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Ergebnisbericht des Ausschusses Investment

Beispielhafte Kalibrierung und Validierung

des ESG im BSM zum 31.12.2016

Köln, den 23.01.2017

2

Präambel

Der Ausschuss Investment1 der Deutschen Aktuarvereinigung e.V. (DAV) hat den

vorliegenden Ergebnisbericht erstellt.

Zusammenfassung

Ab Anfang 2016 stellt die DAV quartärlich eine Beispielkalibrierung für den ökono-

mischen Szenariengenerator (ESG) des Branchensimulationsmodells (BSM) zur

Verfügung. Die Ergebnisse dieser Kalibrierung sowie deren Validierung werden in

dem vorliegenden Bericht zusammengefasst. Dabei wird explizit auf folgende

Punkte hingewiesen:

• Die Beispielkalibrierung umfasst sämtliche Kalibrierungsparameter des ESG.

Der vorliegende Ergebnisbericht veröffentlicht neben den Werten dieser Pa-

rameter auch die Datengrundlage der Kalibrierung.

• Daneben beinhaltet der Ergebnisbericht auch einen Abschnitt über zentrale

Validierungen der oben genannten Kalibrierung.

• Alle für die Kalibrierung und Validierung wesentlichen methodischen Aspekte

wurden in einem separaten Ergebnisbericht2 des Ausschusses Investment

dargestellt. Dieser wird laufend gepflegt und an Weiterent-wicklungen des

ESG angepasst.

• Die Beispielkalibrierung kann Aktuaren in Versicherungsunternehmen als

Benchmark dienen, mit dem diese ihre eigene Kalibrierung sowie deren zu-

grundeliegende Methodik vergleichen können.

• Die Beispielkalibrierung soll keine Vorgabe sein, die Aktuare in Versiche-

rungsunternehmen ohne eigene Untersuchungen und Überprüfung deren

Angemessenheit übernehmen können.

• Insbesondere dienen die zugehörigen Validierungen als Referenz, um die

Güte der eigenen Kalibrierung zu bewerten. Zugleich sind solche Validierun-

gen zu einem gewissen Maß Momentaufnahmen, deren Qualität auch von

der Anzahl an simulierten Pfaden und dem verwendeten Seed abhängt.

Abschnitt I dieses Ergebnisberichts befasst sich mit der Kalibrierung des ESG, wäh-

rend Abschnitt II deren Validierung darstellt.

1 Der Ausschuss dankt den UAGs „Kalibrierung spezieller ESG unter Solvency II“ (namentlich Johan-nes Fabrega, Sebastian Helbig, Dr. Holger Schalk und Prof. Dr. Annegret Weng) und „Validierung spezieller ESG unter Solvency II“ (namentlich Dr. Manfred Gravekarstens, Dr. Wilfried Homann, Dr.

Mario Hörig und Norbert Quapp) ausdrücklich für die geleistete Arbeit 2 "Zwischenbericht zur Kalibrierung und Validierung spezieller ESG unter Solvency II"

https://aktuar.de/unsere-themen/fachgrundsaetze-oeffentlich/2015-11-09_DAV-Ergebnisbericht_Kalibrierung%20und%20Validierung%20spezieller%20ESG_Update.pdf

3

Der Ergebnisbericht ist an die Mitglieder und Gremien der DAV zur Information

über den Stand der Diskussion und die erzielten Erkenntnisse gerichtet. Dieser

Ergebnisbericht stellt keine berufsständisch legitimierte Position der DAV dar.

Verabschiedung

Der Ergebnisbericht ist durch den Ausschuss Investment am 23.01.2017 verab-

schiedet worden.

INHALT

I. Beispielkalibrierung zum Stichtag 31.12.2016 ................................. 6

1. Einleitung ..................................................................................... 6

1.1. Datengrundlage ...................................................................... 6

2. Kalibrierung des Zins-Modells .......................................................... 6

2.1. Ergebnisse ............................................................................. 6

2.2. Bemerkungen ......................................................................... 6

3. Kalibrierung der Aktien- und Immobilienparameter ............................ 7

3.1. Ergebnisse ............................................................................. 7

3.2. Bemerkungen ......................................................................... 7

4. Kalibrierung der Korrelationen ......................................................... 8

4.1. Ergebnisse ............................................................................. 8

4.2. Bemerkungen ......................................................................... 8

II. Validierungsreport für die Beispielkalibrierung per 31.12.2016 ...... 9

1. Einleitung ..................................................................................... 9

2. Zusammenfassung der Validierung ................................................. 10

3. Inhalt und Gegenstand der Validierung ........................................... 10

3.1. Kalibrierung der DAV ............................................................. 10

4. Validierungsergebnisse ................................................................. 11

4.1. Renditen .............................................................................. 11

4.2. Martingaltests ....................................................................... 12

4.3. Test der Verteilungseigenschaften ........................................... 15

4.4. Swaptionvolatilität ................................................................. 18

4.5. Korrelationen zwischen Zinsen und Indexentwicklungen ............. 20

4.6. Volatilität Indizes .................................................................. 21

5

A. Anhang – Validierung der Zinsstresse ............................................ 23

A.1 Renditen ..................................................................................... 23

A.2 Martingaltests ............................................................................. 24

A.2.1 Martingaltest Nullkuponanleihen ............................................ 24

A.2.2 Martingaltest Indizes............................................................ 25

A.3 Test der Verteilungseigenschaften ................................................. 27

A.3.1 Negative Zinsen .................................................................. 27

A.3.2 Verteilung der Shortrate und Zinssätze .................................. 28

A.4 Swaptionvolatilität ....................................................................... 31

A.5 Korrelationen zwischen Zinsen und Indexentwicklungen ................... 33

A.6 Volatilität Indizes ........................................................................ 35

I. Beispielkalibrierung zum Stichtag 31.12.2016

1. Einleitung

Dieser Abschnitt beschreibt die Datengrundlage der Kalibrierung und dokumentiert

die Ergebnisse der Beispielkalibrierung der DAV-Arbeitsgruppe Kalibrierung spezi-

eller ESG unter Solvency II zum Stichtag 31.12.2016. Für den theoretischen Hin-

tergrund und Details zur Methodik sei auf den Ergebnisbericht "Zwischenbericht

zur Kalibrierung und Validierung spezieller ESG unter Solvency II" verwiesen.

1.1. Datengrundlage

Zero-Kupon-Zinssätze für Laufzeiten 1-20 Jahre (monatliche Daten über 10

Jahre) der Bundesbank.

Implizite Volatilität einer (10, 10) at-the-money Receiver-Swaption zum

Stichtag 31.12.2016 (bereitgestellt von einer internationalen Großbank).

Monatliche Entwicklungen des EURO STOXX 50 über 10 Jahre als Grundlage

für die den Aktienprozess betreffenden Parameter.

Jährliche Entwicklungen des IPD Global Annual Property Index und des IPD

Germany Annual Property Index über die jeweils letzten 10 Jahre als Grund-

lage für die den Immobilienprozess betreffenden Parameter.

2. Kalibrierung des Zins-Modells

2.1. Ergebnisse

Die Kalibrierung des Volatilitätsparameters σ des Hull-White Zinsmodells an den

vorliegenden Stichtagswert der unter 1.1 genannten Swaption ergibt einen Wert3

von 1,73% für den Parameter σ.

2.2. Bemerkungen

Zur Kalibrierung wurden die Zinskurven gemäß Bundesbank und eine implizite

Swaptionvolatilität für eine (10,10) at-the-money Receiver-Swaption in Höhe von

46,51% (Black-Volatilität) bzw. 0,74% (Normal-Volatilität)4, beide zum Stichtag

31.12.2016, verwendet.

3 Dabei wird der Wert von β nicht explizit kalibriert sondern gleich 10% gesetzt, woraus sich der

genannte Wert für den Parameter σ aus der Kalibrierung ergibt. 4 Die Volatilitätsangaben gemäß Black- und Normal-Modell können unter Angabe der maßgeblichen

Zinskurve ineinander überführt werden wie hier geschehen, d.h. in ihren jeweiligen Modellen führen



7

Eine wie im Ergebnisbericht "Zwischenbericht zur Kalibrierung und Validierung

spezieller ESG unter Solvency II" dargestellte Mittelung über eine Zeitreihe an his-

torischen Volatilitätsdaten ist dabei nicht erfolgt. Es wurde eine Stichtagskalibrie-

rung durchgeführt.

3. Kalibrierung der Aktien- und Immobilienparameter

3.1. Ergebnisse

Die historische jährliche Volatilität des Euro Stoxx 50 Return Index wurde mit

18,68% bestimmt. Die historische jährliche Volatilität der Immobilien (als 50/50-

Mischung der Standardabweichungen von IPD German Annual Property Fund Index

und IPD Global Annual Property Index) beträgt 5,7%.

3.2. Bemerkungen

Mangels Datenverfügbarkeit für Optionen auf die oben genannten Indizes wurden

die Volatilitäten ausschließlich auf Basis historischer Performance-Werte kalibriert.

Die Daten zum 31.12.2016 für die beiden jährlichen IPD-Indizes sind aktuell noch

nicht veröffentlicht, so dass hier die Werte bis zum 31.12.2015 verwendet wurden.

Diese lagen auch der Kalibrierung zum 30.09.2016 zugrunde.

Eine Kalibrierung der Dividenden- und Mieteinnahmen des Aktien- bzw. Immobili-

enprozesses ist nicht erfolgt, da diese insbesondere vom unternehmenseigenen

Umfeld, Exposure und Anlageziel abhängt. Bei der Kalibrierung dieser Parameter

können folgende Aspekte berücksichtigt werden:

Der Total Return des Aktien- bzw. Immobilienindex unterteil sich in eine

Growth-Komponente, welche das reine Wachstum des Index ohne Dividen-

den-/Mieteinnahmen darstellt sowie eine Komponente bestehend aus Divi-

denden-/Mieteinnahmen.

Im Umfeld von niedrigen bzw. negativen Zinsen führt diese Aufteilung dazu,

dass bei Verwendung von echt positiven Parametern für die Dividenden-

/Mieteinnahmen der reine Growth-Anteil der Indizes im Mittel eine potentiell

signifikante negative mittlere Entwicklung annimmt, da der diskontierte To-

tal Return (also die Kombination der Entwicklung des Growth-Index zusam-

men mit den eingenommenen Dividenden/Mieten) im Mittel einem Wert von

Eins entspricht um der Martingaleigenschaft zu genügen.

die hier genannten Volatilitäten unter Verwendung der Marktzinskurve zum selben Preis der betrach-

teten Swaption.



8

Obwohl somit sichergestellt ist, dass bei beliebigen positiven Parametern für

die Dividenden-/Mieteinnahmen der Total Return Index im Mittel immer der-

selben Wertentwicklung folgt, können unterschiedliche Dividenden-

/Mieteinnahmen in der nachgelagerten Cash Flow Projektion zur Bewertung

der Verpflichtungen durchaus einen Ergebniseinfluss haben.

4. Kalibrierung der Korrelationen

4.1. Ergebnisse

Die Korrelation zwischen den Log-Returns des Euro Stoxx 50 Return Index und

den absoluten Zinsänderungen der einjährigen Zero-Kupon-Zinssätze ergibt 32%.

Da die Korrelation für die Erzeugung der Szenarien bzw. für die Bestimmung der

zeitabhängigen Volatilität des Aktienprozesses auf ganze Zehnerstufen gerundet

wird, ergibt sich ein Wert von 30%.

Die Korrelation zwischen den Immobilien- und dem Zinsprozess wird analog dazu

auf einen Wert von 30% gesetzt. Die Korrelation zwischen Aktien- und Immobili-

enprozess wird auf einen Wert von 75% gesetzt.

4.2. Bemerkungen

Die Kalibrierung der Korrelationen zwischen Immobilienprozess und Aktien- bzw.

Zinsprozess wird aufgrund der sehr dünnen Datengrundlage für Immobilien im

Sinne der Stabilität dieser Parameter unter Hinzunahme von Expertenschätzungen

entsprechend so gesetzt, dass Aktien- und Immobilienprozess eine Korrelation von

75% aufweisen und Zins- und Immobilienprozess dieselbe Korrelation wie Zins-

und Aktienprozess haben.

9

II. Validierungsreport für die Beispielkalibrierung per

31.12.2016

1. Einleitung

Dieser Abschnitt stellt zentrale Validierungen der im ersten Abschnitt dargestellten

Kalibrierung dar. Für den theoretischen Hintergrund und Details zur Methodik sei

auf den Ergebnisbericht "Zwischenbericht zur Kalibrierung und Validierung spezi-

eller ESG unter Solvency II" verwiesen.

Dabei wurde folgender Ansatz verwendet:

Mit dem vom GDV bereitgestellten ESG in der Version 2.1 werden unter Verwen-

dung der oben dargestellten DAV-Kalibrierungs-Parameter 1.000 risikoneutrale

Pfade - jeweils für die Best Estimate(BE)- und die beiden gestressten Zins-kurven

- erzeugt; der Wert des Seeds betrug dabei 16 und hat sich damit im Vergleich zu

den bisher veröffentlichten Kalibrierungen verändert5. Es erfolgt eine Validierung

dieser Szenarien, wobei im Kapitel 4 zwar auf die Güte aller drei Szenarien einge-

gangen wird, die Visualisierungen und zugehörige Größen sich jedoch auf die Er-

gebnisse des BE-Szenarios beschränken. Im Anhang A finden sich der Vollständig-

keit halber entsprechenden Visualisierungen und zugehörige Größen für die beiden

Zinsstresse.

Um die Konsistenz des Szenariensatzes zu den vorgegebenen Marktpreisen und

der risikoneutralen Projektion zu testen, werden die folgenden Tests durchgeführt:

Test der Konsistenz des Szenariensatzes zur initialen Marktzinskurve: „Mar-

tingaltest für Diskontsätze“

Test des Szenariensatzes im Hinblick auf seine Martingaleigenschaft für

Nullkuponanleihen und für den Aktien- bzw. Immobilienindex: „Martingal-

test für Indizes und Bonds“

Test der Konsistenz des Szenariensatzes im Hinblick auf Verteilungseigen-

schaften der Zinsen

Ermittlung der impliziten Swaptionvolatilitäten

Test der Konsistenz der Korrelation zwischen den Assetklassen im Szenari-

ensatz zu den Kalibrierungsparametern

Ermittlung der impliziten Volatilitäten von Optionen auf den Aktien- und Im-

mobilienindex

5 Diese Veränderung ist der Tatsache geschuldet, dass die mäßigen Validierungen der

Martingaleigenschaft in den vorherigen Kalibrierungen auf eine aus dieser Sicht ungünstigen Wahl

des Seeds zurückzuführen waren.



10

2. Zusammenfassung der Validierung

Insgesamt zeigt die Validierung zufriedenstellende Ergebnisse.

3. Inhalt und Gegenstand der Validierung

3.1. Kalibrierung der DAV

Für den 31.12.2016 wurde durch die DAV-AG „Kalibrierung spezieller ESG unter

Solvency II“ eine Beispielkalibrierung der Kapitalmarktmodelle (Zins-, Aktien- und

Immobilienmodell) zum ESG des BSM hergeleitet (siehe Abschnitt I).

Parameter der Kalibrierung:

o Startzinskurve: Basiszinskurve (BE, inkl. CRA und ohne Volatilitäts-

anpassung)

o Volatilitätsparameter des Aktienprozesses: 18,68% (t≥1)

o Volatilitätsparameter des Immobilienprozesses: 5,7% (t≥1)

o Mean reversion rate („beta“) des Hull-White-Modells: 10%

o Volatilität („sigma“) des Hull-White-Modells: 1,73%

o Korrelationsmatrix:

Shortrate Aktien Immobilien

Shortrate 1 0,3 0,3

Aktien 0,3 1 0,75

Immobi-

lien

0,3 0,75 1

11

4. Validierungsergebnisse

4.1. Renditen

Testansatz:

Das 1-Faktor Hull-White-Modell wird u.a. mit dem Ziel kalibriert, dass sich darin

die Startzinskurve im Mittel realisiert. Um zu testen, ob dies im gegebenen Szena-

riensatz der Fall ist, vergleicht man die Mittelwerte der über die Zeit projizierten

Diskontsätze (bzw. deren Transformation auf Spotrates) mit der Startzinskurve.

Nachfolgende Grafik illustriert die Testergebnisse für das BE-Szenario. Die ent-

sprechenden Ergebnisse für die beiden Zinsstresse sind von vergleichbarer Güte.

Ergebnis:

Für alle drei Szenarien liegt eine gute Übereinstimmung zwischen der Zinsstruk-

turkurve, die sich aus der Simulation ergibt, und der Eingabe-Zinsstrukturkurve

vor.

12

4.2. Martingaltests

Von einem marktkonsistenten, für die Bewertung von Cashflows geeigneten Sze-

nariensatz wird verlangt, dass dieser arbitragefrei ist, d.h. dass es keine Invest-

mentstrategie gibt, die einen risikofreien Ertrag über den risikofreien Zins hinaus

generiert. Im Fall einer risikoneutralen Bewertung bedeutet dies insbesondere,

dass alle Assetklassen im Mittel den risikofreien Zins erbringen müssen. In der

Praxis wird dies dadurch überprüft, dass der sog. Martingaltest durchgeführt wird.

Dieser Test verlangt, dass für alle Assetklassen und alle Projektionszeit-punkte t

= 1, 2 … T der Erwartungswert der diskontierten Cashflows von einem in t=0 in-

vestierten Euro wiederum 1 Euro beträgt. Daher wird dieser Test auch “1=1”-Test

genannt. In der Praxis bedeutet dies, dass die in einzelnen Assetklassen (und da-

mit auch die für die gesamte Kapitalallokation) im Modell projizierten und diskon-

tierten Cashflows den anfänglichen Marktwerten der Kapitalanlage entsprechen.

4.2.1. Martingaltest Nullkuponanleihen



Ergebnis:

Für alle drei Szenarien liegt die „Einslinie“ durchgehend im Konfidenzintervall. Ab

dem Projektionsjahr 50 kommt es immer wieder zu Abweichungen von absolut

über 2% bis maximal 3%.

13

Insgesamt zeigt der Martingaltest zufriedenstellende Ergebnisse, insbesondere im

Hinblick auf das relativ hohe Maß an Varianz, welches sich durch die hohe zugrun-

deliegende Swaptionvolatilität ergibt. Bezüglich der stärkeren Abweichungen ab

Projektionsjahr 50 sollte gegebenenfalls individuell das zu diesem Projektionszeit-

punkt noch vorliegende unternehmensindividuelle Exposure geprüft werden, um

die Erzeugung von Leakage oder Modellunschärfe zu vermeiden.

4.2.2. Martingaltest Indizes

Nachfolgende Grafiken illustrieren die Testergebnisse für das BE-Szenario. Die ent-


14

Ergebnis:

Für den Immobilienindex liegt die Einslinie durchgehend im Konfidenzintervall. Der

Mittelwert der diskontierten Total Returns liegt sogar durchgehend innerhalb eines

2%-Korridors um die Einslinie.

Für Aktien fällt der Test etwas schlechter aus. Im BE-Szenario liegt die Einslinie

zwar innerhalb des Konfidenzintervalls. Allerdings weicht der Mittelwert der dis-

kontierten Total Returns um das Projektionsjahr 45 um bis zu +5% bzw. -10% um

das Projektionsjahr 90 von der Einslinie ab (auf den Zinsstressen liegen vergleich-

bare Abweichungen vor). Diese Abweichungen sind auf die höhere Simulationsva-

rianz der Aktien im Vergleich zu den Immobilien zurückzuführen.

Insgesamt zeigt der Martingal-Test zufriedenstellende Ergebnisse. Bezüglich der

phasenweise etwas stärkeren Abweichungen für Aktien sollte gegebenenfalls indi-

viduell das zu diesem Projektionszeitpunkt noch vorliegende unternehmensindivi-

duelle Exposure geprüft werden, um die Erzeugung von Leakage oder Modellun-

schärfe zu vermeiden.

4.2.3. Reinvestitionstest

Der Reinvestitionstest (auch „1=1=1-Test“ genannt) stellt eine Erweiterung des

einfachen Martingaltests dar. Hierbei wird die Martingaleigenschaft eines Assets,

welcher aus einer dynamischen Reinvestitionsstrategie in Aktien, Immobilien und

Zinsen resultiert, überprüft. In der vorliegenden Validierung wurden anfängliche

15

Investitionen bis t1=1,…,80 in Zinstitel bzw. Indizes weitere t2=5, 10, 15, 20 Jah-

ren in Indizes bzw. Zinstitel umgeschichtet und deren mittlerer diskontierter

Marktwert sowie die zugehörigen symmetrischen 5%-Konfidenzintervalle ermit-

telt. Liegt der Mittelwert einer solchen Umschichtungsstrategie in einem Projekti-

onsjahr außerhalb des zugehörigen Konfidenzintervalls, so gilt der Test in diesem

einen Fall als nicht bestanden.

Um festzulegen, ob die Szenariengesamtheit den Test (über alle Projektionsjahre

und Umschichtungsstrategien) besteht, wurde ein Hypothesentest, der anhand der

Anzahl der Abweichungen je Simulationsjahr entscheidet, ob der Reinvestitionstest

bestanden ist, umgesetzt.

Treten keine oder nur wenige Abweichungen auf, dann gilt der Test als bestanden,

treten zu viele auf, ist er nicht bestanden. Bei einer mittleren Anzahl von Abwei-

chungen muss der Nutzer anhand der Einzelabweichungen im Detail entscheiden,

ob der Test bestanden ist.

Für die untere Grenze wurde festgelegt: Bei weniger als 7 aufgetretenen Abwei-

chungen gilt der Test als bestanden.

Die obere Grenze zum definitiven Nichtbestehen des Tests ist folgendermaßen er-

mittelt: Bei den betrachteten 320 Tests6 (z.B. von Zins nach Zins) und einer Wahr-

scheinlichkeit des Überschreitens von 5% gibt es unter Annahme der Binomialver-

teilung einen Mittelwert von 16 Abweichungen und eine Varianz von 15,2. Der

Hypothesentest besagt, dass bei einer Anzahl von mehr als 23 Abweichungen die

Hypothese mit einer Wahrscheinlichkeit von über 97,5% abzulehnen ist.

Zusätzlich wird ein „Ausreißer-Test“ für die Reinvestitionen durchgeführt. Die Re-

investitionen werden nun zusätzlich um Ausreißer oberhalb des 99,5%-Quantils

geprüft. Falls mehr als 5 Ausreißer gefunden werden, gilt dieser Test als nicht

bestanden. Bei keinem oder einem Ausreißer gilt der Test als bestanden, dazwi-

schen ist keine eindeutige Aussage möglich.

Ergebnis:

Auf dem BE-Szenario, Zins-up-Szenario und Zins-down-Szenario kam es beim Hy-

pothesentest „Reinvestition“ für keine Reinvestitionsstrategie zu Abweichungen.

Die Szenariensätze bestehen folglich sämtliche Reinvestitionstests.

4.3. Test der Verteilungseigenschaften

4.3.1. Negative Zinsen

Testansatz:

Im Hull-White-Modell ist die Shortrate normalverteilt. Erwartungswert und Varianz

sind daher zu jedem Zeitpunkt in einer geschlossenen Formel darstellbar. Eine

6 4 Umschichtungsdauern nach je 1-80 Projektionsjahren

16

theoretische Wahrscheinlichkeit für das Auftreten negativer Zinsen lässt sich daher

angeben, die mit der empirischen Wahrscheinlichkeit verglichen werden kann.


sprechenden Ergebnisse für die beiden Zinsstresse sind von vergleichbarer Güte

und lediglich gemäß der vorliegenden Zinsstresse entsprechend verschoben.

Ergebnis:

Die Häufigkeit negativer Zinsen entspricht auf allen drei Szenarien bis auf eine

geringe verbleibende Simulationsvarianz dem, was vom Hull-White-Modell bei der

gegebenen Parametrisierung zu erwarten ist. Insbesondere in den ersten Projek-

tionsjahren ist ein hoher Anteil negativer Zinsen zu erwarten.

4.3.2. Verteilung der Shortrate und Zinssätze

Zusätzlich lässt sich die Verteilung der Shortrate und Zinsen für verschiedene Lauf-

zeiten über die Projektion grafisch über einen Plot von ausgewählten Quantilen

darstellen.

Nachfolgende Grafiken illustrieren die Testergebnisse für das BE-Szenario. Die ent-

sprechenden Ergebnisse für die beiden Zinsstresse finden sich im Anhang und sind

gemäß der vorliegenden Zinsstresse entsprechend verschoben.

18

4.4. Swaptionvolatilität

Zum Test der Volatilitätskalibrierung des Hull-White-Modells wurden des Weiteren

die Preise und daraus die impliziten Black- und Normal-Volatilitäten von at-the-

money Receiver-Swaptions mit Nominal 1 EUR für (Maturity, Tenor)-Kombinatio-

nen aus {5, 10, 15, 20, 25} x {5, 10, 15, 20, 25} Jahren für das BE-Szenario

ermittelt. Diese lauten

Implizite Black-Volatilitäten

Maturity\Tenor 5 10 15 20 25

5 113,7% 63,2% 49,3% 34,7% 25,8%

10 56,0% 45,0% 30,1% 21,7% 17,1%

15 51,0% 27,8% 18,9% 14,5% 12,0%

20 30,0% 20,7% 16,0% 13,2% 11,4%

25 19,9% 15,1% 12,3% 10,5% 9,2%

19

Implizite Normal-Volatilitäten

Maturity\Tenor 5 10 15 20 25

5 1,04% 0,84% 0,70% 0,59% 0,51%

10 0,86% 0,69% 0,57% 0,48% 0,42%

15 0,70% 0,55% 0,46% 0,39% 0,35%

20 0,74% 0,60% 0,51% 0,44% 0,39%

25 0,66% 0,53% 0,45% 0,39% 0,35%

Hierbei ist zu beachten, dass die Black-Quotierung der impliziten Swaptionvolatili-

täten vom zugrundeliegenden Zinsniveau abhängt, da dieser die Volatilität der re-

lativen Zinsänderungen misst. Daher ergibt die Betrachtung dieser Volatilitäts-

matrix sowohl für das BE-Szenario als auch die beiden Zinsstresse nur einge-

schränkt Sinn, da sich diese Volatilitäten abhängig vom Zinsniveau modellbedingt

ändern müssen. Im Anhang finden sich diese Werte für die beiden Zinsstresse

daher nur nachrichtlich und ohne weitere Beurteilung. Die implizite Normal-Vola-

tilität hingegen separiert die Messung der Volatilität vollständig vom Zinsniveau,

weshalb wir die weitere Validierung auf dieser Quotierung basieren.

Für die Validierung beschränken wir uns auf den Vergleich des Zielwertes von

0,74% für die (10,10) at-the-money Receiver Swaption (welcher der alleinige Ziel-

punkt für die Kalibrierung war) und vergleichen diesen mit dem empirisch ermit-

telten Wert bei Simulation mit dem ESG unter Verwendung der Marktzinskurve.

Der sich daraus ergebende Wert beträgt 0,69% und weicht damit stärker vom

Zielwert ab. Eine Wiederholung dieser Validierung mit einem BE-Szenario generiert

mit einem alternativen Seed von 12 zeigte eine implizite Volatilität von 0,73%

woraus wir schließen, dass die oben aufgetretene starke Abweichung rein varianz-

bedingt ist; insgesamt schließen wir daraus auf eine gute Qualität der Kalibrierung

des Volatilitätsparameters.

Ferner weisen die Normal-Swaptionvolatilitäten für die beiden Zinsstresse in An-

hang A.4 bis auf einen stochastischen Fehler dieselben Werte wie im Basisszenario

auf.

Eine pauschale Beurteilung der Swaptionvolatilitätskalibrierung kann im Rahmen

der Validierung nicht erfolgen, ohne die zugehörigen Kalibrierungsziele zu nennen

und zu klären:

Für welche Swaptions soll die implizite Volatilität getroffen werden?

Aufgrund der Tatsache, dass nur der Volatilitätsparameter σ zur Kalibrierung

zur Verfügung steht (der Parameter β wird aktuell konstant auf 0.1 gesetzt),

kann auch nur die implizite Volatilität einer ausgewählten Swaption exakt ge-

troffen werden. Eine alternative Metrik würde die mittlere Abweichung zwi-

schen Modellwerten und Kalibrierungsvorgaben für eine bestimmte Menge an

Swaptions darstellen.

20

4.5. Korrelationen zwischen Zinsen und Indexentwicklungen

Die nachfolgenden Grafiken zeigen die Korrelation zwischen den Zinsen verschie-

dener Laufzeiten (x-Achse entspricht der Laufzeit) und dem Logarithmus des

Excess-Returns der Indexentwicklung für das BE-Szenario auf. Die entsprechen-

den Ergebnisse für die beiden Zinsstresse sind von vergleichbarer Güte.

21

Die Korrelation zwischen Aktien und Immobilien beträgt 75,1% auf dem BE-Sze-

nario.

Ergebnis:

Insgesamt weisen die Korrelationen zwischen Nullkuponanleihen und Aktien, Null-

kuponanleihen und Immobilien sowie Aktien und Immobilien eine gute Überein-

stimmung mit den Vorgabeparametern (30% bzw. 75%) auf. Die leichten Abwei-

chung von der Zielkorrelation zwischen Aktien und Zinsen von 30% resultiert im

Wesentlichen daraus, dass es sich dabei um die Korrelation zwischen dem Loga-

rithmus des Excess-Returns des Aktienprozesses und des Shortrate-Prozesses

handelt und sich letzterer Prozess nicht direkt auf die Zinsen überträgt, so dass

die Transformation, welche aus den Shortrates die Zinskurven generiert, für die

hier sichtbare, aber moderate Verzerrung sorgt.

4.6. Volatilität Indizes

Die nachfolgenden beiden Grafiken zeigen jeweils den Preis (blaue Linie) und die

implizite Volatilität (orangefarbene Linie) einer at-the-Money Call-Option auf den

Aktien- bzw. Immobilienindex mit steigender Optionslaufzeit. Nachfolgende Grafi-

ken illustrieren die Testergebnisse für das BE-Szenario. Die entsprechenden Er-

gebnisse für die beiden Zinsstresse sind von vergleichbarer Güte.

22

Ergebnis:

Es zeigen sich implizite Volatilitäten von anfänglich ca. 18 % (Aktien) und 6%

(Immobilien), welche mit den Kalibrierungszielen übereinstimmen. Im Laufe der

Projektion steigen diese Volatilitäten auf ca. 25% bzw. 16%. Dieser Anstieg, wel-

cher scheinbar im Widerspruch zu den Kalibrierungszielen steht, resultiert aus der

im Zeitverlauf zunehmenden zusätzlichen Volatilität des Zinsprozesses, welche

vom Black-Scholes-Modell, das eine deterministische Verzinsung vorsieht, als wei-

tere Volatilität der Indizes gemessen wird.

A. Anhang – Validierung der Zinsstresse

A.1 Renditen

Zins-down

s

Zins-up


24

A.2 Martingaltests

A.2.1 Martingaltest Nullkuponanleihen

Zins-down

Zins-up


25

A.2.2 Martingaltest Indizes

Zins-down


26

Zins-up


27

A.3 Test der Verteilungseigenschaften

A.3.1 Negative Zinsen

Zins-down

Zins-up


28

A.3.2 Verteilung der Shortrate und Zinssätze

Zins-down


29

Zins-up


30


31

A.4 Swaptionvolatilität

Zins-down


Maturity\Te-

nor

5 10 15 20 25

5 NA 94,0% 72,4% 48,6% 35,0%

10 85,1% 68,9% 42,6% 29,6% 22,7%

15 160,2% 41,1% 26,2% 19,5% 15,7%

20 44,4% 28,8% 21,6% 17,4% 14,7%

25 27,8% 20,5% 16,2% 13,5% 11,6%


Maturity\Te-

nor

5 10 15 20 25

5 1,04% 0,83% 0,69% 0,58% 0,50%

10 0,85% 0,69% 0,56% 0,47% 0,41%

15 0,69% 0,55% 0,45% 0,38% 0,33%

20 0,73% 0,59% 0,50% 0,43% 0,38%

25 0,65% 0,52% 0,44% 0,38% 0,33%


32

Zins-up


Maturity\Te-

nor

5 10 15 20 25

5 51,4% 36,1% 29,5% 22,8% 18,4%

10 33,2% 27,2% 20,2% 15,7% 13,0%

15 28,7% 18,8% 13,8% 11,1% 9,5%

20 21,3% 15,6% 12,5% 10,6% 9,3%

25 15,3% 12,0% 9,9% 8,6% 7,7%


Maturity\Te-

nor

5 10 15 20 25

5 1,05% 0,85% 0,72% 0,61% 0,54%

10 0,87% 0,70% 0,58% 0,50% 0,44%

15 0,71% 0,57% 0,47% 0,41% 0,36%

20 0,75% 0,61% 0,52% 0,46% 0,41%

25 0,66% 0,54% 0,46% 0,41% 0,37%


33

A.5 Korrelationen zwischen Zinsen und Indexentwicklungen

Zins-down

Korrelation Aktien – Immobilien: 75,1%


34

Zins-up

Korrelation Aktien – Immobilien: 75,1%


35

A.6 Volatilität Indizes

Zins-down


36

Zins-up

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