8/20/2019 Definition Ableitung, Formeln, Bezug Zur Stetigkeit, Einseitige Abl

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6 Ableitbare Funktionen

In diesem Kapitel sei D eine nichtleere Menge reeller Zahlen, so dass ' , D D wo ' D die Menge der Häufungspunkte von D ist.

6.1 Definition der AbleitungDie Ableitung einer Funktion an einer Stelle zeigt, „wie schnell“ sich die Funktion an derbetreffenden Stelle ändert. Diese Aussage erklären wir anhand zweier Beispiele.

1) Geschwindigkeit bei geradliniger BewegungEin Massenpunkt bewegt sich geradlinig, wobei seine Entfernung zu einem bestimmtenPunkt („Ursprung“) zum Zeitpunkt t durch ( ) s t gegeben sei. Die mittlere Geschwindigkeit

zwischen den Zeitpunkten 0t und t ist laut Definition das Verhältnis 0

0

( ) ( ).m

s t s t v

t t Die

Geschwindigkeit0

( )v t zum Zeitpunkt 0t (Momentangeschwindigkeit) erhält man alsGrenzwert der mittleren Geschwindigkeit, wenn das Zeitintervall gegen 0 strebt:

0

00

0

( ) ( )( ) lim .

t t

s t s t v t

t t

Diese Größe zeigt, „wie schnell“ sich der zurückgelegte Weg zum Zeitpunkt 0t ändert.

2) Anstieg der Tangente an das Schaubild einer FunktionBetrachtet man das Schaubild einer Funktion, so kann man intuitiv feststellen, dass dieFunktion dort „schneller wächst“, wo die Tangente an das Schaubild steiler ist. Um die„Steilheit“, d.h. den Anstieg, der Tangente im Punkt 0 0, ( ) A x f x des Schaubildes zu

finden, berechnen wir zuerst den Anstieg einer Sehne , AB wo , ( ) B x f x ein weitererPunkt des Schaubildes ist. Ist der Winkel, den die Gerade AB mit der x-Achse bildet,

erhält man 0

0

( ) ( )tg .

f x f x x x

Lässt man x gegen 0 x streben, dann wird die Sehne

immer kürzer und ihr Anstieg nähert sich dem Anstieg der Tangente. Somit ergibt sich der Anstieg der Tangente als Grenzwert von tg , wenn x gegen 0 x strebt. Ist der Winkel,den mit der x-Achse bildet, erhält man

0

0

0

( ) ( )tg lim .

x x

f x f xm

x x

Die beiden Beispiele haben zu Grenzwerten derselben Form geführt und es stellt sichnatürlich die Frage, ob im konkreten Fall diese Grenzwerte existieren.

Definition Es sei : f D und 0 '. x D D Man sagt:

1) Die Funktion f hat eine Ableitung an der Stelle 0 x (oder: in 0 x ), wenn der Grenzwert

0

0

0

( ) ( )lim

x x

f x f x x x

existiert. Dieser Grenzwert wird mit 0'( ) f x bezeichnet und heißt Ableitung der Funktion f

an der Stelle 0 x (oder: in 0 x ).

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2) hat die Funktion f an der Stelle 0 x eine endliche Ableitung, dann heißt f ableitbar an

der Stelle 0 x (oder: in 0 x ).

Beispiele 1) Es soll festgestellt werden, ob die Funktion : , f 2( ) f x x an der

Stelle 0 2 x ableitbar ist. Dasselbe für die Stelle 0 3. x In beiden Fällen soll dasErgebnis geometrisch gedeutet werden.

2) Man soll feststellen, ob die Funktion : 0, , f ( ) , f x x an den Stellen 0 4 x bzw. 0 0 x ableitbar ist. Kann man beide Ergebnisse geometrisch deuten?

3) Man soll die Ableitbarkeit der Funktion : , f ( ) f x x an der Stelle 0 0 x untersuchen. Was bedeutet das Ergebnis geometrisch?

4) Gegeben ist die Funktion : , f 1

( ) sin f x x x für 0 x und (0) 0 f . Manuntersuche die Ableitbarkeit von f an der Stelle 0 0 x . Ist f an der Stelle 0 0 x stetig?

Definition Es sei : f D und '. A D D Ist die Funktion f in allen Punkten derMenge A ableitbar, dann heißt f ableitbar auf . A Im Fall A D sagt man einfach, f seiableitbar.

Definition Es sei : f D und 1 ' ist ableitbar in . D x D D f x Die Funktion,

die jedem x aus 1 D die Ableitung der Funktion an der Stelle x zuordnet, heißt Ableitungder Funktion . f

Bemerkung Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle ist eine Zahl oder , die Ableitung einer Funktion ist eine Funktion.

Beispiel Man soll die Ableitung der Funktion : , f 3( ) f x x finden und dann die Ableitung der Funktion f an den Stellen 0 1, x 1 3 x und 3 4 x berechnen.

Für ein beliebiges 0 x erhält man:

0 0 0

2 23 3 0 0 0 20 0

00 0 0

( ) ( )lim lim lim 3 . x x x x x x

x x x xx x f x f x x x x x x x x x x

Da 0 x beliebig gewählt wurde, folgt 20 0'( ) 3 f x x für alle 0 x . Somit ist die Funktion f

auf ableitbar und ihre Ableitung ist die Funktion

' : , f 2'( ) 3 . f x x

Nun erhält man sofort die Ableitungen von f in den angegebenen Punkten: '(1) 3, f '(3) 27 f und '( 4) 48. f

Die Tatsache, dass die Ableitung der Funktion 3( ) f x x die Funktion 2'( ) 3 f x x ist,

schreibt man einfach '3 23 , x x wobei diese „Ableitungsformel“ für alle x gilt.

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Bemerkung Die Definition der Ableitung einer Funktion an der Stelle 0 x kann auch wie folgtgeschrieben werden:

0 00 0

( ) ( )'( ) lim .

t

f x t f x f x

t

Übungen Ţena S. 147

6.2 Ableitungsformeln der gebräuchlichsten Funktionen

Als Übung sollen folgende Ableitungsformeln bewiesen und jeweils angegeben werden, aufwelcher Menge sie gelten:

( ) ' 0c (c ist eine konstante Funktion)1( ) 'n n x nx ( n )

1

( ) 'm m

x mx

( , 0m m ) Sonderfall:

'

2

1 1 x x

'

1

1n

nn x

n x ( , 2n n )

1( ) ' x x ( )

'ln x xa a a ( 0, 1a a ) Sonderfall: ' x xe e

' 1log

lna x x a

( 0, 1a a ) Sonderfall: ' 1ln x

x

(sin ) ' cos x x (cos ) ' sin x x

22

1tg ' 1 tan

cos x x

x

22

1(ctg ) ' 1 cot

sin x x

x

2

1(arcsin ) '

1 x

x

2

1(arccos ) '

1 x

x

2

1(arctg )'

1 x

x

2

1(arcctg ) '

1 x

x

Übungen Ţena S. 152

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6.3 Zusammenhang zwischen Ableitbarkeit und Stetigkeit

Satz 6.1 Es sei : f D und 0 '. x D D Ist die Funktion f ableitbar in 0 , x dann ist

sie stetig in 0. x

Beweis Da f ableitbar in 0 x ist, existiert der Grenzwert0

0

0

( ) ( )lim x x

f x f x x x

und hat den

endlichen Wert 0'( ). f x Dann gilt für jedes 0\ x D x :

00 0 0

0

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 0.

f x f x f x f x x x f x

x x Somit gilt

00lim ( ) ( ),

x x f x f x und

damit ist die Stetigkeit von f in 0 x bewiesen.

Folgesatz Es sei : f D und 0 '. x D D Ist die Funktion f nicht stetig in 0 , x dann

ist sie auch nicht ableitbar in 0 . x

Dass der Kehrsatz von Satz 6.1 nicht gilt, zeigt das Beispiel der Funktion : , f ( ) . f x x Diese Funktion ist in 0 stetig aber nicht ableitbar, da sie in 0 keine Ableitung hat.

Übung Finde ein Beispiel einer Funktion, die in einem Punkt 0 x eine Ableitung hat, jedochnicht stetig ist in 0

. x

6.4 Einseitige Ableitungen

Definition Es sei : f D und 0 , x D so dass 0 x ein linksseitiger Häufungspunkt von

D ist. Wenn der Grenzwert

0

0

0

( ) ( )lim

x x

f x f x x x

existiert, dann wird er mit 0'( )l f x bezeichnet und linksseitige Ableitung von f in 0 x

genannt. Analog wird die rechtsseitige Ableitung 0'( )r f x von f in 0 x definiert. Die

linkseitige und die rechtseitige Ableitung von f in 0 x werden einseitige Ableitungen von f in 0 x genannt.

Aus den Definitionen folgt sofort:

Satz 6.2 Es sei : f D und 0 ', x D D so dass 0 x sowohl linksseitiger als auch

rechtsseitiger Häufungspunkt von D ist.1) Die Funktion f hat genau dann eine Ableitung in 0 x , wenn die einseitigen Ableitungen

von f in 0 x existieren und gleich sind.

2) Die Funktion f ist genau dann ableitbar in 0 x , wenn die einseitigen Ableitungen von f in 0 x existieren, endlich und gleich sind.

Sind die einseitigen Ableitungen von f in 0 x gleich, dann gilt: 0 0 0'( ) '( ) '( ).l r f x f x f x

Übungen Ţena S. 153