‐ 1 ‐ U. Hoeppe, THM, Stand: 24.02.16
Fehlerrechnung und –schätzung, lineare und nichtlineare Regression
Inhalt
0 Einleitung
1 Wahrer Wert, Erwartungswert, Messwert und Fehler
2 Einzelmessungen
3 Wiederholte (viele) Messungen
3.1 Gaußsche Normalverteilung
3.2 Vertrauensbereich = Konfidenzintervall
3.3 Fehler bei unbekannter Streuung „t-Faktoren“
4 (Viele) Messungen in Abhängigkeit einer Variablen: Regressionsanalyse
5 Gewichteter Mittelwert
6 Fehlerrechnung in der Kernphysik
7 Darstellung des Ergebnisses
8 Beispiele
8.1 Beispiel: Fehlerfortpflanzung
8.2 Beispiel: Statistischer Fehler bei definiertem Vertrauensniveau
8.3 Beispiele: Regressionsanalyse und Anfitten von Messdaten
8.3.1 Lineare Regression „von Hand“
8.3.2 Lineare Regression mit Excel
8.3.3 Lineare Regression mit Excel nach Linearisierung nichtlinearer Zusammenhänge
8.3.4 Lineare Regression mit qtiplot mit individuellen Fehlern
8.3.5 Nichtlineare Regression mit qtiplot
9 Im Script verwendete Notation
U. Hoeppe,
0 E
PhysikaFehler zeinfach,
1 W
Im einfaWert „Fehler“„sehr w
Wir def
|
Die Ang
wahre W
[x-x, x
Dabei iswird:
Die
s
s
Achtung(ansche Bsp: StoAnwend
THM, Stand: 24.
Einleitung
alische Messzumindest g, die wichtig
Wahrer W
achsten Fall(= Erwartun“ wird aber
wahrscheinlic
finieren dah
|Wahrer We
gabe eines M
Wert mit e
x+x] liegt.
st egal ob d
Fehlerursa
statistische vers sind Ursa
systematisc vers habe Ursa
g: Die Unteinend) wide
oppuhr + 2 der; …
02.16
sungen sindgrob abzuschgsten Begri
Wert, Erwar
l entspricht ngswert fallin der Fehl
ch max. Feh
her etwas vo
ert - Mess
Messergebn
einer (noch
er Fehler au
chen sind v
Fehler schwinden bd mit statistiache z.B. „R
che Fehler schwinden nen „immer dache z.B. fa
erscheidung ersprüchlich
Personen; V
d immer fehhätzen und ffe und Ver
rtungswert,
der Fehler ls nur statistlerrechnunghler“ verwe
orsichtiger:
swert x| = A
nisses in der
zu definiere
us Sicht des
vielfältig, zu
bei Mittelunischen MethRauschen“
nicht bei Mdie gleiche alsche Kalib
ist nicht imh.
Viele Geräte
hlerbehaftet,diesen auch
rfahren solle
, Messwert
x einer Mtische Fehle
g eher im Sinendet.
Abweichung
r Form x enden) hohe
s wahren W
u unterschei
ng von unenhoden berec
Mittelung voRichtung“,
brierung Me
mmer einfac
e/Bauteile H
, weshalb esh anzugebenen daher hie
und Fehle
Messung der er ) und demnne von „m
g Fehler
x bedeute
en Wahrsch
ertes oder d
iden (und ad
ndlich vielenchenbar
n unendlichaber nicht b
essmittel
h, die Liter
Hersteller –
s notwendign. Dies ist ner kurz wied
r
Differenz vm Messwert
max. möglich
x ( bzw
et dann, dass
heinlichkeit
des Messerg
ddieren) sin
n Messunge
h vielen Meberechenbar
atur teilwei
ein Gerät/B
Abb. 1: Abw
g ist, den jewnicht immerderholt wer
von dem wat x. Der Beghem Fehler“
w. xmax )
s der gesuch
in dem Inte
gebnisses be
nd
en
essungen ar
ise sogar
Bauteil bei
weichung un
‐ 2 ‐
weiligen r den.
ahren griff “ oder
(1)
hte
ervall
etrachtet
d Fehler
U. Hoeppe,
2 E
Es ist ke
Falls dieentsprec
F
Für klei
linearisi
THM, Stand: 24.
Einzelmess
eine statistis
e Messgrößchend dem
F + F+ = F
ine Fehler ieren, und e
∆
02.16
sungen
sche Betrac
ße x ungleicfunktionale
F(x+x) ; F
x lässt sich
es gilt F+ =
∆
htung mögl
h der gesucn Zusamme
F - F- = F(
h die Funktio
= F- = F
lich, der Fe
chten Größeenhang fort
(x-x)
on F(x) in d
mit
ehler x kan
e F(x) ist, p(Fehlerfort
F = F
der Umgebu
Abb.
große
F + u
Abb.
kleine
erlau
F m
nn nur abge
flanzt sich Fpflanzung):
F(x) +F+ /
ung des Mes
2: Fehlerfort
en Fehlern, e
und F – ist i.
3: Fehlerfort
en Fehlern, d
bt die Berech
it der Ableitu
eschätzt wer
Fehler :
/ -F-
sswertes me
tpflanzung b
eine Untersch
.A. notwendi
tpflanzung b
die Linearisie
hnung des Fe
ung der Funk
‐ 3 ‐
rden.
(2)
eist
(3)
bei
heidung
ig.
bei
erung
ehlers
ktion F.
U. Hoeppe,
Falls zuF=F(x, yTangent
a) Maxi
∆
b) Wahr
∆
(sog. Gaunabhän
Speziell
a) Summ
∆
∆
b) Produ
∆
∆
THM, Stand: 24.
udem mehrey, z, …) zu te tritt hier e
imal möglic
∆
rscheinlichs
∆
außsche Fengigen Mes
l gilt damit
men F =
∆ |
∆ ∙
ukte F =
∆
∆ ∙
02.16
ere verschiedbestimmen
eine Tangen
cher Fehler
∆
ster Fehler b
∆
hlerfortpflassgrößen F a
für
ax + by + c
∙ ∆ | |
∙ ∆
xa · yb · zc …
∙ ∆ ∙ ∆
∆ ∙
dene Messun, addieren sntialebene):
= Summe fo
∆
bei unabhän
∆
anzung: Es ialle „in die
cz + … die
∙ ∆ | | ∙
∙ ∆
… die relat
∆ ∙ ∆
∙ ∆
ungen x, y, zsich die Feh:
fortgepflanz
∆ ⋯
ngigen Mes
∆ ⋯
ist unwahrsgleiche Ric
e Fehler add
∙ ∆ | ⋯
∙ ∆ ⋯
tiven Fehler
⋯
∙ ∆ ⋯
z, … nötig hlerfortpflan
zter Einzelfe
ssgrößen x, y
⋯
cheinlich, dchtung“ verf
dieren sich:
⋯
r addieren s
Abb.
von z
Bei kl
darge
ebene
von
sind um dienzungen (, a
ehler:
y, z, …:
dass die Fehfälschen.)
ich:
4: Fehlerfort
zwei unabhän
leinen Fehler
estellte Fläch
e und F ergFX undFY.
e Größe an die Stelle
hler der
tpflanzung im
ngigen Mess
rn entspricht
he einer Tang
gibt sich als S
‐ 4 ‐
e der
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
m Fall
sgrößen.
t die
gential‐
Summe
U. Hoeppe,
3 W
Hier ist
e
d
Zu unte
F
F
Zu beac
D
d
3.1 G
Streuen gemesseGaußvewahren
Für une
Messun
THM, Stand: 24.
Wiederholt
eine Statist
eine Mittelw
der Fehler d
erscheiden is
Fehler der E
Fehler des M
chten:
Statistische
Definition eder Breite d
Gaußsche N
n Messwerteene relative
erteilung g(xWert. Wie
endlich viele
ngen ist s zu
02.16
te (viele) M
tik möglich,
wertbildung
der Einzelm
st der
Einzelmessu
Mittelwerte
e Streuung (
eines Vertrader gemesse
Normalver
e rein zufällie Häufigkeitx) an. Für ungroß ist der
e Messunge
umindest ein
Messungen
, insbesonde
g sinnvoll
messung bere
ung x, und
es ∆ ( wir
„Fehler“) b
auensbereichenen Häufig
rteilung
ig (stochasttsverteilungnendlich vir verbleiben
en entspricht
ne gute Schä
ere ist
echenbar (
d
rd mit Anza
bedingt Brei
hs erlaubt ugkeitsverteil
tisch) um deg mit der Aniele Messun
nde Fehler b
ht der Stan
ätzung für
Standard
ahl n der M
ite einer Häu
umgekehrt Alung
en wahren Wnzahl von Eingen entspribei endlich v
ndardabweic
.
dabweichun
essungen kl
ufigkeitsver
Angabe eine
Wert, so nähinzelmessunicht der Mitvielen Mess
chung s, bei
Abb. 5:
Messun
dazu an
die norm
( Wah
ist const
ng).
leiner! )
rteilung
es Fehlers a
hert sich diengen einer ttelwert demsungen?
i endlich vi
Häufigkeitsv
ng eines Wer
ngepasste Ga
mierte Gauß
hrscheinlichk
t = 1.
‐ 5 ‐
auf Basis
e
m
elen
verteilung de
tes x und die
außverteilung
verteilung
keitsverteilun
er
e
g. Für
ng)
U. Hoeppe,
Je besseMesswe
Je höherden Stan
Bei unemacht d
Standargrößer arechnun
weitere
3.2 V
Annahm
Da die nIntegralkeit, das
Bsp: D
dass der
Abb. 6: Z
ergibt fü
(grün + g
Grafik ge
THM, Stand: 24.
er die Qualierte also die
r die Anzahndardfehler
endlich vieledie Fehlerre
rdabweichunals der Stanng) bzgl. des
Korrekture
Vertrauens
me: Streuun
normierte Gl über die gess ein Mess
as Integral v
r Wert einer
Zur Definition
ür das 1‐Sigm
gelb) eine W
ewählten be
02.16
tät der Einze Standardab
hl der Messur des Mittelw
√
en Messungchnung also
ng s auch nudardfehler s Mittelwer
en berücksic
sbereich =
g (und wa
Gaußverteiluesamte Vertwert in gen
von - 2
r Messung i
n des Konfid
ma‐Intervall (
Wahrscheinlich
ispielhaften
zelmessungebweichung
∙ ∑
ungen, destowertes e
∙ ∑
gen wäre dero nur bei en
ur eine mäß. Für eine
rtes müssen
chtigt werde
Konfidenzi
ahrer Wert
ung G(x) einteilung = 1,
nau diesen B
bis + 2 e
in dem Inter
enzintervalls
(grün) eine W
hkeit von gu
Werten von
en, desto kls. Für den s
.
o genauer wergibt sich a
.
r Fehler desndlich vielen
ßig gute Sche genauere letztlich so
en.
intervall
) seien bek
ne Wahrsch und über e
Bereich fällt
ergibt 0,954
rvall [ - 2
s: Die Integra
Wahrscheinlic
t 95 %. (Die E
µ = 10 und
einer wird dstatistischen
wird der daraus der Fehl
s Mittelwertn Messunge
hätzung für statistische
og. Vertraue
kannt.
heinlichkeitsinen Wertebt.
45 also gut 9
, + 2]
ation über di
chkeit von ca
Ergebnisse g
= 2.)
die Streuungn Standardfe
aus bestimmertheorie
tes also gleien. Leider is
und der FFehlerabsch
ensbereiche
sverteilung bereich die
95 %. Die W
liegt, ist da
ie normierte
a. 68 %, für d
gelten unabh
g der einzelehler gil
mte Mittelw
ich null. Sinst dann die
Fehler ∆ ishätzung (bzdefiniert un
ist, ergibt dWahrschein
Wahrschein
aher gut 95%
Gaußverteil
das 2‐Sigma‐
hängig von de
‐ 6 ‐
lnen lt
(10)
wert. Für
(11)
nn
st i.A. zw. –nd
das nlich-
nlichkeit,
%.
ung
‐Intervall
en in der
U. Hoeppe,
Der Feh
dass der
entsprec
Umgeke
gut 95%
Der Feh
einer sta
3.3 F
Streuunendliche
In diese
W.S. Goeine (klwerden Faktoregewählt
Für den
∆
wobei s
Tab. 1: E
Bsp:
n = 10 M
95 % sta
tP = 2
∆ %
Die tp-F„effektivVertraue
THM, Stand: 24.
hler des Mit
r aus n Mes
chend bei gu
ehrt heißt d
% im Interva
hler läge dem
atistischen S
Fehler bei
ng (und wen Zahl von
em Fall mus
osset) angeseine) endlicbei der Bern berücksicten statistisc
n von P und
∆ ∙
der Standa
Einige tP Fakt
Messungen
at. Sicherheit
2,30
%, 2,3
aktoren entsven Vielfachensbereichs a
02.16
ttelwertes ni
sungen best
ut 95%.
as (vgl. Kap
all [ - √
,
mnach mit e
Sicherheit v
unbekannt
ahrer Wert n Messunge
ss eigentlich
setzt werdenche Zahl vonrechnung vochtigt. Die t-chen Sicher
n abhängig
∙√
ardabweichu
toren
t
30 ∙√
prechen alsoen“ der Streangesetzt we
immt mit de
timmte Mit
p.1), dass de
+
√] lieg
einer statist
von genau 9
ter Streuun
) sind i.A.n abgeschät
h an Stelle d
n. Für n n Messungeon Vertraue-Faktoren sirheit P abhä
gen Fehler d
∙
ung der gem
o in etwa eineeuung in der rden muss.
em Faktor √
ttelwert in d
er wahre W
gt.
tischen Sich
95% bei ∆
ng „t-Fa
. jedoch nictzt werden.
der Gaußver
geht diesen ergeben
ensintervalleind von derängig (vgl. T
des Mittelwe
∙ ∑
messenen Ei
em (von der Gaußverteilu
√ ab. Dahe
dem Interva
Wert mit ei
herheit von g
= , √
).
ktoren“
cht bekannt
rteilung ein
se in die Gasich (deutlien, und damr Anzahl derTab.1 und
ertes ∆ erg
,
inzelwerte e
Anzahl der Mung, welches
r ist die Wa
all [ -
√ ,
iner Wahrsc
gut 95% bei
, sondern m
e student-t-V
außverteilunche) Abwei
mit der Fehler Messungetp_Faktoren
gibt sich letz
entspricht.
Messungen as für die Bere
ahrscheinlic
+
√] lieg
cheinlichkei
i ∆ =
√ (
müssen aus e
Verteilung
ng über, abeichungen. Der, mit den sen n und dern.xls).
ztlich
abhängigen) echnung des
‐ 7 ‐
chkeit,
gt, auch
it von
(und mit
einer
(nach
er für Diese sog. t-r
(12)
U. Hoeppe,
4 (
Oft wird(vgl. Ka
1. mögl
2. eine p
3. meist bestim Die meistandardden gesu
Abb. 7: Z
angepas
Summe (
mögliche
quadrate
Für denund b soStandargibt (wi
Wahrscviele M
Für ein Standarmultipli95 % stat
Die obewobei imFehler danalytis
THM, Stand: 24.
(Viele) Mes
d mit einer ap.3), sonde
ichst viele W
passende Fu
t mit einer gmmt, mit de
iste Softwardmäßig die uchten Para
Zur Methode
sst, bis die Su
(Residuen)
e Anpassung
e offensichtli
n Fall eines lowie die jewrdfehler ie schon in K
heinlichkeitMesspunkte (
höheres Verdfehler wieiziert werdet. Sicherheit,
en beschriebm Falle eineder Einzelmsch durchfüh
02.16
ssungen in
Messung nern die Funk
Wertepaare
unktion (mi
geeigneten Senen sich di
re (z.B. auchMethode de
ametern auc
e der kleinste
umme der Ab
) bestimmen
g dargestellt,
ich größer.
linearen Zuweiligen Stader daraus zKap.3) an, d
t von ca. 68(> 100) best
ertrauensniveder mit denen. , wobei h tP = 3,18)
bene Bestimer nichtline
messungen ahren und die
Abhängigk
nicht nur einktion oder d
F1(x1), F2(x
t zunächst n
Software unie Messdate
h Excel, Orer kleinsten ch deren Sta
en Quadrate:
bweichungsq
n sich die vom
für die in a)
sammenhanandardfehlezu berechnedass der wa
8% im dem timmt wurd
veau oder/unn entsprechehier der We
mmung des Faren Regreslle gleich gre Parameter
keit einer V
n Wert x odderen Param
x2), … , Fn(
noch freien
nter Verwenen am besten
rigin, qtiplo Fehlerquad
andardfehle
: Die Parame
quadrate (grü
m Algorithmu
) angenomm
ngs er und enden Größahre Wert z.
Intervall [mden.
nd eine gerienden tp Fakert bei f = r-
Fehlers gilt ssion auch oroß, lässt sir und Fehler
Variablen:
der ein Funmeter selbst.
(xn) gemesse
Parametern
ndung der Mn beschreib
t, mathcad ,drate (least r.
eter der Gera
ün) minimal
us angegebe
ene Gerade
bestimmt
ße angB. des Para
m- m, m+
inge Anzahlktoren ( vgl2 zu nehme
für lineare oft von Fitteich eine liner „von Hand
Regression
nktionswert Dazu werd
en,
n) gewählt u
Messdaten den lassen.
,…) verwensquares fit)
adengleichun
wird. Aus de
en Fehler. In A
ist die Summ
werden z.Bt. Zudem wiegeben. Der
ameters m m
m] liegt, so
l von Messu. tp_Faktore
en ist. (Bsp.:
wie nichtlinen gesprocheare Regressd“ ausrechn
nsanalyse
F(x, …) bden
und
die Paramet
ndet hierfür ) und liefert
ng werden so
er verbleiben
Abb. b) ist di
me der Abwe
B. die Paramird der
er Standardfmit einer
ofern hinrei
ungen mussen_Tabelle.: r = 5 Wertep
neare Regrehen wird. Sision sogar nen (vgl. B
‐ 8 ‐
bestimmt
ter
t neben
o lange
nden
ie best‐
ichungs‐
meter m
fehler
chend
s der .pdf )
paare,
essionen, ind die
sp. in
U. Hoeppe,
Kap. 8.3Sind dieMessbeEinzelm
(FehlOrigin oFall werwelche
AchtungMesswe
Anmerk
Auch wRegressMittelwfolgend
- Abwei Gültig- System
5 G
Haben vFehler, gebildetKehrweFehlern
Bsp: Zw
X1
X2
∆
Bei nich
Mittelwe
THM, Stand: 24.
3.1). Einface Fehler derreichs oder
messwerte en
lerbalken). Hoder qtiplotrden neben ggf. wie in
g: Auch hieerte berechn
kung:
wenn nur einsion (z.B. be
wertbildung den Gründen
ichungen vokeitsbereich
matische Fe
Gewichtete
voneinandermacht ein gt werden. Aerte der Fehln entspreche
∑
∑
wei verschie
1 = 32 0,5
2 = 34 2
32,1
0,49
ht statistisch b
ertbildung ge
02.16
cher ist sicher Einzelmesverschieden
ntsprechend
Hierfür ben, die hier enden bestimm3.3 beschri
er wird nur dnet. Ein anzu
n Parameter ei vielen Me(nach ebens
n grundsätzl
on dem angh einer Linehler (z.B. K
er Mittelwe
r unabhängigewöhnliche
Als Wichtunlerquadrate
end stärker g
∙ ∆
edene Messu
9
Abb. 8
Mittel
genau
berechneten
emäß wi = x
er die Verwsungen untenen Zählratd ihren jewe
ötigt man entsprechendmten (Fit-)eben interpr
der statistiscunehmende
( z.B. eine essungen beso vielen Mlich vorzuzi
genommenenearisierung)Kalibrierung
ert
ige und meier Mittelwegsfaktoren w, womit diegewichtet w
∆∑
ungen der g
8: Messwerte
lwert von 33
ueren Messu
absoluten Ei
xi - 1 evtl. sinn
wendung einerschiedlichten in der Keiligen Fehl
eine etwas „pd erweiterte
Parameternretiert werd
che Fehler aer systematis
Proportionaei unterschi
Messungen biehen!
n Zusamme). gsfehler) kö
ist auch untert wenig Sinwi nimmt m
e vertrauenswwerden:
∑
gleichen Grö
e mit Fehlerb
3 nicht sinnvo
ng liegt.
inzelfehlern
nvoller sein.
ner geeigneth groß (z.B.
Kernphysik),lern untersc
professioneAlgorithme
n deren Standen müssen.
aufgrund descher Fehle
alitätskonstaiedlichen Wbei dem glei
enhang werd
nnen ggf. er
terschiedlichnn. Hier sol
man bei statiwürdigeren
öße ergeben
balken: Offen
oll, da er auß
kann eine lin
ten Software. durch Wec, ist es sinnvhiedlich zu
ellere“ Softwen verwendendardfehler .
er Streuung er ist ggf. zu
ante) zu besWerten x ) ein
chen Wert x
den ggf. deu
rkannt werd
he Messungllte ein gewistischen Ei
n Ergebnisse
∆
n die Werte
nsichtlich ist
ßerhalb des F
neare Wichtu
e wie z.B. Echsel des voll die wichten
ware, wie z.en. Auch inausgegeben
der einzelnu addieren!
stimmen istner einfachex) u.a. aus d
utlich (z.B.
den .
gen verschiewichteter Miinzelfehlerne mit den kl
t der arithme
Fehlerbalken
ung bei der
‐ 9 ‐
Excel.
.B. n diesem n,
nen
, ist eine en den
edene ttelwert
n die leineren
(13)
etische
s der
‐ 10 ‐ U. Hoeppe, THM, Stand: 24.02.16
6 Fehlerrechnung in der Kernphysik
Die Messung sehr vieler (N) Einzelereignisse, also die Messung einer Zählrate über
eine lange Zeit reduziert den Fehler in z mit einem Faktor √ , da entsprechend mehr
Einzelereignisse gemessen werden. Wie ist aber im Falle der Messung einer Zählrate der absolute Fehler anzusetzen, und wie groß sind die Fehlerbalken bei einer grafischen Darstellung zu wählen?
Da die Zerfallswahrscheinlichkeit eines einzelnen Atomkerns sehr klein ist, bzw. die Zahl von Kernen sehr groß ist gegen die Zahl von gemessenen Zerfällen, kann die Standardabweichung hier über einen „Umweg über die Poisson-Verteilung“ abgeschätzt werden. Eine etwas schwierige Herleitung ergibt letztlich das einfache Ergebnis:
√ bzw. √ . (14)
Der Fehler N oder z (Fehlerbalken) ergibt sich dann entsprechend dem angesetzten Vertrauensniveau mit Δ ∙ bzw. Δ ∙ .
Für eine Sicherheit von z.B. 95% ist Δ ≅ 2 ∙ bzw. Δ ≅ 2 ∙ , da hier die Anzahl der Messungen der Zahl der Einzelereignisse N entspricht und i.d.R. sehr groß ist.
Bei gleicher Aktivität wird also der Fehler z mit √ kleiner, da N linear mit der
Messzeit t zunimmt!
Der absolute Fehler ∆ nimmt zwar mit N zu, der relative Fehler ∆
nimmt aber auch
hier mit √ab.
‐ 11 ‐ U. Hoeppe, THM, Stand: 24.02.16
7 Darstellung des Ergebnisses Zu einem Messergebnis gehört auch immer der Fehler. Geben Sie daher Ihr Messergebnis abschließend immer mit Fehler an. Wird bei einer statistischen Auswertung abweichend vom Standardfehler ein höheres Vertrauensniveau als 68,3% gewählt, sollte dies ggf. angegeben werden.
Eine physikalische Größe besteht aus einer Zahl und einer Einheit. Wählen Sie sinnvolle Einheiten, d.h. gegebenenfalls Vorsätze wie k für„kilo“ oder m für „milli“ oder passende Zehnerpotenzen. Achten Sie darauf, dass zu vergleichende Werte, d.h. Ergebnis und Fehler, in gleichen Einheiten bzw. Zehnerpotenzen dargestellt werden.
Der Fehler wird üblicherweise mit ein bis zwei relevanten Stellen angegeben und grundsätzlich aufgerundet. Die Zahl der anzugebenden relevanten Stellen für das Ergebnis ist entsprechend der Größe des Fehlers zu wählen.
Als Zahl der relevanten Stellen bezeichnet man die Anzahl aussagekräftiger Ziffern ohne führende Nullen. Drei relevante Stellen haben z.B. die Zahlen 12,3 | 1,23 | 0,0123 | 1,23·10-4 .
Beispiele für eine falsche (schlechte) und richtige (sinnvolle) Angabe des Ergebnisses:
falsch / schlecht richtig / sinnvoll
g = (9,823456 0,481234) m/s² g = (9,823456 0,48) m/s² g =9,8 0,5 m/s²
g = (9,8 0,5) m/s²
x = 30 2210-2
x = 30,0 0,22
d = 0,023 m 0,976 mm
d = 23,0 cm 0,1 cm d = (23,0 0,1) cm
Tab. 2: Zur Darstellung eines Messergebnisses
Um ganz allgemein die Qualität einer Messung zu beschreiben, ist die Angabe des relativen
Fehlers x/x sinnvoll, üblicher Weise in %. Für die Beispiele oben ergibt sich z.B.:
∆ 0,0510 0,06 → 6% bzw. ∆0,007333 0,0074 → 0,8% 1%
Je nach Zusammenhang ist auch die Angabe eines Fehlerintervalls sinnvoll, also z.B.:
Der Wert für g liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % im Intervall [9,3 m/s², 10,3 m/s²].
‐ 12 ‐ U. Hoeppe, THM, Stand: 24.02.16
8 Beispiele
8.1 Beispiel: Fehlerfortpflanzung
Es wird die Geschwindigkeit v eines vorbeifahrenden Zugs bestimmt, indem mit einer Stoppuhr die Zeit t = 2,85 s gemessen wird, in welcher der Zug die Strecke s = 50 m zurücklegt. Eine Wiederholung der Messung ist nicht möglich, die Fehler der
Einzelmessungen werden mit t = 0,2 s und s = 0,5 m abgeschätzt.
Entsprechend Definition der Geschwindigkeit ergibt sich:
502,85
17,54 63,16
Entsprechend Gleichung (4) gilt für den maximalen Fehler:
∆ ∙ ∆ ∙ ∆
Die partiellen Ableitungen lauten explizit:
1
Für den maximalen Fehler ergibt sich damit
∆1∙ ∆ ∙ ∆
12,85
∙ 0,5502,85
∙ 0,2
0,175 1,23 1,405 1,5 ≅ 5,1
Das Endergebnis ist demnach 17,5 1,5 bzw. 63,1 5,1 .
Sind statistische Schwankungen für den abgeschätzten Fehler verantwortlich, und insbesondere die Messgrößen s und t voneinander unabhängig, verwendet man besser die Gaußsche Fehlerfortpflanzung entsprechend Gleichung (5):
∆ ∙ ∆ ∙ ∆1
∙ ∆ ∙ ∆
1
2,85∙ 0,5
502,85
∙ 0,2 1,24 ≅ 4,47
Das Endergebnis ist jetzt 17,5 1,3 bzw. 63,1 4,5 .
U. Hoeppe,
8.2 B
Die TieZeit t bi
aus dem
genau b
Da von systemaGenauig
Die Me
Für denKap. 3.3Fehler d
∆
Nach Asich für
wahrschZeitmes
Der FehFehlerfo
∆
Die TieWahrscüber 10
THM, Stand: 24.
Beispiel: St
fe eines Bruis zum „Plat
m Zusammen
bekannt ang
Hand gestoatische Fehlgkeit zu erre
sswerte sind
n Fehler soll3 ergibt sichdes Mittelw
∆ %,
Addition des den Fehler
heinlichste Wssung zu
hler für die Tortpflanzung
∆ ∙
fe des Brunheinlichkeit%.
02.16
tatistischer
unnens wirdtsch“ mit ei
nhang
enommen w
oppt wird, isler der Stoppeichen, wird
d:
l ein Vertrauh ein tp-Wer
wertes
∙√
systematiscr der Zeitme
Wert für die
∙ 9,81
Tiefe x des g:
∙ ∆ 2 ∙12
nnens beträgt von 95% i
r Fehler bei
d bestimmt, iner Stoppuh
, wobe
wird.
st die Zeitmpuhr, der md die Messu
Mittelwer
Standardf
Standardf
uensniveau rt von 2,3 u
2,3 ∙ 0,051
chen Fehleressung ∆
e Tiefe des
∙ 2,44 ∙
Brunnens e
∙ ∆ 9
gt demnach im Intervall
i definierte
indem manhr misst. Di
ei die Erdbe
messung ist smit 0,01 s anung daher 1
rt:
∑
fehler einer
fehler des M
√
von 95 % aund damit en
138 0,1
rs (obwohl h∆ %,
Brunnens b
29,20
ergibt sich a
9,81 ∙ 2,4
x = (29,2 l [ 26,1 m ;
em Vertrau
n kleine Steie Tiefe des
eschleunigu
sicher viel ungenommen 0 mal wiede
2,440
Einzelmess
∙ ∑
Mittelwertes
∙ ∑
angesetzt wentsprechend
1182 .
hier eigentli ∆
berechnet sic
.
aus dem Feh
44 ∙ 0,12
3,1) m, bzw32,3 m ]. D
uensniveau
ine hineinfas Brunnens x
ung mit
ungenauer awird. Um e
erholt.
sung nach G
0,
nach Gleich
erden. Entspd Gleichung
ich vernach
. 0,1282ch aus dem
hler der Zeit
82 3,07
w. x liegt mer relative F
allen lässt ux ergibt sich
9,81 hie
als der eine größere
Gleichung (1
,1625
chung (11):
0,05138
prechend Tg (12) für de
hlässigbar) e . Der
Mittelwert
tmessung u
7 3,1
mit einer Fehler liegt
‐ 13 ‐
und die h dann
er als
e
10):
ab.1 in en
ergibt
der
nd
bei
U. Hoeppe,
8.3 B
8.3.1 L
GegebeDie Aufbei Anwdem Erg
Für die
Bsp.: M
x
0,95
2,2
3,1
4,0
Die etw
m
Die obeVertrauFaktor mstatistisc
tp = 4,3
Damit g
m = 1,1
THM, Stand: 24.
Beispiele: R
Lineare Re
n seien n Mfgabe, diesewendung degebnis:
∙ ∑∙
Standardfeh
∙
∑
Messung von
y
0,08
1,38
2,41
3,65
was mühselig
m = 1,16
en angegebeuensniveau vmultiplizierche Sicherh
zu multipli
gilt mit eine
6 0,24 un
02.16
Regression
egression „v
Messwerte yi
en durch einr Methode d
∙ ∑
∙ ∑ ∑
hler gilt:
∑ ∑
1 ∑
n 4 Wertepa
ge Rechnun
b = -1,1
enen Fehler von z.B. 95%rt werden, wheit von 95%
zieren, also
er Sicherheit
nd b = -1,1
sanalyse un
von Hand“
i (xi) die verne lineare Gder kleinste
∑ ∙ ∑∑
∑∙ ∆
∙
aaren yi (xi)
ng (vgl. Line
0 y =
entsprechen% muss der
wobei hier d% sind hier
o m95% = 4
t von 95% f
0 0,66.
nd Anfitten
“
rmutlich in Gleichung deen Quadrate
∙ ∑ ∙
2
eare_Regress
= 0,124
n dem statisr Standardfe
der Wert beidie Fehler (
4,3·0,055 = 0
für Steigung
n von Mess
einem lineaer Form e zu einem lö
∑ ∙
∙
∑ ∙ ∑
sion_mit_Ex
m = 0,055
stischen Staehler wieder f = r-2 = 4-(vgl. tp_Fak
0,24 und b
g und Y-Ac
daten
aren Zusamm
ösbaren Gle
∙ ∑ ∑∙ ∑
∑∑ ∑
∑
cel.xls) ergib
b = 0,15
andardfehlerr mit dem en-2 = 2 zu nektoren_Tabe
b95% = 4,3·0
hsenabschn
mmenhang st darzustelleeichungssys
∙ ∑ ∙∑
∑∙ ∆
bt folgende
53
r. Für ein höentsprechendehmen ist. Felle.pdf ) m
0,153 = 0,66
nitt
‐ 14 ‐
tehen. en, führt stem mit
Werte:
öheres den tp Für eine mit
6.
‐ 15 ‐ U. Hoeppe, THM, Stand: 24.02.16
8.3.2 Lineare Regression mit Excel
Die Länge einer hängenden Feder wird als Funktion daran aufgehängter Gewichte gemessen:
Mit Hilfe der Funktion „RGP“ von Excel (vgl. Lineare_Regression_mit_Excel.xls) wird eine Geradengleichung y = m·x + b angepasst. Man erhält als Ergebnis:
1) Y-Achsenabschnitt b = (33,3 1,0) mm, entspricht der Länge der Feder ohne Belastung.
2) Steigung der Ausgleichsgeraden m = (60,8 1,4) N/m , entspricht der Federkonstanten.
Die oben angegebenen Fehler entsprechen dem statistischen Standardfehler. Für ein höheres Vertrauensniveau von z.B. 99% muss der Standardfehler wieder mit dem entsprechenden tp Faktor multipliziert werden, wobei hier der Wert bei r = 12 bzw. bei f = r-2 = 12-2 = 10 zu nehmen ist. Der Tabellenwert (vgl. tp_Faktoren_Tabelle.pdf ) für tp ist 3,169. Der Fehler in der Steigung m, also der Federkonstanten, beträgt bei einer geforderten Sicherheit von 99% damit ∆ ∙ 3,169 1,4 / 4,44 / .
3) Ist z.B. aus konstruktiven Gründen nicht die Federkonstante, sondern die tatsächliche Länge der Feder entscheidend, verwenden wir den von der Funktion RGP ausgegebene Standardfehler „delta_y“ von in diesem Fall 1,634 mm und multiplizieren diesen mit dem tp Faktor 3,169 von oben.
∆ % ∙ 3,169 ∙ 1,634 5,178 5,2
Mit 99% Sicherheit ist der mit den aus der Messung bestimmten Parametern berechnete Wert
für die Federlänge mit einem Fehler von 5,2 mm behaftet.
y = 60,4 x + 33,8
0
20
40
60
80
100
120
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Federlän
ge / m
m
Kraft / N
U. Hoeppe,
8.3.3 L
Oft lassfunktionmathemsollen h
a) Expo
Die Lin
Bsp.: La
Die LinDämpfu
und für
Der Feh
Fehlerfo
Die hierhöheres
Anmerku
Die Line
Offset Io
beschriebund vor durchfüh
THM, Stand: 24.
Lineare Re
en sich mit nalen Zusam
matische Umhier kurz bes
onentiell abf
nearisierung
ambert-Bee
neare Regresungsparame
0,029
die Anfang
,
hler für I0 er
ortpflanzung
r angegebens Vertrauens
ung:
earisierung w
off bei der Me
ben werden der Auswerthren. Dieser
02.16
egression m
Hilfe der limmenhänge
mformung eischrieben w
fallende Fun
erfolgt inde
ersches Gese
∙ ∙
ssion (vgl. Leter
95 0,001
gsintensität
∙
rgibt sich au
g entsprech
∙
nen Fehler esniveau mus
wie oben besc
essung vorlie
muss. In eintung abzuziehFall tritt z.B
mit Excel na
inearen Regen bestimmeine Linearis
werden:
nktionen
em man den
etz
Lineare_Reg
12 ∙ 1/
115,9 8
us dem Fehl
hend
∙
entsprechenss ggf. wie
chrieben fun
egt und die g
em solchen Fhen oder ein. durch die s
ach Lineari
gression aucen, indem msierung vorn
n Logarithm
gression_mit_
,
8,3 ∙
ler für den Y
∙
n wieder demin Kap. 8.3
nktioniert nic
gemessene In
Fall muss mane nichtlinear
og. Nullrate
isierung ni
ch die Paramman zuvor dnimmt. Zwe
mus über der
ln ln
_Excel.xls) e
Y-Achsenab
:
115,9 ∙ 0
m statistisch.2 beschrieb
ht mehr, wen
ntensität eigen
an den Offsere Regressionbei Messung
chtlinearer
meter von nidurch eine gei häufig vo
r Variablen
n ∙
ergibt für de
bschnitt
,071 8,2
hen Standardben verfahre
nn z.B. ein zu
ntlich mit
et versuchen n mit der pasgen einer Ra
r Zusamme
ichtlinearengeeignete orkommende
n x = d auftr
: ∙
en linearen
ln und
23 8,3
rdfehler. Füren werden.
zusätzlicher a
∙ ∙
separat zu mssenden Funkadioaktivität a
‐ 16 ‐
enhänge
n
e Fälle
rägt.
d
r ein
additiver
messen ktion auf.
U. Hoeppe,
b) Therm
Die Lin
Bsp.: Te
Die Lin
für den
1
Der Stan
Fehler d
Die Linder oben
Der Stan
Fehler d
Es verbl
Die hierhöheres
THM, Stand: 24.
mische Proz
nearisierung
emperaturab
neare Regres
Frequenzfa
139 1
ndardfehler
des Paramet
nearisierung n berechnet
ndardfehler
des Paramet
∙
leibt also fü
r angegebens Vertrauens
02.16
zesse die du
erfolgt, ind
bhängige D
∙ ∙
ssion (vgl. B
aktor
.
r für D0 bere
ters ln
∙
von D wurte Fehler sin
r für Qa bere
ters
∙ |
ür wie
nen Fehler esniveau mus
urch den sog
dem man de
Diffusionsko
Beispiele_8.
72,5 1
echnet sich
bzw.
∙
rde in Einhend daher no
echnet sich
:
| ∙ 8
auch für
entsprechenss ggf. wie
g. Boltzman
en Logarithm
onstante
ln
.3.xls) liefer
11 und
wie bei a) m
∙
eiten cm²/s dch mit diese
formal auch
8,3145
nur die Mu
n wieder demin Kap. 8.3
nnfaktor bes
mus über de
n ln
rt nach Umr
d die molare
mittels Fehl
:
72,5 ∙ 0
durchgeführer Einheit z
h mittels Fe
∙∙ 103,4
ultiplikation
m statistisch.2 beschrieb
stimmt sind
er Variablen
∙
rechnung di
e Aktivierun
lerfortpflanz
0,142 10,
rt. Das Ergeu multiplizi
ehlerfortpfla
4 ∙ 859
n mit dem F
hen Standardben verfahre
d
n x = 1/T au
: ∙
die gesuchten
ungsenergie
zung aus de
,29 11
ebnis für D0
ieren.
anzung aus
9 1
Faktor R.
rdfehler. Füren werden.
‐ 17 ‐
ufträgt.
n Werte
em
0 und
dem
r ein
‐ 18 ‐ U. Hoeppe, THM, Stand: 24.02.16
Lineare Regression ohne Wichtung
Y -
We
rte
0
20
40
60
80
100
120
140
x-Werte
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Dataset : Table1_2Function : A*x+BChi 2/doF = 8,8437e+01R^2 = 0,9339B = -1,6248e+01 +/- 5,1098e+00A = 7,6143e+00 +/- 5,6200e-01
Lineare Regression mit Wichtung / Fehlerbalken
Y -
We
rte
0
20
40
60
80
100
120
140
x-Werte0 2 4 6 8 10 12 14 16
Dataset : Table2_2Function : A*x+BChi 2/doF = 6,6031e+00R^2 = 0,9984B = -3,3575e+00 +/- 2,8237e-01A = 4,9319e+00 +/- 1,5570e-01
8.3.4 Lineare Regression mit individuellen Fehlern
Sind die Fehler der Einzelmessungen unterschiedlich groß (z.B. durch Wechsel des Messbereichs oder verschiedenen Zählraten in der Kernphysik), ist es sinnvoll die Einzelmesswerte entsprechend ihren jeweiligen Fehlern unterschiedlich zu wichten.
Hierfür benötigt man eine etwas „professionellere“ Software, wie z.B. Origin oder qtiplot, die hier entsprechend erweiterte Algorithmen verwenden. Wie unten gezeigt wird, ergeben sich bei unterschiedlicher Wichtung der Messpunkte entsprechend ihren jeweiligen Fehlern für die Fitparameter unterschiedliche Ergebnisse.
Bei qtiplot erfolgt die Wichtung durch das Einfügen von Fehlerbalken. (Dazu Grafik
anwählen, und dann im, Menü Graph Add Error Bars …wählen. Letztlich wird dann eine zusätzliche Spalte mit den Fehlern in der Datentabelle eingefügt, die dann auch frei editiert werden können.) Grundsätzlich können Fehlerbalken für x- und y-Werte angelegt werden.
Die folgenden Beispiele (vgl. Fit_linear_gewichtet.qti ) zeigen die Auswirkung einer Wichtung durch Einfügen von Fehlerbalken (10% des Messwertes y) bzgl. der Messwerte y:
Einfache lineare Regression:
Alle Werte werden bei
Berechnung der Ausgleichs‐
geraden gleich berücksichtigt.
Gewichtete lin. Regression
nach Einfügen von Fehler‐
balken: Die Messwerte y sind
hier mit einem relativen
Fehler von 10% behaftet.
Die Ausgleichsgerade fällt
deutlich flacher aus, da die
„oberen“ Messwerte
aufgrund ihres Fehlers
weniger stark berücksichtigt
werden.
U. Hoeppe,
Y -
We
rte
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
Y -
We
rte
0
20
40
60
80
100
120
140
0
8.3.5 N
Der VortnichtlineFunktion
Im Folge
a) Expon
THM, Stand: 24.
20
Zum Ve
20
Nichtlinear
teil einer proeare Funktionnen, die sich
enden werde
nentieller Ab
02.16
Fit: Exponen
40
Vergleich: Fit Ex
40
re Regressi
ofessionellerenen wählbar schlecht ode
en nur kurz d
bfall mit und
ntieller Abfall m
x-Werte
60 80
Dataset: TFunction: Chi^2/doR^2 = 0,9A = 1,3667t = 2,4279ey0 = 1,621
xponentieller A
x-Werte60 80
DataseFunctiChi^2R^2 = A = 1,3t = 3,73
ion mit qtip
en Software bzw. editierb
er gar nicht l
die Ergebniss
ohne Offset
mit Offset
100
Table1_2y0+A*exp(-x/t
oF= 4,3864e+099797e+02 +/- 2,98e+01 +/- 1,3115e+01 +/- 1,6
Abfall ohne Offs
100
et: Table1_2ion: A*exp(-x/t/doF= 4,50680,9754
3776e+02 +/- 350e+01 +/- 3
plot
wie Origin orbar sind. Inslinearisieren
se der Beispie
t ( vgl. Expo
120 14
t)00
845e+0077e+006080e+00
set
120 14
t)8e+01
6,9039e+003,6557e+00
oder qtiplot besondere lalassen, an M
ele anbei dar
onentieller_A
40
40
ist vor allemassen sich da
Messdaten anp
rgestellt:
bfall.qti )
Durch Be
offensich
Offsets, w
punkte gu
beschrieb
Die Quali
R² = 0,99
hoch, die
Ohne Ber
Offsets, w
punkte de
durch den
Die Quali
R² = 0,975
Fehler für
und t ents
größer.
m, dass fast beadurch auch passen (fitten
erücksichtigu
htlich vorhan
werden die M
ut durch den
ben.
ität des Fits i
79 entsprech
e Fehler relat
rücksichtigun
werden die M
eutlich schle
n Fit beschrie
ität des Fits i
754 schlechte
r die Parame
tsprechend d
‐ 19 ‐
el.
n).
ng des
denen
Mess‐
n Fit
ist mit
hend
tiv klein.
ng des
Mess‐
chter
eben.
ist mit
er und die
eter A
deutlich
U. Hoeppe,
b) Gauß
MessdaLorentzvon beidsondern
Fit einer
xc = 1008
Fit einer
Qualität
xc = 1008
bestimm
Tra
nsm
itti
erte
Leis
tun
g [
au
]
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
995
Tra
nsm
itti
erte
Leis
tun
g [
au
]
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
995
THM, Stand: 24.
ßkurve oder
aten ist i.A. nzkurve beschden Modell
n i.A. auch I
Gaußkurve a
8,6 und der
Lorentzkurv
t des Fits mit
8,7. Der Para
mt sich z.B. di
5
Dataset : TableFunction : y0+Chi 2/doF = R^2 = 0,9746A = 2,6490e+02xc = 1,0086e+0w = 3,0282e+0y0 = 3,8049e+0
5
Dataset : TableFunction : y0+Chi 2/doF = R^2 = 0,9926A = 3,9780e+02xc = 1,0087e+0w = 3,1088e+0y0 = -8,7541e-0
02.16
r Lorentzkur
nicht einfachrieben werlen. Man erhInformation
an fiktive Me
Kurvenbreite
ve an die glei
R² = 0,993 d
ameter w = 3
ie Güte des R
1.000
e1_2+A*sqrt(2/PI)/w*e
1,5592e+01
2 +/- 1,4495e+003 +/- 7,3946e-0200 +/- 1,6366e-0100 +/- 1,1423e+0
1.000
e1_2+2*A/PI*w/(4*(x-
4,5592e+00
2 +/- 1,6061e+003 +/- 3,6673e-0200 +/- 1,3960e-0101 +/- 8,0857e-0
rve (vgl. G
ch anzuseherden. Hier hhält dadurch
nen über die
essdaten. Die
e w = 3,03 ge
ichen Daten m
deutlich höhe
3,11 gibt die
Resonators zu
Ga
Freque1.005
exp(-2*((x-xc)/w)
12100
Lor
Freque1.005
-xc)^2+w^2)
12101
Gauss_Loren
en, ob sie behilft das Anfh nicht nur e
e zugrundeli
e wichtigen E
egeben. Die S
mit deutlich
er. Die Kurve
sog. Halbwe
u f/f‐3dB = 3
außkurve
enz f [ MHz1.010
)^2)
rentzkurve
enz f [ MHz1.010
ntz.qti )
esser mit einfitten und deine bessereiegenden ph
Ergebnisse s
Streuung
besserem Er
nlage ( Re
ertslinienbrei
324.
z ]0 1
z ]0 1
ner Gaußkurer anschließer Beschreibhysikalische
ind mit der K
entspricht w
rgebnis, ents
esonanzfrequ
ite ( f‐3dB )
1.015
1.015
urve oder einßende Vergbung der Men Prozesse
Kurvenlage
w/2 also ca. 1
sprechend lie
uenz in MHz)
) in MHz an.
1.020
1.020
‐ 20 ‐
ner leich
Messung, .
1,5 .
egt die
) liegt bei
Damit
‐ 21 ‐ U. Hoeppe, THM, Stand: 24.02.16
c) Fit von überlagerten Kurven, hier: Spektrum mit zwei Lorentzlinien (z.B. Resonatormoden)
(vgl. Multiple_Lorentz.qti.)
In diesem Beispiel überlagern sich zwei Lorentzlinien (oder – kurven), diese sind zwar noch zu unterscheiden, aber nicht getrennt auswertbar. Hier hilft nur ein Fit mit dem Ansatz für zwei überlagerte Linien. Als Ergebnis erhält man dann die Parameter für zwei Linien:
A1 = 1,9293e+03 +/- 3,0999e+01 A2 = 1,3993e+03 +/- 3,3655e+01
xc1 = 1,0434e+03 +/- 8,5631e-02 xc2 = 1,0830e+03 +/- 1,3233e-01
w1 = 1,5086e+01 +/- 2,9119e-01 w2 = 1,6289e+01 +/- 4,6280e-01 In diesem Fall also die Resonanzlinien zweier Moden bei 1043,4 MHz und 1083,0 MHz mit leicht unterschiedlichen Amplituden aber vergleichbarer Linienbreite von ca. 1,5 MHz. 9 Im Script verwendete Notation
x Fehler
x Standardfehler (Statistik)
s Standardabweichung
Streuung
x, y, z Messwerte
wahrer Wert (Erwartungswert)
f Anzahl der Freiheitsgrade
n Anzahl von Messungen
r Anzahl Wertepaare bei lin. Regression
wi Wichtungsfaktoren
tp tp - bzw. t - Faktor bzgl. Student-t-Verteilung
Überlagerte Lorentzlinien
Tra
nsm
itti
ert
e L
eis
tun
g [
au
]
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Frequenz f [ MHz ]1.000 1.050 1.100 1.150
MesswerteLorentzFit1Peak1Peak2
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