Ergebnisbericht des Ausschusses Investment
Beispielhafte Kalibrierung und Validierung
des ESG im BSM zum 31.12.2016
Köln, den 23.01.2017
2
Präambel
Der Ausschuss Investment1 der Deutschen Aktuarvereinigung e.V. (DAV) hat den
vorliegenden Ergebnisbericht erstellt.
Zusammenfassung
Ab Anfang 2016 stellt die DAV quartärlich eine Beispielkalibrierung für den ökono-
mischen Szenariengenerator (ESG) des Branchensimulationsmodells (BSM) zur
Verfügung. Die Ergebnisse dieser Kalibrierung sowie deren Validierung werden in
dem vorliegenden Bericht zusammengefasst. Dabei wird explizit auf folgende
Punkte hingewiesen:
• Die Beispielkalibrierung umfasst sämtliche Kalibrierungsparameter des ESG.
Der vorliegende Ergebnisbericht veröffentlicht neben den Werten dieser Pa-
rameter auch die Datengrundlage der Kalibrierung.
• Daneben beinhaltet der Ergebnisbericht auch einen Abschnitt über zentrale
Validierungen der oben genannten Kalibrierung.
• Alle für die Kalibrierung und Validierung wesentlichen methodischen Aspekte
wurden in einem separaten Ergebnisbericht2 des Ausschusses Investment
dargestellt. Dieser wird laufend gepflegt und an Weiterent-wicklungen des
ESG angepasst.
• Die Beispielkalibrierung kann Aktuaren in Versicherungsunternehmen als
Benchmark dienen, mit dem diese ihre eigene Kalibrierung sowie deren zu-
grundeliegende Methodik vergleichen können.
• Die Beispielkalibrierung soll keine Vorgabe sein, die Aktuare in Versiche-
rungsunternehmen ohne eigene Untersuchungen und Überprüfung deren
Angemessenheit übernehmen können.
• Insbesondere dienen die zugehörigen Validierungen als Referenz, um die
Güte der eigenen Kalibrierung zu bewerten. Zugleich sind solche Validierun-
gen zu einem gewissen Maß Momentaufnahmen, deren Qualität auch von
der Anzahl an simulierten Pfaden und dem verwendeten Seed abhängt.
Abschnitt I dieses Ergebnisberichts befasst sich mit der Kalibrierung des ESG, wäh-
rend Abschnitt II deren Validierung darstellt.
1 Der Ausschuss dankt den UAGs „Kalibrierung spezieller ESG unter Solvency II“ (namentlich Johan-nes Fabrega, Sebastian Helbig, Dr. Holger Schalk und Prof. Dr. Annegret Weng) und „Validierung spezieller ESG unter Solvency II“ (namentlich Dr. Manfred Gravekarstens, Dr. Wilfried Homann, Dr.
Mario Hörig und Norbert Quapp) ausdrücklich für die geleistete Arbeit 2 "Zwischenbericht zur Kalibrierung und Validierung spezieller ESG unter Solvency II"
3
Der Ergebnisbericht ist an die Mitglieder und Gremien der DAV zur Information
über den Stand der Diskussion und die erzielten Erkenntnisse gerichtet. Dieser
Ergebnisbericht stellt keine berufsständisch legitimierte Position der DAV dar.
Verabschiedung
Der Ergebnisbericht ist durch den Ausschuss Investment am 23.01.2017 verab-
schiedet worden.
INHALT
I. Beispielkalibrierung zum Stichtag 31.12.2016 ................................. 6
1. Einleitung ..................................................................................... 6
1.1. Datengrundlage ...................................................................... 6
2. Kalibrierung des Zins-Modells .......................................................... 6
2.1. Ergebnisse ............................................................................. 6
2.2. Bemerkungen ......................................................................... 6
3. Kalibrierung der Aktien- und Immobilienparameter ............................ 7
3.1. Ergebnisse ............................................................................. 7
3.2. Bemerkungen ......................................................................... 7
4. Kalibrierung der Korrelationen ......................................................... 8
4.1. Ergebnisse ............................................................................. 8
4.2. Bemerkungen ......................................................................... 8
II. Validierungsreport für die Beispielkalibrierung per 31.12.2016 ...... 9
1. Einleitung ..................................................................................... 9
2. Zusammenfassung der Validierung ................................................. 10
3. Inhalt und Gegenstand der Validierung ........................................... 10
3.1. Kalibrierung der DAV ............................................................. 10
4. Validierungsergebnisse ................................................................. 11
4.1. Renditen .............................................................................. 11
4.2. Martingaltests ....................................................................... 12
4.3. Test der Verteilungseigenschaften ........................................... 15
4.4. Swaptionvolatilität ................................................................. 18
4.5. Korrelationen zwischen Zinsen und Indexentwicklungen ............. 20
4.6. Volatilität Indizes .................................................................. 21
5
A. Anhang – Validierung der Zinsstresse ............................................ 23
A.1 Renditen ..................................................................................... 23
A.2 Martingaltests ............................................................................. 24
A.2.1 Martingaltest Nullkuponanleihen ............................................ 24
A.2.2 Martingaltest Indizes............................................................ 25
A.3 Test der Verteilungseigenschaften ................................................. 27
A.3.1 Negative Zinsen .................................................................. 27
A.3.2 Verteilung der Shortrate und Zinssätze .................................. 28
A.4 Swaptionvolatilität ....................................................................... 31
A.5 Korrelationen zwischen Zinsen und Indexentwicklungen ................... 33
A.6 Volatilität Indizes ........................................................................ 35
I. Beispielkalibrierung zum Stichtag 31.12.2016
1. Einleitung
Dieser Abschnitt beschreibt die Datengrundlage der Kalibrierung und dokumentiert
die Ergebnisse der Beispielkalibrierung der DAV-Arbeitsgruppe Kalibrierung spezi-
eller ESG unter Solvency II zum Stichtag 31.12.2016. Für den theoretischen Hin-
tergrund und Details zur Methodik sei auf den Ergebnisbericht "Zwischenbericht
zur Kalibrierung und Validierung spezieller ESG unter Solvency II" verwiesen.
1.1. Datengrundlage
Zero-Kupon-Zinssätze für Laufzeiten 1-20 Jahre (monatliche Daten über 10
Jahre) der Bundesbank.
Implizite Volatilität einer (10, 10) at-the-money Receiver-Swaption zum
Stichtag 31.12.2016 (bereitgestellt von einer internationalen Großbank).
Monatliche Entwicklungen des EURO STOXX 50 über 10 Jahre als Grundlage
für die den Aktienprozess betreffenden Parameter.
Jährliche Entwicklungen des IPD Global Annual Property Index und des IPD
Germany Annual Property Index über die jeweils letzten 10 Jahre als Grund-
lage für die den Immobilienprozess betreffenden Parameter.
2. Kalibrierung des Zins-Modells
2.1. Ergebnisse
Die Kalibrierung des Volatilitätsparameters σ des Hull-White Zinsmodells an den
vorliegenden Stichtagswert der unter 1.1 genannten Swaption ergibt einen Wert3
von 1,73% für den Parameter σ.
2.2. Bemerkungen
Zur Kalibrierung wurden die Zinskurven gemäß Bundesbank und eine implizite
Swaptionvolatilität für eine (10,10) at-the-money Receiver-Swaption in Höhe von
46,51% (Black-Volatilität) bzw. 0,74% (Normal-Volatilität)4, beide zum Stichtag
31.12.2016, verwendet.
3 Dabei wird der Wert von β nicht explizit kalibriert sondern gleich 10% gesetzt, woraus sich der
genannte Wert für den Parameter σ aus der Kalibrierung ergibt. 4 Die Volatilitätsangaben gemäß Black- und Normal-Modell können unter Angabe der maßgeblichen
Zinskurve ineinander überführt werden wie hier geschehen, d.h. in ihren jeweiligen Modellen führen
7
Eine wie im Ergebnisbericht "Zwischenbericht zur Kalibrierung und Validierung
spezieller ESG unter Solvency II" dargestellte Mittelung über eine Zeitreihe an his-
torischen Volatilitätsdaten ist dabei nicht erfolgt. Es wurde eine Stichtagskalibrie-
rung durchgeführt.
3. Kalibrierung der Aktien- und Immobilienparameter
3.1. Ergebnisse
Die historische jährliche Volatilität des Euro Stoxx 50 Return Index wurde mit
18,68% bestimmt. Die historische jährliche Volatilität der Immobilien (als 50/50-
Mischung der Standardabweichungen von IPD German Annual Property Fund Index
und IPD Global Annual Property Index) beträgt 5,7%.
3.2. Bemerkungen
Mangels Datenverfügbarkeit für Optionen auf die oben genannten Indizes wurden
die Volatilitäten ausschließlich auf Basis historischer Performance-Werte kalibriert.
Die Daten zum 31.12.2016 für die beiden jährlichen IPD-Indizes sind aktuell noch
nicht veröffentlicht, so dass hier die Werte bis zum 31.12.2015 verwendet wurden.
Diese lagen auch der Kalibrierung zum 30.09.2016 zugrunde.
Eine Kalibrierung der Dividenden- und Mieteinnahmen des Aktien- bzw. Immobili-
enprozesses ist nicht erfolgt, da diese insbesondere vom unternehmenseigenen
Umfeld, Exposure und Anlageziel abhängt. Bei der Kalibrierung dieser Parameter
können folgende Aspekte berücksichtigt werden:
Der Total Return des Aktien- bzw. Immobilienindex unterteil sich in eine
Growth-Komponente, welche das reine Wachstum des Index ohne Dividen-
den-/Mieteinnahmen darstellt sowie eine Komponente bestehend aus Divi-
denden-/Mieteinnahmen.
Im Umfeld von niedrigen bzw. negativen Zinsen führt diese Aufteilung dazu,
dass bei Verwendung von echt positiven Parametern für die Dividenden-
/Mieteinnahmen der reine Growth-Anteil der Indizes im Mittel eine potentiell
signifikante negative mittlere Entwicklung annimmt, da der diskontierte To-
tal Return (also die Kombination der Entwicklung des Growth-Index zusam-
men mit den eingenommenen Dividenden/Mieten) im Mittel einem Wert von
Eins entspricht um der Martingaleigenschaft zu genügen.
die hier genannten Volatilitäten unter Verwendung der Marktzinskurve zum selben Preis der betrach-
teten Swaption.
8
Obwohl somit sichergestellt ist, dass bei beliebigen positiven Parametern für
die Dividenden-/Mieteinnahmen der Total Return Index im Mittel immer der-
selben Wertentwicklung folgt, können unterschiedliche Dividenden-
/Mieteinnahmen in der nachgelagerten Cash Flow Projektion zur Bewertung
der Verpflichtungen durchaus einen Ergebniseinfluss haben.
4. Kalibrierung der Korrelationen
4.1. Ergebnisse
Die Korrelation zwischen den Log-Returns des Euro Stoxx 50 Return Index und
den absoluten Zinsänderungen der einjährigen Zero-Kupon-Zinssätze ergibt 32%.
Da die Korrelation für die Erzeugung der Szenarien bzw. für die Bestimmung der
zeitabhängigen Volatilität des Aktienprozesses auf ganze Zehnerstufen gerundet
wird, ergibt sich ein Wert von 30%.
Die Korrelation zwischen den Immobilien- und dem Zinsprozess wird analog dazu
auf einen Wert von 30% gesetzt. Die Korrelation zwischen Aktien- und Immobili-
enprozess wird auf einen Wert von 75% gesetzt.
4.2. Bemerkungen
Die Kalibrierung der Korrelationen zwischen Immobilienprozess und Aktien- bzw.
Zinsprozess wird aufgrund der sehr dünnen Datengrundlage für Immobilien im
Sinne der Stabilität dieser Parameter unter Hinzunahme von Expertenschätzungen
entsprechend so gesetzt, dass Aktien- und Immobilienprozess eine Korrelation von
75% aufweisen und Zins- und Immobilienprozess dieselbe Korrelation wie Zins-
und Aktienprozess haben.
9
II. Validierungsreport für die Beispielkalibrierung per
31.12.2016
1. Einleitung
Dieser Abschnitt stellt zentrale Validierungen der im ersten Abschnitt dargestellten
Kalibrierung dar. Für den theoretischen Hintergrund und Details zur Methodik sei
auf den Ergebnisbericht "Zwischenbericht zur Kalibrierung und Validierung spezi-
eller ESG unter Solvency II" verwiesen.
Dabei wurde folgender Ansatz verwendet:
Mit dem vom GDV bereitgestellten ESG in der Version 2.1 werden unter Verwen-
dung der oben dargestellten DAV-Kalibrierungs-Parameter 1.000 risikoneutrale
Pfade - jeweils für die Best Estimate(BE)- und die beiden gestressten Zins-kurven
- erzeugt; der Wert des Seeds betrug dabei 16 und hat sich damit im Vergleich zu
den bisher veröffentlichten Kalibrierungen verändert5. Es erfolgt eine Validierung
dieser Szenarien, wobei im Kapitel 4 zwar auf die Güte aller drei Szenarien einge-
gangen wird, die Visualisierungen und zugehörige Größen sich jedoch auf die Er-
gebnisse des BE-Szenarios beschränken. Im Anhang A finden sich der Vollständig-
keit halber entsprechenden Visualisierungen und zugehörige Größen für die beiden
Zinsstresse.
Um die Konsistenz des Szenariensatzes zu den vorgegebenen Marktpreisen und
der risikoneutralen Projektion zu testen, werden die folgenden Tests durchgeführt:
Test der Konsistenz des Szenariensatzes zur initialen Marktzinskurve: „Mar-
tingaltest für Diskontsätze“
Test des Szenariensatzes im Hinblick auf seine Martingaleigenschaft für
Nullkuponanleihen und für den Aktien- bzw. Immobilienindex: „Martingal-
test für Indizes und Bonds“
Test der Konsistenz des Szenariensatzes im Hinblick auf Verteilungseigen-
schaften der Zinsen
Ermittlung der impliziten Swaptionvolatilitäten
Test der Konsistenz der Korrelation zwischen den Assetklassen im Szenari-
ensatz zu den Kalibrierungsparametern
Ermittlung der impliziten Volatilitäten von Optionen auf den Aktien- und Im-
mobilienindex
5 Diese Veränderung ist der Tatsache geschuldet, dass die mäßigen Validierungen der
Martingaleigenschaft in den vorherigen Kalibrierungen auf eine aus dieser Sicht ungünstigen Wahl
des Seeds zurückzuführen waren.
10
2. Zusammenfassung der Validierung
Insgesamt zeigt die Validierung zufriedenstellende Ergebnisse.
3. Inhalt und Gegenstand der Validierung
3.1. Kalibrierung der DAV
Für den 31.12.2016 wurde durch die DAV-AG „Kalibrierung spezieller ESG unter
Solvency II“ eine Beispielkalibrierung der Kapitalmarktmodelle (Zins-, Aktien- und
Immobilienmodell) zum ESG des BSM hergeleitet (siehe Abschnitt I).
Parameter der Kalibrierung:
o Startzinskurve: Basiszinskurve (BE, inkl. CRA und ohne Volatilitäts-
anpassung)
o Volatilitätsparameter des Aktienprozesses: 18,68% (t≥1)
o Volatilitätsparameter des Immobilienprozesses: 5,7% (t≥1)
o Mean reversion rate („beta“) des Hull-White-Modells: 10%
o Volatilität („sigma“) des Hull-White-Modells: 1,73%
o Korrelationsmatrix:
Shortrate Aktien Immobilien
Shortrate 1 0,3 0,3
Aktien 0,3 1 0,75
Immobi-
lien
0,3 0,75 1
11
4. Validierungsergebnisse
4.1. Renditen
Testansatz:
Das 1-Faktor Hull-White-Modell wird u.a. mit dem Ziel kalibriert, dass sich darin
die Startzinskurve im Mittel realisiert. Um zu testen, ob dies im gegebenen Szena-
riensatz der Fall ist, vergleicht man die Mittelwerte der über die Zeit projizierten
Diskontsätze (bzw. deren Transformation auf Spotrates) mit der Startzinskurve.
Nachfolgende Grafik illustriert die Testergebnisse für das BE-Szenario. Die ent-
sprechenden Ergebnisse für die beiden Zinsstresse sind von vergleichbarer Güte.
Ergebnis:
Für alle drei Szenarien liegt eine gute Übereinstimmung zwischen der Zinsstruk-
turkurve, die sich aus der Simulation ergibt, und der Eingabe-Zinsstrukturkurve
vor.
12
4.2. Martingaltests
Von einem marktkonsistenten, für die Bewertung von Cashflows geeigneten Sze-
nariensatz wird verlangt, dass dieser arbitragefrei ist, d.h. dass es keine Invest-
mentstrategie gibt, die einen risikofreien Ertrag über den risikofreien Zins hinaus
generiert. Im Fall einer risikoneutralen Bewertung bedeutet dies insbesondere,
dass alle Assetklassen im Mittel den risikofreien Zins erbringen müssen. In der
Praxis wird dies dadurch überprüft, dass der sog. Martingaltest durchgeführt wird.
Dieser Test verlangt, dass für alle Assetklassen und alle Projektionszeit-punkte t
= 1, 2 … T der Erwartungswert der diskontierten Cashflows von einem in t=0 in-
vestierten Euro wiederum 1 Euro beträgt. Daher wird dieser Test auch “1=1”-Test
genannt. In der Praxis bedeutet dies, dass die in einzelnen Assetklassen (und da-
mit auch die für die gesamte Kapitalallokation) im Modell projizierten und diskon-
tierten Cashflows den anfänglichen Marktwerten der Kapitalanlage entsprechen.
4.2.1. Martingaltest Nullkuponanleihen
Nachfolgende Grafik illustriert die Testergebnisse für das BE-Szenario. Die ent-
sprechenden Ergebnisse für die beiden Zinsstresse sind von vergleichbarer Güte.
Ergebnis:
Für alle drei Szenarien liegt die „Einslinie“ durchgehend im Konfidenzintervall. Ab
dem Projektionsjahr 50 kommt es immer wieder zu Abweichungen von absolut
über 2% bis maximal 3%.
13
Insgesamt zeigt der Martingaltest zufriedenstellende Ergebnisse, insbesondere im
Hinblick auf das relativ hohe Maß an Varianz, welches sich durch die hohe zugrun-
deliegende Swaptionvolatilität ergibt. Bezüglich der stärkeren Abweichungen ab
Projektionsjahr 50 sollte gegebenenfalls individuell das zu diesem Projektionszeit-
punkt noch vorliegende unternehmensindividuelle Exposure geprüft werden, um
die Erzeugung von Leakage oder Modellunschärfe zu vermeiden.
4.2.2. Martingaltest Indizes
Nachfolgende Grafiken illustrieren die Testergebnisse für das BE-Szenario. Die ent-
sprechenden Ergebnisse für die beiden Zinsstresse sind von vergleichbarer Güte.
14
Ergebnis:
Für den Immobilienindex liegt die Einslinie durchgehend im Konfidenzintervall. Der
Mittelwert der diskontierten Total Returns liegt sogar durchgehend innerhalb eines
2%-Korridors um die Einslinie.
Für Aktien fällt der Test etwas schlechter aus. Im BE-Szenario liegt die Einslinie
zwar innerhalb des Konfidenzintervalls. Allerdings weicht der Mittelwert der dis-
kontierten Total Returns um das Projektionsjahr 45 um bis zu +5% bzw. -10% um
das Projektionsjahr 90 von der Einslinie ab (auf den Zinsstressen liegen vergleich-
bare Abweichungen vor). Diese Abweichungen sind auf die höhere Simulationsva-
rianz der Aktien im Vergleich zu den Immobilien zurückzuführen.
Insgesamt zeigt der Martingal-Test zufriedenstellende Ergebnisse. Bezüglich der
phasenweise etwas stärkeren Abweichungen für Aktien sollte gegebenenfalls indi-
viduell das zu diesem Projektionszeitpunkt noch vorliegende unternehmensindivi-
duelle Exposure geprüft werden, um die Erzeugung von Leakage oder Modellun-
schärfe zu vermeiden.
4.2.3. Reinvestitionstest
Der Reinvestitionstest (auch „1=1=1-Test“ genannt) stellt eine Erweiterung des
einfachen Martingaltests dar. Hierbei wird die Martingaleigenschaft eines Assets,
welcher aus einer dynamischen Reinvestitionsstrategie in Aktien, Immobilien und
Zinsen resultiert, überprüft. In der vorliegenden Validierung wurden anfängliche
15
Investitionen bis t1=1,…,80 in Zinstitel bzw. Indizes weitere t2=5, 10, 15, 20 Jah-
ren in Indizes bzw. Zinstitel umgeschichtet und deren mittlerer diskontierter
Marktwert sowie die zugehörigen symmetrischen 5%-Konfidenzintervalle ermit-
telt. Liegt der Mittelwert einer solchen Umschichtungsstrategie in einem Projekti-
onsjahr außerhalb des zugehörigen Konfidenzintervalls, so gilt der Test in diesem
einen Fall als nicht bestanden.
Um festzulegen, ob die Szenariengesamtheit den Test (über alle Projektionsjahre
und Umschichtungsstrategien) besteht, wurde ein Hypothesentest, der anhand der
Anzahl der Abweichungen je Simulationsjahr entscheidet, ob der Reinvestitionstest
bestanden ist, umgesetzt.
Treten keine oder nur wenige Abweichungen auf, dann gilt der Test als bestanden,
treten zu viele auf, ist er nicht bestanden. Bei einer mittleren Anzahl von Abwei-
chungen muss der Nutzer anhand der Einzelabweichungen im Detail entscheiden,
ob der Test bestanden ist.
Für die untere Grenze wurde festgelegt: Bei weniger als 7 aufgetretenen Abwei-
chungen gilt der Test als bestanden.
Die obere Grenze zum definitiven Nichtbestehen des Tests ist folgendermaßen er-
mittelt: Bei den betrachteten 320 Tests6 (z.B. von Zins nach Zins) und einer Wahr-
scheinlichkeit des Überschreitens von 5% gibt es unter Annahme der Binomialver-
teilung einen Mittelwert von 16 Abweichungen und eine Varianz von 15,2. Der
Hypothesentest besagt, dass bei einer Anzahl von mehr als 23 Abweichungen die
Hypothese mit einer Wahrscheinlichkeit von über 97,5% abzulehnen ist.
Zusätzlich wird ein „Ausreißer-Test“ für die Reinvestitionen durchgeführt. Die Re-
investitionen werden nun zusätzlich um Ausreißer oberhalb des 99,5%-Quantils
geprüft. Falls mehr als 5 Ausreißer gefunden werden, gilt dieser Test als nicht
bestanden. Bei keinem oder einem Ausreißer gilt der Test als bestanden, dazwi-
schen ist keine eindeutige Aussage möglich.
Ergebnis:
Auf dem BE-Szenario, Zins-up-Szenario und Zins-down-Szenario kam es beim Hy-
pothesentest „Reinvestition“ für keine Reinvestitionsstrategie zu Abweichungen.
Die Szenariensätze bestehen folglich sämtliche Reinvestitionstests.
4.3. Test der Verteilungseigenschaften
4.3.1. Negative Zinsen
Testansatz:
Im Hull-White-Modell ist die Shortrate normalverteilt. Erwartungswert und Varianz
sind daher zu jedem Zeitpunkt in einer geschlossenen Formel darstellbar. Eine
6 4 Umschichtungsdauern nach je 1-80 Projektionsjahren
16
theoretische Wahrscheinlichkeit für das Auftreten negativer Zinsen lässt sich daher
angeben, die mit der empirischen Wahrscheinlichkeit verglichen werden kann.
Nachfolgende Grafik illustriert die Testergebnisse für das BE-Szenario. Die ent-
sprechenden Ergebnisse für die beiden Zinsstresse sind von vergleichbarer Güte
und lediglich gemäß der vorliegenden Zinsstresse entsprechend verschoben.
Ergebnis:
Die Häufigkeit negativer Zinsen entspricht auf allen drei Szenarien bis auf eine
geringe verbleibende Simulationsvarianz dem, was vom Hull-White-Modell bei der
gegebenen Parametrisierung zu erwarten ist. Insbesondere in den ersten Projek-
tionsjahren ist ein hoher Anteil negativer Zinsen zu erwarten.
4.3.2. Verteilung der Shortrate und Zinssätze
Zusätzlich lässt sich die Verteilung der Shortrate und Zinsen für verschiedene Lauf-
zeiten über die Projektion grafisch über einen Plot von ausgewählten Quantilen
darstellen.
Nachfolgende Grafiken illustrieren die Testergebnisse für das BE-Szenario. Die ent-
sprechenden Ergebnisse für die beiden Zinsstresse finden sich im Anhang und sind
gemäß der vorliegenden Zinsstresse entsprechend verschoben.
17
18
4.4. Swaptionvolatilität
Zum Test der Volatilitätskalibrierung des Hull-White-Modells wurden des Weiteren
die Preise und daraus die impliziten Black- und Normal-Volatilitäten von at-the-
money Receiver-Swaptions mit Nominal 1 EUR für (Maturity, Tenor)-Kombinatio-
nen aus {5, 10, 15, 20, 25} x {5, 10, 15, 20, 25} Jahren für das BE-Szenario
ermittelt. Diese lauten
Implizite Black-Volatilitäten
Maturity\Tenor 5 10 15 20 25
5 113,7% 63,2% 49,3% 34,7% 25,8%
10 56,0% 45,0% 30,1% 21,7% 17,1%
15 51,0% 27,8% 18,9% 14,5% 12,0%
20 30,0% 20,7% 16,0% 13,2% 11,4%
25 19,9% 15,1% 12,3% 10,5% 9,2%
19
Implizite Normal-Volatilitäten
Maturity\Tenor 5 10 15 20 25
5 1,04% 0,84% 0,70% 0,59% 0,51%
10 0,86% 0,69% 0,57% 0,48% 0,42%
15 0,70% 0,55% 0,46% 0,39% 0,35%
20 0,74% 0,60% 0,51% 0,44% 0,39%
25 0,66% 0,53% 0,45% 0,39% 0,35%
Hierbei ist zu beachten, dass die Black-Quotierung der impliziten Swaptionvolatili-
täten vom zugrundeliegenden Zinsniveau abhängt, da dieser die Volatilität der re-
lativen Zinsänderungen misst. Daher ergibt die Betrachtung dieser Volatilitäts-
matrix sowohl für das BE-Szenario als auch die beiden Zinsstresse nur einge-
schränkt Sinn, da sich diese Volatilitäten abhängig vom Zinsniveau modellbedingt
ändern müssen. Im Anhang finden sich diese Werte für die beiden Zinsstresse
daher nur nachrichtlich und ohne weitere Beurteilung. Die implizite Normal-Vola-
tilität hingegen separiert die Messung der Volatilität vollständig vom Zinsniveau,
weshalb wir die weitere Validierung auf dieser Quotierung basieren.
Für die Validierung beschränken wir uns auf den Vergleich des Zielwertes von
0,74% für die (10,10) at-the-money Receiver Swaption (welcher der alleinige Ziel-
punkt für die Kalibrierung war) und vergleichen diesen mit dem empirisch ermit-
telten Wert bei Simulation mit dem ESG unter Verwendung der Marktzinskurve.
Der sich daraus ergebende Wert beträgt 0,69% und weicht damit stärker vom
Zielwert ab. Eine Wiederholung dieser Validierung mit einem BE-Szenario generiert
mit einem alternativen Seed von 12 zeigte eine implizite Volatilität von 0,73%
woraus wir schließen, dass die oben aufgetretene starke Abweichung rein varianz-
bedingt ist; insgesamt schließen wir daraus auf eine gute Qualität der Kalibrierung
des Volatilitätsparameters.
Ferner weisen die Normal-Swaptionvolatilitäten für die beiden Zinsstresse in An-
hang A.4 bis auf einen stochastischen Fehler dieselben Werte wie im Basisszenario
auf.
Eine pauschale Beurteilung der Swaptionvolatilitätskalibrierung kann im Rahmen
der Validierung nicht erfolgen, ohne die zugehörigen Kalibrierungsziele zu nennen
und zu klären:
Für welche Swaptions soll die implizite Volatilität getroffen werden?
Aufgrund der Tatsache, dass nur der Volatilitätsparameter σ zur Kalibrierung
zur Verfügung steht (der Parameter β wird aktuell konstant auf 0.1 gesetzt),
kann auch nur die implizite Volatilität einer ausgewählten Swaption exakt ge-
troffen werden. Eine alternative Metrik würde die mittlere Abweichung zwi-
schen Modellwerten und Kalibrierungsvorgaben für eine bestimmte Menge an
Swaptions darstellen.
20
4.5. Korrelationen zwischen Zinsen und Indexentwicklungen
Die nachfolgenden Grafiken zeigen die Korrelation zwischen den Zinsen verschie-
dener Laufzeiten (x-Achse entspricht der Laufzeit) und dem Logarithmus des
Excess-Returns der Indexentwicklung für das BE-Szenario auf. Die entsprechen-
den Ergebnisse für die beiden Zinsstresse sind von vergleichbarer Güte.
21
Die Korrelation zwischen Aktien und Immobilien beträgt 75,1% auf dem BE-Sze-
nario.
Ergebnis:
Insgesamt weisen die Korrelationen zwischen Nullkuponanleihen und Aktien, Null-
kuponanleihen und Immobilien sowie Aktien und Immobilien eine gute Überein-
stimmung mit den Vorgabeparametern (30% bzw. 75%) auf. Die leichten Abwei-
chung von der Zielkorrelation zwischen Aktien und Zinsen von 30% resultiert im
Wesentlichen daraus, dass es sich dabei um die Korrelation zwischen dem Loga-
rithmus des Excess-Returns des Aktienprozesses und des Shortrate-Prozesses
handelt und sich letzterer Prozess nicht direkt auf die Zinsen überträgt, so dass
die Transformation, welche aus den Shortrates die Zinskurven generiert, für die
hier sichtbare, aber moderate Verzerrung sorgt.
4.6. Volatilität Indizes
Die nachfolgenden beiden Grafiken zeigen jeweils den Preis (blaue Linie) und die
implizite Volatilität (orangefarbene Linie) einer at-the-Money Call-Option auf den
Aktien- bzw. Immobilienindex mit steigender Optionslaufzeit. Nachfolgende Grafi-
ken illustrieren die Testergebnisse für das BE-Szenario. Die entsprechenden Er-
gebnisse für die beiden Zinsstresse sind von vergleichbarer Güte.
22
Ergebnis:
Es zeigen sich implizite Volatilitäten von anfänglich ca. 18 % (Aktien) und 6%
(Immobilien), welche mit den Kalibrierungszielen übereinstimmen. Im Laufe der
Projektion steigen diese Volatilitäten auf ca. 25% bzw. 16%. Dieser Anstieg, wel-
cher scheinbar im Widerspruch zu den Kalibrierungszielen steht, resultiert aus der
im Zeitverlauf zunehmenden zusätzlichen Volatilität des Zinsprozesses, welche
vom Black-Scholes-Modell, das eine deterministische Verzinsung vorsieht, als wei-
tere Volatilität der Indizes gemessen wird.
A. Anhang – Validierung der Zinsstresse
A.1 Renditen
Zins-down
s
Zins-up
A. Anhang – Validierung der Zinsstresse
24
A.2 Martingaltests
A.2.1 Martingaltest Nullkuponanleihen
Zins-down
Zins-up
A. Anhang – Validierung der Zinsstresse
25
A.2.2 Martingaltest Indizes
Zins-down
A. Anhang – Validierung der Zinsstresse
26
Zins-up
A. Anhang – Validierung der Zinsstresse
27
A.3 Test der Verteilungseigenschaften
A.3.1 Negative Zinsen
Zins-down
Zins-up
A. Anhang – Validierung der Zinsstresse
28
A.3.2 Verteilung der Shortrate und Zinssätze
Zins-down
A. Anhang – Validierung der Zinsstresse
29
Zins-up
A. Anhang – Validierung der Zinsstresse
30
A. Anhang – Validierung der Zinsstresse
31
A.4 Swaptionvolatilität
Zins-down
Implizite Black-Volatilitäten
Maturity\Te-
nor
5 10 15 20 25
5 NA 94,0% 72,4% 48,6% 35,0%
10 85,1% 68,9% 42,6% 29,6% 22,7%
15 160,2% 41,1% 26,2% 19,5% 15,7%
20 44,4% 28,8% 21,6% 17,4% 14,7%
25 27,8% 20,5% 16,2% 13,5% 11,6%
Implizite Normal-Volatilitäten
Maturity\Te-
nor
5 10 15 20 25
5 1,04% 0,83% 0,69% 0,58% 0,50%
10 0,85% 0,69% 0,56% 0,47% 0,41%
15 0,69% 0,55% 0,45% 0,38% 0,33%
20 0,73% 0,59% 0,50% 0,43% 0,38%
25 0,65% 0,52% 0,44% 0,38% 0,33%
A. Anhang – Validierung der Zinsstresse
32
Zins-up
Implizite Black-Volatilitäten
Maturity\Te-
nor
5 10 15 20 25
5 51,4% 36,1% 29,5% 22,8% 18,4%
10 33,2% 27,2% 20,2% 15,7% 13,0%
15 28,7% 18,8% 13,8% 11,1% 9,5%
20 21,3% 15,6% 12,5% 10,6% 9,3%
25 15,3% 12,0% 9,9% 8,6% 7,7%
Implizite Normal-Volatilitäten
Maturity\Te-
nor
5 10 15 20 25
5 1,05% 0,85% 0,72% 0,61% 0,54%
10 0,87% 0,70% 0,58% 0,50% 0,44%
15 0,71% 0,57% 0,47% 0,41% 0,36%
20 0,75% 0,61% 0,52% 0,46% 0,41%
25 0,66% 0,54% 0,46% 0,41% 0,37%
A. Anhang – Validierung der Zinsstresse
33
A.5 Korrelationen zwischen Zinsen und Indexentwicklungen
Zins-down
Korrelation Aktien – Immobilien: 75,1%
A. Anhang – Validierung der Zinsstresse
34
Zins-up
Korrelation Aktien – Immobilien: 75,1%
A. Anhang – Validierung der Zinsstresse
35
A.6 Volatilität Indizes
Zins-down
A. Anhang – Validierung der Zinsstresse
36
Zins-up
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