,01 1,5 Dia Aufgabe a) ist geschlossen, für die Lösung von Aufgabe b) gibt es zwei zueinander spiegelbildli-che Lösungen. Die Aufgabe a) und b) können als Vorbereitung auf die offene Aufgabe c) eingesetzt werden. Bei Aufgabe c1) und c2) sollten wenigstens je 3 Zahlenpyramiden gefunden werden. Die unterschiedliche Qualität der Antworten zeigt sich in der Vielzahl der gefundenen Aufgaben und der Anwendung der Rechenverfahren.

Zeit für selbstständige Schülerarbeit (Aufgabe c): je 15 Minuten


Aufgabe 7

Jens hat für den Besuch des Freibades 8 € bekommen. Er bezahlt davon die Busfahrt von 1,70 € und den Eintritt. Nach dem Baden geht Jens mit seinem Restgeld zum Kiosk, um sich etwas zu essen und zu trinken zu kaufen.

Was könnte sich Jens kaufen?

Ziele der Aufgabe:

Diese Aufgabe dient der Festigung des Lösens von Sachaufgaben und der verschiedenen Rechenver-fahren bei Dezimalzahlen.


1. Beispiel 2. Beispiel 3. Beispiel 4. Beispiel

Busfahrt 1,70 € Busfahrt 1,70 € Busfahrt 1,70 € Busfahrt 1,70 €

Eintritt 2,00 € Eintritt 2,00 € Eintritt 2,00 € Eintritt 2,00 €

Cola 1,00 € Wasser 1,00 € Saft 1,20 € Cola 1,00 €

Pommes (groß) 2,00 € Kartoffelsalat 1,50 € Döner 2,80 € Pommes (klein) 1,50 €

Wasser 1,00 € Würstchen 1,80 € Kuchen 0,80 €

Betrag 7,70 € Betrag 8,00 € Betrag 7,70 € Betrag 7,80 €

Restgeld 0,30 € Restgeld 0,00 € Restgeld 0,30 € Restgeld 0,20 €

Die unterschiedliche Qualität der Antworten zeigt sich in der Vielzahl der gefundenen Lösungen.


Aufgabe 8

Finde Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den gebrochenen Zahlen:

(1) 1,6 (2) 6,1 (3) 1,6789101113…..

Ziele der Aufgabe:

Diese Aufgabe dient der Entwicklung sicherer Fertigkeiten im Vergleichen von unterschiedlichen De-zimalbrüchen.


Bei den Gemeinsamkeiten könnten die Schüler feststellen, dass es sich jeweils um Dezimalbrüche handelt, die zwischen 1 und 2 bzw. sogar noch genauer zwischen 1,6 und 1,7 liegen, alle mit 1 anfan-gen und an der Zehntelstellen eine 6 steht. Unterschiede bestehen im Wert der Zahlen, sowie in der Zugehörigkeit zu verschiedenen Zahlberei-chen. 1,6789101113….. ist im Gegensatz zu den anderen Zahlen keine gebrochene Zahl; 1,6 ist die einzige endliche Zahl.



Heute im Angebot Mineralwasser .................. 0,5 l ............. 1 € Cola ................................. 0,25 l ........... 1 € Saft ................................... 0,2 l ............. 1,20 € Kartoffelsalat .................... Portion ........ 1,50 € Würstchen ........................ 1 Paar ......... 1,80 € Kuchen ............................. ofenfrisch .... 0,80 € Pommes........................... klein ............ 1,50 € Pommes........................... groß ............ 2 € Döner ................................................... 2,80 €

Freibad zum Waldsee Öffnungszeiten: täglich von 10 – 21 Uhr Eintritt: Erwachsene: ..................4 € Kinder: ............................2 €


3 2 1

8 3 4

2 4 1

1

2

1

4

1

2

2

3

1

2

1

2

1

2

Aufgaben zu Gebrochenen Zahlen

1. Stelle die gebrochene Zahl 21

als Summe zweier Brüche dar.

2. Stelle die gebrochene Zahl 43

als Produkt zweier Brüche dar.

3. Es sind 16 mit Zahlen bedruckte Karten wie im nebenstehenden Bild ausgelegt. Bilde Rechenaufgaben mit benachbarten Karten, die das folgende Ergebnis haben.

a) 0 b) 81

c) 2 d) 25

.

4. Gib verschiedene Möglichkeiten an, bei einer Rechenoperation mit zwei Brüchen das

Ergebnis 85

zu erhalten.

5. Finde verschiedene Begründungen für die Richtigkeit der Gleichung 41

143

21

=+ .

3 2 1

8 3 4

2 4 1

1

2

1

4

1

2

2

3

1

2

1

2

1

2

Beispiel:

Um etwa Aufgaben mit dem Ergebnis 5 zu finden, kann man rechnen: (1) 3 + 2 oder

(2) 421

21

++ .

Man darf von einer Karte waagerecht, senkrecht oder diagonal zur nächsten Karte gehen.


6. In einer Zahlenmauer ist eine Zahl (bis auf die Zahlen der untersten Reihe) immer die Summe bzw. das Produkt aus den beiden darunter stehenden Zahlen.

a) Fülle die linke Zahlenmauer vollständig aus.

2,52 3,75

2,24

1,1 1,14

0,2 2 b) Trage in die rechte Zahlenmauer die Zahlen 0,01; 1,5; 1,51; 2,5; 2,51; 4,02; 6,51;

10,53 ein. Sie können auch doppelt vorkommen.

c) Baue selbst verschiedene Zahlenmauern. (1) Die Zahl 2 wird durch Addieren erreicht.

2 2 2

2 2 2


1 1 1

1 1 1


7. Jens hat für den Besuch des Freibades 8 € bekommen. Er bezahlt davon die Busfahrt von 1,70 € und den Eintritt. Nach dem Baden geht Jens mit seinem Restgeld zum Ki-osk, um sich etwas zu essen und zu trinken zu kaufen. Was könnte sich Jens kaufen?

8. Finde Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den gebrochenen Zahlen:

(1) 1,6 (2) 1,−

6 (3) 1,6789101

Heute im Angebot Mineralwasser .........0,5 l....................... 1 € Cola ........................0,25 l..................... 1 € Saft..........................0,2 l....................... 1,20 € Kartoffelsalat ...........Portion .................. 1,50 € Würstchen...............1 Paar................... 1,80 € Kuchen ....................ofenfrisch.............. 0,80 € Pommes..................klein ...................... 1,50 € Pommes .................groß ...................... 2 € Döner ................................................... 2,80 €

Freibad zum Waldsee Öffnungszeiten: täglich von 10.00 Uhr – 21.00 Uhr Eintritt: Erwachsene: ......4 € Kinder:................2 €


5.3 Themenbereich „Stochastik“



Die Schülerinnen und Schüler – beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen, – sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stellen sie graphisch dar, auch unter

Verwendung geeigneter Hilfsmittel (wie Software), – werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus, – interpretieren Wahrscheinlichkeitsaussagen aus dem Alltag, – bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei einfachen Zufallsexperimenten.

Planungsvorschlag


3.1 Ermitteln der Anzahl von Möglichkeiten

3 • Lösen kombinatorischer Aufgaben durch systematisches Probieren

• Einführung der Produktregel mit Hilfe von Baumdiagrammen und Lösen kombinato-rischer Aufgaben mit der Produktregel und Baumdiagrammen, Beispiele für Mehrfachzählungen

• Lösen von Aufgaben mit der Produktregel ohne Baumdiagramme

− Zusatz: Mehrfachzäh-lungen

Aufgabe 1

3.2 Zufällige Vor-gänge, Wahr-scheinlichkeit (Zusatz)

(2) • Wiederholen der Prozessbetrachtung zu-fälliger Erscheinungen

• Wiederholen des qualitativen Wahrschein-lichkeitsbegriffes und der Darstellung von Wahrscheinlichkeiten auf einer Skala

• Einführen der Verwendung des Wahr-scheinlichkeitsbegriffes für Vermutungen, Veränderung der Wahrscheinlichkeit bei Zunahme von Informationen

• Es sollten ohne explizite Einführung die Begriffe Ereignis und Ergebnismenge ver-wendet werden

3.3 Wahrschein-lichkeit und re-lative Häufig-keit

3 • Einführen von „absolute“ und „relative Häufigkeit“; Berechnen und Vergleichen von relativen Häufigkeiten

• Deuten einer relativen Häufigkeit als Wahrscheinlichkeit

• Berechnen von Anteilen mit Hilfe der rela-tiven Häufigkeit bzw. der Wahrscheinlich-keit als Vorhersage von Ereignissen

• Durchführen eines Experimentes zum Verhältnis von relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit (Verringerung der Streuung der relativen Häufigkeiten bei Serien fester Länge, Stabilität der relativen Häufigkeit in langen Versuchsreihen)

− Es sollte ohne explizite Einführung der Begriff Zufallsexperiment ver-wendet werden.

Aufgabe 2

3.4 Berechnen von Wahrschein-lichkeiten

4 • Untersuchen der Gleichwahrscheinlichkeit von Ergebnissen

• Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei gleichmöglichen Ergebnissen

• Berechnen von Gewinnerwartungen • Angabe von Versuchsbedingungen bei

gegebenen Wahrscheinlichkeiten

− Aus Zeitgründen wird empfohlen, keine Be-rechnungen von Anzah-len mit kombinatori-schen Mitteln vorzu-nehmen

Aufgabe 3


poly�alent

poly�alent


3.5 Arithmetisches Mittel

4 • Berechnung des arithmetischen Mittels als Quotient und durch Addition der Einzel-werte

• Berechnen des arithmetischen Mittels für Häufigkeitsverteilungen

• Deuten des arithmetischen Mittels als Ausgleichswert und Schwerpunkt

• Untersuchung von Eigenschaften des arithmetischen Mittels

Aufgabe 4

3.6 Darstellung und Auswertung von Daten

4 • Lesen von Diagrammen • Auswerten von Daten (Beschreiben der

Verteilungen, Suchen nach Ursachen für Besonderheiten der Verteilung, Progno-sen, Schlussfolgerungen, Vergleich mit bisherigen Vorstellungen

• Festigung der Anfertigung von Strecken-, Streifen- und Stamm-und-Blätter-Diagrammen

• Durchführen einer eigenen statistischen Untersuchung

Aufgabe 5

Summe 18 •

5.3.2 Hinweise zu den Aufgaben20 Aufgabe 1:

Donald Duck hat sich einen neuen Geldschrank mit einem Zahlenschloss gekauft, um vor den Pan-zerknackern sein Geld schützen. Am Zahlenschloss kann man 3-mal die Ziffern von 0 bis 9 einstellen. Die Panzerknacker dürfen die Kombination nicht leicht erraten können. Welche Ziffernfolgen sollte Donald Duck darum möglichst nicht einstellen?

Hinweise zur Aufgabe und zu möglichen Schülerantworten: Diese Aufgabe kann man zur Einführung der Ermittlung der Anzahl von Möglichkeiten benutzen. Die Schüler erkennen, dass es mehrere Möglichkeiten gibt, die Ziffernfolge einzustellen. Besonders ein-prägsame Zahlenkombinationen sollten vermieden werden. Mögliche Antworten sind z.B.:

– alle gleichen Ziffernfolgen: 000, 111, 222, …., 999 – alle aufeinander folgenden Ziffernfolgen: 012, 123, 234, … – bekannte Ziffernfolgen: 007; 112; 110

Weiterführende Fragestellungen könnten sein: – Kannst du die besonderen Ziffernfolgen in Kategorien einordnen? – Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt? – Wie viele Möglichkeiten bleiben Donald Duck?


Aufgabe 2:

Bei einem Würfel ist es gleichwahrscheinlich, welche der sechs Seiten gewürfelt wird. Was kannst du über diese Wahrscheinlichkeiten bei einem quaderförmigen Gegenstand aussagen?

Hinweise zur Aufgabe und zu möglichen Schülerantworten: Geeignete Objekte für diese Aufgabenstellung sind beispielsweise Dominosteine oder leere Streichholzschachteln. Im Gegensatz zu Würfeln haben aufgrund der ver-schieden großen Seitenflächen die Ereignisse bei Quadern unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten. Gegenüberliegende Seiten besitzen die gleiche Wahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit ist von der Größe der Seitenfläche abhängig (aber nicht zu dieser proportional). Im Rahmen des Themas 3.6 „Darstellung und Auswertung von Daten“ können mit einem Experiment die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Seiten näherungsweise ermittelt und dargestellt werden.




poly�alent

Aufgabe 3:

Auf einem Kinderfest kann man an einem Glücksrad drehen, das rote, gelbe, grüne und blaue Felder hat. Nur wenn der Zeiger auf ein grünes Feld zeigt, gewinnt man. Die Wahrscheinlichkeit zu gewin-nen, ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, nicht zu gewinnen. Zeichne solche Glücksräder und begründe.

Hinweise zur Aufgabe und zu möglichen Schülerantworten:

Die Aufgabe ist eine Umkehraufgabe zum Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten bei Glücksrädern. Allen Lösungen ist gemeinsam, dass die Fläche der grünen Segmente zusammen der Fläche eines halben Kreises entspricht. Die Offenheit der Aufgabe ergibt sich aus der unterschiedlichen Größe der einzelnen Sektoren (1 Halbkreis, 2 Viertel-, 3 Sechstel-, 4 Achtel- oder 6 Zwölftelkreise) bzw. Zusam-mensetzungen unterschiedlich großer grüner Sektoren, die in der Summe einen Halbkreis ergeben, wie etwa ein Drittel- und ein Sechstelkreis.


Aufgabe 4:

Anja zählt in jeder Stunde, wie oft sie sich gemeldet hat und schreibt die Ergebnisse auf. Am Montag hat sie folgendes notiert: 5, 3, 4, 8, 6, 4. Wie oft hat sie sich durchschnittlich pro Stunde gemeldet? Diesen Durchschnitt möchte sie auch am Dienstag erreichen. Hier hat sie 5 Stunden Unterricht. Schreibe verschiedene Möglichkeiten auf, wie oft sie sich in den Stunden melden muss.

Hinweise zur Aufgabe und zu möglichen Schülerantworten:

Dies ist eine Umkehraufgabe zur Berechnung des arithmetischen Mittels und kann eingesetzt werden, wenn die Schüler das arithmetische Mittel berechnen können. Das arithmetische Mittel des Montags ist 30 : 6 = 5. Anja hat sich also durchschnittlich 5 mal pro Stun-de gemeldet. Da am Dienstag fünf Unterrichtsstunden sind, muss die Summe aller Meldungen 25 ergeben. Alle entsprechenden Mengen aus fünf natürlichen Zahlen, deren Summe 25 ergibt, sind somit Lösung.


Aufgabe 5

Zwei Mannschaften wetteifern darum, welche die beste im Werfen sei. Dazu darf jedes Mannschafts-mitglied einen schweren Ball genau einmal werfen. Die Ergebnisse lauten:

Mannschaft 1: 14 m, 12 m, 19 m, 14 m, 13 m, 18 m Mannschaft 2: 11 m, 21 m, 10 m, 10 m, 17 m, 16 m, 13 m

Leider kann sich die Jury nicht einigen, welche Mannschaft gewonnen hat. Wie würdest Du entscheiden? Begründe!


Mithilfe der Aufgabe können verschiedene Prinzipien der Datenauswer-tung diskutiert werden. Abhängig von der für die Auswertung der Daten verwendeten Methode er-scheint entweder Mannschaft 1 oder Mannschaft 2 als Sieger:

Auswertungsmethode Mannschaft 1 Mannschaft 2 Sieger

arithmetisches Mittel über alle Würfe 15 m 14 m Mannschaft 1

bester Wurf 19 m 21 m Mannschaft 2

arithmetisches Mittel der besten drei Würfe 17 m 18 m Mannschaft 2

arithmetisches Mittel aus bestem und schlechtes-tem Wurf

15,5 m 15,5 m unentschieden

Eine weitere Auswertungsmethode könnte das Streichen des besten und schlechtesten Wurfs und anschließender Auswertung der verbleibenden Daten sein.


Aufgabenempfehlungen: Aufgaben 1 und 5


Aufgaben zur Stochastik 1. Donald Duck hat sich einen neuen Geldschrank mit einem Zahlenschloss gekauft, um vor

den Panzerknackern sein Geld schützen. Am Zahlenschloss kann man 3-mal die Ziffern von 0 bis 9 einstellen. Die Panzerknacker dürfen die Kombination nicht leicht erraten können. Welche Ziffernfolgen sollte Donald Duck darum möglichst nicht einstellen?

2. Bei einem Würfel ist es gleichwahrscheinlich, welche der sechs Seiten gewürfelt wird.

Was kannst du über diese Wahrscheinlichkeiten bei einem quaderförmigen Gegenstand aussagen?

3. Auf einem Kinderfest kann man an einem Glücksrad drehen, das rote, gelbe, grüne und

blaue Felder hat. Nur wenn der Zeiger auf ein grünes Feld zeigt, gewinnt man. Die Wahr-scheinlichkeit zu gewinnen, ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, nicht zu gewin-nen. Zeichne solche Glücksräder und begründe.

4. Anja zählt in jeder Stunde, wie oft sie sich gemeldet hat und schreibt die Ergebnisse auf.

Am Montag hat sie folgendes notiert: 5, 3, 4, 8, 6, 4. a) Wie oft hat sie sich durchschnittlich am Montag pro Stunde gemeldet? b) Diesen Durchschnitt möchte sie auch am Dienstag erreichen. Hier hat sie 5 Stunden

Unterricht. Schreibe verschiedene Möglichkeiten auf, wie oft sie sich in den Stunden melden müsste.

5. Zwei Mannschaften wetteifern darum, welche die beste im Werfen sei. Dazu darf jedes

Mannschaftsmitglied einen schweren Ball genau einmal werfen. Die Ergebnisse lauten:

Mannschaft 1: 14 m, 12 m, 19 m, 14 m, 13 m, 18 m

Mannschaft 2: 11 m, 21 m, 10 m, 10 m, 17 m, 16 m, 13 m

Leider kann sich die Jury nicht einigen, welche Mannschaft gewonnen hat. Wie würdest Du entscheiden? Begründe!

5.4 Vorschläge zum Themenbereich „Geometrie“ in Klasse 6 75

5.4 Themenbereich „Geometrie“



Die Schülerinnen und Schüler – erkennen und beschreiben geometrische Strukturen in der Umwelt, – stellen geometrische Figuren im kartesischen Koordinatensystem dar, – beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte (wie Sym-

metrie, Lagebeziehungen) und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachzusammenhängen,

– wenden Sätze der ebenen Geometrie bei Konstruktionen und Berechnungen an, – zeichnen und konstruieren geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel wie

Zirkel, Lineal, Geodreieck oder dynamischer Geometriesoftware, − können Körper und ebene Figuren nach Eigenschaften sortieren und Fachbegriffe zuordnen, − können Körper und ebene Figuren in der Umwelt wieder erkennen, − berechnen Volumen und Oberflächeninhalt von Würfeln und Quadern sowie aus zwei Quadern

zusammengesetzte Körper, − stellen Würfel und Quader als Netz und Schrägbild dar und erkennen Körper aus ihren ent-

sprechenden Darstellungen, − festigen ihr räumliches Vorstellungsvermögen, − erkennen, beschreiben und nutzen räumliche Beziehungen.

Planungsvorschlag


4.1 Geometrische Abbildungen

12 • Ausführen von Spiegelungen durch manuelle Tätigkeiten

– Abstraktion der realen Vor-gänge zu Spiegelungen

Rückblick: Spiege-lung

2 • Erkennen von Symmetrien • Festigen der Kenntnisse über

Vierecke, insbesondere ihrer Symmetrieeigenschaften

• Konstruieren von Spiegelungen, dabei erste Vorstellungen über Spiegelung als Abbildung der Ebene auf sich

– Nutzen eines halbdurchlässi-gen Spiegels möglich

Verschiebung 3 • Ausführen und Beschreiben von

Verschiebungen durch Orientie-rung an dem mechanischen Bewegungsvorgang

• Erkennen von Verschiebungen

– Beginn der Abstraktion von der mechanischen Bewe-gung zur mathematischen Abbildung durch Gewöhnen an Sprechweisen und Be-zeichnungen Aufgabe 1

• Konstruieren von Verschiebun-gen auf Gitter- und weißem Pa-pier

– Achten auf sauberes Zeich-nen und Beschriften

– Festigen des Eintragens und Ablesens von Punkten im Koordinatensystem

Drehung 4 • Ausführen und Beschreiben von

Drehungen durch Orientierung an dem mechanischen Bewe-gungsvorgang

• Festigung des Antragens und Messens von Winkeln

– Vor der Konstruktion von Bewegungen sollten die Bil-der nach Möglichkeit skizziert werden. Aufgabe 2

• Erkennen von Drehungen

76 5.4 Vorschläge zum Themenbereich „Geometrie“ in Klasse 6


• Konstruieren von Drehungen auf Gitter- und weißem Papier

– Achten auf Deckungsgleich-heit beim Konstruieren

– Motivationsmöglichkeiten durch praktische Beispiele nutzen (Ornamente)

– Diff.: Erkennen und Ausfüh-ren von Punktspiegelungen

Kongruenz 3 • Nacheinanderausführen von

Abbildungen • Einführen des Kongruenzbegrif-

fes für ebene Figuren, Erkennen und Herstellen zueinander kon-gruenter Figuren

– Festigung von Zeichenfertig-keiten

– Kongruenzbegriff als Relation zwischen zwei Figuren be-trachten (Merkmale entwi-ckeln)

4.2 Winkelbe-ziehungen

Winkel an einan-der schneidenden Geraden

9 • Messen und Zeichnen von Win-keln

• Wiederholung der Winkelarten • Kenntnis der Begriffe Scheitel-

winkel und Nebenwinkel • Finden des Scheitel- und des

Nebenwinkelsatzes • Anwenden der Sätze bei Be-

rechnungen und beim Begrün-den von Aussagen

Winkel an ge-schnittenen Paral-lelen

• Erkennen von Stufen- und Wechselwinkeln an geschnitte-nen Parallelen

• Finden des Stufen- und des Wechselwinkelsatzes

• Anwenden der Sätze bei Be-rechnungen und beim Begrün-den von Aussagen

• Integration und Anwendung der Winkelsätze

– Anwendung beispielgebun-dener Begründungen

Aufgaben 3 und 4

– Diff.: Erarbeitung und An-wendung der Umkehrung der Sätze; Einführung ent-gegengesetzt liegender Win-kel

4.3 Konstruieren Kreis

3

• Wiederholen von Kreis, Radius, Durchmesser; Einführen von Sehne

• Zeichnen von Kreisen und Or-namenten

Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende

• Einführen von Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende, Eigen-schaften der Punkte auf Mittel-senkrechten und Winkelhalbie-renden, Konstruktionen mit Zir-kel, Lineal und Geodreieck, Er-richten von Senkrechten und Fällen eines Lotes

– Verständnis über den Um-gang mit dem Geodreieck als wichtiges Hilfsmittel beim Konstruieren vertiefen

– Die Konstruktionen sollten als Problemaufgaben be-handelt und durch Rückfüh-ren auf das Bestimmen von Punkten gelöst werden.

4.4 Dreiecke Einteilung der

Dreiecke nach Sei-ten bzw. nach Win-keln

16 2

• Erkennen von Dreiecken als stabile Figuren

• sicheres Können im Beschriften der Stücke eines Dreiecks

• Wiederholung der Einteilung der Dreiecke nach Winkeln und Sei-ten, sicheres Erkennen von gleichschenkligen Dreiecken



Seiten-Winkel-Beziehung/ Drei-ecksungleichung

2 • Kennenlernen der Seiten-Winkel-Beziehungen und der Dreiecks-ungleichung, Anwendungen

Aufgabe 5

Innenwinkelsatz und Außenwinkel-satz

3 • Erarbeiten des Innenwinkelsat-zes

• Erarbeiten und Anwenden des Basiswinkelsatzes

• Anwenden bei Berechnungen und Begründungen

– Diff.: Kennenlernen des Au-ßenwinkelsatzes

– Bei geeigneten Aufgaben sollte stets die Festigung der Dreiecksarten erfolgen

Flächeninhalt von rechtwinkligen Dreiecken

1 • Herleiten und Anwenden der Flächeninhaltsformel für recht-winklige Dreiecke

– Kenntnisse aus Klasse 5 zur Behandlung des Begriffs Flä-cheninhalt vertiefen

Besondere Linien im Dreieck

3 • Festigen der Konstruktion von Mittelsenkrechten und Winkel-halbierenden

• Einführen von Inkreis und Um-kreis eines Dreiecks

• Einführen von Höhe eines Drei-ecks als Abstand eines Punktes von einer Geraden, Zeichnen von Höhen mit dem Geodreieck

• Einführen von „Seitenhalbieren-de“

• Anwendungen

– Diff.: Schnittpunkt der Sei-tenhalbierenden als Schwer-punkt eines Dreiecks

Konstruktion von Dreiecken

5 • Erarbeiten einer allgemeinen Vorgehensweise zum Lösen von Konstruktionsaufgaben

• Anwenden der Vorgehensweise auf das Konstruieren von Drei-ecken

– Konstruktion möglichst nicht auf der Basis der Kon-gruenzsätze typisieren

• Untersuchen der Lösbarkeit von Konstruktionsaufgaben

– auf sprachliche Formulierun-gen achten

• Konstruieren von Dreiecken aus Seiten, Winkeln und Höhen

• Anwenden der Dreieckskonstruk-tionen zur näherungsweisen Be-stimmung von Strecken und Winkeln durch maßstäbliche Zeichnungen

– Diff.: Konstruieren von Drei-ecken bei gegebener Win-kelhalbierenden

4.5 Vierecke Vierecksarten

10 • Wiederholung von Quadrat, Rechteck, Trapez und Paralle-logramm

• Einführen von Rhombus und Drachenviereck

• Eigenschaften und Begriffsbe-ziehungen

• Konstruktion von Vierecken

– Vierecksarten möglichst mit anschaulichen Beispielen verbinden

– Festigung der Eigenschaften als funktionale Zusammen-hänge betrachten Aufgaben 6, 7, 8, 9 und 10

– Diff.: Arbeiten mit Mengen-diagrammen; Ausbilden erster Kenntnisse zur Festlegung von Begriffen durch Angabe eines Ober-begriffes und artspezifischer Merkmale

Innenwinkelsumme im Viereck

• Finden und Anwenden das Sat-zes über die Innenwinkelsumme im Viereck



4.6 Körper Rückblick Volumen

Merkmale und Ei-genschaften von Körpern

15 2 2

• Festigung der Größenvorstellun-gen und des Umrechnens zum Volumen

• Wiederholung von Merkmalen und Eigenschaften von Würfeln, Quadern, Pyramiden, Zylindern, Kegeln und Kugeln

– Nutzen der Anregungen, Hinweise und Aufgaben der vom L.I.S.A. herausgegebe-nen Broschüre zum sicheren Wissen und Können beim Arbeiten mit Größen

Schrägbilder und Netze

4 • Wiederholung der Schrägbild-darstellung von Quadern

• Schrägbilder von Pyramiden • Entwicklung des räumlichen

Vorstellungsvermögens durch Arbeit mit Netzen

– Nutzen des Gitterpapiers zum Darstellen von Schräg-bildern mit dem Verhältnis: Breitenlinien zu Tiefenlinien wie drei Kästchen zu einem Kästchen

Volumen und Oberflächeninhalt von Quadern

4 • Berechnen des Oberflächenin-halts von Quadern

• Wiederholung der Volumenbe-rechnung von Quadern

– Formeln nicht nur als „Buch-stabengleichungen“ sondern auch „in Worten“ merken

– Es sollten die Kenntnisse zur Arbeit mit sinnvoller Genau-igkeit gefestigt werden. Aufgaben 11 und 12

4.7 Gemischte Auf-gaben

5 Auswahl von Schwerpunkten ent-sprechend der Klassensituation

• Festigung der Dreiecksarten und der Seiten-Winkel-Beziehungen

• Festigung der Winkelsätze am Dreieck und an Geraden

Aufgabe 13

• Umfang und Flächenberechnun-gen

• Konstruktion von Bewegungen • Anfertigen von symmetrischen

Mustern

• Anwenden geometrischer Kon-struktionen

• Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens durch Arbeit mit Schrägbildern und Netzen

Aufgabe 14

• Zusammengesetzte Körper Summe: 70

5.4.2 Hinweise zu den Aufgaben21 Aufgabe 1 Vergleiche die Bewegung einer Schiebetür mit der Verschiebung in der Mathematik.

Ziel der Aufgabe: Die Schüler sollen erkennen, dass die mathematischen Bewegungen einen realen Bezug haben. Da-bei soll das Abstraktionsvermögen weiter entwickelt werden.

Hinweise zu möglichen Schülerantworten: Der Begriff des Vergleichens sollte fachübergreifend einheitlich gehandhabt werden. So können die Schüler Gemeinsamkeiten und Unterschiede erfassen und in einer geeigneten Darstellungsform auf-schreiben (z.B. als Tabelle). Insbesondere sollten die mathematischen Begriffe mit der realen Vorstel-lungswelt der Schüler abgeglichen werden (z.B. Bewegung der Schiebetür als mechanische Bewe-gung; Verschiebung in der Mathematik als mathematisches Modell, indem Punkte verschoben wer-den). Als Gemeinsamkeit können Verschiebungsrichtung und Verschiebungsweite angegeben wer-den. Ähnliche Aufgaben lassen sich auch für die Drehung formulieren. Weitere Hinweise: Broschüre zum Sicheren Wissen – Ebene Geometrie unter www.mathe-mv.de.




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Aufgabe 2

Vergleiche eine achsensymmetrische und eine drehsymmetrische Figur miteinander. Finde Gemeinsamkeiten und Unterschiede.

Die Ziele der Aufgabe sind das Erkennen von Symmetrien in der Realität und die Festigung der Symmetrieeigenschaften von Figuren.

Hinweise zu möglichen Schülerantworten: Es lassen sich insgesamt 9 Paare bilden, die unter unterschiedlichen äußeren oder mathematischen Gesichtpunkten verglichen werden können. Mögliche Gemeinsamkeiten: Es handelt sich um Verkehrsschilder. Die Blumen sind nicht genau sym-metrisch. Drehung um 180°: Hauptstraße, linke Blume (Blaukissen), Bube, rechte Blume (Vergiss-meinnicht); mehrere Symmetrieachsen: Hauptstraße, Vorfahrt, Mögliche Unterschiede: Anzahl der Blütenblätter; Anzahl der Symmetrieachsen; Drehwinkel 120°; Antworten auf höherem Niveau: Die Verkehrszeichen und Blüten sind sowohl achsen- als auch dreh-symmetrisch.


Aufgabe 3

Erkenne Buchstaben, bei denen Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel oder Wechselwinkel vor-kommen und kennzeichne die betreffenden Winkel.

Hinweise zu möglichen Schülerantworten: Jeder Schüler sollte leicht Neben- und Scheitelwinkel z.B. bei T und X finden. Etwas mehr Überlegun-gen sind für Stufen- und Wechselwinkel nötig (z.B. E, F, Z). Auf dem höchsten Niveau liegen bei dieser Aufgabe etwa folgende mögliche Schülerantworten, die für ein vertieftes Verständnis der Winkelbegriffe sprechen: − Der Buchstabe Y hat keine Nebenwinkel, obwohl zwei Winkel neben einander liegen. − Die Buchstaben M und W haben keine Stufenwinkel, obwohl jeweils parallele Strecken und sie

schneidende22 Strecken vorhanden sind. − Es gibt Buchstaben, bei denen mehrere Arten von Winkelpaaren vorkommen (H, E, F), aber kei-

nen Buchstaben, bei dem alle Arten vorkommen. − Beim Buchstaben W müssen die schrägen Linien nicht parallel zueinander sein, damit Wechsel-

winkel vorliegen, da auch bei nicht parallelen geschnittenen Geraden von Wechselwinkel gespro-chen wird.

Das Auffinden der Winkel bei den Buchstaben B, D, P und R ist von der verwendeten Schriftart ab-hängig. Für die verwendete Schrift „Arial“ erfüllen diese Buchstaben die Aufgabenstellung.

Buchstaben mit Nebenwinkeln A, E, F, H, K, T B, P, R Buchstaben mit Scheitelwinkeln X Buchstaben mit Stufenwinkeln E, F B, P, R Buchstaben mit Wechselwinkeln H, N, Z, W B, D, P, R

Das Finden der Lösungen ist vom Schwierigkeitsgrad her für alle Schüler möglich. Qualitativ höher-wertige Lösungen entstehen durch zielstrebiges und systematisches Analysieren der Buchstaben.


Aufgabe 4

Das Dreieck ABC ist rechtwinklig und gleichschenklig. Weiterhin ist AE ⊥ BC und GF || AB. Bestimme die Größe von Winkeln in dieser Figur und begründe deine Angabe.

Hinweise zur Aufgabe und möglichen Schülerantworten: Mit dieser Aufgabe können insbesondere Winkelbeziehungen und Eigenschaften von Dreiecken bzw. gleichschenkligen Dreiecken angewendet werden. Die Ergebnisse der Winkelgrößen sind durch die entsprechenden Vorgaben eindeutig. Der offene Charakter der Aufgabe entsteht durch die Limitierung

22 Zum Begriff „Schneiden von Strecken“ gibt es verschiedenen Auffassungen: A: Die Strecken haben einen Punkt gemeinsam. B: Die Strecken haben einen inneren Punkt (alle Punkte außer den Endpunkten) gemeinsam.


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der Arbeitszeit. Es ist nicht beabsichtigt, dass ein Schüler in der zur Verfügung stehenden Arbeitszeit alle Lösungen findet. Da die Aufgabe unterschiedliche Herangehensweisen ermöglicht, kann die voll-ständige Lösung im Unterrichtsgespräch entwickelt werden. Zum Vergleichen bietet es sich an, die Ergebnisse der Schüler schrittweise auf einer Folie zu notieren. Die Begründungen können mündlich gegeben werden. Damit kann ein weiterer Beitrag im mathemati-schen Argumentieren geleistet werden. Für weitere Festigungsübungen ist die Skizze mit der gegebenen Größe veränderbar, indem man eine andere Strecke CF wählt, die entsprechende Winkelgröße angibt oder den gegebenen Winkel an ei-ner anderen Stelle kennzeichnet. Jeder Schüler sollte die rechten Winkel, die Neben- bzw. Scheitelwinkel bei F und unter Anwendung des Basiswinkelsatzes (sicheres Wissen und Können) die Winkel mit der Größe 45° finden. Eine vollständige Lösung könnte wie folgt aussehen.

Winkel Größe Mögliche Begründung CFE 75 Nebenwinkel zu Winkel EFD AFD 75 Nebenwinkel zu Winkel EFD AEC 90 Rechter Winkel FCE 15 Innenwinkelsummensatz ADE 90 Rechter Winkel AFC 105 Scheitelwinkel zu Winkel EFD EAB EAC

45 45

halber rechter Winkel im gleichschenkligen Dreieck

ADF 60 Innenwinkelsummensatz BDC 120 Nebenwinkel zu Winkel ADC DBC ACB

45 45

Eigenschaft des gleichschenkligen Dreiecks bzw. Innenwinkelsummensatz

ACD 30 Innenwinkelsummensatz

Aufgabe 5 Gegeben sind sechs verschieden lange Strecken: 1 cm; 2 cm; 3 cm; 4 cm; 5 cm; 6 cm Mit welchen Strecken kannst du Dreiecke konstruieren?

Ziel der Aufgabe: Diese Aufgabe dient der Einführung der Dreiecksungleichung, dessen Kenntnis eine wichtige Voraus-setzung zum Zeichnen von Dreiecken ist.

Mögliche Schülerantworten: Die Schüler werden sehr schnell einige Möglichkeiten finden. Dabei wird das Probieren zunächst im Vordergrund stehen. Leistungsstärkere Schüler sollten systematisch vorgehen und schnell auf die gesuchte Gesetzmäßigkeit kommen. Dabei ist auf eine mathematisch exakte Formulierung dieser Eigenschaft von Dreiecken zu achten. Die Lösungsangaben können z.B. in Tabellenform gemacht werden:

1. Seite 2. Seite 3. Seite Konstruktion möglich? 6 cm 5 cm 4cm Ja 6 cm 5 cm 2 cm Ja 6 cm 5 cm 1 cm Nein


Aufgabe 6 Zeichne verschiedene Parallelogramme.

Ziel der Aufgabe: Mit dieser Aufgabe können der Begriff Parallelogramm, die Begriffsbezie-hungen der Vierecksarten und die bildlichen Vorstellungen zu ebenen Figuren gefestigt werden.

Mögliche Schülerantworten: Jeder Schüler sollte Parallelogramme mit unterschiedlichen Seitenlängen und Winkelgrößen zeichnen können. Geistig beweglichere Schüler sollten auf die Idee kommen, auch Rechtecke und Quadrate (Spezialfälle) als Lösungen anzugeben oder die Lage zu variieren (z.B. eine Kante nicht parallel zur Heftkante oder den linken unteren Winkel als stumpfen Winkel). Je kreativer die Schüler sind, umso mehr unterschiedliche Möglichkeiten werden sie finden.



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Aufgabe 7

Zeichne mehrere verschiedene Vierecke, die die angegebene Eigenschaft haben. Begründe deine Lösungen. a) 2 Seiten des Vierecks sind gleich lang. b) Nicht alle Seiten des Vierecks sind gleich lang. c) Das Viereck hat genau einen rechten Innenwinkel. d) Das Viereck hat zwei stumpfe Innenwinkel. e) Das Viereck hat einen rechten Winkel und mindestens ein Paar gleich

langer benachbarter Seiten.

Hinweise zur Aufgabe und möglichen Schülerantworten: Die Aufgabe ermöglicht eine komplexe Festigung von Kenntnissen zu Vierecken und ihren Eigen-schaften sowie zu Zusammenhängen zwischen Vierecken. Ein weiterer Schwerpunkt dieser Aufgabe ist die exakte Anwendung der Fachsprache und die Entwicklung logischer Fähigkeiten, insbesondere bei der Verwendung der Begriffe „ein“, „genau ein“, „nicht alle“ und „mindestens“. Mögliche Überlegungen von Schülern: Zu a) − Es kann ein Rechteck oder ein Parallelogramm sein, da die gegenüberliegenden Seiten gleich

lang sind. − Es können auch alle vier Seiten gleich lang sein, dann ist es ein Quadrat oder Rhombus. − Es können auch jeweils zwei Seiten gleich lang sein, dann käme ein Drachenviereck in Frage. − Es können aber auch zwei Seiten gleich lang und die anderen beiden unterschiedlich lang sein.

Dann ist es kein spezielles Viereck, außer die gleich langen Seiten liegen sich gegenüber und sind parallel.

− Es kann ein gleichschenkliges Trapez sein. Zu b) − Es kann kein Quadrat und kein Rhombus sein. − Es kann ein Parallelogramm oder Rechteck sein. − Es können auch drei Seiten oder nur zwei Seiten gleich lang sein. − Alle Seiten können auch verschieden lang sein. Zu c) − Es kann ein beliebiges Viereck mit vier unterschiedlich langen Seiten und einem rechten Innen-

winkel sein. − Es kann kein Parallelogramm (auch Quadrat, Rechteck, Rhombus) sein. − Auch ein Trapez ist nicht möglich, wenn ein Winkel 90° ist, so gibt es auch noch einen weiteren

rechten Winkel. Zu d) − In jedem Parallelogramm (außer einem Rechteck) und in jeder Raute (außer einem Quadrat) gibt

es zwei stumpfe Innenwinkel. − Es kann auch ein bestimmes Trapez oder ein beliebiges unregelmäßiges Viereck sein. − Mehr als zwei stumpfe Winkel kann ein Viereck nicht haben. Zuef) − Es kann zwei gleich lange Seiten haben, die einen rechten Winkel bilden, die anderen Seiten sind

beliebig. − Die anderen Seite können auch gleich lang sein, es kann ein Drachenviereck mit einem rechten

Innenwinkel sein oder auch ein Quadrat. − Das Viereck kann auch einen über stumpfen Winkel haben. − Der rechte Winkel muss nicht von den gleich langen Seiten eingeschlossen werden. Damit sind

weitere unregelmäßige Vierecke möglich.

Zeit für selbstständige Schülerarbeit: je 10 Minuten (für eine Teilaufgabe)


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Aufgabe 8

Welche der Vierecke (1) bis (6) haben eine gemeinsame Eigenschaft? Gib die Eigenschaft und die Nummern der betreffenden Vierecke an.

Hinweise zu möglichen Schülerantworten: Die Aufgabe dient der Festigung der Kenntnisse über ebene Figuren. Dabei soll bei den Schülern die Erkenntnis gefestigt werden, dass die Lage der Figuren ohne Bedeutung für die Lösung der Aufgabe ist. Die Aufgabe kann durch weitere Vierecke erweitert werden. Die Schüler sollen gleichzeitig Überlegungen anstellen, wie sie ihre Ergebnisse dokumentieren, z. B. stichpunktartig, in Sätzen oder tabellarisch. So kann auch das mathematische Argumentieren geübt werden. Mögliche Antworten:

Eigenschaft (1) (2) (3) (4) (5) (6) ein rechter Winkel x x x ein Paar parallele Seiten x x x x x zwei gleichlange Seiten x x x x x x eine Symmetrieachse x x x x x Diagonalen sind senkrecht zueinander x x x


Aufgabe 9

Es sind zwei parallele Geraden gegeben. Zeichne zwei weitere Geraden so ein, dass eine Figur entsteht.

Die Aufgabe dient der Anwendung der Kenntnisse zu ebenen Figuren, insbesondere den Vierecksar-ten und ihren Eigenschaften. Durch die Vorgabe zweier zueinander paralleler Geraden lassen sich durch zwei weitere Geraden, die sich nicht auf den vorgegebenen Geraden oder zwischen ihnen schneiden, alle Formen von Trapezen konstruieren. Inbegriffen sind die Spezialfälle Parallelogramm, Rechteck, Quadrat und Rhombus, wenn die hinzukommenden Geraden zueinander parallel sind. Ist diese Parallelität nicht gegeben, entsteht außerhalb des Gebietes zwischen den Geraden ein Dreieck. Schneiden sich die beiden neu eingezeichneten Geraden auf einer der beiden Parallelen, so entsteht nur ein beliebiges Dreieck. Wenn sich die Geraden zwischen den beiden Parallelen schneiden, entsteht ein sog. überschlagenes Viereck. (s. Abb.) Die unterschiedliche Qualität der Schülerantworten ergibt sich aus der Vielzahl der gefundenen Mög-lichkeiten und dem Grad der Systematisierung. Das Finden eines überschlagenen Vierecks durch die Schüler kann als Anlass genommen werden, den Begriff des (allgemeinen) Vierecks zu diskutieren.


Aufgabe 10

In ein Koordinatensystem wurden die Punkte A (1|1) und B (5|1) eingezeich-net. Zeichne zwei weitere Punkte C und D in das Koordinatensystem ein, so dass ein Trapez entsteht. Gib die Koordinaten der Punkte C und D an.


Grundsätzlich lassen sich die Lösungen in zwei Klassen einteilen: (1) AB ist eine der Parallelen oder

(2) AB ist ein Schenkel des Trapezes. Im Fall (1) müssen die Ordinaten der Punkte C und D überein-stimmen. Eine solche Figur sollte jeder Schüler zeichnen können. Ein tieferes Verständnis des Tra-

pezbegriffes zeigt sich, wenn CD länger als AB ist, einer der Schenkel senkrecht auf AB steht oder Parallelogramm, Rechteck und Quadrat als Spezialfall erkannt werden. Einige Schüler können C und

D unterhalb von A und B einzeichnen. Schwerer für die Schüler zu erkennen ist (2). Ist AB ein

Schenkel des Trapezes, so stehen im einfachsten Fall die Parallelen BC und AD senkrecht zu AB . Dann stimmen jeweils die Abszissen von A und D sowie von B und C überein. In einem allgemeineren

Fall schließen die Parallelen mit AB den gleichen Winkel ein und besitzen somit den gleichen An-stieg.



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Aufgabe 11 Ein Quader hat ein Volumen von 96 cm³. Gib an, wie groß die Länge, die Breite und die Höhe des Quaders sein könnten.

Hinweise zu möglichen Schülerantworten: Diese Aufgabe ist ein Beispiel für eine offene Aufgabe, die auf der Basis der Umkehrung mathemati-scher Sätze/Formeln beruht. Die Lösungsangaben können bei den Schülern das Verständnis für sys-tematisches Probieren bzw. Vorgehen weiter entwickeln. Zum Beispiel ist die Tabellenform eine sehr geeignete Darstellungsart, die die Schüler selbständig entwickeln sollten. Dabei kann die Frage nach den Zahlbereichen für mögliche Lösungen derart diskutiert werden, dass nur im Bereich der natürli-chen Zahlen die Lösungsmenge endlich ist. Das vorgegebene Volumen kann für das Verständnis der Aufgabe zunächst auch mit kleineren Grö-ßen begonnen werden (z.B. 18 cm³). Beispiele für Lösungen (im Bereich der natürlichen Zahlen) für 96 cm³:

Länge in cm 96 48 32 24 24 16 16 12 12 Breite in cm 1 2 3 1 2 1 3 1 4 Höhe in cm 1 1 1 4 2 6 2 8 2

Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten Aufgabe 12 Beschreibe verschiedene Möglichkeiten, wie du das Volumen der Treppe berechnen könntest. Eine Kästchenlänge entspricht 1 cm und eine Kästchendiagonale in Tiefenrichtung 3 cm.

Hinweise zu möglichen Schülerantworten: Die Berechnung kann entweder durch Zerlegen oder durch Ergänzen gelöst werden. Mögliche Zerlegungen: − 6 Quader mit einer Grundfläche von 9 cm² und einer Höhe von 9 cm − 3 verschiedene Quader mit einer Grundfläche von 9, 18 bzw. 27 cm² und einer Höhe von 9 cm − ein Quader mit einer Grundfläche von 36 cm² und zwei mit je 9 cm² und einer Höhe von 9 cm − 3 verschiedene Quader mit einer Grundfläche von 81 cm², 54 cm² und 27 cm² und einer Höhe von

je 3 cm Mögliche Ergänzungen zu einem Quader mit einer Grundfläche von 81 cm²: − 3 Quader mit je 9 cm² Grundfläche und einer Höhe von 9 cm − ein Quader mit 9 cm² Grundfläche und einer mit 27 cm² Grundfläche, Höhe je 9 cm

Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten Aufgabe 13 ABCD ist ein Parallelogramm, DF ist die Verlängerung der Seite AD . BF ist die Winkelhalbierende des Winkels ABC. Finde Beziehungen zwischen den Winkeln und Strecken in der Figur. Ziel der Aufgabe: Mit der Aufgabe ist eine komplexe Übung der Winkelsätze an Geraden und geschnittenen Parallelen sowie des Basiswinkelsatzes möglich. Sie dient auch der Festigung des mathematischen Argumentierens und leistet einen Beitrag zur Notwendigkeit von mathematischen Beweisen als eine lückenlose Kette von Begründungen.

Mögliche Schülerantworten: Es lassen sich leicht Winkelgleichungen finden (z.B. Winkel BAD = Winkel EDF, da Stufenwinkel). Antworten auf höherem Niveau sind z.B. eine Schlusskette wie DF = AB – BC . Zu jeder Angabe sollten die Schüler exakte und vollständige Begründungen, auch in schriftlicher Form angeben.

Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 20 min.


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Aufgabe 14 In der Zeichnung ist ein Würfel dargestellt, bei dem seine Eckpunkte und die Mittelpunkte jeder Sei-tenkante bezeichnet sind. Durch einen geraden Schnitt, der durch die eingezeichneten Punkte geht, soll der Würfel geteilt werden. Beispielsweise kann ein Schnitt durch die 4 Punkte Q, S, I und K ausgeführt werden. Zeichne verschiedene Schnitte ein. Welche Form hat jeweils die Schnittfläche?

Hinweise zur Aufgabe und zu möglichen Schülerantworten: Die Aufgabe dient der Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens und der Anwendung der Kenntnisse über ebene Figuren. Die Form der entstehenden Schnittflächen ist von der Lage der Schnittebene abhängig. Den meisten Schülern sollte es gelingen, die Schnittfläche des angegebenen Beispiels als Quadrat zu identifizie-ren. − Generell haben alle Schnitte, die senkrecht zu zwei der Seitenflächen verlaufen, eine quadrati-

sche Schnittfläche. Dies sind die Quadrate MNOP, IKSQ und LJRT. − Alle Schnitte, die senkrecht zu einer Seitenfläche sind, ergeben ein Rechteck.

(z.B. LIQT, KJRS, BDFH, INOK, AFGD, MQSP, PORT, CFED, NJLM, RJQI, LJOP, MNRT oder EFOP, EFLJ, HGMN, HGLJ, GFPM, GFIK, EHON, EHIK, AESK, AERJ, BFTL, BFSK, CGTL, CGQI, HDRJ, HDQI, ADON, ADQS, BCMP, BCQS, CDMN, CDRT, ABOP, ABRT)

− Schnitte, die zu keiner der Seitenflächen senkrecht sind, können verschiedene Formen anneh-men: � gleichseitige Dreiecke

(z.B. AFH, BEG, DGE, CFH, ACF, BDH, CAH, DGB oder ROS, STP, MQT, NRQ, IJN, ILM, JOK, PLK)

� gleichschenklige Dreiecke (z.B. MHF, HOF, EGN, EGP, ACN, ACP, BDM, BDO, HAK, HAQ, EDI, EDS, BGK, BGQ, CFI, CFS oder AQT, AJN, AKP, BLM, BOK, BRQ, CLP, CIN, CRS, DIM, DJO, DST, EIL, EPS, ENR, FIJ, FOS, FMT, GJK, GPT, GNQ, HKL, HOR, HMQ

� Trapeze (z.B. IFHL, JFHK, EGKL, EGIJ, ACQR, ACST, BDQT, BDRS, BEOS, BEKP, AFOK, AFPS, CFPT, CFLM, BGPL, BGTM)

� regelmäßige Sechsecke (z.B. INRSPL, JNQTPK, LMQROK, TMIJOS)

− Interpretiert man die Aufgabenstellung weniger streng, können auch insgesamt 48 Fünfecke ent-stehen. Die Schnittebene kann in diesem Fall z.B. durch die Punkte ILG oder auch ILO beschrei-ben werden, allerdings gehören die beiden anderen Eckpunkte des entstehenden Fünfecks, die auf den Kanten BF und DH liegen, nicht zur Menge der bezeichneten Punkte.

Es ist nicht anzustreben, dass die Schüler eine vollständige Lösung anhand der Skizze durch pure Vorstellungskraft entwickeln. Modellkörper, an denen die Punkte mit Bleistift oder Kreide markiert werden, erhöhen die Anschaulichkeit und das Finden mehrerer Lösungen.


Aufgabenempfehlungen: Aufgaben 2, 8, 9, 10 und 14


Aufgaben zur Geometrie 1. Vergleiche die Bewegung einer Schiebetür mit der Verschiebung in der Mathematik. 2. Vergleiche eine achsensymmetrische und eine drehsymmetrische Figuren miteinander.

Finde Gemeinsamkeiten und Unterschiede.

Achsensymmetrische Figuren Drehsymmetrische Figuren

3. Erkenne Buchstaben, bei denen Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel oder Wech-

selwinkel vorkommen und kennzeichne die betreffenden Winkel.

ABCDEFGHIJKLMN

OPQRSTUVWXYZ 4. Das Dreieck ABC ist rechtwinklig und

gleichschenklig. Weiterhin ist AE ⊥ BC und GF || AB. Bestimme die Größe von Winkeln in die-ser Figur und begründe deine Angabe.

5. Gegeben sind sechs verschieden lange Strecken:

1 cm; 2 cm; 3 cm; 4 cm; 5 cm; 6 cm Mit welchen Strecken kannst du Dreiecke konstruieren?


6. Zeichne verschiedene Parallelogramme. 7. Zeichne mehrere verschiedene Vierecke, die die angegebene Eigenschaft haben.

Begründe deine Lösungen.

a) 2 Seiten des Vierecks sind gleich lang.

b) Nicht alle Seiten des Vierecks sind gleich lang.

c) Das Viereck hat genau einen rechten Innenwinkel.

d) Das Viereck hat zwei stumpfe Innenwinkel.

e) Das Viereck hat einen rechten Winkel und mindestens ein Paar gleich langer be-nachbarter Seiten.

8. Welche der Vierecke (1) bis (6) haben eine gemeinsame Eigenschaft?

Gib die Eigenschaft und die Nummern der betreffenden Vierecke an. 9. Es sind zwei parallele Geraden gegeben. Zeichne zwei weitere Geraden so ein, dass

eine Figur entsteht.

(1) (2)

(3) (4) (5)

(6)


10. In ein Koordinatensystem wurden die Punkte A (1|1) und B (5|1) eingezeichnet. Zeichne zwei weitere Punkte C und D in das Koordinatensystem ein, so dass ein Trapez entsteht. Gib die Koordinaten der Punkte C und D an.

A B0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

A B0

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0 11. Ein Quader hat ein Volumen von 96 cm³. Gib an, wie groß die Länge, die Breite und die

Höhe des Quaders sein könnten. 12. Beschreibe verschiedene Möglichkeiten, wie du

das Volumen der Treppe berechnen könntest. 13. ABCD ist ein Parallelogramm.

DF ist die Verlängerung der Seite AD . BF ist die Winkelhalbierende des Win-kels ABC. Finde Beziehungen zwischen den Win-keln und Strecken in der Figur.

A B

C D

F

E


14. In der Zeichnung ist ein Würfel dargestellt, bei dem seine Eckpunkte und die Mittelpunkte jeder Seitenkante bezeichnet sind. Durch einen geraden Schnitt, der durch die einge-zeichneten Punkte geht, soll der Würfel geteilt werden. Beispielsweise kann ein Schnitt durch die 4 Punkte Q, S, I und K ausgeführt werden. Zeichne verschiedene Schnitte ein. Welche Form hat jeweils die Schnittfläche?

Schnittfläche: _________________________ Schnittfläche: _________________________

Schnittfläche: _________________________ Schnittfläche: _________________________

Zur Arbeit mit offenen Aufgaben im Mathematikunterricht...

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