Entscheidungstheorie
Teil 4: Prognosemodelle
Prof. Dr. Steffen FleßaLst. für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre und Gesundheitsmanagement
Universität Greifswald1
Gliederung
1 Grundlagen2 Werte- und Zielsystem3 Konzepte der Entscheidungstheorie
4 Prognosemodelle4.1 Statistische Prognosemodelle
4.1.1 Gleitende Durchschnitte4.1.2 Exponentielle Glättung4.1.3 Ökonometrische Modelle4.1.4 Neuronale Netze
4.2 Prognostizierende Modelle4.2.1 Netzplantechnik4.2.2 Markov-Modelle4.2.3 System Dynamics4.3.4 Simulation
4.3 Expertenprognosen
2
Prognose-Dilemma
• „Prognosen sind schwierig, besonders wenn sie die Zukunft betreffen.“ (zugeschrieben Karl
Valentin, Mark Twain, Winston Churchill u.a.)
3
• „Ein Prognostiker ist ein Mann, der in lichten Momenten düstere Ahnungen hat“. (Tennessee Williams)
4 Prognosemodelle• Einordnung
– Grundproblem: Unsicherheit der Zukunft• Entwicklung von Umweltzuständen• Wirkungszusammenhänge
– Folge: Modelle sind wirkungsdefekt– Gegenmaßnahme: Prognose
• Definition: Modelle zur Ermittlung bzw. Vorhersage von Informationen über unsichere, zukünftige Sachverhalte. Prognosen liefern Planungsinformationen
4
Prognosen: Typologie
• Umweltprognosen: Prognosen über zukünftige Entwicklungen von Problemdaten
• Entwicklungsprognose: Teilmenge der Umweltprognosen: Prognose eines Umweltzustandes, der vom Entscheider nicht beeinflusst werden kann
• Wirkungsprognosen: Prognose von Wirkungszusammenhängen zwischen Parametern und Handlungsalternativen
5
Prognosen: Typologie (Forts.)
• Ergebnisprognosen: Prognose über den Endzustand eines Systems bei Wahl einer bestimmten Handlungsalternative. Oftmals werden für das Ergebnis bestimmte Wahrscheinlichkeiten angegeben.
• Prognosen über zukünftige Handlungsalternativen: Vorhersage der technischen, sozialen, politischen oder kulturellen Entwicklung, die neue Handlungsalternativen entstehen oder alte unmöglich werden lässt
• Prognosen über zukünftig zu verfolgende Ziele: Prognose über Veränderungen des Zielsystems
6
Prognosen: Typologie (Forts.)
• Prognosen im engeren Sinne: Umwelt-, Wirkungs- und Ergebnisprognosen
• Zeithorizont von Prognosen: Kurzfristige, mittelfristige und langfristige Prognosen
7
Wahl der Prognosemethoden
• Grundsätzliche Eignung der Methode für die Vorhersage– z. B. linearer Ansatz bei zyklischen Verläufen
• Prognosefehler– Genauigkeit der Methode
• Prognosekosten– „Ökonomie der Modellbildung“– Grundsatz: So genau wie nötig bei
vertretbarem Aufwand
8
4.1.1 Gleitende Durchschnitte
• Grundproblem: Zeitreihenanalyse– Zeitreihe: Zeitlich geordnete Folge von
Beobachtungswerten y1,..yt, …, yn
– Normalfall: Äquidistante Beobachtungszeitpunkte, d.h. Zeiträume zwischen zwei Beobachtungen sind konstant
– Methoden:• Gleitende Durchschnitte• Glättung• Ökonometrie• Komponentenanalyse,…
9
Beispiel
x y
1 9
2 13
3 17
4 14
5 11
x y
6 16
7 22
8 16
9 15
10 17
x y
11 22
12 20
13 17
14 20
15 26
10
Beispiel
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16
x [Zeit in Monate]
y
Aufgabe: Wie kann man eine Prognose für den
Zeitpunkt t=16 erstellen?
11
Lösung 1:
• Prinzip: Fortschreibung des letzten Wertes • Syn.: Gleitender Durchschnitt der Länge h=1• z. B. „Das Wetter wird morgen so wie heute!“
(In Bayern meistens richtig!)• Anwendung: oftmals bei Budgetierung
tt yy 1ˆ
12
Lösung 1
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
x [Zeit in Monate]
y
y16=y15=26y17=y16=26
13
Lösung 2: yt+1=0,5*(yt+ yt-1)
• Prinzip: Fortschreibung des Durchschnitts der letzten beiden Werte
• Syn.: Gleitender Durchschnitt der Länge h=2• z. B. „Das Wetter wird morgen so wie der
Durchschnitt von gestern und heute!“ • Anwendung: fängt kleine Schwankungen auf
11 5,0ˆ ttt yyy
14
Lösung 2
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
x [Zeit in Monate]
y
y16=1/2*y15+1/2*y14=13+10=23y16=1/2*y15+1/2*y14=13+10=23y17=1/2*y16+1/2*y15=0,5*(23+26)y17=1/2*y16+1/2*y15=0,5*(23+26)
=24,5=24,5
15
Lösung 3: Gleitender Durchschnitt der Länge h
h
iitht yy
11
11ˆ
Alle Werte gehen gleichmäßig in die Bewertung Alle Werte gehen gleichmäßig in die Bewertung ein, d.h. Werte, die lange zurück liegen, sind nicht ein, d.h. Werte, die lange zurück liegen, sind nicht
„abgeschwächt“.„abgeschwächt“.Saisonale Schwankungen werden nicht Saisonale Schwankungen werden nicht
berücksichtigtberücksichtigtNur für kurzfristige Trendaussagen geeignet, nicht Nur für kurzfristige Trendaussagen geeignet, nicht für die exakte Punktlandung oder für strategische für die exakte Punktlandung oder für strategische
AussagenAussagen16
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
x [Zeit in Monate]
y
y Glättung
Lösung 3:h=5
Deutlich glatter Verlauf. Aber: Unterschätzung der
Entwicklung bei steigendem Verlauf (Überbetonung der alten, nicht mehr relevanten Werte); Überschätzung
bei fallendem Verlauf!!17
Berechnung in Excel
18
4.1.2 Exponentielle Glättung
• Prognosewert für Periode t+1 ergibt sich als alter Prognosewert, der um den Schätzfehler bereinigt wird.
ttt
ttt
ttt
yyy
yyy
yyy
ˆˆ
ˆˆ
ˆ1ˆ 1
Glättungsparameter Glättungsparameter λλ (0,1) (0,1) λλ=1: Schätzwert für t+1 = Messwert für t=1: Schätzwert für t+1 = Messwert für t
λλ=0: Schätzwert für t+1 = Schätzwert für t=0: Schätzwert für t+1 = Schätzwert für t λλ=0,5: Schätzwert für t+1 = Schätzwert für t =0,5: Schätzwert für t+1 = Schätzwert für t korrigiert um die Hälfte des Schätzfehlers des korrigiert um die Hälfte des Schätzfehlers des
letzten Wertesletzten Wertes19
Was ist hier „exponentiell“?
iti
iti
tttt
tttt
tttt
ttt
ttt
ttt
yy
yyyy
yyyy
yyyy
yyy
yyy
yyy
ˆ11
...111
...ˆ111
ˆ111
ˆ11
ˆ11
ˆ1ˆ
1
33
22
1
23
22
1
222
1
12
1
11
1
(1-(1-λλ)i ist je geringer, je größer i ist, d.h. je weiter )i ist je geringer, je größer i ist, d.h. je weiter wir uns vom Prognosezeitpunkt entfernen, desto wir uns vom Prognosezeitpunkt entfernen, desto
geringer ist das Gewicht des alten Wertes.geringer ist das Gewicht des alten Wertes. 20
Beispiel (λ=0,3)x y Schätzung Schätzfehler 0,3*Fehler1 9 - - -2 13 9,00 4,00 1,203 17 10,20 6,80 2,044 14 12,24 1,76 0,535 11 12,77 -1,77 -0,536 16 12,24 3,76 1,137 22 13,37 8,63 2,598 16 15,96 0,04 0,019 15 15,97 -0,97 -0,29
10 17 15,68 1,32 0,4011 22 16,08 5,92 1,7812 20 17,85 2,15 0,6413 17 18,50 -1,50 -0,4514 20 18,05 1,95 0,5915 26 18,63 7,37 2,2116 21 20,84 0,16 0,0517 21 20,89 0,11 0,03
21
Beispiel (λ=0,3)
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
x [Zeit in Monate]
y
y Exponentielle Glättung 5 Per. Gleitender Durcschnitt (y)22
4.1.3 Ökonometrische Modelle
• Grundlage: Statistisches Verfahren zur Analyse der Abhängigkeiten von endogenen und exogenen Variablen. Ökonometrische Modelle können für Prognosen verwendet werden (müssen es aber nicht, da die Bestimmung von Einflussfaktoren bereits ein wichtiger Wissenszuwachs jenseits der Prognose ist).
23
Grundmodell
• Gegeben ist eine exogene Variable x und eine endogene Variable y. Gesucht ist der Zusammenhang zwischen x und y.
• Ansätze– Korrelation– Methode der kleinsten Quadrate– Goal Programming
24
Beispielx y2 34 53 31 32 16 68 53 61 1
11 153 4
11 914 1311 1415 17
25
Beispiel
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 2 4 6 8 10 12 14 16
x
y
26
Korrelationskoeffizient (ρ)
• Inhalt: Ein Maß für den Zusammenhang zwischen zwei Variablen
• Hinweis: Oftmals Berechnung mit1/(n-1)
• Berechnungsbeispiel: Regression.xls
• -1≤ρ≤1
yx
n
iiin
x
n
iin
n
iin
yxCovyx
yyxxyxCov
xVar
xxxVar
xx
),(),(
),(
)(
)(
1
1
2
1
1
1
1
27
Beispiele
x
y
keine (geringe) Korrelation
x
y
Positive Korrelation
x
y
Negative Korrelation
28
New evidence for the Theory of the Stork
• Zusammenhang zwischen Zahl der Störche und Geburtenrate beim Menschen?
• Hofer et al. (2004) in: Paediatric and Perinatal Epidemiology 18, S. 88-92.
• Analyse für Niedersachsen, Berlin undBrandenburg
29
New evidence for the Theory of the Stork
• Ergebnisse:– Korrelation für Niedersachsen:
Reduktion beider Größen 1970-85;Konstanz 1985-95
– Berlin: keine Störche; jedoch Anstieg derGeburten 1990-2000
– Erklärung: Zunahme der Störche in Brandenburg
30
Geburtenrate und Störche in EuropaLand Fläche
(km2)Störche (Paare)
Menschen (106)
Geburtenrate (103/ Jahr)
Albanien 28.750 100 3.2 83
Belgien 30.520 1 9.9 87
Bulgarien 111.000 5.000 9.0 117
Dänemark 43.100 9 5.1 59
Deutschland 357.000 3.300 78 901
Frankreich 544.000 140 56 774
Griechenland 132.000 2.500 10 106
Holland 41.900 4 15 188
Italien 301.280 5 57 551
Österreich 83.860 300 7.6 87
Polen 312.680 30.000 38 610
Portugal 92.390 1.500 10 120
Rumänien 237.500 5.000 23 23
Spanien 504.750 8.000 39 439
Schweiz 41.290 150 6.7 82
Türkei 779.450 25.000 56 1.576
Ungarn 93.000 5.000 11 12431
Korrelation und Kausalität
• Korrelation Kausalität (Ursache-Wirkungs-Beziehung)
• Scheinkorrelation: „dritte Variable“ beeinflusst beide Merkmale systematisch
• Beispiel: Zunehmende Verstädterung vernichtet Nistplätze und fördert Kleinstfamilien
32
Nachteil der Korrelation
• Eine Prognose ist auf Grundlage der Korrelation nicht möglich.
• Zusammenhänge lassen sich nur sehr bedingt darstellen.
33
Methode der Kleinsten Quadrate
• Prinzip: Lege eine Kurve so durch die Punktmenge, dass die Summe der quadrierten vertikalen Abweichungen von dieser Kurve zu den gegebenen Werten minimal ist.
34
Prinzip: Kleinste Quadrate
x
y
u2
(x2, y2)
(x1, y1) (x3, y3)
u3
u1
35
Prinzip: Kleinste Quadrate
x
y
(x2, y2)
(x1, y1) (x3, y3)
36
Alternative Gerade
x
y
(x2, y2)
(x1, y1) (x3, y3)
37
Berechnung der kleinsten Quadratesumme
!ˆˆ
ˆˆˆ
,ˆ
1
2
101
2
10
MinxyuZ
xy
wobeiyyu
n
iii
n
ii
ii
iii
xy
yxCov
x
10
21
ˆˆ
),(ˆ
Lösung:Lösung: Gerade geht Gerade geht immer durch immer durch
den den Mittelwert Mittelwert
von x und yvon x und y
38
Analyse in Excel
• Einfache Regression möglich
• Analyse-Funktion „Regression“ liefert Angaben zur Regressions-Statistik (Interpretation!)- Korrelationskoeffizient- Bestimmtheitsmaß- Koeffizienten- t-Statistik
39
Beispiel y = 1,005x + 0,6352
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 2 4 6 8 10 12 14 16
x
y
Vorgehen in Excel:Vorgehen in Excel:Anklicken eines Punktes, Anklicken eines Punktes, „Trendlinie hinzufügen“ – „Trendlinie hinzufügen“ –
„Linear“„Linear“
ΔΔxx
ΔΔy; ßy; ß11= ΔΔy/ y/ ΔΔxx
ßß00
40
Verwendung
2
2ˆ2
y
y
s
sR
• Punktprognose:110
ˆˆˆ xyi
• Bestimmtheitsmaß:
= Anteil der Varianz von y, der durch die Regression erklärt wird
= Maß der Güte der Regression 41
Beispiel y = 1,005x + 0,6352
R2 = 0,864
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 2 4 6 8 10 12 14 16
x
y
Vorgehen in Excel:Vorgehen in Excel:Anklicken eines Punktes, Anklicken eines Punktes, „Trendlinie hinzufügen“ – „Trendlinie hinzufügen“ –
„Linear“ „Linear“ - „Bestimmtheitsmaß - „Bestimmtheitsmaß
anzeigen“anzeigen“
42
Erweiterungen
• Mehrere Exogene
• Nichtlineare Funktionen
• Intervallprognosen
• Hypothesentest
43
Mehrere Exogene
• Multiples lineares Regressionsmodell
yXXX
xx
xx
X
y
y
y
Ttxxxy
nTT
n
nn
ntnttt
1
1
111
11
22110
ˆ
1
1
;ˆ
ˆ
ˆ;
..1,ˆ...ˆˆˆˆ
44
Nicht-lineare Regression
• Vorsicht: Viele Anschlussrechnungen sind nicht mehr möglich– z. B.: Bestimmtheitsmaß nur bedingt zu
gebrauchen– z. B. Intervallschätzer nur bedingt möglich
45
Beispiel
y = 4,98Ln(x) - 0,4635
R2 = 0,7525
y = 1,005x + 0,6352
R2 = 0,864
y = 1,8771e0,1577x
R2 = 0,7514
-5
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12 14 16
x
y
46
Intervallprognose
• Prinzip: es wird nicht ein Punkt angegeben, sondern ein bestimmtes Intervall, innerhalb dessen der „wahre“ Wert mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens X % liegt
• Beispiel: für 95 % aller Stichproben erhält man ein Intervall, in dem der wahre Wert liegt.
• Je weiter wir uns vom Durchschnitt der exogenen Variablen entfernen, desto größer wird das anzugebende Konfidenz-(=Vertrauens)intervall.
47
Intervallprognose
x
y
x
y
95% Konfidenz-intervall
yoben
yunten
xi 48
Hyothesentest• Häufig: Hypothese H0: ß1=0 d.h. hat keinen Einfluss
auf y
1̂
)ˆ( 1f
)ˆ( 1E
95 % aller möglichen Werte von 1̂
49
Signifikanzniveau
• Fehler vom Typ 1: eine Nullhypothese wird als falsch abgelehnt, obwohl sie wahr ist
• Fehler vom Typ 2: eine Hypothese wird als wahr angenommen, obwohl sie falsch ist.
• P-Wert:– Für die aktuelle Stichprobe wird H0 ablehnt.– P: Die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler vom Typ 1 zu begehen– je kleiner der p-Wert, desto signifikanter ist der Zusammenhang
• p=0,05: hohes Risiko, dass keine Signifikanz besteht• p=0,01: mittleres Risiko, dass keine Signifikanz besteht• p=0,001: geringes Risiko, dass keine Signifikanz besteht
50
Voraussetzungen der OLS-Schätzung
1.Lineares Modell, jeweils eine endogene und exogene Variable (reelle Zahlen)
2.Die Residuen haben einen Erwartungswert von null
3.Homoskedastizität: Die Residuen haben eine konstante Varianz
4.Die Residuen sind nicht autokorreliert
5.Spezifikation: Die Exogene ist richtig gewählt
51
Erweiterungen des Modells
1.Lineares Modell, jeweils eine endogene und exogene Variable (reelle Zahlen)
2.Die Residuen haben einen Erwartungswert von null
3.Homoskedastizität: Die Residuen haben eine konstante Varianz
4.Die Residuen sind nicht autokorreliert
5.Spezifikation: Die Exogene ist richtig gewählt
Erweiterungen:Erweiterungen: Mehrere Exogene: Multiple Lineare RegressionMehrere Exogene: Multiple Lineare Regression
Mehrere Endogene: Systeme von RegressionsgleichungenMehrere Endogene: Systeme von RegressionsgleichungenUnabhängige RegressionsgleichungenUnabhängige Regressionsgleichungen
Abhängige RegressionsgleichungenAbhängige Regressionsgleichungen Exogene ist natürliche Zahl oder binär (z. B. Mann=0; Exogene ist natürliche Zahl oder binär (z. B. Mann=0;
Frau=1):Frau=1): Dummy Variablen Dummy Variablen
Endogene ist natürliche Zahl oder binär (z. B. Gesund=0;Endogene ist natürliche Zahl oder binär (z. B. Gesund=0; Krank=1): LOGIT- und PROBIT-Modelle Krank=1): LOGIT- und PROBIT-Modelle
52
Erweiterungen des Modells
1.Lineares Modell, jeweils eine endogene und exogene Variable (reelle Zahlen)
2.Die Residuen haben einen Erwartungswert von null
3.Homoskedastizität: Die Residuen haben eine konstante Varianz
4.Die Residuen sind nicht autokorreliert
5.Spezifikation: Die Exogene ist richtig gewähltProblem:Problem:
Es könnte durchaus sein, dass das Residuum bei großen Es könnte durchaus sein, dass das Residuum bei großen WertenWerten
der Exogenen stärker / mehr streut als bei kleinen Werten der Exogenen stärker / mehr streut als bei kleinen Werten (Heteroskedastizität) (Heteroskedastizität)
Lösung:Lösung: Generalized Least Square (GLS)Generalized Least Square (GLS)
53
Erweiterungen des Modells
1.Lineares Modell, jeweils eine endogene und exogene Variable (reelle Zahlen)
2.Die Residuen haben einen Erwartungswert von null
3.Homoskedastizität: Die Residuen haben eine konstante Varianz
4.Die Residuen sind nicht autokorreliert
5.Spezifikation: Die Exogene ist richtig gewählt
Problem:Problem: Es könnte durchaus sein, dass ein Zusammenhang Es könnte durchaus sein, dass ein Zusammenhang
zwischen den aufeinander folgenden Residuen besteht zwischen den aufeinander folgenden Residuen besteht (Autokorrelation)(Autokorrelation)
LösungLösungGeneralized Least Square (GLS)Generalized Least Square (GLS)
54
Erweiterungen des Modells
1.Lineares Modell, jeweils eine endogene und exogene Variable (reelle Zahlen)
2.Die Residuen haben einen Erwartungswert von null
3.Homoskedastizität: Die Residuen haben eine konstante Varianz
4.Die Residuen sind nicht autokorreliert
5.Spezifikation: Die Exogene ist richtig gewählt
FehlspezifikationFehlspezifikationz. B. Prognose des Konsums verwendet nur Altersstufe und z. B. Prognose des Konsums verwendet nur Altersstufe und
Kinderzahl, aber nicht FamilieneinkommenKinderzahl, aber nicht Familieneinkommen
55
Qualitative Endogene
• Normalerweise: Quantitative Endogene, z. B. y= Absatz• Ausnahme: Qualitative Endogene, z. B. „Kunde kauft das
Produkt“• Übertragung der Qualitativen:• Lösung:
– Annahme: Nutzen eines Gutes hängt linear von verschiedenen Exogenen ab
– Die Wahrscheinlichkeit, dass der Nutzen zum Wert „1“ führt, kann durch eine Verteilungsfunktion angegeben werden
• y‘ ist die Wahrscheinlichkeit, dass y den Wert „1“ annimmt (damit zwischen 0 und 1 verteilt)
• Problem: Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung hat y?
1
0i
Kunde kaufty
sonst
56
Lösungen
• Wahrscheinlichkeit, dass y=1, wird durch eine Standardnormalverteilung angegeben: PROBIT-Modell
• Wahrscheinlichkeit, dass y=1, wird durch eine Logistische Funktion angegeben: LOGIT-Modell
• Software: Enthält entsprechende Tools• VORSICHT: Kombination von LOGIT, GLS und
Systeme von Gleichungen ist extrem schwierig, z. B. Full-Information-Maximum-Likelihood Schätzer (FIML)
• Erweiterungen: Multi-nominale Endogene (z. B. y=0, 1,2,3) 57
Goal-Programming• Prinzip: Abstände werden minimiert, nicht
quadrierte Abstände• Lösung: LP• Problem: Anschlussrechnungen schwierig, z. B.
Intervallschätzung nur über Monte-Carlo-Simulation
1..ni y, Exogene :Konstante : y
1..ni x,Exogene :Konstante : x
0 Residuums; des lNegativtei :
0 Residuums; des lPositivtei :
hränkteichenbescnicht vorz Residuum; :
arameterSteigungsp :
eterHöhenparam :
i
i
ii
ii
uu
uu
u
b
a
i
!
1..nifür 0
1..nifür
1..nifür
1
MinuuZ
uu
uuu
-a-bxyu
n
iii
ii
iii
iii
58
4.1.4 Neuronale Netze
• Analogie zum menschlichen Gehirn:– Neuronen (Knoten)– Netze: Verbindungen zwischen Knoten– Neuronen haben üblicherweise mehrere
Eingangsverbindungen sowie eine Ausgangsverbindung.
• Aktionspotential: Wenn die Summe der Eingangsreize einen gewissen Schwellenwert überschreitet, sendet das Neuron ein Ausgangssignal
59
Neuronales Netz
ReizReiz
NeuronNeuron
AusgangssignAusgangssignalal 60
Neuronales Lernen
• Eigenschaft neuronaler Netze: Erlernen („Trainieren“) von komplexen Mustern ohne vorherige Festlegung der Regeln; Neue Verknüpfungen und Reizschwellenwerte entstehen.– Je häufiger ein Neuron A gleichzeitig mit Neuron B
aktiv ist, umso bevorzugter werden die beiden Neuronen aufeinander reagieren ("what fires together, wires together").
– Verbindungen bauen sich selbständig auf, ohne dass dies ein bewusster Programmierschritt wäre
61
Künstliches neuronales Netz
• Forschungsgegenstand der Neuroinformatik, Künstliche Intelligenz
• Versuch der Nachkonstruktion des Lernverhaltens von Neuronalen Netzen
• Beispiele: Vorhersage der Aktienkursentwicklung• Vorteile:
– Lernfähigkeit, wenn Kausalzusammenhänge nicht bekannt sind– Toleranz gegenüber fehlerhaften, ja sogar unbekannten Inputs
• Nachteile– Intensives Training, zeitintensiv– Neuronales Netz ist „Black Box“– kein „optimales“ Ergebnis
62
4.2 Prognostizierende Modelle4.2.1 Netzplantechnik
• Definition: Ein Netzplan ist ein Graph, der mit Hilfe von Knoten und Kanten (größere) Projekte visualisiert und Anschlussrechnungen ermöglicht
• Arten– Tätigkeitsgraph und Ereignisgraph– Stochastische und deterministische NPT
• Teilprobleme– Strukturplanung– Zeitplanung– Kostenplanung– Ressourcenplanung
63
Praxis der NPT
• wahrscheinlich häufigstes OR-Verfahren, jedoch meist „versteckt“ in Projektmanagement-Software (z. B. MS-Project)
• Arten:– CPM (Critical Path Method, 1956): Theorie– MPM (Metra Potential Method, 1957): Praxis– PERT (Program Evaluation and Review Technique,
1956): Theorie
64
Strukturplanung• Strukturliste
Nr. Tätigkeit Vorgänger Nachfolger
A Vorbereiten des Grundstückes - B
B Aushub der Fundamente A C
C Rohbau B D, F
D Innenausbau C E
E Inbetriebnahme D, F, G -
F Außenanlagen/Zuwege Bereiten C E
G Mitarbeiterschulung - E
65
Tätigkeitsgraph• Inhalt:
– Knoten = Tätigkeit– Kante = Anordnungsbeziehung– Metra-Potential-Methode (MPM)
BEGINN A B C D E END
G
F
ENDENDEE
66
Ereignisgraph• Inhalt:
– Knoten = Ereignis (z. B. Anfang/Ende einer Tätigkeit)
– Kante = Tätigkeit– Critical Path Method (CPM), Program Evaluation and
Review Technique (PERT)
A B C D E
G
SF
67
Zeitplanung im Ganttdiagramm
Nr. Tätigkeit Zeitbedarf [Tage] Nachfolger
A Vorbereiten des Grundstücks 20 B
B Aushub der Fundamente 60 C
C Rohbau 150 D, F
D Innenausbau 120 E
E Inbetriebnahme 10 -
F Außenanlagen/Zuwege Bereiten 20 E
G Mitarbeiterschulung 30 E
68
Zeitplanung im Ganttdiagramm
G
A
Zeit
Tätigkeit
B
C
D
E
F
100 200 300
Ende: 360
69
F
G
A
Zeit
Tätigkeit
B
C
D
E
100 200 300
Ende: 360
Puffer
Erweiterung: Puffer
Tätigkeiten ohne Puffer sind zeitkritisch, Tätigkeiten ohne Puffer sind zeitkritisch, d.h. sie bilden den „kritischen Pfad“d.h. sie bilden den „kritischen Pfad“ 70
Zeitplanung im MPM
Knotennummer
Name der Tätigkeit i
Nr.
Zu.
Zuständigkeit
Di FZi.
SZi.
FEi.
SEi.
Vorgangsdauer
Spätester Endzeitpunkt
Frühester Endzeitpunkt
Spätester Anfangszeitpunkt
Frühester Anfangszeitpunkt
71
Zeitplanung im MPM
Name der Tätigkeit i
i Zu.
Di FZi.
SZi.
FEi.
SEi.
Name der Tätigkeit j
j Zu.
Dj FZj SZj FEj SEj
.
dij = Zeitlicher Mindestabstand zwischen Beginn von Tätigkeit i und Beginn von Tätigkeit j
72
Vorbereiten des Grundstücks
A .
20 .
Aufhub der Fundamente
B .
60
Rohbau
C .
150 . . . .
Innenausbau
D .
120
Außenanlagen u. Zuwege Bereiten
F .
20 . .
Mitarbeiterschulung
G .
.
30
20 120
150
60
150
20
0
Inbetriebnahme
E .
10 .
Zeitplanung im MPM
73
Vorbereiten des Grundstücks
A .
20 0 .
Aufhub der Fundamente
B .
60 20.
Rohbau
C .
150 80.
Innenausbau
D .
120 230.
. .
Außenanlagen u. Zuwege Bereiten
F .
20 230.
Mitarbeiterschulung
G .
30 0
30
20 120
150
60
150
20
0
Inbetriebnahme
E .
10 350.
FZj = Max{FZi+dij} für alle Vorgängerknoten FZ1=0 für den Beginnknoten
Hinrechnung
74
Vorbereiten des Grundstücks
A .
20 0 0. . .
Aufhub der Fundamente
B .
60 20. 20.
Rohbau
C .
150 80. 80.
Innenausbau
D .
120 230.
230.
.
Außenanlagen u. Zuwege Bereiten
F .
20 230.
330.
Mitarbeiterschulung
G .
30 0 320.
30
20 120
150
60
150
20
0
Inbetriebnahme
E .
10 350.
350.
SZi = Min{SZj-dij} für alle Nachfolgerknoten SZn=FZn für den Endknoten
Rückrechnung
75
Vorbereiten des Grundstücks
A .
20 0 0. 20. 20.
Aufhub der Fundamente
B .
60 20. 20. 80. 80
Rohbau
C .
150 80. 80. 230.
230.
Innenausbau
D .
120 230.
230.
350.
350.
Außenanlagen u. Zuwege Bereiten
F .
20 230.
330.
250.
350.
Mitarbeiterschulung
G .
30 0 320.
30. 350.
30
20 120
150
60
150
20
0
Inbetriebnahme
E .
10 350.
350.
360.
360.
FEi = FZi+Di SEi=SZi+Di
Endzeitpunkte
76
Puffer
• Puffer I: Gesamtpuffer– Alle Vorgänger fangen frühest möglich an, alle
Nachfolger spätest möglich– P_Ii=SZi-FZi
• Puffer II: freier Puffer– Alle Vorgänger fangen frühest möglich an, alle
Nachfolger frühest möglich– P_IIi=Min{FZj-FZi-dij}, wobei P_IIi≥0
• Puffer III: unabhängiger Puffer– Alle Vorgänger fangen spätest möglich an, alle
Nachfolger frühest möglich77
Vorbereiten des Grundstücks
A .
20 0 0. 20. 20.
Aufhub der Fundamente
B .
60 20. 20. 80. 80
Rohbau
C .
150 80. 80. 230.
230.
Innenausbau
D .
120 230.
230.
350.
350.
Außenanlagen u. Zuwege Bereiten
F .
20 230.
330.
250.
350.
Mitarbeiterschulung
G .
30 0 320.
30. 350.
30
20 120
150
60
150
20
0
Inbetriebnahme
E .
10 350.
350.
360.
360.
P_I(G) = 320-0=320 P_II(G) = 350-0-30 = 320 P_I(F) = 330-230 = 100
P_II(F) = 350-230-20 = 100
Puffer
78
Kostenplanung
Nr. Tätigkeit Zeitbedarf [Tage] Kosten pro Tag
A Vorbereiten des Grundstückes
20 100
B Aushub der Fundamente 60 100
C Rohbau 150 200
D Innenausbau 120 200
E Inbetriebnahme 10 100
F Außenanlagen/Zuwege Bereiten
20 200
G Mitarbeiterschulung 30 50079
Kostenverlauf bei frühestem Beginn
0-20 20-30 30-80 80-230 230-250 250-350 350-360
A 100
B 100 100
C 200
D 200 200
E 100
F 200
G 500 500
Kosten/ Tag
600 600 100 200 400 200 100
Tage 20 10 50 150 20 100 10
Sum-me 12000 6000 5000 30000 8000 20000 1000 80
Kostenverlauf für späteste und früheste Zeitpunkte
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Zeit [Tage]
Ko
sten
Szi Fzi
81
PERT-COST
• Ermittlung von zeitlichen und kostenmäßigen Überschreitungen
• Hinweis: Nicht zu verwechseln mit der stochastischen NPT PERT.
82
PERT-COST (Beispiel)
Zeit „jetzt“
Plankosten zur Planzeit
Plankosten zur Istzeit
Istkosten zur Istzeit
Kosten
Plankosten zur Istzeit - Plankosten zur Planzeit= Zeitliche Überschreitung
83
PERT-COST (Beispiel)
Zeit „jetzt“
Plankosten zur Planzeit
Plankosten zur Istzeit
Istkosten zur Istzeit
Kosten
Kosten-abweichung
84
Ressourcenplanung
• Bedeutung: falls Ressourcen nicht ausreichend sind, müssen die Tätigkeiten verschoben werden
• Varianten– Verschiebung innerhalb der Puffer– Verlängerung des frühesten Endzeitpunktes
• Verfahren von Fehler• Optimierung: Konventionalstrafe vs. Kosten für
Zusatzaggregate
• Praxisbeispiel MS-Project: Bauprojekt ET 4
85
4.2.2 Markov-Modelle
• Prozess: Folge von ursächlich verbundenen Ereignissen im Zeitablauf
• Stochastischer Prozess: Abfolge ist nicht fest vorgegeben, sondern unterliegt bestimmten (bekannten) Wahrscheinlichkeiten
• Markov-Prozess: Die Übergangswahr-scheinlichkeit aij von Zustand wi nach wj hängt allein von Zustand wi zum Zeitpunkt t, jedoch nicht vom Zustand wk zum Zeitpunkt t-1 ab („Beschränktes Gedächtnis“).
86
Zustände und Übergänge im Markov-Graph
w1
w2
w4
w3
13a31a
24a
42a
14a
41a
12a
21a
43a34a
23a
32a
87
11a
22a
33a
44a
Beschreibung von Prozessen
• anhand von Ereignissen– z. B. Zahl der Ankünfte (Poissonverteilt)
• anhand von Übergängen– z. B. Zwischenankunftszeiten ‚
(Negativ-Exponentiell-Verteilt)
• Von besonderer Bedeutung sind hierbei Warteprozesse (Warteschlangentheorie)
88
Markov-Modell
Aww tt 1
Aww tt 1
tt Aww 0
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
...
...
21
22221
11211
;...
1
n
t
w
w
w
89
Prognose mit Markov-Modellen
• Vorhersage des Zustandsvektors zum Zeitpunkt t
• Berechnung von Kennziffern, z. B. durchschnittliche Aufenthaltsdauer im System, durchschnittliche Wartezeiten etc.
tt Aww 0
90
Spezialfälle
• Absorbierende Markovketten– es gibt einen Zustand, der nicht mehr
verlassen werden kann, z. B. Totalschaden, Tod
• Inhomogene Markovketten– Übergangswahrscheinlichkeiten sind nicht
konstant
91
Beispiel: Leihwagen zwischen drei Orten
Greifswald Berlin
Hamburg
Schrott
92
Übergangsmatrix
Greifswald Berlin Hamburg Schrott
Greifswald 0,7 0,2 0,05 0,05
Berlin 0,05 0,8 0,1 0,05
Hamburg 0,1 0,1 0,7 0,1
Schrott 0 0 0 1
93
Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung
Zugang Anfangsbe-stand t=0
t=1 t=50
Greifswald 1 50 60 19
Berlin 2 100 112 43
Hamburg 2 200 155 25
Schrott 0 0 28 513
94
Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung
Zugang Anfangsbe-stand t=0
t=1 t=50
Greifswald 1 50 61 19
Berlin 2 100 112 43
Hamburg 2 200 155 25
Schrott 0 0 28 513
Zugang zu Zugang zu gering, um die gering, um die Zahl der Autos Zahl der Autos
zu halten: zu halten: Simulation – Simulation –
wie viele wie viele Zugänge Zugänge
brauche ich brauche ich wo, um wo, um
Konstanz zu Konstanz zu gewährleistengewährleisten
?? 95
Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung
Zugang Anfangsbe-stand t=0
t=1 t=50
Greifswald 3 50 63 77
Berlin 4 100 114 158
Hamburg 17 200 170 122
Schrott 0 0 28 1193
96
Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung
Zugang Anfangsbe-stand t=0
t=1 t=50
Greifswald 3 50 63 77
Berlin 4 100 114 158
Hamburg 17 200 170 122
Schrott 0 0 28 1193
357357
Pro Periode Pro Periode zusätzlicher zusätzlicher
Transport von Transport von Greifswald (22/50 Greifswald (22/50
Fahrzeuge) und von Fahrzeuge) und von Berlin (58/50 Berlin (58/50
Fahrzeuge) nach Fahrzeuge) nach Hamburg nötig, um Hamburg nötig, um Konstanz zu halten.Konstanz zu halten.
97
4.2.3 System Dynamics
• Problem der Prognose mit Markov-Modellen: Homogenität, d.h. Unveränderlichkeit der Übergangswahrscheinlichkeiten
• Populationswachstum: Zuwachs ist abhängig von der bestehenden Population
98
Wachstum (Rate = 0,05)
t Anfangsbestand Zuwachs Endbestand
0 100.000.000
1 100.000.000 5.000.000 105.000.000
2 105.000.000 5.250.000 110.250.000
3 110.250.000 5.512.500 115.762.500
4 115.762.500 5.788.125 121.550.625
5 121.550.625 6.077.531 127.628.156
6 127.628.156 6.381.407 134.009.564
7 … … …
99
Wachstum
0,0E+00
2,0E+08
4,0E+08
6,0E+08
8,0E+08
1,0E+09
1,2E+09
1,4E+09
1,6E+09
1,8E+09
2,0E+09
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Zeit [Jahre]
Po
pu
lati
on
100
System Dynamics Modell
Imaginäre Quelle
Zuwachs in t
101
System Dynamics Modell
Immaginäre Quelle
Population
Zuwachs in t
102
System Dynamics Modell
Immaginäre Quelle
Population
Zuwachst in t
Rate
103
Gleichungen
Zeitraumproiten Zeiteinhe: T
Zeitraumpro ate Wachstumr:r
t Zeitpunktzum Population :
,1
t
ttt
P
wobeiPT
rPP
trtt
T
ePPT
rPLim
0
1,1
TwobeiPrP
PPP
tt
ttt
DifferentialgleichungDifferentialgleichung
DifferenzengleichungDifferenzengleichung
104
System Dynamics einer PopulationJahr Bevölkerung
Exponential-gleichung
Differenzen-gleichungt = 1 Tag
Differenzen-gleichungt = 1 Monat
0 100.000 100.000 100.000
1 105.127 105.126 105.116
2 110.517 110.516 110.494
3 116.183 116.182 116.147
4 122.140 122.138 122.089
5 128.402 128.400 128.336
6 134.985 134.983 134.901
7 141.906 141.903 141.803
8 149.182 149.178 149.058
9 156.931 156.826 156.684
10 164.872 164.866 164.701 105
Umsetzung
• World Dynamics (Club of Rome; Grenzen des Wachstums)
• Industrial bzw. Business Dynamics (Forrester, Sterman)
• Disease Dynamics
• Software: Dynamo (1960), Stella (1980), etc.
106
Industrial Dynamics
• EDV-gestütztes dynamisches Modell der Unternehmung
• Technischer Wandel induzierte neues Management-Verständnis
• Neue Anforderungen an Methoden der Entscheidungsfindung
• Erfassung und Simulation von Informationen zwischen– Abteilungen eines Unternehmens– Unternehmen einer Wertschöpfungskette
107
Beispiel 1
• Bedeutung von Werbung und Konsumentenverhalten• Konsequenzen für Unternehmen einer
Wertschöpfungskette(Produktion und Verteilung)
• Abstimmungsprobleme als Peitscheneffekt (Bullwhip Effect)
Beispiel 1• Ineffizienz isolierter Prozesse zwischen Hersteller, Groß- und Einzelhandel• Hohe Produktionsschwankungen bei relativ geringen Nachfrage- schwankungen aufgrund zeitlicher Verzögerungen zwischen Kundennachfrage, Bestellung und Lieferung• Lösung durch Supply Chain Management: integrative Planung der Aktivitäten innerhalb der Kette zur Minimierung von Informations- und Anpassungsproblemen
Beispiel 2• Darstellung und Analyse von
Bestandsveränderungen
4.3.4 Simulation
• Prinzip: Experimentiermodell, d.h. „Durchspielen“ unterschiedlicher Alternativen in konstruierten Systemen
• Perspektiven– „What-If“?– „How-to-achieve“?
111
Arten
• Deterministische Simulation: Eintritt von Ereignissen sicher
• Stochastische Simulation: Eintritt von Ereignissen unterliegt Wahrscheinlichkeit
• Monte-Carlo-Simulation: – Analyse statischer Probleme mit bekannten
Wahrscheinlichkeiten– Ermittlung von Verteilungen: Durch wiederholtes
Durchrechnen mit unterschiedlichen Zufallszahlen ergibt sich eine Verteilung der Ergebnisparameter
– Beispiel: Boot-Strapping in Netzplänen
112
Arten (Forts.)• Diskrete Simulation (Discrete Event Simulation,
DES)– Modellierung von dynamischen Systemen– Erzeugen von Objekten mit bestimmten
Eigenschaften– Aufzeichnung der Zustände der Objekte zu
bestimmten Zeitpunkten– Subarten:
• Ereignisorientierte Simulation: Es wird immer nur der nächste Zeitpunkt betrachtet, an dem sich eine Zustandsänderung ergibt („Ereignisliste“)
• Zeitorientierte Simulation: Simulationszeit wird jeweils um denselben Zeittakt weitergestellt, auch wenn kein Ereignis eintritt
• Kontinuierliche Simulation– z. B. Chemie 113
Zufallszahlen
• Notwendigkeit: stochastische Simulation• Aufgaben
– Teil 1: 0-1-Gleichverteilte Zufallszahlen– Teil 2: Zufallszahlen nach bestimmten Verteilungen
• Normalverteilt• Logarithmisch-Normalverteilt• Logistischverteilt• Poissonverteilt• Dreiecksverteilt• Betaverteilt
114
Beispiel: standardnormalverteilte Zufallszahl
• Schritt 1: Erzeuge 12 0-1-gleichverteilte Zufallszahl– Erwartungswert je Zufallszahl: 0,5– Varianz je Zufallszahl: 1/12
• Schritt 2: Addiere die 12 Zufallszahlen und ziehe sechs ab– Erwartungswert: 0,5*12-6=0– Varianz: 12*1/12 = 1– Ergebnis: annähernd standardnormalverteilte ZZ
115
Beispiele für Simulation
• Simulation der Produktionsprozesse
• Flugsimulator
• Numerische Integration
• Prognose epidemiologischer Prozesse
116
Anforderungen an Simulationsprogramme
• Generierung von Zufallszahlen
• Überwachung des zeitlichen Ablaufs einer Simulation („Simulationsuhr“)
• Sammlung, Analyse und statistische Auswertung relevanter Daten/ Ergebnisse
• Aufbereitung und Präsentation
117
Simulationssprachen
• Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…)
• Simulationssprachen– GASP, GPSS, SIMAN, SIMSCRIPT, SIMULA
• Anwendungssoftware– SimFactory; ProModel
118
4.3 Expertenprognosen
• Direkte Befragung– verschiedene Techniken, um diskrete oder
kontinuierliche Variablen zu erfragen
• Delphi-Methode
119
Delphi-Methode
1.Definition des Prognoseproblems2.Auswahl der Experten, Separierung3.Schriftliche Befragung der Expertenmeinungen4.Zusammenstellung der Prognosen5.Rückführung der Ergebnisse an Experten6.Erneute schriftliche Befragung der Experten7.Wiederholung der Schritte 4,5,6, bis die
Ergebnisse ausreichend konvertiert sind. evtl. ergeben sich Intervalle
120
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