Drehmoment

Drehmomentschlüssel

r=0,4m F=50Nr=0,2m F=100N

Achtung: M darf nicht mit der Arbeit verwechselt werdenDimension: [Nm]

Beim Drehmoment wirkt nur die Kraftkomponente senkrecht zum Hebelarm

Drehmoment

Die Drehwirkung hängt nicht nur vom Betrag der Kraft F ab, sondern auch von ihrer Richtung.

sinFFDreh

Die Drehwirkung ist zusätzlich abhängig von der Länge des Hebelarms r.

sin rFrFM Dreh

00 180180

sinsin180sin 0

rFM

(Vektorprodukt)sin rFM

Drehmoment

132 MMMMGes

Definition:Positives Drehmoment = Drehung im Uhrzeigersinn

111333222 sinsinsin rFrFrFMGes

000 115sin13030sin2,140135sin5,035 mNmNmNMGes

NmNmNmNmMGes 18,919,272437,12

Beschleunigte Drehbewegung

Anwendungsbeispiel:Wenn man am losen Ende eines Kabels zieht, das auf einer Rolle aufgewickelt ist, dann bewegt sich die Rolle meistens zur Person hin.

Bei einer anderen Zugrichtung kann sich die Kabelrolle aber auch wegbewegen.

Beschleunigte Drehbewegung

Zusammenhang zwischen Drehmoment und Winkelgeschwindigkeit

Ein Drehteller beginnt aufgrund einer Kraftwirkung zu rotieren und beschleunigt mit der Zeit immer mehr

constM

M2rmTrägheitsmoment:

Trägheitsmoment

Zwei Zylinder haben die gleiche Masse, trotzdem beschleunigt der Hohlzylinder langsamer.

Der Hohlzylinder speichert bei gleicher Drehgeschindigkeit mehr Rotationsenergie als der Vollzylinder. Bei gleicher Abnahme der potenzieller Energie bleibt für die lineare kinetische Energie ein geringerer Anteil

Trägheitsmoment

Winkelbeschleunigung:t

Abhängigkeit der Winkelbeschleunigung von der wirkenden Kraft:

Mconst ramconstrFconst

t

va Für Kreisbewegung gilt: rv t ra

2rmconst2

1

rmconst

Trägheitsmoment: 2rm

MDrehmoment:

Trägheitsmoment

Während die Masse m eines Körpers eine unveränderliche Größe darstellt, ist dies für das Trägheitsmoment des Körpers nicht der Fall, denn dieses hängt von der Form des Körpers und der Wahl der Drehachse ab.

Im Fall der Vollscheibe werden viele einzelne Massenstückchen mn definiert und die dazugehörigen Abstände rn bestimmt, um die einzelnen Trägheitsmomente mnrn

2 aufzusummieren.

dmr 2

Trägheitsmoment eines Zylinders

dmr 2

drrhR

0

32

24

2

1

42 Rm

Rh

Hohlzylinder: drrhR

R

32

442

44 RRh

2344

4

4

442 Rm

RRRh

Vollzylinder:

drhrdm 2 Dichte

Trägheitsmoment einer Kugel

dxydmyd 42

2

1

2

1

222 xRy

x

dxxRd 222

2

1

dxxxRRdxxRR

R

R

R

4224

2

22 22

1

2

1

Die Kugel wird in eine Reihe von dünnen Scheiben zerlegt

23

3

4

5

2RR 2

5

2Rm

Rotationsenergie

Spielzeug Jojo:Im oberen Umkehrpunkt liegt nur potentielle Energie vor. Diese wandelt sich in Rotationsenergie um. Beim Riesen-Jojo kann die kinetische Energie vernachlässigt werden.

Rotationsenergie

Für einen Hohlzylinder kann man annehmen, daß sich alle Massenteilchen mit der gleichen Geschwindigkeit im Kreis herum bewegen.

2

2

1vmEkin

Wegen rv gilt2222

2

1

2

1 rmrmEkin

Die kinetische Energie der Rotationsbewegung ist:

2

2

1 RotE

Arbeit bei Rotationsbewegungen

Durch die Kraft F wird die Scheibe für eine bestimmte Zeit t beschleunigt. Nach der Zeit t besitzt die Scheibe die Rotationsenergie

2

2

1 RotW

Diese Energie muß gleich sein der Arbeit, die die Kraft F entlang des in der Zeit t zurückgelegten Weges s verrichtet hat. Diese Arbeit beträgt

sFW s

rFsFW ssr Ist der gedrehte Kreisbogen. Es gilt auch

MWRot( in Bogenmaß)

Leistung und Drehmoment

MWRot

Mt

WPRot

Spielzeug-Jojo: Rotationsgeschwindigkeit im unteren Umkehrpunkt?

Leistung bei Rotationsbewegungen

t

WP

Unter der Leistung P versteht man die pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit.

Für den Fall der Rotationsarbeit Wrot erhält man die Leistung:

tM

t

M

t

WP RotRot

Der Ausdruck ist die Winkelgeschwindigkeitt /

MPRot

Getriebe als Drehmomentwandler

221121 rrvv

Für verlustfreien Antrieb sind die Bahngeschwindigkeiten am Umfang der beiden Räder gleich

Damit verhalten sich die Winkelgeschwindigkeiten umgekehrt wie die Radien

1

2

2

1

r

r

Für verlustfreien Antrieb muß auch die vom Rad-2 abgegebene Leistung P2 gleich der vom Rad-1 aufgenommenen Leistung P1 sein.

221121 MMPP

11

22

1

2

2

1

1

2 Mr

rM

r

r

M

M

Das Ausgangsdrehmoment läßt sich über das Verhältnis r2/r1 aus dem Eingangsdrehmoment bestimmen.

Drehimpuls

Definition des Drehimpulses:

LDer Drehimpulsvektor steht senkrecht zum Radiusvektor und Impulsvektor . Beim Blick in Richtung von bewegt sich ein Massenpunkt im Uhrzeigersinn.

Ein Drehmoment bewirkt eine zeitliche Änderung des DrehimpulsesL

L

r

p

L

M

t

LM

Fragen zum Drehmoment

1. In welcher Richtung und mit welchem Gesamtdrehmoment würde sich ein Körper drehen, wenn folgende Werte zugrunde liegen:

0111 90,20,1,65 mrNF

0222 30,75,0,65 mrNF

0333 90,75,0,65 mrNF

2. Ein Vollzylinder mit dem Radius r=10cm und der Masse m=30kg wird über einen Faden, der um den Zylinder gewickelt ist und an dem eine Kraft von F=20N wirkt, in Drehung versetzt. Wie groß ist die Winkelbeschleunigung des Zylinders, die Winkelgeschwindigkeit des Zylinders, wenn die Kraft für eine Zeit t=10s wirkt?

3. Ein starrer Körper wird von einem Motor mit einer Endleistung von 2,0kW in einer Zeit von 5s auf eine Winkelgeschwindigkeit von 1000s-1 gebracht. Wie groß ist das Trägheitsmoment des Körpers?