Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-1
23.03.17
2. Biegung
● Wie die Normalkraft resultiert auch das Biegemoment aus einer Normalspannung.
● Das Koordinatensystem des Balkens wird so gewählt, dass die Flächenschwerpunkte der Querschnitte auf der x-Achse liegen.
● Im Folgenden wird die Normalspannung für den Fall der ebenen Biegung ermittelt.
● Die ebene Biegung wird meist etwas ungenau als gerade Biegung bezeichnet.
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23.03.17
2. Biegung
● Ebene Biegung liegt vor,
– wenn der Querschnitt symmetrisch bezüglich der xz-Ebene ist,
– wenn die am Balken an-greifenden Kräfte in der xz-Ebene liegen,
– wenn die am Balken an-greifenden Momente um die y-Achse drehen.
x
zy
Fq
M
S
Die verformte Balkenachse liegt in der xz-Ebene.
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23.03.17
2. Biegung
2.1 Spannungsermittlung
2.2 Zulässige Spannung
2.3 Kerbwirkung
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23.03.17
2.1 Spannungsermittlung
● Betrachtet wird der Fall, dass die Normalkraft null ist.
● Aus der Statik folgt:
– Die resultierende Normalkraft der gesuchten Spannung muss null sein:
– Das resultierende Moment der ge-suchten Spannung um die y-Achse muss gleich dem Biegemoment sein:
∫A
σ( x , y , z)dA=0
∫A
z σ(x , y , z)dA=M y (x) z
y
σdA
y
z
dA
S
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2.1 Spannungsermittlung
● Kinematik:
– Die beiden Bedingungen für die Resultierenden reichen nicht aus, um den Verlauf der Spannung über den Quer-schnitt zu ermitteln.
– Zusätzlich wird angenommen, dass sich der Balken so ver-formt, dass ebene Querschnitte eben bleiben und sich um die y-Achse drehen.
– Diese Annahme wird nach Jakob I. Bernoulli (1655 – 1705) als Bernoulli-Hypothese bezeichnet.
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23.03.17
2.1 Spannungsermittlung
– Mit der Bernoulli-Hypothese gilt für die Verschiebung u in x-Richtung:
z
u
wx x x
z z z
ϕ
u( x , z)z
=tan (ϕ(x ))≈ϕ( x) → u (x , z )=ϕ( x) z
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2.1 Spannungsermittlung
– Daraus folgt für die Deh-nung:
– Mit dem Hookeschen Ge-setz gilt für die Span-nung:
ϵ(x , z)=∂u∂ x
=d ϕ
dxz
σ( x , z)=E ϵ(x , z)=E d ϕ
dxz
– Die Spannung infolge der Biegung wird als Biege-spannung bezeichnet.
– Der Winkel ϕ heißt Bie-gewinkel.
– Die Ableitung dϕ/dx gibt die Krümmung der Biege-linie an.
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2.1 Spannungsermittlung
● Ermittlung der Biegespannung:
– Mit der Beziehung für die Biegespannung berechnet sich das resultierende Biegemoment zu
– Mit dem Flächenträgheitsmoment
folgt:
– Das Produkt EI y wird als Biegesteifigkeit bezeichnet.
M y (x)=∫A
z σ( x , z)dA=E d ϕ
dx ∫Az2 dA
I y=∫A
z2 dA
M y (x)=E I yd ϕ
dx
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2.1 Spannungsermittlung
– Für die Krümmung folgt:
– Damit gilt für die Biege-spannung:
– Die Biegespannung kann aus dem Biegemoment und dem Flächenträg-heitsmoment berechnet werden. Sie hängt linear vom Faserabstand z ab.
– Entlang der y-Achse ist die Biegespannung null. Die y-Achse stimmt mit der Nulllinie überein.
– Ein positives Biegemoment My führt auf der Seite mit positi-ven Werten von z zu einer Zugspannung.
d ϕ
dx=
M y (x)
E I y
σ( x , z)=M y(x )
I y
z
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2.1 Spannungsermittlung
– Die x-Achse wird auch als neutrale Faser bezeichnet.
● Flächenträgheitsmoment:
– Das Flächenträgheitsmoment ist eine geometrische Größe des Querschnitts.
– Es beschreibt den Einfluss der Querschnittsgeometrie auf die Biegesteifigkeit.
– Für viele Querschnittsformen sind die Flächenträgheitsmo-mente tabelliert.
– Die Flächenträgheitsmomente von genormten Profilen kön-nen den entsprechenden Normen entnommen werden.
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2.1 Spannungsermittlung
● Widerstandsmoment:
– Die betragsmäßig größte Biegespannung tritt in den Punkten auf, die den größten Abstand |z|max von der Nulllinie haben:
|σ(x)|max=|M y(x)|
I y
|z|max
W y=I y
|z|max
|σ(x)|max=|M y(x)|
W y
– Mit dem Widerstands-moment
gilt:
– Für Normprofile sind die Widerstandsmomente in den Normen angegeben.
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2.1 Spannungsermittlung
● Beispiel: T-Profil
– Gegeben:● Rundkantiger hochstegiger
T-Stahl T 80 DIN 1024● Biegemoment: My = 2500 Nm
– Gesucht:● Wert und Ort der betrags-
mäßig größten Normalspan-nung
b
e
h
y
z
A B
C
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2.1 Spannungsermittlung
– Der Norm können folgende Daten entnommen werden:● Abmessungen: h = b = 80 mm, e = 2,22 cm● Flächenträgheitsmoment: Iy = 73,7 cm4
● Widerstandsmoment: Wy=12,8 cm3
– Ergebnisse:● Die betragsmäßig größte Spannung berechnet sich zu
● Sie tritt als Zugspannung im Punkt C auf.
|σ|max=2500⋅103 Nmm12,8⋅103 mm3 =195,3 MPa
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2.1 Spannungsermittlung
● Beispiel: Rechteckquerschnitt
– Mit folgt für das Flächen-trägheitsmoment:
– Mit gilt für das Widerstandsmoment:
y
z
b
h
dz
dA
dA=b dz
I y=∫A
z2 dA= ∫−h /2
h /2
z2 b dz
=b [ z3
3 ]−h /2
h /2
=b ( h3
24+
h3
24 )= 112
b h3
zmax=h /2
W y=I y
zmax
=b h3
122h=
b h2
6
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2.2 Zulässige Spannung
● Duktile Werkstoffe:
– Die Streckgrenze wird zuerst in der äußersten Randfaser des Balkens erreicht.
– Bei einer weiteren Zunahme des Biegemoments wächst die Spannung im plastischen Bereich weniger stark an als bei einem proportionalen Zusammenhang.
– Dafür steigt die Spannung im noch elastischen inneren Be-reich stärker an.
– Dieser Effekt wird als Stützwirkung bezeichnet.
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2.2 Zulässige Spannung
z
x, σRe
Plastischer Bereich
Elastischer Bereich
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2.2 Zulässige Spannung
– Für die Auslegung wird die 0,2 %-Biegedehngrenze ver-wendet:
– Dabei ist My0,2 das Biegemoment, bei dem die größte auftre-tende plastische Dehnung nicht größer als 0,2 % ist.
– Das Verhältnis
wird als Dehngrenzenverhältnis oder Stützziffer bezeichnet.
– Das Dehngrenzenverhältnis hängt von der Querschnitts-form und von der Streckgrenze ab.
σb 0,2=M y 0,2
W y
>Re
n0,2=σb 0,2
Re
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2.2 Zulässige Spannung
– Für die Sicherheit gegen Fließen und die zulässige Span-nung gilt:
– Anhaltswerte für die Sicherheit liegen zwischen 1,2 und 2,0.
● Spröde Werkstoffe:
– Fließen tritt nicht auf. Das Versagen erfolgt durch Bruch.
– Infolge von nichtlinearem Verhalten vor dem Bruch sowie unterschiedlichem Verhalten bei Zug und bei Druck ist das Biegemoment MyB beim Bruch größer als bei einer linearen Spannungsverteilung.
S F=n0,2 Reσmax
, σ zul=n0,2 Re
S F
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2.2 Zulässige Spannung
– Für die Auslegung wird die Biegefestigkeit
verwendet.
– Für die Sicherheit gegen Bruch und die zulässige Spannung gilt:
– Anhaltswerte für die Sicherheit liegen zwischen 4,0 und 9,0.
σbB=M yB
W y
>Rm
S B=σbBσmax
, σ zul=σbB
S B
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2.3 Kerbwirkung
● Formzahl:
– Die Auswirkung einer Kerbe wird wie beim Stab durch eine Formzahl beschrieben:
– Dabei ist σbk die größte in der Kerbe auftretende Spannung und σbn die Biegenennspannung. Die Biegenennspannung wird mit dem Widerstandsmoment des gekerbten Quer-schnitts berechnet:
αkb=σbkσbn
σbn=M y
W yn
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2.3 Kerbwirkung
– Beispiel:
t t
r
B
M
b
M
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2.3 Kerbwirkung
● Sicherheit und zulässige Spannung:
– Gegen Fließen:
– Gegen Bruch:
S F=n0,2 Reαkb σbn
, σ zul=n0,2 Re
αkb S F
S B=σbB
αkb σbn, σ zul=
σbB
αkb S B
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