Zusammenfaßung:

Diese Doktorarbeit untersucht einige Verfahren zur Behandlung von Dio-phantischen Gleichungen. Wir behandeln insbesondere den Zusammne-hang zwischen Diophantischer Analysis und der Theorie vonKreisteilungskörper.

In Kapitel 2 wird eine kurze Einführung in den Methoden der Diophantis-chen Approximation, die wir in dieser Arbeit verwendeten, gegeben. Ins-besondere werden die Begriffe von Höhe und logarithmischen grösstengeminsamen Teiler eingeführt.

Im darauffolgenden Kapitel 3, wird eine Vermutung von Thoralf Skolemaus dem Jahr 1937 behandelt, betreffend einer Diophantischen Gleichung.Sei K ein Zahlkörper, α1, . . . , αm, λ1, . . . , λm nicht verschwindende alge-braische Zahlen aus K und S eine endliche Menge von Stellen aus K,die alle unendlichen Stellen enthält und so, dass der Ring der S-ganzenZahlen

OS = OK,S = {α ∈ K : |α|v ≤ 1 für Stellen v /∈ S}

auch λ1, . . . , λm, α1, . . . , αm, α−11 , . . . , α−1m enthält.

Für jedes n ∈ Z, sei A(n) = λ1αn1 + · · · + λmαnm ∈ OS . Skolem ver-mutete [S1]:

Conjecture 0.1 (Exponential Local-Global Principle). Angenommen, dassfürjedes nicht triviale Ideal a im Ganzheitsring OS , ein n ∈ Z existiert, so dassA(n) ≡ 0 mod a; dann existiert ein n ∈ Z, so dass A(n) = 0.

Sei Γ die durch α1, . . . , αm erzeugte multiplicative Gruppe. Dann istΓ Produkt einer endlichen abelschen Gruppe mit einer freien abelschenGruppe von endlichem Rang. Wir beweisen die Vermutung für den Fall indem der freie Teil den Rang eins hat.

Im Kapitel 4 wird ein früheres Ergebnis von Abouzaid ([A]) verallgemein-ert. Sei F (X,Y ) ∈ Q[X,Y ] ein Q-unzerlegbares Polynom. In 1929 bewiesSkolem [S2] folgenden schönen Satz:

Theorem 0.2 (Skolem). Sei

F (0, 0) = 0.

Dann ist die Menge der Lösungen Ld = {F (X,Y ) = 0 : X,Y ∈ Zund(X,Y ) =d} endlich, für jeden d > 0.

In 2008, verallgemeinerte Abouzaid [A] dieses Ergebnis, indem er inZahlenkörper arbeitete. Er bewies folgenden Satz:

Theorem 0.3 (Abouzaid). Sei (0, 0) ein nicht - singurlärer Punkt der ebenenKurve F (X,Y ) = 0. Sei m = degX F, n = degY F, M = max{m,n}

i

ii

und ε genüge den Ungleichungen 0 < ε < 1. Dann gilt für jede Lösung(α, β) ∈ Q̄2 von F (X,Y ) = 0, entweder

max{h(α),h(β)} ≤ 56M8ε−2hp(F ) + 420M10ε−2 log(4M),oder

max{|h(α)− nlgcd(α, β)|,|h(β)−mlgcd(α, β)|} ≤ εmax{h(α), h(β)}++ 742M7ε−1hp(F ) + 5762M

9ε−1 log(2m+ 2n).

Die Bedingung, dass (0, 0) ein nicht singulärer Punkt sei, ist eine Ein-schränkung in diesem Ergebnis. Wir konnten diese Einschränkung aufheben,in dem wir eine leicht veränderte Version des ”absoluten” Lemma von Siegelund des Eisenstein-Lemmas verwendeten. Folgender Satz ergibt sich:

Theorem 0.4. Sei F (X,Y ) ∈ Q̄[X,Y ] ein total unzerlegbarer Polynom mitF (0, 0) = 0. Sei m = degX F, n = degY F undr = min

{i+ j : ∂

i+jF∂iX∂jY

(0, 0) 6= 0}

. Sei ε ∈ R mit 0 < ε < 1. Dann giltfür jede Lösung α, β ∈ Q̄ von F (X,Y ) = 0, entweder:

h(α) ≤ 200ε−2mn6(hp(F ) + 5)oder∣∣∣ lgcd(α,β)r − h(α)n ∣∣∣ ≤ 1r (εh(α) + 4000ε−1n4(hp(F ) + log(mn) + 1)+

+ 30n2m(hp(F ) + log(nm))).

Im Kapitel 5 werden einige Ergebnisse aus der Theorie derKreisteilungskörper bewiesen, um einen systematischen Lösungsvorgangfür bestimmte exponentielle Diophantische Gleichungen darzustellen. Wirbesprechen auch einige Eigenschaften von Gruppenringe und von Jacobi-Summen. Darauf basierend wird in Kapitel 6 eine interessante Anwendungentwickelt. Wir betrachten die Diophantische Gleichung

(1) Xn − 1 = BZn,wobei B ∈ Z als Parameter zu verstehen ist. Sei ϕ∗(B) := ϕ(rad (B)), mitrad (B) dem Radikal von B, und nehme an, dass

(n, ϕ∗(B)) = 1.(2)

Zudem definieren wir für festen B ∈ N>1N (B) = {n ∈ N>1 | ∃ k > 0 such that n|ϕ∗(B)k}.

Falls p eine ungerade Primzahl ist, dann bezeichnen wir mit CF das Be-dingungspaar

I Die Vermutung von Vandiver ist wahr für p: somit ist die Klassenzahl h+pdes maximalen reellen Teilkörpers des p-ten Kreisteilungskörpers Q[ζp]nicht durch p teilbar.

II Der irregularitätsindex ist beschränkt durch ir(p) <√p− 1; es gibt also

höchstens√p−1 ungerade k < p für denen der Zähler der Bernoullizahl

Bk ≡ 0 mod p.

iii

Die besten Ergebnisse sind zur Zeit auf Parameter B eingeschränkt,die durch Primzahlen q ≤ 13 teilbar sind [BGMP] und es sind vollständigeLösungen für B < 235 ([BBGP]) bekannt.

Wenn man von der Erwartung ausgeht, dass die Gleichung keine Lösun-gen besitzt, ist es natürlich vom Falle auszugehen, in dem der Exponent neine Primzahl ist: die Existenz von Lösungen für einen zusammengeset-zten Exponent n impliziert die Existenz von Lösungen für dessen Primteiler,als Exponent.

Das Hauptergebnis der Arbeit besteht darin, die Gleichung (1), unterVoraussetzung dass n prim ist und (2) gilt, auf dem besser verstandenenDiagonalfall der Gleichung von Nagell – Ljunggren zu beziehen:

Xn − 1X − 1

= neY n, e =

{0 Falls X 6≡ 1 mod n,1 sonst.

Damit können Ergebnisse aus [M] verwendet werden und wir beweisen

Theorem 0.5. Sei n prim und B > 1 eine ganze Zahl mit (ϕ∗(B), n) =1. Angenommen, die Gleichung (1) habe eine nicht-triviale Lösung, dieverschieden ist von n = 3 und (X,Z;B) = (18, 7; 17), sei X ≡ u mod n, 0 ≤u < n mit e = 1 falls u = 1 and e = 0 sonst. Dann gilt:1. n > 163 · 106.2. X − 1 = ±B/ne und B < nn.3. Falls u 6∈ {−1, 0, 1}, dann wird die Bedingung CF (II) durch n nicht erfüllt

und

2n−1 ≡ 3n−1 ≡ 1 mod n2, undrn−1 ≡ 1 mod n2 für alle r|X(X2 − 1).

Falls u ∈ {−1, 0, 1}, dann ist die Bedingung CF (I) für n falsch.

Aus diesem Satz folgern wir:

Theorem 0.6. Falls die Gleichung (1) für ein festesB, das die Bedingungen(2) erfüllt, eine Lösung besitzt, dann ist entweder n ∈ N (B) oder es gibteine Primzahl p, die zu ϕ∗(B) teilerfremd ist und ein m ∈ N (B), so dassn = p · m. Zudem bilden Xm, Y m eine Lösung von (1) für den primenExponent p und erfüllen somit die Bedingungen in Satz 0.5.

Dies verbessert die aktuelle Ergebnisse wesentlich.Im Appendix wird eine ausführliche Beweisführung des Theorems 3 in

[M] angegeben, das im Kapitel 6 eine wesntliche Rolle spielt.

KEYWORDS

Diophantine Equations, Cyclotomic Fields, Nagell-Ljunggren Equation,Skolem, Abouzaid, Exponential Diophantine Equation, Baker’s Inequality,Subspace Theorem.

iv

REFERENCES

[A] M. ABOUZAID, Heights and logarithmic gcd on algebraic curves, Int. J. NumberTh. 4, pp. 177–197 (2008).

[BBGP] A.BAZSO AND A.BÉRCZES AND K.GYÖRY AND A.PINTÉR, On the resolution ofequations Axn − Byn = C in integers x , y and n ≥ 3, II, Publicationes Mathe-maticae Debrecen 76, pp. 227 – 250 (2010).

[BGMP] M. A. BENNETT, K. GYŐRY, M. MIGNOTTE AND Á. PINTÉR, Binomial Thue equa-tions and polynomial powers, Compositio Math. 142, pp. 1103–1121 (2006).

[M] P. MIHĂILESCU Class Number Conditions for the Diagonal Case of the Equationof Nagell and Ljunggren, Diophantine Approximation, Springer Verlag, Develop-ment in Mathematics 16, pp. 245–273 (2008).

[S1] TH. SKOLEM, Anwendung exponentieller Kongruenzen zum Beweis derUnlösbarkeit gewisser diophantischer Gleichungen, Avhdl. Norske Vid. Akad.Oslo I 12, pp. 1–16 (1929).

[S2] T. SKOLEM, Lösung gewisser Gleichungssysteme in ganzen Zahlen oder ganz-zahligen Polynomen mit beschrnktem gemeinschaftlichen Teiler, Oslo Vid. Akar.Skr. I, 12 (1929).