4. Verzerrungen - wandinger.userweb.mwn.dewandinger.userweb.mwn.de/TM2/v2_4.pdf · Prof. Dr....

Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.4-1

09.07.19

4. Verzerrungen

● Wird ein Körper belastet, so ändert sich seine Geometrie.

● Die Punkte des Körpers ändern ihre Lage. Sie erfahren eine Verschiebung.

● Ist die Verschiebung für benachbarte Punkte unterschied-lich, so wird der Körper verzerrt:

– Der Abstand von zwei Punkten ändert sich.

– Der Winkel zwischen drei Punkten ändert sich.


09.07.19

4. Verzerrungen


09.07.19

4. Verzerrungen

4.1 Verschiebung und Verzerrung

4.2 Verzerrungstransformation

4.3 Messung der Verzerrungen


09.07.19


● Verschiebung:

– Die Verschiebung der Punkte des Körpers wird durch einen ortsabhängigen Verschiebungsvektor u(P) beschrieben:

P

P'

F

u

x

yxP '=xP +u (xP , yP)

y P '=yP+v (x P , yP)

x (P ' )=x (P )+u (P )


09.07.19


● Verzerrung:

– Ein kleines Element des Körpers erfährt eine Translation, eine Rotation und eine Verzerrung.

– Die Verzerrung führt zu einer Änderung der Form des Elementes:

● Längenänderungen werden durch Dehnun-gen beschrieben. P

P'

● Winkeländerungen wer-den durch Scherungen beschrieben.


09.07.19


● Zusammenhang zwischen Verschiebung und Verzer-rung:

– Betrachtet werden drei Punkte P, Q und R auf dem Körper, die so gewählt sind, dass die Strecken PQ und PR parallel zu den Achsen des Koordinatensystems sind.

– Die Punkte werden durch dieVerschiebung auf die PunkteP', Q' und R' abgebildet.

x

y

P Q

R

P'

Q'

R'

Δx

Δy β

α


09.07.19


– Koordinaten:● Unverformt:

● Verformt:

P : ( xP , yP )

Q : ( xP+Δ x , yP )

R : ( xP , yP+Δ y )

P ' : ( x P ' , yP ' )= ( x P+u( xP , yP) , yP+v (x P , yP ))

Q ' : ( xQ ' , yQ ' )=( xP+Δ x+u(x P+Δ x , yP ) , yP+v ( xP+Δ x , yP ))

R ' : ( x R ' , yR ' )= ( x P+u( xP , yP+Δ y) , yP+Δ y+v ( xP , yP+Δ y))


09.07.19


● In der Umgebung von Punkt P gilt für die Verschiebungen:

u( xP+Δ x , yP)=u(x P , yP )+∂u∂ x Δ x

v (x P+Δ x , yP )=v ( xP , yP )+∂v∂ x Δ x

u( xP , yP+Δ y )=u( xP , yP )+∂u∂ y Δ y

v (x P , yP+Δ y )=v ( xP , yP)+∂v∂ y Δ y


09.07.19


● Daraus folgt für die Koordinaten im verformten Zustand:

xQ '=xP+Δ x+u( x P , yP )+∂u∂ x Δ x=x P '+Δ x+

∂ u∂ x Δ x

yQ '=yP+v ( xP , yP)+∂v∂ x Δ x=yP '+

∂v∂ x Δ x

x R '=x P+u(x P , yP )+∂u∂ y Δ y=x P '+

∂u∂ y Δ y

yR '=yP+Δ y+v (x P , yP )+∂v∂ y Δ y=yP '+Δ y+

∂v∂ y Δ y

x P '=x P+u(x P , yP ) , yP '=yP+v ( xP , yP )


09.07.19


– Längenänderungen:● Länge der Strecke P'Q' :

● Für kleine Verzerrungen gilt:

● Damit folgt:

● Mit gilt für die Dehnung:

|P ' Q '|=√ ( xQ '−xP ' )2+ ( yQ '−yP ' )

2=√(1+

∂u∂ x )

2

+( ∂v∂ x )

2

Δ x

( ∂v∂ x )

2

≪1

|P ' Q '|≈(1+∂u∂ x )Δ x

|PQ|=Δ x ϵ x=|P ' Q '|−|PQ|

|PQ|=

∂u∂ x


09.07.19


● Entsprechend folgt:

– Winkeländerung:● Für die Änderung des Winkels QPR gilt:● Für kleine Winkeländerungen gilt:

ϵy=|P ' R '|−|PR|

|PR|=

∂v∂ y

γxy=α+β

α≈ tan(α)=x R '−x P '

yR '−yP '=

∂u∂ y Δ y

(1+∂v∂ y )Δ y

≈∂ u∂ y


09.07.19


● Damit gilt für die Scherung:

– Ergebnis:● Wenn die Verschiebungsgradienten klein sind, gilt für die Ver-

zerrungen:

β≈ tan (β)=yQ '−yP '

xQ '−x P '=

∂v∂ x Δ x

(1+∂u∂ x )Δ x

≈∂v∂ x

γxy=∂u∂ y +

∂v∂ x

ϵx=∂u∂ x , ϵy=

∂v∂ y , γ xy=

∂u∂ y +

∂v∂ x


09.07.19

A = A'

B

CD

1

1

x

y

b

a + b

a

c

d c + d

B'

C'

D'


● Beispiel:

– Gegeben sind die Ver-schiebungen

– Die Verzerrungen be-rechnen sich zu

u (x , y)=a x+b yv (x , y )=c x+d y

ϵx=∂u∂ x

=a , ϵy=∂v∂ y

=d

γxy=∂ u∂ y

+∂v∂ x

=b+c


09.07.19


● Die bisher gefundenen Dehnungen geben an, wie sich die Längen von Strecken entlang der Koordinatenachsen än-dern.

● Die bisher gefundene Scherung beschreibt die Änderung des Winkels zwischen zwei Strecken entlang der beiden Koordinatenachsen.

● Nun sollen die Dehnungen für beliebig orientierte Stre-cken und die Scherung für zwei beliebige senkrecht auf-einander stehende Strecken berechnet werden.

● Die Aufgabe lässt sich durch Umrechnung der Verzerrun-gen in ein gedrehtes Koordinatensystem lösen.


09.07.19


● Drehung des Koordinatensystems:

– Koordinaten von Punkt P:

– Mit β = α – ϕ folgt: α ϕ

β

x

yP

r ξ

η

x=r cos(α) , y=r sin (α)

ξ=r cos(β) , η=r sin(β)

ξ=r cos(α−ϕ)=r cos(α)cos(ϕ)+r sin (α)sin (ϕ)

=x cos(ϕ)+y sin (ϕ)

η=r sin (α−ϕ)=r sin (α)cos(ϕ)−r cos(α)sin (ϕ)

=y cos(ϕ)−x sin(ϕ)


09.07.19


– Die Umrechnung vom gedrehten in das ursprüngliche Koor-dinatensystem erfolgt mit dem Winkel -ϕ.

– Damit lauten die Transformationsgleichungen für die Koor-dinaten:

– Die Komponenten des Verschiebungsvektors berechnen sich aus den Differenzen der Koordinaten. Sie transformie-ren sich daher wie die Koordinaten:

ξ = x cos(ϕ) + y sin (ϕ)

η = −x sin (ϕ) + y cos(ϕ), x = ξ cos(ϕ) − ηsin(ϕ)

y = ξ sin (ϕ) + ηcos(ϕ)

uξ = u cos(ϕ) + v sin (ϕ)

vη = −u sin(ϕ) + v cos(ϕ)


09.07.19


● Ableitungen der Verschiebungen:

– Zur Berechnung der Verzerrungen im gedrehten System werden die Ableitungen der Verschiebungen im gedrehten System nach ξ und η benötigt:

∂ uξ

∂ ξ=

∂ uξ

∂ x∂ x∂ ξ

+∂uξ

∂ y∂ y∂ ξ

=( ∂ u∂ x cos(ϕ)+

∂v∂ x sin (ϕ))cos(ϕ)

+( ∂u∂ y cos(ϕ)+

∂v∂ y sin (ϕ))sin (ϕ)

=∂ u∂ x cos2

(ϕ)+(∂u∂ y +

∂v∂ x )sin (ϕ)cos(ϕ)+

∂v∂ y sin2

(ϕ)


09.07.19


– Entsprechend folgt:

∂ uξ

∂η=

∂u∂ y cos2

(ϕ)−( ∂u∂ x −

∂v∂ y )sin (ϕ)cos(ϕ)−

∂v∂ x sin2

(ϕ)

∂vη

∂ξ=−

∂u∂ y sin2

(ϕ)−(∂u∂ x −

∂v∂ y )sin (ϕ)cos(ϕ)+

∂v∂ x cos2

(ϕ)

∂vη

∂η=

∂u∂ x sin2

(ϕ)−(∂u∂ y +

∂v∂ x )sin (ϕ)cos(ϕ)+

∂v∂ y cos2

(ϕ)


09.07.19


● Verzerrungen im gedrehten Koordinatensystem:

– Mit den Beziehungen für die Ableitungen im gedrehten Ko-ordinatensystem und für die Verzerrungen im Ausgangssys-tem folgt:

ϵξ=∂ uξ

∂ ξ=ϵx cos2

(ϕ)+γxy sin (ϕ)cos(ϕ)+ϵy sin2(ϕ)

ϵη=∂vη

∂η=ϵx sin2

(ϕ)−γ xy sin (ϕ)cos(ϕ)+ϵy cos2(ϕ)

γξ η=∂uξ

∂η+

∂vη

∂ξ=γxy ( cos2

(ϕ)−sin2(ϕ))−2(ϵx−ϵy)sin (ϕ)cos(ϕ)


09.07.19


– Mit den trigonometrischen Beziehungen

folgt:

2 cos2(ϕ)=1+cos(2 ϕ) , 2 sin2

(ϕ)=1−cos(2ϕ)

2 sin (ϕ)cos(ϕ)=sin (2ϕ) ,

ϵξ =12(ϵx+ϵy) +

12(ϵx−ϵy)cos(2ϕ) +

γxy

2sin (2 ϕ)

ϵη =12(ϵx+ϵy) −

12(ϵx−ϵy)cos(2ϕ) −

γxy

2sin (2 ϕ)

γξ η

2= −

12(ϵx−ϵy)sin (2 ϕ) +

γ xy

2cos(2 ϕ)


09.07.19


● Bemerkungen:

– Die Dehnung εξ beschreibt die Längenänderung einer Stre-cke, die mit der x-Achse den Winkel ϕ einschließt.

– Die Verzerrungen εx , εy und εxy = γxy /2 transformieren sich genauso wie die Spannungen. Sie werden als Tensorver-zerrungen bezeichnet.

– Im Gegensatz dazu heißen die Verzerrungen εx , εy und γxy Ingenieurverzerrungen.


09.07.19


● Beispiel:

– Gegeben:

– Gesucht: Dehnung in Richtung ϕ = 30°

– Lösung:

ϵx=1,034⋅10−3 , ϵy=−5,030⋅10−4 , γ xy=−7,568⋅10−6

12(ϵx+ϵy)=2,655⋅10−4 , 1

2(ϵx−ϵy)=7,685⋅10−4

ϵξ=2,655⋅10−4+7,685⋅10−4 cos(60 ° )−3,784⋅10−6 sin (60 °)

=6,465⋅10−4

γxy

2=−3,784⋅10−6


09.07.19


● Hauptachsen:

– Wie bei den Spannungen gibt es zwei senkrecht aufeinan-der stehende Richtungen, für die die Dehnungen Extrem-werte annehmen und die Scherung verschwindet.

– Diese Richtungen heißen Hauptdehnungsrichtungen.

– Der rechte Winkel zwischen Linien entlang der Hauptdeh-nungsrichtungen wird durch die Verzerrung nicht verändert.

– Die Hauptdehnungsrichtungen berechnen sich zu

tan (2 ϕE )=2 ϵxy

ϵx−ϵy=

γ xyϵx−ϵy


09.07.19


– Die zugehörigen Dehnungen sind die Hauptdehnungen.

– Wie bei den Spannungen folgt für die Hauptdehnungen:

– Bei Verwendung von Ingenieurverzerrungen gilt:

ϵ1/2=ϵx+ϵy

2±√(

ϵx−ϵy

2 )2

+ϵxy2

ϵ1/2=ϵx+ϵy

2±√(

ϵx−ϵy

2 )2

+14

γxy2


09.07.19


● Dehnungen lassen sich mit Dehnungsmessstreifen (DMS) messen, die auf die Oberfläche des Bauteils geklebt wer-den.

● Dabei wird ausgenutzt, dass die Änderung des elektri-schen Widerstands eines DMS proportional zu seiner Längenänderung ist.

● Zur vollständigen Bestimmung des Verzerrungszustands an einem Punkt sind drei DMS nötig, die die Dehnungen in drei unterschiedlichen Richtungen messen.


09.07.19


α

β

γ

x

a

b c


09.07.19


● Auswertung der Messung:

– Aus der Messung seien die drei Dehnungen εa , εb und εc bekannt, die zu den ab der x-Achse gemessenen Winkeln α, β und γ gehören.

– Für die Dehnungen gilt:

ϵa=12(ϵx+ϵy)+

12(ϵx−ϵy)cos(2 α)+

12

γxy sin (2α)

ϵb=12(ϵx+ϵy)+

12(ϵx−ϵy)cos(2β)+

12

γxy sin (2β)

ϵc=12(ϵx+ϵy)+

12(ϵx−ϵy)cos(2 γ)+

12

γ xy sin (2 γ)


09.07.19


– Die gesuchten Größen εx , εy und γxy sind Lösung des linea-ren Gleichungssystems

– Für α = 0°, β = 45° und γ = 90° lautet das Gleichungssystem

(1+cos(2 α))ϵx + (1−cos(2 α))ϵy + sin (2α)γ xy = 2ϵa

(1+cos(2β))ϵx + (1−cos(2β))ϵy + sin (2β)γ xy = 2ϵb

(1+cos(2 γ))ϵx + (1−cos(2 γ))ϵy + sin (2 γ)γxy = 2 ϵc

2ϵx = 2 ϵa

ϵx + ϵy + γ xy = 2 ϵb

2ϵy = 2 ϵc

→ϵx=ϵa

γ xy=2 ϵb−ϵa−ϵcϵy=ϵc

4. Verzerrungen - wandinger.userweb.mwn.dewandinger.userweb.mwn.de/TM2/v2_4.pdf · Prof. Dr....

Documents

Transcript of 4. Verzerrungen - wandinger.userweb.mwn.dewandinger.userweb.mwn.de/TM2/v2_4.pdf · Prof. Dr....