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ChaosDas Lorenz-System

Roman Kossak

18.06.2014

Roman Kossak Chaos 18.06.2014 1 / 23

Gliederung

MotivationEigenschaften

VolumenkontraktionLinearität, Symmetrie, Fixpunktanalyse

numerische BeispieleExponentielle DivergenzDefinition: Chaos


Motivation

1D - Fixpunkte asymptotisch stabil oder instabil

2D - Betrachtung der Phasenebene ⇒ Fixpunktanalyse

3D ⇒ Übergang zu Lorenz Gleichungen


Lorenz-Gleichungen

x = σ(y −x)

y = rx −y −xz

z = xy −bz

E. Lorenz

mit σ = Prandl Zahl, r = Rayleigh Zahl

Wobei σ , r, b > 0


Volumenkontraktion

Dissipatives System ⇒ Volumenkontraktion

für t → ∞ folgt V → 0

Beweis:

V =∫

S f ·ndA =∫

V ∇ · fdV

∇ · f = ∂

∂x [σ(y −x)]+ ∂

∂y [rx −y −xz]+ ∂

∂z [xy −bz] =−(σ +1+b)

⇒ V =−(σ +1+b)V

⇒ V (t) = V (0)e−(σ+1+b)t


einfache Eigenschaften

Nichtlinearität bei xz und xy

Symmetrie (x ,y)→ (−x ,−y)Wenn (x ,y ,z) eine Lösung ist, dann auch (−x ,−y ,z)

-10

0

10

x

-10

0

10

y

0

10

20

30

z


Fixpunkte

Fixpunkte aus Gleichgewichtszustand x = y = z = 0

Ursprung (0,0,0) für alle Parameter

x = y =±√

b(r −1),z = r −1 → Entstehung vonsymmetrischen Fixpunkten C+ und C−

lineare/globale Stabilität des Ursprungs

Stabilität von C+ und C−


lineare Stabilität am Ursprung

Betrachtung des linearisierten Systems:

x = σ(y −x)

y = rx −y

z =−bz⇒ z entkoppelt, z(t → ∞)→ 0

In Matrixform ergibt sich:(

xy

)

=

(

−σ σ

r −1

)(

xy

)

⇒ spurM =−σ −1 und detM = σ(1− r )

⇒ Ursprung ist stabiler Fixpunkt für r < 1


globale Stabilität am Ursprung

Satz:

Für r < 1 läuft jede Trajektorie für t→ ∞ in den Ursprung

⇒ globale Stabilität

Ursache: Volumenkontraktion und somit weder Grenzzyklennoch chaotisches Verhalten


Stabilität von C+ und C−

C+,C− Fixpunkte für r > 1: x = y =±√

b(r −1),z = r −1

für 1 < r < rH ⇒ lineare Stabilitätfür r = rH ⇒ subkritische Hopfbifurkationfür r > rH ⇒ instabile Grenzzyklen um die Fixpunkte

rH = σ(σ+b+3)σ−b−1


Beispiel r = 0.5

σ = 10,b = 83 , Ursprung stabil

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20x

0.000.05

0.100.15

0.20

y

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

z


Beispiel r = 12

σ = 10,b = 83 , stabile Fixpunkte C+,C−

-10

0

10

x

-10

0

10

y

0

10

20

30

z


Beispiel r = 15

σ = 10,b = 83 , stabile Fixpunkte C+,C−, transientes Chaos

-10

0

10x

-10

0

10

y

0

10

20

30

z


Beispiel r = 28

σ = 10,b = 83 , seltsamer Attraktor

-20

0

20

x

-20

0

20

y

0

20

40

z


Beispiel r = 300

σ = 10,b = 83 , transientes Chaos, periodische Bewegung

-200

0

200

x-200

0200

y

0

200

400

600

z


Verhalten bei Variation von r


Seltsamer Attraktor

Parameterbetrachtung σ = 10, r = 28 und b = 83

0

20-20

0

20

0

20

40

Lorenz-Butterfly

10 20 30 40 50

t

-20

-10

10

20

y


Exponentielle Divergenz von nahen Trajektorien

sensible Abhängigkeit von Anfangsbedingungen

exponentielle Bahnänderung numerisch ermittelt

⇒ ‖δ (t)‖ ∼ ‖δ0‖eλ t mit λ : positiver Ljapunow Exponent

Messungenauigkeit a⇒ thorizon = 1

λln a

‖δ0‖


Beispiel zur expo. Divergenz

Beispiel: Messungenauigkeit a = 10−3 und Abschätzung desMesswertes auf ‖δ0‖= 10−7 genau

⇒ thorizon = 1λ

ln 10−3

10−7 = 1λ

ln(104) = 4ln10λ

Verbesserung der Abschätzung um den Faktor 106:

⇒ thorizon = 1λ

ln 10−3

10−13 = 1λ

ln(1010) = 10ln10λ


Beispiel zur expo. Divergenz

Beispiel: Messungenauigkeit a = 10−3 und Abschätzung desMesswertes auf ‖δ0‖= 10−7 genau

⇒ thorizon = 1λ

ln 10−3

10−7 = 1λ

ln(104) = 4ln10λ

Verbesserung der Abschätzung um den Faktor 106:

⇒ thorizon = 1λ

ln 10−3

10−13 = 1λ

ln(1010) = 10ln10λ

Verbesserung der vorausgesagten Länge nur um Faktor

2.5?!?!?Roman Kossak Chaos 18.06.2014 19 / 23

Definition: Chaos

Chaos ist ein aperiodisches Langzeitverhalten in einemdeterministischen System, das sensible Abhängigkeit vonAnfangsbedingungen aufweist.

aperiodisches Langzeitverhaltendeterministischsensible Abhängigkeit von Anfangsbedingungen


Fazit

chaotisches Verhalten ⇒aperiodisches Verhalten,sensibel von Anfangsbe-dingungen abhängig

exponentielle Divergenzvon Trajektorien⇒ Vorhersage von me-teorologischen Systemensind somit zeitlich begrenzt


Ende

Vielen Dank für eureAufmerksamkeit!


Quellen

Nonlinear dynamics and chaos, Steven H. Strogatz 1994John H. Die Erforschung des Chaos, Vieweg 1995CHAOS - Bausteine der Ordnung, Springer-VerlagE. N. Lorenz - Deterministic nonperiodic flow - Journal ofAtmospheric Sciences 1963


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