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Aufnahmeprüfung Mathematik
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Aufnahmeprüfung 2016 BMS gibb Mathematik Zeit: 75 Minuten Hilfsmittel: Schreibzeug, Geodreieck, Zirkel, Lineal, Taschenrechner Hinweis: Die Aufgaben sind unter Angabe aller Berechnungen und Begründungen direkt auf diese Blätter zu lösen. Achten Sie auf eine saubere Darstellung. Die Seiten 14-16 stehen Ihnen bei Platzmangel zusätzlich zur Verfügung. Punkte: Jede der 6 Aufgaben wird mit je 6 Punkten bewertet.
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Aufgabe 1 Werten Sie den Term an den angegebenen Stellen aus.
1a) Term: 25 23 xyxy Stellen: 3,21 yx
Lösung: 1a)
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Zerlegen Sie den Term in ein Produkt mit möglichst vielen Faktoren.
1b) pmppm 10110120 2
Lösung: 1b)
1c) 192019 22 wwa
Lösung: 1c)
Erreichte Punkte Aufgabe 1:
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Aufgabe 2 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung in der Grundmenge G . 2a) xxxxx 204232
Lösungsmenge: 2a)
2b) 5216112 xxxx
Lösungsmenge: 2b)
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Welche Zahlen gehören zur Lösungsmenge der folgenden Gleichung in der Grundmenge G ?
2c) 01
5123
x
xxx
Kreuzen Sie an: 5 1 5
1
0 2
1
2
Erreichte Punkte Aufgabe 2:
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Aufgabe 3 In der gezeichneten Figur sind die Streckenlängen cm6AB , cm3BC und der
Winkel 60ABC gegeben. Bestimmen Sie… 3a) …den Winkel ACD .
3b) …den Flächeninhalt vom Dreieck ABC. 3c) …den Inhalt von der blauen Fläche. Runden Sie die Resultate auf 3 Stellen nach dem Komma.
60
A B
CD
6 cm
3 cm
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Lösungen:
3a) 3b)
3c)
Erreichte Punkte Aufgabe 3:
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Aufgabe 4 Eine Fallschirmspringerin und ein Fallschirmspringer verlieren mit konstanter Geschwindigkeit an Höhe. Von der Fallschirmspringerin ist der Zusammenhang zwischen der Zeit t (Einheit: s) und der Höhe h über Boden (Einheit: m) im unten stehenden Koordinatensystem dargestellt. Vom Fallschirmspringer weiss man, dass er zum Zeitpunkt 0 Sekunden auf einer Höhe von 3570 m über Boden ist und nach 850 Sekunden auf dem Boden landet. 4a) Wie viele Meter an Höhe verliert die Fallschirmspringerin pro Sekunde? 4b) Bestimmen Sie grafisch im unten stehenden Koordinatensystem den Zeitpunkt, in welchem die
Fallschirmspringerin und der Fallschirmspringer die gleiche Höhe über Boden haben. 4c) Stellen Sie für den Fallschirmspringer eine Formel auf, mit welcher sich aus der Zeit t (Einheit: s)
die Höhe h über Boden (Einheit: m) berechnen lässt.
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Lösungen:
4a) 4b)
4c)
Erreichte Punkte Aufgabe 4:
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Aufgabe 5 Die abgebildete Meerboje setzt sich aus einer Halbkugel, einem Zylinder und einem Kegel zusammen. Hinweis: Das Volumen einer Kugel mit Radius r lässt
sich mit der Formel 334 r bestimmen.
5a) Bestimmen Sie das Volumen der abgebildeten
Boje. 5b) Um welchen Faktor vergrössert sich das
Volumen, wenn sämtliche Längen verdoppelt werden?
5c) Die abgebildete Boje schwimmt senkrecht im spiegelglatten Meer, so dass die Spitze 45 cm
unter der Wasseroberfläche liegt. Bestimmen Sie das Volumen des Bojenteils, welcher unter der Wasseroberfläche liegt.
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Lösungen:
5a) 5b)
5c)
Erreichte Punkte Aufgabe 5:
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Aufgabe 6 Ein Grossverteiler verkauft 6 verschiedene Sorten Minischokoladenhasen. Die Schokoladenhasen der Sorten weiss, braun, schwarz werden in 3er-Schachteln angeboten. Die Schokoladenhasen der Sorten weiss, braun, schwarz, Nougat, Haselnuss, Kirsch werden in 6er-Schachteln angeboten.
6er-Schachtel
weiss braun schwarz Nougat Haselnuss Kirsch
weiss braun schwarz3er-Schachtel
6a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 3 verschiedenen Schokoladenhasen auf die Fächer der
3er-Schachtel zu verteilen? 6b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 6 verschiedenen Schokoladenhasen auf die Fächer der
6er-Schachtel zu verteilen? 6c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 6 verschiedenen Schokoladenhasen auf die Fächer der
6er-Schachtel zu verteilen, wenn der Nougathase nicht im unteren mittleren Fach sein darf?
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Lösungen:
6a) 6b)
6c)
Erreichte Punkte Aufgabe 6:
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Aufnahmeprüfung 2016 BMS gibb Mathematik Lösungen Zeit: 75 Minuten Hilfsmittel: Schreibzeug, Geodreieck, Zirkel, Lineal, Taschenrechner Hinweis: Die Aufgaben sind unter Angabe aller Berechnungen und Begründungen direkt auf diese Blätter zu lösen. Achten Sie auf eine saubere Darstellung. Die Seiten 14-16 stehen Ihnen bei Platzmangel zusätzlich zur Verfügung. Punkte: Jede der 6 Aufgaben wird mit je 6 Punkten bewertet.
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Aufgabe 1 Werten Sie den Term an den angegebenen Stellen aus.
1a) Term: 25 23 xyxy Stellen: 3,21 yx
Lösungsweg:
3692224333233 2738
29
2729
418
2729
49
27292
23
212
215
21
(1P)
Lösung: 1a) 369 (2P)
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Zerlegen Sie den Term in ein Produkt mit möglichst vielen Faktoren.
1b) pmppm 10110120 2
Lösungsweg:
111210111121010110120 22 mmpmmppmppm
Nur eine Zerlegung: (1P)
Vollständige Zerlegung: (2P)
Lösung: 1b) 111210 mmp (2P)
1c) 192019 22 wwa
Lösungsweg:
1313201920192019 222 wwawawwa
Nur eine Zerlegung: (1P)
Vollständige Zerlegung: (2P)
Lösung: 1c) 131320 wwa (2P)
Erreichte Punkte Aufgabe 1: (6P)
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Aufgabe 2 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung in der Grundmenge G . 2a) xxxxx 204232
Lösungsweg:
5
306
20105
208232
208232
208232
204232
x
x
xx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
Korrektes Auflösen der Klammern: (1P)
Lösungsmenge: 2a) 5L (2P)
2b) 5216112 xxxx
Lösungsweg:
81
405
22
22
540
52812
528121212
5230121212
5216112
x
x
x
xx
xxxx
xxxxx
xxxx
Korrektes Ausmultiplizieren: (1P)
Lösungsmenge: 2b) 81L (2P)
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Welche Zahlen gehören zur Lösungsmenge der folgenden Gleichung in der Grundmenge G ?
2c) 01
5123
x
xxx
Kreuzen Sie an: 5 1 5
1
0 2
1
2 0 Fehlentscheide: (2P) 1 Fehlentscheid: (1P) 2-6 Fehlentscheide: (0P)
Erreichte Punkte Aufgabe 2: (6P)
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Aufgabe 3 In der gezeichneten Figur sind die Streckenlängen cm6AB , cm3BC und der
Winkel 60ABC gegeben. Bestimmen Sie… 3a) …den Winkel ACD .
3b) …den Flächeninhalt vom Dreieck ABC. 3c) …den Inhalt von der blauen Fläche.
60
A B
CD
6 cm
3 cm
Lösungswege: 3a) 306090180CAB
Wechselwinkel: 30CAB
1 korrekter Schritt: (1P)
2 korrekte Schritte: (2P)
3b) cm196.52793636 22 AC
Flächeninhalt: 2
21
21 cm794.7327 BCACAABC
1 korrekter Schritt: (1P)
2 korrekte Schritte: (2P)
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3c) 221
360302
Vorgehen
Sekblau cm631.13276 ABCAAA
Korrektes Vorgehen: (1P)
Korrektes Vorgehen und korrekte Berechnung: (2P)
Lösungen:
3a) 30 (2P) 3b) 2cm794.7 (2P)
3c) 2cm631.1 (2P)
Erreichte Punkte Aufgabe 3: (6P)
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Aufgabe 4 Eine Fallschirmspringerin und ein Fallschirmspringer verlieren mit konstanter Geschwindigkeit an Höhe. Von der Fallschirmspringerin ist der Zusammenhang zwischen der Zeit t (Einheit: s) und der Höhe h über Boden (Einheit: m) im unten stehenden Koordinatensystem dargestellt. Vom Fallschirmspringer weiss man, dass er zum Zeitpunkt 0 Sekunden auf einer Höhe von 3570 m über Boden ist und nach 850 Sekunden auf dem Boden landet. 4a) Wie viele Meter an Höhe verliert die Fallschirmspringerin pro Sekunde? 4b) Bestimmen Sie grafisch im unten stehenden Koordinatensystem den Zeitpunkt, in welchem die
Fallschirmspringerin und der Fallschirmspringer die gleiche Höhe über Boden haben. 4c) Stellen Sie für den Fallschirmspringer eine Formel auf, mit welcher sich aus der Zeit t (Einheit: s)
die Höhe h über Boden (Einheit: m) berechnen lässt.
Lösungswege: 4a) Aus der Grafik herauslesen:
Höhendifferenz: m3000
Zeitdifferenz: s600
Fallgeschwindigkeit: sm
s600
m3000 5
Korrektes Vorgehen: (1P)
Korrektes Vorgehen und korrekte Berechnung: (2P)
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4b) Korrektes Einzeichnen: (1P) Korrektes Herauslesen ( s30 ): (1P)
4c) Starthöhe: m3570
Fallgeschwindigkeit: sm
s850
m3570 2.4
Formel: th 2.43570
Korrekte Starthöhe oder korrekte Fallgeschwindigkeit: (1P) Korrekte Formel: (2P)
Lösungen:
4a) sm5 (2P) 4b) s30s5.537 (2P)
4c) th 2.43570 (2P)
Erreichte Punkte Aufgabe 4: (6P)
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Aufgabe 5 Die abgebildete Meerboje setzt sich aus einer Halbkugel, einem Zylinder und einem Kegel zusammen. Hinweis: Das Volumen einer Kugel mit Radius r lässt
sich mit der Formel 334 r bestimmen.
5a) Bestimmen Sie das Volumen der abgebildeten
Boje. 5b) Um welchen Faktor vergrössert sich das
Volumen, wenn sämtliche Längen verdoppelt werden?
5c) Die abgebildete Boje schwimmt senkrecht im spiegelglatten Meer, so dass die Spitze 45 cm
unter der Wasseroberfläche liegt. Bestimmen Sie das Volumen des Bojenteils, welcher unter der Wasseroberfläche liegt.
Lösungswege:
5a) 3
77583
231
796150
2
041134
332
DrehkegelerDrehzylindHalbkugelBoje cm6143685040304040
VVVV
Korrekte Grössen in korrekte Formeln eingesetzt: (1P)
Korrekte Berechnungen: (1P) 5b) Faktor: 8
(1P)
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5c) Mit Hilfe des 2. Strahlensatzes:
cm364010
9
4050
45 r
rr
BD
AC
SB
SA
32
31 cm073614536 V
Skizze mit korrekt eingetragenen Grössen: (1P)
Aufstellen einer korrekten Verhältnisgleichung: (1P) Korrekte Berechnungen von r und V: (1P)
Lösungen:
5a) 3cm614368 (2P) 5b) 8 (1P)
5c)
3cm07361 (3P)
Erreichte Punkte Aufgabe 5: (6P)
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Aufgabe 6 Ein Grossverteiler verkauft 6 verschiedene Sorten Minischokoladenhasen. Die Schokoladenhasen der Sorten weiss, braun, schwarz werden in 3er-Schachteln angeboten. Die Schokoladenhasen der Sorten weiss, braun, schwarz, Nougat, Haselnuss, Kirsch werden in 6er-Schachteln angeboten.
6er-Schachtel
weiss braun schwarz Nougat Haselnuss Kirsch
weiss braun schwarz3er-Schachtel
6a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 3 verschiedenen Schokoladenhasen auf die Fächer der
3er-Schachtel zu verteilen? 6b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 6 verschiedenen Schokoladenhasen auf die Fächer der
6er-Schachtel zu verteilen? 6c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 6 verschiedenen Schokoladenhasen auf die Fächer der
6er-Schachtel zu verteilen, wenn der Nougathase nicht im unteren mittleren Fach sein darf?
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Lösungen Aufnahmeprüfung Mathematik
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Lösungswege: 6a) Anzahl Möglichkeiten: 6123
(1P)
6b) Anzahl Möglichkeiten: 720123456
(2P)
6c) Anzahl Möglichkeiten: 600123455
oder Anzahl Möglichkeiten ohne Bedingung: 720123456
Anzahl Möglichkeiten, bei welchen der Nougathase tatsächlich im unteren mittleren Fach ist: 12012345
Gesuchte Anzahl Möglichkeiten: 600120720
Korrekte Idee/Strategie: (2P)
Korrekte Berechnungen: (1P)
Lösungen:
6a)
tenMöglichkei6 (1P) 6b) tenMöglichkei720 (2P)
6c) tenMöglichkei600 (3P)
Erreichte Punkte Aufgabe 6: (6P)
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