Drehmoment
Drehmomentschlüssel
r=0,4m F=50Nr=0,2m F=100N
Achtung: M darf nicht mit der Arbeit verwechselt werdenDimension: [Nm]
Beim Drehmoment wirkt nur die Kraftkomponente senkrecht zum Hebelarm
Drehmoment
Die Drehwirkung hängt nicht nur vom Betrag der Kraft F ab, sondern auch von ihrer Richtung.
sinFFDreh
Die Drehwirkung ist zusätzlich abhängig von der Länge des Hebelarms r.
sin rFrFM Dreh
00 180180
sinsin180sin 0
rFM
(Vektorprodukt)sin rFM
Drehmoment
132 MMMMGes
Definition:Positives Drehmoment = Drehung im Uhrzeigersinn
111333222 sinsinsin rFrFrFMGes
000 115sin13030sin2,140135sin5,035 mNmNmNMGes
NmNmNmNmMGes 18,919,272437,12
Beschleunigte Drehbewegung
Anwendungsbeispiel:Wenn man am losen Ende eines Kabels zieht, das auf einer Rolle aufgewickelt ist, dann bewegt sich die Rolle meistens zur Person hin.
Bei einer anderen Zugrichtung kann sich die Kabelrolle aber auch wegbewegen.
Beschleunigte Drehbewegung
Zusammenhang zwischen Drehmoment und Winkelgeschwindigkeit
Ein Drehteller beginnt aufgrund einer Kraftwirkung zu rotieren und beschleunigt mit der Zeit immer mehr
constM
M2rmTrägheitsmoment:
Trägheitsmoment
Zwei Zylinder haben die gleiche Masse, trotzdem beschleunigt der Hohlzylinder langsamer.
Der Hohlzylinder speichert bei gleicher Drehgeschindigkeit mehr Rotationsenergie als der Vollzylinder. Bei gleicher Abnahme der potenzieller Energie bleibt für die lineare kinetische Energie ein geringerer Anteil
Trägheitsmoment
Winkelbeschleunigung:t
Abhängigkeit der Winkelbeschleunigung von der wirkenden Kraft:
Mconst ramconstrFconst
t
va Für Kreisbewegung gilt: rv t ra
2rmconst2
1
rmconst
Trägheitsmoment: 2rm
MDrehmoment:
Trägheitsmoment
Während die Masse m eines Körpers eine unveränderliche Größe darstellt, ist dies für das Trägheitsmoment des Körpers nicht der Fall, denn dieses hängt von der Form des Körpers und der Wahl der Drehachse ab.
Im Fall der Vollscheibe werden viele einzelne Massenstückchen mn definiert und die dazugehörigen Abstände rn bestimmt, um die einzelnen Trägheitsmomente mnrn
2 aufzusummieren.
dmr 2
Trägheitsmoment eines Zylinders
dmr 2
drrhR
0
32
24
2
1
42 Rm
Rh
Hohlzylinder: drrhR
R
32
442
44 RRh
2344
4
4
442 Rm
RRRh
Vollzylinder:
drhrdm 2 Dichte
Trägheitsmoment einer Kugel
dxydmyd 42
2
1
2
1
222 xRy
x
dxxRd 222
2
1
dxxxRRdxxRR
R
R
R
4224
2
22 22
1
2
1
Die Kugel wird in eine Reihe von dünnen Scheiben zerlegt
23
3
4
5
2RR 2
5
2Rm
Rotationsenergie
Spielzeug Jojo:Im oberen Umkehrpunkt liegt nur potentielle Energie vor. Diese wandelt sich in Rotationsenergie um. Beim Riesen-Jojo kann die kinetische Energie vernachlässigt werden.
Rotationsenergie
Für einen Hohlzylinder kann man annehmen, daß sich alle Massenteilchen mit der gleichen Geschwindigkeit im Kreis herum bewegen.
2
2
1vmEkin
Wegen rv gilt2222
2
1
2
1 rmrmEkin
Die kinetische Energie der Rotationsbewegung ist:
2
2
1 RotE
Arbeit bei Rotationsbewegungen
Durch die Kraft F wird die Scheibe für eine bestimmte Zeit t beschleunigt. Nach der Zeit t besitzt die Scheibe die Rotationsenergie
2
2
1 RotW
Diese Energie muß gleich sein der Arbeit, die die Kraft F entlang des in der Zeit t zurückgelegten Weges s verrichtet hat. Diese Arbeit beträgt
sFW s
rFsFW ssr Ist der gedrehte Kreisbogen. Es gilt auch
MWRot( in Bogenmaß)
Leistung und Drehmoment
MWRot
Mt
WPRot
Spielzeug-Jojo: Rotationsgeschwindigkeit im unteren Umkehrpunkt?
Leistung bei Rotationsbewegungen
t
WP
Unter der Leistung P versteht man die pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit.
Für den Fall der Rotationsarbeit Wrot erhält man die Leistung:
tM
t
M
t
WP RotRot
Der Ausdruck ist die Winkelgeschwindigkeitt /
MPRot
Getriebe als Drehmomentwandler
221121 rrvv
Für verlustfreien Antrieb sind die Bahngeschwindigkeiten am Umfang der beiden Räder gleich
Damit verhalten sich die Winkelgeschwindigkeiten umgekehrt wie die Radien
1
2
2
1
r
r
Für verlustfreien Antrieb muß auch die vom Rad-2 abgegebene Leistung P2 gleich der vom Rad-1 aufgenommenen Leistung P1 sein.
221121 MMPP
11
22
1
2
2
1
1
2 Mr
rM
r
r
M
M
Das Ausgangsdrehmoment läßt sich über das Verhältnis r2/r1 aus dem Eingangsdrehmoment bestimmen.
Drehimpuls
Definition des Drehimpulses:
LDer Drehimpulsvektor steht senkrecht zum Radiusvektor und Impulsvektor . Beim Blick in Richtung von bewegt sich ein Massenpunkt im Uhrzeigersinn.
Ein Drehmoment bewirkt eine zeitliche Änderung des DrehimpulsesL
L
r
p
L
M
t
LM
Fragen zum Drehmoment
1. In welcher Richtung und mit welchem Gesamtdrehmoment würde sich ein Körper drehen, wenn folgende Werte zugrunde liegen:
0111 90,20,1,65 mrNF
0222 30,75,0,65 mrNF
0333 90,75,0,65 mrNF
2. Ein Vollzylinder mit dem Radius r=10cm und der Masse m=30kg wird über einen Faden, der um den Zylinder gewickelt ist und an dem eine Kraft von F=20N wirkt, in Drehung versetzt. Wie groß ist die Winkelbeschleunigung des Zylinders, die Winkelgeschwindigkeit des Zylinders, wenn die Kraft für eine Zeit t=10s wirkt?
3. Ein starrer Körper wird von einem Motor mit einer Endleistung von 2,0kW in einer Zeit von 5s auf eine Winkelgeschwindigkeit von 1000s-1 gebracht. Wie groß ist das Trägheitsmoment des Körpers?
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