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IfS
B2 Verteilungsbasierte Simulation
Klausurtagung SFB 747am 24. + 25.09.2008 in Barnstorf
Dr. Pavel Bobrov (1,0 TVL)Dr. Jonathan Montalvo Urquizo (0,5 TVL)Dr. Jörn Lütjens (0,5 TVL)
Methoden zur direkten Berücksichtigungder Verteilungsfunktion von Stoffwerten
bei der FEM-Simulationvon Mikroumformprozessen
Teilprojektleiter wiss. MitarbeiterProf. Dr. Dr.h.c. Jürgen Timm (IfS)Prof. Dr. Alfred Schmidt (ZeTeM)Dr.-Ing. Martin Hunkel (IWT)
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Ziel
Kombination von werkstoffwissenschaftlicher Modellierungmit statistischen Methoden, um die Verteilung von Stoffwerten bei einer FEM-Simulation einfach und effizient berücksichtigen zu können.
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2007 2008 2009 2010Arbeitspakete
AP 1: Modellbildung Mechanik (IWT/ZeTeM)AP 2: Modellbildung Statistik (IfS)
AP 3: Synthese (IfS)
AP 4: Verifikation (IfS, ZeTeM)
AP 5: Analyse der Simulations-ergebnisse (ZeTeM/IfS,IWT)AP 6: Werkstückeigenschaften (ZeTeM/IfS/IWT)AP 7: Simulation der lokalen Eigenschaften (IWT)AP 8: Simulation des Bauteils (ZeTeM/IfS)AP 9: Aufbereitung der experimentellen Daten zur Stoffwertebestimmung (IWT)
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Experimentelles
(B1 – BIAS)
B4 - IWT
(A1 – IWT)
A2 - IWT
B2 - IWT B2 - IFS B2 - ZETEM
Mod
ellie
rung
AP 1 AP 7 AP 9
Flächenverfahren
0
1
2
3
4
5
6
7
0 10 20 30 40
Korngröße in Richtung [µm]
Ant
eil [
%]
Messung DickenrichtungFit DickenrichtungMessung LängsrichtungFit Längsrichtung
AP 2 AP 3 AP 4 AP 8
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Arbeitspaket 9: Aufbereitung der experimentell bestimmten Stoffwerte
Ziel:
• Materialkennwerte der Werkstoffe im SFB 747
• Grundlage für AP 1, 2, 7, 8
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Vorgehen:
• Koordination der Zuarbeit in den TPs (A2, B1, B4)
• Sammlung, Aufbereitung und statistische Auswertung der Daten
• 1. Förder-Periode: -richtungsabhängige Korngrößenverteilung-E-Modul, Querkontraktionszahl-Streckgrenze-Verfestigungsexponent
Arbeitspaket 9: Aufbereitung der experimentell bestimmten Stoffwerte
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B2 Verteilungsbasierte Simulation
Arbeitspaket 9: Aufbereitung der experimentell bestimmten Stoffwerte
Linienschnittverfahren
0
5
10
15
20
0 10 20 30 40
Korngröße in Richtung [µm]
Ant
eil [
%]
Kernbereich (3 Linien)
Zwischenbereich (2+2 Linien)
Randbereich (2+2 Linien)• Umfangreiche Auswertung von 50 Bildern
• Am Rand mehr große und „rechteckige“ Körner
• Im Kernbereich mehr kleine Körner
• Mittlere horizontale Korngröße: 8.7 µm
• Mittlere Anisotropie (Dicke zu Länge): 0.71
Häu
figke
it [%
]
Kornanalyse DC01 (Armco)
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Arbeitspaket 9: Aufbereitung der experimentell bestimmten Stoffwerte
Weitere Ergebnisse DC01:• Kornanalyse: Verteilungsfunktion, Orientierung, …• Zugversuche → B4• Korngrößeneinfluss auf mechanische Kennwerte → AP 1• Härteverteilungen
Andere Werkstoffe im SFB 747:• Al 99,5: Kornstruktur nur unzureichend auflösbar• 1.4301: Kornstruktur nur unzureichend auflösbar• C100: Kornstruktur nicht auflösbar
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B2 Verteilungsbasierte Simulation
Ausblick:
• Detaillierte Charakterisierung von DC01Untersuchung anderer Werkstoffe bislang nicht zielführend
• Untersuchung mit EBSD sollte angestrebt werden- andere Werkstoffe- Textur
• Weitere Experimente für statistische Absicherung (z. B. Kornfeinung DC01) bzw. für Verteilungsfunktionen
Arbeitspaket 9: Aufbereitung der experimentell bestimmten Stoffwerte
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Arbeitspaket 1: Modellbildung Mechanik
Ziel:
Analyse bestehender kontinuumsmechanischer Modelle für den Mikro-Bereich
Beispiel: Hall-Petch-Beziehung
Gültigkeitsbereich in dK?Übergang zu reversem Hall-Petch?
Kd1
dK
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Arbeitspaket 1: Modellbildung Mechanik
Vorgehen:
• Analyse bestehender kontinuumsmechanischer Modelle
• Verifikation: Anwendbarkeit auf Mikro-Bereich
• Auswahl bzw. Modifikation
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DC01 (Armco): • Ausgangsgefüge nicht ziehbar → Glühen → Erholung• Einfluss Korngröße → Glühen → Kornwachstum
• Zugversuche → geringe Aussagekraft über Rissbildung beim Umformen? → B4
• Unterschiedliches mechanisches Verhalten nach Glühen → Vorteil: Variationsmöglichkeit → Verifikation Simulation → Nachteil: Aufwand / Welcher Zustand wird verwendet?
• Welcher Zustand ist in Umformung oder Einsatz günstiger?
Arbeitspaket 1: Modellbildung Mechanik
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Arbeitspaket 1: Modellbildung Mechanik
0 100 200 300 400 5000
4
8
12
16
20
24
100
200
300
400
500
0 100 200 300 400 500
300
400
500
Bru
chde
hnun
g A
[%]
Auslagerungszeit [min]
T = 850 °Cgesamt
Stre
ckgr
enze
Rp0
,2 [M
Pa]
Zug
fest
igke
it R
m [M
Pa]
Ausgangsgefüge:
fest und sehr spröde
Glühen bei 850 °C:
Erholung→ Gefüge wird duktiler
Rekristallisation:
→ Gefüge wird grobkörniger
ab 120 min:
erneut Verfestigung
Lüdersdehnung
Kornfeinung
Linienschnittverfahren
5
10
15
20
0 100 200 300 400 500 600Glühzeit [min]
Korn
größ
e [µ
m]
Längsrichtung
Metallo Längs Reproduzierbarkeit
Längs Bildverarbeitung
Dickenrichtung
d³-Gesetz
nicht allein durchHall-Petch erklärbar
→ weitere Effekte?
→ Rand-Effekte?
Kes dR 1
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Arbeitspaket 1: Modellbildung Mechanik
Ausblick:
• Arbeiten zum Korngrößeneinfluss fortführen
• Weitere Arbeiten bauen auf experimentellen Resultaten auf
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Arbeitspaket 7:Simulation der lokalen Eigenschaften
Ziel:
Einsatz von mesoskopischer Simulation / Monte-Carlo zur
→ konventionellen Berechnung von Verteilungsfunktionen
→ Verifikation der verteilungsbasierten Simulation (auch
anhand experimentell unzugänglicher Daten)
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B2 Verteilungsbasierte Simulation
Vorgehen:
Modellierung des Gefüges auf Mesoskalen-Ebene
Rekristallisation, Kornwachstum
mechanisches Verhalten
Methoden:
• klassische FEM
• Monte-Carlo-Simulation (zelluläre Automaten)
→ Grundlage für Verifikation der neuen FEM-Methodik
Arbeitspaket 7:Simulation der lokalen Eigenschaften
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Stand:
• Berechnungen werden derzeit aufgesetzt.
• Wechsel des Simulationsprogramms (Abaqus)
Arbeitspaket 7:Simulation der lokalen Eigenschaften
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B2 Verteilungsbasierte Simulation
Ausblick:
• Einpflegen von Materialkennwerten
• Mechanische Berechnung
• Simulation der Rekristallisation
• Verteilungsfunktionen
Arbeitspaket 7:Simulation der lokalen Eigenschaften
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B2 Verteilungsbasierte Simulation
Ziele:
• Modellierung der empirischen Verteilungen von materialwissenschaftlichen Stoffparametern
• Versuchsplanung
• Modellierung von Materialeigenschaften unter Berücksichtigung von stochastischen Komponenten (enge Verbindung zu AP 3)
Arbeitspaket 2: Modellbildung Statistik
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B2 Verteilungsbasierte Simulation
Vorgehen Verteilungsmodellierung
Arbeitspaket 2: Modellbildung Statistik
Datengrundlage:
Methodik:
empirische Verteilungen von Stoffparametern (B2, B4)
Modellierung durch • parametrische Standardverteilungen• nichtparametrische Verteilungen • Entwicklung in Summen von (einfachen)
Standardverteilungen
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B2 Verteilungsbasierte Simulation
Ergebnisse Verteilungsmodellierung
Arbeitspaket 2: Modellbildung Statistik
• Standard-Verteilungen (log-Normalverteilung, Weibull) liefern häufig, aber nicht immer, eine zufriedenstellende Anpassung (z.B. Korngrößen-Verteilung)
• grundsätzlich ist jedoch Modellierung durch Mischformen notwendig
Histogram of logKornG
logKornG
Den
sity
2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.00.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Histogram of logKornG
logKornGD
ensi
ty2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
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B2 Verteilungsbasierte Simulation
Vorgehen Versuchsplanung
Arbeitspaket 2: Modellbildung Statistik
Datengrundlage:
Methodik:
empirische Verteilungen von Stoffparametern (B2, B4), Literaturangaben
• Standardverfahren • Entwicklung optimaler Pläne für Nicht-
Standard-Probleme
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B2 Verteilungsbasierte Simulation
Ergebnisse Versuchsplanung
Arbeitspaket 2: Modellbildung Statistik
individuelle Lösungen, z.B.
0 100 200 300 400 5000
4
8
12
16
20
24
100
200
300
400
500
0 100 200 300 400 500
300
400
500
Bru
chde
hnun
g A
[%]
Auslagerungszeit [min]
T = 850 °Cgesamt
Stre
ckgr
enze
Rp0
,2 [M
Pa]
Zug
fest
igke
it R
m [M
Pa]
optimale Positionen für künftige Experimente (Vorgabe: n = 7)
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B2 Verteilungsbasierte Simulation
Ausblick Verteilungsmodellierung, Versuchsplanung
Arbeitspaket 2: Modellbildung Statistik
• Verteilungsmodellierung durch Summen von Standardverteilungen wird bis auf Weiteres als Standardansatz verfolgt
• Versuchsplanung erfolgt flexibel in Absprache mit Anforderern
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B2 Verteilungsbasierte Simulation
Vorgehen Modellierung von Materialeigenschaften
Arbeitspaket 2 und 3: Modellbildung Statistik und Synthese
• Einbau stochastischer Komponenten in die Beschreibung von Materialeigenschaften
• Bestimmung der Verteilung der entsprechenden Kennwerte durch
• direkte Lösung der Gleichungen oder• Lösung der Gleichungen durch Monte-Carlo-
Simulation an ausgewählten Stützpunkten (→ Versuchsplanung) und darauf aufbauende allgemeine Lösung durch Interpolationsverfahren
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Arbeitspaket 2 und 3: Modellbildung Statistik und Synthese
i i
iiii ExExExE )()(1)(
Mechanische Eigenschaft des inhomogenen Mediums
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Elastizitäts- und Steifigkeitstensoren des Vielkristalls
pqvwlwkvjqipijklpqvwlwkvjqipijkl sScC
),,(4,),,(,),,(2 344443121221111 sss sSsSsS
0,2,0;2/441211 ssss
Eulerwinkel mit Verteilungsdichte im Fall des quasiisotropen Vielkristalls
stochastische Terme
ttvuf sin81),,( 2,,
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IfS
B2 Verteilungsbasierte Simulation
Verteilungen der Λi als Funktionen der Eulerwinkel und ihre Approximation durch Polynome
233
232
233
231
232
2312 2
33232
223
222
213
2123 32
33122
32112
3115
Arbeitspaket 2 und 3: Modellbildung Statistik und SyntheseErgebnisse Modellbildung Statistik
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ttvuptvuf sin),,(41),,( 2,,
Textur Texturfunktion der Eulerwinkel
B2 Verteilungsbasierte Simulation
Beschränkung für Verteilungsraumoder Verteilungsart der Eulerwinkel
Axiale Textur mit 0
cos1sin
41),,( 2,,
ttvuf
Arbeitspaket 2 und 3: Modellbildung Statistik und Synthese
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Arbeitspaket 2 und 3: Modellbildung Statistik und Synthese
B2 Verteilungsbasierte Simulation
Verteilungen der normalisierten Längsdeformationen (Spannung 100MPa) für axiale Textur (Stahl 18,1Cr+14,1Ni; c11=19,8 GPa, c12=12,5 GPa, c44=12,2 GPa)
Quasiisotropie 4/ 6/
Ergebnisse Modellbildung Synthese
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Arbeitspaket 4: Verifikation
B2 Verteilungsbasierte Simulation
Dargestellte Verteilungen der normalisierten Längsdeformationen entsprechen qualitativ den von
Verknüpfung bisheriger Ergebnisse aus AP 3 mit AP 4:
T. Hoc, J. Crépin, L.Gélébart, A. Zaoui: A procedure for identifying the plastic behavior of single crystals from the local response of polycrystals. Acta Materialia 51 (2003) 5477–5488
publizierten unabhängig entstandenen Ergebnissen.
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B2 Verteilungsbasierte Simulation
Ausblick Modellierung von Materialeigenschaften, Synthese
Arbeitspakete 2, 3: Modellierung / Synthese
• Erreichte Erkenntnisse über den Einfluss von stochastischen Komponenten auf Materialkennwerte wird in Fortsetzung des bisherigen Weges systematisch weiter ausgebaut.
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IfS
Arbeitspaket 8: Simulation des Bauteils (ZeTeM/IfS)
Entwicklung und Implementierung einer verteilungs-basierten Simulationsumgebung durch Einbindung der Statistik-basierten Modelle in eine makroskopische Finite-Elemente-Methode.
Die Implementierung wird zunächst in der FEM Toolbox ALBERTA erfolgen.
B2 Verteilungsbasierte Simulation
Ziel:
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IfS
Vorgehen:
Etablierte Methode: Stochastische-FEM
B2 Verteilungsbasierte Simulation
Arbeitspaket 8: Simulation des Bauteils (ZeTeM/IfS)
Statistik
Hier:Entwicklung einer Finite-Elemente-Methode unter Berücksichtigung der Verteilung der Materialkennwerte
Makroskopisch: Kontinuumsmechanik, FEMMikroskopisch: Statistik
Verwandte Methode: Mehrskalen-FEM
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IfS
B2 Verteilungsbasierte Simulation
Arbeitspaket 8: Simulation des Bauteils (ZeTeM/IfS)
Mittelwert der Lösung
Abweichung der Lösung
Realisierung
Stochastische FEM
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IfS
Elastisches Problem
Deterministisch
B2 Verteilungsbasierte Simulation
Arbeitspaket 8: Simulation des Bauteils (ZeTeM/IfS)
)())()(( xfxuxC
),()),(),(( xfxuxC
Die unsicheren Komponenten sind als stochastische Funktionen angenommen, so dass
m
iiij
s
w
ww
0
1 ),,(
Stochastisch
Stochastische FEM
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IfS
Arbeitspaket 8: Simulation des Bauteils (ZeTeM/IfS)
Das resultierende Blocksystem ist
Aber: jeder Block has die Größe einer FEM-Diskretisierung
FUK
mmm
m
KK
KKK
,1,
,11,1
Beispiel: 40 zweite Ordnung stochastische Komponenten
hat (861 x 861) Blockshat der Größe einer normaler FEM-Diskretisierung
KjiK ,
Stochastische FEM
B2 Verteilungsbasierte Simulation
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Ergebnisse:
Bisher:Implementierung einer Mehrskalen-Finite-Elemente-Methode(Bettina Suhr)
Makroskopisch: Kontinuumsmechanik, Finite Elemente Mikroskopisch: Kontinuumsmechanik, Finite Elemente
Anwendung auf lineares mechanisches Modell (Zugversuch)
B2 Verteilungsbasierte Simulation
Arbeitspaket 8: Simulation des Bauteils (ZeTeM/IfS)
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B2 Verteilungsbasierte Simulation
Arbeitspaket 8: Simulation des Bauteils (ZeTeM/IfS)Makroskala
(384 Elemente)
Mikroskala (3027 Elemente)
250 MPa
0
Spannung Spannung
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Ausblick• Kopplung zwischen Numerik und Statistik für Lineare Elastizität
• 1D und 2D (dünne Folien)
• Abgleich der Materialkennwerte mit AP 6
• Demonstrations-Anwendung: Zugversuch
B2 Verteilungsbasierte Simulation
Arbeitspaket 8: Simulation des Bauteils (ZeTeM/IfS)
Statistik
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