ChaosDas Lorenz-System
Roman Kossak
18.06.2014
Roman Kossak Chaos 18.06.2014 1 / 23
Gliederung
MotivationEigenschaften
VolumenkontraktionLinearität, Symmetrie, Fixpunktanalyse
numerische BeispieleExponentielle DivergenzDefinition: Chaos
Roman Kossak Chaos 18.06.2014 2 / 23
Motivation
1D - Fixpunkte asymptotisch stabil oder instabil
2D - Betrachtung der Phasenebene ⇒ Fixpunktanalyse
3D ⇒ Übergang zu Lorenz Gleichungen
Roman Kossak Chaos 18.06.2014 3 / 23
Lorenz-Gleichungen
x = σ(y −x)
y = rx −y −xz
z = xy −bz
E. Lorenz
mit σ = Prandl Zahl, r = Rayleigh Zahl
Wobei σ , r, b > 0
Roman Kossak Chaos 18.06.2014 4 / 23
Volumenkontraktion
Dissipatives System ⇒ Volumenkontraktion
für t → ∞ folgt V → 0
Beweis:
V =∫
S f ·ndA =∫
V ∇ · fdV
∇ · f = ∂
∂x [σ(y −x)]+ ∂
∂y [rx −y −xz]+ ∂
∂z [xy −bz] =−(σ +1+b)
⇒ V =−(σ +1+b)V
⇒ V (t) = V (0)e−(σ+1+b)t
Roman Kossak Chaos 18.06.2014 5 / 23
einfache Eigenschaften
Nichtlinearität bei xz und xy
Symmetrie (x ,y)→ (−x ,−y)Wenn (x ,y ,z) eine Lösung ist, dann auch (−x ,−y ,z)
-10
0
10
x
-10
0
10
y
0
10
20
30
z
Roman Kossak Chaos 18.06.2014 6 / 23
Fixpunkte
Fixpunkte aus Gleichgewichtszustand x = y = z = 0
Ursprung (0,0,0) für alle Parameter
x = y =±√
b(r −1),z = r −1 → Entstehung vonsymmetrischen Fixpunkten C+ und C−
lineare/globale Stabilität des Ursprungs
Stabilität von C+ und C−
Roman Kossak Chaos 18.06.2014 7 / 23
lineare Stabilität am Ursprung
Betrachtung des linearisierten Systems:
x = σ(y −x)
y = rx −y
z =−bz⇒ z entkoppelt, z(t → ∞)→ 0
In Matrixform ergibt sich:(
xy
)
=
(
−σ σ
r −1
)(
xy
)
⇒ spurM =−σ −1 und detM = σ(1− r )
⇒ Ursprung ist stabiler Fixpunkt für r < 1
Roman Kossak Chaos 18.06.2014 8 / 23
globale Stabilität am Ursprung
Satz:
Für r < 1 läuft jede Trajektorie für t→ ∞ in den Ursprung
⇒ globale Stabilität
Ursache: Volumenkontraktion und somit weder Grenzzyklennoch chaotisches Verhalten
Roman Kossak Chaos 18.06.2014 9 / 23
Stabilität von C+ und C−
C+,C− Fixpunkte für r > 1: x = y =±√
b(r −1),z = r −1
für 1 < r < rH ⇒ lineare Stabilitätfür r = rH ⇒ subkritische Hopfbifurkationfür r > rH ⇒ instabile Grenzzyklen um die Fixpunkte
rH = σ(σ+b+3)σ−b−1
Roman Kossak Chaos 18.06.2014 10 / 23
Beispiel r = 0.5
σ = 10,b = 83 , Ursprung stabil
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20x
0.000.05
0.100.15
0.20
y
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
z
Roman Kossak Chaos 18.06.2014 11 / 23
Beispiel r = 12
σ = 10,b = 83 , stabile Fixpunkte C+,C−
-10
0
10
x
-10
0
10
y
0
10
20
30
z
Roman Kossak Chaos 18.06.2014 12 / 23
Beispiel r = 15
σ = 10,b = 83 , stabile Fixpunkte C+,C−, transientes Chaos
-10
0
10x
-10
0
10
y
0
10
20
30
z
Roman Kossak Chaos 18.06.2014 13 / 23
Beispiel r = 28
σ = 10,b = 83 , seltsamer Attraktor
-20
0
20
x
-20
0
20
y
0
20
40
z
Roman Kossak Chaos 18.06.2014 14 / 23
Beispiel r = 300
σ = 10,b = 83 , transientes Chaos, periodische Bewegung
-200
0
200
x-200
0200
y
0
200
400
600
z
Roman Kossak Chaos 18.06.2014 15 / 23
Verhalten bei Variation von r
Roman Kossak Chaos 18.06.2014 16 / 23
Seltsamer Attraktor
Parameterbetrachtung σ = 10, r = 28 und b = 83
0
20-20
0
20
0
20
40
Lorenz-Butterfly
10 20 30 40 50
t
-20
-10
10
20
y
Roman Kossak Chaos 18.06.2014 17 / 23
Exponentielle Divergenz von nahen Trajektorien
sensible Abhängigkeit von Anfangsbedingungen
exponentielle Bahnänderung numerisch ermittelt
⇒ ‖δ (t)‖ ∼ ‖δ0‖eλ t mit λ : positiver Ljapunow Exponent
Messungenauigkeit a⇒ thorizon = 1
λln a
‖δ0‖
Roman Kossak Chaos 18.06.2014 18 / 23
Beispiel zur expo. Divergenz
Beispiel: Messungenauigkeit a = 10−3 und Abschätzung desMesswertes auf ‖δ0‖= 10−7 genau
⇒ thorizon = 1λ
ln 10−3
10−7 = 1λ
ln(104) = 4ln10λ
Verbesserung der Abschätzung um den Faktor 106:
⇒ thorizon = 1λ
ln 10−3
10−13 = 1λ
ln(1010) = 10ln10λ
Roman Kossak Chaos 18.06.2014 19 / 23
Beispiel zur expo. Divergenz
Beispiel: Messungenauigkeit a = 10−3 und Abschätzung desMesswertes auf ‖δ0‖= 10−7 genau
⇒ thorizon = 1λ
ln 10−3
10−7 = 1λ
ln(104) = 4ln10λ
Verbesserung der Abschätzung um den Faktor 106:
⇒ thorizon = 1λ
ln 10−3
10−13 = 1λ
ln(1010) = 10ln10λ
Verbesserung der vorausgesagten Länge nur um Faktor
2.5?!?!?Roman Kossak Chaos 18.06.2014 19 / 23
Definition: Chaos
Chaos ist ein aperiodisches Langzeitverhalten in einemdeterministischen System, das sensible Abhängigkeit vonAnfangsbedingungen aufweist.
aperiodisches Langzeitverhaltendeterministischsensible Abhängigkeit von Anfangsbedingungen
Roman Kossak Chaos 18.06.2014 20 / 23
Fazit
chaotisches Verhalten ⇒aperiodisches Verhalten,sensibel von Anfangsbe-dingungen abhängig
exponentielle Divergenzvon Trajektorien⇒ Vorhersage von me-teorologischen Systemensind somit zeitlich begrenzt
Roman Kossak Chaos 18.06.2014 21 / 23
Ende
Vielen Dank für eureAufmerksamkeit!
Roman Kossak Chaos 18.06.2014 22 / 23
Quellen
Nonlinear dynamics and chaos, Steven H. Strogatz 1994John H. Die Erforschung des Chaos, Vieweg 1995CHAOS - Bausteine der Ordnung, Springer-VerlagE. N. Lorenz - Deterministic nonperiodic flow - Journal ofAtmospheric Sciences 1963
Roman Kossak Chaos 18.06.2014 23 / 23
Top Related