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Mathematische Operationsforschung und Statistik. SeriesOptimizationPublication details, including instructions for authors and subscription information:http://www.tandfonline.com/loi/gopt19

Zur existenz maximaler werte beiquasiordnungswertigen abbildungenFred Alois Behringer aa Institut für Statistik und Unternehmensforschung , Technische Universitä Müchen , Münehen2, D-8000, BRDPublished online: 27 Jun 2007.

To cite this article: Fred Alois Behringer (1979) Zur existenz maximaler werte bei quasiordnungswertigen abbildungen,Mathematische Operationsforschung und Statistik. Series Optimization, 10:2, 193-205, DOI: 10.1080/02331937908842564

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Nath. Opentioneforsch. Statist., Ser. Optimization, Vol. 10 (19i9) S o . 2, 193-205

Zur Existenz maximaler Werte bei quasiordnungswertigen hbbildungen

Zusammenfassung: Elne ituf emer nichtleeren und kompakten Teilmenge eines tupolugi- schen Raumes nach oben halbetetige reellwertige Funktion f nimmt dort einen maximalen Wert m. 3fan liennt dies? P-lvsrsge aurh fiir halhordn~ingswertige f . Die vorliegende Arbeit untersucht sie fiir quasiordnungswertige I;. Die Halbstetigkeit von f wird iibcr N ~ v u ~ u - mengen der Form {z EX j a 3 j(xj) und {x CX / !!xj <a) gefai3t. E s werden zwei ordnungs- induzierte Topologien eingefuhrt, die die Nalbstetigkeit als Stetigkeit zu formulieran ge- s t a t t m , Nsben der Fragc dtr Existenz von &Xaximn!wete weden Eig~nscha.ft,en rlieser Topologien, wird die Halbstetigkeit der Rullfunktion einer Familie von halbstetigen Funktionel? ;.md werdes partlell ha!bstetige f : -X >: 2- 4 5 untersuc'nt,

1. Einleitung

In der Optimierungstheorie sucht man einen Punkt x* des zuiassigen Bereichs X, in welchem die Zielfunktion f einen maximalen Wert annimmt : [f (x*) s f (x)] *[f (x) sf (x*)] VxC X : Fur reellwertige f auf einehl topologischen Raum X laBt sich die Frage nach der Existenz eines solchen x* E X mit dem (abgeschwachten) Satz von WEIERSTRASS erledigen : [X nichtleer und kompakt] A[f halbstetig nach oben (unten)Ja[3 maxf(x) (min f(x))] ([9], S. 227). In der Nutzen- und Entschei-

zEX z EX dungsbheorie hat f i m dlgemeinen die Aufgabe, eine auf X vorgegebene Praferenz- Indifferenz-Relation ordnungsisomorph auf den (leichter zu handhabenden) R1 zu ubertragen. Nicht jede auf X vorgegebene konnexe Quasiordnungsrelation l&Bt sich durch ein reellwertiges f erzeugen (,,lexikographisches" Gegenbeispiel von DEBREU [ 8 3 . Das berechtigt dam, die Werte von f aus einer Menge mit allgemei- nerer Ordnungsstruktur zu nehmen. Bus der Literatur sind zwei Satze vom Typ WEIERSITLASS fur halbordnungswertige f bekannt, niimlich der von PIRZL [I51 und der von BIRKHOFF [77. In der Theorie der Kollektiventscheidungen fallt, es nicht schwer, praktisch vernunftige Modelle zu konstruieren, bei denen quasiordnungs- wertige f auftreten: Punktbewertungsverfahren (mit f interpretiert als kollektiver Rangordnungsfunktion, bei welcher auch kollektive .In&fferenzen zugelassen werden) sind ein Eeispiel hierfiir. Das berechtigt dam, die Uberlegungen gleich fur quasiordnungswertige f anzustellen. (Wobei eingeraumt werden muB, daB der

1 Technische Universitat Munchen, Institut fur Statistik und Unternehmen~forschun~, D-8000 Munchen 2, ArcisstraBe 21, BRD.

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Obergang von halbordnungswertigen zu quasiordnungswertigen f nicht sehr wesentlich ist, da nlan ja den letzteren Fall durch Operation auf der Quotienien- menge auf den erst'eren zuruckfiihren kann. Wichtig ist der Unterschied zwischen konnexer und nicht konnexer &uasiordnungsrelai;ivr~. j

$?:ir bemeisen die Siitze von PIBZL [I51 uric! EIZ.KHOFF 173 gleiclr ffir yi~:,t;iord- nungswertige f . Dabei wird es sich herausstellen, daR der Satz von PIRZL auch ohne transfinite Hilfsmittel bewiesen werden kann. Der Satz von PIRZL Iauft auf eine Fassung der Ha,lbstetigkeit, voa f iiher offene Niveaumengen von der Form (x EX / f (x) <a) kinaus, der Satz von BBKEIOFF auf eine Fassung uber abge- schlossene Niveaumengen von der Form (xE X 1 a f(x)). Fur konnexe Quasiord- nungen fallen beide Halbstetigkeitsbegriffe und damit beide Satze zusammen. Wir geben Beispiele dafiir an, dai3 fur Quasiordnungen im allgemeinen keiner der beiden Ealbstetigkeitsbegriffe den mderen irnplizierk AuBerdein @en xir noch auf einen dritten Halhstetigkeitsbegriff ein, der die ersten beiden nach sich zieht und damit ebenfalls zur Formulierung eines Maximalwertsatzes vorn Typ WEIER- STRASS verwendet werden kann. Wir weisen sodarm a& drei Aaibstetigkeits- hgcrrffe T Stetirrlr~it h~viigIicE_ g~wisser ~rdnl~llgsin<il~zie~t~er fiecE_

6""' --- und untersuchen &e &'igenschaften seser To;?9!~grec. Die e r s t ~ &Cser Tnnnlnwion - "Y"'"6""'

wurde (fur Halbordnungen) auch schon %-on PIRZL [15] herangezogen. Dedurch, da13 wir analoge Betrachhngen auch fiir den Satz von BIRKHOVF [7] anstellen, stellen wir eine Beziehung zwischen diesen beiden SBtzen her.

i n enger Beziehung zu den Aussagen vom Typ WEIERSTRASS stehen Aussagen iiber die Existenz maximaler Elemente in (bezuglich einer ordnungsinduzierten Topologie) kompakten quasigeordneten Mengen. Wir werden letztere als Spezial- fjlle aus ersteren gewinnen. (Fur verwandte Bragen in halbgeordueten linearen Raumen vergleiche [lo] und die dort angegebene Literatur.)

SchlieBlich beschiiftigt uns noch die Frage der Ubertragbarkeit der Eigenschaft der oben erwahnten Halbstetigkeitsbegriffe auf die Hullfunktion einer Pamilie von halbstetigen Funktionen. Letzteres interessiert uns im Zusammenhang mit kurzlich angestellten Uberlegungen xur Theorie der Entscheidungen bei Unsicher- heit [2], [3] (d. h. Spiele gegen die ,,NaturU), bei welchen wir quasiordnungswer- tige ,,Auszahlungsfunktionen" f : X X Y -2 verwendeten. Aus diesem Grunde gehen wir d a m auch noch kurz auf partiell halbstetige Bunktionen ein. Unser Interesse an der Fassung der Halbstetigkeit uber Niveaumengen stammt ebenfalls aus der Optirnierungstheorie : In [4] und [ 5 ] hatten wir zur Kliirung von Existenz- und Eindeutigkeitsfragen (reellwertige) halbstetige Funktionen herangezogen, die gleichzeitig als quasikonvex vorausgesetzt wurden. (Die Untersuchungen von [ 5 ] lassen sich auf quasiordnungswertige Funktionen ausdehnen : [2].) Quasikon- vexe Punktionen sind aber ein weiteres Beispiel fur Funktionen, die sich iiber Niveaumengen definieren lassen, namlich als solche, deren Niveaumengen konvex sind.

Lediglich am Rande wollen wir noch daran erinnern, dai3 z. B. auch mel3bare (reellwertige) Funktionen uber ihre Niveaumengen definiert werden konnen, niim-

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Esistenz maximaler Werte bei quasiordnungswertigen Abbildungen 195

iich ais soiche, cieren Nveauriiengen meBbar sind [I]. Es wdrc also sicher interes- sant, ganz generell einmal Gemeinsamkeiten zwischen quasiordnungswert~igen Funktionen zu untersuchen, deren Niveaumengen bestirnmte Struktureigen- whaften hrthen. .. - .-

Bez e i c h n u ngen 2.1 : Unter einer Quasiordnunp-, Halhordnungs-, Total- ordnungsrelation auf einer Menge I' verstehen wir eine reflexive und transitive; reflexive, transitive und antisymmetrische; konnexe, transitive und antisyrnrne- trische Teilmenge von Y x Y. 1st R beliebige Relation auf Y, dann nennen mir aE I' ein R-maximales (R-minimales) Element, wenn (aRy)=(yRa) [(yRa)= +(n-&y)] 'yYc P. wir neiii;en a E I' i;i;l R-gSCtes (&l.;leinstes) EIemer;t,

yRa [nRy] y C Y. Per den Vorbereich yon a c Y beziiglich einer Relation R auf Y schreiben wir Ra : = (y E Y j yRn) und fur den Nachbereich aR : = (y .$ Y I aRy). Spezieli werden wir hiiufig 3 a, ( a , a 5 und a ( verwenden.

V e r o i n t s r i l n g 2.1. In dicsef Arbeit vcrsteheri m r unter 5 auf P stets eiat: Qnasiordnungsrelatim mf Y und unter <, - die durch (T <y) .-(z .< y) r, (y $' z). (x - y) : e ( x 5 y) A (y 5 x) Y x, y E Y definierten Kelationen.

F e s t s t e l l u n g 2.1 : Fur (Y, A ) Quasiordnung gilt: < ist irreflexiv und transi- tiv [ j l6j , S. 10); - k t reflexiv, symmetrisch und transitiv, d. h. L4qnivaienzrela- tion ([7], S. 4 ) ; fiir alle x, y, zE Y gilt (2-y) A (y < z ) a ( x <z) ([16], 8. 10) und (x<y) A(y-2)-(x<z) ([16], S. 10) sowie (x<y)V ( x - Y ) - ~ ( x ~ Y ) A ( Y $x)IV v [(x 3 y) A (y 3 x)]-(x 3 y) A [(y $ x) v ( y 3 X)JO(X 3 y). Aus ietzterem foigt sofort: ( x d y ) A(y<z)*(x<z), (x d y ) A(y-z)*(xA~), @<y) l\(ydz)=+(x<z), (x-y) A

(y 3 z) a jx z). Mit R auf Y ist bekanntlich auch die zu R konverse Relation R* : -- ((5, y) .$ Y X Y I yRx) reflexiv, irreflexiv, transitiv; symmetrisch, asymme- trisch, antisymmeti-isch, kolmex.

Bezeichnz~ngen 2.2: Die zu d und < konversen Reiationen bezeichnen wir mit 2 und > . Als kompakt bezeichnen wir eine Teilmenge A X eines topologischen Raumes (X, z) genau dann, wenn jede bezuglich z offene uberdeckung von A eine endliche Teiliiberdeckung hat (die HAUSDORE'F- oder T,-Eigenschaft wird dabei nicht verlangt). Das ist bekanntlich gleichbedeutend darnit, daB A als Teilraum von X (d. h. in der durch z in A erzeugten Spurtopologie) kompakt ist ([14], S. 140).

3. Halbstetige Funktionen und ~ a t z e vom Typ WEIERSTRASS

Wiz fiihren jetzt drei Salbstet~igkeitshegriffe ein und weisen nach, daB solcherart halbstetige Funktionen auf nichtleerem kompakten Definitionsbereich einen maxi- malen Funktionswert haben.

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Def in i t ion 3.1 (Halbstetigkeit): Sei (9, T) topologischer Raum und ( Y , 5 ) Quasiordnung. In Anlehnung an den im Reellen iiblichen SprachgeSra;;ch nefii;eI; wir eine Abbildung f : X -+ Y <-halbstetig nuch oben (unten), wenn fiir jedes n 5 Y

j- $( <a j V- qa < )) off5n bezcn!j& ist. 17':" nr.

b r r IL ~iunn&il f d-hiidbbst~h~ ?;i;c.h

oben (unten), wenn fur jedes a< Y die Menge j--I(c!,5.) ( f - ' ( ln)) abaeschlossen - bezuglich t ist,. VCTir pennen f stark hnlbstetig nach oben (u??tenj (beziiglich A ) , wenn fur jedes a€ Y die Menge f-i(Aa) (f-l(c~3)) offen bezuglick t ist.

Um T'erwechslungen vorzubeugen, sei uermerkt, da13 der Susdruck ,,stark halbstetig" von anderen Autoren (z. B. [ I l l ) in anderenl Sinne verwendet wird.

Offensichtlich ist ,, <-halbstetig nach unten", ,,A-halbstetig nach unten", ,,stark halbstetig nach unten bezuglich 5'' gleichbedeutend mit ,,> -halbstetig nach oben", ,, Z -halbstetig nach oben", ,,stark halbstetig nach oFen beziiglich kc ' , o daf3 ?vir &F: zu jeder Aussage i~iher Ealbstetigkeit nach cbc.2 ge1tc.de dude Aussage iiber Halbstetigkeit nach unten nicht gesondert zu beweisen brauchen.

I n der folgenden Feststellung wollen wir zeigen, da13 die <-Halbstet,igkeit fur- Quasiorbungen ini allgemeinen der d-Raibatetigkaii verscn;iadt.ii iui. >it: starke Halbstetigkeit h h t sowohi die <-Halbstetigkeit als auch die A-Haib- st,et,,jg'LTeit. nech slch (glelch fo!gen& SanLz 3.1 ).

F e s t s t e l l u n g 3.1 ( ~ e z i e h u n ~ e n zwischen 4,- und 3-Halbstetigkeit) : Aus. Definition 3.1 folgt unmittelbar, da13 fiir konnexe Quasiordnungen ( Y , 3) jede Abbildung f : X - Y auf einem topologischen Raum (X, t) genau dann <-halb- stetig nach oben (unten) ist, wenn sie d-halbstetig nach oben (unten) ist.

Wir geben im folgenden je ein Beispiel fur Abbildungen /: X- Y von einem topologischen Raum ( X i r ) in eine Quasiordnung (Y? 3) : die (a) <-halbstetig sowohi nach oben als auch nach unten, jedoch d-halbstetig

weder nach oben noch nach unten, (b) 5-halbstetig nach oben, jedoch nicht <-halbstetig nach oben, (c) 3-halbstetig nach unten, jedoch nicht <-halbstetig nach unten ist.

Be i sp ie l ( a ) : Wir begnugen uns mit einem Trivialbeispiel: Wir wahlen Y : = X : = (a, b) und setzen f : X -t Y gleich der identischen Abbildung . Pur A wZGhlen wir die Gleichheitsrelation 5 :=((a, a) , (b, b)). X sei mit der indislrroten Topologie (nur 0 und X offen) versehen. ( < ist in diesem Beispiel leer.) Es ist f-i(a <)= f-l(b <) = f-l( <a) = f-I( <b)= 0. Also ist f trivialerweise <-halbstetig sowohl nach unten als auch nach oben. Andererseits ist f - J ( d a ) = f - l ( a5) =(a) und f-'(A b) = f-l(b A ) = {b). I n der indiskreten Topologie sind nur 0 und X abge- schlossen. Also ist f 5-halbst,etig weder nach unten noch nach oben.

B e i s p i e l ( b ) : Wir wahlen Y:=X:=(a , , a,, a,, a,, . . .) und setzen f : X - Y - gleich der identischen Abbildung. Fur A wahlen wir A :=((ao, a,), (al, a,), (a2, a?),

. . ., (ao, a l ) , (no, az), (a,, a,), . . .). X sei mit der Topologie der endlichen Kornple- mente (offen sind O, X und alle Teilmengen, deren Xornplement aus endlich vielen Elementen besteht) versehen. (Abgeschlossen sind also nur 0, X und jene Teil- mengen von X, die aus endlich vielen Elementen bestehen (vgl. [17], S. 49).)

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Dann ist fd'jao 3 )=AT und j - j (n i 5)=(c-i i] YiEL?T. Das sind nach deiri eben Ge- sagten abgeschlousene Xengen hezuglich der Topologie von 5. Also ist f 5-halb- stetig nach oben. Andererseits ist z. B. die Menge f-I( <a,) = (a,) n i c h t offen in der Topolngie TOE 5. X l o ist f r t icht <-halhstotig nach oben.

B e isp iel j c ) : Setze i r ~ Beispiel (11 ) statt, ;J die Ironverse Relatiori 2. Sntz 3.1 (stark halbstetig st,arker a,ls <- und A-1 : Sei X, P, 7, 3, f ~e in

Definition 3.1. D a m gi&: JVmn f stark hulbstetig nach oben id, d a m ist f sozoohl <-haibstetig a h auch A-Kalbstetig nach o5en. Eine analoge Amsage gilt fur ,,nach unten".

Ecweis : Sei f stark halbstetig nach oben. D a m gilt:

[ a € Y] ~ [ { z E X / f ( x ) <a)= U { Z C X / f(x) A b ) ist offen in t]. Also ist f <-halb- stetig nauh oberl. Femer ; h<a

[nc Y ] +[(zc X! a A f (z)) = n X\{ZEX 1 f (x) d b ) ist abgeschlossen in z]. Also a $ *

/ aiich d-hdbstetig nach G&~?.. I Fests te ! ! r ; r,g 3.3 (F,ozieE,unrre:: b z ~ i s c h e n <-, 5- ~ r ? d stsrker Helbetetig-

L-: Kalt,: \ Aus Satz 3.3 folgt sofort: .f aus (a) ven Festste!!unrr 2 1 -st <-ha!bstPtig 6 -'-

sowohl nach oben a ! ~ auch nach unten, jedoch stark halbstet,ig weder naeh oben noch nach unten. f aus (b) ((c)) von Feststellung 3.1 ist 2-halbstetig nach oben (unten), jedoch nicht stark hslbstetig nach oben (unten).

S a t z 3.2 (vom Typ WEIERSTRASS) : Sei (X, z) topologischer Razcm, ( Y , A ) Quasi- ordnung, A S X nichtleer zazd kompnkt zmd f : A -- Y Abbildzcng ?;on A i n P. Dann L 7 f . y w .

(a) (Im wesentlichen Satz von PIXZL [15]) T e n n f <-halbstetig nach oben ist, dccnn nimmt f nzcf A einen A-maxi~nzalen Wert m.

(b) (Im wesent!ichen Satz vnn BIRICFIOFF [7]) Wenn f =. -halbstetig nach oben ist, clann nimmt f nuf A einen A-mazi,malen Wert a%.

(c) Wenn f stark halbstetig nach oben ist, dann nimmt f nuf A einen 3-mazirnnlen Wert c l n .

Analoges gilt fi ir Hcclbstetigkeit nnch unten und 5 -minimalen f- Wert.

B e m e r k u n g 3.1 : Die Aussage (a) ist fiir ( Y , 3 ) Halhordnuiig in Satz 2 von PIRZL [I51 enthalten. Das cc-ird allerdings erst rveiter unten klar, wenn wir die <-ilalbstetigkeit als Stetigkeit hezuglich einer auch von PIEZL vermendeten ord- nungsinciuzierten Topoiogie nachgewiesen haben. SELZL hentitigt das Lemma von ZOBN. I m untenstehenden Beweis, den wir gleich fiir quasiordnungswertige f fiih- ren, kommen wir 01me transfinite Hilfsmittel aus. Die Aussage (b) wurde fiir Y A a lbordnung von EIR,KHOFF ([7]; S. 63, Theorem 16) bewiesen, was klar wird, wenn man in ['i] die Definition auf Seite 63 in Verbindung mit (9) von Seite XI1 mit unserer Definition der 3-Halbstetigkeit vergleicht. RIRICAOFF [7]

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definiert seinen Hallostetigkeitsbegriff (iiber konvergente gerichtete Nengezz) nur fiir TI-Raume (X, t). Das ist bei unserer Formulierung der 3 -Ralbstetigkeit nicht notig. (Anwendungsheispiel: z indiskrete Topologie mit jlY1 z 2 und f kon- stante Funktion =>t nicht T,, X kompakt,, j 5-haibstetig nach oben. j i'liir werdelr im folgenden den Beweis von BIRILHOFF [ 7 ] in leicht abge&i-idert,er Form wide r - holen, und zwar gleich fur (P, d ) Quasiordnung. Wir danken dem einen der beide~l Gutachter der ersten Fassung der vorliegenden Arbeit dafiir, daB er uns auf die Moglichkeit einer solchen direkten Beweisfiihrung aufmerksam gemacht hat. Erst dadurch wurde uns klar, daB die Aussage (b), die wir urspriinglich ohne genaue Beachtung von BIRKHOFF [ 7 ] entwickelten, im wesentlichen schon im genannten Satz von BIRKHOFF [7] enthalten ist. Auch dem zweiten Gutachter sei fiir seine konstruktiven Hinweise gedankt.

Beweis van S a t z 3 .2 : ja) Setze A , : = & c A j ,I(.;&) <jiZ)l. >anli: [ $ d-illrzsi- males yE,f(A)] =-[[uEA] =-[3zcA4 1 f (2) <f(x)j] *[ (A , / x E A ) ist t-offene tberdek- kung von A]=-[3 endiiches RGA mit A s U A,]-[3Z€B / f(Z)<f(x) ' V X E B und

A& UAZ]=-[Z$A]=-[Widerspruch zu Z E B Z A ] . Also 3 3-maximales yEf(.4). .rCB

(bj: Wir rnachen voii der Tatsache Sebi-auch, daB 3-egen ,I &uas:ordr,ungs- relation auf Y auch die durch ( x A'y):-( f jx) A f(y)) auf A definierte Relatiw 5' Quasiordnungsrelation ist und insbesondere die Eigenschaften reflexiv, irreflesiv. transitiv, symmetrisch, asymmetrisch und konnex in beiden Richtungen iiber- tragen werden.

1st (B, A') konfiexe Quasiordnung rnit B& A, dann haben je endlich viele der (wegen der oberen 5-Halbstetigkeit von f ) abgeschlossenen - Mengen C,: = = ( U E A / f (x) 5 f ( u ) ) mit xE B einen nichtleeren Durchschnitt. Wegen der Kom- paktheit von A ist also n C,+ 0. Es gilt: [Z E n C,] =>[f(x) 5 f(Z) Y X E B] -

z EB z € B *[x S'T Vxc B]. Es gibt also fur jede konnexe Quasiordnung (B , A') mit B s A eine obere Schranke ZCB rnit x ;if.? fur aiie aEB. Also giht es nach dem Lemma von ZORN in der Fassung fur Quasiordnungen von BERGE [ 6 ] in A ein sf-maxi- males Element, d. h. in f(A) ein d-maximales Element.

(c): Folgt unmittelbar aus Satz 3.1 und (a) oder (b) dieses Satzes 3.2. )

4. Halbstetigkeit als Stetigkeit beziiglich ordnungsinduzierter Topologien

In diesem Abschnitt wollen wir die eingefuhrten drei Halbstetigkeitsbegriffe als Stetigkeit beziiglich gewisser ordnungsinduzierter Topologien formulieren. Da- durch gewinnen die Aussagen vom Typ WEIERSTRASS in Satz 3.2 an Zusammen- halt. AuWerdem folgen damit ais Speziaifaile von Satz 3.2 unmittelbar entspre- chende Aussagen uber die Existenz maximaler Elemente in Mengen, die beziiglich der ordnungsinduzierten Topologien kompakt sind. Fur die <-Obertopologie gilt

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Existenz maximaler Werte bei quasiordnungswertigen Abbildungen 199

d a m ~ c h die TJmkebxng, fur die 2-Ohertopol~g'e dagegen nicht (siehe %st- stellung 4.4 weiter unten).

D e f i n i t i o n 4.1 (Ober-. Untertopologiel Fur ( Y, 5 ) Quasiordnung wollen wir in loser ,4nleiiniiiig aii [13j, S. !Oi , &e aus a, i' 2nd d l cn Vcreia&uiigcn :-or, Durchdmitten je eniiiich vi&r Mengen der Form <z, (y <) mit y e i' hestsh~nde Topologle <-Obertopologie (<-Untertopologie) nennen. Die aus fl, Y und allen Vereinigungen von Durcl~schnitten je endlich vieler Mengen der Form Y\y A ( Y\ y) rnit ye Y bestehende Topologie nennen wir d-Obertopologie ( 5- Unter- topologie).

Offensichtlich ist <-Untertopologie, A-Unter t~polo~ie gleichbedeutend rnit > -Obertopologie, 2-Obertopolog~e, so dai3 es zu jeder Aussage uber Obertopolo- gie eine ,,dualeU Aussage iiber Untertopologie gibt, die wir nicht gesondert zu be- weisen hr%ucfier?.

P e s t s t e l l u n g 4.1 (Verr:nfachur,g Fei !i~nnexen A ) : Eei konnexes 3 fbllt die <-Ohertopologie wegen (y= Y\y ;S rnit der A-Obertopologie zusammen und besteht aus @, l; und allen Vereinigungen von Mengen der Form <y (fur reelle 1- ----- l - : - L - L: ----- - - - - L

gLtji(;ut: llltjl (iu auLu [ 13j, S. 101). A I ~ z ! G ~ ~ G gilt fi;li. Ur,tert~po!~gic. Mi6 n ve~ini t ior~ 2 4.i (Ciileriopo:ogiej erhklt iiibii aiiS Definition 3.1 (Bdbstetigkeit) iiber X: = Y und f identische Abbildung sofort das

KO roll a r I zu Satz 3.2 (Existenz maximaler Elemente) : I n einer Quasiordnung ( Y . 5 hat jede nichtleere Teilmenge A & Y, die in der <-Obertopologie oder der A - Obertopologie oder einer feineren Topologie als der <-Obe~topologie oder A-Ober- topobgie kompakt ist, ein 3-maximales Element. - Analoges gilt fur Untertopologie " .- ~ t . d 5 -w'iiiiiii(iles ii E A.

S a t z 4.1 ( <-Halbstetigkeit als Stetigkeit) : f aus Definition 3. I ist genau dann <-halbstetig nach oben, zoenn f bezuglich der in Y genommenen <-Obertopologie

stetig ist. Entsprechendes gilt fur <-halbstetig nach uqzten und <-Untertopologie.

Beweis : Sei f <-halbstetig nach oben und A s Y. Wegen f-'(0) = 0 und f-l( Y) =

= X sind die FSille A = 0 und A = Y klar. Fur (A* 0) A (A* Y) gilt : [A offen in <-Obertopologie] =>[A ist Vereinigung von Durchschnitten je endlich vieler Men- gen der Form <y rnit y € Y] -[f-I(A) ist Vereinigung von Durchschnitten je end- lich vieler Mengen der Form f-i(<y) rnit yE Y]+[f-'(A) ist offen beziiglich z].

1st umgekehrt f stetig beziiglich z in X und der <-Obertopologie in Y, dann gilt: [ [ A s Y offen in <-Obertopologie] a[f-1(A) offen in z]] und damit [[a E PI a

*[ <a offen in <-Obertopologie] a[f-I( <a) offen in t]], also f <-halbstetig nach oben. 1

B e m e r k u n g 4.1 (Zusammenhang rnit Ergebnissen von PIRZL [IS]) : Der obige Satz 4.1 zeigt, daI3 fiir (Y, 3) Halbordnung unser Begriff der <-Halbstetigkeit nur ejne andere Formulierung des von PIRZL [15] vemendeten Halbstetigkeits- begriffs (dortige Definition 2) ist.

S a t z 4.2 (3-Halbstetigkeit als Stetigkeit): f aus Definition 3.1 ist genau dann

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Beweis: Ersetzt man im Beweis von Satz 4.1 <, <y, f-i( <y) durch 5. Y\, g S, f-f(l72~2) - - X \ j - i ( y d ) , so t?.rii&!t maa: [ f 3-ha!bstetig nach oben iind d & I' offen in der 3-Obertopoiogie] -[ f - f (A) offen in r].

1st umgekehrt f stetig bezuglich t in X und der 5-Obertopologie in Y, dann gilt : [[A abgeschlossen in A-Obertopologie] =>[f-1(A) abgeschlossen in TI], also [ [ a c Y ] +[a 5 abgeschlossen in der 3 -Obertopologie] =-[f-l(u 5 i abgeschlossen in t]], also f 2-hallustetig nach oben.

Fe s t s t ell u n g 4.2 (Beziehungen zwischen <- und A-Topologie) : Die in Bei- spiel (b) von Feststellung 3.1 gewahlte Quasiordnung ( Y , d ) laBt sich sofort dazu verw~nden zu neig~n, daB nicht nur <- und 5-Halbstetigkeit. sondern auch schon -+ unci 5-Topoiogle nicnts mnemander zu burl I~a'uen, genauer, daii es Quasi- ordnungen ( Y, 5 ) gibt, bei denen weder (a) die <-Obertopologie feiner als die A -0bertopologie noch (b) die 5-Obertopologie feiner als &e <-Obertopologie ist.

Re i sp ie l : Wir wahlen Y : =(ao, a,, a,, a3, . . .) und 5 :={(a,, a,), (a, , ai l , (a3 , a 2 ) , . , ., (aG, a L ) , (a,. a l ) , (ao, a3) , . . .). Es 1st (cc,j= <a,E <-Obertopologw, jedo~h (a,} 6 A-Ohertopo!ogie, da man zur Isoherung von (ao) emen Durchdmitt von mehr als endlich vielen Mengen der Form Y\a, 3 benot~gt, namlich (ao)= - = n Y\{a,}. Andererseits ist Y\(al}= Y\a, 3 E d-Obertopologie, jedoch Y\(nl} 6

<-Obertopologie, da 0 und (a,) die einzigen Mengen der Form <ai sind und aus diesen durch keinerlei Durchschnitts- oderlund Vereinigungsbildung Y\(crl) er- --..- c --,-.,I,- lFnn, -Ii'n+",rnnhn,.,rlo A17m"orrnn fiir TTnfnrtn,,nlnrr;nn J,,7.nh A G U ~ ~ U w G ~ U G L L LLULLLL. U L L U U ~ L U C ~ L L U A L U V LAUUUCU~UII ~ V I V V I L L UI v ILVVL v v L J V L V ~ ~ V ~ L U U A V A L

Ubergang zu 2. Eei der Passung der starlren Halbstetigkeit als Stetigkeit stoBen wir auf eine

literaturbekannte Topologie, b e feiner als <- und A-Topologie und wegen Feststel!.;ng 4.3 i. a!!~. mgar mht feiner a!s jede der heiden {st.

Pe s t s t e l l ung u n d Def in i t ion 4.1 (Links-, Rechtstopologie): Von VALK wird in [la], S. 8, fiir ( Y , S) Quasiordnung bewiesen, daB die aus 0 und allen Vereinigungen von Mengen der Form A y (y A ) mit yE Y bestehende Nenge eine Topologie ist. Sie wird dort Links-(Rechts-)TopoZogie genannt. VALK beweist ferner in [ 1 8 ] , S. 9, daB in der Rechtstopologie jeder Durchschnitt von offenen Mengen offen und jede Vereinigung von abgeschlossenen Mengen abgeschlossen ist. Selbstverstiindlich gilt diese Aussage auch fiir die Linkstopologie, da ja die Linkstopologie bezuglich 5 Rechtstopologie beziiglich Z k t und da mit 5 auch 2 Quasiordnungsrelation 1st. SchiieBiich beweist YALK in j18j, 5. 32, daE fur ( Y , 5 ) Quasiordnung und A s Y gilt : A abgeschlossen in der Rechtst,opologieoA offen in der Linkstopologie. Hieraus folgt sofort: A abgeschlossen in der Links- t o~o loge a/! offen in der Rcchtstopdcgie.

Nit dieser Definition der Linkstopologie erhalt man aus Definition 3.1 (Halb- stetigkeit) uber die Festsetzung 5:= Y und f identische Abbildung sofort das

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K O r 011 a r 2 zu Satz 3.2 (Existem maximaler Elementej : I n einei. Qiiiisiordiiung ( Y , 3 ) hat jede nichtleere Teilmenge A& Y . die in der Linkstopologie oder einer feineren Topologie als der Linil.stopologie kompakt ist , e in d-maxi?nales Element. 4naloges gilt f i i r Rechtstopologie und ;(-minimales a E A. --

S a t z 4.3 (starke HsiEstetiglieit als Stetigkeit): f U L E S Definition 3.1 ist genctu d a n n stark halbstetig nnch oben, wenn f hexiigbich der in Y genommenen Linkstopoh- gie stetig ist. Entsprechendes gilt f a r stark halbstetig nach unten u n d Rechtstopologie.

B e we is: Sei zunachst f stark halbstetig nach oEen und A & Y. Die Pdle A = 0 und A= Y sind klar. Ansonsten gilt: [ A offen in Linkstopologie] + [ A Vereinigung von Mengen der Form 3 y] * [ f -1(A) Vereinigung von Mengen der Form f -I( y)] a *[fdl(A) z-offen]. 1st umgekehrt f stetig bezuglich z in X und der Linkstopologie in Y , dam g i l t . [a Y ] * [ d a offen in der Linkstopologie] - [f-I($a) t-offen]. Also 1st f stark naibs~eng nach oben. 1

S a t z 4.4 (Beziehungen zwischen <-, A- und Linkstopologie): (a) Die Links- t n y J n 2 i ~ id :fi?l:??~r C I ? ~ die -C)ber fnpJngie . (h! D i p Linkstopdogie ist feinar a k die "" -"",<.. ""

<-Obertopologie. dnaloges gilt far Rechtstopnlogie ma3 Untertopologien.

K eweis: (a) : 8 = W und A = Y ist trivial. Sei AS I' rnit A f B und A + Y . [ A offen in der A-Obertopologiej * [ A Vereinigung von Durchschnitten je endlich vieler Mengen der Form Y\y A] *[A Vereinigung von Durchschnitten je endlich vieler in der Rechtstopologie abgeschlossener und damit (VALK [IS]) in der Links- iopologie offener Mengen] *[A offon in der Linkstopologie].

(b) : Es ist <y = U A x. Also ist jede von 0 und Y verschiedene in der <-Ober- z<v

topologie offene Menge Vereinigung von Durchschnitten je endlich vieler in der Linkstopologie offener Mengen und damit in der Linkstopologie offen. I

< -0bertopologie und A-Obertopologie fallen bei konnexen 3 zusammen. Uns interessiert jetzt noch, wann die Linkstopologie mit einer der genannten Topolo- gien zusammenfallt. DaB die Konnexitat von 5 dazu bei weitem nicht ausreicht, zeigt die folgende

F e s t s t e l lung 4.3 (Linkstopologie echt feiner als <- und A-) : Das abgeschlos- sene Interval1 [0, l]c Rl mit der Kleiner-gleich-Relation der reellen Zahlen ist ein Beispiel fur eine ordnungsvollstan&ge Totalordnung (in dem Sinne, da13 jede nichtleere Teilmenge eine kleinste obere und eine groBte untere Schranke hat), bei welcher die Linkstopologie echt feiner als die S-Obertopologie und <-Ober- topologie und die Rechtstopologie echt feiner als die s -Untertopologie und -= -Un- tertopologie ist, Beweis: (0) ist in der Linkstopologie offen. (0) 16Bt sich nicht als x7 t;l&&ung - --. - - - von Mengen der Form [O, z) schreiben, ist .1se nach Yeststellung 4.1 in der <-Obertopologie und darnit wegen der Konnexitat von 5 auch in der 5-Obertopologie nicht offen. Analog fur Rechtstopologie und Untertopologie -

iiber {I). Fur Satz 4.5, in welchem eine hinreichende Bedingung fiir die Gleichheit von

Linkstopologie und <-Obertopologie angegeben werden soll, benotigen wir dm 1 4 Optimization, Bd .lo. H. 211979

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L e m m a 4.1 (andere C'iarakterisierung der Linkstopoiogiej : Fur ( Y , A j Quasi- ordnung ist die Linkstopobgie gleich cler ~Wenge akler Anfangss t ijcke, d , h . aller Hengen A s Y mit [ x E A ] A [ y € Y ] i l [ y A x ] * [ y ~ A ] . Analoges gilt fur Rcchtstcpologie und ,.EdstUcke".

Beweis : 0 und Y sind trivjal. Sonst: [As Y offen in der Linkstopologiel- o [ A ist Vereinipung von Mengen der Form A y mit y E P]+[A = U 5 91- +[A 1st Anfangsstuck]. I UEB

S a t z2 4.5 (hinreichende Beding-tlng fur 2 - gleich Linkstopologie) : 1st die konnexe Quasiordnung ( Y, 5 ) eine b ed ing t e A - W o hlor d n u n g in dem Sinne, dap jede nach unten beschrankte nichtleere Teilmenge ,4 Y (d. h. 3 b E Y ?nit b A y ' i y ~ A ) eia A -kleinstes Element hat, dann fullt die 5-Obertopologie und damit wegen der Konnexitat von 5 auch die <-Obertopologie mi t der Linkstopologie zusammen. A,zii;oges f.& Uniertoyoboy.ie .und LqeCJitSi:opiiO~O+.

Eeweis : A = 0 und B = Y ist trivial. Sonst: [A offen in der LinBstopo!ogie] P

*[A ist Anfangsstuck] =- [ x <y fiir alle xE A und yE Y\A] * [ 3 5 -kleinstes a E Y\A mit x <a 5 y fur aiie x E A und y C Y\A] = jA = <aj jA offen in i-iibertopoiogie]. Dsr Rest fo!gt aus Satz 4.4. 1

K o r o l l a r z u Sa t z 4.5 (stark halbstetig glelch .5-halhstetlg) Linter den. Yoraussetzungen von Satz 4.5 gilt: f stark halbstetig nnch oben (unten)]+[f A -halb- stetig nach oben [ ( u n t e n ) ] o [ f <-halbstetig nnch oben (unten)] .

Analog zu dem Vorgehen von PIRZL [15] wollen wir nun noch auf die Umkeh- rung des Maximalelementsatzes in Korollar I und 2 zu Satz 3.2 eingehen.

F e s t s t el l u n g 4.4 (Ordnungskompaktheit bei Existenz eines maximalen Ele- mentes) : Hat die Quasiordnung ( Y , 5 ) ein 5 -maximaies Eiement, dann ist Y in der <-Obertopologie und damit in jeder zu dieser groberen Topologie kompakt. PIRZL [15] bewies diese Aussage fur ( Y , 5 ) Halbordnung. Der Beweis von Prrcz~ lafit sich unmittelbar auf Quasiordnungen iibertragen. 1 s t namlich CjE I' 3 -maxi- mal, dann 1st es in keiner Menge <y und dsmit auch in keiner Vereinigung vor, Durchschnitten je endlich vieler solcher Mengen enthalten. Also braucht man zur nberdeckung von Y mit in der <-Obertopologie offenen Mengen auf jeden Fall auch Y selbst. Dann reicht aber schon eine einzige, nBmlich Y, zur Uber- deckung aus. Analog fur 5 -minimales Element und Kompaktheit bezuglich der <-Untertopologie. Dal3 diese Aussage fiir die 3 -0bertopologie nicht gilt, zeigt das Beispiel: Y:={O, 1, 2, 3 , . . .). [ x 5 y ] : + [ x , yEY\{O) und x z y ] ~ [x=O=y]. - 0 ist maximales Element. Es ist Y = U Y\i A , aber zu je endlich vielen Mengen

i= l - ,,"

der Form Y\i 5 gibt es ein j E Y mit j U Y\i 5 . - Analog fur 3-Untertopologie. i d

Da13 diese Aussage auch fur die Linkstopologie nicht gilt, folgt sofort aus (a) yon Satz 4.4. - Ana!oges gilt fiir Itechtstopolcgie.

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6. Halbstetigkeit der Hiillfunktionen und partielle Halbstet,igkeit

Im Zusltmnienhang niit Ninimassatzen uber Funktionen der Form f : S x I' .--Z hatte uns in [21 und [3] die Ebertragbarkeit der Halbstet'igkeit auf die Hiillfunk- tion einer Familie von Funkt,ionen und die partielle Halbstetigkeit von ha1bstet.i- gen F~mkt~ionen zweier Beranderlicher interessiert. Wir bringen in den folgenden beideri Feststelliingen zwei dieabezugllche PPussagen, deren Beixeise eir~fache Gbertragungen der vom Reeiien her geikufigen Beweise darstellen. Zuniichst die

D efi ni t i o n e n 5. t (Schranken. Hullfunktionen) : Sei (Y, A ) Quasiordnung Wir nennen a E I- obere Schranke von A 5 Y bei d .;- 8, wenn -;( 'd 'y EA. Wir nennen bE Y kleinste obere Schranke von A s I.: bei A+ 0, wenn b kleinstes Element dm- t~ezuglich $ quas!geordneten lvlenge sller o'ueren Suhctrlii-erl vorl A ib t . ErlC- sprechend definieren wir zcntere Schrunke und gro/3te uniere Schranke.

Sei X belleblge Xenge und ( Y, 3 ) Quasiordnung. Sei (f J L E I eine Familie von . . AEt;.!d:;ncca 0 , , - - .i . 2- - 'IY D z n ~ npncen 7 m r :r?drn!ehnun_rr sg den 11n _Rc.c.llpn l~li l irben

Sprachgebrauch J';: 5 - Y obere fIzillfunktion cler Familie (f,jLkl, wenn f ~ l r jedes xc S der Funktiunsu ert j (x) E 1- i;ielnstc obert: Scbranke der Menge ( j , jz i I ; I)z 2 - _t.' jst. Analog fiir ~ m i r r r B~llilljzinktioii / : X - P.

F e s t s t e l lung 5.1 (Halbstetigkeit der Hiillfunktionen) : Fiir (X, z) topologi- scher Raum und (P: A ) Quasiordnung gilt: (a) Wenn (fi)iEI eine Famiiie von nach oben 3-halbstetigen Abbildungen

f i : X - Y und f : X - Y eine untere Hullfunktion von (fi)<,, ist, dann ist f A-halbstet,ig nach oben.

Fiir konncxe ;5' kann man A-halbstetig durch <-halbstetig erset,zen. (b) Wenn konnex und ( f i ) i , , eine endliche Familie von nach oben 3-halb-

stetigen Abbildungen f i : X - Y sowie f : X - Y eine obere Hiillfunktion von (fJi,, ist, dann ist f A-halbstetig nach obcn.

R eweis : S = ist trivial. Wir verwenden folgende Kiirzel: ( I j i(;ej ist untere Schranke; (2) f(s) ist gr6Bte untere Schranke ; (3) f(x) ist ohere Schranke ; (4) f(x) jst kleinste obire Schranke; (5) ist konnex; (6) I ist endlich.

(2) . .

(a): Fiir aEY gilt: [ z ~ f - ~ ( a 3 ) ] ~ [ a 3 f ( x ) ~ f ~ ( x ) V i ~ I ] ~ [ x ~ n f;l(aA)]. (1) i f I

Also gilt : [ f , 5-halbstetig nach obi; ~ i I] +[fi1(a 3) abgeschlosien Vi E I, a Y] *[fFJ(a 5 ) abgeschlossen VaE Y] *[/ A-halbstetig nach oben].

( J L ( 6 )

(b) : Fur nE I7 gilt: [z4f-l(a A)] [Ax) <a] [fi(x) d f (x ) <a 'die I] ' [fi(x) <a ( 5 ) (3)

( 5 ) V i ~ ~ ] ~ [ $ i € I / a ~ f ~ ( x ) ] ~ [ x ~ Uf;'(ad)], also !-l(a;5')= U f i 1 ( a 5 ) . ,Also

.;€I iEI ('3

gilt: [f, d-halbstetig nach oben ' d i ~ l ] *[f;'(a 5 ) abgeschlossen ViEI , a € Y] =)

( 6 ) - =) [f -$(a 3 ) abgeschlossen Y a E Y] =. [f A -halbstetjg nach oben]. I

P e s t s t e l l u n g 5.2 (partiell halbstetige Abbildungen): X und Y seien je mit 14'

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einer Topologie und X x I; mit der Produkttopologie versehen, f : X x Y -Z sei eine Abbildung in eine Quasiordnung (2, d). Dam gilt:

(a) M7enn f A-halbstetig nach oben isti dann ist fur jedes sE9 uiid y e Y a ~ ~ c h f(x, ) und f ( , y) 3-halhstetig naeh oben.

(b) Wenn f <-halbstetig nach oben ist, d a m ist fur jedes XEX und ye P auch J(x , . ) und f( . , y) <-halbstetig nach oben.

Anahges gilt fiir A-lialbstetig nakh i l l ~ t e~ i uiid <-haibstetig nach unten.

Be w ei s : Die durch o,(y) : = G,(x) : = (x, y) definierten Abbildungen o, : Y +

-X x Y und o,: X - X X Y sind stetig ([61, S. 83). Also: (a) : Mit {(x, y) C X X Y / z d f (x, y)) sind auch {y c Y 1 z A f (o,(y))} und (x E X j z 3 d f (o,(x))l abgeschlossen.

i < (bj : ?"lit (@, y) E jyii y , j p , y; <,?, a;nd aiici; y ' $!" (Y)) +; I I \ x a d { z ~ LY f (a,(x)) <z) offen. I

[I] BAUER, H.: Wahrscheinlichkeitstheorie und Grunclziige der MaBtheorie, Bd. I . Berlin 1964.

[ 2 ] BEERINGER, F. A.: Optirrlale Entscheidungen bei Unsicherheit und Spiele unter Aus- nutzung von Fehlern des Gegners. Habil~tationsschrift. Fachhereich YMathematik, Technische Universitat Miinchen 1975.

[3] BEERINGER, F. A.: On Optimal Decisions under Conlplete Ignorance. EJOR 1 r , n r n \ One "A,? (13 I I ) , A Y 3 - 3 u O .

[4] BEHRINGER, F. A. : Quasikonkav-quasikonvexe Spiele unter Ausnutzung gegnerischer Schwachen ucd lexikographische Optimierung. Math. Operationsforsch. Statist., Ser. Optimization 8 (1977), 75-88.

[5] BEHRINGER, F . A. : Lesicogrqhic Quasiconcave Mu!t,iobjective Programming. Ztschr. Oper. Ees. 2 1 ( i977) , 103-116.

[6] BERGE, C.: Espace. Topologiques. Paris 1966. [7] BIRKHOFF, G.: Latl ice Theory. American Mathematical Society Colloquium Publi-

cations 25. Providence 1948. [8] DEBREU, G.: Representation of a Preference Ordoring by a Nunlerical Function; in

R . M. THRALL, C. H. COOMBS, and R . L. DAVIS (Hrsg.): Decision Processes, New York 1954, 159-165.

[9] DUGUNDJI, J . : Topology. Boston 1966. [lo] ELSTER, K.-H. and R. NEHSE: Necessary and Sufficient Conditions for the Order-

Completeness of Partially Ordered Vector Spaces. Math. Nachr. 81 (1978), 301-311. [ i l l HAJNAL, A., and G. PETRUSKA: Remarks on DARBOTJX Functions. Acta Mat. Acad.

Sci. Hung. 20 (1969), 13-20. [12] KAMKE, E. : Mengenlehre. Berlin 1965. 1131 KELLEY, J. L.: General Topology. London 1955. [14] OWE=, P. V.: Fundamental Concepts of Topology. New York 1972. [15] PIRZL, I.: Ein Beitrag zu Existenzkriterien in der Optimierungstheorie. Computing 8

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stetlge Abbildungen. Mittellungen der Gesellschaft fur Sfathematik und Datenverar- beltling S;. 16 Bonn 1975.

Summary

If j is a real-valued function which is upper seniicontinuous on a compact subset of a topological space, then it attains a maximal value. There are similar results for partial- order-valued fnnctions. This paper assumes f t,o be quasi-order-valued. Semicontinuity will be defined via level sets of the form {%EX 1 a d f ( x ) ) or {x€X I j(z) <a). Two order- induced topologies will allow the senlicontinulty of j to be forniulatcd as continuity relative . to these topologies. I n addition to the question of the existence of maximal values of j, the following will he discusserl: properties of the order-induced topologies; semicontinuity of the greato& iuwar i;;.i;:ld of a family of sen;izo>tinuc~ls f::nctions; psrtia! se2:ico~.tinuitv of functions of the form f : X x Y -2.

Si f est une fanction numerique definie e t semi-continue sup6rieurement dans un sous- ensemble compact C d'une espacc topdogique X, f atteint d ins C une valeur maximale. Ce r6sultat est connu egalement pour les j de valeurs d'un ordre partiel. Ce travail 6tudie le probleme dans le cas oh les valeurs de la fonction f sont prises d'un pr6-ordre. La semi- continuit6 est d6finie par les ensembles {x EX / a d f(x)} ou {xEX / j(z) <a). Deus topo- logies engendrees par le pr6-ordre permettent de d6finir la semi-continuit6 comnle conti- nuit6. Apar t la question de 1'6xistence d'une valeur maximale ce travail Btudie les p r o b l h e s suivants : propridt6s des topologies engendr6es par le pr6-ordre, semi-continuit6 de la borne snpBrie~re 9 1 1 inf6rieure d'une fnmille de fonctions semi-continues? semi-continuit6 partielle des forlctions j: X x Y -2.

Eingereicht bei der Redaktion: 26. 1. 1978; revidierte Fassung: 3. 10. 1978

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