Hochschule für
Technik und Wirtschaft Dresden
Fakultät Informatik / Mathematik
Mathematikaufgaben
zur Vorbereitung auf das Studium
Studiengänge
Automatisierungstechnik
Nachrichtentechnik/Multimediatechnik
Mechatroniksysteme/Fahrzeugmechatronik
Elektrotechnik / Elektronik
Dresden 2015
1. Mengen
Kenntnisse und Fahigkeiten:Mengenbegriff, Teilmenge, Durchschnitt und Vereinigung von Mengen,Produktmenge, Zahlenmengen, Intervalle.Im folgenden bedeuten:
IN = {0, 1, 2, ...} : Menge der naturlichen Zahlen,IR : Menge der reellen Zahlen,IR2 : Menge der geordneten Zahlenpaare (x, y) mit x ∈ IR, y ∈ IR.
1.1. Gegeben seien die MengenA = {x ∈ IN | 1 ≤ x ≤ 6},B = {x ∈ IR | x ≥ 4},C = {x ∈ IN | x ≤ 4},Beschreiben Sie (gegebenfalls durch Aufzahlung der Elemente oderam Zahlenstrahl) die Mengen: A ∩B, A ∪B,A ∩B ∩ C, A ∪B ∪ C, (A ∩B) ∪ C, A ∩ (B ∪ C).
1.2. Gegeben seien in der (x, y)-Ebene die folgenden Mengen:
K1 = {(x, y) ∈ IR2 | x2 + y2 = 4},K2 = {(x, y) ∈ IR2 | y =
√3x},
K3 = {(x, y) ∈ IR2 | (x− 2)2 + y2 = 4},M1 = {(x, y) ∈ IR2 | x2 + y2 ≤ 4},M2 = {(x, y) ∈ IR2 | y ≥
√3x},
M3 = {(x, y) ∈ IR2 | (x− 2)2 + y2 < 4}.
a) Ermitteln Sie K1 ∩K2, K1 ∩K3, K2 ∩K3.
b) Stellen Sie grafisch dar:
K1 ∩M1 K2 ∪M2 K3 ∩M3
M1 ∩M2 M1 ∩M3 M2 ∩M3
M1 ∩M2 ∩M3 M1 ∪M3 (M1 ∩M3) ∪M2.
1.3. Sei A = {x ∈ IR | (0 ≤ x ≤ 1) ∨ (x = 3)},B = {y ∈ IR | (1 < y ≤ 3) ∨ (y = 4) ∨ (5 ≤ y < 6)}.
Skizzieren Sie A × B = {(x, y) | (x ∈ A) ∧ (y ∈ B)} in der (x, y)-Ebene.
1
1.4. Gegeben seien die Intervalle
J1 = {x ∈ IR | −2 ≤ x ≤ 2} = [−2, 2],
J2 = {x ∈ IR | −3 < x ≤ 4} = (−3, 4],
J3 = {x ∈ IR | 0 ≤ x <∞} = [0,∞),
J4 = {x ∈ IR | 2 ≤ x < 4} = [2, 4).
Ermitteln Sie und schreiben Sie - wenn moglich - als Intervall:J1 ∩ J2 J1 ∩ J3 J1 ∩ J4
J1 ∪ J2 J1 ∪ J3 J1 ∪ J4
2. Elementare Rechenoperationen, Potenzen,
Wurzeln, Logarithmen
Kenntnisse und Fahigkeiten:Bruchrechnung, Multiplikation und Division von Polynomen, BinomischeFormeln, Ausklammern von Faktoren aus Polynomen, Potenz- undLogarithmengesetze, Summenzeichen.
Untersuchen Sie im folgenden zuerst, fur welche Werte der vorkom-menden Variablen die auftretenden Terme definiert sind.
2.1. Kurzen Sie so weit wie moglich.
a)204a2b3c
255ab2c3b)
5x2 + 1
15x2 + 1· a− 3
a− 12c)
2a + a2 + 1
2a2 − 2
2.2. Fassen Sie zu einem Bruch zusammen, und kurzen Sie so weit wiemoglich.
a)2
3x2− 4
2x4+
5
6xb)
a2 − b2
2a(a + b)− 1 c)
−abc
a− b· b− a
(−b)c· 1
a
2.3. Vereinfachen Sie.
a)(2x2y3)4
(4x3y4)2b)
(
xmynzr+1
x2y2−nzr−2
)2
, m, n, r ∈ IN
c)x−2y−2
xy−3x−4d) (x−3y2)4x23
e)1
anbn−3− 3
an−1bn−2+
3
an−2bn−1− 1
an−3bn, n ∈ IN
2
2.4. Vereinfachen Sie.
a)3√
a5b ·√
a3b4 · 6√
a5b4 b) 3
√
(
3ab2
c
)n
· 3
√
(
9a2b
c2
)n
, n ∈ IN
2.5. Vereinfachen Sie die folgenden Terme so weit wie moglich.
a)2x + 5
x + 3− 3x− 4
x + 2+
x2 + 6x + 10
x2 + 5x + 6
b)
a
a− b+
b
a + ba
a + b− b
a− b
c)1
1a + 1
b + 1c
d)(2ax + 2ay)m(bx− by)n
(cx2 − cy2)m+n, m ∈ IN, n ∈ IN, m, n 6= 0
e)a5x−y
b6n−2:
a4x−y
bn−3, x, y ∈ IR, n ∈ IN
f)
√a + b ·
√a2 + b2
√a4 − b4
g) (√
p + q −√p− q)2
h)
√
x−√
x2 − y2
√
x +√
x2 − y2
i)3
√
b3
√
b2 5√
b8 4√
b3
2.6. Geben Sie die folgenden Zahlen exakt und als auf 4 Kommastellengerundete Dezimalzahl an. Vereinfachen Sie dazu die Terme undrechnen Sie danach mit dem Taschenrechner.
a)
√
2√
2√
2 b) (√
5−√
3)2(√
5+√
3)2 c)√
316
√
13 − 1
4
d) 5√
63− 2√
175−√
343 + 3√
28 e)(
3√
10√
3√
10)
√3
f)(63)3(84)2
1212g)
√
(−5)2 h) 4√
(−2)6
3
2.7. Vereinfachen Sie und berechnen Sie mit dem Taschenrechner.
a) 10√
2, 158925 b) 3√
4√
3, 1384284 c) 1, 0810
d) sin(1, 5) e) log25(125) f) log20(100) + log100(20)
2.8. Vereinfachen Sie (ohne Benutzung eines Taschenrechners) so weitwie moglich.
a) ln(e2)+1 b) ln(e2+1) c) lg( 3√
100) d) 2e2 ln(2)
e) ln (ln (ln(ee))) f)√
e2+ln(9) g) (( 3√
e)2)ln(8)
2.9. Vereinfachen Sie.
a) ln(2a) + 2 ln(b)− 2 ln(2c), a, b, c > 0,
b) 13 ln(a2 − b2)− 1
2 ln(a− b)− 12 ln(a + b), a + b > 0, a− b > 0,
c) ln(a2 − 2ab + b2)− 3 ln(a2 − b2) + 3 ln(√
a + b)
, a > b > 0.
2.10. Ermitteln Sie alle x ∈ IR mit
a) 3x = 27 b) 10x = 0, 01 c) logx(3) = 8
d) log2(x) = 5 e) logx
(
15
)
= −1 f) log8
(
5√
64)
= x
g) logx(16) = −5 h) log3
(
127
)
= x i) log 127
(3) = x.
2.11. Faktorisieren Sie, d.h. schreiben Sie als Produkt.
a) −15a5b3c2 − 135a3b5c4 + 75a4b4c3
b) (4x + y)(a + 2b) + (y − 4x)(−2b− a)
c) (x + 2y)(x− y)(−2x + y)− y(6x− 3y)(2y − 2x)
2.12. Faktorisieren Sie unter Verwendung binomischer Formeln.
a) 16a2 + 24ab + 9b2
b) (−a− 1)(a− 1)− (a2 − 1)
c) - 14x2 − 4y2 − 2xy
2.13. Schreiben Sie mittels quadratischer Erganzung als Summe bzw.Differenz von Quadraten.
a) x2 − 4x + 13 b) x2 + x− 6c) 4x2 + 4x + 2 d) x2 + 4ax + 9b2
e) x2 − 2x + y2 + 6y f) 4x2 + 8x− 3y2 + 12y
4
2.14. Klaren Sie, unter welchen Bedingungen die folgenden Quotientendefiniert sind und fuhren Sie die Division aus.
a) (12a2 + ab− 17ac− 20b2 + 29bc− 5c2) : (3a + 4b− 5c)
b) (x4 − y4) : (x− y)
c) (qn − 1) : (q − 1), n ∈ IN \ {0}d) (2x4 − 11x3 + 25x2 − 32x + 20) : (2x2 − 7x + 6)
2.15. Losen Sie die folgenden Formeln auf:
a) I =nU
nRi + Ranach n, Ri, Ra,
b) K = K0qn + R
qn − 1
q − 1nach R, K0, n,
c)1
f=
1
f1+
1
f2− d
f1f2nach f, f1, f2,
d) X = ωL− 1
ωCnach L, C, ω.
2.16. Ermitteln Sie die folgenden Summenwerte.
a)6∑
i=1
ii+3 b)
100∑
i=1
i c)10∑
i=1
i2 d)100∑
k=0
2 e)5∑
k=1
(−k)k
f)5∑
n=1nxn−1 fur x = 2 g)
50∑
i=1
(5i + 3)
2.17. Berechnen Sie die Binomialkoeffizienten.
a)
(
4
2
)
b)
(
8
3
)
c)
(
3
5
)
d)
(
4, 5
3
)
e)
(
2, 8
4
)
f)
(
0, 5
3
)
g)
(−2
5
)
h)
(
5
−2
)
i)
(
2
0, 5
)
j)
(
π
0
)
2.18. Beweisen Sie die Gultigkeit der Gleichung furn ≥ k ≥ 0, n ∈ IN, k ∈ IN .
(
n
k
)
+
(
n
k + 1
)
=
(
n + 1
k + 1
)
5
3. Vektoren
Kenntnisse und Fahigkeiten:Definition und Darstellung von Vektoren, Betrag eines Vektors, Winkelzwischen Vektoren.
3.1. Gegeben seien die Vektoren ~a =~i+2~j, ~b = 4~i− 2~j. Bestimmen Siedie Vektoren ~a+~b,~b−~a sowie den Winkel zwischen ~a und~b. StellenSie die Vektoren ~a, ~b, ~a +~b, ~b−~a zeichnerisch dar. Berechnen Sie|~b− ~a|, und interpretieren Sie das Ergebnis anschaulich.
3.2. Die drei Punkte P1(1; 0; 6), P2(4; 5;−2), P3(7; 3; 4) bestimmen einDreieck. Beschreiben Sie die Dreiecksseiten mittels Vektoren undberechnen Sie die Seitenlangen, die Winkel sowie den Flacheninhaltdes Dreiecks.
3.3. Gegeben seien die Punkte:P1(1;−1; 0), P2(3; 1;−1), Q1(0; 0;−2), Q2(−4;−4; 0).
a) Geben Sie die Verbindungsvektoren ~a von P1 nach P2 und ~bvon Q1 nach Q2 an. Interpretieren Sie das Ergebnis.
b) Berechnen Sie die Abstande der Punkte zum Koordinatenur-sprung sowie den Abstand von P1 und P2 und den Abstandvon Q1 und Q2.
3.4. Gegeben seien A(5; 1), ~a = −3~i− 4~j und ~b = −2~i +~j.
a) Bestimmen Sie drei Punkte B, C und D so, daa ~a =−→AB und
~b =−→AD gilt und das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist.
b) Berechnen Sie die Langen der Diagonalen AC und BD.
6
4. Gleichungen fur eine reelle Veranderliche
Kenntnisse und Fahigkeiten:Umformen von Gleichungen, lineare Gleichungen, quadratische Gleichun-gen, Bruchgleichungen, Wurzelgleichungen, Exponentialgleichungen,Logarithmusgleichungen.
4.1. Bestimmen Sie die Losungsmengen der folgenden Gleichungen.
a) 2x− (5− 4x) = 3x− (2x + 8)
b) (5− x)(x + 3) = (x− 2)(8− x)
c)2x− 1
2+
3x + 2
4+
5x + 3
8+
1
4= 1− 7x + 3
8
d) a(2x− b) + bc = b(2x− a)− bc
4.2. Losen Sie die folgenden Gleichungen.
a) x2 − 5x + 6 = 0 b) 6x2 + x− 1 = 0c) x2 + 4x + 13 = 0 d) 3x2 = 12x + 12e) (x2 − 4x− 5)(x− 3) = 0 f) 5x6 − 20x4 = 0g) x3 − 4x2 + 4x = 0 h) x4 + 3x2 − 4 = 0
4.3. Losen Sie die folgenden Gleichungen.
a)x− 1
x + 1=
x− 3
x− 5b)
1
x+
1
x + 1=
5
2x + 2
c)1
x + 4+
1
3x=
1
3x + 12d)
x + 1
x + 5+
x + 3
x− 1= 2
4.4. Bestimmen Sie die Losungsmengen folgender Gleichungen.
a)x
x2 − 4= 1
b)x
x− 1− x− 1
x= 1
c)x2 + 2x
2x2 + 2x− 4= 1
d)11x + 6
x2 − 3x− 54=
3x− 14
2x− 18− 3x + 6
2(x + 6)
7
4.5. Losen Sie die folgenden Wurzelgleichungen.
a)√
x− 1 =√
x2 − 1
b)√
x + 4 = x + 2
c)√
x−√
x− 1 =√
2x− 1
d)x− 2√x− 1
=√
x− 1 + 1
e)√
2 + x +√
2− x = 2√
x− 1
4.6. Geben Sie die Losungen der folgenden Gleichungen exakt und alsDezimalzahl auf 4 Kommastellen gerundet an.
a) ln(x + 3) = 2 b) (x + 1) (ln(x) + 1) = 0
c) ln(x)− 2 ln(x− 1) = 0 d) log2(x2 + x + 6) = 3
4.7. Losen Sie die Gleichungen, und geben Sie die Losungen exakt undals Dezimalzahl auf 4 Kommastellen gerundet an.
a) 210−x = 3 b) 1− e2x+3 = 0
c) 26x−2 = 42x+3 d)1
1 + e−x= 0, 125
4.8. Losen Sie die Gleichungen und geben Sie die Losungen exakt undals Dezimalzahl auf 4 Kommastellen gerundet an.
a) 22x − 2x+1 − 3 = 0 b) xln(x) = 2
c) (ln(x))x = 1 d) xlg(x) = 109
e) 2x · 52x = 102x+1 f) lg(2x) + lg(3x) + lg(4x) = 5
8
5. Ungleichungen und Betrage fur eine reelle
Veranderliche
Kenntnisse und Fahigkeiten:Definition des absoluten Betrages, Umformen von Ungleichungen,Ungleichungen mit Betragen.
5.1. Losen Sie die folgenden Ungleichungen.
a) 2x− 4 < 4x− 1
b)x
3− 4 ≤ x
5c) (2− x)(1 + x) ≥ (3− x)(4 + x)
d) ax < x + a, a ∈ IR
5.2. Bestimmen Sie die Losungsmengen.
a)1
x− 1≥ 2 b)
x + 3
x− 2≥ 2 c)
6x + 2
3x− 2<
4x + 1
2x + 1
5.3. Ermitteln Sie die Losungsmengen folgender Ungleichungen auf rech-nerischem und auf grafischem Wege.
a) |x− 3| < 4 b) |x + 1| ≥ 2
c) |x + 100| < 0, 001 d) |2x− 4| < −x + 2
e) |x| > |x + 1|
5.4. Ermitteln Sie die Losungsmengen folgender Ungleichungen.
a) |x + 2|+ |x− 2| ≤ 12
b)|x + 3|x− 1
< 4 c)x− 1
|x + 3| ≤ 5
5.5. Losen Sie die folgenden Ungleichungen.
a) x2 − 5x + 6 > 0 b) 6x2 + x ≤ 1
c) x2 + 4x + 13 ≤ 0 d) |x− 5| ≤ |x2 − 1|
e)2
x> 1 + x f)
1
1− x≤ 1− |x|
2
g) |1 + x| < 1
1− xh) ||x + 1|+ |x + 2| − 2| ≤ 1
9
6. Gleichungssysteme fur zwei reelle Veranderliche
Kenntnisse und Fahigkeiten:Gleichungen mit 2 Unbekannten, Einsetzungsverfahren und Gleichset-zungsverfahren.
6.1. Losen Sie die Gleichungssysteme.
a) 3x − 2y = 82x + 3y = 14
b) 2x = 9 − 4yx = 4 − 2y
c) x5 + y
3 = 1x3 + y
2 = 0
d) x + y = 1x2 + y2 = 13
e) x + y = 10xy = 9
7. Funktionen
Kenntnisse und Fahigkeiten:Funktionsbegriff, lineare und quadratische Funktionen, Potenz-, Exponen-tial- und Logarithmusfunktionen, Nullstelle, Maximum, Minimum, Mono-tonie, Grenzwerte von Funktionen.
7.1. Gegeben seien die Terme:a) f(x) = 1− 0, 1x, b) f(x) = 2x0,5 + 1
x ,
c) f(x) =1
1 + e−0,1x.
Bilden Sie die folgenden Terme und vereinfachen Sie sie, falls moglich.f1(x) = f(x + 1) f2(x) = f(x) + 1 f3(x) = −f(x)f4(x) = f(−x) f5(x) = 1
f(x) f6(x) = f(x2)
f7(x) = [f(x)]2
7.2. Bilden Sie zu den Funktionen f : IR → IR mit
a) f(x) = 1 + 0, 5x, x ∈ IR, b) f(x) = x2, x ∈ IR,c) f(x) = ex, x ∈ IR
jeweils die Funktionen fi : IR → IR , i = 1, ..., 6, mit
f1(x) = f(x + 1), f2(x) = f(x) + 1, f3(x) = −f(x),f4(x) = f(−x), f5(x) = 2f(x), f6(x) = f(2x),
und skizzieren Sie die Graphen der Funktionen.
10
7.3. Fur welche x sind die folgenden Terme definiert? Ermitteln Siejeweils den großtmoglichen Definitionsbereich.
a) f(x) =√
x2 − 4 b) f(x) = ln(x + 5)
c) f(x) =ln(x + 4)
(x− 1)(x + 2)d) f(x) =
1
1− e−0,1x
7.4. Skizzieren Sie die folgenden Geraden in einem geeigneten Koordi-natensystem.
a) y = 3x− 4 b) 10x + 15y = 30
c)x
10+
y
5= 1 d) k = 0, 1 t + 1, 2
e) s = 2− (2− 18t)/3
7.5. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion fur x ∈ IR.
a) y = (x + 1)2 − 4 b) y = x2 − 4x + 13
c) y = 6− x− x2
7.6. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion. Versuchen Sie,moglichst ohne Wertetabelle auszukommen.
a) y = x2, x ∈ [0;∞)
b) y = x4, x ∈ IR
c) y = x−1, x ∈ (−∞; 0)
d) y = x2 − 4x− 8, x ∈ IR
e) y = −x3 + 3x2 + 18x− 40, x ∈ IR
f) y = ln(x− 2), x ∈ (2;∞)
g) y =x + 1
x− 1, x ∈ (1;∞)
h) y = ln |x|, x ∈ IR\{0}i) y =
√x− 4, x ∈ [4;∞)
j) y =
0 fur −∞ < x ≤ −1(x + 1)2 fur −1 < x < 0− 1
2x + 1 fur 0 ≤ x <∞
11
7.7. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion fur den großtmog-lichen Definitionsbereich, und bestimmen Sie den Wertebereich derFunktion.
a) y = 3 + x−1 b) y =1
x− 2c) y = 3 +
4
x− 2
7.8. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion, und geben Sieden Wertebereich an.
a) y = e−x, x ∈ IR b) y = 2− e−x, x ∈ IR
c) y = −ex+1, x ∈ IR d) y = ex + e−x, x ∈ IR
7.9. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion fur x ∈ IR, undbestimmen Sie den Wertebereich der Funktion.
a) y = 3 + sin(x) b) y = sin(x− 1)
c) y = sin(2(x− 1)) d) y = 3 + 4 sin(2(x− 1))
7.10. Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen fur jeweils eine Teil-aufgabe in einem gemeinsamen Koordinatensystem.
a) y = eax fur a = 0,± 12 ,±1,±2, x ∈ IR
b) y = ex + a fur a = 0,±1,±2, x ∈ IR
c) y = ex+a fur a = 0,±1,±2, x ∈ IR
7.11. In welchen Intervallen sind folgende Funktionen monoton wach-send?a) y = −3x + 6, x ∈ IR b) y = x2 − 2x + 1, x ∈ IR
7.12. Ermitteln Sie (ohne Differentialrechnung) die Maxima/Minima (so-weit vorhanden) der Funktionen nach Lage, Art und Große.
a) y = x2 − 5, x ∈ IR
b) y = x2 − 4x + 5, x ∈ IR
c) y = e−x2
, x ∈ IR
d) y =1
x2 + 1, x ∈ IR
e) y = sin2(x), x ∈ IR
f) y =1
1 + cos2(x), x ∈ IR
12
7.13. Bestimmen Sie die Grenzwerte.
a) limx→∞
x
3x− 7b) lim
x→∞
x5 − 3x2
2x4 + 3x2
c) limt→∞
(1− e1−t) d) limt→∞
e1
t−1
8. Differentialrechnung
Kenntnisse und Fahigkeiten:Ableitungsregeln (Faktor- und Additionsregel, Produkt-, Quotienten-und Kettenregel) fur Funktionen y = f(x), Extremwertermittlung, Kur-vendiskussion.
8.1. Ermitteln Sie jeweils die erste Ableitung f ′(x).
a) f(x) = 3− x2 + 7 3√
x, x > 0
b) f(x) = 1 + x−2 − 3x−4, x 6= 0
c) f(x) = (1− x)(x2 + 6x + 8), x ∈ IR
d) f(x) =3√
x2 + 5x4√
x3 − 3, x > 0
e) f(x) = 2 ln(x)− 3ex +5
x, x > 0
f) f(x) = 2x0,5 +1
x, x > 0
g) f(x) = 2x − lg(x) + 3x−2, x > 0
8.2. Ermitteln Sie jeweils die erste Ableitung.
a) f(x) = (x2 − 1)ex, x ∈ IR
b) f(x) =√
xex + 5x2, x > 0
c) f(x) = xn ln(x), x > 0
d) f(x) = ex sin(x), x ∈ IR
e) f(x) =ln(x)
x, x > 0
f) f(x) =x
x2 − 1, |x| 6= 1
13
8.3. Ermitteln Sie jeweils die erste Ableitung.
a) f(x) = ln(2x + 3) + e−3x, x > − 32
b) f(x) =3
x2 + 1+
x
(1− x)2, x 6= 1
c) f(x) =
√
1− x
1 + x, x ∈ (−1; 1)
d) f(x) =1
ex − 1, x 6= 0
e) f(x) =1
1 + 3e−2x, x ∈ IR
f) f(t) =√
t2 + t + 1, t ∈ IR
g) f(u) =u
(au + bv)2, au + bv 6= 0
h) f(x) =√
ln(x), x > 1
8.4. Ermitteln Sie jeweils die erste Ableitung und die zweite Ableitung.
a) f(x) = (2x− 5)11, x ∈ IR
b) f(x) = e−x2
, x ∈ IR
c) f(x) = e√
x, x > 0
d) f(x) =√
x2 + 1, x ∈ IR
e) f(x) = ln
(
x
x + 1
)
, x < −1
f) f(x) = sin2(3x), x ∈ IR
8.5. Fuhren Sie eine Kurvendiskussion durch.
a) y = x3 − x2 − 11x, x ∈ IR
b) y =x2 + 5x + 22
x− 2, x ∈ IR\{2}
c) y =1
ex − 1, x ∈ IR\{0}
14
8.6. Im Dachboden eines Hauses soll ein Zimmer ausgebaut werden.Wie mussen Hohe und Breite des Zimmers gewahlt werden (recht-winkliger Querschnitt), wenn ein Raum maximalen Volumens ent-stehen soll und
a) der Dachboden den Querschnitt eines gleichschenkligen Drei-ecks und die Hohe 5,5 m sowie die Breite 6,4 m besitzt,
b) der Dachboden halbkreisformig (r = 10 m) gewolbt ist.
8.7. Aus drei gleichbreiten Brettern soll eine Wasserrinne mit trapez-formigem Querschnitt hergestellt werden. Fur welchen Neigungs-winkel der Seitenflachen (gemessen gegen die Senkrechte) wird derQuerschnitt am großten?
8.8. Zwei Punkte A und B einer geradlinig verlaufenden Straße seien650 m voneinander entfernt. Ein Gebaude im Punkt C habe denAbstand 180 m vom Punkt B und von der Straße. Das Gebaudesoll vom Punkt A Gasanschluß erhalten. Die Baukosten langs derStraße betragen 72,- DM/m, im anderen Gelande aber 85,- DM/m.An welcher Stelle der Straße muß geradlinig nach C abgezweigtwerden, damit die Gesamtbaukosten moglichst gering werden?
8.9. Eine Funktion y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, x ∈ IR, genugefolgenden Bedingungen:
• der Graph der Funktion geht durch den Ursprung und hatdort den Anstieg 2,
• x = 4 ist eine Nullstelle,
• f ′′(0) = 4.
Ermitteln Sie a, b, c, d.
15
9. Integralrechnung
Kenntnisse und Fahigkeiten:Unbestimmtes und bestimmtes Integral, Grundintegrale, Flachenberech-nungen.
9.1. Ermitteln Sie die folgenden unbestimmten Integrale.
a)∫
(3x4 − 5x2 + 10)dx
b)
∫(
x +5
x− 2
x2
)
dx
c)∫
(
3√
x− 3√
x3)
dx
d)∫
(3− 5ex)dx
e)
∫ 3√
x7 − 35√
x2
x6dx
f)
∫
t4 + t3 + t2 − 1
t3dt
g)
∫
e2x + ex−2
exdx
9.2. Berechnen Sie den Inhalt des endlichen Flachenstucks, das vonder x- Achse und der durch y = f(x), x ∈ IR, gegebenen Kurveeingeschlossen wird.
a) y = f(x) = x2 − 1
b) y = f(x) = x2 − 5x + 6
c) y = f(x) = x(x− 1)(x− 3)
9.3. Berechnen Sie den Inhalt des von den Kurven y = 1 − x2 undy = −x− 1, x ∈ IR, eingeschlossenen Flachenstucks. Skizzieren Siediese Flache.
9.4. Berechnen Sie den Flacheninhalt des Parabelsegmentes, das dieGerade y = 2x + 1 von der Parabel y = x2 − 4x + 6 abschneidet.
16
Losungen
1.1. {4, 5, 6}, {1, 2, 3} ∪ [4;∞), {4}, {0, 1, 2, 3} ∪ [4;∞),{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A
1.2. a) {(1,√
3), (−1, −√
3)}, {(1,√
3), (1, −√
3)}, {(0, 0), (1,√
3)}
1.4. J1 ∩ J2 = J1 J1 ∩ J3 = [0; 2] J1 ∩ J4 = {2}J1 ∪ J2 = J2 J1 ∪ J3 = [−2;∞) J1 ∪ J4 = [−2; 4)
2.1. a)4ab
5c2, a, b, c 6= 0 b) −, a 6= 12 c)
a + 1
2(a− 1), a 6= 1, a 6= −1
2.2. a)5x3 + 4x2 − 12
6x4, x 6= 0 b) −a + b
2a, a 6= 0, a 6= −b
c) −1, a, b, c 6= 0, a 6= b
2.3. a) x2y4, x, y 6= 0 b) x2m−4y4n−4z6, x, y, z 6= 0 c) xy, x, y 6= 0
d)y8
x4, x 6= 0 e)
(b− a)3
anbn, a, b 6= 0
2.4. a) a4b3, a, b ≥ 0 b)
(
3ab
c
)n
, a, b ≥ 0, c > 0
2.5. a)10x + 32
(x + 3)(x + 2), x ∈ IR\{−2;−3}
b)a2 + 2ab− b2
a2 − 2ab− b2, a2 6= b2, a 6= b(1±
√2)
c)abc
ab + ac + bc, abc 6= 0,
1
a+
1
b+
1
c6= 0
d)
(
2a
c
)m (
b
c
)n
· 1
(x + y)n(x− y)m, c(x2 − y2) 6= 0
e) axb−1−5n, a > 0, b > 0
f)1√
a− b, a + b > 0, a− b > 0
g) 2p− 2√
p2 − q2, p + q ≥ 0, p− q ≥ 0
h) |y|, x ≥ 0, x2 ≥ y2
i) b13/8, b ≥ 0
17
2.6. a) 27/8 ≈ 1, 8340 b) 4 c)1
8= 0, 125
d) 4√
7 ≈ 10, 5830 e) 101+ 12
√3 ≈ 73, 4557
f)29
33≈ 18, 9630 g) 5 h) 2
√2 ≈ 2, 8284
2.7. a) 1, 08 b) 1, 1 c) 2, 1589d) 0, 9975 e) 1, 5 f) 2, 1878
2.8. a) 3 b) - c)2
3d) 8 e) 0 f) 3e g) 4
2.9. a) ln
(
ab2
2c2
)
b) − 16 ln(a2−b2) c) − ln
(
(a2 − b2)√
a + b)
2.10. a) 3 b) − 2 c) 8√
3 d) 32 e) 5
f) 25 g) 1/ 5
√16 h) − 3 i) − 1
3
2.11. a) 15a3b3c2(−a2 − 9b2c2 + 5abc)b) 8x(a + 2b) c) (x− y)(y − 2x)(x− 4y)
2.12. a) (4a + 3b)2 b) −2(a2 − 1) c) −( 12x + 2y)2
2.13. a) (x−2)2 +9 b) (x+ 12 )2− 25
4 c) 22(x+ 12 )2 +1
d) (x + 2a)2 − 4a2 + 9b2 e) (x− 1)2 + (y + 3)2 − 10f) 4(x + 1)2 − 3(y − 2)2 + 8
2.14. a) 4a− 5b + c, 3a + 4b− 5c 6= 0
b) x3 + x2y + xy2 + y3, x 6= y
c) qn−1 + qn−2 + ... + q + 1, q 6= 1 und n ∈ IN \ {0}d) x2 − 2x + 2, 5 + −2,5x+5
2x2−7x+6 , x 6= 2, x 6= 1, 5
2.15. a) n = RaIU−RiI
, Ri = nU−RaInI , Ra = n(U−RiI)
I
b) R = (K −K0qn) · q−1
qn−1 , K0 = Kqn − R
qn · qn−1q−1 ,
n = 1ln q · ln
(
K(q−1)+RK0(q−1)+R
)
c) f = f1f2
f1+f2−d , f1 = f(d−f2)f−f2
, f2 = f(d−f1)f−f1
d) L = Xω + 1
ω2C , C = 1ω2L−ωX , ω = 1
2L
(
X ±√
X2 + 4LC
)
18
2.16. a) 2531840 b) 5050 c) 385 d) 202
e) −2893 f) 129 g) 6525
2.17. a) 6 b) 56 c) 0 d) 10516 = 6, 5625 e) -0,0336
f) 0,3756 = 0, 0625 g) -6 h) - i) - j) 1
3.1. ~a +~b = 5~i; ~b− ~a = 3~i− 4~j; <)(~a;~b) = 900; |~b− ~a| = 5
3.2.−→P1P2= 3~i + 5~j − 8~k, P1P2 =
√98, <)(
−→P1P2,
−→P1P3) = 450
−→P1P3= 6~i + 3~j − 2~k, P1P3 = 7, <)(
−→P2P1,
−→P2P3) = 450
−→P2P3= 3~i− 2~j + 6~k, P2P3 = 7, <)(
−→P1P3,
−→P2P3) = 900
A = 24, 5
3.3. a) ~a = 2~i + 2~j − ~k, ~b = −4~i− 4~j + 2~k;b) OP1 =
√2, OP2 =
√11, OQ1 = 2, OQ2 = 4
√2
P1P2 = 3, Q1Q2 = 6
3.4. a) B(2;−3), C(0;−2), D(3; 2)b) AC =
√34, BD =
√26
4.1. a) L = {− 35} b) L = { 31
8 } c) L = {0}d) L = {− bc
a−b}, falls a 6= b, L = IR, falls (a = b) und (b ·c = 0),L = ∅, falls a = b und bc 6= 0
4.2. a) L = {2; 3} b) L = {− 12 ; 1
3} c) L = ∅d) L = {2 +
√8; 2−
√8} e) L = {−1; 3; 5}
f) L = {0; 2;−2} g) L = {0; 2} h) L = {−1; 1}4.3. a) L = {2} b) L = {2} c) L = {− 4
3} d) L = ∅
4.4. a) L = { 12 + 1
2
√17; 1
2 − 12
√17} c) L = {2}
b) L = { 32 + 1
2
√5; 3
2 − 12
√5} d) L = {14}
4.5. a) L = {1} b) L = {0} c) L = {1} d) L = ∅ e) L = {2}4.6. a) e2 − 3 ≈ 4, 3891 b) e−1 ≈ 0, 3679
c) 32 + 1
2
√5 ≈ 2, 6180 d) L = {1;−2}
4.7. a) 10− log2(3) ≈ 8, 4150 b) − 32 = −1, 5 c) 4
d) − ln(7) ≈ −1, 9459
19
4.8. a) log2(3) ≈ 1, 5850 b) L = {e√
ln(2); e−√
ln(2)}c) e ≈ 2, 7183 d) L = {10−3; 103}e) − 1− log2(5) ≈ −3, 3219 f) 5
lg(24) ≈ 3, 6226
5.1. a) (− 32 ;∞) b) (−∞; 30] c) [5;∞)
d)
x > aa−1 fur a < 1
x < aa−1 fur a > 1
x ∈ IR fur a = 1
5.2. a) (1; 1, 5] b) (2; 7] c) (−∞;− 12 ) ∪ (− 4
15 ; 23 )
5.3. a) (−1; 7) b) (−∞;−3] ∪ [1;∞)c) (−100, 001;−99, 999) d) ∅ e) (−∞;− 1
2 )
5.4. a) [−6; 6] b) (−∞; 1) ∪ ( 73 ;∞) c) IR\{−3}
5.5. a) (−∞; 2) ∪ (3;∞) b) [− 12 ; 1
3 ] c) ∅d) (−∞;−3] ∪ [2;∞) e) (−∞;−2) ∪ (0; 1)
f) [−1; 0] ∪ (1; 3] g) (−√
2; 1)\{0} h) [−3; 0]
6.1. a) (4; 2) b) - c) (−45; 30)d) (3;−2), (−2; 3) e) (9; 1), (1; 9)
7.1. a) b) c)f1(x) 0, 9− 0, 1x 2(x + 1)0,5 + 1
x+11
1+e−0,1(x+1)
f4(x) 1 + 0, 1x 2(−x)0,5 − 1x
11+e0,1x
f6(x) 1− 0, 1x2 2x + 1x2
11+e−0,1x2
7.3. a) |x| ≥ 2, b) (−5;∞), c) (−4;∞)\{−2; 1}, d) IR\{0}
7.11. a) ∅, b) [1;∞)
7.12. a) Min(0;−5), b) Min(2; 1), c) Max(0; 1), d) Max(0; 1),e) Max(π
2 + kπ; 1), Min(kπ; 0), k ∈ ZZ,ZZ = Menge der ganzen Zahlen,f) Max(π
2 + kπ; 1), Min(kπ; 12 ), k ∈ ZZ.
7.13. 13 , ∞, 1, 1
20
8.1. a) −2x + 7
33√
x2b) − 2
x3 + 12x5
c) −3x2 − 10x− 2 d) 23 3√
x+ 35
44√
x3
e) 2x − 3ex − 5
x2 f) 1√x− 1
x2
g) 2x · ln(2)− 1x·ln(10) − 6
x3
8.2. a) (x2 + 2x− 1)ex b) (√
x + 12√
x)ex + 10x
c) xn−1(n ln(x) + 1) d) ex(sin(x) + cos(x))
e) 1−ln(x)x2 f) − x2+1
(x2−1)2
8.3. a) 22x+3 − 3e−3x b) − 6x
(x2+1)2 + 1+x(1−x)3
c) − 1(1+x)
√1−x2
d) − ex
(ex−1)2
e) 6e−2x
(1+3e−2x)2 f) 2t+12√
t2+t+1
g) bv−au(au+bv)3 h) 1
2x√
ln(x)
8.4. f ′(x) f ′′(x)a) 22(2x− 5)10 440(2x− 5)9
b) −2xe−x2
e−x2
(−2 + 4x2)
c) 12√
xe√
x e√
x
4x (1− 1√x)
d) x√x2+1
1(x2+1)3/2
e) 1x(x+1) − 2x+1
x2(x+1)2
f) 6 sin(3x) cos(3x) 18(cos2(3x)− sin2(3x))
8.5. a) Nullstellen: 0; −2, 854; 3, 854 Min.:(2, 277;−18, 426)Max.: (−1, 610; 10, 945), Wendepunkt.: (1
3 ;−3, 741)
b) Polstelle: x = 2, Min.: (8; 21), Max:. (−4;−3),
c) limx→∞
f(x) = 0, limx→−∞
f(x) = −1, limx→±0
f(x) = ±∞,
Polstelle: x = 0.
8.6. a) Breite: 3,2 m, Hohe: 2,75 m; b) Breite: 14,14 m, Hohe: 7,07 m
8.7. 300
8.8. 287 m von B entfernt
8.9. y = − 58x3 + 2x2 + 2x
21
9.1. a) 35x5 − 5
3x3 + 10x + C
b) 12x2 + 5 ln |x|+ 2
x + C
c) 34x
43 − 6
5x52 + C
d) 3x− 5ex + C
e) − 38 · 1
x2· 3√x2
+ 1523 · 1
x4· 5√x3
+ C
f) 12 t2 + t + ln |t|+ 1
2t2 + C
g) ex + xe−2 + C
9.2. a) 43 b) 1
6 c) 3712
9.3. 92
9.4. 323
22
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