Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 01.12.2006 1
Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)
Vorlesung am 01.12.2006
Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)
Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik
FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)
Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René Marklein
E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de
URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 01.12.2006 2
Beispiel 2.27: Analyse eines zweimaschigen Netzes mit einer Spannungsquelle
U4 für Sonderfall R1 = R3 und R2 = R4
Lösung:
Gegeben:
Nebenstehende Schaltung in Bild 2.85 mit UQ und alle Widerstände.
Gesucht:
1I 3I1R 3R
4R2R 4UQU
Bild 2.85. Zweimaschiges Netz mit einer Spannungsquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 93, 2005])
vollständiger Baum
unabhängige Ströme
AM BM AM BM
2
1 3
1I 3I1R 3R
4R2R 4UQU
Bild 2.85. Zweimaschiges Netz mit einer Spannungsquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 93, 2005])
4 3 4
3 ?U I RI
Bestimmung über Umlaufanalyse
Graph:
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 01.12.2006 3
Beispiel 2.27: Analyse eines zweimaschigen Netzes mit einer Spannungsquelle
1 2 2 1A Q
2 2 3 4 3B
Masche : Masche : 0
R R R IM UR R R R IM
Lösung:
1I 3I1R 3R
4R2R 4UQU
Bild 2.85. Zweimaschiges Netz mit einer Spannungsquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 93, 2005])
vollständiger Baum
unabhängige Ströme
AM BM AM BM
2
1 3Zweig mit ( R2 = 2) wird vollständiger Baum ( K = 2)!(V = Z - K + 1 = 3 - 2 + 1 = 2 linear unabhängige Umlaufgleichungen.)
Hauptdiagonalelemente der Widerstandsmatrix sind die Umlaufwiderstände des zu dem jeweiligen Strom gehörigen Umlaufs. Der Umlaufwiderstand ist die Summe aller Widerstandswerte in allen Zweigen, die den aktuellen Umlauf bilden. Im Umlauf MA gilt R1 + R2 und im Umlauf MB gilt R2 + R3 + R4.
Nebendiagonalelemente sind die Kopplungswiderstände: positives Vorzeichen, wenn Umlaufströme, die der Widerstand verknüpft, im Widerstand gleichgerichtet sind, sonst negativ. Hier in beiden Umläufen negativ, also -R2, da die Umlaufströme in MA und MB im Mittelzweig entgegengesetzt gerichtet sind.
R I U
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 01.12.2006 4
Beispiel 2.27: Analyse eines zweimaschigen Netzes mit einer Spannungsquelle
1 2 2 1A Q
2 2 3 4 3B
:: 0R R R IM UR R R R IM
Lösung:
1I 3I1R 3R
4R2R 4UQU
vollständiger Baum
unabhängige Ströme
AM BM AM BM
2
1 3
1 2 1 2 3 QA
2 1 2 3 4 3B
: 0: R R I R I UM
R I R R R IM
1 1 2 1 3 QA
2 3 1 3 4 3B
: 0:
R I R I I UMR I I R R IM
2I
2 3 1I I I
3 1
3 1
A 1 1 2 2 Q
B 2 2 3 4 3
:
: 0I I
I I
M R I R I U
M R I R R I
A 1 1 2 2 Q
B 2 2 3 4 3
: 0: 0
M R I R I UM R I R R I
Matrixgleichung = Lineares Gleichungssystem (LGS)in Matrixform
Zwei separate Umlaufgleichungen:
= LGS der Umlaufgleichungen
Knotengleichung
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 01.12.2006 5
Beispiel 2.27: Analyse eines zweimaschigen Netzes mit einer Spannungsquelle
11 12 1 1
21 22 2 2
A A x bA A x b
Bemerkung: Es gilt für die Matrix-Vektor-Multiplikation:
11 12 1 1
21 22 2 2
A A x bA A x b
11 1 12 2 1A x A x b
11 12 1 1
21 22 2 2
A A x bA A x b
21 1 22 2 2A x A x b
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
A x A x bA x A x b
A x b
11 12
21 22
1
2
1
2
quadratische 2 2-Matrix
(z.B. Widerstandsmatrix )
Spaltenvektor der Länge 2 Lösungsvektor
(z.B. Stromvektor )
Spaltenvektor der Läng
A AA A
xx
bb
AR
xI
b
e 2 Ergebnisvektor (z.B. Spannungsvektor )U
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
A x A x bA x A x b
Ausmultiplikationergibt:
1. Zeile:
2. Zeile:
Matrix-Vektor-Multiplikation
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 01.12.2006 6
Beispiel 2.27: Analyse eines zweimaschigen Netzes mit einer Spannungsquelle
1 2 2 1A Q
2 2 3 4 3B
Masche : Masche : 0
R R R IM UR R R R IM
11 2 2 Q
32 1 22 0IR R R UIR R R
Mit R1 = R3 und R2 = R4
Überprüfung: Widerstandsmatrix [R] ist symmetrisch, d.h. Rij = Rji!
I1 eliminieren: obere Gl. mal R2 , untere Gl. mal ( R1 + R2 )
1 2 3 Q1 2
2 1 31 2 02
I R I UR R
R I IR R
22 1 2 3 2 Q1 2
2 1 31 2 1 2 1 2 02
R I R I R UR R
R I IR R R R R R
22 1 2 3 2 1 3 2 Q1 2 1 2 1 2 1 22R I R I R I I R UR R R R R R R R
und dann addieren
oder
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Beispiel 2.27: Analyse eines zweimaschigen Netzes mit einer Spannungsquelle
2 23 1 1 2 2 2 Q
23 Q2 2
1 1 2 2
3
3
I R R R R R U
RI UR R R R
(mit R2 = R4 laut Aufgabenstellung)
2 11 2R IR R 22 3 2 11 2R I R IR R
3 2 Q1 2 1 2
2 2 22 3 3 2 Q1 1 2 1 2 2
2 2 23 2 Q2 1 1 2 1 2 2
2 23 2 Q1 1 2 2
2
2 2
2 2
3
I R UR R R R
R I I R UR R R R R R
I R UR R R R R R R
I R UR R R R
4 3 4
3 2
U I RI R
22
4 Q2 21 1 2 23
RU UR R R R
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 01.12.2006 8
Beispiel 2.27: Analyse eines zweimaschigen Netzes mit einer Spannungsquelle
11 2 2 Q
32 1 22 0IR R R UIR R R
Berechnung des gesuchten Strom I3 mit Hilfe der Cramerschen Regel
23DID
mit den Determinanten
1 2 2
2 1 2
1 2 2
2 1 2
1 2 1 2 2 2
2 2 21 1 2 2 1 2 2
2 21 1 2 2
det{ }
det2
2
2
2 2
3
D
R R RR R R
R R RR R R
R R R R R R
R R R R R R R
R R R R
R
1 2 Q2
2
1 2 Q
2
Q1 2 2
2 Q
det0
0
0
R R UD
R
R R UR
UR R R
R U
Dann gilt für den gesuchten Strom I3
2 Q2 23 Q2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 23 3R UD RI U
D R R R R R R R R
4 3 4
3 2
U I RI R
(mit R2 = R4 laut Aufgabenstellung)
22
4 Q2 21 1 2 23
RU UR R R R
deta b a b
Dc d c d
a b a b a bad cb
c d c d c d
Bemerkung: Berechnung der Determinanteeiner allgemeinen 2x2-Matrix:
(+)
(-)
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Beispiel 2.27: Analyse eines zweimaschigen Netzes mit einer Spannungsquelle
1I 3I1R 3R
4R2R 4UQU
Bild 2.85. Zweimaschiges Netz mit einer Spannungsquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 93, 2005])
Vollständiger Baum
unabhängige Ströme
AM BM AM BM
2
1 3
Graph:
1I1R 3R
4R2R 4UQU
vollständiger Baum
AU BM AU BM
2
1 3
Graph:
2I
Alternativer Baum:unabhängige Ströme
3I
abhängiger Strom
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 01.12.2006 10
Beispiel 2.27: Analyse eines zweimaschigen Netzes mit einer Spannungsquelle
1I1R 3R
4R2R 4UQU
unabhängige Ströme
AU BM AU BM
2
1 3
Graph:
1 3 4 3 4A 1 Q
3 4 2 3 4B 2
Umlauf : Masche : 0
R R R R RU I UR R R R RM I
2I
3 1 2I I I
1 21 2; D DI I
D D
I3 abhängiger Strom: Es gilt über die Knotengleichung (1. Kirchhoffsches Gesetz)
Die beiden Ströme I1 und I2 bestimmt man über die Cramersche Regel:
3I
abhängiger Strom
I3 nicht mehr direkt berechenbar! Nachteil des gewählten Baumes!
Vollständiger Baum
R I U
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 01.12.2006 11
Beispiel 2.27: Analyse eines zweimaschigen Netzes mit einer Spannungsquelle
21 3 4 3 4 1 3 4 3 41 3 4 2 3 4 3 4
3 4 2 3 4 3 4 2 3 4
Q 3 4 Q 3 41 Q 2 3 4
2 3 4 2 3 4
1 3 4 Q2
3 4
det
det0 0
det0
R R R R R R R R R RD R R R R R R R R
R R R R R R R R R R
U R R U R RD U R R R
R R R R R R
R R R UD
R R
Q 3 4U R R
Q 2 3 411 2
1 3 4 2 3 4 3 4
Q 3 422 2
1 3 4 2 3 4 3 4
3 1 2
Q 2 3 4 Q 3 42 2
1 3 4 2 3 4 3 4 1 3 4 2 3 4 3 4
2Q2
1 3 4 2 3 4 3 4
U R R RDID R R R R R R R R
U R RDID R R R R R R R R
I I I
U R R R U R R
R R R R R R R R R R R R R R R R
R UR R R R R R R R
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 01.12.2006 12
Beispiel 2.27: Analyse eines zweimaschigen Netzes mit einer Spannungsquelle
23 Q2
1 3 4 2 3 4 3 4
2Q2
1 2 2 1 1 2
2Q2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
2Q2 2
1 1 2 2
2 2
2 5 2 2
3
RI UR R R R R R R R
R UR R R R R R
R UR R R R R R R R
R UR R R R
R1 = R3 und R2 = R4
4 3 4
3 2
U I RI R
22
4 Q2 21 1 2 23
RU UR R R R
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 01.12.2006 13
Beispiel 2.28: Netz mit zwei Stromquellen
Aufgabe wie Beispiel 2.24!
Gegeben:
Alle Widerstände und Quellströme IB, IC
Aufgabe:
Strom I1 allgemein und für IB = 4 AIC = 1 A
CI3R
1
CU BU
R R
6RBI
R
3I 1I
2I
3
Bild 2.68. Netz mit zwei Stromquellen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 78, 2005])
Lösung:
1. Stromquellen in Spannungsquellen umwandeln und dann Umlaufanalyse durchführen!
oder
2. Man kann aber auch einfach folgendermaßen vorgehen: die Stromquellen werden in Verbindungszweige gelegt, und bei der Aufstellung des Gleichungssystems für die
unabhängigen Ströme werden die Quellenströme IB, IC ebenso behandelt wie andere unabhängige Ströme
auch.
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 01.12.2006 14
Beispiel 2.28: Netz mit zwei Stromquellen
CI3R
1
CU BU
R R
6RBI
R
3I 1I
2I
3
Bild 2.68. Netz mit zwei Stromquellen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 78, 2005])
Lösung:
IB,IC,I1,I3
IB,I1
IC,I3
Den vollständigen Baum so wählen, dass dieStromquellen in Verbindungszweigen liegen!
1
3
B B
C C
08 2 Masche 105 2 Masche 3
2 2 Umlauf
2 2 Umlauf
IR R R RIR R R RI UR R R R BI UR R R R C
3 1
CB
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 01.12.2006 15
Beispiel 2.28: Netz mit zwei Stromquellen
1 3 B C, , ,I I U UUnbekannte:
Bekannte Quellströme IB und IC auf rechten Seite ziehen:
1
3
B B
C C
08 2 Masche 105 2 Masche 3
2 2
2 2
IR R R RIR R R RI UR R R RI UR R R R
1
3
2825
B C
B C
I R I IR RI R I IR R
1 3 B C
1 3 B C
8 25 2
I I I II I I I
durch R dividieren:
1 3 B C
1 3 B C
1 B C
40 5 10 55 2
39 9 3
I I I II I I II I I
1 B C13 3I I I
I3 eliminieren: oben *5 auf untere addieren:
B C1
313
3 4A 1A13
1A
I II
1 B C39 9 3I I I
1
3
B
C
8 2 0 Masche 1
5 2 0 Masche 3
IIR R R RIR R R RI
1 3 B C
1 3 B C
1 3 B C
1 3 B C
8 2 05 2 0
8 25 2
RI RI RI RIRI RI RI RI
RI RI RI RIRI RI RI RI
1 B C
3 B C
28 Masche 1
25 Masche 3I R I IR RI R I IR R
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 01.12.2006 16
Beispiel 2.29: Analyse eines symmetrischen dreimaschigen Netzes
QAB 10 Ω
UR
I Gesucht: R5 ? für
Gegeben:
Bild 2.87. Unabgeglichene Brücke (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 95, 2005])
I
5 ?R QU
4Ω 20Ω
20Ω 4Ω
A
B
2I
3I
ABR
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 01.12.2006 17
Beispiel 2.29: Analyse eines symmetrischen dreimaschigen Netzes
Lösung:
A 5 5 5 Q
B 5 5 5 2
C 5 5 5 3
Umlauf : 8Ω 4Ω 4ΩMasche : 4Ω 24Ω 0Masche : 4Ω 24Ω 0
U R R R I UM R R R IM R R R I
Bild 2.87. Unabgeglichene Brücke (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 95, 2005])
I
5RQU
4Ω 20Ω
20Ω 4Ω
A
B
2I
3I
AUCM
BM
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 01.12.2006 18
Beispiel 2.29: Analyse eines symmetrischen dreimaschigen Netzes
Lösung:
2 3 24Ω 24Ω I I
5 5 5 Q2
5 5 53
8Ω 4Ω 4Ω4Ω 24Ω 0
IR R R U
IR R R
I
3. Gleichung von 2. Gleichung abziehen, eliminiert I:
A 5 5 5 Q
B 5 5 5 2
C 5 5 5 3
Umlauf : 8Ω 4Ω 4ΩMasche : 4Ω 24Ω 0Masche : 4Ω 24Ω 0
U R R R I UM R R R IM R R R I
2 3I I
5 5 2 5 3
5 5 2 5 3
2 3
4Ω 24Ω 0( ) 4Ω 24Ω 0
0 24Ω 24Ω 0
R I R I R IR I R I R I
I I
A 5 5 5 Q
B 5 5 5 2
C 5 5 5 3
Umlauf : 8Ω 4Ω 4ΩMasche : 4Ω 24Ω 0Masche : 4Ω 24Ω 0
U R R R I UM R R R IM R R R I
Damit kann die 3. Zeile aus dem Gleichungssystem gestrichen werden
Es folgt also
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 01.12.2006 19
Beispiel 2.29: Analyse eines symmetrischen dreimaschigen Netzes
Lösung:
5 5 5 Q2
5 5 53
8Ω 4Ω 4Ω4Ω 24Ω 0
IR R R U
IR R R
I
5 5 Q
5 5 2
8Ω 8Ω 24Ω 24Ω 2 0
R R I UR R I
5 5 5 Q2
5 5 52
8Ω 4Ω 4Ω4Ω 24Ω 0
IR R R U
IR R R
I
5 5 2 5 2 Q
5 5 2 5 2
8Ω 4Ω 4Ω4Ω 24Ω 0
R I R I R I UR I R I R I
5 5 2 Q
5 5 2
8Ω 8Ω 24Ω 24Ω 2 0
R I R I UR I R I
Mit I2 = I3 folgt dann
beziehungsweise in zwei Gleichungen ausgeschrieben
und nach Zusammenfassung der 2. und 3. Spalte
oder wieder in Matrixform
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 01.12.2006 20
Beispiel 2.29: Analyse eines symmetrischen dreimaschigen Netzes
Lösung:
52
5
4Ω24Ω 2
RI IR
55 5 Q
5
4Ω8Ω 8Ω 2
24Ω 2R
R I R I UR
5 5 5 5 5 Q
2 2 2 25 5 5 5 Q 5
25 Q 5
8Ω 12Ω 4Ω 4Ω 2 12Ω
96Ω 20Ω 16Ω 8Ω 12Ω
80Ω 12Ω 12Ω
R R I R R I R U
R R I R R I U R
R I U R
Q 2AB 5 AB 5 80Ω 12Ω 12Ω
UR R R R
I
AB5
AB
4 Ω 3 20 Ω 4 Ω 30 20 Ω20 Ω
12 Ω 12 Ω 10 ΩR
RR
I2 in 1. Gl. durch Einsetzen von I2 aus 2. Gl. eliminieren, d.h. es folgt aus 2. Gl.
5 5 2 Q
5 5 2
8Ω 8Ω 24Ω 24Ω 2 0
R I R I UR I R I
und diese Beziehung in 1. Gl. eingesetzt ergibt
10Ω
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 01.12.2006 21
Ende der Vorlesung
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