ZEITSCHRIFT FUR ANGEWANDTE MATHEMATIK UND MECHANIK INGENIEURWISSENSCHAFTLICHE FORSCHUNGSARBEITEN Band 29 April 1949 Heft 4

HAUPTAUFSATZE Allgemeine Schalentheorie I

Von H . Nezcber, Dresden Ausgehend von den Grundgleichungen des elastischen Kontinuums wird mittels des absolut~n Dif-

ferentialkalkuls eine allgemeine Theorie fur Schalen beliebiger Form und Berandung u n k r Berucksichtigung der Verhnderlichkeit der Wandstarke abgeleitet. Durch Esnfuhrung konvarianter Razlmableitungen des 8pannungstensor.s an Xtelle der sonst ublichen Schalenlangskrafte und -momente wird eine beliebig hoke Approximation a n den dreidimtnsionalen Zustand ermoglicht.

Based on the three dimensional equations of elastic media a general theory of shells of a n y s?mpe aid bmndary uvith regard to variable thickness i s developed by means of the abaolule differential calculus. Using comrinnt three-dimensional derivations of streess tensor instead of the usual forces and moments the thcoi y rillows u n approximation of any d q w e to the threedimensional state of stress.

Au m o y m du calcul dtffirentiel absolu une thdorie gknkrale des &uellrs d'une fonne qitikonqne et d'dpaisAeur variable Pst ddveloppde d la base des dquatiow trois-dimeiLsionelles dastiqucs, Par introdaction des cam posantes dLrizlies covarzantes d u tenseur trois-dimensionel au lieu des forces et mmnents ordinairps IIC ihiin ie permet m e upproximution cEe quelconque degrbe ci E'btut ilnstique exact.

%I!IcSOqsI 113 OCIIOBHhIX YpaBIIeHkifi T e O p H H ~lIpJTOCTI4 .CTpOHTCff B IIPOH3BOJibHLTX IL~)MBO.ll~IUe~HhIX KOOpAMH2LTaX o6114as1 TeOpfifSi 060JIOWK ~11060% t#OpMtT N nepPMPiIEl08 TOJIlIpiIfLI. I T p M nVMOlqP1 KOBRpkiaIITHO~ TpCXM?pHOfi IIpON3BOgHO8 TeIi3Opn HZLJIpRXCIIMfi, IcOTOpi%tl 6epeTc5? BMCCTO CHJI ki MOM?IIT(IB B OB12WrOfi TeOPkiH, MOXer 6blTb AOCTC1~HYTO np%l6JIIlXPHl4t~ .'IH)fiOfi ('TPnPHM TOW~O('TP1 K TpPSMe1)HOMy Ha npRXCC'IIlIOMy C'O~TOSIIII~K).

1. Einfiilirung Die Entwicklung cler Technik hat auf den verschiedensten Gcbiclen zu ncuariigcn Bau-

teilen mannigfacher Form gefuhrt, welche hinsichtlich ihrer Dimensionierung an den Ingenieur stets wachsendc Anforderungcn stellen. Dies gilt insbesondere fur Bauteile mit verhaltnismaflig geringer Wandstarke, die sog. ,, Schalen". Die klassische Schalentheorie bezog sich vornehmlich auf den Behalterbau und lieferte fast ausschlierjlich Berechnungsgrundlagen fur Rotations- schalen l) 2, 3). Eine spater von T r e f f t z *) gegebene Ableitung der Schalenbiegungs-Glei- chungen auf Grund des Castiglianoschcn Prinzips beschrankte sich auf die Kriimmungslinicn dcr Schalenmittel f lache.

Bei Behandlung von Sclialen beliebiger Form und Berandung machl sich die Beschrhnkung dcr Theorie auf spezielle Koordinantensysteme nacliteilig bemerkbar ; denn - wie bei deli nieisten technisch wichtigen Problemen der Elastizitatstheorie -ist auch bei der Schale die Einfuhrung cines gunstigen Koordinatensystems fur die erfolgreiche Durchfiihrung der Rech- nung von grol3em Vorteil. So entstand das Bedurfnis nach Erweiterung der Schalentheorie auf beliebige Koordinaten. Angeregt durch neuzei tliche Festigkeitsprobleme des Flugzeug- und Motorenbaues, entwickelte der Verfasser im Jahre 1939 ein dieser Forderung angepafltes Ver- fahren fur Schalen allgemeiner Form und Berandung ". Zufolge der Nicht-Orthogonalitat cines beliebigen Kodrdinatensystems aurjerhalb der Schalenmittelflachc ergab sich dabei die Notwendigkeit der Verwendung schiefwinkliger Koordinaten. Durch weitgehende Anwendung der Tensorrechnung wurde diese Theorie spater in eine dem absoluten Differentialkalkul an- gepal3te Form gebracht, welche den Gegenstand des vorIiegenden Aufsatzes bildet. Ihr Kern- punkt ist nicht mehr - wie in der klassischen Schalentheorie - die Beslimmung der Schnlcn- schnittkrafte und -momente. Vielmehr wird die Herleitung der Grundgleicliungcn aus der allgemeinen Kontinuumsmechanilc durch Integration der nach Potenzen des Abstandes von der Schalenmittelf lache entwickelten Divergenz des Spannungstensors gewonnen, wobei nur

1) L o v e , Lehrbuch der Elastizitat, deutsch von A. Timpe, Leipzig und Berlin 1907, 9 326. 2, Me i 13 n e r , Phys. Zeitschr. 14 (1913), S. 343 ff . ; Vjschr. naturforsch. Ges. Ziirich GO (1915), S. 23. 3) P l i i g g e , Statik u. Dynamik der Schalen, Berlin 1935. 4) T r e f f t z , 2. angew. Math. Mech. 15 (19351, S. 10lff. 6) c u b e r , Schiefwinklige Schalentheorie, Ber. d. Fachtagung d. Lilienthal-Ces., Aachcn 1939.

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Z angew. Math. Mech. Bd. 29 Kr. 4 April 1949 N e u b e r , Allgeineine Schalentheorie I __-_____ 98

solclic GrOl3cn als Flaclicnlcnsorcn bcnutzt wcrden, welche als Komponcnlcn von Raumlensorcn in der Kontinuumsbelraclitung auftrcten. Der so fcstgeleglc Rechnungsweg geslatl e t eine belicbig hohe Approximation an den dreidimensionalen Spannungszusland und fuhrt zu End- gleichungen, deren Aufbau davon unabhangig ist, ob der verwendete Spannungstensor kon- travariant, gcmischt odcr kovariant ist . Hierin liegt der grundsatzliche Unterschied der Dar- stellung gegeniiber dem Ansalz von L o v e l), sowie den inzwischen crschienenen, ebenfalls auf dem Diffcrentialkalkiil fuflenden Arheilen von R e u t t e r 6, und D e u k e r 7)) von wyel- chen vorliegendc Thcorie auch im Endergebnis abwicht . Ferner geht die hier gegebene Dar- stellung auch insofcrn ubcr die bisherige Literatur des Gegenstandes hinaus, als die Veranderlich- keit der Wandstarke exaltt Berucksiclitigung findet und sowohl die Oberflachen-, wie auch die Randbedingungen in allgenieiner Form angegeben werden.

Aus drucktcchnisclien Griinden erscheint die Arbeit in zwei Teilen. Der erste bringt die geometrischen Grundlagen, die Entwicklung des Spannungstensors und seiner Divergenz, sowic die Gieichgeffichtsbedingungen. l k r im nachsten Heft dieser Zeilschrift erscheinende zweile Teil enthalt die Entwicklung dcr Formanderungsbeziehungen und der allgemeinen Rand- bedingungen.

2. Raiimgeometrische Grundlagen Es mogen hier dieselben Bezeichnungcn Verwendung findcn, welche bercits in dcr Arbeit

dcs Verfassers iiber die Grundgleichungen der elastischen Stabililat *) mit Vorteil benutzt worden sind. Danach sind x = 9, y = 2, z = 2, allgemein 3k, 3, XP oder & kartesische Koordinaten, wahrend u = 22, ZI = x2, zc: = 9, allgemein x ~ , xlL, xu, X@ oder zc, die krumm- linigen Koordinaten kennzeichnen. Die kartesischcn Koordinaten konnen als differenzierbare Funktionen der neuen Koordinaten u, o, w vorausgesetzt werdcn. Fur die Ableitung gilt die Abkur zun g

- cI; a:h

a Y I - -_ . . . . . . . . . . . . . . . .

Jedem Vektor mit dcm Komponenten A , = A'. in kartesischen Koordinnten sind in den krumm- linigen Koordinaten die Iiomponenten

zugeordnet, wobei das Surnmationszeichen Reggelassen vierden kann, wcnn f iir die wcitere Rechnung vereinbart wird, daB stets iiber solche Indizes zu summieren ist, welche zugleich oben und unten auftreten. Fur die Transformation cines Tensors zweiter Stufe gilt

BAli = B,l c4 c;; . . . . . . . . . . . . . . . . (3) . Der metrischc Tensor wird

3

mit den kartesischschen Iiornponenten

. . . . . . . . . . . . (4)

. . . . . . . . . (5).

Mierbei ist 6: das K r o n e c 1; e r sche Symbol. Weiter haben die Groflcn c i , wclche als UIltcr- determinanten der GrBflen c: , dividiert durcll gewonnen werden, ebenfalls Tensorcharakter, und es gilt

3

k = l C k ci. = p . c; c; = 8; . z' c; c; = gl14 . . . . . . . . . ' , (6).

A 2

Wird der Wert der Determinante des metrisclien Tensors mit l gAr ( = g bezeichnet, so folgt fur den Wert der Determinante der TransformaLionsgroBen

1. r I c i . i = l ' g . . . . . . . . . . . . . . . . . (7)

Ferner wird der schiefsymmetrische Tensor

1 fur k , l , m = l , 2, 3 ; 2 , 3 , 1; 3, 1, 2 ; ~ ~ l ~ = g k l r n = - 1 fur k , l , m = 1, 3, 2; 2, 1, 3 ; 3, 2, 1; . . . . . (jq I 0 fu r X: = 1 oder 1 = m oder k = m

') R c u t t e r , 2. angew. Math. ?rIecb. 22 (1912), S. 87 f f . 7, U e u k e r , Z . angew. Math. Mech 23 (1913), S. 81 f f .

N e u b e r , Z. angew. Math. Blech: 23 (1943), 8. 321ff.

2. angew. Math. Mech. N e u b e r , Allgemeine Schalentheoric 1 99 Bd. 29 Nr. 4 April 1940

heniit igt, tlesscn krurnmlinige Komponenlen sich aus

errechnen, wobeifur die GroDcn P ~ / ~ ~ untl ealcl' dieselbe Regel gilt, wie sic in G1.(8) fur den Tensor e k l m angegeben wurde.

Die Griil3en . . . . . . . . . . . . . . . B:p = q A V Bv,, - (10)

sind die gemischten Komponenten eines Tensors, dessen kovariante Komponenten durch Bvp reprasentiert werden, wahrend man die Grol3en

B."P = g P e B." = g"v gpe Bv . . . . . . . . . . . . . (11) .e

als kontravariante Komponenten bezeichnet. Bei Differentiation einer Invariante I entsteht der Vektor

Hierbei und im folgenden wird die Differentation durch einen vertikalen Doppelstrich gekenn- zeichnet, wobei nach der Koordinate zu differenzieren ist, deren Index hinter dem Strich unten angegehen ist. Bei Differentiation eines Vektors A, in kartesisclien Koordinaten entsteht der Tensor

mit den krunimlinigcn Konipomnlen

Hierbei isl

eine Abkiirzung, welche dem C h r i s t o f f e 1 schen Dreizeiger-Symbol zweiter Art entspricht. Der vertikale Doppelstrich kennzeichnet daher bei Differentiation von Tensoren den voll- standigen Ausdruck der Tensorkomponenten in allgemeinen Koordinaten, d. h. einschlie13lich der mit den C h r i s t o f f e 1 -Symbolen behafteten Zusatzglieder. Die so entstehende, als kovariante Raumdifferentiation oder hier kurz , ,Raumableitung" bezeichnete Operation liefert tlaher stets neue Tensoren. Bei Anwendung auf einen Tensor zweiter Stufe ergeben sich die Rechenregeln :

. . (16).

Fur die zugehorigen Kontravarianten Komponenten wird im folgenden die abgekurzte Schreib- weise

B?,(/" = q v e B.pI\e, (17) 1 B A p [ l V = qve BApllQ . BXpllv = g v ~ 2p1\, . . . . .

verwendet. Bei Anwendung auf den metrischen Tensor ergibt sich infolge des Verschwindens der

zugeh6rigen Komponenten in kartesischen Koordinaten, da13 seine kovarianten Ableitungen in jedem Koordinaten-System verschwinden, d. 11. es gelten die R i c c i-Gleichungen s):

qap l l y = 0, g""Jv = 0 . . . . . . . . . . . . . . (18). g, Vgl. hicrzu, sowie beziiglich weiterer Einzelbeiken: L e Y i - C i v i t a, Der absolute Differentid-

7* kalkiil, Grundl. d. math. Wiss., Bd. 28, Berlin 1928.

Z. angcw. Math. Merh. Btl.29 N r . 4 April l!U!) N e u b e r , Allgemeine Schalentheorie

-____ 100

Demnnch verschwinden auch die kovarianten Ablcitungen dcr TransformationsgroIcn, d. h. :

c:lly = 0, c:llly = 0 . . . . . . . . . . . . . . (19).

3. Geometrische Grundlagen tiir die nahere Umgebung der Schalenmitteltliichc Wird nunmehr die Schalenmittelflache durch, w = 0, ihre nahere Umgebung durch De-

finition von w als scnkrechter Abstand von ihr gekennzeichnet, so gilt

Die kartesischen Koordinatcn 3 dcr Sclialenmittelflachc, welche im folgenden kurz ,,Flache" genannt wird, sind hierbti ausschliefllich Funktionen von x1 = '16, z2 = v. Dasselbe gilt fur die mit Nk bezeiclineten kartesischen Komponenlen des Normaleinheitsvektors der Flache. Fur die weitere Rechnung ist deshalb die Einfuhrung unterschiedlicher Bezeichnungen fur die In- dizes 1 und 2 trforderlich. Die zugeh6rigen allgemeinen Flachenindizes seien M , p, y , 6, (T, Z. Dann ist :

Z " 2 + W N P . . . . . . . . . . . . . . . (20).

. . . . . - (21)

die Ableitung von 3 Iangs der Flache, mithin ein Tangentenvektor der Flache. Hieraus ergibt sich cler metrische Tensor der Flache zu:

2

a,p = 2;:;; . . . . . . . . . . . . . . . (22). c.= 1

Wird

gesetzt, so folgen als kontravariante K6mponenten an@ des nietrischen Tensors, entsprechend der Bedingung a,@ up)' = St;:

. . . . . . . . . . . . . . . . la ,p I=a . (23)

a a (24). 5 , a 2 2 , ~ a 1 2 = a21 ~ 12 . . . . . . . . . a a e

Sic gestatten ihrerseits die Berechnung der kontravarianten Komponenlen des Tangentenvektors : & - n B " k

t

k - a cp . . . . . . . . . . . . . . . . (25). in ubereinstimmung mit der auch auf der Flaclic geltenden Bedingurig

Ok Oy c l c h = a a p a B Y = S: . . . . . . . . . . . . . . (26). Das K r o n e c k e r - Symbol hat mithin, wie im Raum, so auch auf der Fliiche Tensoreigen- schaft.

Fur die Differentiation einer Invariante I auf der Flache gilt

Hierbei und im folgenden wird die kovarinnte Flachendifferentiation durch einen einfachen Vertikalstrich gekennzeichnet.

Die Flachenkomponenten cines Rnumvektors A, sind

(28). A , = Akc, . . . . . . . . . . . . . . . . 'k

Fur die Flachenableitung dieses Flachenvektors gilt

. . . . . . . . . . . (29).

Hierin entsprechen die GroI3en

den C r i s t o f f e I-Symbolen zweiter Art der Flache. Fur die Flachenableitung von Flachen- tensoren gelten entsprechende Regeln. Die Flachenableitung des metrischen Tensors der Flache verschwindet identisch (R i c c i) :

(31). a,plr = 0, a"q, = 0 . . . . . . . . . . . . .

N e u b e r , Allgemcine Schalentheorie I 101

Die Flachenableitung des Tangentenvektors verschwindet jedoch nicht. Bevor hierauf naher eingegangen wird, mogen die Eigenschaften des Normaleinheitsvektors naher untersucht werden. Definitionsgemiill (OrthogonaIit5t und Normierung) gilt fiir seine kartesischen Komponenien

Z. angew. Math. Mech. Bd, 29 Xr. 4 Anri l l949 __

Nk = AT,:

und

ok N k C , = 0 . . . . . . . . . . . . . . . NkNI.'= 1 . . . . . . . . . . . . . .

1)icse Bedingungen sind erfiillt, wenn Nk aus

bestimmt wird. Mit Einfiihrung des schiefsymmetrischem Fkhentensors

fi fiir a= I, B - 2;

0 fur a = - / & f u r a = 2 , B - I ; . . . . . . . . . .

mit den kontravavarianten

kann GI. (34) in cler Form

geschrieben werden, welche

Koniponenten

1 a p o l Om N k = - E k l m & Cu Cp . . . . . . . . . . . . 2

. . (32)

. (33).

. . (34)

. . (35)

. . (36)

. . (37)

hinsichtlich der Summation uber die auftretenden Flachenindizes - erkennen laBt , daB der Normaleinheitsvektor eine Invariante der Flache darslellt. Ferner ist leicht ersichtlich, daB GI. (32) erfiillt ist. Veiter folgt fur das Langenquadrat

1 0 1 om o y 06 NkNk = - E k l m E ' P ~ & " p E y 6 C * Cp C p C q . . . . . . . . . . (38). 4

Mit Hilfe der Rechenregeln

1aBt sich hieraus leicht bestatigen, daI3 GI. (33) erfiillt ist. E~.m&P~q~8~8~-8~8~t E u o E y d = 6 ~ 8 ~ - 8 ~ 8 ~ , 8 : = 2 . . . . . (39)

Die Flachenableitung von GI. (33) liefert . . . . . . . . . . . . . . . . Nk N k I , = 0 (40) *

Der Vergleich mil GI. (32) zeigt, daI3 der Vektor NkIu ebenfalls tangential zur Flache gerichiet ist und daher in lincarem Zusammenhang mit dem Tangentenvektor 2 stehen muB, d. h. es kann

gesetzt werden. Der hierbei auftretende Flachentensor b! tragt, den Kriimmungseigenschaften der Flache Rechnung. Sind el und e , die Hauptkriimmungsradien der Flache, so ergibt sich unter Umgehung einer Zwisehenrechnung fur die mittlere Kriimmung

(41) Ark(, = - b, C. P O k . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . (42)

und fur das als , ,G a u s s sches KriimmungsmaB" bekannte Produkt der Hauptkriinimungcn der Ausdruck

wobci

gesetzt ist l o ) .

rentialgeometrie I, Berlin 1945.

. . . . . . . . . . . . . \baa\ = b,, b , , - (b1,)2 ;= b (44)

10) Vgl. hierzu, sowie hinsichtlich weiterer Grundtatsachen der Flac hentheorie: B 1 e 8 c h k e , Diffe-

2;. angew. Math. Mech. Bd.29 Nr.4 April1949 102 N e u b e r , Allgemeine Schalentheorie I

Nach diesen Vorbetrachtungen, welche sich auf die Geometric der Flache selbst beziehen, sol1 nunmehr die nahere Urngebung der Flache untersucht werden. Wird GI. (20) nach xa differen- ziert so folgt mil Rucksicht auf GI. (21) und (41)

Ck - O k II "k

Mit Beachtung der Bedingung c: cg = 8; folgt fur die zugehorigcn kontravarianten Komponenten bei Beschrankung der Entwicklung nach w auf Glicder bis zur zweitcn Potenz:

- cJ - w 6, G,, . . . . . . . . . . . . . . . (45).

J 0% a O d 0. " p cg = ~h + w b f i s + w2 ~y GF; + . . . . . . . . . . . . . . (46).

Hierin ist zur Abkurzung

gesetzt. Fur dic Ableitung der G1. (20) nach 2 = wergibt sich nndererscits:

Hieraus folgen als Iiornponenten des metrischen Tensors in der nalieren Umgebung der Flache :

b; bi = C; . . . . . . . . . . . . . . . . . (47)

(48).

. . . . . . . . . . . (49).

. . . . . . . . . . . . . . C: = C ~ Z N' = N ,

I S a t = a,s - 2 w bas -I- w2 %,q 9

s a 3 = 0 , s 3 3 = 1

Die zugelibrigen kontravarianten Komponenten ergeben sich bei Beacht ung der Bedingung gAb grv = 8: in der Form:

. . . . . . . . . I g X P = a " B + Z w b u ~ + 3 w 2 ~ ~ P + . . . , g x 3 = 0 , 933 = 1

Fur jene C h r i s t o f f e I-Symbole, bei welchen der Index 3 auftritt, ergibt sich

. . . . . . i - - b ; - ... , r ; 3 = - g * y - - z - 1 ass 2 a w

3 r&=o, r;3 = 0 , r33= o

(51).

Bei der kovnrianlcn 1)iffercntiation dcr l~liclicnkornponentcn von Raumlcnsoren rrweist sich die Einfiihrung der unterschiedlichen Bezeichnung fur Raum- und I.'lacliendiffcrcntiation als besonders vorteilhaft. Bei Anwendung auf dic Flachenkomponenten D a ~ eines Raunitensors.D+ an der Stellc w = 0 folgt z. B.:

3 ( ~ a ~ l ~ , . ) w = o = ( ~ , , q i ; , - r a y ~ s s - r ; y ~ a 3 ) w = 0 . . . . . . . (52 ) .

(c:llB)s=u = o = c , l P - (rap)w=o E3 . . . . . . . . . . .

c , ( p = bag N k . . . . . . . . . . . . . . . .

Bei Anwendung auf den Vektor c i ergeben sich wichtige Gesetzmakigkeiten der Flachen- Lheorie. Aus dcrn Verschwinden seiner Raurnleitung folgt nainlich

(53 )

(54).

. . . . . . . . . . . (55),

(56) -

Pk 3 1:

oder niit Bezug auf G1. (51) ., 01;

In gleiclier Weise folgt fur c t :

k 9 nl-. ( c ~ ~ J ~ ) ~ = ~ = N l~-(r3,)Iu=OCp

Nilu = - b, cp

d. 11. in Ubereinstimmung niit GI. (41) : p OI: . . . . . . . . . . . . . . .

Wird GI. (54) nochmals differenziert, so ergibt sich fur den Unterschied zweier Ableitungen bei Vertauschung der beiden letzten Indizes rnit Berucksichtigung von G1. (56) :

Andercrseits kann die linke Seite der Gleichung auch mit Hilfe der Regeln der kovarianten Flachendiffcrentiation umgeformt werden, indeni von der Identitat

(57). ~ u I ~ y - ~ 4 ~ , , ~ = ( b a ~ I ; . - b u ~ I s ) N ~ O P + ( b , , b ; - b a p b , , ) c a d Ok . . . . . .

N e II b e r , Allgerseine Schalentheorie I 103 Z. angew. Math. Mech. Bd. 29 Nr.4 April 1940 -

Gebrauch gemacht wird. Dann folgt a n o n

(59) * Ok a O a Z I a v - C n l v B = [= ( r a p ) - (G9) + E y c4 - ::a ?:,,.I :: - - -

Aus dem Vergleich mit G1. (57) ergeben sich zunachst die Beziehungen von G a u s s und C o d a z z i (Verschwinden des Gliedes mit Nk) :

b L I p l Y = b a y l p = b v p l a . . . . . . . . . . . . . (60). Weiter ergibt sich, daR der in G1. (59) enthaltene Flachentensor vierter Stufe (eckige Klammer) mit dem in GI. (57) auftretenden Tensor

iibereinstimmt. Dies ist der R i e m a n n - C h r i s t o f f e I-Tensor der Flache, welcher bei mehrfacher Flachendifferentiation von Flachentensoren die Vertauschung der Reihenfolge regelt.

Die Beachtung der GI. (60) bietet beim Rechnen in Flachenkoordinaten wesentliche Vorteile; dies gilt insbesondere fur die Entwicklung der C h r i s t o f f e 1 -Symbole I';Y nach Potenzen von w. Unter Umgehung der Zwischenrechnung erhalt man

. . . . . . . . . R, BY! = b, b i - b,, b; = (a, 8; - a,@ 8;) K (61)

(62). r" f l y - f l y - w b;Iy- W2b:b@Jy- . . . . . . . . . . . . .

Damit sind samtliche Hilfsmittel erortert, welche erforderlich sind, um in der naheren Umgebung der Flache die Raumableitung der Komponenten eines Raumtensors bestimmen, bzw. auf Flachenableitungen zuriickfuhren zu konnen. Zur Behandlung des Schalenproblems ist ferner die Entwicklung von Tensoren nach der Koordinate a? = w erforderlich. Bei Verwendung der T a y 1 o r-Reihe erhalt man hierbei zunachst partielle Differentialquotienten nach w. Im Sinne der bereits in der Einfiihrung erwahnten Zuruckfiihrung aller Spannungsgrofien auf Raumtensoren, welche in vorliegender Arbeit als Richtlinie zur Gewinnung eindeutiger End- gleichungen konsequent eingehalten wird, ergibt sich die Aufgabe, die auftretenden Differential- quotienten nach w durch Raumableitungen zu ersetzen. Die hierfiir erforderlichen Beziehungen sind nachstehend am Beispiel eines Raumvektors AA, sowie der symmetrischen Raumtensoren B ~ P = BiiA, @ ~ * v = C p A V und D P V @ = D L v e = DA@@v mit Bezug auf die Flache w = 0 wieder- gegeben, wobei ein besonderer Hinweis betreff w = 0 der Kiirze halber weggelassen ist :

A" l l y = A"lY - b; A3 , -4311, = ~ 3 1 ~ + b v d ~ d , . . . (63), A311,d = A31,,g +bye Auld +hu A"IS +bydloAu - bYdA3/ l3 - c y d A3

2. angew. Math. Mech. Bd. 29 Nr. 4 A n r i l l 9 4 9 1 04 N e u b e r , Allgemeine Schalenthcorie I

4. Der Spannungstensor der Schalo Wird der Spannungstensor dcr Schale mit SIP bezcichnet, so gilt fur dic nahere Umgebung

der Schalenmittelflache die T a y 1 o r - Entwicklung

Die hierin auf tretendcn particllen Differcntialquotienten nach 21) sintl rnittels dcr Beziehungen (66) durch Raumableitungen zu crsetzen, wobei irn folgendcn der Kurze halber der Hinweis w = 0 weggclassen und dafur der Index 0 angebracht ist. Damit die im nachsten Abschnitt zu formulierenden Gleichgewichlsbedingungen der Schnle alle Glieder bis einschlieQlich to2 voll- standig enthalten, muR die Entwicklung der Komponenten Sap bis w2, der Komponenten Su3 und P3 bis w3 durchgefuhrt werden. Mit Beniitzung der GI. (66) ergeben sich dann fur die Kom- ponenten des Spannungstensors der Schale folgende Ausdrucke :

?I? w3 s3~ = s= + PI/ + 7 3 1 1 ~ ~ + s333/1 + ...

0 0 s 0 333

An der Ober- und Unterflache der Scliale slchen die Spannungskoriiporienl.cn der Sclialc mit den BuBeren Kraften im Gleichgewicht. Im folgenden Abschnitt werden die zugehorigen Be- dingungen unter Berueksichtigung der l'eranderlichkeit der Wandstarke angegeben.

6 . Die Oberflachenbedingungen der allgemeincn Schale veranderlichcr Wandstarke Fur dic kartesischen Koordinatcn der Ober- uiid Unterflache der Schale gilt mit Bezug

auf GI. (20)' wenn die Wandstarke der Schale mit h bezeichnet, also w = & - gesetzt wird: h 2

?k ?k fi, == 5 A-iVN" . . . . . . . . . . . . . . (71). 2

Demnach folgt fur den Tangentenvektor der Ober- bzw. Unterflache

Fur den Normaleinheilsveklor dcr Ober- bzw. Unlcrflachc gelten die Bcdingungen (Orthogonali- t a t und Normierung) :

(73). $ e ' i = o , N k N = I . . . . . . . . . . . . . * E

Hieraus ergibt sich unter Vernachlassigung hiiliercr Potenzcn der Wandstiirke bci Umgehung der Zwischenrechnung :

Z. angew. Math. Mech. N e u b e r , Allgemeine Schalentheorie I 105

Bei der Transformation der Spannungskomponenten auf die Ober- bzw. Unterflache der Schale t r i t t die GroQe

Bd. 29 Nr. 4 April 1949

fi, ( c f ) w = * /1. = g A 3 . . . . . . . . . . . . . . . (75) 2

mit den Komponenten 1 1 8 j 3 , = 1 -- - hl,, hlv (76) . . . . . . . . . qa3 = F y h [ a 9

auf. Werden die Komponenten der an der Ober- und Unterflache der Schale angreifenden aulJercn Krafte mit l c ~ & bezeichnet und auf die Flache w = konst. bezogen, auf welcher der be- trachtete Oberflachenpunkt liegt, so ergehen sich folgende Randbedingungen :

j A 3 (X""), ~ * 2 = ;33 (b@ f 2 q . . . . . . . . . . . . (77). 2

* Nach Division durch q33 und Einsetzen der Spannungskomponenten aus GI. (70) folgen liieraus mit Bezug auf die Gleichungen (76) im Rahmen der Vernachlassigung hoherer Potenzen der Wandstarke und ihret. Ableitungen :

Hierbei bilden die Glieder mit festem Vorzeichen und jenc mit wechselndein Vorzeichen zwei getreiinte Gleichungssysteme. Die Auflosung nacli So3, 88' , 833 und P fiihrt bei wieder-

holter gegenseitigfr Substitution im Rahmen der Vernachlassigung hoherer Potenzen der Wand- starke und ihrer Ableitungen auf folgende Ausdriicke :

0 0 113 0 0 3 I1

Die links stehenden GroBen sind damit auf die Komponenten der aufleran Belastungskrafte der Schale, sowie auf weitere Komponenten des Spannungstensors und seiner Raumableitungen nacli w zuruckgefuhrt. Die beiden ersten dieser Gleichungen enthalten bei unveranderlicher Wandstiirke auBer den Komponenten des Spannungstensors und seiner Roumableitungen nacli w je cine def beiden GroBen

kS -- h bslr = -mb . . . . . . . . . . . . . (80) 1 1 2 y h

uncl

(81), 2 1 - P - - b s k = - t ? . . . . . . . . . . . . . . h Y h

Z. aogew. Math. Mech. Bd. 29 Nr. 4 April 1949 N e u b e r , Augemeine Schalentheorie I

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welche mithin als Raumtensorkomponenten nachgewiesen sind ; irn Sinne der verlangten Ein- deutigkeit der Endgleichungen sind diese Grof3en daher in die weitere Rechnung an Stelle von kS und I S aufzunehmen. Die Auflosung der Gleichwgen (80) und (81) nach kS und P' liefert im Rahmen der Vernachlassigung lioherer Potenzen der Wandstarke :

mfl h 4

h2 1 1 2 2 7 8

k ~ ? = ~ + - b ~ [ t Y + b ; m * ] - . . . . . . . . . . . . . . (82),

(83). P = - tiy + - bb m y + - c: [t' + b; md] . . . . . . . . .

Werden noch fur die Flacheninvarianten k3 und ts die Abkiirzungcn

(84) n P

2 @ = - h , F = - . . . . . . . . . . . . . .

eingefuhrt, so gehcn die Gleichungen (79) iiber in folgende Form:

Zur Veranschaulichung der neu eingefiihrten Grof3en sei noch bemerkt, dafl ta mit der resul- tierenden Tangentialkraft, p mit der resultierenden Normalkraft und ma mit dem Moment der aul3eren Krafte in Zusammenhang steht, wahrend n/h einer mittleren Spannung Reclinung tragt, welche sich in Richtung senkrccht zur Schalenmittelflache ausbildet .

6. Uas Gleichgewicht der Schale Auf die Einfuhrung der sonst bei Behandlung des Schalcnproblems iiblichcn Spannungs-

resultanten, wie Langskraft, Biegemoment und Querkraft, wird in vorliegender Abhandlung bei Aufstellung der Grundgleichungen bewuf3t vcrzichtet, da sich diese Groflen nicht unmittel- bar auf Komponenten des Spannungstensors oder seiner Raumableitungen zuruckfuhreq.lassen. Die Gleichgewichtsbedingungen werden vielmehr - und darin unterscheidet sich die hier ent- wickclte Theorie grundsatzlich von den bisherigen Formulierungen - als Beziehungen zwischen den Komponenten des Spannungstensors und seiner Raumableitungen nach w gewonnen, wobei letztere die Rolle der Biegemomente ubernehmen. Auf diese Weise werden eindeutige Flachen- tensorgleichungen erhalten, welche davon unabhangig sind, ob der zugrunde gelegte Spannungs- tensor kontravariant, gemischt oder kovariant ist. Ferner wird die Gleichgewichtsbetrachtung des Schalenelementes im Sinne der Kontinuumsmechanik aus dem Verschwindcn der Divergenz des Spannungstensors hergeleitet, indem die Integralaussagcn

h 2 -

J X A * l l l w ~ d w = O mit n = 0 , 1 . . . . . . . . . . . . (86) h 2

-- an die Stelle der sonst ublichen, auf dem Begriff des Biege- und Schermomentes fuI3enden Be- dingungen des Kraftegleichgewichtes treten. Dieser rein analytisch deduktive Weg gewahr- leistct eine beliebig hohe Approximation an den dreidimensionalen Spannungszustand.

Die in den Gleichungen (86) auftretende Divergenz des Spannungstensors stellt einen Raumvcktor dar. Bei der Entwicklung nach der Koordinate w mittels der T a y 1 o r-Reihe

lassen sich daher die auftretcnden partiellen Differentiationen nach 40 wie bei einem Vektor auf

N e u b e r , Allgemeine Scbalentheorie I 107 2. angew. Math Xech. Bd. 29 Nr. 4 April 1949

Raumableitungen zuruckfunren. Mit Bezug auf G1. (64) folgt fur die Flachenkomponenten :

Bei der weiteren Umformung sind die Raumableitungen S1@Il3 und Xafl(I , , wie die Tensoren C ' Y V

und Dl!rY@ zu behandeln, so daB G1. (67) und (68) zur Anwendung kommen. Unter Umgehung einer kurzen Zwischenrechnung folgt :

0 0

Bei Anwendung der Integralbedingung (86) auf diesen Ausdruck erhalt im Falle n = 0 das erste Glied (ohne w) denFaktor h, das zweite Glied (mit w) entfallt, wahrend das dritte Glied (mit w2/2) den Faktor h3/24 erhalt. Wird zunachst das erste Glied mit,tels der Gleichungen (85) umgeformt, so ergibt sich eine Beziehung, die zur Elimination der Flachentensordivergenz ( h SUB) l a benutzt werden kann : 0

1 . . . . . (90).

In der rnit dem Faktor h3/24 behafteten eckigen Klammer treten u. a. die Komponenten SP3 o 1/33

auf; diese lassen sich auf Grund einer weiteren Beziehung eliminieren, welche bei Anwendung der Integralbedingung (86) im Falle n = 1 gewonnen wird. Hierbei zeigt sich, daB die rnit w behaftete eckige Klammer der GI. (89) fur sich gleicli Null zu setzen ist. Wenn von den Be- ziehungen (85) und (90) Gebrauch gemacht wird und holiere Potenzen der Wandstarke und ihrer Ableitungen, welche uber den Rahmen der Potenzentwicklung (89) liinausgehen wurden, vernachlassigt werden, liefert die Auflosung dieses Ausdruckes nach 5 8 3 :

0 /I 3 3

Nunmehr kann die in GI. (91) noch nicht berechnete eckige Klammer wesentlich vereinfaclit werden, da sich die Mehrzahl der auftretenden GroBen mittels der Gleichungen (85), (90) und (91) eliminieren 1aBt. Wie die Ausrechnung zeigt, entsprechen die auftretenden Ableitungen der Wandstarke h einer Multiplikation des Spannungstensors S a g mit h, bzw. seiner Raum-

ableitungen S u b rnit h3/12. Fur die weitere Rechnung im Rahmen der durch

n = 0 und n = 1 festgelegten Approximation werden daher zweckmal3ig die folgenden Ab- kiirzungen eingefuhrt :

0

o 113 und p ' 1 / 3 3

(9% h3 fi r"1j3 = Map . . . . . . . . h3

h Sap + - flap = L O B , o 24 o I I S s

Wird von diesen Abkurzungen Gebrauch gemacht, so 1aBt sich G1. (90) im Rahmen der Ver- nachlassigung hoherer Potenzen der Wandstarke so umformen, daB die Wandstarke h formal nicht mehr in Erscheinung tritt, bis auf einen mit dem Faktor h2/12 behafteten Restausdruck. Wie die nahere Untersuchung zeigt, bei welcher wiederholt von einer in GI. (61) angegebenen Identitat Gebrauch gemacht werden kann, finden sich in diesem Ausdruck jedoch nur Grol3en vor, welche in ahnlicher Form schon in den iibrigen Bestandteilen der Gleichung enthalten sind. Da die einzelnen Terme innerhalb des mit h2/12 behafteten Ausdruckes grijflenordnungsmaflig

2 2

im 10-

Verlialtnis ~ : 1 kleiner sind als die entsprechenden Terme aul3erhalb desselben, so kann 12elez

Z. sngew. Math. Mech. Bd. 251 Nr.4 Anr i l l949 N e u b e r , Allgemeine Schalentheorie I - I08

dieser Ausdruck im Rahmcn der hier mit TZ = 0 und n = 1 durchgefuhrten Approximation als vernachlassigbar angesehen wcrden. Fur das Gleichgewicht der tangential zur Schalenmittel- flache wirkenden Krafte ergibt sich dann die verhaltnismaflig iibersichtliche Beziehung :

Wie im achten Abschnitt noch erlautert wird, entsprechcn die rnit den Gleichungen (92) ein- gcfiihrten Tensoren den Schnittkraflresultiercnden einer Platte, und zwar liefert L4P den Tensor drr Plattenlangs- und -scherkraft, wiihrend . M 4 S dcn Tensor der Plattenbiege- und -torsions- moniente angibt. Dagegen besteht keine unniittelbare Identilat dieser GroBen rnit den Schnitt- kraften der Schale, welche sich - wie im achten Abschnitt gezeigt wird - aus Beziehungen komplizierterer Art errechnen. Der Vollstandigkeit halber sci noch eine weitere GroBe ein- gefiihrt, welche beim ubergang zur Platte die Plattenquerkraft liefert, bei der Schale jedoch nur einem Bestandteil der Querkraft entspricht :

Lapla - b; MYBly . b! . M U y l r + b; blufll, - b; m@ . b! mu + iP = 0 . . . . (93).

h3 h S a 3 +- S"3/1 . &" . . . . . . . . . . . . . . (94). 0 2 4 0 33

Mit Bezug auf GI. (85) , (91) und (92) ergibt sicli, wcnn wieder ein rnit h2/12 beliafteter Rest- ausdruck vernachsassigt wird :

Es bleibt nocli die dritte, senkrecht zur Schalenmittelflache gerichtete Komponente des Krafte- systems zu bestimmen. GI. (87) liefert rnit p = 3:

Q" == %*: +iwqB. . . . . . . . . . . . . . . (95).

(96). SA3 -sis S W S . 1 3 + - P 3 . . . . . . . . . . W2

wie Komponenten der Tensoren C a p v

- I l l 2 Rei der Ausrechnung sind die GrorJen X A 3 und D.lPrQ in GI. (67) und (68) zu behandeln. Dann folgt:

o ( I3 und ?3i133

Die Integralbedingung (86) bewirkt fur n = 1 wieder das Verschwinden des in w linearen Gliedes. Bei Auflosung nach x33 33 ergibt sich rnit Anwendung der GI. (85):

0 / I

Andererseits t r i t t bei Anwendung der Integralbedingungen (86) mit n = 0 wieder das erste Glied (ohne w ) mit dem Faktor h und das dritte mit dem Faktor h3/24 auf, wahrend das zweite entfallt. Werden zur weiteren Vereinfachung die Gleichungen (85), (go), (91), (92) und (98) herangezogen, so laBt sich wieder eine Beziehung aufstellen, in welcher die Wandstarke h nicht mehr vorltommt, wenn von einem mit dem Faktor P/12 versehenen Restglied abgesehen wird; dieses kann aus denselben Griinden vernnchlassigt werden, die bei Aufstellung der tangentialen Gleichgewichtsbedingungen (94) mallgeblich waren. Die Bedinguhg fur das Kraftegleichgewicht in Richtung senkrecht zur Schale nimmt dann folgende Form an:

Miermit sind die Aussagtn iibcr das Kriiftegleicligcnicht im Gahincn der fur n = 0 und n = 1 geltenden Approximation erschiipft. Dcrnnach stehen nur drei Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der sechs Unbekannten Lap und Map zur Verfiigung. Das Schalenproblem ist daher im allgemcinen statisch unbestimmt und erfordert zu seiner vollstandigen Losung die Ableitung der besondercn Bedingungen des Formanderungsvorganges. Hierbei zeigt sich - wie im folgenden Abschnitt ersichtlich -, dall sich alle Unbekannten auf die drei Komponenten des Verschiebungsvektors der Schalenmittelflache zuriickfiihren lassen.

. . . . . . . Maf'14p + b, 8 Lap -- KM" + mala - b; m + p = 0 (99).

Eingegangen: 11. Juni 1948.