Friedrich U. Mathiak
Ebene Flächen-tragwerke II
Grundlagen der Plattentheorie
Ebene Flächentragwerke II Grundlagen der Plattentheorie
Copyright Neubrandenburg 2008 / Friedrich U. Mathiak Der Nachdruck oder das Kopieren dieses Skriptes ist auch auszugsweise nur mit Genehmi-gung des Autors erlaubt. 1. Auflage Neubrandenburg 2008 Hochschule Neubrandenburg Prof. Dr.-Ing. Friedrich U. Mathiak Fachbereich: Bauingenieur- und Vermessungswesen Postanschrift: Brodaer Straße 2 D-17033 Neubrandenburg Tel.: (0395) 5693-(0)-301
Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis ..................................................................................................................................................I
1 Einleitung....................................................................................................................................................... 1
2 Einführung in den Tensorkalkül ................................................................................................................. 5
2.1 Skalar ...................................................................................................................................................... 5 2.2 Vektor ..................................................................................................................................................... 5 2.3 Der Tensor zweiter Stufe ........................................................................................................................ 5
2.3.1 Der transponierte Tensor................................................................................................................. 6 2.3.2 Der symmetrische Tensor................................................................................................................ 6 2.3.3 Der antimetrische Tensor ................................................................................................................ 7 2.3.4 Der Einheitstensor ........................................................................................................................... 7 2.3.5 Der Kugeltensor .............................................................................................................................. 7
2.4 Summationsvereinbarung........................................................................................................................ 8 2.5 Das Kronecker δ-Symbol ........................................................................................................................ 8 2.6 Das ε - Symbol ........................................................................................................................................ 9 2.7 Vektor- und Tensoralgebra.................................................................................................................... 10
2.7.1 Das Skalarprodukt zweier Vektoren.............................................................................................. 10 2.7.2 Das Vektorprodukt zweier Vektoren............................................................................................. 10 2.7.3 Das Spatprodukt dreier Vektoren .................................................................................................. 11 2.7.4 Das doppelte Vektorprodukt ......................................................................................................... 11 2.7.5 Skalarprodukt Vektor-Tensor........................................................................................................ 12 2.7.6 Skalarprodukt Tensor-Tensor........................................................................................................ 13 2.7.7 Doppelskalarprodukt Tensor-Tensor............................................................................................. 13
2.8 Vektor- und Tensoranalysis .................................................................................................................. 14 2.8.1 Der Nabla-Operator....................................................................................................................... 14 2.8.2 Der Gradient eines Skalarfeldes .................................................................................................... 14 2.8.3 Die Divergenz eines Vektorfeldes................................................................................................. 14 2.8.4 Der Rotor eines Vektorfeldes ........................................................................................................ 15 2.8.5 Der Gradient eines Vektorfeldes ................................................................................................... 15 2.8.6 Die Divergenz eines Tensorfeldes................................................................................................. 15 2.8.7 Der Delta-Operator........................................................................................................................ 16 2.8.8 Der Rotor eines Tensorfeldes ........................................................................................................ 16 2.8.9 Allgemeine Beziehungen für die Operatoren ................................................................................ 17
3 Grundgleichungen der klassischen Plattentheorie ................................................................................... 19
3.1 Voraussetzungen ................................................................................................................................... 19 3.2 Plattenschnittlasten................................................................................................................................ 19 3.3 Transformationsgleichungen für die Schnittmomente .......................................................................... 21
II Inhaltsverzeichnis
3.3.1 Hauptbiegemomente...................................................................................................................... 21 3.3.2 Hauptdrillmomente ....................................................................................................................... 23
3.4 Gleichgewicht am Plattenelement ......................................................................................................... 25 3.5 Das Verschiebungsfeld w(x,y) .............................................................................................................. 26 3.6 Die Plattendifferenzialgleichung........................................................................................................... 28 3.7 Die Plattengleichung in Zylinderkoordinaten ....................................................................................... 28 3.8 Randbedingungen.................................................................................................................................. 32
3.8.1 Kartesische Koordinaten ............................................................................................................... 33 3.8.2 Zylinderkoordinaten...................................................................................................................... 34 3.8.3 Der eingespannte Rand.................................................................................................................. 34
3.8.3.1 Der eingespannte Rand x = x0 = konst. in kartesischen Koordinaten........................................ 34 3.8.3.2 Der eingespannte Rand y = y0 = konst. in kartesischen Koordinaten........................................ 35 3.8.3.3 Der eingespannte Rand r = r0 = konst. in Zylinderkoordinaten................................................. 35 3.8.3.4 Der eingespannte Rand ϕ = ϕ0 = konst. in Zylinderkoordinaten............................................... 36
3.8.4 Der gelenkig gelagerte Rand ......................................................................................................... 37 3.8.4.1 Der gelenkig gelagerte Rand x = x0 = konst. in kartesischen Koordinaten ............................... 37 3.8.4.2 Der gelenkig gelagerte Rand y = y0 = konst. in kartesischen Koordinaten ............................... 38 3.8.4.3 Der gelenkig gelagerte Rand r = r0 = konst. in Zylinderkoordinaten ........................................ 38 3.8.4.4 Der gelenkig gelagerte Rand ϕ = ϕ0 = konst. in Zylinderkoordinaten ...................................... 39
3.8.5 Der freie Rand ............................................................................................................................... 40 3.8.5.1 Der freie Rand x = x0 = konst. in kartesischen Koordinaten ..................................................... 40 3.8.5.2 Der freie Rand y = y0 = konst. in kartesischen Koordinaten ..................................................... 41 3.8.5.3 Der freie Rand r = r0 = konst. in Zylinderkoordinaten .............................................................. 41 3.8.5.4 Der freie Rand ϕ = ϕ0 = konst. in Zylinderkoordinaten ............................................................ 42
3.9 Das Verhalten der Platten an Ecken ...................................................................................................... 42
4 Die elastisch gebettete Platte ...................................................................................................................... 47
4.1 Lösung der homogenen Plattengleichung der elastisch gebetteten Platte in kartesischen Koordinaten 49 4.2 Die elastisch gebettete Platte in Zylinderkoordinaten ........................................................................... 52
4.2.1 Die Kelvin-Funktionen.................................................................................................................. 59 4.2.2 Rotationssymmetrie....................................................................................................................... 60
5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung ................................................................................ 65
5.1 Allgemeines .......................................................................................................................................... 65 5.2 Lösungen der homogenen Plattendifferenzialgleichung in kartesischen Koordinaten.......................... 66
5.2.1 Potenzen in x und y ....................................................................................................................... 66 5.2.2 Potenzialfunktionen....................................................................................................................... 67 5.2.3 Potenzialfunktionen in Produktform ............................................................................................. 68 5.2.4 Logarithmische Funktionen........................................................................................................... 69 5.2.5 Bipotenzialfunktionen ................................................................................................................... 69 5.2.6 Direkte Produktlösungen von ΔΔw(x,y) = 0 ................................................................................. 70
5.3 Lösungen der homogenen Plattendifferenzialgleichung in Zylinderkoordinaten.................................. 71 5.3.1 Rotationssymmetrie....................................................................................................................... 71 5.3.2 Der Fall w = w(ϕ) ......................................................................................................................... 72 5.3.3 Potenzialfunktionen....................................................................................................................... 72 5.3.4 Rotationssymmetrische Lösung von ΔΔw..................................................................................... 73 5.3.5 Direkte Produktlösung................................................................................................................... 74 5.3.6 Lösungen der Form w(r,ϕ) = f(r) cosϕ .......................................................................................... 75 5.3.7 Lösungen der Form w(r,ϕ) = f(r) cos2ϕ ........................................................................................ 76
5.4 Untersuchung einfacher Biegeflächen................................................................................................... 76 5.4.1 Lineare Verschiebungen................................................................................................................ 76 5.4.2 Zylindrische Biegeflächen............................................................................................................. 77 5.4.3 Parabolische Biegeflächen ............................................................................................................ 78 5.4.4 Hyperbolische Biegeflächen ......................................................................................................... 79
Inhaltsverzeichnis III
5.4.5 Reine Torsion ................................................................................................................................ 80 5.5 Partikularlösungen der Plattendifferenzialgleichung in kartesischen Koordinaten ............................... 81
5.5.1 Partikuläre Lösungen für Flächenlasten ........................................................................................ 81 5.5.1.1 Flächenlast p = p0 ...................................................................................................................... 82 5.5.1.2 Flächenlast p(ξ) = p0 ξ ............................................................................................................... 82 5.5.1.3 Flächenlast p(x,y) = p0 η ........................................................................................................... 82 5.5.1.4 Flächenlast p(x,y) = p0(ξ + η) ................................................................................................... 82 5.5.1.5 Flächenlast p(x,y) = p0 ξ η ........................................................................................................ 83 5.5.1.6 Flächenlast p(x,y) = p0 sin(nπξ) ................................................................................................ 83 5.5.1.7 Flächenlast p(x,y) = p0 sin(nπξ) sin(kπη).................................................................................. 83
5.6 Partikularlösungen der Plattendifferenzialgleichung in Polarkoordinaten ............................................ 83 5.6.1 Flächenlast p(r,ϕ) = p0................................................................................................................... 83 5.6.2 Flächenlast p(r,ϕ) = p0 ρ ............................................................................................................... 83 5.6.3 Flächenlast p(r,ϕ) = p0 ρ2 .............................................................................................................. 83
5.7 Die Fundamentallösung der klassischen Plattentheorie ........................................................................ 83 5.7.1 Die singuläre Lösung Einzelkraft.................................................................................................. 84 5.7.2 Die singuläre Lösung Einzelmoment M, Drehung um die y-Achse.............................................. 86 5.7.3 Die singuläre Lösung EinzelmomentM, Drehung um die x-Achse ............................................... 88
5.8 Rotationssymmetrische Kreis- und Kreisringplatten............................................................................. 89 5.9 Die eingespannte Kreisplatte unter Gleichlast ...................................................................................... 92 5.10 Die drehbar gelagerte Kreisplatte unter Gleichlast ............................................................................... 95 5.11 Die eingespannte Kreisplatte unter konstanter Teilflächenbelastung.................................................... 98 5.12 Die eingespannte Kreisplatte unter mittiger Einzelkraft ..................................................................... 102 5.13 Die eingespannte Kreisplatte mit Mittelstütze unter Gleichlast .......................................................... 103 5.14 Die drehbar gelagerte Kreisplatte unter mittiger Einzelkraft .............................................................. 107 5.15 Die innen eingespannte Kreisringplatte unter Gleichlast .................................................................... 110 5.16 Die Kreisringplatte mit gelenkig gelagertem Außenrand unter Gleichlast.......................................... 114 5.17 Die Kreisringplatte mit eingespanntem Außenrand unter Gleichlast .................................................. 119 5.18 Die Kreisringplatte mit gelenkiger Lagerung unter Linienlast............................................................ 122 5.19 Die Kreisringplatte unter konstanter Linienlast längs eines Kreises ................................................... 128
6 Rechteckplatten......................................................................................................................................... 133
6.1 Der unendlich lange Plattenstreifen .................................................................................................... 133 6.2 Der Plattenhalbstreifen ........................................................................................................................ 140
6.2.1 Der Plattenhalbstreifen mit gelenkiger Lagerung des kurzen Randes......................................... 147 6.2.2 Der Plattenhalbstreifen mit Einspannung des kurzen Randes ..................................................... 156 6.2.3 Der Plattenhalbstreifen mit freiem kurzen Rand ......................................................................... 158
6.3 Die allseits gelenkig gelagerte Rechteckplatte unter Gleichlast.......................................................... 162 6.4 Die auf vier Eckstützen gelagerte Rechteckplatte unter konstanter Flächenlast ................................. 169
7 Die schubelastische Platte......................................................................................................................... 177
7.1 Allgemeines ........................................................................................................................................ 177 7.2 Die Grundgleichungen einer schubelastischen Platte.......................................................................... 177 7.3 Plattenkinematik.................................................................................................................................. 178 7.4 Die statischen Grundgleichungen........................................................................................................ 180 7.5 Das Stoffgesetz ................................................................................................................................... 183 7.6 Die Differenzialgleichungen ............................................................................................................... 184
IV Inhaltsverzeichnis
7.7 Die Grundgleichungen der flächenlastfreien Platte in kartesischen Koordinaten ............................... 189 7.8 Die Grundgleichungen der flächenlastfreien Platte in Polarkoordinaten ............................................ 190 7.9 Ein Vergleich mit der klassischen Lösung .......................................................................................... 191 7.10 Die isotherme Formänderungsenergie................................................................................................. 193 7.11 Der Satz von Betti ............................................................................................................................... 193 7.12 Die Randwerte einer schubelastischen Platte ...................................................................................... 194 7.13 Die eingespannte schubelastische Kreisplatte unter konstanter Teilflächenbelastung ........................ 195
8 Näherungsverfahren ................................................................................................................................. 203
8.1 Das Streifenkreuzverfahren nach Markus ........................................................................................... 203 8.2 Die drillweiche Platte .......................................................................................................................... 205
9 Fourierreihen............................................................................................................................................. 213
9.1 Einfache Fourierreihen........................................................................................................................ 213 9.2 Fourierdoppelreihen ............................................................................................................................ 218
Index................................................................................................................................................................... 221
Literatur............................................................................................................................................................. 225
1 Einleitung Eine Platte ist ein dünnes ebenes Flächentragwerk, das nur Lasten senkrecht zur Plattenmittel-fläche aufnimmt. Ihre Plattendicke h soll dabei als konstant vorausgesetzt werden. Die im Folgenden vorgestellte Theorie der dünnen Platte gehen in ihren theoretischen und experi-mentellen Grundlagen auf Arbeiten von
- Jakob II Bernoulli1, 1759-1789 - Ernst Florens Friedrich Chladni, Physiker, 1756-1827 - Leonhard Euler, schweiz. Mathematiker, 1707-1783 - Sophie Germain, 1776-1831 - Joseph Louis Comte de Lagrange, frz. Mathematiker, 1736-1813 - Claude Louis Marie Henri Navier, frz. Physiker, 1785-1836 - Simeón Dénis Poisson, frz. Physiker und Mathematiker, 1781-1840 - Gustav Robert Kirchhoff, 1824-1887
Ein Jahr vor seinem Tode legte Jakob II Bernoulli der Petersburger Akademie seine Platten-theorie2 vor. Die Anregung zur Aufstellung einer Plattentheorie erhielt der junge hoffnungs-volle Wissenschaftler aus der Arbeit von Chladni, der seine Entdeckungen über die Theorie des Klanges der Petersburger Akademie vortrug. Basis für Bernoullis Untersuchungen war die Arbeit von Leonhard Euler über die Transversalschwingungen von Stäben, deren Theorie Bernoulli auf die Platte übertrug, indem er eine rechteckige Platte als eine Doppelschicht von senkrecht zueinander angeordneten und miteinander fest verbundenen Stäben ansieht. Ber-noulli kommt zu der Differenzialgleichung
44
4
4
4
cz
yz
xz
=∂∂
+∂∂
Mit z wird die Auslenkung und mit x und y die Achsenkoordinaten der Ersatzstäbe angege-ben. c4 ist eine Konstante. Bernoulli räumt selbst Schwächen seiner Theorie ein. In seiner Ar-beit Neue Beiträge zur Akustik macht Chladni auf die Diskrepanz zwischen Theorie und Ex-
1 Enkel des großen Johann I Bernoulli, ertrank beim Baden in der Newa 2 Essai théoretique sur les vibrations des plaques élastiques, rectangulaires et libres
2 1 Einleitung
periment aufmerksam. Nachdem Chladni am Ende des Jahres 1808 der Französischen Aka-demie in Anwesenheit des regierenden Kaisers Napoleon seine Arbeiten zum Klang vortrug, setzte diese auf Empfehlung Napoleons einen außerordentlichen Preis für die mathematische Theorie der Flächenschwingungen aus. Die Aufgabe wurde in den Pariser Akademieberichten für das Jahr 1808 abgedruckt. Die Aufgabe lautete1:
Die mathematische Theorie von Schwingungen elastischer Flächen ist aufzustellen und mit dem Experiment zu vergleichen.
Da zunächst keine annehmbaren Arbeiten eingereicht wurden, musste die Bewerbungsfrist zweimal verschoben werden (1. Abgabetermin 1.10.1811, 2. Abgabetermin 1.10.1813, 3. Ab-gabetermin 1.10.1815). Von Sophie Germain wurden insgesamt drei Arbeiten eingereicht. Die 1. Denkschrift war fehlerhaft. Sie wurde von Lagrange, der Mitglied der Prüfungskommission war, berichtigt. In dieser Arbeit kommt sie zu der Differenzialgleichung
0yxz
yxz
tz
42
6
24
62
2
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂+
∂∂∂
λ+∂∂
Lagrange erhält nach Korrektur der Arbeit die Differenzialgleichung
0y
zyxz2
xzk
tz
4
4
22
4
4
42
2
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
+∂∂
die von der ersten stark abweicht. Das ist aber die noch heute bestehende Form der Platten-gleichung, wobei die Bedeutung von k zur damaligen Zeit noch nicht gegeben werden konnte. Zum 1. Oktober 1813 reichte Sophie Germain ihre neue Denkschrift ein, die von der Kom-mission "ehrenvoll erwähnt" wurde. Den ausgesetzten Preis erhielt sie dafür aber nicht. Das gelang ihr erst im Jahre 1816, obwohl auch diese Arbeit in den Augen der Gutachter noch immer nicht befriedigte. Es folgten dann Navier und Poisson, die weitere Grundlagen der heu-tigen Plattentheorie legten. Mit den Arbeiten von Kirchhoff kam die Entwicklung der klassischen Plattentheorie zu einem vorläufigen Ende, weshalb auch von der Kirchhoffschen Plattentheorie gesprochen wird. Erweiterte Theorien, die eng mit den Namen E. Reissner und R.D. Mindlin verbunden sind, versuchen die Diskrepanz der klassischen Plattentheorie zwischen zwei möglichen Randbe-dingungen für die Biegefläche und den dort vorhandenen drei Schnittlasten zu beseitigen. Das führt bei Reissner auf eine partielle Differenzialgleichung 6. Ordnung für die Biegefläche w und bei Mindlin auf ein Differenzialgleichungssystem zweier Differenzialgleichungen, die in
1 Donnez la théorie des surfaces élatiques et la comparez à l'expérience
1 Einleitung 3
der Summe ein Integrationsproblem 6. Ordnung darstellen und somit, wie bei Reißner, die Erfüllung dreier Randbedingungen am Rand ermöglichen
2 Einführung in den Tensorkalkül 2.1 Skalar
Ein Skalar1 ist eine von der Wahl eines Koordinatensystems unabhängige und damit gegen-über einer Koordinatentransformation invariante Größe, die durch Angabe einer Zahl charak-terisiert ist. Skalare werden auch als Tensoren nullter Stufe bezeichnet. Beispiel: Die Temperatur T
2.2 Vektor Ein Vektor2 ist eine Größe, die außer einem bestimmten Betrag eine bestimmte Richtung hat. Ein Vektor kann im Raum auch als geordnetes Zahlentripel definiert werden, das gewissen Transformationsgesetzen genügt. Vektoren werden auch als Tensoren erster Stufe bezeichnet.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=++=
z
y
x
zzyyxx
vvv
vvv eeev ; ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=++=
3
2
1
332211
vvv
vvv eeev
2.3 Der Tensor zweiter Stufe Ein Tensor3 zweiter Stufe ist eine extensive Größe höherer Ordnung, die durch 9 Zahlenanga-ben festgelegt ist.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⊗++⊗+⊗=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzzzyxxyxxxx
TTTTTTTTT
TTT eeeeeeT K
1 zu lat. scalaris ›zur Leiter, Treppe gehörig‹ 2 von lat. vector ›Träger‹, ›Fahrer‹, zu vehere ›fahren‹ 3 zu lat. tendere, tensum ›spannen‹
6 2 Einführung in den Tensorkalkül
oder
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=⊗++⊗+⊗=
333231
232221
131211
333321121111
TTTTTTTTT
TTT eeeeeeT K
Tjk: Koordinate des Tensors T
kj ee ⊗ : Basisdyaden
kjjkT ee ⊗ : Komponente des Tensors T
ϕ: 1 = 30 Tensor 0.ter Stufe (Skalar im Ñ3) v: 3 = 31 Tensor 1.ter Stufe (Vektor im Ñ3) T: 9 = 32 Tensor 2.ter Stufe 27 = 33 Tensor 3.ter Stufe 81 = 34 Tensor 4.ter Stufe 3n Tensor n.ter Stufe Hinweis: Die dyadischen Produkte der Basisvektoren xx ee ⊗ oder 11 ee ⊗ usw. sind nicht
weiter zerlegbar. Für lineare Dyaden gelten die folgenden Rechenregeln
abbacbacbacbacba
⊗≠⊗⋅=⋅⊗⋅=⊗⋅
)()()()(
2.3.1 Der transponierte Tensor Aus T entsteht TT durch spiegeln der Elemente an der Hauptdiagonalen.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
152024131
101523241
TTT
2.3.2 Der symmetrische Tensor
TTT = und damit kjjk TT = .
2.3 Der Tensor zweiter Stufe 7
Beispiel: ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
614132421
T
Der symmetrische Tensor ist durch sechs Zahlenangaben festgelegt.
2.3.3 Der antimetrische Tensor
TTT −= und damit kjjk TT −=
Beispiel: ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−=
014102420
014102420
TTT
Der antimetrische Tensor ist durch drei Zahlenangaben festgelegt.
2.3.4 Der Einheitstensor
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010001
I
2.3.5 Der Kugeltensor
IT S100010001
SS000S000S
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
Der Kugeltensor ist durch eine Zahlenangabe festgelegt.
8 2 Einführung in den Tensorkalkül
2.4 Summationsvereinbarung
In der Tensorrechnung wird zwischen freien und gebundenen Indizes unterschieden.
Freie Indizes: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
ϕ=ϕ=ϕ=
→ϕ=
33
22
11
jj
cosaxcosaxcosax
cosax
oder
⎪⎩
⎪⎨
⎧
ϕ=ϕ=ϕ=
→ϕ=
33
22
11
rr
cosaxcosaxcosax
cosax
Gebundene Indizes: (sie kommen doppelt vor):
332211jj αααα ++=
332211kk ββββ ++=
332211kk yxyxyxyx ++=
333323321331
322322221221
311321121111kk
ββα+ββα+ββα+ββα+ββα+ββα+ββα+ββα+ββα=ββα ll
2.5 Das Kronecker δ-Symbol
⎩⎨⎧
≠=
=δkfür0kfür1
kl
ll
100010001
333231
232221
131211
=δ=δ=δ=δ=δ=δ=δ=δ=δ
mit δkl : Kronecker-Symbol1
Einheitstensor: kjjk
100010001
eeI ⊗δ=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
Es gilt: kk ll δ=δ
1 Leopold Kronecker, Mathematiker, 1823-1891
2.6 Das ε - Symbol 9
sowie jkk33jk22jk11jkj δ=δδ+δδ+δδ=δδ ll
Beispiel: ll xx kk =δ , denn llll 332211kk xxxx δ⋅+δ⋅+δ⋅=δ
2.6 Das ε - Symbol Das ε-Symbol wird im Zusammenhang mit der Bildung des Vektorproduktes bei Vektoren und Tensoren benutzt. Es gilt:
⎪⎩
⎪⎨
⎧=−=
=εsonst0
.zyklund123mkfür1
.zyklund321mkfür1
mk l
l
l
010100
000
133123113
132122112
131121111
=ε+=ε=ε−=ε=ε=ε
=ε=ε=ε
001000100
233223213
232222212
231221211
=ε=ε−=ε=ε=ε=ε+=ε=ε=ε
000001010
333323313
332322312
331321311
=ε=ε=ε=ε=ε+=ε=ε−=ε=ε
lll mkmkmk ε=ε=ε (zyklisch vertauscht)
Entwicklungssatz der Tensor- und Vektorrechnung
knkmk
jnjmj
inimi
mnijk
δδδδδδδδδ
=εε
l
l
l
l
n = k: 3kmk
jkjmj
ikimi
mkijk
δδδδδδδδ
=εε
l
l
l
l
Entwicklung nach der letzten Zeile:
10 2 Einführung in den Tensorkalkül
ll
llllll
llllll
lllll
jimijm
imjjmiimjjmiijmjim
imjjmiikjkmjkikmikjmkjkimk
imjjmiikjjkikmikjmjkimk
3333
)(3)()(
δδ−δδ=
δδ−δδ+δδ+δδ−δδ−δδ=
δδ−δδ+δδδ+δδδ−δδδ−δδδ=
δδ−δδ+δδ−δδδ−δδ−δδδ=
und damit: jmj
imiimjjmimkijk δδ
δδ=δδ−δδ=ε⋅ε
l
l
lll
m = j: llllll iiiijjjjijkijk 23 δ=δ−δ=δδ−δδ=εε
m = i 62 iiijkijk =δ=εε
2.7 Vektor- und Tensoralgebra
Die Basisvektoren werden aus schreibtechnischen Gründen umbenannt: 321zyx eeeeee ;;;; ⇒
rkj
321zzyyx
eee
eeeeeev
rkj
321x
vvv
vvvvvv
===
++=++=
2.7.1 Das Skalarprodukt zweier Vektoren
332211jjjkkjkjkj bababababababa ++==δ=⋅=⋅=⋅ kjkj eeeeba
Herausfiltern einer Koordinate: jkjkjkkj vvv =δ=⋅=⋅ eeev
2.7.2 Das Vektorprodukt zweier Vektoren
deeeeeeba kjkj ==ε=×=×=× llll dbababa jkkjkjkj
ll jkkjbad ε= ist nur von Null verschieden, wenn
2.7 Vektor- und Tensoralgebra 11
⎩⎨⎧
−→εεε+→εεε
=ε1;;1;;
132213321
312231123jkl
und damit
321
231213
eeeeeeeeeba
)baba()baba()baba(babababababa
122131132332
311223133221
−+−+−=−−−++=×
oder symbolisch:
321
321
bbbaaa
321 eeeba =×
Behauptung: ))(())(()()(!
cbdadbcadcba ⋅⋅−⋅⋅=×⋅×
))(())((
cbdadbcadcbadcba
dcbadcba)(dcba
dcbadcba
)dc()ba()d(c)b(a
kkjjkkjjjkkjkjkj
jmkmkjkmjmkjjmkkmjmkj
mnjknmkjnpmpjknmkj
pmpmnjknkjmmkkjj
cbdadbca
eeeeeed)(cb)(a
⋅⋅−⋅⋅=
−=−=
δδ−δδ=δδ−δδ=
εε=δεε=
ε⋅ε=×⋅×==×⋅×
lllllll
llll
llll
q.e.d.
2.7.3 Das Spatprodukt dreier Vektoren
321
321
321
231312123213132321
kjjkjkkjmkkjmkkj
cccbbbaaa
cbacbacbacbacbacba
cbacbacba)cb(a
=−−−++=
ε=ε=⋅ε=ε⋅=×⋅≡ llllllll mjmj eeeec)(ba[abc]
2.7.4 Das doppelte Vektorprodukt Behauptung: b)c(ac)b(ac)(ba ⋅−⋅=××
Zwischenrechnung: deecb kk ==ε=× krsksr dcb
12 2 Einführung in den Tensorkalkül
b)c(ac)b(a
ee
eee
eeeeeec)(ba kjkj
⋅−⋅=
−=
δδ−δδ=δδ−δδ=
εε=ε=×=×=××
llll
lllllll
llll
cbacba
cbacba)(cba
cbadadada
jjjj
srjsrjsjrsrjsrjsjrsrj
jkrsksrjjkkjkjkj
q.e.d.
2.7.5 Skalarprodukt Vektor-Tensor
weeeeee
eeeeeeTv
====⋅=
⊗⋅=⊗⋅=⋅
llllllll
llll
wTvδTv)(Tv
)(TvTv
jjjkkjkjkj
kjkjkkjj
3
2
1
ee
eew
)TvTvTv()TvTvTv(
)TvTvTv(Tv
333232131
323222121
313212111jj
++++++
++== ll
nun:
jjjkjkjkjk
jkjkkjjkkjjk
vTvTδvT
)(vT)(vTv)(T
eee
eeeeeeeeevT
llll
llllll
===
⋅=⋅⊗=⋅⊗=⋅
Vergleich der obigen Ergebnisse zeigt:
vTTv T ⋅=⋅ Ist T der Einheitstensor, dann folgt:
veeeeee
eeeeeeIv
==δ=δδ=⋅δ=
⊗⋅δ=⊗δ⋅=⋅
jjjjjkkjkjkj
kjkjkkjj
vvv)(v
)(vv
llllll
llll
oder: vIvvI =⋅=⋅ Die Koordinaten eines Tensors erhält man durch entsprechende Skalarmultiplikation
jkmkjmkmmjkj TT)(T =δδ=⋅⊗⋅=⋅⋅ llll eeeeeTe
2.7 Vektor- und Tensoralgebra 13
2.7.6 Skalarprodukt Tensor-Tensor
)()(TS
TS
mjk
mjk
mkj
mkj
eeee
eeeeTS
⊗⋅⊗=
⊗⋅⊗=⋅
ll
ll
Def.: ))(()()( dacbdcba ⊗⋅=⊗⋅⊗
Ree
eeTSeeTSeeeeTS
mj
mjkmjkmjmjkmjk
=⊗=
⊗=⊗=⊗⋅=⋅
jm
kmjk
R
δ))((TS llll
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++++++++++++++++
=⋅
333323321331323322321231313321321131
332323221321322322221221312321221121
331323121311321322121211311321121111
TSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTS
TS
nun I statt T
Seeee
eeeeeeee
eeeeeeeeIS
kjj
jkkj
mkjmkj
=⊗=⊗δ=
⊗⋅⋅=⊗⋅⊗=
⊗⋅⊗δ=⊗δ⋅⊗=⋅
jkmjk
jjkjk
mjkmjk
S)(S
)()(S)()(S
)()(S)()(S
ll
lll
llll
IIIT;ITTIS;TTS =⋅=⋅=⋅⋅≠⋅
Das Ergebnis ist wieder ein Tensor.
2.7.7 Doppelskalarprodukt Tensor-Tensor
)()(S
)(T)(S
jk
mjk
mkjm
mkj
eeeeT
eeeeTS
⊗⋅⋅⊗=
⊗⋅⋅⊗=⋅⋅
ll
ll
Def.: ))(()()( dacbdcba ⋅⋅=⊗⋅⋅⊗
333323321331322322221221311321121111
kjjkjmkmjkjmkmjk
mjk
TSTSTSTSTSTSTSTSTS
TSTSδTS
))((TS
++++++++=
=δ=δ=
⋅⋅=⋅⋅
ll
ll mjk eeeeTS
14 2 Einführung in den Tensorkalkül
T
eeeeIT
Spur:TTT
TTTδT
)(T
332211
mmmjjmkmjjkm
kjjkmm
=++=
==δ=δδ=δδ=
⊗δ⋅⋅⊗=⋅⋅
llllllll
ll
STTS ⋅⋅=⋅⋅ ; TTIIT Spur=⋅⋅=⋅⋅ ; 3=⋅⋅ II
2.8 Vektor- und Tensoranalysis
2.8.1 Der Nabla-Operator Der Nabla-Operator ist ein symbolischer Vektor.
j321 xxxxzyx ∂∂
=∇→∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ j321zyx eeeeeee
2.8.2 Der Gradient eines Skalarfeldes
j321 xFF
xxxFF
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇= j321 eeeegrad
Das Ergebnis ist ein Vektorfeld.
2.8.3 Die Divergenz eines Vektorfeldes
3
3
2
2
1
1
j
jjk
j
kkk
jj x
vxv
xv
xv
xv
vx
div∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂
∂=δ
∂∂
=⋅∂∂
=⋅∇= eevv
Das Ergebnis ist ein skalares Feld.
2.8 Vektor- und Tensoranalysis 15
2.8.4 Der Rotor eines Vektorfeldes
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
=
ε∂∂
=×∂∂
=×∂∂
=×∇=
2
1
1
2
1
3
3
1
3
2
2
3
21
33
2
11
3
22
3
11
2
33
1
2
jkj
kkj
j
kk
j
xv
xv;
xv
xv;
xv
xv
xv
xv
xv
xv
xv
xv
xv
xvv
x
eeeeee
eeeeevvrot kj ll
Das Ergebnis ist ein Vektorfeld. Beispiel:
)1e;1;1()1;8;0(
)1e;xcos0;10()xsinx;xe;xx(8
xx1133
xx21
2121
−−−=
−−−=→+++= ++
vrot
vrotv
2.8.5 Der Gradient eines Vektorfeldes
kjj
kkk
jj x
vvx
grad eeeevv ⊗∂∂
=⊗∂∂
=⊗∇=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
3
3
3
2
3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
xv
xv
xv
xv
xv
xv
xv
xv
xv
grad v
Das Ergebnis ist ein Tensorfeld
2.8.6 Die Divergenz eines Tensorfeldes
33
33
2
23
1
132
3
32
2
22
1
121
3
31
2
21
1
11
j
jjk
j
kkj
j
kkk
jj
xT
xT
xT
xT
xT
xT
xT
xT
xT
xT
δxT
)(xT
Tx
div
eee
eeeeeeeeTT
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=
∂
∂=
∂∂
=⊗⋅∂∂
=⊗⋅∂∂
=⋅∇= l
l
ll
ll
ll
16 2 Einführung in den Tensorkalkül
2.8.7 Der Delta-Operator
23
2
22
2
21
2
33
22
11
33
22
11
xxx
xxxxxxgraddiv
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇⋅∇==Δ eeeeee
23
2
22
2
21
2
xF
xF
xFF
∂∂
+∂∂
+∂∂
=Δ
( ) ( )321332211 v;v;vvvv ΔΔΔ=++Δ=Δ eeev
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΔΔΔΔΔΔΔΔΔ
=Δ
333231
232221
131211
TTTTTTTTT
T
2.8.8 Der Rotor eines Tensorfeldes Def.: cbacba ⊗×=⊗× )()(
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
=
⊗∂∂
=⊗×∂∂
=⊗×∂∂
=×∇=
2
13
1
23
2
12
1
22
2
11
1
21
1
33
3
13
1
32
3
12
1
31
3
11
3
23
2
33
3
22
2
32
3
21
2
31
mjkmj
kkj
j
kkk
jj
xT
xT
xT
xT
xT
xT
xT
xT
xT
xT
xT
xT
xT
xT
xT
xT
xT
xT
rot
εxT
)xT
Tx
rot
T
eeee(eeeeTT ll
ll
ll
2.8 Vektor- und Tensoranalysis 17
2.8.9 Allgemeine Beziehungen für die Operatoren
)F(gradgrad)Fgradgrad()F(grad)Fgrad(
)(gradΔ)(Δgrad)(gradΔ)(Δgrad
divgrad)grad(div)grad(div
Fgrad)F(div)div()(div
TT
T
Δ=ΔΔ=Δ
==
=Δ=
=Δ=Δ
vvvv
vvvv
Ivv
3 Grundgleichungen der klassischen Plattentheorie
3.1 Voraussetzungen
Die Platte ist ein dünnes ebenes Flächentragwerk Die Belastung erfolgt senkrecht zur Plattenebene und durch Randlasten Die Plattendicke h ist klein gegenüber den Abmessungen in der Ebene Die Plattendicke h ist konstant Es gilt das Hookesche Gesetz Die Schnittlasten werden am unverformten System ermittelt (Theorie 1. Ordnung)
Abb. 3-1 Dünne Rechteckplatte der Dicke h, mögliche Feld- und Randbelastungen
3.2 Plattenschnittlasten Wie beim Balken, wird auch in der Plattentheorie vorteilhaft mit Spannungsresultierenden gearbeitet. Allerdings werden bei der Platte die Spannungen nur über die Plattendicke h integ-
20 3 Grundgleichungen der klassischen Plattentheorie
riert. Die so definierten Schnittgrößen haben dann die Dimension Kraft/Länge oder Mo-ment/Länge
Abb. 3-2 Spannungen an einem Plattenelement
Abb. 3-3 Querkräfte
Querkräfte:
dzσq2h
2hxzx ∫
−
=
dzσq2h
2hyzy ∫
−
=
(Kräfte je Längeneinheit)
Abb. 3-4 Biegemomente
Biegemomente:
dzzσm2h
2hxxxx ∫
−
=
dzzσm2h
2hyyyy ∫
−
=
(Momente je Längeneinheit)
Abb. 3-5 Drillmomente
Drillmomente:
dzzσm2h
2hxyxy ∫
−
=
dzzσm2h
2hyxyx ∫
−
=
yxxy mm =
(Momente je Längeneinheit)
3.3 Transformationsgleichungen für die Schnittmomente 21
3.3 Transformationsgleichungen für die Schnittmomente Wir untersuchen das Transformationsverhalten der Schnittmomente beim Übergang vom
y,x - Koordinatensystem auf das um den Winkel ϕ gedrehte y,x - Koordinatensystem.
Die Transformationsgesetze für Vektoren liefern bei einer Drehung um den Winkel ϕ
Abb. 3-6 Plattenelement mit Schnittmomenten
ϕ+ϕ−−=
ϕ−ϕ−−+=
ϕ+ϕ−++=
2cosm2sin)mm(21m
2sinm2cos)mm(21)mm(
21m
2sinm2cos)mm(21)mm(
21m
xyyyxxyx
xyyyxxyyxxyy
xyyyxxyyxxxx
Gl. 3-1
Es gelten (Gl. 3-1) die folgenden invarianten Beziehungen
2xyyyxx
2yxyyxx
yyxxyyxx
mmmmmm
mmmm
−=−
+=+ Gl. 3-2
3.3.1 Hauptbiegemomente Die Matrix des Schnittmomententensors
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
ηη
ξξ
m00m
mmmm
yyyx
xyxxM
22 3 Grundgleichungen der klassischen Plattentheorie
erhält Diagonalgestalt, wenn wir den Drehwinkel ϕ = ϕ1 so wählen, dass
02cosm2sin)mm(21
1xy1yyxx =ϕ+ϕ−− Gl. 3-3
und damit
)2tan(mm
m22tan 1
yyxx
xy1 π+ϕ=
−=ϕ Gl. 3-4
wird. Ein so in der Ebene orientiertes Element ist somit frei von Drillmomenten. Zu den in Gl. 3-4 ermittelten Richtungen gehören die Biegemomente
1xy1yyxxyyxx
1xy1yyxxyyxx
2sinm2cos)mm(21)mm(
21m
2sinm2cos)mm(21)mm(
21m
ϕ−ϕ−−+=
ϕ+ϕ−++=
ηη
ξξ
Gl. 3-5
Abb. 3-7 Hauptbiegemomente
Wegen ( )π+ϕ=ϕ 11 2tan2tan existiert eine zweite Richtung
212π
+ϕ=ϕ Gl. 3-6
für die Gl. 3-3 ebenfalls erfüllt ist. Für diese Drehwinkel werden außerdem die Biegemomen-te extremal, denn die für das Vorliegen von Extremwerten notwendigen Bedingungen
0d
dm xx =ϕ
und 0d
dm yy =ϕ
führen wiederum auf Gl. 3-4. Der unter diesen Richtungen auftre-
tende drillmomentenfreie Zustand wird Hauptbiegemomentenzustand genannt. Die Achsen
3.3 Transformationsgleichungen für die Schnittmomente 23
ξ und η heißen Hauptachsen. Die Invarianten Gl. 3-2 gehen für den Hauptbiegemomenten-
zustand wegen 0m =ξη über in
2xyyyxx
yyxx
mmmmm
mmmm
−=
+=+
ηηξξ
ηηξξ Gl. 3-7
Aus Gl. 3-7 lassen sich die Hauptmomente berechnen, ohne den Weg über die Transformati-onsgleichungen zu gehen. Eine direkte Zuordnung zum Drehwinkel ist dann allerdings nicht möglich. Wir ordnen sie so an, dass 2211 mm > ist und erhalten
( ) ( )
( ) ( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−−+=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−++=
2xy
2yyxxyyxx22
2xy
2yyxxyyxx11
m4mmmm21m
m4mmmm21m
Gl. 3-8
Wegen yyxx
xy2
12
11 mm
m2y1y2
tan1tan22tan
−=
′−′
=ϕ−
ϕ=ϕ folgt aus Gl. 3-4 die Differenzialglei-
chung der Hauptbiegemomententrajektorien.
1m2
mmm2
mmy
2
xy
xxyy
xy
xxyy2,1 −⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −±
−=′ Gl. 3-9
Hinweis: Weil 1yy 21 −=′⋅′ ist, schneiden sich die Hauptbiegemomententrajektorien unter
einem Winkel von 90°.
3.3.2 Hauptdrillmomente Die Richtung für die extremalen Drillmomente erhalten wir aus der Forderung
3xy3yyxxyx 2sinm22cos)mm(0
ddm
ϕ−ϕ−−==ϕ
und damit
)2tan(2cot2tan1
m2mm
2tan 311xy
yyxx3 π+ϕ=ϕ−=
ϕ−=
−−=ϕ Gl. 3-10
Diesen Richtungen sind die Hauptdrillmomente
24 3 Grundgleichungen der klassischen Plattentheorie
2xy
2yyxx12 m4)mm(
21m +−±= Gl. 3-11
zugeordnet. Der Hauptdrillmomentenzustand ist i. Allg. nicht biegemomentenfrei, vielmehr wirken in dieser Schnittfläche die Biegemomente
)mm(21m yyxxM += Gl. 3-12
Abb. 3-8 Der Hauptdrillmomentenzustand
Nach Gl. 3-10 gilt
23
23
xy
yyxx3 y1
y2tan1tan2
m2mm
2tan′−′
=ϕ−
ϕ=
−−=ϕ Gl. 3-13
Auflösung nach y' liefert
1mm
m2mm
m2y
2
yyxx
xy
yyxx
xy2,1 +⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−±
−=′ Gl. 3-14
die Differenzialgleichung der Hauptdrillmomententrajektorien. Hinweis: Weil 1yy 21 −=′⋅′ gilt, schneiden sich die Hauptdrillmomententrajektorien unter
einem Winkel von 90°. Die Hauptdrill- und die Hauptbiegemomententrajektorien bilden je für
sich ein orthogonales Netz. Wegen 1
3 2tan12tanϕ
−=ϕ stehen die beiden Richtungen 32ϕ
3.4 Gleichgewicht am Plattenelement 25
und 12ϕ senkrecht aufeinander. Damit wird 413π
+ϕ=ϕ . Beide Netze schneiden sich unter
einem Winkel von °=α 45 .
3.4 Gleichgewicht am Plattenelement
Wir betrachten ein aus der Platte herausgeschnittenes Element der Abmessungen dx, dy (s.h. Abb. 3-2). Das Element wird belastet durch eine Flächenlast p(x,y) und durch die durch den Schnitt freigesetzten Querkräften qx, qy und Momenten mxx, myy, mxy = myx entsprechend Abb. 3-3 - Abb. 3-5.
∑ = 0Fz : 0dyqdxqdydxx
qqdxdy
yq
qdydxp xyx
xy
y =−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂++
0M x =∑ : 02
dydydxy
qdxdyqdxdy
xm
dydxy
m yy
xyyy =∂
∂++
∂
∂−
∂
∂−
∑ = 0M y : 02
dxdxdyx
qdydxqdydx
ym
dxdyx
m xx
yxxx =∂∂
−−∂
∂+
∂∂
Mit 0dydx → liefert das Kraftgleichgewicht
0py
qx
q yx =+∂
∂+
∂∂
Gl. 3-15
sowie das Momentengleichgewicht getrennt um beide Achsen
0qy
mx
m
0qy
mx
m
yyyxy
xyxxx
=−∂
∂+
∂
∂
=−∂
∂+
∂∂
Gl. 3-16
Einsetzen von Gl. 3-16 in Gl. 3-15 liefert
0pym
yxm
2xm
2yy
2xy
2
2xx
2
=+∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂
Gl. 3-17
26 3 Grundgleichungen der klassischen Plattentheorie
3.5 Das Verschiebungsfeld w(x,y)
Die Verschiebung eines Punktes P mit dem Abstand z von der Mittelfläche setzt sich zusam-men aus der Verschiebung w(x,y) der Plattenmittelfläche und den Verschiebungen u(x,y,z) sowie v(x,y,z), die sich wie folgt auf die Verschiebung w der Plattenmittelfläche zurückfüh-ren lassen.
Abb. 3-9 Verschiebung des Punktes P
Unter der Voraussetzung kleiner Verformungen und kleiner 1. Ableitungen der Verformun-
gen entnehmen wir Abb. 3-9: xwz)z,y,x(u∂∂
−= ywz)z,y,x(v∂∂
−=
wobei die Verschiebung w der Plattenmittelfläche nur von den Koordinaten x, y abhängt. Damit ergeben sich die Verzerrungen
0;ywz
yv;
xwz
xu
zz2
2
yy2
2
xx =ε∂∂
−=∂∂
=ε∂∂
−=∂∂
=ε
yxwz2
xv
yu 2
xy ∂∂∂
−=∂∂
+∂∂
=γ ; 0yzxz =γ=γ
In einer dünnen Platte kann mit guter Näherung ein ebener Spannungszustand ( )0zz =σ un-
terstellt werden, für den gilt:
( ) ( ) xyxyxxyy2yyyyxx2xx G1
E1
Eγ=σνε+ε
ν−=σνε+ε
ν−=σ
3.5 Das Verschiebungsfeld w(x,y) 27
Abb. 3-10 Spannungsverteilung in Dickenrichtung
Einsetzen der Verzerrungen in das Stoffgesetz liefert die linear über die Höhe z verteilten Spannungen
zG2
zxw
yw
1E
zyw
xw
1E
xyxy
2
2
2
2
2yy
2
2
2
2
2xx
γ−=σ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
ν+∂∂
ν−−=σ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
ν+∂∂
ν−−=σ
Gl. 3-18
Unter Beachtung der Definition für das Biegemoment mxx erhalten wir
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
ν+∂∂
ν−−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
ν+∂∂
ν−−=σ=
=
−−∫∫ 2
2
2
2
2
3
12/h
2/h
2/h
22
2
2
2
2
2/h
2/hxxxx y
wxw
)1(12Ehdzz
yw
xw
1Edzzm
343421
und mit der Plattensteifigkeit
)1(12EhN 2
3
ν−= Gl. 3-19
folgt insgesamt für die Schnittlasten
( )yx
w1Nmm
xw
ywNm
yw
xwNm
2
yxxy
2
2
2
2
yy
2
2
2
2
xx
∂∂∂
ν−−==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
ν+∂∂
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
ν+∂∂
−=
Gl. 3-20
wy
Nyw
xw
yNq
wx
Nyw
xw
xNq
2
2
2
2
y
2
2
2
2
x
Δ∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
−=
Δ∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
−=
Gl. 3-21
28 3 Grundgleichungen der klassischen Plattentheorie
In Gl. 3-21 wurde der planare Laplace1 - Operator
2
2
2
2
yx ∂∂
+∂∂
=Δ Gl. 3-22
eingeführt.
3.6 Die Plattendifferenzialgleichung
Einsetzen von Gl. 3-20 in Gl. 3-17 liefert
( ) 0pyx
wywN
yxw1N2
yxw
xwN 22
4
4
4
22
4
22
4
4
4
=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂ν+
∂∂
−∂∂
∂ν−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂ν+
∂∂
−
und nach Zusammenfassung
Np
yw
yxw2
xw
4
4
22
4
4
4
=∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
Gl. 3-23
Unter Beachtung von Gl. 3-22 können wir dafür auch
N)y,x(p)y,x(w =ΔΔ Gl. 3-24
schreiben.
3.7 Die Plattengleichung in Zylinderkoordinaten
Zur Berechnung kreis- oder kreisringförmiger Platten ist die Verwendung kartesischer Koor-dinaten ungeeignet. Dem Problem angepasst sind hier Zylinderkoordinaten, das sind ebene Polarkoordinaten r, ϕ und die z- Richtung. Die Definition der Schnittlasten erfolgt analog zur Definition der Schnittlasten bei Verwendung kartesischer Koordinaten.
1 Pierre Simon Marquis de (seit 1817) Laplace, frz. Mathematiker und Physiker, 1749-1827
3.7 Die Plattengleichung in Zylinderkoordinaten 29
Abb. 3-11 Spannungsverteilung an einem Plattenelement, Zylinderkoordinaten
Abb. 3-12 Querkräfte
Querkräfte:
dzσq2h
2hrzr ∫
−
=
dzσq2h
2hz∫
−ϕϕ =
(Kräfte je Längeneinheit)
Abb. 3-13 Biegemomente
Biegemomente:
dzzσm2h
2hrrrr ∫
−
=
dzzσm2h
2h∫
−ϕϕϕϕ =
(Momente je Längeneinheit)
Abb. 3-14 Drillmomente
Drillmomente:
dzzσm2h
2hrr ∫
−ϕϕ =
dzzσm2h
2hrr ∫
−ϕϕ =
rr mm ϕϕ =
(Momente je Längeneinheit)
30 3 Grundgleichungen der klassischen Plattentheorie
Das Kraftgleichgewicht am Plattenelement liefert
0pq
r1
rq
rq rr =+
ϕ∂
∂++
∂∂ ϕ Gl. 3-25
Für das Momentengleichgewicht erhalten wir
0qr
m2
rmm
r1
0qm
r1
rm
rm
rm
rr
rrrrrr
=−+∂
∂+
ϕ∂
∂
=−ϕ∂
∂+−+
∂∂
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕ
Gl. 3-26
Unter Verwendung des Laplace-Operators in ebenen Polarkoordinaten
2
2
22
2
r1
rr1
r ϕ∂∂
+∂∂
+∂∂
=Δ Gl. 3-27
schreibt sich die Verschiebungsdifferenzialgleichung
N),r(p),r(w ϕ
=ϕΔΔ Gl. 3-28
oder
N),r(p
wr1w
r4
rw
r2
rw
r2
rw
r1
rw
r1
rw
r2
rw
wr1
rr1
rr1
rr1
rw
4
4
42
2
42
3
322
4
232
2
23
3
4
4
2
2
22
2
2
2
22
2
ϕ=
ϕ∂∂
+ϕ∂
∂+
ϕ∂∂∂
−ϕ∂∂
∂+
∂∂
+∂∂
−∂∂
+∂∂
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ∂∂
+∂∂
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ∂∂
+∂∂
+∂∂
=ΔΔ
Gl. 3-29
Die Schnittlasten sind
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ∂
∂∂∂
ν−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
ν+ϕ∂
∂+
∂∂
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ∂
∂+
∂∂
ν+∂∂
−=
ϕ
ϕϕ
wr1
rN)1(m
rww
r1
rw
r1Nm
wr1
rw
r1
rwNm
r
2
2
2
2
2
2
2
22
2
rr
Gl. 3-30
3.7 Die Plattengleichung in Zylinderkoordinaten 31
( )
( )wr1Nq
wr
Nqr
Δϕ∂∂
−=
Δ∂∂
−=
ϕ
Gl. 3-31
Im Falle der Rotationssymmetrie verbleiben wegen 0=ϕ∂∂ : )r(ww = , )r(pp = .
Mit )(drd
r′==
∂∂ wird ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=+=Δ
drdr
drd
r1
drd
r1
drd
2
2
und Gl. 3-29 geht über in
N)r(pw
r1w
r1w
r2w
drdwr
drd
r1
drdr
drd
r1w
drd
r1
drd
drd
r1
drdw
32
2
2
2
2
=′+′′−′′′+′′′′=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=ΔΔ
Gl. 3-32
0mdr
wddrdw
r1Nm
drdw
r1
drwdNm
r
2
2
2
2
rr
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ν+−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ν+−=
ϕ
ϕϕ Gl. 3-33
0qdrdwr
drd
r1
drdNqr
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
ϕ
Gl. 3-34
Betrachten wir Gl. 3-20, Gl. 3-30, dann können wir die Plattendifferenzialgleichung auch in zwei Differenzialgleichungen zweiter Ordnung aufspalten. Dazu bilden wir zunächst aus Gl. 3-20 und Gl. 3-30 die bezogenen Momentensummen
wN1
mm1
mm:M rryyxx Δ−=
ν+
+≡
ν+
+= ϕϕ Gl. 3-35
Die Plattendifferenzialgleichung
p)wN(wN =ΔΔ=ΔΔ Gl. 3-36
zerfällt dann in die beiden Differenzialgleichungen zweiter Ordnung
32 3 Grundgleichungen der klassischen Plattentheorie
NMw
pM
−=Δ
−=Δ Gl. 3-37
Diese Darstellung der Plattendifferenzialgleichung ist dann von Interesse, wenn am Platten-rand die Momentensumme M bekannt ist. Dies trifft z.B. für gerade, gelenkig gelagerte Rän-der oder freie Ränder zu. Unabhängig vom Verschiebungsfeld w kann dann aus der 1. Glei-chung die Funktion M bestimmt werden. Ist M bekannt, dann folgt aus der 2. Gleichung von Gl. 3-37 das Verschiebungsfeld w.
3.8 Randbedingungen
Gl. 3-24 und Gl. 3-28 entsprechen jeweils einer partiellen Differenzialgleichung 4. Ordnung, mit der an zwei gegenüberliegenden Rändern jeweils zwei Randbedingungen erfüllt werden können. Es liegt aber in der Natur der Sache, dass an jedem Rand drei Randbedingungen zu erfüllen sind, da der Spannungsvektor drei Spannungskomponenten besitzt. Wir betrachten den krummlinigen Rand nach Abb. 3-15, an dem die Schnittlasten mnn, mns und qn als Reaktionslasten angreifen (mnn: Einspannmoment, mns: Einspanndrillmoment, qn: Auflagerkraft).
Abb. 3-15 Krummlinige Berandung einer Platte, Spannungen und Schnittlasten
Nach einem Vorschlag von Thomson1 u. Tait2 wird am Rand das Drillmoment statisch äqui-valent durch eine Folge von Einzellasten ersetzt.
1 William Thomson, seit 1892 Lord Kelvin of Largs, brit. Physiker, 1824-1907 2 Peter Guthrie Tait, 1831-1901
3.8 Randbedingungen 33
Abb. 3-16 Ersatzquerkräfte
An der Grenze zweier benachbarter Elemente verbleibt nur der Zuwachs dss
mdm ns
ns ∂∂
= .
Diese Einzelkraft wird Ersatzquerkraft genannt und der Querkraft qn hinzugefügt. Die Summe
sm
qq nsnn ∂
∂+= Gl. 3-38
heißt Randquerkraft. Die Randquerkraft entspricht der endgültigen Auflagerkraft. Im Sinne des Prinzips von de Saint-Venant wirkt sich diese Randstörung nur in unmittelbarer Randnähe aus.
3.8.1 Kartesische Koordinaten
An einem Rand x = x0 = konst. geht Gl. 3-38 über in
ym
qq xyxx ∂
∂+= Gl. 3-39
und entsprechend für einen Rand y = y0 = konst. erhalten wir
xm
qq yxyy ∂
∂+= Gl. 3-40
Einsetzen von Gl. 3-20 und Gl. 3-21 in Gl. 3-39 und Gl. 3-40 ergibt
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
ν−+∂∂
∂∂
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
ν−+∂∂
∂∂
−=
2
2
2
2
y
2
2
2
2
x
xw)2(
yw
yNq
yw)2(
xw
xNq
Gl. 3-41
34 3 Grundgleichungen der klassischen Plattentheorie
3.8.2 Zylinderkoordinaten Entsprechend Gl. 3-39 und Gl. 3-40 erhalten wir
rm
mr1qq
r
rrr
∂
∂+=
ϕ∂
∂+=
ϕϕϕ
ϕ
Gl. 3-42
und unter Verwendung von Gl. 3-31 und Gl. 3-32
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ∂
∂∂∂
ν−+Δϕ∂∂
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ∂
∂∂∂
ν−+Δ∂∂
−=
ϕw
r1
r)1()w(
r1Nq
wr1
rr1)1()w(
rNq
2
2
2
2
r
Gl. 3-43
Von Interesse ist noch der Sonderfall der Rotationssymmetrie. Hier gilt 0mr =ϕ und 0q =ϕ .
Damit ist rr qq = sowie 0qq == ϕϕ und es verbleiben
0q
)wr1w
r1w(N
drdwr
drd
r1
drdNq 2r
=
′−′′+′′′−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
ϕ
Gl. 3-44
3.8.3 Der eingespannte Rand
3.8.3.1 Der eingespannte Rand x = x0 = konst. in kartesischen Koordinaten
0xw
0)y,x(w
y,xx
0
0=
∂∂
=
=
3.8 Randbedingungen 35
Aus 0)y,x(w 0 = folgen 0yw,0
yw
2
2
=∂∂
=∂∂ usw. Aus 0
xw
=∂∂ folgen sofort 0
yxw2
=∂∂
∂ und
0yxw
2
3
=∂∂
∂ . Damit ist aber am Rand auch 0mxy = und nach Gl. 3-38 ist xx qq = . Die Reak-
tionslasten sind:
y,xx3
3
x
y,xx2
2
xx
0
0
xwNq
xwNm
=
=
∂∂
−=
∂∂
−= Gl. 3-45
3.8.3.2 Der eingespannte Rand y = y0 = konst. in kartesischen Koordinaten
0xw
0)y,x(w
0yy,x
0
=∂∂
=
=
Aus 0)y,x(w 0 = folgen 0xw,0
xw
2
2
=∂∂
=∂∂ usw. Aus 0
yw
=∂∂ folgen sofort 0
yxw2
=∂∂
∂ und
0yx
w2
3
=∂∂
∂ . Damit ist aber wieder am Rand auch 0mxy = und yy qq = . Die Reaktionslasten
sind:
0
0
yy,x3
3
y
yy,x2
2
yy
ywNq
ywNm
=
=
∂∂
−=
∂∂
−= Gl. 3-46
3.8.3.3 Der eingespannte Rand r = r0 = konst. in Zylinderkoordinaten
0rw
0),r(w
,rr
0
0
=∂∂
=ϕ
ϕ=
36 3 Grundgleichungen der klassischen Plattentheorie
Aus w = 0 folgen 0w,0w2
2
=ϕ∂
∂=
ϕ∂∂ usw. Aus 0
rw
=∂∂ folgen sofort 0
rw2
=∂ϕ∂
∂ und
0r
w2
3
=∂ϕ∂
∂ . Damit ist aber wieder am Rand auch 0mr =ϕ und rr qq = . Die Reaktionslasten
sind:
ϕ=
ϕ=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
−=
∂∂
−=
,rr3
3
3
3
r
,rr2
2
rr
0
0
rw
r1
rwNq
rwNm
Gl. 3-47
Im Fall der Rotationssymmetrie gilt
0)rr(w0)rr(w
0
0
==′==
Gl. 3-48
3.8.3.4 Der eingespannte Rand ϕ = ϕ0 = konst. in Zylinderkoordinaten
0w
0),r(w
0,r
0
=ϕ∂
∂
=ϕ
ϕ=ϕ
Aus 0),r(w 0 =ϕ folgen 0rw,0
rw
2
2
=∂∂
=∂∂ usw. Aus 0
rw
=∂∂ folgen sofort 0
rw2
=ϕ∂∂
∂ und
0r
w2
3
=ϕ∂∂
∂ . Damit ist aber wieder am Rand 0mr =ϕ und ϕϕ = qq . Die Reaktionslasten sind:
0
0
,r3
3
3
,r2
2
2
wr1Nq
wr1Nm
ϕ=ϕ
ϕ
ϕ=ϕϕϕ
ϕ∂∂
−=
ϕ∂∂
−=
Gl. 3-49
Bei dieser Lagerung entfällt der Sonderfall der Rotationssymmetrie
3.8 Randbedingungen 37
3.8.4 Der gelenkig gelagerte Rand
3.8.4.1 Der gelenkig gelagerte Rand x = x0 = konst. in kartesischen Koordinaten
0)y,x(m0)y,x(w
0xx
0
==
Wegen 0w = ist dann auch 0yw,0
yw
2
2
=∂∂
=∂∂ usw. Dann ist
y,xx0
2
2
2
2
xx
0
yw
xwNm
==⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
ν+∂∂
−=321
.
Um mxx = 0 zu erfüllen, genügt also auch die Forderung 0xw
y,xx2
2
0=
∂∂
= bzw. 0wy,xx 0=Δ
=
( )
0xw
0y,xw
y,xx2
20
0=
∂∂
=
=
Gl. 3-50
oder
( )0w
0y,xw
y,xx
0
0=Δ
=
=
Gl. 3-51
Die Randbedingung für einen gelenkig gelagerten Rand nach Gl. 3-51 werden Naviersche1 Randbedingungen genannt. Für die Reaktionskraft am Rand gilt:
( )y,xx
2
2
2
2
x
0yw2
xw
xNq
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
ν−+∂∂
∂∂
−= Gl. 3-52
1 Claude Louis Marie Henri Navier, frz. Physiker, 1785-1819
38 3 Grundgleichungen der klassischen Plattentheorie
3.8.4.2 Der gelenkig gelagerte Rand y = y0 = konst. in kartesischen Koordinaten
0)y,x(m0)y,x(w
0yy
0
==
Wegen w = 0 ist dann auch 0xw,0
xw
2
2
=∂∂
=∂∂ usw. Dann ist
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
ν+∂∂
−=
=0
2
2
2
2
yy xw
ywNm . Um
myy = 0 zu erfüllen, genügt also auch die Forderung 0yw
0yy,x2
2
=∂∂
= bzw. 0w0yy,x=Δ
=.
( )
0yw
0y,xw
0yy,x2
20
=∂∂
=
=
Gl. 3-53
oder
0w
0)y,x(w
0yy,x
0
=Δ
=
=
Gl. 3-54
Für die Reaktionskraft am Rand gilt:
( )0yy,x
2
2
2
2
y xw2
yw
yNq
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
ν−+∂∂
∂∂
−= Gl. 3-55
3.8.4.3 Der gelenkig gelagerte Rand r = r0 = konst. in Zylinderkoordinaten
0),r(m0),r(w
0rr
0
=ϕ=ϕ
3.8 Randbedingungen 39
Aus w = 0 folgen 0w,0w2
2
=ϕ∂
∂=
ϕ∂∂ usw. 0w
r1
rw
r1
rwNm
,rr0
2
2
22
2
rr
0
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
ϕ∂∂
+∂∂
ν+∂∂
−=
ϕ==43421
Hinweis: Wegen 0rr
1rr
1rr
1r 2
2
0
2
2
22
2
≠∂∂
+∂∂
=ϕ∂∂
+∂∂
+∂∂
=Δ
=321
kann am gekrümmten drehbar
gelagerten Rand nicht 0w =Δ gefordert werden. Am Rand kann dann auch
0rw
r1
rw
0),r(w
,rr2
2
0
0
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
ν+∂∂
=ϕ
ϕ=
Gl. 3-56
geschrieben werden. Die Reaktionskraft ist
ϕ=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ∂
∂∂∂
ν−+Δ∂∂
−=,rr
2
2
r
0
wr1
rr1)1()w(
rNq Gl. 3-57
Im Fall der Rotationssymmetrie sind
0wr1w
0)r(w
,rr
0
0
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ′ν+′′
=
ϕ=
Gl. 3-58
und
ϕ=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ′−′′+′′′−=
,0rr2r w
r1w
r1wNq Gl. 3-59
3.8.4.4 Der gelenkig gelagerte Rand ϕ = ϕ0 = konst. in Zylinderkoordinaten
0),r(m0),r(w
0
0
=ϕ=ϕ
ϕϕ
40 3 Grundgleichungen der klassischen Plattentheorie
Aus w = 0 folgen 0rw,0
rw
2
2
=∂∂
=∂∂ usw.
0rww
r1
rw
r1Nm
0,r0
2
2
2
2
2
0
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
ν+ϕ∂
∂+
∂∂
−=
ϕ=ϕ==
ϕϕ321321
Dann kann auch
0w
0),r(w
0,r2
2
0
=ϕ∂
∂
=ϕ
ϕ=ϕ
Gl. 3-60
geschrieben werden. Wegen
0r1
rr1
rw
0
2
2
2
00
2
2
=ϕ∂∂
+∂∂
+∂∂
=Δ
===321
gilt an diesem Rand 0w =Δ .
Statt Gl. 3-60 kann dann auch
0w0),r(w
0,r
0
=Δ
=ϕ
ϕ=ϕ
Gl. 3-61
geschrieben werden. Die Reaktionskraft ist
0,r2
2 wr1
r)1()w(
r1Nq
ϕ=ϕ
ϕ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ∂
∂∂∂
ν−+Δϕ∂∂
−= Gl. 3-62
Der Fall der Rotationssymmetrie entfällt bei dieser Lagerung.
3.8.5 Der freie Rand
3.8.5.1 Der freie Rand x = x0 = konst. in kartesischen Koordinaten
( )( ) 0y,xq
0y,xm
0x
0xx
==
3.8 Randbedingungen 41
( ) 0yw2
xw
x
0yw
xw
y,xx2
2
2
2
y,xx2
2
2
2
0
0
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
ν−+∂∂
∂∂
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
ν+∂∂
=
= Gl. 3-63
3.8.5.2 Der freie Rand y = y0 = konst. in kartesischen Koordinaten
0)y,x(q
0)y,x(m
0y
0yy
=
=
( ) 0xw2
yw
y
0xw
xw
00
00
yy,x2
2
2
2
yy,x2
2
2
2
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
ν−+∂∂
∂∂
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
ν+∂∂
=
= Gl. 3-64
3.8.5.3 Der freie Rand r = r0 = konst. in Zylinderkoordinaten
0),r(q0),r(m
0r
0rr
=ϕ=ϕ
0wr1
rr1)1()w(
r
0wr1
rw
r1
rw
,rr2
2
,rr2
2
22
2
0
0
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ∂
∂∂∂
ν−+Δ∂∂
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ∂
∂+
∂∂
ν+∂∂
ϕ=
ϕ= Gl. 3-65
Im Fall der Rotationssymmetrie verbleibt von Gl. 3-65
42 3 Grundgleichungen der klassischen Plattentheorie
0wr1w
r1w
0wr1w
,rr2
,rr
0
0
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ′−′′+′′′
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ′ν+′′
ϕ=
ϕ= Gl. 3-66
3.8.5.4 Der freie Rand ϕ = ϕ0 = konst. in Zylinderkoordinaten
0),r(q0),r(m
0
0
=ϕ=ϕ
=ϕ=ϕ
ϕ
ϕϕ
0wr1
r)1()w(
r1
0rww
r1
rw
r1
0
0
,r2
2
,r2
2
2
2
2
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ∂
∂∂∂
ν−+Δϕ∂∂
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
ν+ϕ∂
∂+
∂∂
ϕ=ϕ
ϕ=ϕ Gl. 3-67
Der Sonderfall der Rotationssymmetrie entfällt bei dieser Lagerung.
3.9 Das Verhalten der Platten an Ecken
Abb. 3-17 Plattenecke, drehbare Lagerung beider Ränder
3.9 Das Verhalten der Platten an Ecken 43
Aufgrund der getroffenen kinematischen Zwänge der Bernoullischen Hypothese können an den Plattenecken Erscheinungen auftreten, die gesondert zu betrachten sind. Wir behandeln zuerst den Fall, dass an einer Ecke zwei drehbar gelagerte Ränder aufeinander treffen. Kon-zentrierte Belastungen infolge von Einzellasten in der Ecke ausgeschlossen sein sollen. Von den Transformationsformeln Gl. 3-1 verbleibt
ϕ=
ϕ=
2cosmm
2sinm0
xyyx
xy
und von Gl. 3-2 2xy
2yx mm =
xxm yym xym xxm yym yxm
20 π
<ϕ< 0 0 0 0 0 0
2π
=ϕ 0 0 x 0 0 x
π<ϕ<π2
0 0 0 0 0 0
π=ϕ 0 0 x 0 0 x
23π
<ϕ<π 0 0 0 0 0 0
23π
=ϕ 0 0 x 0 0 x
π<ϕ<π 22
3 0 0 0 0 0 0
π=ϕ 2 0 0 x 0 0 x
Tabelle 3-1 Auswertung der Transformationsgleichungen
Für die Öffnungswinkel 2π
=ϕ und 2
3π=ϕ ist 0mxy ≠ möglich. Dabei ist dann
xyyx mm −= . Für die Öffnungswinkel π=ϕ und π=ϕ 2 ist auch 0mxy ≠ möglich. Dabei ist
dann xyyx mm = .
44 3 Grundgleichungen der klassischen Plattentheorie
Abb. 3-18 Plattenecke bei beidseitig drehbar gelagerten Rändern, Auftreten einer Eckkraft
Bei Öffnungswinkeln ππ=ϕ 2, heben sich die aus den Drillmomenten herrührenden statisch
äquivalenten Einzelkräfte in der Ecke gegenseitig auf. Das trifft nicht bei den Winkeln
23,
2ππ
=ϕ zu. Die aus dem Drillmoment resultierenden statisch äquivalenten Ersatzquerkräf-
te addieren sich hier zur Eckkraft
xym2A = Gl. 3-68
3.9 Das Verhalten der Platten an Ecken 45
die bei einem drehbar gelagerten Rand vom Auflager aufgenommen werden muss. Eine ähnliche Situation tritt auf, wenn in der Ecke ein freier und ein drehbar gelagerter Rand aufeinander treffen (Abb. 3-19).
Abb. 3-19 Plattenecke mit einem freien und einem drehbar gelagerten Rand
Für die Öffnungswinkel 2π
=ϕ und 2
3π=ϕ ist 0mxy ≠ möglich. Dabei ist dann
xyyx mm −= . Die Folge ist eine Eckkraft A = 2mxy.
4 Die elastisch gebettete Platte
Abb. 4-1 Platte auf nachgiebiger Unterlage
Wir betrachten eine Platte, die vollständig auf einer elastischen Unterlage liegt1. Die Platte sei durch Flächen- und Einzellasten in z- Richtung belastet (Abb. 4-1). Nach Winkler2 wird an-genommen, dass der Bodendruck pB proportional zur lokalen Eindringtiefe w ist:
)y,x(wk)y,x(pB = Gl. 4-1
Die Konstante k heißt Bettungsmodul.
[ ]( ) ( ) 3
2222 m
NskgmEinheit,ZeitLänge
Massek =⋅
= −−
Material Bettungsmodul k [MN/m3]
Sand, locker, rund 10...15 Sand, mitteldicht, rund 50...100 Sand, dicht, eckig 150...250 Geschiebemergel, fest 30...100 Lehm, halbfest 20...50
Tabelle 4-1 Rechenwerte von Bettungszahlen k einiger ausgewählter Böden für Vorentwürfe3
Alle bisher gewonnenen Beziehungen bleiben erhalten, wenn wir p durch Bpp − ersetzen.
1 Solche Systeme treten z.B. im Bauwesen bei Flachgründungen auf. 2 Emil Winkler, 1835-1888 3 Nach Empfehlungen des Arbeitsausschusses Ufereinfassungen - EAU, 8. Aufl. 1990
48 4 Die elastisch gebettete Platte
Aus Gl. 3-24 folgt dann
Nppw B−
=ΔΔ Gl. 4-2
und mit Gl. 4-1
Npw
Nkw
Np
Npw B
=+ΔΔ
=+ΔΔ Gl. 4-3
Setzen wir noch
44
Nk
Nk
=κ→κ= Gl. 4-4
dann erhalten wir aus Gl. 4-3
Npww 4 =κ+ΔΔ Gl. 4-5
Bei fehlender Querbelastung p gilt die homogene Differenzialgleichung
0ww 4 =κ+ΔΔ Gl. 4-6
Ist das Verschiebungsfeld w bekannt, dann folgt für die Schnittlasten weiterhin
( )yx
w1Nmm
xw
ywNm
yw
xwNm
2
yxxy
2
2
2
2
yy
2
2
2
2
xx
∂∂∂
ν−−==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
ν+∂∂
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
ν+∂∂
−=
Gl. 4-7
wy
Nyw
xw
yNq
wx
Nyw
xw
xNq
2
2
2
2
y
2
2
2
2
x
Δ∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
−=
Δ∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
−=
Gl. 4-8
4.1 Lösung der homogenen Plattengleichung der elastisch gebetteten Platte in kartesischen Koordinaten 49
4.1 Lösung der homogenen Plattengleichung der elastisch gebetteten Platte in kartesischen Koordinaten
Wir beschränken uns auf Lösungen der homogenen Differenzialgleichung Gl. 4-5
0ww 4 =κ+ΔΔ Gl. 4-9
´ in Produktform, also
)y(Y)x(X)y,x(w = Gl. 4-10
Einsetzen von Gl. 4-10 in Gl. 4-9 liefert
0XYYXYX2YX 4 =κ+′′′′+′′′′+′′′′ Gl. 4-11
Division mit XY führt zunächst auf
0Y
YYY
XX2
XX 4 =κ+
′′′′+′′′′
+′′′′
Gl. 4-12
Gl. 4-12 lässt sich entkoppeln, wenn wir
2
YY
α−=′′
Gl. 4-13
setzen. Dann erhalten wir als Lösung von Gl. 4-13
ysinCycosC)y(Y 65 α+α= Gl. 4-14
Der Separationsparameter α in Gl. 4-13 bleibt dabei noch unbestimmt. Wegen 2Y α−=′′ und
YYY 42 α=′′α−=′′′′ geht dann Gl. 4-12 über in
( ) 0XX2X 442 =κ+α+′′α−′′′′ Gl. 4-15
50 4 Die elastisch gebettete Platte
Zur Lösung dieser gewöhnlichen homogenen Differenzialgleichung 4. Ordnung machen wir den Ansatz
( )xexp)x(X β= Gl. 4-16
Einsetzen von Gl. 4-16 in Gl. 4-15 liefert
( )[ ] 0X4222 =κ+α−β Gl. 4-17
Gl. 4-17 führt auf die charakteristische Gleichung
( ) 04222 =κ+α−β Gl. 4-18
Gl. 4-18 hat die Lösungen
221 iκ+α=β ; 22
2 iκ+α−=β ; 223 iκ−α=β ; 22
4 iκ−α−=β Gl. 4-19
Diese mit beliebigen (komplexwertigen) Konstanten versehenen Fundamentallösungen fassen wir zur allgemeinen homogenen Lösung
( ) ( ) ( ) ( )xiexpDxiexpCxiexpBxiexpA)x(X 22222222 κ−α−+κ−α+κ+α−+κ+α=
zusammen. Unter Beachtung von ( ) ( )aba21iaba
21iba 2222 −+±++=± kann
noch umgeformt werden. Z.B. gilt
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α−κ+α⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α+κ+α=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α−κ+α+α+κ+α=κ+α
x21iexpx
21exp
x21ix
21expxiexp
244244
24424422
und unter Beachtung der Euler-Identitäten ( ) ϕ±ϕ=ϕ± sinicosiexp kommt
4.1 Lösung der homogenen Plattengleichung der elastisch gebetteten Platte in kartesischen Koordinaten 51
( )( ) ( ) ( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α−κ+α+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α−κ+α⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α+κ+α=
κ+α
x21sinix
21cosx
21exp
xiexp
244244244
22
Entsprechend können die verbleibenden Terme umgeformt werden. Insgesamt erhalten wir dann mit den Abkürzungen
( ) ( ) 112
112
44 −ακ+α
=γ+ακ+α
=β
[ ] [ ][ ] [ ]xsinixcos)xexp(Bxsinixcos)xexp(C
xsinixcos)xexp(Bxsinixcos)xexp(A)x(Xγ+γβ−+γ−γβ++γ−γβ−+γ+γβ=
oder nach Zusammenfassung
( ) ( )( ) ( ) xsin)xexp(DBixcos)xexp(DB
xsin)xexp(CAixcos)xexp(CA)x(Xγβ−−−γβ−+++γβ−+γβ+=
sowie mit neuen Konstanten (A und C sowie B und D müssen konjugiert komplex sein) [ ] [ ]xsinCxcosC)xexp(xsinCxcosC)xexp()x(X 4321 γ+γβ−+γ+γβ=
Damit lautet die vollständige Lösung in Produktform
[ ]( )[ ]( )ysinCycosCxsinCxcosC)xexp(
ysinCycosCxsinCxcosC)xexp()y,x(w
6543
6521
α+αγ+γβ−++α+αγ+γβ=
Gl. 4-20
Hinweis: In Gl. 4-20 können x und y vertauscht werden. Für den Sonderfall 0=α verbleibt von Gl. 4-13 0Y =′′ mit der Lösung
yCC)y(Y 65 += Gl. 4-21
und Gl. 4-15 reduziert sich auf
0XX 4 =κ+′′′′ Gl. 4-22
mit der Lösung
52 4 Die elastisch gebettete Platte
[ ]( )[ ]( )yCCxsinCxcosC)xexp(
yCCxsinCxcosC)xexp()y,x(w
6543
6521
+δ+δδ−+++δ+δδ=
( κ=δ 221 ) Gl. 4-23
4.2 Die elastisch gebettete Platte in Zylinderkoordinaten Die Differenzialgleichung der elastisch gebetteten Platte in Zylinderkoordinaten lautet
N),r(p),r(w),r(w 4 ϕ
=ϕκ+ϕΔΔ Gl. 4-24
Bei fehlender flächenhaft verteilter Belastung p(r,ϕ) geht Gl. 4-5 über in die homogene Glei-chung
0),r(w),r(w 4 =ϕκ+ϕΔΔ Gl. 4-25
die sich in folgenden Formen schreiben lässt
[ ] [ ] [ ] [ ] 0),r(w)i()i(
0),r(w)i()i(22
22
=ϕκ−Δκ+Δ
=ϕκ+Δκ−Δ Gl. 4-26
was durch ausdifferenzieren leicht bestätigt wird. Diese Gleichungen werden sicherlich dann erfüllt, wenn im ersten bzw. zweiten Fall
0),r(w])i([ 12 =ϕκ+Δ bzw. 0),r(w])i([ 2
2 =ϕκ−Δ Gl. 4-27
gefordert wird. Wir beschaffen uns zunächst eine Lösung von
0),r(w])i([ 12 =ϕκ+Δ Gl. 4-28
Der Produktansatz
)()r(R),r(w 11 ϕΦ=ϕ Gl. 4-29
liefert unter Beachtung von 2
2
22
2
r1
rr1
r ϕ∂∂
+∂∂
+∂∂
=Δ nach Einsetzen in Gl. 4-28
4.2 Die elastisch gebettete Platte in Zylinderkoordinaten 53
( ) 0RiRr1R
r1R 1
2
1211 =Φκ+Φ′′+Φ′+Φ′′ Gl. 4-30
wobei die Striche die Ableitungen nach den jeweiligen Argumenten bedeuten. Nach Umsor-tierung erhalten wir
( )ΦΦ′′
−=κ+′
+′′ 2
1
1
1
12
irRRr
RRr Gl. 4-31
Da die linke Seite eine reine Funktion von r und die rechte eine reine Funktion von ϕ ist, kön-nen nach der Schlussweise von Daniel Bernoulli beide Seiten nur gleich sein, wenn sie ein und derselben Konstanten (hier p2) entsprechen1. Damit erhalten wir
2p=ΦΦ′′
− Gl. 4-32
bzw. mit Gl. 4-31
( ) 0RpirRrRr 122
112 =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −κ+′+′′ Gl. 4-33
Mit der neuen Variablen
irz κ= i
zrκ
=→ i
dzdrκ
=→ Gl. 4-34
wird Gl. 4-33
0)z(R~)pz()z(R~z)z(R~z 122
112 =−++ &&& Gl. 4-35
In der obigen Gleichung bezeichnet der Punkt die Ableitung nach z. Diese lineare gewöhnli-che Differenzialgleichung zweiter Ordnung heißt Besselsche2 Differenzialgleichung. Durch
den Potenzreihenansatz ∑∞
=
=0k
kk1 zc)z(R~ erhalten wir aus Gl. 4-35 die Lösung
k2p
0k
k
p1 2z
)1kp(!k)1()z(J)z(R~
+∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++Γ−
== ∑ Gl. 4-36
1 Mit 2p/ −=ΦΦ ′′− hätten wir in ϕ - Richtung exponentiell ansteigende Funktionen erhalten, was in unseren Anwendungen keinen Sinn macht. 2 Friedrich Wilhelm Bessel, deutsch. Astronom, Mathematiker und Geodät, 1784-1846
54 4 Die elastisch gebettete Platte
In Gl. 4-36 bezeichnet )z(Jp die Besselsche Funktion erster Gattung p-ter Ordnung. Es ist
ersichtlich, dass die Funktion Jp(z) für reelle p und reelle z = x ebenfalls reelle Werte an-nimmt. Man bezeichnet eine Funktion, die Lösung der Besselschen Differenzialgleichung ist, allgemein als Zylinderfunktion Zp(z) der Ordnung p.
x
Abb. 4-2 Gammafunktion Γ(x)
Im Nenner von Gl. 4-36 steht die Gamma-funktion, für die folgende Rekursionsfor-meln gelten
!n)1n()x(x)1x(
=+ΓΓ=+Γ
Einige Werte der Gammafunktion:
±∞=Γ )0( 1)1( =Γ ; 1)2( =Γ ; 2)3( =Γ
π−=−Γ 2)2/1( ; π=Γ )2/1(
π=−Γ34)2/3( ; π=Γ
21)2/3(
Neben Jp(z) ist auch J-p(z) eine Lösung von Gl. 4-35, so dass mit beliebigen Konstanten C1 und C2
)z(JC)z(JC)z(R~ p2p11 −+= Gl. 4-37
die vollständige Lösung von Gl. 4-35 darstellt. Die Wronskische1 Determinante des Funda-mentalsystems
zpsin2
JJJJ
)J,J(Wpp
pppp
ππ
−=′′
=−
−−
ist für nicht ganzzahlige p verschieden von Null. Im Falle ganzzahliger p = n (n ∈ Z) ist da-gegen
)z(J)1()z(J nn
n −=− Gl. 4-38
womit diese beiden Lösungen linear abhängig sind, und die Wronskische Determinante ver-schwindet. Die allgemeine Lösung ist dann
)z(YC)z(JC)z(R~ p2p11 += Gl. 4-39
1 nach Josef Maria Hoene-Wronski, frz. Philosoph und Mathematiker, 1778-1853
4.2 Die elastisch gebettete Platte in Zylinderkoordinaten 55
Die Funktion
π−π
= −
psin)z(J)z(Jpcos
)z(Y ppp Gl. 4-40
wird Besselsche Funktion zweiter Gattung p-ter Ordnung, bzw. Weberfunktion1 oder auch Neumannfunktion2 genannt. Die Wronskische Determinante dieses Fundamentalsystems ist
z2
YJYJ
)Y,J(Wpp
pppp π
=′′
=
Ist p eine ganze Zahl, dann scheitert zunächst mit 00)z(Yn = die Verwendung von Gl. 4-40.
Wir ermitteln dann den Grenzwert np → nach der Regel von de L’Hospital3
np
pnpn p
)z(J)1(
p)z(J1)z(Y
=
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂−−
∂∂
π= Gl. 4-41
Mit Gl. 4-39 liegt dann die allgemeine Lösung von Gl. 4-33 vor, wobei im Falle ganzzahliger p
pY durch den Grenzwert Gl. 4-41 zu ersetzen ist. Für nichtnegative Werte p = n ergibt sich
übrigens nach Gl. 4-36 mit )!kn()1kn( +=++Γ die Entwicklung
k2n
0k
k
n 2z
)!kn(!k)1()z(J
+∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
=∑ Gl. 4-42
In den folgenden Abbildungen sind einige Bessel- und Weberfunktionen für positive ganzzah-lige Werte von p und reelle x aufgezeichnet. Beide Funktionen zeigen ein gedämpftes oszillie-
rendes Verhalten. Ihre Amplituden fallen mit x/1 . Entwickeln wir die Funktion Y0(x) in eine Reihe um den Nullpunkt, dann kommt mit der Eulerschen Konstanten C = 0,5772157….
)x(O)C2lnx(ln2)x(Y 20 ++−
π=
Die Funktionen Yn(x) gehen bei Annäherung an den Punkt x = 0 gegen ∞− (s.h. Abb. 4-4).
1 Wilhelm Eduard Weber, deutsch. Physiker, 1804-1891 2 Carl Gottfried Neumann, deutsch. Mathematiker, 1832-1925 3 Die Regel ist benannt nach Guillaume François Antoine, Marquis de L'Hospital (1661-1704), der sie allerdings nicht selbst entdeckte, sondern aus einem Kurs von Johann Bernoulli übernahm, jenem abkaufte und 1696 in seinem Buch Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, dem ersten Lehrbuch der Differentialrechnung, veröffentlichte.
56 4 Die elastisch gebettete Platte
x
J0
J1
J2
x
Y0
Y1
Y2
Abb. 4-3 Die Besselfunktionen J0, J1, J3 Abb. 4-4 Die Weberfunktionen Y0, Y1, Y2
Die Lösung für w2(r,ϕ) beschaffen wir uns aus
0),r(w])i([ 22 =ϕκ−Δ Gl. 4-43
Der Produktansatz und die Variablensubstitution Gl. 4-34 liefern in ϕ-Richtung wieder Gl. 4-32 sowie
0R~)pz(R~zR~z 222
222 =+−+ &&& Gl. 4-44
Bis auf das Vorzeichen bei z2 ist Gl. 4-44 identisch mit Gl. 4-35. Wir haben in Gl. 4-35 deshalb lediglich z durch iz zu ersetzen. Entsprechend Gl. 4-39 ist dann die allgemeine Lösung von Gl. 4-44
)iz(YC)iz(JC)z(R~ p4p32 += Gl. 4-45
Mit der Entwicklung nach Gl. 4-36 erhalten wir
)z(Ii2z
)1kp(!k1i
2iz
)1kp(!k)1()iz(J p
p
)z(I
k2p
0k
pk2p
0k
k
p
p
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++Γ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++Γ−
=+∞
=
+∞
=∑∑
4444 34444 21
Gl. 4-46
Die Funktion
4.2 Die elastisch gebettete Platte in Zylinderkoordinaten 57
k2p
0kp
pp 2
z)1kp(!k
1)iz(Ji)z(I+∞
=
− ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++Γ== ∑ Gl. 4-47
heißt modifizierte Besselfunktion erster Gattung p-ter Ordnung. Entsprechend erhalten wir
)z(Ki2)z(Ii)iz(Y pp
p)p1(
p−+
π−= ( 2/zarg π≤<π− ) Gl. 4-48
In Gl. 4-48 liegt mit der modifizierten Besselfunktion zweiter Gattung p-ter Ordnung
π−π
= −
psin)z(I)z(I
2)z(K pp
p Gl. 4-49
die auch MacDonaldsche Funktion genannt wird, eine weitere linear unabhängige Funktion vor, so dass mit neuen Konstanten auch
)z(KC)z(IC)z(R~ p2p12 += Gl. 4-50
die allgemeine Lösung von Gl. 4-44 darstellt. Die Wronskische Determinante dieses Funda-mentalsystems ist
z1
KIKI
)K,I(Wpp
pppp −=
′′=
Für nichtnegative ganzzahlige p = n ergibt sich nach Gl. 4-47 die Entwicklung
k2p
0kn
nn 2
z)!kn(!k
1)iz(Ji)z(I+∞
=
− ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+== ∑ Gl. 4-51
Ist p eine ganze Zahl, dann scheitert wegen 00)z(Kn = zunächst die Verwendung von Gl.
4-49. Die Berechnung des Grenzwertes np → nach der Regel von de L’Hospital liefert hier
np
ppn
n p)z(I
p)z(I
2)1()z(K
=
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂−
∂∂−
= Gl. 4-52
Damit ist Gl. 4-50 die allgemeine Lösung der Gl. 4-44, wenn wir im Falle ganzzahliger p = n auf Gl. 4-52 zurückgreifen. In den folgenden Abbildungen sind einige modifizierte Besselfunktio-
58 4 Die elastisch gebettete Platte
nen In und Kn mit positiven ganzzahligen p = n und reellen x dargestellt. Entwickeln wir die Funktion K0(x) in eine Reihe um den Nullpunkt, dann kommt
)x(OC2lnxln)x(K 20 +−+−=
Die Funktionen In(x) und Kn(x) haben kein oszillierendes Verhalten. Beispielsweise wächst die Funktion I0 monoton von 1 bis ∞+ wie eine Exponentialfunktion und die Funktion K0(x) fällt von ∞+ bis 0.
I0 I1I2
x x
K0
K1 K2
Abb. 4-5 Modifizierte Besselfunktionen I0, I1, I2 Abb. 4-6 Modifizierte Besselfunktionen K0, K1 K2
Bezeichnen wir die Funktionen J, I, Y, K allgemein mit Z, dann genügen diese den folgenden Rekursionsformeln
)z(Zzp)z(Z)z(Z
dzd);z(Z
zp)z(Z)z(Z
dzd
)z(Zdzd2)z(Z)z(Z);z(Z
zp2)z(Z)z(Z
p1ppp1pp
p1p1pp1p1p
+−=−=
=−=+
+−
+−+−
Gl. 4-53
Wir benötigen noch die Lösung inϕ -Richtung. Aus Gl. 4-32 erhalten wir
ϕ+ϕ=ϕΦ psinApcosA)( 21 Gl. 4-54
Über den Separationsparameter p kann noch verfügt werden. Für p = 0 folgt aus Gl. 4-32
ϕ+=ϕΦ 21 AA)( Gl. 4-55
Soll )2,r(w),r(w π+ϕ=ϕ erfüllt sein, dann muss p ganzzahlig sein, also p = n. Die Gesamt-
lösung des homogenen Problems Gl. 4-25 ist dann in jedem Fall )()r(R),r(w ϕΦ=ϕ mit
4.2 Die elastisch gebettete Platte in Zylinderkoordinaten 59
)iir(YC)iir(JC)ir(YC)ir(JC)r(R p4p3p2p1 κ+κ+κ+κ= Gl. 4-56
4.2.1 Die Kelvin-Funktionen Für spezielle Argumente der modifizierten Besselfunktionen entstehen die Kelvin- oder auch Thomsonfunktionen1. Sie sind wie folgt definiert:
)ix(Ki)x(keii)x(ker
)iix(Ii)ix(Ii)ix(Ji)iix(J)x(beii)x(ber
pp
pp
pp3
pp
pp2
ppp
−=+
−−==−==+ Gl. 4-57
ber(x)bei(x)
x
ker(x)kei(x)
x
Abb. 4-7 Die Funktionen ber(x) und bei(x)
Abb. 4-8 Die Funktionen ker(x) und kei(x) Setzen wir zur Abkürzung rx κ= , dann erhalten wir unter Beachtung von Gl. 4-48 sowie
iii −= die folgenden Zerlegungen:
[ ])x(beii)x(beri)ix(J)ir(J ppp2
pp −==κ
[ ] [ ])x(keii)x(keri2)x(beii)x(beri
)ix(Ki2)ix(Ii)ixi(Y)ix(Y)ir(Y
ppp2
ppp21
pp
p)p1(
ppp
−π
−−=
−π
−−=−==κ
−+
−+
)x(beii)x(ber)iix(J)iir(J pppp +==κ
1 William Thomson, seit 1892 Lord Kelvin of Largs, 1824-1907
60 4 Die elastisch gebettete Platte
[ ] [ ])x(keii)x(ker2)x(beii)x(beri
)ix(Ki2)ix(Ii)iix(Y)iir(Y
pppp
pp
p)p1(
pp
+π
−+=
π−==κ −+
Die Kelvin-Funktionen sind für positive p und reelle x alle reellwertig. Im Fall p = 0 wird der Index nicht geschrieben, d.h. ber0(x) = ber(x) usw. Unter Verwendung neuer Integrationskonstanten geht Gl. 4-56 über in
)r(keiC)r(kerC)r(beiC)r(berC)r(R p4p3p2p1 κ+κ+κ+κ= Gl. 4-58
und die vollständige Lösung lautet dann
[ ][ ]ϕ+ϕκ+κ+κ+κ=ϕ psinApcosA)r(keiC)r(kerC)r(beiC)r(berC),r(w 21p4p3p2p1 Gl. 4-59
4.2.2 Rotationssymmetrie Im Falle der Rotationssymmetrie verschwinden alle Änderungen in ϕ-Richtung. Dieser Fall folgt mit p = 0 unmittelbar aus Gl. 4-55, wenn wir dort A2 = 0 setzen. Die Gesamtlösung ist dann
)r(keiC)rker(C)r(beiC)r(berC)r(w 4321 κ+κ+κ+κ= Gl. 4-60
Beispiel 4-1
p0 p0
r
ab
kk
Abb. 4-9 Elastisch gebettete Kreisringplatte
Für die elastisch gebettete Kreisringplatte nach Abb. 4-9 (Innenradius b, Außenradius a) der Dicke h sind sämtliche Zustandsgrößen zu ermitteln. Die innen eingespannte und außen frei gelagerte Platte wird durch eine konstante Flächenlast p = p0 belastet.
Belastung: p0 = 20 kN/m2 Geometrie: m2,0h;m0,1b;m0,5a ===
Beton C25/30: 27 m/kN1005,3E ⋅= ; 2,0=ν ; kNm56,21180)1(12
EhN 2
3
=ν−
=
Bettung: k = 4000 kN/m3; 14 m65922,0N/k −==κ ; 2961,3a =κ ;
Wir benötigen noch ein Partikularintegral der inhomogenen Differenzialgleichung
4.2 Die elastisch gebettete Platte in Zylinderkoordinaten 61
Npww
r1w
r1w
r2w 0
p4
p3p2pp =κ+′+′′−′′′+′′′′
Der Ansatz Kwp = = konst. liefert die Lösung N
pw 40
p κ= und damit die vollständige Lösung
[ ]1)r(keiC)rker(C)r(beiC)r(berCN
p)r(w 432140 +κ+κ+κ+κ
κ= Gl. 4-61
Ist w bekannt, dann ergibt sich der Bodendruck pB als Reaktionskraft auf die Platte zu
[ ]1)r(keiC)rker(C)r(beiC)r(berCp)r(wk)r(p 43210B +κ+κ+κ+κ== Gl. 4-62
Für die Momente gilt: 0m;wwr1Nm;w
r1wNm rrr =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′ν+′−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′ν+′′−= ϕϕϕ
und für die Querkräfte: 0q;wr1w
r1wNq 2r =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′−′′+′′′−= ϕ
Wegen 0mr =ϕ entspricht die Reaktionskraft der am Rand vorhandenen Querkraft qr. Die vier freien Konstanten werden aus den Randbedingungen ( a/b;a/r =β=ρ )
0)1(q;0)1(m;0)(w;0)(w rrr ==ρ==ρ=β=ρ′=β=ρ Gl. 4-63
ermittelt. Zur Berechnung von rrr qundm,w′ benötigen wir Ableitungen des Verschiebungs-
feldes Gl. 4-61. Diese umfangreichen Rechnungen wurden mit einem Computerprogramm auf einem Digitalrechner durchgeführt. Es ergeben sich die folgenden Konstanten:
015394,2C;566323,0C;048171,0C;109301,0C 4321 ===−=
Die Zustandsgrößen können den folgenden Grafiken entnommen werden.
a/r=ρ0,2
w
0,55
Abb. 4-10 Verschiebung w [cm]
a/r=ρ
pB
Abb. 4-11 Bodendruck pB [kN/m2]
62 4 Die elastisch gebettete Platte
mrrmϕϕ
a/r=ρ
-5,39
10,71
75,6
0,2
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
5
Abb. 4-12 Schnittmomente mrr u. mϕϕ [kNm/m]
83,90
a/r=ρ
0,2
qr
Abb. 4-13 Querkraft qr [kN/m]
Beispiel 4-2
k
p0
ra a
Abb. 4-14 Elastisch gebettete Kreisringplatte
Für die elastisch gebettete Kreisplatte nach Abb. 4-14 (Radius a, Dicke h) sind sämtliche Zustandsgrößen zu ermitteln. Die Platte ist am Außenrand frei drehbar gelagert und durch eine konstante Flächenlast p = p0 be-lastet.
Die Systemwerte entnehmen wir Beispiel 4-1. Ein Blick auf Abb. 4-8 zeigt, dass die Funktio-nen ker und kei für 0r → gegen Unendlich gehen. Wir streichen deshalb diese Anteile aus der allgemeinen Lösung und es verbleibt
[ ]1)r(beiC)r(berCN
p)r(w 2140 +κ+κ
κ= Gl. 4-64
Die beiden noch freien Konstanten werden aus den Randbedingungen bei r = a bestimmt. Dort müssen die Durchbiegung w und das Biegemoment mrr verschwinden. Die Berechnung der Konstanten ergibt: 388066,0C;210517,0C 21 −== . Die Zustandsgrößen können den fol-
gen Grafiken entnommen werden.
4.2 Die elastisch gebettete Platte in Zylinderkoordinaten 63
a/r=ρ
0,61
w
Abb. 4-15 Verschiebung w [cm]
a/r=ρ
pB
Abb. 4-16 Bodendruck pB [kN/m2]
mrrmϕϕ
a/r=ρ
9,14
13,10
10,71
14,40
Abb. 4-17 Schnittmomente mrr u. mϕϕ [kNm/m]
a/r=ρ
-19,43
qr
Abb. 4-18 Querkraft qr [kN/m]
Die maximale Durchbiegung ergibt sich an der Stelle r = 0 zu
[ ]1CN
p)0r(w 140 +
κ== Gl. 4-65
5 Lösungsmethoden der Plattendiffe-renzialgleichung
5.1 Allgemeines
Die analytische Lösung der linearen Plattendifferenzialgleichung
N)y,x(p)y,x(w =ΔΔ Gl. 5-1
setzt sich additiv aus einer Lösung wh der homogenen Differenzialgleichung
0)y,x(w h =ΔΔ Gl. 5-2
und einer partikulären Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung
N)y,x(p)y,x(w p =ΔΔ Gl. 5-3
zusammen, so dass wir für die Gesamtlösung
)y,x(w)y,x(w)y,x(w ph += Gl. 5-4
erhalten. Die Lösung der homogenen Differenzialgleichung enthält noch freie Konstanten, mit denen die Gesamtlösung an die Ränder angepasst werden kann. Zur Beschaffung analytischer Lösungen sowie auch von Näherungslösungen ist es von Vorteil, über eine Fülle von Lösun-gen der Gl. 5-2 und Gl. 5-3 zu verfügen. Analytische Methoden zur Lösung der Plattendifferenzialgleichung sind auf spezielle Platten-geometrien und Belastungen (Randlasten, Feldbelastungen) beschränkt. Für die in der Praxis vorkommenden Platten mit komplizierten Berandungen und Belastungen werden neben den
66 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
strengen Verfahren Näherungsmethoden und numerische Methoden eingesetzt (Abb. 5-1), von denen sich die FE-Methode als allgemein einsetzbare Methode durchgesetzt hat.
Lösung derPlattendgl.
Einfach- undDoppelreihen-
lösungen
Integraltrans-formationen
Funktionen-theoretischeMethoden
Analytische Methoden
Direkte Variations-methoden nach Ritz, Wlassow
Galerkin, Kantorowitsch
Näherungsmethoden
Finite-Elemente-Methode(FEM)
Finite-Differenzen-Methode(FDM)
Randelementmethode(BEM)
Numerische Methoden
Allgemeine Lösungsmethoden
Abb. 5-1 Allgemeine Lösungsmethoden
5.2 Lösungen der homogenen Plattendifferenzialglei-chung in kartesischen Koordinaten
Im Folgenden werden einfache Integrale der homogenen Plattendifferenzialgleichung betrach-tet. Aufgrund der Homogenität der Differenzialgleichung können die Verformungen und die damit verbundenen Schnittlasten nur durch Randlasten erzeugt werden1. Jeder Lösung der Gleichung 0w =ΔΔ , d.h. jeder Bipotenzialfunktion, entspricht genau ein Deformations- und Schnittlastenzustand der Platte. Durch geschickte Auswahl und Kombina-tion von Bipotenzialfunktionen kann oft eine Lösung auch für schwierige Randbedingungen konstruiert werden, weshalb im Folgenden eine Liste von elementaren Lösungen bereitgestellt wird.
5.2.1 Potenzen in x und y Ist z.B. die Funktion w ist eine reine Funktion von x, also )x(ww = ,dann gilt: 0)x(w =′′′′
1 Singuläre Lösungen, die auch der homogenen Differenzialgleichung genügen, werden an dieser Stelle nicht betrachtet.
5.2 Lösungen der homogenen Plattendifferenzialgleichung in kartesischen Koordinaten 67
und damit 3
32
210 xCxCxCC)x(w +++= Gl. 5-5
oder x und y vertauscht
33
2210 yCyCyCC)y(w +++= Gl. 5-6
5.2.2 Potenzialfunktionen Potenzialfunktionen sind Lösungen der Laplaceschen Differenzialgleichung 0)y,x( =ΔΦ .
Lösungen von 0)y,x( =ΔΦ genügen dann auch der homogenen Bipotenzialgleichung
0)y,x(w =ΔΔ , was sofort einleuchtet, wenn wir
Φ=Δ=ΔΦ=ΔΔ w0)w( Gl. 5-7
setzen. Potenzialfunktionen erhalten wir als Real- und Imaginärteil analytischer1 Funktionen
)y,x(iv)y,x(u)iyx(w)z(w +=+= . Analytische Funktion genügen den Cauchy-
Riemannschen2 Differenzialgleichungen
xv
yu,
yv
xu
∂∂
−=∂∂
∂∂
=∂∂ Gl. 5-8
aus denen sofort 0v,0u =Δ=Δ folgt.
n u(x,y) v(x,y) 0 1 0 1 x y 2 22 yx − xy2
3 23 xy3x − 32 yyx3 −
4 4224 yyx6x +− 33 xy4yx4 −
5 4235 xy5yx10x +− 5324 yyx10yx5 +−
Tabelle 5-1 Harmonische Polynome
1 Funktionen f(z), die in allen Punkten eines Gebietes differenzierbar sind, heißen analytisch. 2 Georg Friedrich Bernhard Riemann, Mathematiker, 1826-1866
68 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
Wählen wir z.B. die analytische Funktion nn )iyx(z)z(w +== , wobei n eine natürliche Zahl
ist, dann erhalten wir die harmonischen Polynome (Tabelle 5-1). Auch hier können wieder x und y vertauscht werden.
5.2.3 Potenzialfunktionen in Produktform
Ist )y(Y)x(X)y,x(w = , dann folgt aus 0)y,x(w =Δ 0)y(Y)x(X)y(Y)x(X =′′+′′→ oder
separiert:
)y(Y)y(Y
)x(X)x(X ′′
−=′′
Dieser auf Daniel Bernoulli1 zurückgehende Lösungsansatz ist auch als Produktansatz be-kannt. Da die linke Seite eine reine Funktion von x und die rechte Seite eine reine Funktion von y ist, können beide Seiten nur dann gleich sein, wenn sie ein und derselben Konstanten (hier -λ2) gleich sind.
Das erfordert: 2
)x(X)x(X
λ−=′′
oder 0)x(X)x(X 2 =λ+′′ .
Lösung: xsinCxcosC)x(X 21 λ+λ=
Weiterhin ist dann: 2
)y(Y)y(Y
λ=′′
oder 0)y(Y)y(Y 2 =λ−′′
Lösung: ysinhCycoshC)y(Y 43 λ+λ= .
Insgesamt erhalten wir
)ysinhCycoshC)(xsinCxcosC()y,x(w 4321 λ+λλ+λ= Gl. 5-9
sowie x und y vertauscht. Es ergeben sich folgende Teillösungen:
xsine)y,x(w y λ= λ , xcose y λλ , xsine y λλ− , xcose y λλ− Gl. 5-10
oder
xsinycosh)y,x(w λλ= , xcosycosh λλ , xsinysinh λλ , xcosysinh λλ Gl. 5-11
Sonderfall 0=λ : xCC)x(X 21 += , yCC)y(Y 43 +=
1 Daniel Bernoulli, schweizer. Mathematiker, Physiker und Mediziner niederländischer Herkunft, der die Grund-prinzipien der Hydrodynamik aufdeckte, 1700-1782
5.2 Lösungen der homogenen Plattendifferenzialgleichung in kartesischen Koordinaten 69
)yCC)(xCC()y,x(w 4321 ++= Gl. 5-12
mit den Teillösungen
xy,y,x,1)y,x(w = Gl. 5-13
5.2.4 Logarithmische Funktionen
)yxln()y,x(w 22 += , )yxln(x 22 + , )yxln(y 22 + , )yxln()yx( 2222 ++ ,
(ax + by) ln(x2+y2), ]y)axln[( 22 ++ , ]y)axln[()ax( 22 +++
Gl. 5-14
(a, b beliebige Konstante) sowie x und y vertauscht.
5.2.5 Bipotenzialfunktionen
Ist u(x,y) eine Potenzialfunktion, dann sind auch: yux
xuy,
yuy
xux,
yu,
xu
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
∂∂ wieder
Potenzialfunktionen. Sind u(x,y) und v(x,y) Potenzialfunktionen, dann sind
)y,x(v)yx()y,x(u),y,x(xv)y,x(u),y,x(yv)y,x(u),y,x(xv)y,x(u
22 ++
+++
Bipotenzialfunktionen. Setzen wir den Polynomansatz
∑∑ ∑∑==m n m n
mnnm
mn )y,x(Pyxa)y,x(P
in die Bipotenzialgleichung ein, dann lassen sich die Koeffizienten amn so bestimmen, dass
0)y,x(P =ΔΔ
erfüllt ist. Die so gewonnen Polynome Pmn heißen biharmonische Polynome.
70 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
0nm =+ 1nm =+ 2nm =+ 3nm =+ 4nm =+
1 x 2x 3x 224 yx3x −
y 2y 2xy yx 3
xy yx 2 3xy
3y 224 yx3y −
Tabelle 5-2 Biharmonische Polynome
In Tabelle 5-2 können wieder x und y vertauscht werden. Die in kartesischen Koordinaten an-gegebenen biharmonischen Polynome können durch Koordinatentransformation auf Polar-koordianten umgeschrieben werden.
5.2.6 Direkte Produktlösungen von ΔΔw(x,y) = 0 Soll w in der Form )y(Y)x(X)y,x(w = erscheinen, dann liefert die Bipotenzialgleichung
0Y
YYY
XX2
XX,0YXYX2YX =
′′′′+′′′′
+′′′′
→=′′′′+′′′′+′′′′ .
Die Separierung gelingt mit: 2
YY
λ−=′′
, YYY 42 λ=′′λ−=′′′′
Lösung: ysinCycosC)y(Y 65 λ+λ=
Es verbleibt noch: 0XX2
XX 42 =λ+
′′λ−
′′′′ oder 0XX2X 42 =λ+′′λ−′′′′
Der Lösungsansatz xe)x(X α= liefert 0e)2( x4224 =λ+αλ−α α
mit der charakteristischen Gleichung: 0)( 222 =λ−α
Lösung: λ−=αλ−=αλ=αλ=α 4321 ;;; . Daraus folgt unter Beachtung der Doppelwurzeln
x
4x
3x
2x
1 xeCxeCeCeC)x(X λ−λλ−λ +++= Gl. 5-15
oder
xsinhxCxcoshxCxsinhCxcoshC)x(X 4321 λ+λ+λ+λ= Gl. 5-16
damit ist
)ysinCycosC)(xeCxeCeCeC()y,x(w 65x
4x
3x
2x
1 λ+λ+++= λ−λλ−λ Gl. 5-17
5.3 Lösungen der homogenen Plattendifferenzialgleichung in Zylinderkoordinaten 71
oder
)ysinCycosC)(xsinhxCxcoshxCxsinhCxcoshC()y,x(w 654321 λ+λλ+λ+λ+λ= Gl. 5-18
Sonderfall 0=λ
)yCC)(xCxCxCC()y,x(w 653
42
321 ++++= Gl. 5-19
Ist C6 = 0, dann hängt die Lösung nicht mehr von y ab und es verbleibt
34
2321 xCxCxCC)x(w +++= Gl. 5-20
5.3 Lösungen der homogenen Plattendifferenzialglei-chung in Zylinderkoordinaten
Sämtliche in kartesischen Koordinaten hergeleiteten Teillösungen können unter Beachtung von ϕ= cosrx und ϕ= sinry auf Polarkoordinaten umgeschrieben werden. Zum Beispiel
folgt aus: ϕ=ϕϕ=ϕϕ=ϕ→= 2sin2rcossinrsinrcosr),r(wxy)y,x(w
22 .
5.3.1 Rotationssymmetrie Wegen )r(ww = und 0=
ϕ∂∂ verbleibt mit )(
drd ′= die homogene Bipotenzialgleichung
0wr1w
r1w
r2w)r(w 32 =′+′′−′′′+′′′′=ΔΔ Gl. 5-21
Multiplikation mit r4 liefert die Eulersche Differenzialgleichung 4. Ordnung
0wrwrwr2wr 234 =′+′′−′′′+′′′′ Gl. 5-22
72 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
Lösungsansatz: α= r)r(w . Unter Beachtung von 4321 r)3)(2)(1(w,r)2)(1(w,r)1(w,rw −α−α−α−α −α−α−αα=′′′′−α−αα=′′′−αα=′′α=′ ,
erhalten wir:
0r])1()2)(1(2)3)(2)(1([ =α+−αα−−α−αα+−α−α−αα α Gl. 5-23
und daraus die charakteristische Gleichung: 0)2( 22 =−αα mit den Lösungen:
2;0 4321 =α=α=α=α .
Damit erhalten wir bei Beachtung der Doppelwurzeln für die Verschiebung
rlnrCrlnCrCC)r(w 243
221 +++= Gl. 5-24
5.3.2 Der Fall w = w(ϕ)
Im Falle )(ww ϕ= ist 0r=
∂∂ und mit )(
dd ′=ϕ
verbleibt: 0)w4w(r14 =′′+′′′′ oder
0w4w =′′+′′′′ Gl. 5-25
Lösung:
ϕ+ϕ+ϕ+=ϕ 2cosC2sinCCC)(w 4321 Gl. 5-26
5.3.3 Potenzialfunktionen Wir gehen aus vom Produktansatz )()r(R),r(w ϕΦ=ϕ . Dann ist
0Rr1R
r1Rw 2 =Φ ′′+Φ′+Φ′′=Δ oder 0
r1
RR
r1
RR
2 =ΦΦ ′′
+′
+′′
bzw. ΦΦ ′′
−=′
+′′
RRr
RRr 2
Separierung liefert: 2λ−=ΦΦ ′′
mit der Lösung:
λϕ+λϕ=ϕΦ sinCcosC)( 43 Gl. 5-27
5.3 Lösungen der homogenen Plattendifferenzialgleichung in Zylinderkoordinaten 73
Es verbleibt noch: 0RRrRr 22 =λ−′+′′ . Das ist eine Eulersche Differenzialgleichung 2. Ord-
nung. Mit dem Lösungsansatz: α= r)r(R und 21 r)1(R,rR −α−α −αα=′′α=′ erhalten wir
0r])1([ 2 =λ−α+−αα α und daraus die charakteristische Gleichung 022 =λ−α mit den
Lösungen: λ−=αλ=α 21 ; . Dann ist λ−λ += rCrC)r(R 21 und wir erhalten insgesamt
)sinCcosC)(rCrC(),r(w 4321 λϕ+λϕ+=ϕ λ−λ Gl. 5-28
Teillösungen:
λϕ= λ cosrw , λϕλ sinr , λϕλ− cosr , λϕλ− sinr Gl. 5-29
Sonderfall 0=λ ( )0=Φ ′′
)CC)(CrlnC(),r(w 4321 +ϕ+=ϕ Gl. 5-30
Teillösungen
rln,,rln,1w ϕϕ= Gl. 5-31
5.3.4 Rotationssymmetrische Lösung von ΔΔw
Mit )r(ww = wird die Bipotenzialgleichung
0drdwr
drd
r1
drdr
drd
r1)r(w =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=ΔΔ Gl. 5-32
Diese Gleichung kann direkt integriert werden1
1 rlndr
r1);1rln2(r
41rlnr 2 =−= ∫∫
74 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
rlnrCrlnCrCC
DrlnCr)8A
4B
8A(rlnr
4Aw
rCr)
2B
4A(rlnr
2A
drdw
Cr2B)
21r(lnr
2A
drdwr
BrrlnArdrdwr
drd
BrlnAdrdwr
drd
r1
rA
drdwr
drd
r1
drd
Adrdwr
drd
r1
drdr
0drdwr
drd
r1
drdr
drd
243
221
22
22
+++=
++−+−+=
++−+=
++−=
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Die Lösung ist mit Gl. 5-24 bereits bekannt.
5.3.5 Direkte Produktlösung Ist )()r(R),r(w ϕΦ=ϕ , dann liefert der Bipotenzialoperator
0Rr1R
r4R
r2R
r2R
r1R
r1R
r2R 443232 =Φ ′′′′+Φ ′′+Φ ′′′−Φ ′′′′+Φ′+Φ′′−Φ′′′+Φ′′′′
oder umgeformt
04)RRr2
RRr2(
RRr
RRr
RRr2
RRr 2234 =
ΦΦ ′′′′
+ΦΦ ′′
+ΦΦ ′′′
−′′
+′
+′′
−′′′
+′′′′
Dies Gleichung separieren wir mit 2λ−=ΦΦ ′′
, Φλ=Φ ′′′′ 4 . Dann folgt
04)RRr2
RRr2(
RRr
RRr
RRr2
RRr 4222234 =λ+λ−λ
′−′′
−′
+′′
−′′′
+′′′′
und umgeformt: 0R)4(R)21(rR)21(rRr2Rr 2222234 =−λλ+′λ++′′λ+−′′′+′′′′
Das ist eine Eulersche Differenzialgleichung 4. Ordnung, die mit dem Ansatz α= r)r(R ge-
löst wird. Es ergibt sich
λ−λ+λ−λ +++= 24
2321 rCrCrCrC)r(R Gl. 5-33
5.3 Lösungen der homogenen Plattendifferenzialgleichung in Zylinderkoordinaten 75
Insgesamt erhalten wir dann
)sinCcosC)(rCrCrCrC(),r(w 652
42
321 λϕ+λϕ+++=ϕ λ−λ+λ−λ Gl. 5-34
Hinweis: Soll )2,r(w),r(w π+ϕ=ϕ bestehen, dann muss λ ganzzahlig sein )n( =λ
Sonderfall: 0=λ
)CC)(rlnrCrlnCrCC(),r(w 652
432
21 ϕ++++=ϕ Gl. 5-35
Für C6 = 0 hängt die Lösung nur noch von r ab. Es gilt dann wieder
rlnrCrlnCrCC)r(w 243
221 +++= Gl. 5-36
5.3.6 Lösungen der Form w(r,ϕ) = f(r) cosϕ
0cos)fr1f
r4f
r2f
r2f
r1f
r1f
r2f(
wr1w
r4
rw
r2
rw
r2
rw
r1
rw
r1
rw
r2
rw),r(w
443232
4
4
42
2
42
3
322
4
232
2
23
3
4
4
=ϕ+−′+′′−′+′′−′′′+′′′′=
ϕ∂∂
+ϕ∂
∂+
ϕ∂∂∂
−ϕ∂∂
∂+
∂∂
+∂∂
−∂∂
+∂∂
=ϕΔΔ
Daraus folgt die Eulersche Differenzialgleichung 4. Ordnung
0fr3f
r3f
r3f
r2f 432 =−′+′′−′′′+′′′′
Der Ansatz: α= r)r(f liefert die Lösung
rlnrCrCr1CrC)r(f 4
3321 +++= Gl. 5-37
Insgesamt ist dann
ϕ+++=ϕ cos)rlnrCrCr1CrC(),r(w 4
3321 Gl. 5-38
Teillösungen
ϕϕϕϕ= cosrlnr,cosr,cosr1,cosrw 3 Gl. 5-39
76 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
5.3.7 Lösungen der Form w(r,ϕ) = f(r) cos2ϕ Mit ϕ= 2cos)r(f)r(w erhalten wir
02cos)fr9f
r9f
r2f(
wr1w
r4
rw
r2
rw
r2
rw
r1
rw
r1
rw
r2
rw),r(w
32
4
4
42
2
42
3
322
4
232
2
23
3
4
4
=ϕ′+′′−′′′+′′′′=
ϕ∂∂
+ϕ∂
∂+
ϕ∂∂∂
−ϕ∂∂
∂+
∂∂
+∂∂
−∂∂
+∂∂
=ϕΔΔ
und damit die Lösung
4423
221 rC
r1CrCC)r(f +++= Gl. 5-40
Insgesamt ist dann
ϕ+++=ϕ 2cos)rCr1CrCC(),r(w 4
4232
21 Gl. 5-41
Teillösungen
ϕϕϕϕ= 2cosr,2cosr1,2cosr,2cosw 42
2 Gl. 5-42
5.4 Untersuchung einfacher Biegeflächen Im Folgenden werden einfache Biegeflächen hinsichtlich ihres Verformungs- und Schnittlas-tenzustandes untersucht.
5.4.1 Lineare Verschiebungen
Die Lösungen .konstw = , Cx)x(w = , Cy)y(w = (C: beliebige Konstante) liefern keine
Krümmungen der Plattenmittelfläche, da die 2. Ableitungen verschwinden. Die Platte bleibt damit spannungslos. Diese Verschiebungen beschreiben Starrkörperverschiebungen.
5.4 Untersuchung einfacher Biegeflächen 77
5.4.2 Zylindrische Biegeflächen Verschiebungsfunktion, die die Polynome x2 oder y2 enthalten, führen auf zylindrische Biege-flächen, da entweder die Krümmung in x- oder y-Richtung verschwindet. So liefert z.B. die Biegefläche
2Cx)y,x(w = Gl. 5-43
Abb. 5-2 Biegefläche w(x,y) = x2
die Schnittlasten
( )
0)y,x(q)y,x(q
0yx
w1N)y,x(m)y,x(m
mNC2xwN)y,x(m
NC2xwN)y,x(m
yx
2
yxxy
xx2
2
yy
2
2
xx
==
=∂∂
∂ν−−==
ν−=ν=∂∂
ν=
−=∂∂
−=
Gl. 5-44
An den Rändern x = konst. müssen demnach Biegemomente NC2mxx −= und an den Rän-
dern y = konst. Biegemomente xxyy mm ν−= angreifen, um eine Biegefläche nach Gl. 5-43 zu
erhalten.
78 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
Abb. 5-3 Verformungs- u. Schnittlastenzustand einer Zylinderfläche w(x,y) = Cx2
5.4.3 Parabolische Biegeflächen
Die Biegefläche
222 Cr)yx(C)y,x(w =+= Gl. 5-45
Abb. 5-4 Biegefläche w(x,y) = x2 + y2 (Rotationsparaboloid)
entspricht einem Rotationsparaboloid. Es ergeben sich folgende Schnittlasten
0)y,x(q)y,x(q
0)y,x(m)y,x(m
mNC)1(2)y,x(mNC)1(2)y,x(m
yx
yxxy
xxyy
xx
==
==
=ν+−=ν+−=
Gl. 5-46
5.4 Untersuchung einfacher Biegeflächen 79
Die Platte wird durch eine konstante zweiachsige Biegung beansprucht. Drillmomente und Querkräfte treten nicht auf.
Abb. 5-5 Verformungs- u. Schnittlastenzustand einer parabolischen Biegefläche
5.4.4 Hyperbolische Biegeflächen Die Biegefläche
)yx(C)y,x(w 22 −= Gl. 5-47
ist ein hyperbolisches Paraboloid.
Abb. 5-6 Biegefläche w(x,y) = x2 - y2 (Hyperbolisches Paraboloid)
Es ergeben sich folgende Schnittlasten
80 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
0)y,x(q)y,x(q
0)y,x(m)y,x(m
)y,x(mNC)1(2)y,x(mNC)1(2)y,x(m
yx
yxxy
xxyy
xx
==
==
−=ν−=ν−−=
Gl. 5-48
Die Platte wird durch eine zweiachsige Biegung beansprucht. Drillmomente und Querkräfte treten nicht auf.
5.4.5 Reine Torsion Die Lösung
xyC)y,x(w = Gl. 5-49
entspricht einer Platte, die auf reine Torsion beansprucht wird.
Abb. 5-7 Biegefläche w(x,y) = xy
Von allen Schnittlasten verbleibt nämlich nur das Drillmoment
( ) ( )C1Nyx
w1N)y,x(m)y,x(m2
yxxy ν−−=∂∂
∂ν−−== Gl. 5-50
Werden am Rand einer Rechteckplatte die Drillmomente durch die statisch äquivalenten Kräf-tepaare ersetzt, dann verbleiben an den vier Ecken jeweils Einzelkräfte xym2A = . Zwischen
5.5 Partikularlösungen der Plattendifferenzialgleichung in kartesischen Koordinaten 81
den Ecken heben sich wegen der konstanten Drillmomente die Ersatzquerkräfte auf und die Randquerkräfte verschwinden.
Abb. 5-8 Reine Torsionsbeanspruchung, Eckenkräfte A = 2mxy
Wegen 0mm yyxx == treten die extremalen Biegemomente unter einem Winkel von
40
π=ϕ auf. Die Hauptbiegemomente sind xy, mm ±=ηηξξ .
5.5 Partikularlösungen der Plattendifferenzialgleichung in kartesischen Koordinaten
Die Lösungen der homogenen Differenzialgleichung enthalten freie Konstanten, aber nicht die Belastung. Für die partikulären Lösungen gilt das Umgekehrte. Sie enthalten die Belas-tung aber keine Integrationskonstanten. Partikuläre Lösungen genügen der inhomogenen Dif-ferenzialgleichung
N)y,x(p)y,x(w =ΔΔ Gl. 5-51
Sie liefern Randwerte, die i. Allg. nicht den vorgeschriebenen entsprechen, lösen also nicht das vollständige Randwertproblem. Die im Folgenden aufgelisteten Teillösungen enthalten die beliebigen Bezugslängen a und b, mit denen die normierten Koordinaten ax=ξ und
by=η gebildet werden. N bezeichnet weiterhin die Plattensteifigkeit.
5.5.1 Partikuläre Lösungen für Flächenlasten
82 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
5.5.1.1 Flächenlast p = p0
44
0p N
ap241)(w ξ=ξ
44
0p N
bp241)(w η=η
2222
0p N
bap81),(w ηξ=ηξ
)(N)ba(
bap241),(w 44
44
440
p η+ξ+
=ηξ
2224224
440
p )(N)b3ba2a3(
bap81),(w η+ξ
++=ηξ
2224224
440
p )1(N)b3ba2a3(
bap81),(w −η+ξ
++=ηξ
5.5.1.2 Flächenlast p(ξ) = p0 ξ
54
0p N
ap120
1)(w ξ=ξ
44
0p N
ap241),(w ξη=ηξ
234
0p N
ap241),(w ηξ=ηξ
5.5.1.3 Flächenlast p(x,y) = p0 η
54
0p N
bp120
1)(w η=η
44
0p N
bp241),(w ηξ=ηξ
234
0p N
bp241),(w ξη=ηξ
5.5.1.4 Flächenlast p(x,y) = p0(ξ + η)
)ba(Np
481),(w 54540
p η+ξ=ηξ
5.6 Partikularlösungen der Plattendifferenzialgleichung in Polarkoordinaten 83
5.5.1.5 Flächenlast p(x,y) = p0 ξ η
3322
0p N
bap721)y,x(w ηξ=
5.5.1.6 Flächenlast p(x,y) = p0 sin(nπξ)
πξπ
= nsinNap
n1)y,x(w
40
44p
5.5.1.7 Flächenlast p(x,y) = p0 sin(nπξ) sin(kπη)
πηπξ+π
= ksinnsinN
bap
)kban
ab(
1)y,x(w22
0
2224p
5.6 Partikularlösungen der Plattendifferenzialgleichung in Polarkoordinaten
Mit einer beliebigen Bezugslänge a wird ρ=a/r gesetzt.
5.6.1 Flächenlast p(r,ϕ) = p0
44
0p N
ap641),r(w ρ=ϕ
5.6.2 Flächenlast p(r,ϕ) = p0 ρ
54
0p N
ap2251),r(w ρ=ϕ
5.6.3 Flächenlast p(r,ϕ) = p0 ρ2
64
0p N
ap5761),r(w ρ=ϕ
5.7 Die Fundamentallösung der klassischen Plattentheorie Im Fall der Rotationssymmetrie ist
84 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
rlnrCrCrlnCC)r(w 24
2321 +++= Gl. 5-52
5.7.1 Die singuläre Lösung Einzelkraft Durch spezielle Wahl der Konstanten in Gl. 5-52 lässt sich mit der Normierung ar=ρ die
Fundamentallösung der klassischen Plattentheorie
ρρπ
=ϕ lnN8
Fa),r(w 22
Gl. 5-53
(ρ ≠ 0) nachweisen, die auch als klassische Singularität bezeichnet wird.
Abb. 5-9 Singuläre Lösung Einzelkraft ( ρρ= lnw~ 2 )
Dabei bedeutet a eine beliebige Bezugslänge.
Abb. 5-10 Platte mit Einzelkraft im Ursprung
5.7 Die Fundamentallösung der klassischen Plattentheorie 85
Wir wollen zeigen, dass die Gl. 5-53 die Auslenkung eines Punktes P einer unendlich ausge-dehnten Platte infolge einer Einzelkraft F im Ursprung beschreibt. Sie erfüllt nämlich einer-seits wegen
22
1Na4Fw;1
Na4Fw);3ln2(
NF
81w);1ln2(
NFa
81w
ρπ−=′′′′
ρπ=′′′+ρ
π=′′+ρρ
π=′
die homogene Differenzialgleichung
[ ] 01ln23ln2421Na8Fw
r1w
r1w
r2ww 2232 =+ρ+−ρ−+−
ρπ=′+′′−′′′+′′′′=ΔΔ
andererseits ist mit der Querkraft rq
[ ]ρπ
−=+ρ+−ρ−−ρπ
=
′−′′+′′′−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
aF
211ln23ln221
aF
81
)wr1w
r1w(N
drdwr
drd
r1
drdNq 2r
Abb. 5-11 Kraftgleichgewicht
das Kraftgleichgewicht in z- Richtung
0d2FFdsqFF
2
0
L
0rz =ϕ
π−=+= ∫∑ ∫
π
erfüllt (q.e.d.). Die vollständige Lösung Einzelkraft lautet mit der beliebigen Bezugslänge a und a/r=ρ
86 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
[ ]
[ ]
0),r(q
1aF
21),r(q
0),r(m
31ln)1(28F),r(m
3ln)1(28F),r(m
lnN8
Fa),r(w
r
r
rr
22
=ϕρπ
−=ϕ
=ϕ
ν++ρν+π
−=ϕ
ν++ρν+π
−=ϕ
ρρπ
=ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
Wegen 0)2r(lim
r2r1
lim
r1
rlnlimrlnrlim2
0r30r
2
0r
2
0r=−=
−==
→−→→→ bleiben die Verschiebungen bei
Annäherung an den Punkt r = 0 endlich. Die Schnittlasten wachsen dagegen für 0r → über alle Grenzen. Der Punkt r = 0 gehört nicht zum Lösungsgebiet (punktierte Vollebene)
5.7.2 Die singuläre Lösung Einzelmoment M, Drehung um die y-Achse In der Kirchhoffschen Plattentheorie lässt sich die singuläre Lösung Einzelmoment durch ei-nen Grenzübergang in Gl. 5-53 ermitteln. Für ein Moment M mit Drehwirkung nach Abb. 5-12
Abb. 5-12 Einzelmoment M
erhalten wir a/r=ρ (a: beliebige Bezugslänge)
( ) ϕρ+ρπ
=ϕ cosln21N8
Ma),r(w ( )0≠ρ Gl. 5-54
5.7 Die Fundamentallösung der klassischen Plattentheorie 87
Abb. 5-13 Singuläre Lösung Einzelmoment [ ( ) ϕρ+ρ=ϕ cosln21),r(w~ ]
Abb. 5-14 Höhenliniendarstellung der singulären Lösung Einzelmoment [ ( ) ϕρ+ρ=ϕ cosln21),r(w~ ]
88 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
und damit die vollständige Lösung Einzelmoment
ϕρπ
=ϕ
ϕρπ
=ϕ
ϕρπ
ν−=ϕ
ϕρπ
ν+−=ϕ
ϕρπ
ν+−=ϕ
ϕρ+ρπ
=ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
sin1aM
21),r(q
cos1aM
21),r(q
sin1aM
41),r(m
cos1aM
41),r(m
cos1aM
41),r(m
cos)ln21(N
Ma81),r(w
22
22r
r
rr
Gl. 5-55
5.7.3 Die singuläre Lösung Einzelmoment M, Drehung um die x-Achse
Abb. 5-15 Einzelmoment M, Drehung um die x-Achse
Man erhält entsprechend mit a/r=ρ (a: beliebige Bezugslänge)
5.8 Rotationssymmetrische Kreis- und Kreisringplatten 89
ϕρπ
=ϕ
ϕρπ
−=ϕ
ϕρπ
ν−=ϕ
ϕρπ
ν+=ϕ
ϕρπ
ν+=ϕ
ϕρ+ρπ
−=ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
cos1aM
21),r(q
sin1aM
21),r(q
cos1aM
41),r(m
sin1aM
41),r(m
sin1aM
41),r(m
sin)ln21(N
Ma81),r(w
22
22r
r
rr
Gl. 5-56
5.8 Rotationssymmetrische Kreis- und Kreisringplatten
Im Fall rotationssymmetrischer Beanspruchung von kreis- und kreisringförmigen Platten ver-bleibt wegen w = w(r) und damit 0d/d =ϕ die gewöhnliche inhomogene Differenzialglei-
chung
N)r(pw
r1w
r1w
r2w)r(w 32 =′+′′−′′′+′′′′=ΔΔ Gl. 5-57
In Gl. 5-57 bezeichnet der Strich die Ableitung nach r. Die allgemeine Lösung der obigen Gleichung besteht aus der Lösung der homogenen und einer partikulären Lösung der inhomo-genen Differenzialgleichung, also
)r(w)r(w)r(w ph += Gl. 5-58
Die Lösung der homogenen Differenzialgleichung ist bereits bekannt
rlnrCrlnCrCC)r(w 243
221h +++= Gl. 5-59
Partikuläre Lösungen können durch direkte Integration gewonnen werden
( )∫ ∫ ∫⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= drdrdrdr)r(prr1r
r1
N1)r(w p Gl. 5-60
90 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
Die in Gl. 5-59 vorhandenen Konstanten gestatten die Anpassung der Gesamtlösung an die Randbedingungen. Mit der Biegefläche w = w(r) liegen auch die Schnittlasten fest. Sie erge-ben sich durch Differenziation des Verschiebungsfeldes. Für die Biegemomente gilt
0m
wwr1Nm
wr1wNm
r
rr
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′ν+′−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′ν+′′−=
ϕ
ϕϕ Gl. 5-61
und für die Querkräfte
0q
wr1w
r1wNq 2r
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′−′′+′′′−=
ϕ
Gl. 5-62
Hinweis: Wegen 0mr =ϕ entspricht die Reaktionskraft in allen Fällen der am Rand vorhan-
denen Querkraft qr
rr q)ar(q == Gl. 5-63
Zur Ermittlung der Schnittlasten benötigen wir die Ableitungen der Verschiebungsfunktion w(r). Da die Lösung der homogenen Plattendifferenzialgleichung für alle rotationssymmetri-schen Plattenaufgaben identisch ist, konzentrieren wir uns zunächst auf die Ableitungen der Gl. 5-59. Die Ableitungen der partikulären Lösung beschaffen wir uns dann im konkreten Ein-zelfall. Mit der dimensionslosen Koordinate ρ und der zugeordneten Differenziationsregel
ar
=ρ ρ
=→dd
a1
drd Gl. 5-64
(a: beliebige Bezugslänge) ergeben sich die folgenden Ableitungen
5.8 Rotationssymmetrische Kreis- und Kreisringplatten 91
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
ρρ=′′′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+ρ+
ρ−=′′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+ρρ+
ρ+ρ=′
ρρ+ρ+ρ+=
4323h
43222h
432h
243
221h
CC11a2w
C)3ln2(C1C2a1w
C)1ln2(C1C2a1w
lnClnCCCw
Gl. 5-65
Die vollständige Lösung der homogenen Differenzialgleichung ist dann
[ ]
[ ]
43h,r
43222h,
43222h,rr
243
221h
C1aN4q
C31ln)1(2C)1(1C)1(2aNm
C3ln)1(2C)1(1C)1(2aNm
lnClnCCCw
ρ−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ν++ρν++ν−ρ
+ν+−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ν++ρν++ν−ρ
−ν+−=
ρρ+ρ+ρ+=
ϕϕ
Gl. 5-66
Damit für die Vollkreisplatte bei regulärer Belastung die Lösungen für die Verschiebung und die Schnittlasten im Punkt r = 0 regulär bleiben, müssen offensichtlich die Konstanten C3 und C4 zu Null gesetzt werden. Die obigen Gleichungen gehen dann über in
221h CC)r(w ρ+= Gl. 5-67
0q
mC)1(2aNm
C)1(2aNm
h,r
h,rr22h,
22h,rr
=
=ν+−=
ν+−=
ϕϕ Gl. 5-68
Im Folgenden werden einige ausgewählte Beispiele rotationssymmetrischer Plattenaufgaben behandelt. Sie sollen die Vorgehensweise bei der Lösung dieser speziellen Randwertprobleme verdeutlichen.
92 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
5.9 Die eingespannte Kreisplatte unter Gleichlast
Abb. 5-16 Die eingespannte Kreisplatte unter Gleichlast p0
Die partikuläre Lösung ist
44
0p N
ap641w ρ= Gl. 5-69
von der wir zur Ermittlung der Schnittlasten die Ableitungen bis zur 3. Ordnung benötigen. Es sind
ρ=′′′
ρ=′′
ρ=′
Nap
83w
Nap
163w
Nap
161w
0p
22
0p
33
0p
Gl. 5-70
Diesem partikulären Lösungsanteil der Verschiebung sind unter Berücksichtigung von Gl. 5-61 und Gl. 5-62 die Schnittlasten
ρ−=
ρν+−=
ρν+−=
ϕϕ
2ap
q
)31(16
apm
)3(16
apm
0p,r
22
0p,
22
0p,rr
Gl. 5-71
zugeordnet. Die Gesamtlösung der Zustandsgrößen schreiben wir dann in der Form
5.9 Die eingespannte Kreisplatte unter Gleichlast 93
ρ−=
ρν+−ν+−=
ρν+−ν+−=
ρ+ρ+=
ϕϕ
2ap
q
)31(16
apC)1(2
aNm
)3(16
apC)1(2
aNm
Nap
641CCw
0r
22
022
22
022rr
44
0221
Gl. 5-72
Die Konstanten C1 und C2 werden aus den Randwerten bei 1=ρ bestimmt. Dort müssen die
Einspannbedingungen
Nap
161C20)1(w
Nap
641CC0)1(w
40
2
40
21
+===ρ′
++===ρ Gl. 5-73
erfüllt sein. Aus Gl. 5-73 folgen die Konstanten
Nap
321C;
Nap
641C
40
2
40
1 −== Gl. 5-74
Damit ist die vollständige Lösung
( )
[ ]
[ ]
ρ−=
ρν+−ν+=
ρν+−ν+=
ρ−=
ϕϕ
2ap
q
)31(116
apm
)3(116
apm
1Nap
641w
0r
22
0
22
0rr
224
0
Gl. 5-75
94 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
Abb. 5-17 Biegefläche
Abb. 5-18 Schnittlasten mrr und mϕϕ
Von Interesse sind noch die speziellen Lösungen
5.10 Die drehbar gelagerte Kreisplatte unter Gleichlast 95
16a)1(p
)0(m
16a)1(p
)0(m
Nap
641)0(w
20
20
rr
40
ν+==ρ
ν+==ρ
==ρ
ϕϕ
2ap
)1(q
8ap
)1(m
8ap
)1(m
0r
20
20
rr
−==ρ
ν−==ρ
−==ρ
ϕϕ
Weiterhin gilt: 0mrr = für ν+ν+
=ρ31 ; 0m =ϕϕ für
ν+ν+
=ρ31
1
Unabhängig von ν verlaufen alle Kurven für ϕϕm durch den Punkt 577.0331
≈=ρ . Das
Moment hat dort den Wert: 24ap
)331(m2
0==ρϕϕ
5.10 Die drehbar gelagerte Kreisplatte unter Gleich-last
Abb. 5-19 Die drehbar gelagerte Kreisplatte unter Gleichlast p0
Es gilt wieder Gl. 5-72. Am Rand 1=ρ ist jetzt neben der Randbedingungen w = 0 noch
Momentenfreiheit für mrr sicherzustellen. Beachten wir zusätzlich Gl. 5-71, dann muss
)3(16
apC)1(2
aN0)1(m
Nap
641CC0)1(w
20
22rr
40
21
ν+−ν+−===ρ
++===ρ Gl. 5-76
erfüllt sein, woraus die Konstanten
96 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
ν+ν+
−=ν+ν+
=13
N32ap
C;15
N64ap
C4
02
40
1 Gl. 5-77
ermittelt werden. Die vollständige Lösung lautet dann
( )
( )
( )[ ]
ρ−=
ρν+−ν+=
ρ−ν+=
ρ−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ρ−
ν+ν+
=
ϕϕ
2ap
q
31316
apm
)1(316
apm
115
N64ap
w
0r
22
0
22
0rr
224
0
Gl. 5-78
Abb. 5-20 Biegefläche
5.10 Die drehbar gelagerte Kreisplatte unter Gleichlast 97
Abb. 5-21 Schnittlasten mrr und mϕϕ
Von Interesse sind noch die folgenden speziellen Lösungen
( )
( )ν+=
ν+=
ν+ν+
=
ϕϕ 316
ap)0(m
316
ap)0(m
15
N64ap
)0(w
20
20
rr
40
( )
ρ−=
ν−=ϕϕ
2ap
)1(q
18ap
)1(m
0r
20
98 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
5.11 Die eingespannte Kreisplatte unter konstanter Teilflächenbelastung
Abb. 5-22 Die eingespannte Kreisplatte unter konstanter Teilflächenbelastung
Aufgrund der Unstetigkeit in der Belastung bei r = b muss das Lösungsgebiet in zwei Berei-che aufgeteilt werden. Im Bereich I, hier ist br0 <≤ , wird die Platte durch eine konstante Flächenlast p0 belastet. Die Lösung ist mit Gl. 5-72 bekannt
ρ−=
ρν+−ν+−=
ρν+−ν+−=
ρ+ρ+=
ϕϕ
2ap
q
)31(16
apC)1(2
aNm
)3(16
apC)1(2
aNm
Nap
641CCw
0Ir
22
022
I
22
022
Irr
44
0221
I
Gl. 5-79
Im Bereich II mit b < r < a ist die Platte unbelastet. Hier gilt die Lösung der homogenen Dif-ferenzialgleichung. Mit neuen Konstanten erhalten wir aus Gl. 5-66
[ ]
[ ]
43IIr
43222II
43222IIrr
243
221
II
K4aNq
K31ln)1(2K)1(1K)1(2aNm
K3ln)1(2K)1(1K)1(2aNm
lnKlnKKKw
ρ−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ν++ρν++ν−ρ
+ν+−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ν++ρν++ν−ρ
−ν+−=
ρρ+ρ+ρ+=
ϕϕ
Gl. 5-80
5.11 Die eingespannte Kreisplatte unter konstanter Teilflächenbelastung 99
Den sechs Konstanten in Gl. 5-79 und Gl. 5-80 stehen vier Übergangsbedingungen bei r = b und zwei Randbedingungen am eingespannten Rand bei r = a gegenüber. Setzen wir noch
β=a/b , dann lauten die Übergangs- und Randbedingungen
0)1(w
0)1(w
)(q)(q)(m)(m)(w)(w
)(w)(w
I
I
IIr
Ir
IIrr
Irr
III
III
==ρ′
==ρ
β=ρ=β=ρ
β=ρ=β=ρ
β=ρ′
=β=ρ′
β=ρ=β=ρ
Gl. 5-81
Gl. 5-81 entspricht einem linearen Gleichungssystem zur Bestimmung der sechs Unbekannten C1,C2 und K1-K4. Die Lösungen sind
[ ] ( )
( )2
40
44
40
3
1222
40
1
224
02
224
01
N8ap
KN16ap
K
KK2N32ap
K
ln4N32ap
C)ln43(4N64ap
C
β=β=
−=β+β=
β−ββ=β−β−β=
Gl. 5-82
Lösung im Bereich I ( β<ρ≤0 )
( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
ρ−=
ρν+−β−ββν+=
ρν+−β−ββν+=
ρ+ρβ−ββ−−ββ+β=
ϕϕ
2ap
q
31ln4116
apm
3ln4116
apm
)ln4(23ln44N64ap
w
0Ir
2222
0I
2222
0Irr
4222424
0I
Gl. 5-83
Lösung im Bereich II ( 1≤ρ<β )
[ ]
( )
( )
ρβ
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ν−
ρβ
ν−−ρ−βν+β=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
ρβ
ν−+ρ−βν+β=
ρρ+β+ρ−β+β=
ϕϕ
20II
r
2
222
20II
2
222
20II
rr
222224
0II
2ap
q
4)1()ln4(116
apm
4)1()ln4(116
apm
ln)2(2)1)(2(N32ap
w
Gl. 5-84
Von Interesse sind noch folgende spezielle Lösungen
100 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ])ln4(116
ap)0(m
)ln4(116
ap)0(m
3ln44N64ap
)0(w
222
0I
222
0Irr
224
0I
β−βν+β==ρ
β−βν+β==ρ
−ββ+β==ρ
ϕϕ
20II
r
222
0II
222
0IIrr
2ap
)1(q
)2(8ap
)1(m
)2(8ap
)1(m
β−==ρ
−ββν
==ρ
−ββ==ρ
ϕϕ
Aus der Lösung Teilflächenbelastung lassen sich durch Grenzbetrachtungen weitere Lösun-gen angeben. Setzen wir z.B. in Gl. 5-83 1a/b ==β , dann liegt Volllast vor und Gl. 5-83
geht über in Gl. 5-75.
Abb. 5-23 Biegefläche (β = 0.5)
5.11 Die eingespannte Kreisplatte unter konstanter Teilflächenbelastung 101
Abb. 5-24 Schnittlasten mrr und mϕϕ (β = 0.5)
Abb. 5-25 Querkraft qr (β = 0.5)
102 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
5.12 Die eingespannte Kreisplatte unter mittiger Ein-zelkraft
Die Lösung für diesen Lastfall beschaffen wir uns aus Gl. 5-84 indem wir bei festgehaltener
Querlast π= 20bpP den Grenzübergang 0b → durchführen.
Abb. 5-26 Die eingespannte Kreisplatte unter mittiger Einzelkraft
Setzen wir dort π
= 20 bPp folgt nach Grenzübergang 0b → die vollständige Lösung
[ ]
( )[ ]
( )[ ]
ρπ−=
ρν++νπ
−=
ρν++π
−=
ρ−ρ−π
=
ϕϕ
1a2
Pq
ln14Pm
ln114Pm
)ln21(1N16
Paw
r
rr
22
Gl. 5-85
Speziell gilt wegen 0rlnrlim 2
0r=
→
−∞=
∞=
∞=π
=
ϕϕ
)0(q
)0(m
)0(mN16
Pa)0(w
r
rr
2
a2P)1(q
4P)1(m
4P)1(m
r
rr
π−==ρ
πν
−==ρ
π−==ρ
ϕϕ
5.13 Die eingespannte Kreisplatte mit Mittelstütze unter Gleichlast 103
Abb. 5-27 Schnittlasten mrr und mϕϕ
5.13 Die eingespannte Kreisplatte mit Mittelstütze un-ter Gleichlast
Abb. 5-28 Die eingespannte Kreisplatte unter Gleichlast mit Mittelstütze
Die Platte kann als statisch unbestimmt gelagert angesehen werden. Wir denken wir uns das System nach Abb. 5-28 aus zwei Teillösungen aufgebaut: 1. Die eingespannte Kreisplatte unter Gleichlast und 2. Die eingespannte Kreisplatte unter Einzelkraft in Feldmitte
104 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
Beide Teillösungen sind mit Gl. 5-75 und Gl. 5-85 bekannt.
Lösung Gleichlast:
[ ]
[ ]
[ ]
ρ−=
ρν+−ν+=
ρν+−ν+=
ρ−=
ϕϕ
2ap
q
)31(116
apm
)3(116
apm
1Nap
641w
0r
22
0
22
0rr
224
0
Lösung Einzelkraft X in Feldmitte:
[ ]
( )[ ]
( )[ ]
ρπ−=
ρν++νπ
−=
ρν++π
−=
ρρ+ρ−π
=
ϕϕ
1a2
Xq
ln14Xm
ln114Xm
ln21N16
Xaw
r
rr
222
Abb. 5-29 Geometrische Kompatibilität
Führen wir die Stützkraft in Plattenmitte als statisch Unbestimmte X ein, dann liefert die For-derung nach Kompatibilität der Verschiebung w0 + w1 = 0 oder
0N16
XaNap
641 24
0 =π
+ 20ap
4X π
−=→ Gl. 5-86
Superponieren wir nun beide Teillösungen, dann erhalten wir die vollständige Lösung
( )
[ ]
[ ]
)41(18ap
q
)31(ln)1(2116
apm
)3(ln)1(216
apm
ln21N64ap
w
20r
22
0
22
0rr
224
0
ρ−ρ
=
ρν+−ρν++ν+=
ρν+−ρν++ν+=
ρ−−ρρ=
ϕϕ
Gl. 5-87
5.13 Die eingespannte Kreisplatte mit Mittelstütze unter Gleichlast 105
Abb. 5-30 Biegefläche
Speziell gilt:
Nap
00253.0)451.0(wwmax4
0==ρ=
Das maximale Feldmoment mrr tritt an der Stelle [ ])2(636
6)3(2
1* ν−ν+≈ν+ν+
=ρ auf. Ins-
besondere gilt für 0=ν : 41.066)0(* ===νρ . Damit wird 2
0*
rr ap03776,0)41,0(m ==ρ
16ap
)1(m2
0rr −==ρ
16ap
)1(m)1(m2
0rr
ν−==ρν==ρϕϕ
ap83)1(q 0r −==ρ
Die Querkraft qr verschwindet bei .2/1=ρ
106 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
Abb. 5-31 Biegemomente mrr und mϕϕ
Abb. 5-32 Querkraft qr
5.14 Die drehbar gelagerte Kreisplatte unter mittiger Einzelkraft 107
5.14 Die drehbar gelagerte Kreisplatte unter mittiger Einzelkraft
Abb. 5-33 Die drehbar gelagerte Kreisplatte unter mittiger Einzelkraft
Wir könnten diese Lösung auch durch Grenzbetrachtungen an der drehbar gelagerten Kreis-platte herleiten. Der Lösungsweg würde demjenigen der eingespannten Kreisplatte mit Teil-flächenbelastung entsprechen. Wir wollen hier jedoch einen anderen Weg beschreiten. Unter Berücksichtigung der Rotationssymmetrie wird zunächst als Partikulärlösung die klassische Singularität
ρρπ
= lnN8
Paw 22
p Gl. 5-88
verwendet. Wir benötigen von der homogenen Lösung Gl. 5-59 dann nur noch den regulären Anteil
221h CCw ρ+= Gl. 5-89
so dass wir als vollständige Lösung
[ ]
[ ]
ρπ−=
ρν++ν++πν+π
−=
ρν++ν++πν+π
−=
ρρπ
+ρ+=
ϕϕ
1a2Pq
ln)1(Pa2)31(PaNC)1(16a81m
ln)1(Pa2)3(PaNC)1(16a81m
lnN8
PaCCw
r
2222
2222rr
22
221
Gl. 5-90
gewinnen. Am Rand 1=ρ müssen
108 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
[ ])3(PaNC)1(16a810)1(m
CC0)1(w
222rr
21
ν++πν+π
−===ρ
+===ρ Gl. 5-91
erfüllt sein. Damit sind die Konstanten
12
2
1 CC13
N16PaC −=
ν+ν+
π= Gl. 5-92
und für die vollständige Lösung erhalten wir
[ ]
ρπ−=
ν−−ρν+π
−=
ρν+π
−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ρρ+ρ−
ν+ν+
π=
ϕϕ
1a2Pq
)1(ln)1(4Pm
ln)1(4Pm
ln2)1(13
N16Paw
r
rr
222
Gl. 5-93
Abb. 5-34 Biegefläche
5.14 Die drehbar gelagerte Kreisplatte unter mittiger Einzelkraft 109
Abb. 5-35 Schnittlasten mrr und mϕϕ
Speziell gilt wegen 0rlnrlim 2
0r=
→
−∞==ρ
∞==ρ
∞==ρν+ν+
π==ρ
ϕϕ
)0(q
)0(m)0(m
13
N16Pa)0(w
r
rr
2
a2P)1(q
)1(4P)1(m
0)1(m
r
rr
π−==ρ
ν−π
==ρ
==ρ
ϕϕ
110 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
5.15 Die innen eingespannte Kreisringplatte unter Gleichlast
Abb. 5-36 Die Kreisringplatte unter Gleichlast
Ein Partikularintegral ist
44
0p N
ap641)(w ρ=ρ Gl. 5-94
Die Lösung der homogenen Differenzialgleichung ist
ρρ+ρ+ρ+=ρ lnClnCCC)(w 243
221h Gl. 5-95
Die Gesamtlösung schreiben wir dann mit neuen Konstanten in der Form
[ ]4224
0 lnDlnCBANap
641)(w ρ+ρρ+ρ+ρ+=ρ Gl. 5-96
Wir benötigen die folgenden Ableitungen
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
ρ−
ρ−=′′′′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ρ+
ρ+
ρ=′′′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ρ++ρ+
ρ−=′′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ρ++ρρ+
ρ+ρ=′
24D2C6Np
641w
24D2C2N
ap641w
12)3ln2(DCB2Nap
641w
4)1ln2(DCB2Nap
641w
240
30
22
20
33
0
5.15 Die innen eingespannte Kreisringplatte unter Gleichlast 111
Daraus ergeben sich die Schnittlasten
[ ]
[ ]
( )20r
22
20
22
20
rr
8D116
apq
)31(431ln)1(2DC1B)1(264ap
m
)3(43ln)1(2DC1B)1(264ap
m
ρ+ρ
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ρν++ν++ρν++ρν−
+ν+−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ρν++ν++ρν++ρν−
−ν+−=
ϕϕ Gl. 5-97
Die Konstanten sind aus den Randwerten bei r = b ( β=ρ ) und r = a ( 1=ρ ) zu bestimmen.
[ ]
[ ]
( )8D16
ap0)1(q
)3(4)3(DC)1(B)1(264ap
0)1(m
4)1ln2(DCB21Nap
6410)(w
lnDlnCBANap
6410)(w
0r
20
rr
4223
0
4224
0
+−===ρ
ν++ν++ν−−ν+−===ρ
β++ββ++ββ
==β=ρ′
β+ββ+β+β+==β=ρ
Gl. 5-98
Daraus folgen die Konstanten
[ ]
[ ]
[ ]
8D)1()1(
)1()1(ln)1(44C
)1()1()3()1()ln21()1(22B
)1()1()3(2)35()1(ln)1(16ln3)1(4A
2
22
2
42
2
24222
−=ν++βν−
ν−−βν+−βν+β=
ν++βν−ν++ν−β−β+βν−
=
ν++βν−ν+−βν−−βν−+βν+−βν++ν+ββ
=
Gl. 5-99
112 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
Abb. 5-37 Biegefläche (β = 0.2)
Abb. 5-38 Schnittmomente mrr und mϕϕ (β = 0.2)
5.15 Die innen eingespannte Kreisringplatte unter Gleichlast 113
Abb. 5-39 Querkraft qr (β = 0.2)
Von Interesse sind noch folgende spezielle Lösungen
[ ]⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
ν−β+ν+β+βν++ν−β+ν−β−ν−β+ν+
β−
−ν−β+ν+
ν+
==ρ
)1()1()ln4)(1(5ln4)1()57(71
)1()1(37
N64ap
)1(w
2
2422
240
und insbesondere für 0=ν
[ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
β+β+β+β+β−β+
β−β+
==ν=ρ 2
2422
2
40
1)ln4(5ln471
17
N64ap
)0,1(w
Setzen wir noch 0=β (Punktlagerung), dann verbleibt vom obigen Ausdruck
Nap
1094,0Nap
647)0,1(wlim
40
40
0===ν=ρ
→β
Für die Bemessung interessieren die Schnittlasten bei β=ρ und 1=ρ
[ ] ( ))1()1(
13ln144)1(8ap
)(m 2
2220
rr ν−β+ν+−ν−βν+−ν+ν−ββ
−=β=ρ
und für 0=ν
2
420
rr 11ln4
8ap
)0,(mβ+
−β−β−==νβ=ρ
[ ] ( ))1()1(
13ln144)1(8ap
)(m)(m 2
2220
rr ν−β+ν+−ν−βν+−ν+ν−ββ
ν−=β=ρν=β=ρϕϕ
und für 2/1=ν
114 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
( )2
2220
3ln1254
16ap
)2/1,(mβ+
β−−+ββ−==νβ=ρϕϕ
)1()1(1)ln4(
8)1(ap
)1(m 2
22220
ν−β+ν+−β−ββν−
−==ρϕϕ
und für 0=ν
2
2220
11)ln4(
8ap
)0,1(mβ+
−β−ββ−==ν=ρϕϕ
Setzen wir D = -8 in die Querkraftbeziehung Gl. 5-98, dann gilt: ( )20r 11
2ap
)(q ρ−ρ
=ρ
Die größte Querkraft tritt bei β=ρ auf. Hier gilt:
( )20r 11
2ap
)(q β−β
=β=ρ .
5.16 Die Kreisringplatte mit gelenkig gelagertem Au-ßenrand unter Gleichlast
Abb. 5-40 Gelenkig gelagerte Kreisringplatte unter konstanter Flächenlast
Das Partikularintegral ist wieder
44
0p N
ap641)(w ρ=ρ Gl. 5-100
Die Lösung der homogenen Differenzialgleichung war
ρρ+ρ+ρ+=ρ lnClnCCC)(w 243
221h Gl. 5-101
Die Gesamtlösung schreiben wir dann mit neuen Konstanten in der Form
5.16 Die Kreisringplatte mit gelenkig gelagertem Außenrand unter Gleichlast 115
( )4224
0 lnDlnCBANap
641)(w ρ+ρρ+ρ+ρ+=ρ Gl. 5-102
Wir benötigen die folgenden Ableitungen
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
ρ−
ρ−=′′′′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ρ+
ρ+
ρ=′′′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ρ++ρ+
ρ−=′′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ρ++ρρ+
ρ+ρ=′
24D2C6Np
641w
24D2C2N
ap641w
12)3ln2(DCB2Nap
641w
4)1ln2(DCB2Nap
641w
240
30
22
20
33
0
Daraus ergeben sich die Schnittlasten
[ ]
[ ]
( )20r
22
20
22
20
rr
8D116
apq
)31(431ln)1(2DC1B)1(264ap
m
)3(43ln)1(2DC1B)1(264ap
m
ρ+ρ
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ρν++ν++ρν++ρν−
+ν+−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ρν++ν++ρν++ρν−
−ν+−=
ϕϕ Gl. 5-103
Die Konstanten sind aus den Randwerten bei r = b ( β=ρ ) und r = a ( 1=ρ ) zu bestimmen.
[ ]
)3(4)3(DC)1(B)1(264ap
0)1(m
1BA0)1(w8D0)(q
)3(43ln)1(2DC1B)1(20)(m
20
rr
2r
22rr
ν++ν++ν−−ν+−===ρ
++===ρβ+==β=ρ
βν++ν++βν++ρν−
−ν+==β=ρ
Gl. 5-104
2
2
422
2
442
2
442
8D)1)(1(
ln)1(16)1)(3(4C
)1)(1(ln)1(8)3(2)3(4)3(2B
)1)(1(ln)1(8)3(2)311(5A
β−=
β−ν−ββν++β−ν+β
−=
β−ν+ββν++βν++βν+−ν+
−=
β−ν+ββν++βν++βν+−ν+
=
Gl. 5-105
116 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
Abb. 5-41 Biegefläche (β = 0.2)
Abb. 5-42 Schnittlast mrr (β = 0.2)
5.16 Die Kreisringplatte mit gelenkig gelagertem Außenrand unter Gleichlast 117
Abb. 5-43 Schnittlast mϕϕ (β = 0.2)
Abb. 5-44 Schnittlast qr
118 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
Von Interesse sind noch folgende Teillösungen
2
22222240
1)1(3ln4[ln4)1()1)(75(
N64ap
)0,(wβ−
β+−ββββ++β−ββ−==νβ=ρ
2
24220
1ln)1(4)1(43
8ap
)(mβ−
βν+β+ν−β+β−ν+=β=ρϕϕ
2
44220
1ln)1(4)31(41
8ap
)1(mβ−
βν+β+ν+β−νβ+ν−==ρϕϕ
( )220r
12ap
q β−ρρ
−= ; )1(2ap
)1(q 20r β−−==ρ
Ist der Innenradius b sehr klein, dann kann näherungsweise mit der Lösung gerechnet werden, die sich beim Grenzübergang 0→β ergibt. Von den Konstanten Gl. 5-105 verbleiben:
0DC;1
)3(2B;15A ==
ν+ν+
−=ν+ν+
=
ν+ρν++ρν+−ν+
=1
)1()3(25N64ap
w424
0 ; ν+ν+
=→ρ 1
5N64ap
wlim4
0
0
)1)(3(16
apm 2
20
rr ρ−ν+= ; )3(16
apmlim
20
rr0ν+=
→ρ
[ ]22
0 )31(316
apm ρν+−ν+=ϕϕ ; )3(
16ap
mlim2
0
0ν+=ϕϕ→ρ
Abb. 5-45 Schnittlasten mrr und mϕϕ (ν = 0)
5.17 Die Kreisringplatte mit eingespanntem Außenrand unter Gleichlast 119
5.17 Die Kreisringplatte mit eingespanntem Außen-rand unter Gleichlast
Abb. 5-46 Eingespannte Kreisringplatte unter konstanter Flächenlast
Die Konstanten sind aus den Randwerten bei r = b ( β=ρ ) und r = a ( 1=ρ ) zu bestimmen.
[ ]
4DCB20)1(w1BA0)1(w
8D0)(q
)3(43ln)1(2DC1B)1(20)(m
2r
22rr
+++===ρ′++===ρβ+==β=ρ
βν++ν++βν++ρν−
−ν+==β=ρ
Gl. 5-106
Daraus folgen die Konstanten
2
2
422
2
442
2
442
8D)1()1(
ln)1(4)1(14C
)1()1(ln)1(8)3(2)1(4)1(2B
)1()1(ln)1(8)3(2)35(1A
β−=
ν−+βν+ββν++βν−+ν+
β−=
ν−+βν+ββν+−βν+−βν−−ν−
−=
ν−+βν+ββν+−βν+−βν−−ν−
=
Gl. 5-107
120 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
Abb. 5-47 Biegefläche (β = 0.2)
Abb. 5-48 Schnittmomente mrr (β = 0.2)
5.17 Die Kreisringplatte mit eingespanntem Außenrand unter Gleichlast 121
Abb. 5-49 Schnittmomente mϕϕ (β = 0.2)
Von Interesse sind noch folgende Teillösungen
w( 2
242640
1)ln16ln201()ln47(71
N64ap
)0,β+
β+β+β−β+β−β+==νβ=ρ
)1()1(ln)1(4)31(41
8ap
)1(m 2
44220
rr ν−+βν+ββν++βν+−νβ+ν−
−==ρ
)1()1()ln41()1(
8ap
)(m 2
24220
ν−+βν+ββ−−βν−
−=β=ρϕϕ
)1()1(ln)1(4)31(41
8ap
)1(m 2
44220
ν−+βν+ββν++βν+−νβ+ν−ν
−==ρϕϕ
Der Querkraftverlauf entspricht dem des gelenkig gelagerten Kreisringes:
( )220r
12ap
q β−ρρ
−= ; )1(2ap
)1(q 20r β−−==ρ
122 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
5.18 Die Kreisringplatte mit gelenkiger Lagerung un-ter Linienlast
Abb. 5-50 Gelenkig gelagerte Kreisringplatte unter Randlast
Die Platte nach Abb. 5-50 wird durch eine Linienlast am freien Rand belastet. Eine Feldbelas-tung fehlt, womit hier nur die Lösung der homogenen Differenzialgleichung benötigt wird. Mit Gl. 5-59 ist dann
rlnrCrlnCrCC)r(w 243
221 +++= Gl. 5-108
und für die Ableitungen gilt:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
ρρ=′′′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+ρ+
ρ−=′′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+ρρ+
ρ+ρ=′
4323
43222
432
CC11a2w
C)3ln2(C1C2a1w
C)1ln2(C1C2a1w
Gl. 5-109
Die vollständige Lösung der homogenen Differenzialgleichung ist dann
[ ]
[ ]
43r
43222
43222rr
243
221
C1aN4q
C31ln)1(2C)1(1C)1(2aNm
C3ln)1(2C)1(1C)1(2aNm
lnClnCCCw
ρ−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ν++ρν++ν−ρ
+ν+−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ν++ρν++ν−ρ
−ν+−=
ρρ+ρ+ρ+=
ϕϕ
Gl. 5-110
5.18 Die Kreisringplatte mit gelenkiger Lagerung unter Linienlast 123
Die Konstanten sind aus den Randwerten bei r = b (ρ = β) und r = a (ρ = 1) zu bestimmen. Dort gilt
[ ]
432rr
243
221
430r
4322rr
C)3(C)1(C)1(20)1(mlnClnCCC0)1(w
C1aN4q)(q
C3ln)1(2C)1(1C)1(20)(m
ν++ν−−ν+===ρρρ+ρ+ρ+===ρ
β−=−=β=ρ
ν++βν++ν−β
−ν+==β=ρ
Gl. 5-111
Daraus folgen die Konstanten
N4qa
C
)1)(1(ln)1(
N2qa
C
CC)1)(1(
)1)(3(ln)1(2N8qa
C
03
4
20
33
3
12
2
220
3
1
β=
−βν−βν+β
−=
−=−βν+
−βν++ββν+β=
Gl. 5-112
Abb. 5-51 Biegefläche (β = 0.2)
124 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
Abb. 5-52 Schnittlasten mrr und mϕϕ (β = 0.2)
Von Interesse sind die folgenden Lösungen Die größte Durchbiegung tritt bei β=ρ auf
)1)(1(ln4)1()1)(1)(3(
N8aq
wmax 22
222230
ν−β−ββ+β−β+ν−ν+β
=
2/1=ν : 2
222230
1ln36)1()1(7
N24aq
wmaxβ−
ββ+β+β−β=
und für 2,0=β
Naq
0884.0)5ln25112(N2000
aqwmax
302
30 =⋅+=
Für das Biegemoment ϕϕm gilt
2
20
1ln)1(2)1)(1(
2aq
)(mβ−
βν+−β−ν−β=β=ρϕϕ
und für 2/1=ν
2
20
1ln61
4aq
)(mβ−
β−β−β=β=ρϕϕ
aq553.0)2.0(m 0==β=ρϕϕ
5.18 Die Kreisringplatte mit gelenkiger Lagerung unter Linienlast 125
2
220
1ln)1(2)1)(1(
2aq
)1(mβ−
βν+β−β−ν−β==ρϕϕ
und für 0=ν : 2
20
1)ln21(1
2aq
)1(mβ−
β+β−β==ρϕϕ
und für 2,0=β aq1134.0)2.0,1(m 0==β=ρϕϕ
Die Kreisringplatte mit Einspannung unter Linienlast
Abb. 5-53 Eingespannte Kreisringplatte unter Randlast
Ist der äußere Rand eingespannt (Abb. 5-53), dann lauten die Randbedingungen
[ ]
432
243
221
430r
4322rr
CCC20)1(wlnClnCCC0)1(w
C1aN4q)(q
C3ln)1(2C)1(1C)1(20)(m
++===ρ′ρρ+ρ+ρ+===ρ
β−=−=β=ρ
ν++βν++ν−β
−ν+==β=ρ
Gl. 5-113
und damit die Konstanten
N4qa
C
)1()1(1ln)1(
N2qa
C
CC)1()1(
1)3(ln)1(2N8qa
C
03
4
20
33
3
12
2
220
3
1
β=
ν−+βν++βν+β
−=
−=ν−+βν+
ν−+βν++ββν+β=
Gl. 5-114
Die größten Durchbiegungen treten bei β=ρ auf
126 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
ν−+βν+ββν++ν+β−βν++ββ+ν−
β=β=ρ1)1(
ln)1(4)3()1(2ln81N8aq
)(wmax 2
2242230
0=ν : 1
ln43)ln41(21N8aq
)0,(wmax 2
224230
+βββ+β−β+β+
β==νβ=ρ
2/1=ν : 13
ln1276ln16(1N8aq
)2/1,(wmax 2
22230
+ββ+β−+ββ+
β==νβ=ρ
Biegemomente:
ν−+βν+−β−βν−β
=β=ρϕϕ 1)1()1ln2)(1(
2aq
)(m 2
220
und für 2/1=ν
131ln2
4aq3
)2/1,(m 2
20
+β−β−ββ
==νβ=ρϕϕ
Am eingespannten Rand ( 1=ρ ) treten folgende Momente auf
ν−+βν+ν−β−ββν+−ν−β
−==ρ1)1(
)1(ln)1(212aq
)1(m 2
220
rr
und für 2/1=ν : 13
)1ln6(12aq
)2/1,1(m 2
20
rr +β+ββ−β
−==ν=ρ
ν−+βν+ν−β−ββν+−ν−
νβ
−==ρν==ρϕϕ 1)1()1(ln)1(21
2aq
)1(m)1(m 2
220
rr
Dieses Moment verschwindet für 0=ν
und für 2/1=ν : 13
)1ln6(14aq
)2/1,1(m 2
20
+β+ββ−β
−==ν=ρϕϕ
5.18 Die Kreisringplatte mit gelenkiger Lagerung unter Linienlast 127
Abb. 5-54 Biegefläche (β = 0.2)
Abb. 5-55 Schnittlasten mrr und mϕϕ (β = 0.2)
128 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
5.19 Die Kreisringplatte unter konstanter Linienlast längs eines Kreises
Wir betrachten dazu die drehbar gelagerte Kreisplatte in Abb. 5-56, die längs eines Kreises mit dem Radius r = b eine Linienbelastung der Intensität q0 trägt.
b
a
r
2a
2b
q0
q0
q0
q0
r = b
)b(qIr )b(qII
r
)b(mIrr )b(mII
rr
Abb. 5-56 Konstante Linienbelastung längs eines Kreises mit dem Radius b
Aufgrund der Unstetigkeit in der Belastung muss das Lösungsgebiet in zwei Bereiche aufge-teilt werden. Im Bereich I, hier ist br0 <≤ , ist die Platte frei von Flächenlasten. Da die Schnittlasten bei Annäherung an den Punkt r = 0 endlich bleiben sollen, wird von Gl. 5-59 nur der reguläre Anteil der Verschiebungen verwendet. Mit a/r=ρ und neuen Konstanten ist die
vollständige Lösung
( )
0q
mCbq41m
Cbq41m
CC)1(N8
baqw
Ir
Irr20
I
20Irr
221
20I
=
=−=
−=
ρ+ν+
=
ϕϕ
Gl. 5-115
Im Bereich b < r < a gilt dann Gl. 5-59
5.19 Die Kreisringplatte unter konstanter Linienlast längs eines Kreises 129
( )
30II
r
42320II
42320IIrr
42
32
21
20II
Krb
1q
21q
K111K
131ln2K2bq
81m
K111K
13ln2K2bq
81m
lnKlnKKK)1(N8
baqw
ν+−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ν+ν−
ρ+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
ν+ν+
+ρ+−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ν+ν−
ρ−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
ν+ν+
+ρ+−=
ρ+ρρ+ρ+ν+
=
ϕϕ
Gl. 5-116
Die 6 Konstanten in Gl. 5-115 und Gl. 5-116 werden aus 4 Übergangsbedingungen und 2 Randbedingungen für den drehbar gelagerten Rand ermittelt. Setzen wir noch a/b=β , dann
lauten die Übergangs- und Randbedingungen
0)1(m0)1(w
q)(q)(q
)(m)(m)(w)(w
)(w)(w
Irr
I0
Ir
IIr
IIrr
Irr
III
III
==ρ
==ρ
−=β=ρ−β=ρ
β=ρ=β=ρ
β=ρ′
=β=ρ′
β=ρ=β=ρ
Gl. 5-117
Aus dem linearen Gleichungssystem Gl. 5-81 errechnen sich die Konstanten
)1(2K
)1(2KKK);1(3K
)1)(1(ln)1(2C
)1)(3(ln)1(2C
24
3
122
1
22
221
ν+β=
ν+=−=ν−β−ν+=
β−ν−−βν+=
β−ν++βν+β=
Gl. 5-118
Lösung im Bereich I ( β<ρ≤0 )
( )
( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( )[ ]0q
mln12114aqm
ln12114aqm
ln2)1(11)1(
13
N8aqw
Ir
Irr
20I
20Irr
222223
0I
=
=βν+−β−ν−β=
βν+−β−ν−β=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ βρ+β+β−ρ
ν+ν−
−β−ν+ν+
β=
ϕϕ
Gl. 5-119
130 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
Lösung im Bereich II ( 1≤ρ<β )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
ρβ
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ρν+−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ρ+
ρβ
−ν−β=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ρν+−ρ−ρβ
ν−β=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ρρ+β+ρ−β
ν+ν−
−ρ−ν+ν+
β=
ϕϕ
0IIr
22
20II
22
20II
rr
222223
0II
ln121214aqm
ln12114aqm
ln2)1(11)1(
13
N8aqw
Gl. 5-120
Fassen wir die äußere Belastung aus der Linienbelastung q0 zur Resultierenden βπ= aq2Q 0
und damit )a2/(Qq0 βπ= zusammen, dann erhalten wir, getrennt nach beiden Bereichen, die
folgenden Lösungen: Lösung im Bereich I ( β<ρ<0 )
( )
( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( )[ ]0q
mln12118Qm
ln12118Qm
ln2)1(11)1(
13
N16Qaw
Ir
Irr
2I
2Irr
222222
I
=
=βν+−β−ν−π
=
βν+−β−ν−π
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ βρ+β+β−ρ
ν+ν−
−β−ν+ν+
π=
ϕϕ
Gl. 5-121
Lösung im Bereich II ( 1≤ρ<β )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
ρπ−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ρν+−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ρ+
ρβ
−ν−π
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ρν+−ρ−
ρβ
ν−π
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ρρ+β+ρ−β
ν+ν−
−ρ−ν+ν+
π=
ϕϕ
1a2
ln121218Qm
ln12118Qm
ln2)1(11)1(
13
N16Qaw
IIr
22
2II
22
2IIrr
222222
II
Gl. 5-122
5.19 Die Kreisringplatte unter konstanter Linienlast längs eines Kreises 131
wQa
N2
0,0266
a/r=ρ
Abb. 5-57 Verschiebung w(r) (β = 0,6, ν = 1/5)
0,0407
a/r=ρ
1
1Q
Q
mrr
mϕϕ
Abb. 5-58 Biegemomente mrr(r) und mϕϕ(r) (β = 0,6, ν = 1/5)
132 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung
-0,265
-0,159
-
-
-
rqQa
a/r=ρ
Abb. 5-59 Querkraftverlauf (β = 0,6, ν = 1/5)
Von Interesse sind noch die folgenden Teillösungen:
( ) ( )2II
222
I
141Q)1(m
ln2)1(13
N16Qa)0(w
β−πν−
==ρ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ββ+β−
ν+ν+
π==ρ
ϕϕ
Gl. 5-123
6 Rechteckplatten Auf dem Wege zur Berechnung umfangsgelagerter Rechteckplatten ist es sinnvoll, sich die-sem schon recht komplizierten Problem in Schritten zu nähern. Wir werden deshalb in auf-bauender Weise Lösungen für die Randwertprobleme
1. des unendlich langen Plattenstreifens und 2. des Halbstreifens
bereitstellen. Für diese Problemklassen, können in Abhängigkeit von speziellen Lagerungen und Belastungen feste Lösungswege angegeben werden. Ziel der folgenden Untersuchungen ist das Aufzeigen dieser Lösungswege anhand konkreter Beispiele.
6.1 Der unendlich lange Plattenstreifen
Abb. 6-1 Plattenstreifen, Behinderung der Querdehnung
Die Plattengeometrie des unendlich langen Plattenstreifens besteht aus einem Streifen mit endlicher Länge in x-Richtung aber unendlicher Ausdehnung in y-Richtung. Die Ränder x = konst. können dabei beliebig gelagert sein, in y-Richtung sollen sich die Lagerungsbedingun-gen jedoch nicht ändern. Wird zusätzlich noch eine von y unabhängige Belastung gefordert,
134 6 Rechteckplatten
also p = p(x), dann liegt eine zylindrische Biegefläche vor, deren Ableitungen in y-Richtung identisch Null sind. Mit )(dxdx ′==∂∂ verbleibt von der Plattendifferenzialgleichung
N)x(p)x(w =′′′′ Gl. 6-1
also eine gewöhnliche inhomogene Differenzialgleichung 4. Ordnung, die durch Integration gelöst wird. Ist die Biegefläche bekannt, dann folgen daraus die Schnittlasten
0qmwNq
mwNmwNm
yxy
x
xxyy
xx
==
′′′−=
ν=′′ν−=
′′−=
Gl. 6-2
Gl. 3-23 entspricht offensichtlich der Differenzialgleichung der Balkenbiegung, wenn die
Plattensteifigkeit )]1(12[EhN 23 ν−= durch die Biegesteifigkeit EI eines Balkens mit der
Breite "1" ersetzt wird. Dann gilt 12/)h1E(EI 3⋅⋅= . Alle Lösungen des Balkens sind dann
auch Lösungen des Plattenstreifens. Zwischen der Lösung w(x) der Platte und der Lösung w~ (x) eines gleichbelasteten Balkens mit dem Querschnitt h1hb ⋅=⋅ bestehen damit die Be-
ziehungen nach Tabelle 6-1. Die Durchbiegungen der Platte sind )1( 2ν− - mal kleiner als die
des Balkens. Die Biegemomente mxx und die Querkräfte qx stimmen überein, da sie unabhän-gig von den Biegesteifigkeiten sind. Das Moment myy und die Querkraft qy existieren für den Balken nicht.
Plattenstreifen Balken
)x(p)x(wN =′′′′ )x(q)x(w~EIyy =′′′′
)1(12EhN 2
3
ν−=
12h1EEI
3⋅⋅=
w~)1()x(w 2ν−=
)x(m~)x(m xxxx =
xxyy mm ν= nicht vorhanden
0mxy = nicht vorhanden
)x(q~)x(q xx =
0q y = nicht vorhanden
Tabelle 6-1 Gegenüberstellung der Zustandsgrößen von Plattenstreifen und Balken
6.1 Der unendlich lange Plattenstreifen 135
Das Zustandekommen der Biegemomente myy beim Plattenstreifen können wir uns wie folgt vorstellen: Bei einem positiven Biegemoment mxx werden die Fasern oberhalb der Span-nungs-Nullinie gedrückt und die Fasern unterhalb entsprechend gezogen. Plattenelemente im oberen Bereich möchten sich infolge der Querdehnung aufweiten, im unteren Bereich dage-gen zusammenziehen. Das ist aber aufgrund des Zusammenhangs der Platte nicht möglich. Um also nach der Verformung ein geometrisch kompatibles System zu erhalten, müssen Querbiegemomente myy vorhanden sein, die die Klaffung wieder rückgängig machen. Bei einem Balken sind diese Momente nicht notwendig und deshalb Null, weil er sich ohne Zwängung quer zur Längsachse verformen kann. Hinweis: In der Biegetheorie gerader Balken werden Rechteckquerschnitte untersucht, deren Breite b von derselben Größenordnung ist wie die Höhe h. Die obigen Untersuchungen legen es nahe, bei Balken, deren Querschnitte einem Brett gleichkommen, (b h>> ), den Elastizi-tätsmodul E durch
21EE~ν−
=
zu ersetzen. Die bei diesen brettförmigen Balken auftretende Behinderung der Querdehnung
führt zu einer scheinbaren Erhöhung des Elastizitätsmoduls auf das )1/(1 2ν− -fache, z.B. bei
Stahl mit 3/1=ν auf das 9/8-fache.
Beispiel: 6-1
Für den beidseitig gelenkig gelagerten Plattenstreifen unter linear veränderlicher Last in x-Richtung sind sämtliche Zustandsgrößen zu berechnen.
Abb. 6-2 Gelenkig gelagerter Plattenstreifen
Die Biegedifferenzialgleichung lautet mit lppp r −=Δ und a/x=ξ
136 6 Rechteckplatten
( )ξΔ+==′′′′ ppN1
N)x(p)x(w l Gl. 6-3
Viermalige Integration der Gl. 6-3 und anschließende Anpassung an die Randbedingungen
0)a(m)0(m;0)a(w)0(w xxxx ====
liefert die vollständige Lösung
( ) ( )
( ) ( )
( ) )31(6pa21
2ap
q
mm
16pa1
2ap
m
7103N360
pa12N24ap
w
2x
xxyy
222
xx
244
234
ξ−Δ
+ξ−=
ν=
ξ−ξΔ
+ξ−ξ=
+ξ−ξξΔ
++ξ−ξξ=
l
l
l
Gl. 6-4
Hinweis: Wegen 0mxy = entsprechen die Querkräfte xq den Randquerkräften xq und damit
den endgültigen Auflagerkräften. Wie bereits erwähnt, existiert aufgrund der zylindrischen Biegefläche keine Krümmung in y-Richtung. Trotzdem erhalten wir auch Biegemomente xxyy mm ν= . Für Stahlbeton (ν = 1/5)
hätten wir xxyy m2,0m = . Diese Momente, die allein aus der Querdehnung herrühren, sind
nach DIN 1045 mit einer Querbewehrung ≥ 1/5 der Hauptbewehrung abzudecken.
Abb. 6-3 Allgemeine Belastung
Für allgemeine Belastungen p(x) und gelenkig gelagerter Längsränder kann folgendes Lö-sungsschema angegeben werden. Zunächst wird die Belastung in x-Richtung antimetrisch bezüglich x = 0 mit der Periode L = 2a in eine Fourierreihe entwickelt
6.1 Der unendlich lange Plattenstreifen 137
∑∞
=
π=
1nn a
xnsinp)x(p Gl. 6-5
Die Fourierkoeffizienten
dxaxnsin)x(p
a2p
a
0xn
π= ∫
=
Gl. 6-6
können mit Gl. 6-6 für den weiteren Rechengang als bekannt vorausgesetzt werden. Entwi-ckeln wir auch die Verschiebung entsprechend Gl. 6-5 antimetrisch in eine Fourierreihe, also
∑∞
=
π=
1nn a
xnsinw)x(w Gl. 6-7
dann befriedigt dieser Ansatz von vornherein die Randbedingungen der gelenkig gelagerten Ränder bei x = 0 und x = a. Die Verschiebung w(x) und die Belastung p(x) müssen die Plat-tendifferenzialgleichung erfüllen. Setzen wir Gl. 6-5 und Gl. 6-7 in die Differenzialgleichung des Plattenstreifen Gl. 3-23 ein, dann muss
∑ ∑∞
=
∞
=
π=
π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
1n 1nn
4
n axnsinp
N1
axnsin
anw
erfüllt sein, was nach Koeffizientenvergleich in a
xnsin π
n
4
n pna
N1w ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛π
= Gl. 6-8
erfordert. Einsetzen von Gl. 6-8 in Gl. 6-7 liefert dann die vollständige Lösung des Problems
0qma
xncosn
paq
ma
xnsinnpam
axnsin
npam
axnsin
np
Naw
yxy
1n
nx
xx1n
2n
2
2
yy
1n2n
2
2
xx
1n4n
4
4
==
ππ
=
ν=π
πν
=
ππ
=
ππ
=
∑
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
Gl. 6-9
138 6 Rechteckplatten
Beispiel: 6-2
Abb. 6-4 Teilflächenbelasteter Plattenstreifen
Für den teilflächenbelasteten Plattenstreifen nach Abb. 6-4 sind sämtliche Zustandsgrößen zu ermitteln. Wir entwickeln zunächst die Belastung q(x) antimetrisch in eine Fourierreihe. Die Fourierkoeffizienten der Belastung sind mit Gl. 6-6
acnsin
aunsin
np4
dxa
xnsinpa2dx
axnsin)x(p
a2p 0
cu
cux0
a
0xn
πππ
=π
=π
= ∫∫+
−==
Gl. 6-10
Die Fourierkoeffizienten der Biegefläche folgen dann aus Gl. 6-8
acnsin
aunsin
n1
Nap4
w 55
40
nππ
π= Gl. 6-11
und damit die vollständige Lösung
0qmaxncos
acnsin
aunsin
n1ap4
q
axnsin
acnsin
aunsin
n1ap4
m
axnsin
acnsin
aunsin
n1ap4
m
axnsin
acnsin
aunsin
n1
Nap4
w
yxy
1n22
0x
1n33
20
yy
1n33
20
xx
1n55
40
==
ππππ
=
ππππν
=
ππππ
=
ππππ
=
∑
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
Gl. 6-12
Durch Grenzbetrachtungen lassen sich aus Gl. 6-12 weitere Lösungen herleiten.
6.1 Der unendlich lange Plattenstreifen 139
a) Der Plattenstreifen unter konstanter Linienlast in y- Richtung
Abb. 6-5 Der Plattenstreifen unter Linienlast
Wir fassen die Teilflächenbelastung p0 auf der Länge 2c zur Linienlast cp2q 00 = zusammen
und führen dann unter Beachtung von 1
acna
cnsinlim
0c=
π
π
→ den Grenzübergang derart durch, dass
für 0c → das Produkt cp2 0 konstant bleibt. Aus Gl. 6-12 folgt dann die vollständige Lösung
Linienlast
∑
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
πππ
=
ν=ππ
πν
=
πππ
=
πππ
=
1n
0x
xx1n
220
yy
1n22
0xx
1n44
30
axncos
aunsin
n1q2
q
ma
xnsina
unsinn1aq2
m
axnsin
aunsin
n1aq2
m
axnsin
aunsin
n1
Naq2
w
Gl. 6-13
b) Der Plattenstreifen unter Gleichlast Setzen wir in Gl. 6-12 2/acu == , dann folgt unter Beachtung von
⎩⎨⎧ =
=π
sonst0,5,3,1nfür1
2nsin 2 K
die vollständige Lösung Gleichlast, die mit 0p =Δ und a/x=ξ auch unmittelbar aus Gl. 6-4
gewonnen werden kann
140 6 Rechteckplatten
( )
( )
( )ξ−=π
π=
ν=π
πν
=
ξ−ξ=π
π=
+ξ−ξξ=π
π=
∑
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
212ap
axncos
n1ap4
q
maxnsin
n1ap4
m
12ap
axnsin
n1ap4
m
12N24ap
axnsin
n1
Nap4
w
0
5,3,1n22
0x
xx5,3,1n
33
20
yy
20
5,3,1n33
20
xx
5,3,1n
234
055
40
K
K
K
K
Gl. 6-14
Hinweis: Der Zusammenhang zwischen den Lösungen Gl. 6-14 und Gl. 6-4 (mit 0p =Δ ) lässt
sich sofort herstellen, wenn z.B. die Verschiebung ( )12N24ap
w 234
0 +ξ−ξξ= antimetrisch in
eine Fourierreihe entwickelt wird. Wir erhalten im Einzelnen
( ) K5,3,1nNn
ap41ncos
Nnap2
dnsin)12(N12ap
dnsin)(w2dxaxnsin)x(w
a2w
55
40
55
40
1
0
234
01
0
a
0xn
=π
=−ππ
−=
ξπξ+ξ−ξξ=ξπξξ=π
= ∫∫∫=ξ=ξ=
und damit in Übereinstimmung mit Gl. 6-14
∑∑∞
=
∞
=
ππ
=π
=KK 5,3,1n
55
40
5,3,1nn a
xnsinn1
Nap4
axnsinw)x(w
6.2 Der Plattenhalbstreifen
Wir wollen zunächst eine Methode vorstellen, die wir dann später auch bei der Lösung des Randwertproblems spezieller umfangsgelagerter Rechteckplatten einsetzen werden. Um diese Methode anwenden zu können, sind folgende Voraussetzungen erforderlich: 1. Zwei gegenüberliegende Ränder müssen gelenkig gelagert sein und 2. die Belastung p(x,y) muss sich als Produkt )y(r)x(q)y,x(p = schreiben lassen.
Nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass die Ränder x = 0 und x = a ge-lenkig gelagert sind (Abb. 6-6), dann ergeben sich an der Stelle y = 0 für den Plattenhalbstrei-fen am kurzen Rand insgesamt 3 Lagerungsmöglichkeiten
6.2 Der Plattenhalbstreifen 141
Abb. 6-6 Mögliche Lagerungsbedingungen am kurzen Rand des Plattenhalbstreifens
Ausgangspunkt ist wieder die Plattendifferenzialgleichung
N)y,x(p)y,x(w =ΔΔ Gl. 6-15
Die Lösung setzt sich aus der Lösung der homogenen Differenzialgleichung und einer parti-kulären Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung zusammen
)y,x(w)y,x(w)y,x(w ph += Gl. 6-16
Für die Lösung der homogenen Differenzialgleichung wird der Produktansatz
)y(Y)x(X)y,x(w h = Gl. 6-17
gemacht. Einsetzen von Gl. 6-17 in die homogene Differenzialgleichung 0w h =ΔΔ liefert:
0YXYX2YX =′′′′+′′′′+′′′′
und nach Umordnung
0Y
YYY
XX2
XX
=′′′′
+′′′′
+′′′′
Gl. 6-18
Eine Separierung der beiden Unbekannten Funktionen X(x) und Y(y) gelingt, wenn wir
2
XX
λ−=′′
Gl. 6-19
142 6 Rechteckplatten
und damit
XXX 42 λ=′′λ−=′′′′ Gl. 6-20
fordern. Für X(x) folgt aus Gl. 6-19 und dem noch unbekannten Separationsparameter λ die Lösung
xsinAxcosA)x(X 21 λ+λ= Gl. 6-21
Einsetzen von Gl. 6-19 in Gl. 6-18 unter Beachtung von Gl. 6-20 liefert die gewöhnlichen Diffe-renzialgleichung
0YY2Y 42 =λ+′′λ−′′′′ Gl. 6-22
für die Funktion Y(y), die mit dem Ansatz
)yexp()y(Y α= Gl. 6-23
auf die charakteristischen Gleichung
0)( 222 =λ−α Gl. 6-24
führt. Ihre Lösungen sind λ−=αλ−=αλ=αλ=α 4321 ;;; . Unter Beachtung der Doppel-
wurzeln erhalten wir die vier linear unabhängigen Lösungen
y4
y3
y2
y1 yeCyeCeCeC)y(Y λ−λλ−λ λ+λ++= Gl. 6-25
oder unter Verwendung der Hyperbelfunktionen
ysinhyCycoshyCysinhCycoshC)y(Y 4321 λλ+λλ+λ+λ= Gl. 6-26
Damit ist die vollständige Lösung der homogenen Differenzialgleichung
)xsinAxcosA)(yeCyeCeCeC()y,x(w 21y
4y
3y
2y
1h λ+λλ+λ++= λ−λλ−λ Gl. 6-27
6.2 Der Plattenhalbstreifen 143
oder unter Verwendung der Hyperbelfunktionen
)xsinAxcosA)(ysinhyCycoshyCysinhCycoshC()y,x(w 214321h λ+λλλ+λλ+λ+λ=
Gl. 6-28
Die Lösung der homogenen Differenzialgleichung soll an den Längsrändern bereits die Rand-bedingungen eines gelenkig gelagerten Randes erfüllen, also
asinA)a(X0)y,a(wA)0(X0)y,0(w
2h
1h
λ======
Gl. 6-29
Die nichttriviale Lösung ( 0A 2 ≠ ) fordert 0asin =λ , was durch
an
nπ
=λ=λ (n = 1,2,3..) Gl. 6-30
erfüllt wird. Von Gl. 6-21 verbleibt dann lediglich
axnsinA)x(X)x(X n,2nπ
=→ Gl. 6-31
Wegen
( ) ( )XYYNYXYXNyw
xwNm 2
n2
2
2
2
xx ′′ν+λ−−=′′ν+′′−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
ν+∂∂
−=
sind die Randbedingungen 0)y,0(m xx = und 0)y,a(m xx = mit Gl. 6-31 dann automatisch
auch erfüllt, weil X(0) = X(a) = 0 ist. Mit neuen Konstanten erhalten wir
∑∞
=
λ−λλ−λ λλ+λ++=1n
ny
nn4y
nn3y
n2y
n1h xsin)yeCyeCeCeC()y,x(w nnnn Gl. 6-32
oder unter Verwendung der Hyperbelfunktionen
∑∞
=
λλλ+λλ+λ+λ=1n
nnnn4nnn3nn2nn1h xsin)ysinhyCycoshyCysinhCycoshC()y,x(w
Gl. 6-33
144 6 Rechteckplatten
Hinweis: Da die homogene Lösung an den Längsrändern bereits sämtliche Randbedingungen erfüllt, dürfen diese durch Hinzufügen eines Partikularintegrals nicht mehr gestört werden. Zur Herleitung einer partikulären Lösung beachten wir, dass sich die Belastung in Produkt-form )y(r)x(q)y,x(p = schreiben lassen soll. Außerdem wird die Belastung in x-Richtung
antimetrisch bezüglich x = 0 entwickelt. Dann gelte
∑∞
=
π=
1nn a
xnsinq)x(q Gl. 6-34
und damit
∑∑∞
=
∞
= =
π=
π=
1jn
1j )y(p
n axnsin)y(p
axnsin)y(rq)y,x(p
n
321 Gl. 6-35
In pn(y) sind der funktionale Verlauf der Last in y-Richtung und die Fourier-Koeffizienten der x-Richtung enthalten. Die Fourierentwicklung einer konstanten Belastung in x-Richtung folgt sofort aus Gl. 6-10, wenn wir dort u = c = a/2 setzen
..)5,3,1n(.konstnp4
2nsin
np4
)y(p 02
0n ==
π=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
π= Gl. 6-36
Für die Verschiebung wp(x,y) wird ein zu Gl. 6-35 entsprechender Ansatz gemacht
∑∞
=
π=
..5,3,1npnp a
xnsin)y(w)y,x(w Gl. 6-37
Einsetzen von Gl. 6-37 und Gl. 6-35 in Gl. 6-15 liefert
[ ]a
xnsinN
)y(pa
xnsin)y(w)y(w2)y(w..5,3,1n
n
..5,3,1npnpn
2npn
4n
π=
π′′′′+′′λ−λ ∑∑∞
=
∞
=
Gl. 6-38
Der Koeffizientenvergleich in axnsin π erfordert
N)y(p
)y(w)y(w2)y(w npn
4npn
2npn =λ+′′λ−′′′′ Gl. 6-39
6.2 Der Plattenhalbstreifen 145
Aus dieser Differenzialgleichung ist eine Partikulärlösung )y(w pn zu bestimmen. Ist diese
gefunden, dann lautet die Gesamtlösung
[ ]∑∞
=
λ−λλ−λ λ++++=..5,3,1n
ny
n4y
n3y
n2y
n1pn xsinyeCyeCeCeC)y(w)y,x(w nnnn Gl. 6-40
oder
[ ]∑∞
=
λλ+λ+λ+λ+=..5,3,1n
nnn4nn3nn2nn1pn xsinysinhyCycoshyCysinhCycoshC)y(w)y,x(w
Gl. 6-41
Im Falle der Gleichlast p(x,y) = p0 ist die rechte Seite von Gl. 6-39 mit π
=np4
)y(p 0n konstant.
Mit dem Ansatz .konstK)y(w np == folgt aus Gl. 6-39:
Nnp4
N)y(pK 0n4
n π==λ
und damit
Nnap4
)y(w 55
40
np π= Gl. 6-42
Die obigen Gleichungen enthalten noch vier freie Konstanten, die aus den vier Randbedin-gungen an zwei gegenüberliegenden Rändern in y-Richtung zu berechnen sind. Wegen ∞≠∞),x(w müssen für den Plattenhalbstreifen 0CC n3n1 == gefordert. Mit neuen
Konstanten erhalten wir
( )∑∞
=
λ− λ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ λ++
π=
K5,3,1nn
ynnn55
40 xsineyBA
n1
Nap4
)y,x(w n Gl. 6-43
Aus Gl. 6-43 folgt durch Differenziation die vollständige Lösung des Halbstreifens mit kon-stanter Flächenlast
146 6 Rechteckplatten
( )
( )[ ]
( )[ ]
[ ]
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∞
=
λ−
∞
=
λ−
∞
=
λ−
∞
=
λ−
∞
=
λ−
∞
=
λ−
λπ
−=
λ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
π=
λλ−−πν−
=
λ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ λ+ν−−+ν
π=
λ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ λ+ν−+ν+
π=
λ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ λ++
π=
K
K
K
K
K
K
5,3,1nn
yn
320
y
5,3,1nn
yn5
320
x
5,3,1nn
ynnn
23
20
xy
5,3,1nn
ynnnn5
23
20
yy
5,3,1nn
ynnnn5
23
20
xx
5,3,1nn
ynnn55
40
xsineBnap8
)y,x(q
xcoseB2n1n
ap4)y,x(q
xcose)y1(BAnap)1(4
)y,x(m
xsineyBA)1(B2n
nap4
)y,x(m
xsineyBA)1(B2n1n
ap4)y,x(m
xsineyBAn1
Nap4
)y,x(w
n
n
n
n
n
n
Gl. 6-44
Für die Lösung des Halbstreifens mit eingespanntem kurzem Rand wird die Tangentennei-gung der Biegefläche in y-Richtung benötigt. Es gilt:
[ ]∑∞
=
λ− λλ−−π
−=∂
∂
K5,3,1nn
ynnn4
30 xsine)y1(BAnNap4
y)y,x(w
n
und an der Stelle y = 0 ist
( )∑∞
=
λ−π
−=∂
=∂
K5,3,1nnnn4
30 xsinBAnNap4
y)0y,x(w Gl. 6-45
Die Randquerkräfte sind
[ ]
[ ]∑
∑∞
=
λ−
∞
=
λ−
λν++λ+ν−π
−=
λ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ λ+ν−−ν−+
π=
K
K
5,3,1nn
ynnnn
320
y
5,3,1nn
ynnnn5
320
x
xsineB)1()yBA)(1(nap4
)y,x(q
xcose)yBA)(1(B)2(2n1n
ap4)y,x(q
n
n
Gl. 6-46
und die Auflagerkräfte
[ ]
[ ]∑
∑∞
=
∞
=
λ−
λν++ν−π
−==
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ λ+ν−−ν−+
π==
K
K
5,3,1nnnn
320
y
5,3,1n
ynnnn5
320
x
xsinB)1(A)1(nap4
)0y,x(q
e)yBA)(1(B)2(2n1n
ap4)y,0x(q n
Gl. 6-47
6.2 Der Plattenhalbstreifen 147
Die Lösung des unendlich langen Plattenstreifens unter Gleichlast entsprechend Gl. 6-4 können wir auch aus Gl. 6-44 gewinnen, wenn wir dort den Grenzübergang ∞→y durchführen. Dann
erhalten wir
0qm
)21(2ap
axncos
n1ap4
q
)1(2ap
axnsin
n1ap4
m
)1(2ap
axnsin
n1ap4
m
)12(N24ap
axnsin
n1
Nap4
w
yxy
0
5,3,1n22
0x
20
5,3,1n33
20
yy
20
5,3,1n33
20
xx
234
0
5,3,1n55
40
==
ξ−=π
π=
ξ−ξν
=π
πν
=
ξ−ξ=π
π=
+ξ−ξξ=π
π=
∑
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
K
K
K
K
Gl. 6-48
Die Auflagerkräfte bei x = 0 sind, wenn wir beachten, dass 2
5,3,1n2 8
1n1
π=∑∞
= K
gilt:
2ap
n1ap4
)y,0x(q 0
5,3,1n22
0x =
π== ∑
∞
= K
Gl. 6-49
6.2.1 Der Plattenhalbstreifen mit gelenkiger Lagerung des kurzen Randes
Abb. 6-7 Gelenkig gelagerter Plattenstreifen
Die Lösung Gl. 6-44 ist am kurzen Rand an die Randbedingungen eines gelenkig gelagerten Randes anzupassen. Dort müssen
∑∞
=
λ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
π==
K5,3,1nnn55
40 xsinA
n1
Nap4
0)0,x(w
148 6 Rechteckplatten
[ ]∑∞
=
λ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ν−+ν+
π==
K5,3,1nnnn5
23
20
yy xsinA)1(B2n1n
ap40)0,x(m
erfüllt sein, was
5nn5n n1
21A
21B;
n1A −==−= Gl. 6-50
erfordert. Damit erhalten wir die vollständige Lösung
( )
( )
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∞
=
λ−
∞
=
λ−
∞
=
λ−
∞
=
λ−
∞
=
λ−
∞
=
λ−
λπ
=
λ−π
=
λλ+πν−
−=
λ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ λ
ν−−ν−ν
π=
λ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ λ
ν−+−
π=
λ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ λ+−
π=
K
K
K
K
K
K
5,3,1nn2
y
20
y
5,3,1nn
y22
0x
5,3,1nn
yn33
20
xy
5,3,1nn
yn33
20
yy
5,3,1nn
yn33
20
xx
5,3,1nn
yn55
40
xsinn
eap4)y,x(q
xcose1n1ap4
)y,x(q
xcosey1n1ap)1(2
)y,x(m
xsiney2
1n1ap4
)y,x(m
xsiney2
111n1ap4
)y,x(m
xsiney2111
n1
Nap4
)y,x(w
n
n
n
n
n
n
Gl. 6-51
Die Auflagerkräfte sind
∑
∑∞
=
∞
=
λ−
λπν−
==
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ λ
ν−−−
π==
K
K
5,3,1nn22
0y
5,3,1n
yn22
0x
xsinn1ap)3(2
)0y,x(q
ey2
111n1ap4
)y,0x(q n
Gl. 6-52
In den Ecken treten Drillmomente auf. Bei x = y = 0 ist
∑∞
=πν−
−=K5,3,1n
33
20
xy n1ap)1(2
m Gl. 6-53
Damit existieren in den Ecken die Einzelkräfte
∑∞
=πν−
−==K5,3,1n
33
20
xy n1ap)1(4
m2A Gl. 6-54
6.2 Der Plattenhalbstreifen 149
Abb. 6-8 Durchbiegung w (ν = 1/3)
Abb. 6-9 Biegemoment mxx (ν = 1/3)
150 6 Rechteckplatten
Abb. 6-10 Biegemoment myy (ν = 1/3)
Abb. 6-11 Drillmoment mxy (ν = 1/3)
6.2 Der Plattenhalbstreifen 151
Abb. 6-12 Querkraft qx (ν = 1/3)
Abb. 6-13 Querkraft qy (ν = 1/3)
152 6 Rechteckplatten
Tragen wir das Biegemoment
∑∞
=
λ− π⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ λ
ν−−ν−ν
π==
K5,3,1n
yn33
20
yy 2nsiney
21
n1ap4
)y,2/ax(m n
an der Stelle x = a/2 längs y auf, dann ergibt sich ein Verlauf entsprechend Abb. 6-14.
Abb. 6-14 Biegemoment myy (a/2,y)
Von Interesse ist noch die Verteilung der Auflagerkraft längs des Randes y = 0
∑∞
=
ππν−
=K5,3,1n
220
y axnsin
n1ap)3(2
)0,x(q Gl. 6-55
Der Maximalwert der Auflagerkraft tritt an der Stelle x = a/2 auf. Dort ist der Wert der Sum-me
91596,00204,00400,01111,01)1(n1
2nsin
n1
5,3,1n
21n
25,3,1n
2 =−+−=−=π ∑∑
∞
=
−∞
=
LKK
und wir erhalten
ap)3(1856,02
nsinn1ap)3(2
)0,2/a(q 05,3,1n
220
y ν−=π
πν−
= ∑∞
= K
Gl. 6-56
6.2 Der Plattenhalbstreifen 153
Abb. 6-15 Auflagerkraft yq am Rand y = 0
Die Auswertung der Gleichung für das Drillmoment bei x = a und y = 0 liefert:
∑∞
=πν−
−=K5,3,1n
33
20
xy n1ap)1(2
)0,a(m
Beachten wir, dass 0518,1008,0037,01n1
5,3,1n3 =+++=∑
∞
=
KK
ist, dann erhalten wir
2
0xy ap)1(06784,0)0y,ax(m ν−−=== Gl. 6-57
und damit existiert in der Ecke x = y = 0 die Einzelkraft1
20xy aν)p1(13569,0m2A −−== Gl. 6-58
die nach unten gerichtet ist. In der gegenüberliegenden Ecke bei x = a und y = 0 dreht sich das Vorzeichen für das Drillmoment um, auch in dieser Ecke tritt eine nach unten gerichtete Ein-zelkraft auf, die denselben Betrag nach Gl. 6-58 hat.
1 Für p0 = 2kN, ν = 0.2, a = 5m erhalten wir z.B.: kN43,5528,01357,0A 2 −=⋅⋅⋅−=
154 6 Rechteckplatten
Abb. 6-16 Auflagerkraft y)(0,qx
In Abb. 6-17 sind die Auflagerkräfte und die Eckenkräfte mit ihrer positiven Wirkungsrichtung eingetragen. Die Eckenkräfte A sind erforderlich, um die Ecken der Platte auf ihre Auflager-ebene hinunterzudrücken. Ohne diese Eckenkräfte würde sich die Platte von ihrer Unterlage abheben.
Abb. 6-17 Auflagerkräfte und Eckenkräfte bei der allseits gelenkig gelagerten Platte
Unabhängig von der Querdehnung gilt in hinreichender Entfernung vom Rand y = 0
6.2 Der Plattenhalbstreifen 155
ap21
n1ap4
qlim 05,3,1n
220
xy ∑∞
=∞→
=π
=K
Gl. 6-59
In der Ecke x = y = 0 treten die folgenden Momente auf:
∑∞
=πν−
−=
==
K5,3,1n33
20
xy
yyxx
n1ap)1(2
m
0mm
Wegen mxx = myy = 0 sind die Richtungen der Hauptbiegemomente unter einem Winkel von
4π=ϕ gegenüber der positiven x-Achse
geneigt.. Die Transformationsformeln liefern:
xyxyyy
xyxyxx
m2
sinmm
m2
sinmm
−=π
−=
=π
=
In den Ecken haben die Hauptbiegemomente offensichtlich die gleiche Größenordnung wie das dort vorhandene Drillmoment.
Abb. 6-18 Drillbewehrung in den Ecken, an denen zwei gelenkig gelagerte Ränder zusammenstoßen
Bei Stahlbetonrechteckplatten ist deshalb bei unter 90° zusammentreffenden gelenkig gela-gerten Rändern in der Ecke eine Drillbewehrung anzuordnen (s. h. DIN 1045 und Spezial-vorlesungen Massivbau). An der Oberseite ist die Bewehrung in Richtung der Winkelhalbie-renden und an der Unterseite senkrecht dazu anzuordnen. Diese Anordnung ergibt sich aus der Wirkungsrichtung der Hauptbiegemomente.
156 6 Rechteckplatten
6.2.2 Der Plattenhalbstreifen mit Einspannung des kurzen Randes
Abb. 6-19 Plattenhalbstreifen mit Einspannung des kurzen Randes
Die Konstanten An und Bn in Gl. 6-44 sind aus den Randbedingungen
[ ]∑
∑∞
==
∞
=
λ−π
−==∂
∂
λ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
π===
K
K
5,3,1nnnn4
30
0y
5,3,1nnn55
40
xsinBAnNap4
0y
)y,x(w
xsinAn1
Nap4
0)0y,x(w
zu ermitteln. Aus der ersten Beziehung ergibt sich unmittelbar: 5n n1A −= . Die zweite Bezie-
hung erfordert 5nn n1BA −== . Damit erhalten wir endgültig
( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )[ ]
( )
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∞
=
λ−
∞
=
λ−
∞
=
λ−
∞
=
λ−
∞
=
λ−
∞
=
λ−
λπ
=
λ−π
=
λλπν−
−=
λλν−−ν+−νπ
=
λλν−+ν+−π
=
λλ+−π
=
K
K
K
K
K
K
5,3,1nn2
y
20
y
5,3,1nn
y22
0x
5,3,1nn
yn33
20
xy
5,3,1nn
yn33
20
yy
5,3,1nn
yn33
20
xx
5,3,1nn
yn55
40
xsinn
eap8)y,x(q
xcose21n1ap4
)y,x(q
xcoseyn1ap)1(4
)y,x(m
xsiney1)1(n1ap4
)y,x(m
xsiney111n1ap4
)y,x(m
xsiney11n1
Nap4
)y,x(w
n
n
n
n
n
n
Gl. 6-60
6.2 Der Plattenhalbstreifen 157
Abb. 6-20 Durchbiegung w (ν = 1/3)
Die Randquerkräfte sind
[ ]
[ ]∑
∑∞
=
∞
=
λ−
λλν−+π
=
λν−−λν−+π
=
K
K
5,3,1nnn22
0y
n5,3,1n
yn22
0x
xsiny)1(2n1ap4
)y,x(q
xcose)3(y)1(1n1ap4
)y,x(q n
Gl. 6-61
und die Auflagerkräfte
[ ]
∑
∑∞
=
∞
=
λ−
λπ
==
ν−−λν−+π
==
K
K
5,3,1nn22
0y
5,3,1n
yn22
0x
xsinn1ap8
)0y,x(q
e)3(y)1(1n1ap4
)y,0x(q n
0)0,0(q2
ap)2(n1ap)2(4
)0,0(q
y
0
5,3,1n22
0x
=
ν−−=
πν−
−= ∑∞
= K
158 6 Rechteckplatten
6.2.3 Der Plattenhalbstreifen mit freiem kurzen Rand
Abb. 6-21 Plattenhalbstreifen mit freiem kurzen Rand
Die Konstanten An und Bn in Gl. 6-44 sind jetzt aus den Randbedingungen
0)0y,x(q
0)0y,x(m
y
yy
==
==
zu ermitteln. Mit
∑∞
=
λ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ν−−+ν
π===
K5,3,1nnnn5
22
20
yy xsinA)1(B2n
nap4
0)0y,x(m
und
[ ]∑∞
=
λν++ν−π
−===K5,3,1n
nnn30
y xsinB)1(A)1(nap4
0)0y,x(q
erhalten wir das lineare Gleichungssystem
0B)1(A)1(n
B2A)1(
nn
5nn
=ν++ν−
ν=−ν−
Die Auflösung liefert
5n5n n)3(B;
n)1)(3()1(A
ν+ν
−=ν−ν+ν+ν
=
und damit die vollständige Lösung
6.2 Der Plattenhalbstreifen 159
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∞
=
λ−
∞
=
λ−
∞
=
λ−
∞
=
λ−
∞
=
λ−
∞
=
λ−
λν+
νπ
=
λ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ν+−
π=
λ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ λ
ν−−
ν+ν
π=
λ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ λ
ν+ν−
−−νπ
=
λ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ λ−
ν+ν−
ν+π
=
λ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ λ−
ν−ν+
ν+ν
+π
=
K
K
K
K
K
K
5,3,1nn2
y
20
y
5,3,1nn
y22
0x
5,3,1nn
yn33
20
xy
5,3,1nn
yn33
20
yy
5,3,1nn
yn33
20
xx
5,3,1nn
yn55
40
xsinn
e3
ap8)y,x(q
xcose3
21n1ap4
)y,x(q
xcosey2
11n1
3ap8
)y,x(m
xsine)y311(1
n1ap4
)y,x(m
xsine)y1(311
n1ap4
)y,x(m
xsiney11
31
n1
Nap4
)y,x(w
n
n
n
n
n
n
Abb. 6-22 Durchbiegung w (ν = 1/3)
160 6 Rechteckplatten
Abb. 6-23 Biegemoment mxx (ν = 1/3)
Abb. 6-24 Drillmoment (ν = 0)
Die Durchbiegung am Rand y = 0 ist
6.2 Der Plattenhalbstreifen 161
∑∞
=
λν−ν+
ν−π
==K5,3,1n
n55
40 xsin
n1
)1)(3(3
Nap4
)0y,x(w .
Beachten wir, dass gilt (Beweis durch Fourier-Entwicklung)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛π
=π
=λ ∑∑∞
=
∞
= ax
ax2
ax
96axnsin
n1xsin
n1 345
5,3,1n5
5,3,1nn5
KK
und damit ( )a/x=ξ
( ) ( )ξ+ξ−ξν=ξ+ξ−ξν−ν+
ν−== 34
4034
40 2
N24ap
)(g2N24ap
)1)(3(3)0y,x(w
Der freie Rand des Halbstreifens verbiegt sich damit wie die weit entfernt liegenden Platten-
bereiche, nur sind die Durchbiegungen um den Faktor )1)(3(
3)(gν−ν+
ν−=ν größer.
ν ν = 0 ν = 1/5 ν = 1/3 ν = 1/2
g(ν) 1 0938,13235
= 2,156= 4286,1
710
=
Die maximale Durchbiegung tritt bei x = a/2 auf
Nap
3845)(g
N24ap
165)(g)0y,x(w
40
40 ν=ν==
In der Ecke des Halbstreifens tritt bei x = y = 0 das Drillmoment1
∑∞
=ν+ν
π=
K5,3,1n33
20
xy n1
3ap8
)0,0(m
auf. Damit entsteht wieder eine Eckenkraft
20
5,3,1n33
20
xy ap3
543,0n1
3ap16
m2Aν+
ν≈
ν+ν
π== ∑
∞
= K
die z.B. für 5/1=ν (Stahlbeton) den Wert 20ap034,0A = annimmt. Für 0=ν verschwindet
die Eckenkraft. Von Interesse ist noch das Biegemoment mxx am Rand y = 0. Wir erhalten
1 0518,1n1
5,3,1n3≈∑
∞
= K
162 6 Rechteckplatten
∑∞
=
λ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ν+ν−
ν+π
==K5,3,1n
n33
20
xx xsin311
n1ap4
)0y,x(m
Beachten wir: ( )ξ−ξπ
=λ∑∞
=
18
xsinn1 3
5,3,1nn3
K
dann kommt: )1(2ap
)(h)0y,x(m2
0xx ξ−ξν==
mit ν+ν−
ν+=ν311)(h
ν ν = 0 ν = 1/5 ν = 1/3 ν = 1/2
h(ν) 1 05,12021
= 06667,11516
= 0714,11415
=
Das maximale Moment tritt bei x = a/2 auf. Dort gilt: 8ap
)(h)0y,2/ax(m2
0xx ν===
6.3 Die allseits gelenkig gelagerte Rechteckplatte unter Gleichlast
Abb. 6-25 zeigt eine allseits gelenkig gelagerte Rechteckplatte unter konstanter Flächenlast p(x,y) = p0
Abb. 6-25 Die allseits gelenkig gelagerte Rechteckplatte unter konstanter Flächenlast p0
6.3 Die allseits gelenkig gelagerte Rechteckplatte unter Gleichlast 163
Als partikuläre Lösung verwenden wir die Lösung des unendlich langen Plattenstreifens mit p0 = konst. Die Belastung konnte in eine Fourier-Reihe entwickelt werden
)a/x(nsinn1p4
)y,x(p5,3,1n
0 =ξπξπ
= ∑∞
= K
Gl. 6-62
Für die Verschiebung erhielten wir
πξπ
= ∑∞
=
nsinn1
Nap4
)y,x(w5,3,1n
55
40
pK
Gl. 6-63
Diese Lösung erfüllt bereits die inhomogene Plattengleichung. Sie enthält also die Belastung und befriedigt an den Längsrändern ( a,0x = ) die Randbedingungen eines gelenkig gelager-
ten Randes. Um die geforderten Randbedingungen an den Rändern 2by ±= in Ordnung zu
bringen, benötigen wir noch Integrale der homogenen Plattengleichung, die die Randwerte an den Längsrändern, die ja bereits den endgültigen Randwerten entsprechen, nicht mehr verän-dern dürfen. Die Lösung der homogenen Plattengleichung ist ( )a/y=η
∑∞
=
πξ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛πηπη+πη
+πηπη+πη=
K5,3,1n n4n3
n2n1h nsin
ncoshnCnsinhCnsinhnCncoshC
)y,x(w Gl. 6-64
Die vollständige Lösung w = wp + wh schreiben wir dann mit neuen Konstanten
∑∞
=
πξ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛πηπη+πη
+πηπη+πη+
π=
K5,3,1n nn
nn55
40 nsin
ncoshnDnsinhCnsinhnBncoshA1
n1
Nap4
)y,x(w Gl. 6-65
Aufgrund der Symmetrie in System und Belastung muss w(x,-y) = w(x,y) erfüllt sein, was
0DC nn == Gl. 6-66
erfordert. Dann verbleibt von Gl. 6-65
( )∑∞
=
πξπηπη+πη+π
=K5,3,1n
nn55
40 nsinnsinhnBncoshA1
n1
Nap4
)y,x(w Gl. 6-67
An den Rändern 2by ±= müssen die Navierschen Randbedingungen
164 6 Rechteckplatten
0)2by,x(w0)2by,x(w
==Δ==
Gl. 6-68
erfüllt sein. Das erfordert ( a/b=β )
βπ
=β
π
+βπ
βπ
−=
2ncosh2
1B;
2ncosh2
22
ntanh2
nA nn Gl. 6-69
Einsetzen der obigen Konstanten in Gl. 6-65 liefert die Verschiebungen und nach entsprechen-der Differenziation die Schnittlasten
[ ]
[ ]
[ ]
( )
( )
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
πξπηπ
−=
πξ−πηπ
−=
πξ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡πηπη
+πη+
πν−
−=
πξ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
πηπην−−πη+ν−−ν
π=
πξ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
πηπην−+πην−ν−+
π=
πξπηπη+πη+π
=
K
K
K
K
K
K
5,3,1nn22
0y
5,3,1nn22
0x
5,3,1n n
nn33
20
xy
5,3,1n n
nn33
20
yy
5,3,1n n
nn33
20
xx
5,3,1nnn55
40
nsinnsinhBn1ap8
q
ncos1ncoshB2n1ap4
q
ncosncoshnBnsinhBA
n1ap)1(4
m
nsinnsinhnB)1(ncoshB2A)1(
n1ap4
m
nsinnsinhnB)1(ncoshB2A)1(1
n1ap4
m
nsinnsinhnBncoshA1n1
Nap4
w
Gl. 6-70
Von Interesse sind noch die Auflagerkräfte. Dazu beachten wir
xm
qq;y
mqq xy
yyxy
xx ∂
∂+=
∂
∂+= Gl. 6-71
Die Reihe für die Verschiebungsfunktion w hat eine sehr gute Konvergenz. Das trifft auch noch für die Ableitungen zu, wie das Ausrechnen beweist. Wir beschränken uns im Folgen-den auf eine quadratische Platte (a = b) und wollen zunächst die Durchbiegung in Plattenmitte (x = a/2, y = 0) berechnen
6.3 Die allseits gelenkig gelagerte Rechteckplatte unter Gleichlast 165
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π+
ππ
=π
+π
= ∑ ∑∑∞
=
∞
=
∞
= K KK 5,3,1n 5,3,1nn555
40
5,3,1nn55
40
max 2nsinA
n1
2nsin
n1
Nap4
2nsinA1
n1
Nap4
w
Nach Gl. 6-69 ist
2ncosh2
22
ntanh2
nAn π
+ππ
−=
Unter Beachtung von: 5
5,3,1n
21n
55,3,1n
5 15365)1(
n1
2nsin
n1
π=−=π ∑∑
∞
=
−∞
= KK
erhalten wir zunächst:
∑∞
=
−
π
+ππ
−π
−=K5,3,1n
5
21n
5
40
40
max
2ncosh2
22
ntanh2
n
n)1(
Nap4
Nap
3845w
Ausrechnen liefert (hier reichen drei Reihenglieder):
Nap
16,2461
Nap
0040624,0w4
04
0max ==
Das maximale Biegemoment mxx in Feldmitte einer quadratischen Platte erhält man für den Sonderfall 0=ν aus Gl. 6-70 zu
( )( ) 21n
5,3,1nn33
20
xx 1A1n1ap4
)0,2/a(m−
∞
=∑ −+
π=
K
und unter Berücksichtigung der Konstanten An
∑∞
=
−
−⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
π
+ππ
−π
=K5,3,1n
21n
33
20
xx )1(
2ncosh2
22
ntanh2
n1
n1ap4
)0,2/a(m
Die Auswertung dieser Reihe liefert (9 Reihenglieder)
2,27ap
ap0368,0)0,2/a(m2
020xx ==
166 6 Rechteckplatten
Abb. 6-26 Durchbiegung w (ν = 1/3)
Abb. 6-27 Höhenlinien der Durchbiegung w (ν = 1/3)
6.3 Die allseits gelenkig gelagerte Rechteckplatte unter Gleichlast 167
Abb. 6-28 Biegemoment mxx (ν = 1/3)
Abb. 6-29 Drillmoment mxy (ν = 1/3)
168 6 Rechteckplatten
Abb. 6-30 Drillmoment mxy (ν = 1/3)
Abb. 6-31 Querkraft qx (ν = 1/3)
6.4 Die auf vier Eckstützen gelagerte Rechteckplatte unter konstanter Flächenlast 169
6.4 Die auf vier Eckstützen gelagerte Rechteckplatte un-ter konstanter Flächenlast
Abb. 6-32 Rechteckplatte auf vier Einzelstützen unter konstanter Belastung
Abb. 6-32 zeigt eine Rechteckplatte unter konstanter Flächenlast p0, die an den vier Eckpunkten gelagert ist. Aufgrund der Symmetrie in System und Belastung muss das Verschiebungsfeld w(x,y) symmetrisch in x und y sein. Die folgenden Untersuchungen zeigen, dass der Ansatz
46
225
44
23
221 yCyxCxCyCxCC)y,x(w +++++= Gl. 6-72
für die Durchbiegung w(x,y) dieses Problem näherungsweise löst. Gl. 6-72 besitzt offensicht-lich die geforderte Symmetrie. Da nur 6 Konstanten vorhanden sind, ist eine exakte Lösung nicht zu erwarten. Der Verschiebungsansatz muss selbstverständlich die Plattendifferenzial-
gleichung Np
)y,x(w 0=ΔΔ erfüllen. Das erfordert für die Konstanten
Np
C24C8C24 0654 =++ Gl. 6-73
An den freien Ränder müssen außerdem die Randquerkräfte verschwinden, also
170 6 Rechteckplatten
( ) 0yw2
xw
xN)y,x(q
y,ax2
2
2
2
x =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
ν−+∂∂
∂∂
−=±=
Gl. 6-74
und
( ) 0xw2
yw
yN)y,x(q
x,by2
2
2
2
y =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
ν−+∂∂
∂∂
−=±=
Gl. 6-75
Gl. 6-74 und Gl. 6-75 erfordern
0C)2(C60C)2(C6
56
54
=ν−+=ν−+
Gl. 6-76
Aus Gl. 6-73 und Gl. 6-76 lassen sich bereits die Konstanten
460
50
4 CC;1
1N8
pC;
12
N48p
C =ν−
−=ν−ν−
= Gl. 6-77
berechnen. Einsetzen dieser Konstanten in Gl. 6-72 liefert zunächst für das Verschiebungsfeld
]yx6)yx)(2[()1(N48
pyCxCC)y,x(w 224402
32
21 −+ν−ν−
+++= Gl. 6-78
mit noch zu bestimmenden Konstanten C1-C3. Zu diesem Verschiebungsfeld gehören die Schnittlasten
[ ] [ ]
[ ] [ ]
y2
p)y,x(q;x
2p
)y,x(q
xy2
p)y,x(m
yx)2()1(N4
pC2xy)2(
)1(N4p
C2N)y,x(m
xy)2()1(N4
pC2yx)2(
)1(N4p
C2N)y,x(m
0y
0x
0xy
2202
2203yy
2203
2202xx
−=−=
=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−ν−
ν−+ν+−ν−
ν−+−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−ν−
ν−+ν+−ν−
ν−+−=
Gl. 6-79
Offensichtlich haben die noch verbleibenden Konstanten C1-C3 keinen Einfluss auf das Drill-moment und die Querkräfte. An den rechtwinkligen Plattenecken entstehen die Eckkräfte
abp)by,ax(m2A 0xy ==== Gl. 6-80
6.4 Die auf vier Eckstützen gelagerte Rechteckplatte unter konstanter Flächenlast 171
die mit der Gesamtbelastung abp4R 0= im Gleichgewicht stehen. An den freien Rändern
müssen neben den Randquerkräften auch die Biegemomente verschwinden. Offensichtlich lassen sich aber mit Gl. 6-79 durch keine Wahl der Konstanten diese Momente zum Ver-schwinden bringen. Dazu reicht der Verschiebungsansatz Gl. 6-72 nicht aus. Fordern wir je-doch etwas abgeschwächt, nur das Verschwinden der Biegemomente im integralen Mittel, also
∫∫==
====a
0xyy
b
0yxx 0dx)by,x(m;0dy)y,ax(m Gl. 6-81
dann folgen aus Gl. 6-81 zwei weitere Bestimmungsgleichungen
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 0a1b6pCCN24
0b1a6pCCN2422
023
22032
=ν−−+ν+
=ν−−+ν+ Gl. 6-82
An den Ecken ( ax ±= , by ±= ) müssen die Verschiebungen verschwinden. Das erfordert
zusätzlich
[ ] 0ba6)ba)(2()1(N48
pbCaCC)by,ax(w 224402
32
21 =−+ν−ν−
+++=== Gl. 6-83
Aus Gl. 6-82 und Gl. 6-83 erhalten wir die verbleibenden Konstanten ( α==β=α 1ab;ba )
[ ]
[ ]
[ ])51(6)1()1(N24
bpC
)51(6)1()1(N24
apC
)71(2))(10()1(N48
apC
22
20
3
22
20
2
22222
40
1
ν+α+−−ννν−
=
ν+β+−−ννν−
=
ν−+β+αν−ν+βν−
=
Gl. 6-84
Unter Beachtung der Abkürzungen α==β=α=η=ξ 1ab;ba;by;ax erhalten wir
abschließend für die Verschiebungen
( )[ ]
[ ] ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
ηξ−ηβ+ξαν−ν++
+η+ξ+ν+ηβ+ξα−ν−ν+
+ν−+ν−ν+β+α
ν−=ηξ
224242
2222222
222
2
220
6))(2()1())(15())(6(2
)71(210)(
)1(N48bap
),(w Gl. 6-85
und die Schnittlasten
172 6 Rechteckplatten
[ ]
[ ]
η−=ηξξ−=ηξ
ξη=ηξ
−ξν−α+η−=ηξ
−ην−β+ξ−=ηξ
2bp
),(q;2ap
),(q
2abp
),(m
)13)(1()1(612
bp),(m
)13)(1()1(612
ap),(m
0y
0x
0xy
2222
0yy
2222
0xx
Gl. 6-86
Die maximale Durchbiegung tritt in Feldmitte bei 0=η=ξ auf
( )[ ])71(210)()1(N48
bap)0,0(ww 222
2
220
max ν−+ν−ν+β+αν−
==η=ξ= Gl. 6-87
Dort werden auch die Biegemomente extremal
[ ]
[ ])1(612
bp)0,0(m
)1(612
ap)0,0(m
22
0yy
22
0xx
ν−α−==η=ξ
ν−β−==η=ξ Gl. 6-88
Wir haben darauf hingewiesen, dass aufgrund der Schwäche des Verschiebungsansatzes an den Rändern die Biegemomente nur im integralen Mittel verschwinden. Hier gilt:
)13)(1(12
ap)1,(m
)13)(1(12
bp),1(m
22
0yy
22
0xx
−ξν−=±=ηξ
−ην−=η±=ξ Gl. 6-89
6.4 Die auf vier Eckstützen gelagerte Rechteckplatte unter konstanter Flächenlast 173
Abb. 6-33 Quadratische Platte, bezogene Durchbiegung (ν = 0)
Abb. 6-34 Quadratische Platte, bezogene Durchbiegung w~ (ν = 0), Höhenliniendarstellung
174 6 Rechteckplatten
Abb. 6-35 Quadratische Platte, normierte Biegemomente mxx / (p0 a2) für ν = 0
Abb. 6-36 Quadratische Platte, normierte Biegemomente myy / (p0 a2) für ν = 0
6.4 Die auf vier Eckstützen gelagerte Rechteckplatte unter konstanter Flächenlast 175
Abb. 6-37 Quadratische Platte, normierte Drillmomente mxy / (p0 a2) für ν = 0
7 Die schubelastische Platte 7.1 Allgemeines
Die klassische Plattentheorie, die nach ihrem Vollender als Kirchhoffsche1 Plattentheorie be-zeichnet wird, führt bekanntlich auf eine partielle Differenzialgleichung 4. Ordnung für die Plattendurchbiegung w. In praktischen Anwendungen wird diese Theorie mit viel Erfolg ein-gesetzt. Sie hat physikalisch jedoch den Nachteil, dass die Erfüllung nur zweier Randbedin-gungen je Randpunkt möglich ist. Es liegt aber in der Natur der Sache, dass genau drei Rand-wertaussagen getroffen werden müssen. Nach einem Vorschlag von Thomson und Tait wird deshalb in der klassischen Plattentheorie das Drillmoment und die Querkraft am Rand zu ei-ner Schnittgröße, der Randquerkraft, zusammengefasst. Der Grund für die zu geringe Ord-nung der das Problem der Plattenbiegung beschreibenden Differenzialgleichung der Kirch-hoffschen Plattentheorie liegt in der Vernachlässigung der Querschubverzerrungen. Eine ver-feinerte Theorie, die von den Bernoullischen Hypothesen abgeht, wurde erstmalig von Reiss-ner2 veröffentlicht. Im Folgenden wird auf eine Plattenkinematik zurückgegriffen, die auf Mindlin3 zurückgeht. Diese Theorie führt auf ein System partieller Differenzialgleichungen, das insgesamt ein In-tegrationsproblem 6. Ordnung darstellt. Deren Lösungsvorrat erlaubt nun auf natürliche Wei-se die Erfüllung dreier Randbedingungen. Eine Zusammenstellung verfeinerter Plattentheo-rien findet sich bei Panc4.
7.2 Die Grundgleichungen einer schubelastischen Platte
Ähnlich wie in der klassischen Plattentheorie betrachten wir ein dünnes ebenes Flächentrag-werk konstanter Dicke h. Neben einer kartesischen Einheitsvektorbasis 321 ,, eee (Koordinaten
3,21 xx,x ) wird auf dem Gebietsrand G∂ eine orthogonale Einheitsvektorbasis n(s) und t(s)
vorgegeben. Die natürliche Koordinate s ist die Bogenlänge der Randkurve. Die Plattenmittel-
1 Gustav Robert Kirchhoff, deutsch. Physiker, 1824-1887 2 Reissner, E.: On the Theory of Bending of Elastic Plates. J. Math. Phys. 23 1944 3 Mindlin, R.D.: Influence of Rotatory Inertia and Shear on Flexural Motions of Isotropic, Elastic Plates. Journal of Applied Mechanics, 1951 4 Panc, V.: Theories of elastic Plates. Noordhoff, Int. Publ., Leyden 1975
178 7 Die schubelastische Platte
fläche fällt mit der 1-2-Ebene zusammen. G ist die offene Punktmenge im R2. Die Vereini-
gung von G und G∂ bezeichnen wir mit G .
G s1e
G
2e)s(n
)s(t
Abb. 7-1 Koordinaten in der Plattenebene
Mit der äußeren Normalen n(s) gilt dann die Beziehung
3)s()s( etn ×= Gl. 7-1
7.3 Plattenkinematik
P
P'
.h/2
h/2 e3
e3
x3
n up
w
wp∇⋅n
u
ωt ˆ⋅±
Abb. 7-2 Kinematik einer schubelastischen Platte
Es wird eine Kinematik entsprechend Abb. 7-2 unterstellt. Die in dieser Abbildung zum Aus-druck kommende Hypothese nimmt an, dass die Normalen zur Plattenmittelfläche gerade bleiben und auch keine Dehnungen erleiden. Allerdings stellt sich in Erweiterung zur klassi-schen Theorie ein Schubwinkel ein, der die Berücksichtigung der Querschubverzerrungen gestattet.
7.3 Plattenkinematik 179
In Anlehnung an Mindlin machen wir für die Verschiebung eines Punktes P auf der Platten-normalen mit dem Abstand x3 von der Mittelfläche den folgenden Ansatz
( ) 3321 xx,xˆ ewuu p ×++= ω Gl. 7-2
In Gl. 7-2 beschreibt pu den planaren Anteil der Mittelflächenverschiebung. Die Durchbiegung
der Plattenmittelfläche ( ) 321 x,xw ew = ist unabhängig von der Dickenrichtung. Mit
( ) ( ) 22121211 x,xx,xˆ ee ω+ω=ω Gl. 7-3
wird die Drehung der ursprünglich Normalen gegenüber dem Raum festgelegt. Bei den folgenden Herleitungen benutzen wir Bezeichnungen, die an dieser Stelle kurz erläu-tert werden. Vektoren werden durch kleine fette lateinische oder griechische Buchstaben ge-schrieben (z.B. u und ω ). Fette Großbuchstaben bezeichnen Tensoren zweiter Stufe. Das Zeichen ⊗ steht für das dyadische oder auch tensorielle Produkt zweier Vektoren. Der De-formator ( )∇∇ ⊗+⊗= __21_def ist ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe, der für die
Beschreibung des Verzerrungszustandes bei kleinen Verformungen anfällt. Der Platzhalter _ steht dabei für einen planaren oder räumlichen Vektor. In kartesischen Koordinaten lautet der räumliche bzw. planare Nabla-Operator
33
22
11 xxx ∂
∂+
∂∂
+∂∂
= eee∇ 2
21
1p xx ∂∂
+∂∂
= ee∇
Der linearisierte Verzerrungstensor entspricht dem symmetrischen Anteil des Gradienten von u
( ) ( )33 ˆdefxsym eEEuE 3p0 ×=++=⊗= ωωω∇ Gl. 7-4
Die Verzerrung der Plattenmittelfläche
pdefuEp0 = Gl. 7-5
spielt bei kombinierten Platten- u. Scheibenproblemen eine Rolle. Das Verzerrungsmaß
( ) ( )[ ] [ ]ϕϕω∇ω∇ ⊗+⊗=+⊗+⊗+= 33p33p 21ww
21 eeeeE3 Gl. 7-6
mit dem Winkelvektor
180 7 Die schubelastische Platte
ω∇ϕ += wp Gl. 7-7
der Relativverdrehung der Normalen gegenüber der Plattenmittelfläche beschreibt die Glei-tung des Plattenelementes. Der Übergang zur klassischen Plattentheorie wird durch den kine-matischen Zwang
wp∇ωϕ −=→= 0 Gl. 7-8
vollzogen, der als Bernoullische Hypothese bekannt ist. Dem Deformator von ω entspricht in der klassischen Plattentheorie der linearisierte Krümmungstensor. Im Folgenden werden nur Plattenprobleme behandelt. Der planare Verzerrungsanteil p0E wird deshalb nicht weiter be-
rücksichtigt. Von Gl. 7-4 verbleibt
3EE += ωdefx3 Gl. 7-9
7.4 Die statischen Grundgleichungen
Der Spannungszustand der Platte wird durch einen symmetrischen Tensor zweiter Stufe
TSS = beschrieben, der Spannungstensor genannt wird. Die Spannungen werden am Platten-rand r(s) zu resultieren Schnittlasten zusammengefasst. Mit dem ebenen Spannungstensor Sp definieren wir den Schnittmomententensor
∫−
=2h
2h
33dxxpSM Gl. 7-10
und damit den auf die Schnittlängeneinheit bezogenen Momentenvektor
3eMnm ×⋅−=n Gl. 7-11
Mit der Schnittquerkraft bezogen auf die Längeneinheit
( ) 3dx3
2h
2h
33n eSeeInq ⋅⋅⊗−⋅= ∫−
Gl. 7-12
und dem auf die Schnittlängeneinheit bezogenen Querkraftvektor
7.4 Die statischen Grundgleichungen 181
( ) QneeSeeIneq 3
2h
2h
333n ⋅=⊗⋅⋅⊗−⋅== ∫−
33n dxq~ Gl. 7-13
lässt sich die Existenz eines Querkrafttensors
( ) 3dx3
2h
2h
333 eeSeeIQ ⊗⋅⋅⊗−= ∫−
Gl. 7-14
nachweisen. In den obigen Gleichungen bezeichnet j
3
1jj eeI ∑
=
⊗= den Einheitstensor. Aus Gl.
7-13 folgt
33 eQqqneQneq ⋅=⇒⋅=⋅⋅==⋅ n3n q~ Gl. 7-15
An einem beliebig herausgeschnittenen Plattenteilgebiet G1 können Rand- und Oberflächen-lasten wirken.
dss
.
e1
e2
e3
)s(r
1G∂ 3eMn ×⋅−
Qn
G1
p m
nn
nq
Abb. 7-3 Schnitt- u. Oberflächenlasten einer Platte
Mit den flächenhaft verteilten Querlasten
33p ep = Gl. 7-16
und den Schüttmomenten
( )2211 mmˆ eemmem 3 +=×= Gl. 7-17
fordert das Kraftgleichgewicht in 3-Richtung
182 7 Die schubelastische Platte
0dsdGp11 GG
3 =⋅+ ∫∫∂
qn Gl. 7-18
Die Anwendung des Gaußschen Integralsatzes für die Ebene
∫∫∂
=11 GG
p ds__dG__ n∇ Gl. 7-19
liefert
( ) 0p0dGp 3pG
p3
1
=+⋅⇔=⋅+∫ qq ∇∇ Gl. 7-20
Das Momentengleichgewicht bezogen auf einen beliebigen Punkt in der 1-2-Ebene lautet
( ) 0mqremprp =+×+×−× ∫∫∫ ∫∂∂
dsds~sdGdG111 1 G
nnG
pG G
3 Gl. 7-21
Die Randintegrale werden mit dem Gaußschen Integralsatz umgeformt. Im Einzelnen erhalten wir
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )[ ] dGdG
dGdG
dGds
dsdsds~
11
11
11
111
G3p
G3p
G3p
G3p
G3p3
G
33GGG
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫∫
×⋅⊗+⋅×=
⋅×+⋅×=
⋅×=⋅×=
⋅⋅×=⋅×=×
∂
∂∂∂
eqreqr
eqreqr
eqreqnr
eeQnrQnrqr
pp
pp
pp
ppnp
∇∇
∇∇
∇
sv
sv
t
Führen wir in die obige Beziehung mit p∇s
⊗= pp rI den planaren Einheitstensor ein, dann
folgt
( ) dGdGds~111 G
3G
3pG
∫∫∫ ×+⋅×=×∂
eqeqrqr pnp ∇v
Weiterhin gilt
∫∫∫∂∂∂
×⋅−=×⋅−=111 G
3pG
3G
n dsdsds eMeMnm ∇
Eine Zusammenfassung der obigen Gleichungen liefert
( ) ( ) 0emqMemqMqer =×+−⋅−=×+−⋅−+⋅× ∫∫∫ dGdGdG)p(111 G
3pG
3pG
3p3p ∇∇∇v
Das lokale Momentengleichgewicht wird offensichtlich dann erfüllt werden, wenn
7.5 Das Stoffgesetz 183
0mqM =+−⋅p∇ Gl. 7-22
gilt. Einsetzen von Gl. 7-22 in Gl. 7-20 liefert
( ) 0mM =⋅++⋅⋅ p3pp p ∇∇∇ Gl. 7-23
7.5 Das Stoffgesetz
Die mechanischen Variablen, also die Verzerrungen E und die Spannungen S, werden über das folgende querisotrope Stoffgesetz miteinander verbunden
[ ]ppppp IEeeeeEIIEES ⋅⋅⊗+⊗⋅⋅+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
ν−ν
+ν+
= 33333G2tr11
E Gl. 7-24
Der Index p an den Vektoren und Tensoren zeigt an, dass nur die planaren Anteile der 1-2-Ebene zu nehmen sind. Die erste Invariante des planaren Verzerrungstenors ist mit
pp EIE ⋅⋅=tr (Spur des Verzerrungstensors) bezeichnet. j
2
1jj eeIp ∑
=
⊗= heißt planarer Ein-
heitstensor. Das Doppelskalarprodukt zweier Tensoren A und B ist dabei wie folgt definiert:
llll kkkkjiij baba =⊗⋅⋅⊗=⋅⋅ eeeeBA .Über doppelt vorkommende Indices wird summiert. Das
Werkstoffgesetz Gl. 7-24 folgt aus der Spezialisierung des orthotropen Stoffes auf einen queri-sotropen Körper (Isotropie quer zur 3-Richtung). Mit E (Elastizitätsmodul), ν (Querkontrakti-onszahl) und G3 verbleiben noch drei Stoffkonstanten. Der erste Term auf der rechten Seite von Gl. 7-24 entspricht dem Stoffgesetz der schubstarren Platte bei Unterstellung eines ebenen Spannungszustandes. Der zweite Term zeigt die Erweiterung gegenüber der klassischen Plat-tentheorie, bei der mit ∞→3G kein Stoffgesetz für die Querkräfte zur Verfügung steht. Be-
achten wir in Gl. 7-24 das Verzerrungsmaß Gl. 7-9 und setzen in die Schnittlastendefinition Gl.
7-10 ein, dann erhalten wir das Stoffgesetz für die Biegemomente
( ) ( )[ ]pIΩΩM tr1N ν+ν−= Gl. 7-25
wobei zur Abkürzung
ωΩωΩ ⋅== ptr;def ∇ Gl. 7-26
gesetzt wurde. In Gl. 7-25 wird
184 7 Die schubelastische Platte
( ) ( )2
33
112Eh
16GhN
ν−=
ν−= Gl. 7-27
Plattensteifigkeit genannt. Für die Querkräfte gilt:
( )( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ =
ν+=+=
GGs;
12EGwsGh 3
p ωq ∇ Gl. 7-28
Die Kinematik in Verbindung mit dem Stoffgesetz liefert Schubspannungen, die konstant über die Plattendicke verteilt sind. Dieser Sachverhalt steht allerdings im Widerspruch zu den lokalen Gleichgewichtsbedingungen und den Oberflächenrandbedingungen. In Gl. 7-28 wurde mit sGG3 = (s > 0) die Stoffkonstante G3 auf den Schubmodul G bezogen.
Energieüberlegungen zeigen, dass bei Ansatz quadratisch verteilter Schubspannungen G65G3 = eine gute Approximation darstellt. Bei geschichteten Platten mit dicken füllwei-
chen Schichten (Sandwichplatten) ist in der Regel GG3 << .
Hinweis: Der Übergang zur schubstarren Platte wird mit ( )wp∇ωϕ −== 0 vollzogen. Da-
mit entfällt das Stoffgesetz für die Querkräfte. Diese werden zu Reaktionskräften, die dann aus den Gleichgewichtsbedingungen Gl. 7-22 berechnet werden müssen.
7.6 Die Differenzialgleichungen
Zur besseren Übersicht sollen an dieser Stelle die wichtigsten Grundgleichungen nochmals aufgelistet werden. Aus der Plattenkinematik ergab sich der Verzerrungstensor
( )
ω∇ϕ
ϕϕω
+=
⊗+⊗+=
w21defx
p
333 eeE Gl. 7-29
Kraft- und Momentengleichgewicht am Plattenelement fordern
( ) 0p0p
p3ppp
3p=⋅++⋅⋅⇔
⎭⎬⎫
=+−⋅
=+⋅mM
0mqM
q∇∇∇
∇
∇ Gl. 7-30
7.6 Die Differenzialgleichungen 185
Die Stoffgleichungen der schubelastischen Platte
( ) ( )[ ]pIΩΩM tr1N ν+ν−= Gl. 7-31
und
( )ω∇ϕ +== wsGhsGh pq Gl. 7-32
ergaben sich aus der Annahme eines querisotropen Stoffverhaltens. Zur Reduktion des Sys-tems Gl. 7-29-Gl. 7-31 gehen wir den Weg der Elimination der Spannungen. Einsetzen des Stoffgesetzes Gl. 7-31 in die Momentengleichgewichtsbedingung liefert
( ) mq +⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅
ν−ν+
+ν−
= ω∇∇ωΔ ppp 11N
21
Gl. 7-33
Der Nachweis von Gl. 7-33 gelingt mit ( OperatorLaplaceplanarer:ppp −⋅= ∇∇Δ )
( )[ ]ω∇∇ωΔω∇ ⋅+=⋅ pppp 21def ; ( ) ( )ω∇∇ω∇ ⋅=⋅ pppp Ideftr
Mit der Kraftgleichgewichtsbedingung Gl. 7-30 erhalten wir aus Gl. 7-33 eine Gleichung für ω allein
( ) m⋅−−=⋅ p3pp pN ∇ω∇Δ Gl. 7-34
Aus Gl. 7-34 lässt sich der Drehwinkel ω eliminieren. Setzen wir das Stoffgesetz Gl. 7-32 in die Kraftgleichgewichtsbedingung Gl. 7-30 ein, so folgt
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−=⋅ wsGhp
p3
p Δω∇ Gl. 7-35
Die Anwendung des Δp-Operators auf Gl. 7-32 liefert
( )wsGh
1pppp Δ∇ΔωΔ −= q Gl. 7-36
und unter Berücksichtigung von Gl. 7-35 und Gl. 7-36 in Gl. 7-34
186 7 Die schubelastische Platte
( )
m
mq
⋅+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ν−−=
+ν−ν+
−−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
p3p
22p
3p
2
ppp
2
ps6
h1
11wN
ps12
h11wN
s12h1
∇ΔΔ
∇Δ∇Δ Gl. 7-37
Die Gleichungen Gl. 7-37 stellen insgesamt ein Integrationsproblem 6. Ordnung dar. Damit wird es möglich, am Rand genau drei Randbedingungen zu erfüllen. Für die von Flächenlasten freie Platte gehen die Grundgleichungen Gl. 7-37 über in
( )
0wN
0h
s12cwNc11
2p
22
ppp2
=
>=Δ−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Δ
∇Δ q Gl. 7-38
Wie wir im Folgenden zeigen, kann Gl. 7-38 auf das Aufsuchen zweier skalarwertiger Funk-tionen zurückgeführt werden. Nach einem Satz von Helmholtz lässt sich nämlich ein Vektor-feld stets eindeutig als Summe eines Gradienten eines Skalarfeldes sowie eines Rotors eines Vektorfeldes mit beliebiger Divergenz darstellen. Für die Querkraftbeziehung in Gl. 7-38 ma-chen wir nach Helmholtz folgenden Ansatz
( ) ( )Nˆewˆ p3ppp qqq =Θ×+Φ+−= ∇∇Δ∇ Gl. 7-39
Φ und Θ sind dabei skalare Ortsfunktionen der planaren Koordinaten x1 und x2. Die Forde-rung nach Erfüllung des Kraftgleichgewichtes
0wˆ p2pp =Φ+−=⋅ ΔΔ∇ q Gl. 7-40
zeigt, dass die Funktion Φ der Laplace-Gleichung
0p =ΦΔ Gl. 7-41
genügen muss. Wird der Ansatz Gl. 7-39 in die Querkraftbeziehung nach Gl. 7-38 eingeführt, dann folgt
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ−Θ×−=Φ p2p3p c
1e Δ∇∇ Gl. 7-42
Setzen wir
7.6 Die Differenzialgleichungen 187
Θ−Θ=Γ p2c1Δ Gl. 7-43
dann geht Gl. 7-42 über in
Γ×−=Φ p3p ∇∇ e Gl. 7-44
Die Komponenten der Gl. 7-44 hinsichtlich einer kartesischen Basis entsprechen den Cauchy-Riemanschen Differenzialgleichungen. Die Funktionen Φ und Γ sind konjugiert harmonisch. Die Funktion Γ erfüllt die Laplace-Gleichung
0c1 2
p2pp =Θ−ΘΔ=Γ ΔΔ Gl. 7-45
Mit der Abkürzung
Θ=ψ p2c1Δ Gl. 7-46
wird aus Gl. 7-45
0c2p =ψ−ψΔ Gl. 7-47
und die Gl. 7-44 kann umgeformt werden in
ψ×=Θ×+Φ p3p3p e ∇∇∇ e Gl. 7-48
Berücksichtigen wir in Gl. 7-39 die Beziehung Gl. 7-48, dann folgt für die Querkraft der schubelastischen Platte
[ ]3ppp )w(N eq ×ψ+−= ∇Δ∇ Gl. 7-49
Aus dem Stoffgesetz für die Querkräfte Gl. 7-32 lässt sich mit Gl. 7-49 der Drehwinkel ω entnehmen
( ) ( ) 3p
2
p
2
p s16hw
s16hw e×ψ
ν−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
ν−+−= ∇Δ∇ω Gl. 7-50
Mit den bereitgestellten Beziehungen lassen sich die Grundgleichungen einer flächenlastfrei-en schubelastischen Platte angeben, in der als Unbekannte nur die Durchbiegung w und die Momentenfunktion ψ auftreten.
188 7 Die schubelastische Platte
( )( ) ( )[ ]
( )[ ]3ppp
3p2
p2
p
2p
2p
wN
deftrdef1N
ww
0c
0w
eq
IM
e
p
×ψ+−=
ν+ν−=
×ψλ−λ+−=
=ψ−ψ
=
∇Δ∇
ωω
∇Δ∇ω
Δ
Δ
Gl. 7-51
wobei
( )s16h2
2
ν−=λ Gl. 7-52
gesetzt wurde. Eine weitere Strukturierung des Gleichungssystems Gl. 7-51 ergibt sich durch Einführung der Funktion
ww p2Δλ+=ϕ Gl. 7-53
Damit folgt unter Berücksichtigung von Gl. 7-47
wpp ΔΔ =ϕ Gl. 7-54
und wegen 0w2p =Δ erhalten wir
02p =ϕΔ Gl. 7-55
Beachten wir in Gl. 7-53 die Beziehung Gl. 7-54 dann erhalten wir nach Umstellung
ww p2Δλ−ϕ= Gl. 7-56
Damit können wir die Grundgleichungen der schubelastischen Platte in folgendes Schema bringen
( )[ ]
0
Idivdef1N
;
;ww
p
3p2
p
p2
=⋅⋅=
ν+ν−=
×ψλ−ϕ−=
λ−ϕ=
qMq
M
e
∇∇
ωω
∇∇ω
Δ
Gl. 7-57
Die Funktionen ϕ und ψ genügen dabei den folgenden Nebenbedingungen
7.7 Die Grundgleichungen der flächenlastfreien Platte in kartesischen Koordinaten 189
0c
02
2p
=ψ−ψ
=ϕ
Δ
Δ Gl. 7-58
Hinweis: Der Grenzübergang s → ∞ in Gl. 7-57 liefert die Grundgleichungen der klassischen Plattentheorie.
7.7 Die Grundgleichungen der flächenlastfreien Platte in kartesi-schen Koordinaten
( ) ( )212122
2
21
2
321 x,x;x,xww;xx
; ψ=ψ=∂∂
+∂∂
==× Δeee
0cxx
0xw
xxw2
xw
222
2
21
2
42
4
22
21
4
41
4
=ψ−∂ψ∂
+∂ψ∂
=∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
Gl. 7-59
[ ]
[ ]1
22
22
2
22
11
xww
x
xww
x
∂ψ∂
λ+λ+∂∂
−=ω
∂ψ∂
λ−λ+∂∂
−=ω
Δ
Δ Gl. 7-60
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂ω∂
+∂ω∂ν−
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂ω∂
ν+∂ω∂
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂ω∂
ν+∂ω∂
=
1
2
2
112
1
1
2
222
2
2
1
111
xxN
21m
xxNm
xxNm
Gl. 7-61
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂ψ∂
−∂ψ∂
−λ+∂∂∂
ν−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂ψ∂
−∂∂
ν+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∂∂
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂ψ∂
+∂∂
ν+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∂∂
−=
22
2
21
222
21
2
12
21
22
21
22
22
2
22
21
22
22
22
21
2
11
xxs12hww
xx1Nm
xxs6h
xww
s6hw
xNm
xxs6h
xww
s6hw
xNm
Δ
Δ
Δ
Gl. 7-62
190 7 Die schubelastische Platte
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂ψ∂
−∂∂
−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂ψ∂
+∂∂
−=
122
211
xw
xNq
xw
xNq
Δ
Δ Gl. 7-63
7.8 Die Grundgleichungen der flächenlastfreien Platte in Polar-koordinaten
),r();,r(wwr1
rr
rr1
r1
rr1
r; 2
2
22
2
22
2
3r
ϕψ=ψϕ=ϕ∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
=ϕ∂∂
+∂∂
+∂∂
=Δ=× ϕ eee
0cr1
rr1
r
0wr1w
r4
rw
r2
rw
r2
rw
r1
rw
r1
rw
r2
rw
22
2
22
2
4
4
42
2
42
3
322
4
232
2
23
3
4
4
=ψ−ϕ∂ψ∂
+∂ψ∂
+∂ψ∂
=ϕ∂
∂+
ϕ∂∂
+ϕ∂∂
∂−
ϕ∂∂∂
+∂∂
+∂∂
−∂∂
+∂∂
Gl. 7-64
r)ww(
r1
r1)ww(
r
22
22r
∂ψ∂
λ+λ+ϕ∂∂
−=ω
ϕ∂ψ∂
λ−λ+∂∂
−=ω
ϕ Δ
Δ Gl. 7-65
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂ω∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ω−
ϕ∂ω∂ν−
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂ω∂
ν+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ω+
ϕ∂ω∂
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ϕ∂ω∂
+ων
+∂ω∂
=
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕ
rr1N
21m
rr1Nm
rrNm
rr
rr
rr
rr
Gl. 7-66
( )
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂ψ∂
−ϕ∂∂
−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
ϕ∂ψ∂
+∂∂
−=
ϕ rw
r1Nq
r1w
rNqr
Δ
Δ Gl. 7-67
7.9 Ein Vergleich mit der klassischen Lösung 191
7.9 Ein Vergleich mit der klassischen Lösung Wir entnehmen dem Schema Gl. 7-57, dass die drei letzten Gleichungen gegenüber dem klas-sischen Fall keine Änderungen erfahren haben. Lösungen für qM,,ω der Differenzialglei-
chungen der klassischen Theorie sind mit
kpw∇ω −= Gl. 7-68
auch Lösung der Differenzialgleichungen der schubelastischen Platte1. Das gilt allerdings nicht für die Randwerte. Der kinematische Zwang Gl. 7-68 hat zur Folge, dass mit 0=ωrot
wegen Gl. 7-50 0=ψ gefolgert werden muss. Von Gl. 7-51 verbleibt dann
www p2
k Δλ+= Gl. 7-69
bzw. unter Beachtung ww pkp ΔΔ = und mit Gl. 7-69
kp2
k www Δλ−= Gl. 7-70
Damit hat sich gegenüber der klassischen Lösung nur die Durchbiegung geändert, die aller-dings mit wk festliegt. Die Durchbiegungen stimmen überall dort überein, wo kpwΔ ver-
schwindet. Im schubelastischen Fall existiert übrigens ein nicht ausgebogener Zustand
0w = Gl. 7-71
der mit
ψ×λ= p32 ∇ω e Gl. 7-72
die Querkräfte
ψ×= p3N ∇eq Gl. 7-73
und die Momente
( ) 3pp
2
s6hN eM ×ψ⊗−= ∇∇ Gl. 7-74
1 Der Index k steht für klassische Lösung
192 7 Die schubelastische Platte
liefert. Zum Vergleich mit der klassischen Lösung schreiben wir die Funktionen ϕ und ψ in folgender Weise
ψ=ψϕ+ϕ=ϕˆˆk Gl. 7-75
Der Index k bezeichnet wieder die klassische Lösung. Ohne die Anteile ϕ und ψ ist die all-
gemeine Lösung des Randwertproblems der schubelastischen Platte nicht möglich. Unter Be-achtung der Beziehungen Gl. 7-75 liefert das Schema Gl. 7-57
www
ˆˆw
Schubk
w
kp2
w
kp2
k
Schub
++=
ϕλ−ϕ+ϕλ−ϕ=43421321ΔΔ
Gl. 7-76
ψϕ ++=
ψ×λ+ϕ−ϕ−=
ˆˆk
p32
pkp ˆˆ
ωωω
∇∇∇ω e Gl. 7-77
( )[ ]( )[ ]( )
ψϕ
ψ
ϕϕ
++=
ν−+
ν+ν−+
ν+ν−=
ˆˆ
ˆ
pˆˆ
pkk
def1NIdivdef1N
Idivdef1N
MMM
M
k
ω
ωω
ωω
Gl. 7-78
mit
( )
( )ψ⊗×λ=
ϕ⊗−=
⊗+⊗=
ψ
ϕ
ˆdef
ˆdef21def
pp32
ˆ
ppˆ
pkkpk
∇∇ω
∇∇ω
∇ωω∇ω
e
Gl. 7-79
( )( )
ψϕ ++=
ψ×λ+ϕλ−=
+=⋅=
ˆˆk
p32
pp2
Schubp
pp
ˆˆwsGh
wsGh
qqq
e
Mq
∇Δ∇∇
∇ω∇
Gl. 7-80
Welche Anteile in den speziellen Lösungen auftreten, hängt vom entsprechenden Randwert-problem ab.
7.10 Die isotherme Formänderungsenergie 193
7.10 Die isotherme Formänderungsenergie
Im Fall isothermer Prozesse1 wird
( ) ( ) ( ) dG1tr1N21dGdxW
G
22
2
G
2h
2h3
E
0∫∫ ∫ ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
λ+ν+⋅⋅ν−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′⋅⋅′=
−
ϕΩΩΩEdES Gl. 7-81
als isotherme Formänderungsenergie bezeichnet. Wir betrachten das bilineare Funktional
( )∫ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅
λ+ν+⋅⋅ν−=
G2 dG1trtr1
2N)2,1(J
212121ΩΩΩΩ ϕϕ Gl. 7-82
der beiden unabhängigen Zustände (1) und (2). Dieses Funktional entspricht der halben Wechselwirkungsenergie und hat folgende Eigenschaften:
1||für0)1,1(J)1,2(J)2,1(J
≤ν≥=
Gl. 7-83
Sind beide Zustände identisch, so zeigt ein Vergleich von Gl. 7-81 mit Gl. 7-82 die Gültigkeit von J = W. Die Umformung von Gl. 7-82 mit Hilfe des Gaußschen Satzes liefert die vorläufi-ge Identität:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅⋅+⋅++⋅= ∫ ∫
∂G G3 dsw)(dG)wp(
21)2,1(J
21212121ωMnqnωm Gl. 7-84
7.11 Der Satz von Betti
Aus der Symmetrieeigenschaft des Funktionals Gl. 7-82 folgt in Verbindung mit Gl. 7-84 der Satz von Betti2
∫ ∫∂
⋅⋅−⋅−⋅⋅+⋅−=−⋅−+⋅G G
33 ds)ww(dG)wpwp(1212212112122121ωMnqnωMnqnωmωm
Gl. 7-85
1 also T = konst. 2 Dieser Satz spielt eine zentrale Rolle bei der Herleitung von Einflußflächen isotroper Platten.
194 7 Die schubelastische Platte
7.12 Die Randwerte einer schubelastischen Platte
Eine Zuordnung von Schnittlasten und Deformationen liefert die virtuelle Formänderungs-energie Wδ . Aus Gl. 7-81 folgt
( ) dG1)tr)(tr(1N)1(WG
2∫ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ δ⋅
λν+δ⋅⋅ν−=δ
111111ΩΩΩΩ ϕϕ Gl. 7-86
Ein Vergleich mit Gl. 7-82 zeigt
)1,1(J2)1(W δ=δ Gl. 7-87
und mit der Darstellung Gl. 7-84
∫ ∫∂
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ δ⋅⋅+δ⋅+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ δ+δ⋅=δ
G G
1111
3
111dswdGwp)1(W ωMnqnωm
1 Gl. 7-88
Wir beschränken uns im Folgenden auf homogene Randvorgaben. Mit den drei unabhängigen Verrückungsvariationen ωn ⋅=ωn,w und ωt ⋅=ωt und den diesen Deformationen zuge-
ordneten Schnittlasten
tMnnMnqn ⋅⋅=⋅⋅=⋅= ntnnn mmq Gl. 7-89
lassen sich genau acht sinnvolle homogene Randwertprobleme stellen (Tabelle 7-1). In der Kirchhoffschen Plattentheorie wird die Annahme G3 → ∞ getroffen. Diese Annahme führt zu einer Einschränkung der geometrischen Freiheitsgrade. Dort gilt mit ϕ = 0
wpt ∇⋅−=⋅=ω tωt Gl. 7-90
Legt man am Rand w(s) fest, dann ist gemäß Gl. 7-90 auch der Drehwinkel ωt bestimmt. Es existieren also nur zwei geometrische Freiheitsgrade, die Durchbiegung w(s) und der Dreh-winkel ωn(s). In der klassischen Plattentheorie werden deshalb die Randlasten entsprechend den verbleibenden geometrischen Freiheitsgraden zu einer Randquerkraft
smqq ns
nn ∂∂
+= Gl. 7-91
7.13 Die eingespannte schubelastische Kreisplatte unter konstanter Teilflächenbelastung 195
und einer Randschnittlast mnn zusammengefasst.
Symbol Bezeichnung Randwerte
1
w = 0 ωn = 0 ωt = 0
2
Einspannung
w = 0 ωn = 0 mnt = 0
3
w = 0 mnn = 0 mnt = 0
4
Drehbar gelagerter Rand Klemmschneidenlagerung w = 0 mnn = 0 ωt = 0
5 qn = 0 mnn = 0 mnt = 0
6
Freier Rand qn = 0 mnn = 0 ωt = 0
7
qn = 0 ωn = 0 mnt = 0
8
Gleitlager qn = 0 ωn = 0 ωt = 0
Tabelle 7-1 Homogene Randwerte einer schubelastischen Platte
7.13 Die eingespannte schubelastische Kreisplatte unter konstanter Teilflächenbelastung
p0
r
ab b
a
Abb. 7-4 Die eingespannte Kreisplatte unter konstanter Teilflächenbelastung
Wir betrachten die schubelastische Kreisplatte nach Abb. 7-4. Da System und Belastung rota-tionssymmetrisch sind, ergibt sich mit 0qmr ===ω ϕϕϕ auch ein rotationssymmetrischer
196 7 Die schubelastische Platte
Spannungs- und Verformungszustand. Wegen p = p0 = konst. und damit 0pp =Δ verbleiben
von Gl. 7-37, Gl. 7-32 und Gl. 7-31 die Grundgleichungen
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂ω∂
ν+ω
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ω
ν+
∂ω∂
=
ν−+
∂∂
−=ω
=
rrN)r(m
rrN)r(m
qsN6)1(
hrw)r(
p)r(wN
rrrr
rr
rr
r
2
r
02pΔ
Gl. 7-92
Aufgrund der Unstetigkeit in der Belastung muss das Lösungsgebiet in zwei Bereiche aufge-teilt werden. Im Bereich I, hier ist 0 ≤ r < b, wird die Platte durch eine konstante Flächenlast p3 = p0 belastet. Aus dem Kraftgleichgewicht folgt unter Berücksichtigung von a/r=ρ sofort
die Querkraft ρ−=2apq 0I
r . Auch im Bereich II kann die Querkraft sofort notiert werden, hier
gilt ρβ
−=2
0IIr 2
apq . In den folgenden Gleichungen wird zur Abkürzung
2
2s
s ah
s)1(61
aGhN
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ν−==κ Gl. 7-93
gesetzt. Die Lösung ist
( )
[ ]
ρ−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ κ+ρ
ν+ν+
+ν+−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ κ+ρ
ν+ν+
+ν+−=
κ+ρ+ρ−=ω
ρ+ρ+=
ϕϕ
2apq
161
312C)1(ap321m
16132C)1(ap
321m
162CN32ap
CCNap
641w
0Ir
s2
22
0I
s2
22
0Irr
s2
2
30I
r
4221
40I
Gl. 7-94
Im Bereich II mit b < r < a ist die Platte unbelastet. Hier sind die Grundgleichungen Gl. 7-65 und Gl. 7-67 mit 0=ψ anzuwenden. Das sehen wir sofort, wenn wir den Rotor von ω bilden
33p
2
p 12
s)1(6h ee ψ
ν−=ψΔ
ν−=×ω∇
Da aber 0)r( rpp =ω×=× e∇ω∇ gilt, muss 0=ψ gefordert werden. Wir erhalten im Einzel-
nen
7.13 Die eingespannte schubelastische Kreisplatte unter konstanter Teilflächenbelastung 197
( )[ ]
430II
r
4s23222II
4s23222IIrr
4s2
32
2IIr
243
221
II
K4apq
K)1(4)31(ln)1(2K)1(1K)1(2aNm
K)1(4)3(ln)1(2K)1(1K)1(2aNm
K4ln21KK2a1
lnKlnKKKw
ρ−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ κν−
ρ+ν++ρν++ν−
ρ+ν+−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ κν−
ρ−ν++ρν++ν−
ρ−ν+−=
κ+ρ+ρ++ρρ
−=ω
ρρ+ρ+ρ+=
ϕϕ
Gl. 7-95
Den sechs Konstanten in Gl. 7-94 Gl. 7-95 und stehen zunächst drei Übergangsbedingungen gegenüber
)(m)(m)()()(w)(w
IIrr
Irr
III
III
β=ρ=β=ρ
β=ρω=β=ρω
β=ρ=β=ρ
Gl. 7-96
Die Übergangsbedingung in der Querkraft qr ist erfüllt. Allerdings muss im Bereich II die
Bedingung ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
∂∂
−=r
wr1
rw
rNq
II
2
II2IIr gefordert werden, was 2
40
4 N8apK β= erfordert. Am
eingespannten Rand bei r = a sind die beiden Randbedingungen
0)1(;0)1(w IIII ==ρω==ρ Gl. 7-97
zu erfüllen. Gl. 7-96 und Gl. 7-97 entspricht einem linearen Gleichungssystem zur Bestim-mung der sechs Unbekannten C1, C2 und K1-K4. Die Lösungen sind unter Beachtung von
β=a/b :
[ ]( )[ ]
( )
( )
24
04
s22
40
3
12
224
01
s22
2
s22
40
1
N8apK
8N16apK
KK
2N32apK
8ln42C
)ln21(16)ln43(4N64apC
β=
κ−ββ=
−=
β+β=
κ−β−ββ=
β−κ+β−β−β=
Gl. 7-98
Lösung im Bereich I ( β<ρ≤0 )
198 7 Die schubelastische Platte
( )( )[ ]
( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
ρ−=
ρν+−β−ββν+=
ρν+−β−ββν+=
ρ−β−ββρ=ω
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ρ−β−βκ+
+ρ+ρβ−ββ−−ββ+β=
ϕϕ
2apq
31ln4116
apm
3ln4116
apm
ln4N16ap
ln2116)ln4(23ln44
N64apw
0Ir
2222
0I
2222
0Irr
2223
0Ir
22s
42224240I
Gl. 7-99
Lösung im Bereich II ( 1≤ρ<β )
[ ]
( )[ ]
( )
( )
ρβ
−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ν−
ρβ
ν−−ρ−βν+β=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
ρβ
ν−+ρ−βν+β=
ρρ−ρ−βρβ
=ω
ρκ−ρρ+β+ρ−β+β=
ϕϕ
20II
r
2
222
20II
2
222
20II
rr
22223
0IIr
s22222
40II
2apq
4)1()ln4(116
apm
4)1()ln4(116
apm
ln41N16ap
ln16ln)2(2)1)(2(N32apw
Gl. 7-100
Von Interesse sind noch folgende spezielle Lösungen
( ) ( )[ ]
( )[ ]
( )[ ])ln4(116
ap)0(m
)ln4(116
ap)0(m
ln21163ln44N64ap)0(w
222
0I
222
0Irr
2s
224
0I
β−βν+β==ρ
β−βν+β==ρ
β−βκ+−ββ+β==ρ
ϕϕ
20IIr
222
0II
222
0IIrr
2ap
)1(q
)2(8ap
)1(m
)2(8ap
)1(m
β−==ρ
−ββν
==ρ
−ββ==ρ
ϕϕ
7.13 Die eingespannte schubelastische Kreisplatte unter konstanter Teilflächenbelastung 199
Abb. 7-5 Die eingespannte Kreisplatte unter Gleichlast p0
Aus der Lösung Teilflächenbelastung lassen sich durch Grenzbetrachtungen weitere Lösun-gen angeben. Setzen wir in Gl. 5-83 1=β , dann liegt Gleichlast vor (Abb. 7-5). Von den
Konstanten Gl. 7-98 verbleiben
( )
( )s2
s
40
1
812C
161N64apC
κ+−=
κ+= Gl. 7-101
und Gl. 5-83 geht über in
( ) ( )[ ]
( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
ρ−=
ρν+−ν+=
ρν+−ν+=
ρ−ρ=ω
κ+ρ−ρ−=
ϕϕ
2apq
31116
apm
3116
apm
1N16ap
1611N64apw
0r
22
0
22
0rr
23
0r
s22
40
Gl. 7-102
Ein Vergleich mit der klassischen Lösung zeigt, dass sich infolge der Schubelastizität nur die Verschiebung verändert hat, alle anderen Größen bleiben gleich. Die größte Durchbiegung ergibt sich mit
( )s
40 161N64ap)0(w κ+==ρ Gl. 7-103
in Feldmitte. Diese Änderung ist mit s = 5/6 bei isotropen Platten jedoch sehr klein. Bei Sandwichplatten und auch geschichteten Platten kann diese Schubkorrektur jedoch bedeutsam sein.
200 7 Die schubelastische Platte
Abb. 7-6 Die eingespannte Kreisplatte unter mittiger Einzelkraft
Von Interesse ist noch die Kreisplatte mit mittiger Einzellkraft. Setzen wir πβ
= 220 aPp und
führen dann bei festgehaltenem P den Grenzübergang 0b → durch, dann erhalten wir
( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]
ρπ−=
ρν++νπ
−=ρν++π
−=
ρρπ
−=ρω
ρκ−ρ+ρ−π
=ρ
ϕϕ
1a2
Pq
ln14Pm;ln11
4Pm
lnN4
Pa)(
ln421N16
Pa)(w
r
rr
r
s22
2
Gl. 7-104
Entfernen wir aus der Verschiebungsfunktion in Gl. 7-104 die regulären Anteile, so verbleibt die singuläre Lösung für die Plattenverschiebung
( ) ρκ−ρπ
=ρ ln4N8
Pa)(w s2
2
Gl. 7-105
die von einer Einzellkraft auf einer unendlich ausgedehnten Platte erzeugt wird. Gegenüber
der klassischen Singularität tritt jetzt ein Schubterm auf, der mit ρκπ
−=ρ lnN2
Pa)(w s
2
S bei
Annäherung an den Punkt ρ = 0 logarithmisch unendlich wird (Abb. 7-7). In Verbindung mit
der Querkraft ρπ
−=ρ1
a2P)(qr ergibt sich die vollständige singuläre Lösung Einzelkraft der
schubelastischen Platte
7.13 Die eingespannte schubelastische Kreisplatte unter konstanter Teilflächenbelastung 201
( )
( )
( )[ ]
[ ]
ρπ−=
ν++ρν+π
−=
ν++ρν+π
−=
ρ+ρπ
−=ρω
ρκ−ρπ
=ρ
ϕϕ
1a2
Pq
31ln)1(28Pm
3ln128Pm
ln21N8
Pa)(
ln4N8
Pa)(w
r
rr
r
s2
2
Gl. 7-106
Schubterm
KlassischeSingularität
SchubelastischePlatte
)(wPaN
2 ρ
Abb. 7-7 Verschiebung Singuläre Lösung Einzelkraft (κS = 0,0025)
8 Näherungsverfahren 8.1 Das Streifenkreuzverfahren nach Markus
Beim Streifenkreuzverfahren von Markus werden zunächst unabhängig voneinander zwei sich in der Mitte kreuzende Streifen von einem Meter Breite betrachtet.
Abb. 8-1 Rechteckplatte nach Markus
Die Aufteilung der Flächenlast p(x,y) Last erfolgt additiv in der Form yx ppp += . Setzen wir
ppx α= , dann ist p)1(ppp xy α−=−= . Die Lastverteilungszahl α , die nur von der Plat-
tengeometrie abhängig ist, wird nun so bestimmt, dass die Durchbiegungen der separat be-trachteten Streifen in Feldmitte gleich sind. Damit ist Kontinuität der Verschiebungen ( yx ww = ) nur an diesem Punkt erfüllt. Im Fall der drehbar gelagerten Streifen errechnet sich
204 8 Näherungsverfahren
unter Beachtung von EI
p384
5w;EI
p384
5w4yy
y
4xx
x
ll== und der Abkürzung yx ll=λ die
Lastverteilungszahl
411λ+
=α Gl. 8-1
Abb. 8-2 Verteilungszahlen α für die drehbar gelagerte Platte
Für die maximalen Schnittmomente erhalten wir dann in einfacher Weise
8p)1(m;
8pm
2y
y
2x
x
llα−=α= Gl. 8-2
Abb. 8-3
8.2 Die drillweiche Platte 205
Die von Abb. 8-1 abweichenden Lagerungsfälle werden entsprechend behandelt. Beispielswei-se ergibt sich für die links eingespannte sonst frei drehbar gelagerte Rechteckplatte mit den Verschiebungen in Feldmitte
EIp
3845w;
EIp
1921w
4yy
y
4xx
x
ll== 425
5λ+
=α→ Gl. 8-3
Das Streifenkreuzverfahren von Markus gestattet eine grobe Berechnung der Zustandsgrößen einer Platte, es hat aber heute seine baupraktische Bedeutung verloren.
8.2 Die drillweiche Platte Einen entscheidenden Einfluss auf das zweidimensionale Tragverhalten der Platte haben die Drillmomente. Vernachlässigen wir diesen Einfluss, dann wird von einer drillweichen Platte gesprochen. Anwendungen zu dieser vereinfachten Plattenlösung finden sich im Stahlbeton-bau. Zu den Grundgleichungen der drillweichen Platte gelangen wir, wenn wir im Werkstoff-
gesetz für die Drillmomente die als Verwindung bezeichnete Größe yx
w2
∂∂∂ zu Null setzen.
Unterstellen wir zusätzlich noch 0=ν , dann verbleiben von den Momenten
0m;ywNm;
xwNm xy2
2
yy2
2
xx =∂∂
−=∂∂
−= Gl. 8-4
und den Querkräften
3
3
y3
3
x ywNq;
xwNq
∂∂
−=∂∂
−= Gl. 8-5
Setzen wir die Biegemomente in die modifizierten Gleichgewichtsbedingungen
0pym
xm
2
yy2
2xx
2
=+∂
∂+
∂∂ Gl. 8-6
dann erhalten wir die Differenzialgleichung der drillweichen Platte
206 8 Näherungsverfahren
Np
yw
xw
4
4
4
4
=∂∂
+∂∂ Gl. 8-7
Im Vergleich zur drillsteifen Platte fehlt hier offensichtlich der mittlere Term 22
4
yxw2∂∂
∂ .
Die Vernachlässigung dieses Terms studieren wir an der allseitig drehbar gelagerten Recht-eckplatte unter konstanter Belastung (Abb. 8-4).
xy
2b
2b
a
a
p(x,y) = p0 p0
Abb. 8-4 Die allseitig drehbar gelagerte Rechteck-Platte mit konstanter Belastung
Zur Lösung von Gl. 3-23 wird zunächst die Belastung p(x,y) in x-Richtung antimetrisch in eine Fourier-Reihe entwickelt
∑∑∞
=
∞
=
π==
1mm
1m axmsin)y(p)y,x(p)y,x(p Gl. 8-8
In Gl. 8-8 ist eine Teillast
axmsin)y(p)y,x(p mπ
= Gl. 8-9
Die Darstellung der Gesamtlast erfolgt dann durch Superposition. Für die Verschiebungen wird ein gleichartiger Ansatz gemacht
∑∑∞
=
∞
=
π==
1mm
1m axmsin)y(w)y,x(w)y,x(w Gl. 8-10
Jede Teillösung
8.2 Die drillweiche Platte 207
axmsin)y(w)y,x(w mπ
= Gl. 8-11
muss die Plattendifferenzialgleichung Gl. 8-7 erfüllen was
axmsin
N)y(p
axmsin)y(w
am)y(w m
m
4
mπ
=π
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+′′′′ Gl. 8-12
Erfordert. Ein Koeffizientenvergleich in Gl. 8-12 fordert das Bestehen der gewöhnlichen Diffe-renzialgleichung 4. Ordnung
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
=λ=λ+′′′′a
m;N
)y(p)y(w)y(w mm
m4mm Gl. 8-13
Die vollständige Lösung der obigen Gleichung setzt sich aus Lösung der homogenen Diffe-renzialgleichung
0yw
xw
4h
4
4h
4
=∂∂
+∂∂ Gl. 8-14
und einer partikulären Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung
Np
yw
xw
4p
4
4p
4
=∂∂
+∂∂
Gl. 8-15
zusammen. Wir beschaffen uns zunächst die Lösung der homogenen Differenzialgleichung. Aus Gl. 8-13 folgt mit verschwindender rechter Seite
0)y(w)y(w h,m4mh,m =λ+′′′′ Gl. 8-16
Mit dem Ansatz
)yexp()y(w mh,m α= Gl. 8-17
geht Gl. 8-16 über in die Beziehung 0)yexp()( m4m
4m =αλ+α , die nur besteht, wenn die charak-
teristische Gleichung
208 8 Näherungsverfahren
04m
4m =λ+α Gl. 8-18
erfüllt ist. Gl. 8-18 hat die vier komplexen Lösungen
)i1();i1();i1();i1( m4,mm3,mm2,mm1,m −κ−=α−κ=α+κ−=α+κ=α Gl. 8-19
In Gl. 8-19 wurde zur Abkürzung
2a2
m221
mmπ
=λ=κ Gl. 8-20
gesetzt. Die vollständige Lösung der homogenen Differenzialgleichung ist dann
)yexp(C)yexp(C)yexp(C)yexp(C)y(w 4,m43,m32,m21,m1h,m α+α+α+α= Gl. 8-21
und unter Beachtung von Gl. 8-19 mit neuen Konstanten
( ) ( )ysinCycosCeysinCycosCe)y(w mm4mm3y
mm2mm1y
h,mmm κ+κ+κ+κ= κ−κ Gl. 8-22
Mit den 4 Konstanten lassen sich an zwei gegenüberliegenden Rändern jeweils 2 Randbedin-gungen erfüllen. Die Gesamtlösung ist dann in jedem Fall
[ ]( )( )
xsin)y(wysinCycosCe
ysinCycosCe
xsin)y(w)y(ww
m1m p,mmm4mm3
ymm2mm1
y
m1m
p,mh,m
m
m
λ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+κ+κ+
κ+κ=
λ+=
∑
∑∞
=κ−
κ
∞
= Gl. 8-23
Die partikuläre Lösung wm,p(y) in Gl. 8-23 ist noch für die Flächenlast p(x,y) = p0 zu bestim-men. Die Entwicklung der konstanten Belastung in eine Fourier-Reihe liefert
∑∑∞
=
∞
=
ππ
=π
=5,3,1m
0
1mm a
xmsinm1p4
axmsinp)y,x(p Gl. 8-24
Ein Vergleich mit Gl. 8-24 zeigt: .konstmp4
p 0m =
π= Zur Beschaffung einer Partikularlösung
von
8.2 Die drillweiche Platte 209
mNp4)y(w)y(w 0
p,m4mp,m π
=λ+′′′′ Gl. 8-25
machen wir den Ansatz
.konstK)y(w p,m == Gl. 8-26
Einsetzen von Gl. 8-26 in Gl. 8-25 ergibt
55
40
4004
Nmap4
mNp4K
mNp4K
π=
πλ=→
π=λ Gl. 8-27
Damit ist die allgemeine Lösung der drillweichen Platte mit zwei gegenüberliegenden gelen-kig gelagerten Rändern für den Fall konstanter Flächenlast mit
( )
( )xsin
ysinCycosCe
ysinCycosCem1
Nap4)y,x(w m
5,3,1mmm4mm3
y
mm2mm1y
55
40
m
m
λ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
κ+κ+
κ+κ+
π= ∑
∞
= κ−
κ
Gl. 8-28
bekannt. Aufgrund der Symmetrie des Systems bezüglich der x-Achse müssen die antimetri-schen Anteile in y-Richtung verschwinden. Von Gl. 8-28 verbleibt mit neuen Konstanten
xsin)ysin()ysinh(K
)ycos()ycosh(Km1
Nap4)y,x(w m
5,3,1mmmm2
mmm155
40 λ
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
κκ+
κκ+π
= ∑∞
=
Gl. 8-29
Die beiden verbleibenden Konstanten K1m und K2m gestatten die Anpassung der Verschiebun-gen w und der Biegemomente myy an die gelenkig gelagerten Ränder bei 2by ±= .
Randbedingungen:
1. 0)2b,x(w =± 0)sin()sinh(K)cos()cosh(Km1
mmm2mmm15 =κκ+κκ+→ (a)
2. 0)2b,x(wy2
2
=±∂∂ 0coscoshKsinsinhK mmm2mmm1 =κκ−κκ→ (b)
In den obigen Gleichungen wurde zur Abkürzung
a4bm2
4b2
2b
mmmπ
=λ=κ=κ Gl. 8-30
gesetzt. Die Lösung des Gleichungssystems (a, b) liefert die Konstanten
210 8 Näherungsverfahren
m2
m2
mm5m2
mm5m1
cossinhsinsinh
m1K
coscoshm1K
κ+κ=Δ
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
Δκκ
−=
Δκκ
−= Gl. 8-31
die eingesetzt in Gl. 8-29
( )( ) xsin
)ysin()ysinh(sinsinh)ycos()ycosh(coscosh11
m1
Nap4)y,x(w m
5,3,1m mmmm
mmmm55
40 λ
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡κκκκ+κκκκ
Δ−
π= ∑
∞
=
Gl. 8-32
Ergeben. Speziell in Feldmitte ( 0y,2ax == ) gilt für die größte Durchbiegung
( )∑∞
=
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Δκκ
−−π
==5,3,1m
mm5
21m
5
40
0coscosh1
m11
Nap4w)0,2a(w Gl. 8-33
Für den Sonderfall der quadratischen Platte (b = a) erhalten wir die Durchbiegung in Feldmit-te
Nap008204,0w
40
0 = Gl. 8-34
Im Vergleich dazu erhalten wir bei der drillsteifen Platte mit ν = 0 die Verschiebung in Plat-
tenmitte Nap
004062,0w4
00 = , ein Wert, der etwa halb so groß ist wie der der drillweichen
Platte. Die Schnittlasten folgen entsprechend Gl. 3-20 und Gl. 3-21 durch Differenziationsoperationen am Verschiebungsfeld w.
( )( ) xsin
)ysin()ysinh(sinsinh)ycos()ycosh(coscosh11
m1ap4)y,x(m m
5,3,1m mmmm
mmmm33
20
xx λ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡κκκκ+κκκκ
Δ−
π= ∑
∞
=
Gl. 8-35
Insbesondere gilt in Feldmitte für die quadratische Platte.
( )∑∞
=
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Δκκ
−−π
==5,3,1m
mm3
21m
3
20
0,xxxxcoscosh
1m11
ap4m)0,2a(m Gl. 8-36
8.2 Die drillweiche Platte 211
Aufgrund der weitgehenden Symmetrie der quadratischen Platte ist )0,2a(m)0,2a(m yyxx = .
Die Auswertung der obigen Reihe ergibt
96,12ap
ap07716,0mm2
0200,yy0,xx === Gl. 8-37
Der Vergleichswert für die drillsteife Platte ist 2,27
apap0368,0m
202
00,xx == . Die Querkräfte
ergeben sich zu
( )( ) xcos
)ysin()ysinh(sinsinh)ycos()ycosh(coscosh11
m1ap4)y,x(q m
5,3,1m mmmm
mmmm22
0x λ
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡κκκκ+κκκκ
Δ−
π= ∑
∞
=
Gl. 8-38
und für die Mitte des Längsrandes x = 0 folgt
∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Δκκ
−π
===5,3,1m
mm22
0x
coscosh1m1ap4)0y,0x(q Gl. 8-39
Die Auswertung der Reihe ergibt ap3466,0)0y,0x(q 0x === . Bei der drillsteifen Platte
wird mit 0=ν der Wert ap3683,0)0y,0x(q 0x === errechnet.
9 Fourierreihen 9.1 Einfache Fourierreihen Bei vielen Problemen der mathematischen Physik ist es erforderlich, vorgegebene periodische Funktionen f(x) mit der Periode L (Abb. 9-1) exakt oder angenähert durch trigonometrische Summen darzustellen.
Abb. 9-1 Periodische Funktion mit der Periode L
Unter der Voraussetzung, dass die Funktion f(x) im Intervall Lx0 << stückweise stetig ist, gilt die Summendarstellung1:
),2,1k(,dxLxk2sin)x(f
L2b
),2,1k(,dxLxk2cos)x(f
L2a
dx)x(fL2a
Lxk2sinb
Lxk2cosa
2a
)x(f
L
0k
L
0k
L
00
1kk
1kk
0
K
K
=π=
=π=
=
π+π+=
∫
∫
∫
∑∑∞
=
∞
=
Gl. 9-1
1 Jean-Baptiste Joseph, Baron de (seit 1808) Fourier, frz. Mathematiker und Physiker, 1768-1830
214 9 Fourierreihen
Überall dort, wo die Funktion f(x) stetig ist, liefert Gl. 9-1 die Werte von f(x) und an Unstetig-keitsstellen den Mittelwert von f(x). Bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten nach Gl. 9-1 können oft spezielle Eigenschaften der Funktion f(x) vorteilhaft ausgenutzt werden. 1. f(x) ist eine gerade Funktion, d.h. f(-x) = f(x), dann gilt bk = 0 und es verbleiben
0b
),2,1k(,dxLxk2cos)x(f
L4a
dx)x(fL4a
k
2L
0k
2L
00
=
=π=
=
∫
∫
K Gl. 9-2
2. f(x) ist eine ungerade Funktion, d.h. f(-x) = -f(x), dann gilt ak = 0 und es verbleiben
),2,1k(,dxLxk2sin)x(f
L4b
0a0a
2L
0k
k
0
K=π=
==
∫
Gl. 9-3
Die Fourierreihe lässt sich auch in der Form
∑∞
=
ϕ+π+=1k
kk0 )
Lxk2sin(A
2a
)x(f Gl. 9-4
schreiben. Hierbei sind
2k
2kk baA += ;
k
kk b
atan =ϕ Gl. 9-5
Die Bestimmung der Fourierreihe einer gegebenen Funktion f(x) ist Aufgabe der harmoni-schen Analyse.
9.1 Einfache Fourierreihen 215
Funktion f(x) Fourierkoeffizienten k
π=
==
kq2
b
0aqa
0k
k
00
K5,3,1
π−=
==
kq2
b
0aqa
0k
k
00
K5,3,1
π=
==
kq4
b
0a0a
0k
k
0
K5,3,1
π−=
==
+
kq2
)1(b
0a0a
01kk
k
0
K3,2,1
π−=
π−−=
=
+
kq
)1(b
)1k2(q2
a
2q
a
01kk
220
k
00
K3,2,1
Lek2sin
Lck2sin
kq2b
Lek2cos
Lck2sin
kq2a
Lcq4a
0k
0k
00
πππ
=
πππ
=
=
K3,2,1
Lek2sin
LP2b
Lek2cos
LP2a
LP2a
k
k
0
π=
π=
=
K3,2,1
Tabelle 9-1 Zusammenstellung einiger Fourierreihen
216 9 Fourierreihen
Beispiel: 9-1
Die Funktion f(x) sei durch
[ )( ]⎩
⎨⎧
∈−∈−
=2/L,0xfürp
0,2Lxfürp)x(f
0
0
gegeben.
Da f(x) ungerade ist, sind alle ak gleich Null. Für die Koeffizienten bk gilt
∫ π=2L
0k dx
Lxk2sin)x(f
L4b
Integration liefert mit Lxk2u π= und damit
Ldxk2du π=
[ ] ( )[ ])5,3,1k(
kp4
11kp2
1kcoskp2
ucoskp2
duusink2Lp
L4dx
Lxk2sin)x(f
L4b
0
k00
k
00
k
00
2L
0k |
K=π
=
−−π
−=−ππ
−=
π−=
π=π=
ππ
∫∫
Die Fourierreihe der Funktion f(x) lautet somit
)Lx10sin
51
Lx6sin
31
Lx2(sin
p4Lxk2sin
k1p4
)x(f5,3,1k
00 KK
+π+π+ππ
=ππ
= ∑∞
=
Gl. 9-6
Diese stellt f(x) in allen Punkten 2Lkx ≠ (k ∈ Ù) dar. In den Punkten x = kL/2 liefert sie
den Mittelwert, also den Wert Null. Für praktische Fälle reicht es oftmals aus, wenn man sich auf wenige Reihenglieder be-schränkt. Dazu werten wir Gl. 9-6 für N = 5 und N = 10 aus.
∑∞
= π=π
π=
K5,3,1k
00 p4Lxk2sin
k1p4
)x(f
9.1 Einfache Fourierreihen 217
0 2 4 6 8-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
Abb. 9-2 f(x) für N = 5 (p0 = 1, L = 2π)
0 2 4 6 8-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
Abb. 9-3 f(x) für N = 10 (p0 = 1, L = 2π))
Die Formeln Gl. 9-1-Gl. 9-5 gelten auch bei Verwendung von Polarkoordinaten
Abb. 9-4 Setzen wir s statt x und beachten, dass ϕ= as und Φ= aL sind, dann gehen Gl. 9-1 und Gl. 9-2
über in
),2,1k(,dk2sin)(f2b
),2,1k(,dk2cos)(f2a
d)(f2a
k2sinbk2cosa2
a)(f
0k
0k
00
1kk
1kk
0
K
K
=ϕΦϕ
πϕΦ
=
=ϕΦϕ
πϕΦ
=
ϕϕΦ
=
Φϕ
π+Φϕ
π+=ϕ
∫
∫
∫
∑∑
Φ
Φ
Φ
∞
=
∞
=
Gl. 9-7
218 9 Fourierreihen
Es können wieder folgende Sonderfälle betrachtet werden: 1. f(ϕ) ist eine gerade Funktion, d.h. f(-ϕ) = f(ϕ), dann gilt bk = 0 und es verbleiben
0b
),2,1k(,dk2cos)(f4a
d)(f4a
k
2
0k
2
00
=
=ϕΦϕ
πϕΦ
=
ϕϕΦ
=
∫
∫Φ
Φ
K Gl. 9-8
2. f(ϕ) ist eine ungerade Funktion, d.h. f(-ϕ) = -f(ϕ), dann gilt ak = 0, so verbleiben
),2,1k(,dk2sin)(f4b
0a0a
2
0k
k
0
K=ϕΦϕ
πϕΦ
=
==
∫Φ
Gl. 9-9
9.2 Fourierdoppelreihen Für die Darstellung von Funktionen f(x,y) mit zwei Variablen werden Fourierdoppelreihen verwendet. Die Perioden sind Lx und Ly. Dann gilt:
∑∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
ππ+
ππ+=
1m 1n yxmn
1m 1n yxmn
0
Lyn2sin
Lxm2sina
Lyn2cos
Lxm2cosa
4a
)y,x(f Gl. 9-10
Die Fourierkoeffizienten sind
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
ππ=
ππ=
=
x y
x y
x y
L
0
L
0 yxyxmn
L
0
L
0 yxyxmn
L
0
L
0yx0
dydxL
yn2sinL
xm2sin)y,x(fLL4b
dydxL
yn2cosL
xm2cos)y,x(fLL4a
dydx)y,x(fLL4a
Gl. 9-11
9.2 Fourierdoppelreihen 219
Sonderfälle: 1. f(x,y) ist symmetrisch bezüglich x = 0 und y = 0, dann gilt:
0b
dydxL
yn2cosL
xm2cos)y,x(fLL
16a
dydx)y,x(fLL
16a
mn
2L
0
2L
0 yxyxmn
2L
0
2L
0yx0
x y
x y
=
ππ=
=
∫ ∫
∫ ∫
Gl. 9-12
2. f(x,y) ist antimetrisch bezüglich x = 0 und y = 0, dann ist:
∫ ∫ππ
=
==
2L
0
2L
0 yxyxmn
mn
0
x y
dydxL
yn2sinL
xm2sin)y,x(fLL
16b
0a0a
Gl. 9-13
Beispiel: 9-1 Für die bezüglich x = 0 und y = 0 antimetrische Belastung nach Abb. 9-5 sind die Fourierkoef-fizienten zu ermitteln.
Abb. 9-5 Feldweise veränderliche Belastung
220 9 Fourierreihen
Mit Lx = 2a und Ly = 2b erhalten wir mit der Substitution b
ynv;a
xmu π=
π=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
π=
π−π−π
=π
=
ππ=
ππ=
∫∫
∫ ∫∫ ∫ππ
π
=
π
== =
K
K
,5,3,1n,5,3,1m
mnq16
)ncos1)(mcos1(mn
q4vdvsinudusinmnq4
dvduvsinusinnb
ma
abq4dydx
bynsin
axmsin
abq4b
2
2
n
0
m
02
m
0u
n
0y
a
0x
b
0ymn
und damit:
∑ ∑∞
=
∞
=
πππ
=K K5,3,1m 5,3,1n yx
2 Lyn2sin
Lxm2sin
mn1q16)y,x(f
Ist die Flächenlast feldweise begrenzt, dann ist entsprechend zu verfahren.
Beispiel: 9-2
Abb. 9-6 Antimetrische Teilflächenbelastung
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==ππππ
π=
ππππ
=
ππ=
+−
+−
+
−=
+
−=∫ ∫
K
K
,3,2,1n,3,2,1m
bdnsin
bvnsin
acmsin
aumsin
mn1q16
|b
yncos|a
xmcosnb
ma
abq4
dydxb
ynsina
xmsinabq4b
2
dvdv
cucu
cau
cux
dv
dvymn
und damit
bynsin
axmsin
bdnsin
bvnsin
acmsin
aumsin
mn1q16)y,x(f
1m 1n2
πππππππ
= ∑∑∞
=
∞
=
Index A
Analyse harmonische 214
B Basisvektoren 6, 10 Beanspruchung
rotationssymmetrisch 89 Belastung
feldweise veränderlich 219 Bernoulli
Daniel 53 Jakob II 1 Johann I 1
Bessel 53 Besselfunktion
modifizierte 57 Betti 193 Bettungsmodul 47 Beziehungen
invariante 21 Biegeflächen
hyperbolische 79 parabolische 78
Biegemoment 22 Biegemomente 20, 22, 24, 29, 77, 81, 90, 106,
126, 131, 134, 135, 136, 171, 172, 174, 183, 205, 209
Bipotenzialfunktion 66 Bogenlänge 177
C Chladni 1
D Deformator 179 Delta-Operator 16 Differenzialgleichung
homogene 65 Laplace 67 partikuläre Lösung 65
Differenzialgleichungen Cauchy-Riemann 67, 187
Divergenz eines Tensorfeldes 15 eines Vektorfeldes 14
Doppelskalarprodukt 183 Drehwinkel ω 185 Drillmoment 20, 23, 29, 32, 44, 79, 80, 148,
150, 153, 155, 160, 161, 167, 168, 170, 175, 177, 205
Durchbiegung 62, 63, 124, 149, 157, 159, 160, 161, 164, 166, 169, 172, 173, 179, 187, 191, 194, 199, 210
Dyaden lineare 6
E Ecken 42 Eckkraft 44, 45 Einheitstensor 7, 8, 12, 181, 182, 183 Einspannbedingungen 93 Elastizitätsmodul 135, 183 Entwicklungssatz
der Tensor- und Vektorrechnung 9 Euler 1
F FE-Methode 66 Flachgründungen 47 Formänderungsenergie 193, 194
isotherme 193 Fourierdoppelreihen 218 Fourierreihe 136, 137, 138, 140, 214, 216 Fourier-Reihe
einer konstanten Belastung 208 Fourierreihen
einfache 213 Freiheitsgrade 194 Fundamentallösung 84
der klassischen Plattentheorie 83 Fundamentalsystem 54, 55, 57 Funktion
gerade 214 ungerade 214
Funktional bilineares 193
Funktionen
222 Index
analytische 67
G Germain 1 Gleitlager 195 Gradient
eines Skalarfeldes 14 eines Vektorfeldes 15
Grundgleichungen schubelastische Platte 177 statische 180
H Hauptbiegemomente 21 Hauptdiagonale 6 Hauptdrillmoment 23 Helmholtz 186 Hoene-Wronski 54 Hypothese
Bernoullische 180
I Integralsatz
Gaußscher 182
K Kinematik
einer schubelastischen Platte 178 Kirchhoff 1 Klemmschneidenlagerung 195 Koeffizientenvergleich 137, 144, 207 Konstanten
freie 65 Koordinaten
eines Tensors 12 kartesische 33
Koordinatentransformation 5, 70 Kreisplatte 62, 92, 95, 98, 102, 103, 107, 128,
195, 199, 200 Kreisringplatte 60, 62, 110, 114, 119, 122,
125, 128 Kronecker 8 Kugeltensor 7
L Lagrange 1 Laplace
planarer Operator 28 Lastverteilungszahl 203 Lösung
Vergleich mit der klassischen 191 Lösungen
komplexe 208
M MacDonaldsche Funktion 57 Mindlin 2, 177, 179 Mittelwert 214 Momentenfunktion 187 Momentengleichgewicht 25, 30, 182, 184 Momentenvektor 180
N Nabla-Operator 14, 179 Näherungsverfahren 203 Navier 1 Neumann 55
O Operatoren
allgemeine Beziehungen 17
P Partikularlösungen der
Plattendifferenzialgleichung kartesische Koordinaten 81 Polarkoordinaten 83
Platte drillsteif 206 drillweich 205 dünne 1, 26 elastisch gebettet 47 quadratische 210 schubelastisch 177 statisch unbestimmt gelagert 103
Platten geschichtete 184
Plattendicke 1 Plattendifferenzialgleichung 28, 31, 32, 65,
66, 71, 90, 134, 137, 141, 169, 207 Plattenebene 19, 178 Plattenelement
Gleichgewicht 25 Plattengleichung in Zylinderkoordinaten 28 Plattenhalbstreifen 140, 145, 147, 156, 158 Plattenkinematik 177, 178, 184 Plattenmittelfläche 1, 26, 76, 178, 179, 180 Plattenschnittlasten 19 Plattensteifigkeit 27, 81, 134, 184 Plattenstreifen
unendlich lang 133 Plattentheorie
Grundgleichungen der klassischen Plattentheorie 19 Kirchhoffsche 2
Plattentheorien verfeinerte 177
Poisson 1 Polynome
biharmonische 69 harmonische 67
Index 223
Potenzialfunktionen 67, 72 Produktansatz 52, 56, 68, 72, 141 Produkte
dyadische 6 Produktlösungen
direkte 70
Q Querkontraktionszahl 183 Querkräfte 20, 29, 61, 79, 80, 90, 134, 136,
170, 183, 184, 187, 191, 211 Querkrafttensor 181 Querkraftvektor 180 Querschubverzerrungen 177
R Rand
eingespannt 34 frei gelagert 40 gelenkig gelagert 37
Randbedingungen 2, 32, 37, 61, 62, 66, 90, 95, 99, 125, 129, 136, 137, 143, 144, 145, 147, 156, 158, 163, 177, 186, 197, 208, 209
Randintegrale 182 Randlasten 19 Randquerkraft 33, 177, 194 Randwerte
einer schubelastischen Platte 194 homogene 195
Reaktionskraft 37, 38, 39, 40, 61, 90 Rechteckplatte 19, 80, 162, 169, 203, 205, 206 Reißner 3 Reissner 2, 177 Rekursionsformeln 58 Rotationssymmetrie 31, 34, 36, 39, 40, 41, 42,
60, 71, 83, 107 Rotor
eines Tensorfeldes 16 eines Vektorfeldes 15
S Sandwichplatten 184 Satz
Gaußscher 193 Schnittlasten 2, 19, 27, 28, 30, 32, 48, 66, 77,
78, 79, 80, 86, 90, 91, 92, 94, 97, 101, 103, 109, 111, 113, 115, 118, 124, 127, 128, 134, 164, 170, 171, 180, 194, 210
Schnittmomente Transformationsverhalten 21
Schnittquerkraft 180 Schubmodul 184 Schubspannungen 184 Schüttmomente 181 singuläre Lösung
Einzelkraft 84
Einzelmoment um die x-Achse 88 Einzelmoment um die y-Achse 86
Singularität klassische 84
Skalar 5 Skalarprodukt 10 Spannungen 19, 20, 27, 32, 180, 183, 185 Spannungstensor 180 Spatprodukt
dreier Vektoren 11 Spur
des Verzerrungstensors 183 Stoffgesetz 27, 183, 184, 185, 187 Streifenkreuzverfahren
nach Markus 203 Summationsvereinbarung 8 Summen
trigonometrische 213 Superposition 206
T Teilflächenbelastung 98, 100, 107, 139, 195,
199, 220 Tensor 5
der antimetrische 7 der symmetrische 6 der transponierte 6 zweiter Stufe 5
Tensoralgebra 10 Tensoranalysis 14 Tensorkalkül
Einführung 5 Tensor-Tensor
Doppelskalarprodukt 13 Skalarprodukt 13
Thomsonfunktionen 59 Torsion
reine 80 Tragverhalten
zweidimensionales 205 Transformationsgesetze
für Vektoren 21
U Übergangsbedingungen 99, 129, 197 Unstetigkeit
in der Belastung 98 Unterlage
elastische 47
V Vektor 5 Vektorfeld 15 Vektorprodukt 10, 11
das doppelte 11 Vektor-Tensor
Skalarprodukt 12 Verrückungsvariationen 194
224 Index
Verschiebungsfeld 26, 32, 48, 169, 170, 210 Verwindung 205 Verzerrungen 26, 27, 183 Verzerrungstensor
linearisierter 179
W Weber 55 Weberfunktionen 56
Wechselwirkungsenergie 193 Winkelvektor 179 Winkler 47
Z Zylinderfunktion 54 Zylinderkoordinaten 28, 29, 34, 35, 36, 38, 39,
41, 42, 52, 71
Literatur / 1 / Girkmann, K.: Flächentragwerke. Springer-Verlag Wien, New York, 6. Auflage, un-
veränderter Nachdruck 1978
/ 2 / Raack, W.: Schriftenreihe Ebene Flächentragwerke, Technische Universität Berlin, 2. Institut für Mechanik Bände 1-7.
/ 3 / Holm Altenbach, Altenbach J., Naumenko K.: Ebene Flächentragwerke, Grundlagen der Modellierung und Berechnung von Scheiben und Platten. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998
/ 4 / Szabó, István: Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwen-dungen, 3. Auflage, Stuttgart: Birkhäuser, 1987
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