Hochschule für

Technik und Wirtschaft Dresden

Fakultät Informatik / Mathematik

Mathematikaufgaben

zur Vorbereitung auf das Studium

Studiengänge

Automatisierungstechnik

Nachrichtentechnik/Multimediatechnik

Mechatroniksysteme/Fahrzeugmechatronik

Elektrotechnik / Elektronik

Dresden 2015

1. Mengen

Kenntnisse und Fahigkeiten:Mengenbegriff, Teilmenge, Durchschnitt und Vereinigung von Mengen,Produktmenge, Zahlenmengen, Intervalle.Im folgenden bedeuten:

IN = {0, 1, 2, ...} : Menge der naturlichen Zahlen,IR : Menge der reellen Zahlen,IR2 : Menge der geordneten Zahlenpaare (x, y) mit x ∈ IR, y ∈ IR.

1.1. Gegeben seien die MengenA = {x ∈ IN | 1 ≤ x ≤ 6},B = {x ∈ IR | x ≥ 4},C = {x ∈ IN | x ≤ 4},Beschreiben Sie (gegebenfalls durch Aufzahlung der Elemente oderam Zahlenstrahl) die Mengen: A ∩B, A ∪B,A ∩B ∩ C, A ∪B ∪ C, (A ∩B) ∪ C, A ∩ (B ∪ C).

1.2. Gegeben seien in der (x, y)-Ebene die folgenden Mengen:

K1 = {(x, y) ∈ IR2 | x2 + y2 = 4},K2 = {(x, y) ∈ IR2 | y =

√3x},

K3 = {(x, y) ∈ IR2 | (x− 2)2 + y2 = 4},M1 = {(x, y) ∈ IR2 | x2 + y2 ≤ 4},M2 = {(x, y) ∈ IR2 | y ≥

√3x},

M3 = {(x, y) ∈ IR2 | (x− 2)2 + y2 < 4}.

a) Ermitteln Sie K1 ∩K2, K1 ∩K3, K2 ∩K3.

b) Stellen Sie grafisch dar:

K1 ∩M1 K2 ∪M2 K3 ∩M3

M1 ∩M2 M1 ∩M3 M2 ∩M3

M1 ∩M2 ∩M3 M1 ∪M3 (M1 ∩M3) ∪M2.

1.3. Sei A = {x ∈ IR | (0 ≤ x ≤ 1) ∨ (x = 3)},B = {y ∈ IR | (1 < y ≤ 3) ∨ (y = 4) ∨ (5 ≤ y < 6)}.

Skizzieren Sie A × B = {(x, y) | (x ∈ A) ∧ (y ∈ B)} in der (x, y)-Ebene.

1

1.4. Gegeben seien die Intervalle

J1 = {x ∈ IR | −2 ≤ x ≤ 2} = [−2, 2],

J2 = {x ∈ IR | −3 < x ≤ 4} = (−3, 4],

J3 = {x ∈ IR | 0 ≤ x <∞} = [0,∞),

J4 = {x ∈ IR | 2 ≤ x < 4} = [2, 4).

Ermitteln Sie und schreiben Sie - wenn moglich - als Intervall:J1 ∩ J2 J1 ∩ J3 J1 ∩ J4

J1 ∪ J2 J1 ∪ J3 J1 ∪ J4

2. Elementare Rechenoperationen, Potenzen,

Wurzeln, Logarithmen

Kenntnisse und Fahigkeiten:Bruchrechnung, Multiplikation und Division von Polynomen, BinomischeFormeln, Ausklammern von Faktoren aus Polynomen, Potenz- undLogarithmengesetze, Summenzeichen.

Untersuchen Sie im folgenden zuerst, fur welche Werte der vorkom-menden Variablen die auftretenden Terme definiert sind.

2.1. Kurzen Sie so weit wie moglich.

a)204a2b3c

255ab2c3b)

5x2 + 1

15x2 + 1· a− 3

a− 12c)

2a + a2 + 1

2a2 − 2

2.2. Fassen Sie zu einem Bruch zusammen, und kurzen Sie so weit wiemoglich.

a)2

3x2− 4

2x4+

5

6xb)

a2 − b2

2a(a + b)− 1 c)

−abc

a− b· b− a

(−b)c· 1

a

2.3. Vereinfachen Sie.

a)(2x2y3)4

(4x3y4)2b)

(

xmynzr+1

x2y2−nzr−2

)2

, m, n, r ∈ IN

c)x−2y−2

xy−3x−4d) (x−3y2)4x23

e)1

anbn−3− 3

an−1bn−2+

3

an−2bn−1− 1

an−3bn, n ∈ IN

2

2.4. Vereinfachen Sie.

a)3√

a5b ·√

a3b4 · 6√

a5b4 b) 3

√

(

3ab2

c

)n

· 3

√

(

9a2b

c2

)n

, n ∈ IN

2.5. Vereinfachen Sie die folgenden Terme so weit wie moglich.

a)2x + 5

x + 3− 3x− 4

x + 2+

x2 + 6x + 10

x2 + 5x + 6

b)

a

a− b+

b

a + ba

a + b− b

a− b

c)1

1a + 1

b + 1c

d)(2ax + 2ay)m(bx− by)n

(cx2 − cy2)m+n, m ∈ IN, n ∈ IN, m, n 6= 0

e)a5x−y

b6n−2:

a4x−y

bn−3, x, y ∈ IR, n ∈ IN

f)

√a + b ·

√a2 + b2

√a4 − b4

g) (√

p + q −√p− q)2

h)

√

x−√

x2 − y2

√

x +√

x2 − y2

i)3

√

b3

√

b2 5√

b8 4√

b3

2.6. Geben Sie die folgenden Zahlen exakt und als auf 4 Kommastellengerundete Dezimalzahl an. Vereinfachen Sie dazu die Terme undrechnen Sie danach mit dem Taschenrechner.

a)

√

2√

2√

2 b) (√

5−√

3)2(√

5+√

3)2 c)√

316

√

13 − 1

4

d) 5√

63− 2√

175−√

343 + 3√

28 e)(

3√

10√

3√

10)

√3

f)(63)3(84)2

1212g)

√

(−5)2 h) 4√

(−2)6

3

2.7. Vereinfachen Sie und berechnen Sie mit dem Taschenrechner.

a) 10√

2, 158925 b) 3√

4√

3, 1384284 c) 1, 0810

d) sin(1, 5) e) log25(125) f) log20(100) + log100(20)

2.8. Vereinfachen Sie (ohne Benutzung eines Taschenrechners) so weitwie moglich.

a) ln(e2)+1 b) ln(e2+1) c) lg( 3√

100) d) 2e2 ln(2)

e) ln (ln (ln(ee))) f)√

e2+ln(9) g) (( 3√

e)2)ln(8)

2.9. Vereinfachen Sie.

a) ln(2a) + 2 ln(b)− 2 ln(2c), a, b, c > 0,

b) 13 ln(a2 − b2)− 1

2 ln(a− b)− 12 ln(a + b), a + b > 0, a− b > 0,

c) ln(a2 − 2ab + b2)− 3 ln(a2 − b2) + 3 ln(√

a + b)

, a > b > 0.

2.10. Ermitteln Sie alle x ∈ IR mit

a) 3x = 27 b) 10x = 0, 01 c) logx(3) = 8

d) log2(x) = 5 e) logx

(

15

)

= −1 f) log8

(

5√

64)

= x

g) logx(16) = −5 h) log3

(

127

)

= x i) log 127

(3) = x.

2.11. Faktorisieren Sie, d.h. schreiben Sie als Produkt.

a) −15a5b3c2 − 135a3b5c4 + 75a4b4c3

b) (4x + y)(a + 2b) + (y − 4x)(−2b− a)

c) (x + 2y)(x− y)(−2x + y)− y(6x− 3y)(2y − 2x)

2.12. Faktorisieren Sie unter Verwendung binomischer Formeln.

a) 16a2 + 24ab + 9b2

b) (−a− 1)(a− 1)− (a2 − 1)

c) - 14x2 − 4y2 − 2xy

2.13. Schreiben Sie mittels quadratischer Erganzung als Summe bzw.Differenz von Quadraten.

a) x2 − 4x + 13 b) x2 + x− 6c) 4x2 + 4x + 2 d) x2 + 4ax + 9b2

e) x2 − 2x + y2 + 6y f) 4x2 + 8x− 3y2 + 12y

4

2.14. Klaren Sie, unter welchen Bedingungen die folgenden Quotientendefiniert sind und fuhren Sie die Division aus.

a) (12a2 + ab− 17ac− 20b2 + 29bc− 5c2) : (3a + 4b− 5c)

b) (x4 − y4) : (x− y)

c) (qn − 1) : (q − 1), n ∈ IN \ {0}d) (2x4 − 11x3 + 25x2 − 32x + 20) : (2x2 − 7x + 6)

2.15. Losen Sie die folgenden Formeln auf:

a) I =nU

nRi + Ranach n, Ri, Ra,

b) K = K0qn + R

qn − 1

q − 1nach R, K0, n,

c)1

f=

1

f1+

1

f2− d

f1f2nach f, f1, f2,

d) X = ωL− 1

ωCnach L, C, ω.

2.16. Ermitteln Sie die folgenden Summenwerte.

a)6∑

i=1

ii+3 b)

100∑

i=1

i c)10∑

i=1

i2 d)100∑

k=0

2 e)5∑

k=1

(−k)k

f)5∑

n=1nxn−1 fur x = 2 g)

50∑

i=1

(5i + 3)

2.17. Berechnen Sie die Binomialkoeffizienten.

a)

(

4

2

)

b)

(

8

3

)

c)

(

3

5

)

d)

(

4, 5

3

)

e)

(

2, 8

4

)

f)

(

0, 5

3

)

g)

(−2

5

)

h)

(

5

−2

)

i)

(

2

0, 5

)

j)

(

π

0

)

2.18. Beweisen Sie die Gultigkeit der Gleichung furn ≥ k ≥ 0, n ∈ IN, k ∈ IN .

(

n

k

)

+

(

n

k + 1

)

=

(

n + 1

k + 1

)

5

3. Vektoren

Kenntnisse und Fahigkeiten:Definition und Darstellung von Vektoren, Betrag eines Vektors, Winkelzwischen Vektoren.

3.1. Gegeben seien die Vektoren ~a =~i+2~j, ~b = 4~i− 2~j. Bestimmen Siedie Vektoren ~a+~b,~b−~a sowie den Winkel zwischen ~a und~b. StellenSie die Vektoren ~a, ~b, ~a +~b, ~b−~a zeichnerisch dar. Berechnen Sie|~b− ~a|, und interpretieren Sie das Ergebnis anschaulich.

3.2. Die drei Punkte P1(1; 0; 6), P2(4; 5;−2), P3(7; 3; 4) bestimmen einDreieck. Beschreiben Sie die Dreiecksseiten mittels Vektoren undberechnen Sie die Seitenlangen, die Winkel sowie den Flacheninhaltdes Dreiecks.

3.3. Gegeben seien die Punkte:P1(1;−1; 0), P2(3; 1;−1), Q1(0; 0;−2), Q2(−4;−4; 0).

a) Geben Sie die Verbindungsvektoren ~a von P1 nach P2 und ~bvon Q1 nach Q2 an. Interpretieren Sie das Ergebnis.

b) Berechnen Sie die Abstande der Punkte zum Koordinatenur-sprung sowie den Abstand von P1 und P2 und den Abstandvon Q1 und Q2.

3.4. Gegeben seien A(5; 1), ~a = −3~i− 4~j und ~b = −2~i +~j.

a) Bestimmen Sie drei Punkte B, C und D so, daa ~a =−→AB und

~b =−→AD gilt und das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist.

b) Berechnen Sie die Langen der Diagonalen AC und BD.

6

4. Gleichungen fur eine reelle Veranderliche

Kenntnisse und Fahigkeiten:Umformen von Gleichungen, lineare Gleichungen, quadratische Gleichun-gen, Bruchgleichungen, Wurzelgleichungen, Exponentialgleichungen,Logarithmusgleichungen.

4.1. Bestimmen Sie die Losungsmengen der folgenden Gleichungen.

a) 2x− (5− 4x) = 3x− (2x + 8)

b) (5− x)(x + 3) = (x− 2)(8− x)

c)2x− 1

2+

3x + 2

4+

5x + 3

8+

1

4= 1− 7x + 3

8

d) a(2x− b) + bc = b(2x− a)− bc

4.2. Losen Sie die folgenden Gleichungen.

a) x2 − 5x + 6 = 0 b) 6x2 + x− 1 = 0c) x2 + 4x + 13 = 0 d) 3x2 = 12x + 12e) (x2 − 4x− 5)(x− 3) = 0 f) 5x6 − 20x4 = 0g) x3 − 4x2 + 4x = 0 h) x4 + 3x2 − 4 = 0

4.3. Losen Sie die folgenden Gleichungen.

a)x− 1

x + 1=

x− 3

x− 5b)

1

x+

1

x + 1=

5

2x + 2

c)1

x + 4+

1

3x=

1

3x + 12d)

x + 1

x + 5+

x + 3

x− 1= 2

4.4. Bestimmen Sie die Losungsmengen folgender Gleichungen.

a)x

x2 − 4= 1

b)x

x− 1− x− 1

x= 1

c)x2 + 2x

2x2 + 2x− 4= 1

d)11x + 6

x2 − 3x− 54=

3x− 14

2x− 18− 3x + 6

2(x + 6)

7

4.5. Losen Sie die folgenden Wurzelgleichungen.

a)√

x− 1 =√

x2 − 1

b)√

x + 4 = x + 2

c)√

x−√

x− 1 =√

2x− 1

d)x− 2√x− 1

=√

x− 1 + 1

e)√

2 + x +√

2− x = 2√

x− 1

4.6. Geben Sie die Losungen der folgenden Gleichungen exakt und alsDezimalzahl auf 4 Kommastellen gerundet an.

a) ln(x + 3) = 2 b) (x + 1) (ln(x) + 1) = 0

c) ln(x)− 2 ln(x− 1) = 0 d) log2(x2 + x + 6) = 3

4.7. Losen Sie die Gleichungen, und geben Sie die Losungen exakt undals Dezimalzahl auf 4 Kommastellen gerundet an.

a) 210−x = 3 b) 1− e2x+3 = 0

c) 26x−2 = 42x+3 d)1

1 + e−x= 0, 125

4.8. Losen Sie die Gleichungen und geben Sie die Losungen exakt undals Dezimalzahl auf 4 Kommastellen gerundet an.

a) 22x − 2x+1 − 3 = 0 b) xln(x) = 2

c) (ln(x))x = 1 d) xlg(x) = 109

e) 2x · 52x = 102x+1 f) lg(2x) + lg(3x) + lg(4x) = 5

8

5. Ungleichungen und Betrage fur eine reelle

Veranderliche

Kenntnisse und Fahigkeiten:Definition des absoluten Betrages, Umformen von Ungleichungen,Ungleichungen mit Betragen.

5.1. Losen Sie die folgenden Ungleichungen.

a) 2x− 4 < 4x− 1

b)x

3− 4 ≤ x

5c) (2− x)(1 + x) ≥ (3− x)(4 + x)

d) ax < x + a, a ∈ IR

5.2. Bestimmen Sie die Losungsmengen.

a)1

x− 1≥ 2 b)

x + 3

x− 2≥ 2 c)

6x + 2

3x− 2<

4x + 1

2x + 1

5.3. Ermitteln Sie die Losungsmengen folgender Ungleichungen auf rech-nerischem und auf grafischem Wege.

a) |x− 3| < 4 b) |x + 1| ≥ 2

c) |x + 100| < 0, 001 d) |2x− 4| < −x + 2

e) |x| > |x + 1|

5.4. Ermitteln Sie die Losungsmengen folgender Ungleichungen.

a) |x + 2|+ |x− 2| ≤ 12

b)|x + 3|x− 1

< 4 c)x− 1

|x + 3| ≤ 5

5.5. Losen Sie die folgenden Ungleichungen.

a) x2 − 5x + 6 > 0 b) 6x2 + x ≤ 1

c) x2 + 4x + 13 ≤ 0 d) |x− 5| ≤ |x2 − 1|

e)2

x> 1 + x f)

1

1− x≤ 1− |x|

2

g) |1 + x| < 1

1− xh) ||x + 1|+ |x + 2| − 2| ≤ 1

9

6. Gleichungssysteme fur zwei reelle Veranderliche

Kenntnisse und Fahigkeiten:Gleichungen mit 2 Unbekannten, Einsetzungsverfahren und Gleichset-zungsverfahren.

6.1. Losen Sie die Gleichungssysteme.

a) 3x − 2y = 82x + 3y = 14

b) 2x = 9 − 4yx = 4 − 2y

c) x5 + y

3 = 1x3 + y

2 = 0

d) x + y = 1x2 + y2 = 13

e) x + y = 10xy = 9

7. Funktionen

Kenntnisse und Fahigkeiten:Funktionsbegriff, lineare und quadratische Funktionen, Potenz-, Exponen-tial- und Logarithmusfunktionen, Nullstelle, Maximum, Minimum, Mono-tonie, Grenzwerte von Funktionen.

7.1. Gegeben seien die Terme:a) f(x) = 1− 0, 1x, b) f(x) = 2x0,5 + 1

x ,

c) f(x) =1

1 + e−0,1x.

Bilden Sie die folgenden Terme und vereinfachen Sie sie, falls moglich.f1(x) = f(x + 1) f2(x) = f(x) + 1 f3(x) = −f(x)f4(x) = f(−x) f5(x) = 1

f(x) f6(x) = f(x2)

f7(x) = [f(x)]2

7.2. Bilden Sie zu den Funktionen f : IR → IR mit

a) f(x) = 1 + 0, 5x, x ∈ IR, b) f(x) = x2, x ∈ IR,c) f(x) = ex, x ∈ IR

jeweils die Funktionen fi : IR → IR , i = 1, ..., 6, mit

f1(x) = f(x + 1), f2(x) = f(x) + 1, f3(x) = −f(x),f4(x) = f(−x), f5(x) = 2f(x), f6(x) = f(2x),

und skizzieren Sie die Graphen der Funktionen.

10

7.3. Fur welche x sind die folgenden Terme definiert? Ermitteln Siejeweils den großtmoglichen Definitionsbereich.

a) f(x) =√

x2 − 4 b) f(x) = ln(x + 5)

c) f(x) =ln(x + 4)

(x− 1)(x + 2)d) f(x) =

1

1− e−0,1x

7.4. Skizzieren Sie die folgenden Geraden in einem geeigneten Koordi-natensystem.

a) y = 3x− 4 b) 10x + 15y = 30

c)x

10+

y

5= 1 d) k = 0, 1 t + 1, 2

e) s = 2− (2− 18t)/3

7.5. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion fur x ∈ IR.

a) y = (x + 1)2 − 4 b) y = x2 − 4x + 13

c) y = 6− x− x2

7.6. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion. Versuchen Sie,moglichst ohne Wertetabelle auszukommen.

a) y = x2, x ∈ [0;∞)

b) y = x4, x ∈ IR

c) y = x−1, x ∈ (−∞; 0)

d) y = x2 − 4x− 8, x ∈ IR

e) y = −x3 + 3x2 + 18x− 40, x ∈ IR

f) y = ln(x− 2), x ∈ (2;∞)

g) y =x + 1

x− 1, x ∈ (1;∞)

h) y = ln |x|, x ∈ IR\{0}i) y =

√x− 4, x ∈ [4;∞)

j) y =

0 fur −∞ < x ≤ −1(x + 1)2 fur −1 < x < 0− 1

2x + 1 fur 0 ≤ x <∞

11

7.7. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion fur den großtmog-lichen Definitionsbereich, und bestimmen Sie den Wertebereich derFunktion.

a) y = 3 + x−1 b) y =1

x− 2c) y = 3 +

4

x− 2

7.8. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion, und geben Sieden Wertebereich an.

a) y = e−x, x ∈ IR b) y = 2− e−x, x ∈ IR

c) y = −ex+1, x ∈ IR d) y = ex + e−x, x ∈ IR

7.9. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion fur x ∈ IR, undbestimmen Sie den Wertebereich der Funktion.

a) y = 3 + sin(x) b) y = sin(x− 1)

c) y = sin(2(x− 1)) d) y = 3 + 4 sin(2(x− 1))

7.10. Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen fur jeweils eine Teil-aufgabe in einem gemeinsamen Koordinatensystem.

a) y = eax fur a = 0,± 12 ,±1,±2, x ∈ IR

b) y = ex + a fur a = 0,±1,±2, x ∈ IR

c) y = ex+a fur a = 0,±1,±2, x ∈ IR

7.11. In welchen Intervallen sind folgende Funktionen monoton wach-send?a) y = −3x + 6, x ∈ IR b) y = x2 − 2x + 1, x ∈ IR

7.12. Ermitteln Sie (ohne Differentialrechnung) die Maxima/Minima (so-weit vorhanden) der Funktionen nach Lage, Art und Große.

a) y = x2 − 5, x ∈ IR

b) y = x2 − 4x + 5, x ∈ IR

c) y = e−x2

, x ∈ IR

d) y =1

x2 + 1, x ∈ IR

e) y = sin2(x), x ∈ IR

f) y =1

1 + cos2(x), x ∈ IR

12

7.13. Bestimmen Sie die Grenzwerte.

a) limx→∞

x

3x− 7b) lim

x→∞

x5 − 3x2

2x4 + 3x2

c) limt→∞

(1− e1−t) d) limt→∞

e1

t−1

8. Differentialrechnung

Kenntnisse und Fahigkeiten:Ableitungsregeln (Faktor- und Additionsregel, Produkt-, Quotienten-und Kettenregel) fur Funktionen y = f(x), Extremwertermittlung, Kur-vendiskussion.

8.1. Ermitteln Sie jeweils die erste Ableitung f ′(x).

a) f(x) = 3− x2 + 7 3√

x, x > 0

b) f(x) = 1 + x−2 − 3x−4, x 6= 0

c) f(x) = (1− x)(x2 + 6x + 8), x ∈ IR

d) f(x) =3√

x2 + 5x4√

x3 − 3, x > 0

e) f(x) = 2 ln(x)− 3ex +5

x, x > 0

f) f(x) = 2x0,5 +1

x, x > 0

g) f(x) = 2x − lg(x) + 3x−2, x > 0

8.2. Ermitteln Sie jeweils die erste Ableitung.

a) f(x) = (x2 − 1)ex, x ∈ IR

b) f(x) =√

xex + 5x2, x > 0

c) f(x) = xn ln(x), x > 0

d) f(x) = ex sin(x), x ∈ IR

e) f(x) =ln(x)

x, x > 0

f) f(x) =x

x2 − 1, |x| 6= 1

13

8.3. Ermitteln Sie jeweils die erste Ableitung.

a) f(x) = ln(2x + 3) + e−3x, x > − 32

b) f(x) =3

x2 + 1+

x

(1− x)2, x 6= 1

c) f(x) =

√

1− x

1 + x, x ∈ (−1; 1)

d) f(x) =1

ex − 1, x 6= 0

e) f(x) =1

1 + 3e−2x, x ∈ IR

f) f(t) =√

t2 + t + 1, t ∈ IR

g) f(u) =u

(au + bv)2, au + bv 6= 0

h) f(x) =√

ln(x), x > 1

8.4. Ermitteln Sie jeweils die erste Ableitung und die zweite Ableitung.

a) f(x) = (2x− 5)11, x ∈ IR

b) f(x) = e−x2

, x ∈ IR

c) f(x) = e√

x, x > 0

d) f(x) =√

x2 + 1, x ∈ IR

e) f(x) = ln

(

x

x + 1

)

, x < −1

f) f(x) = sin2(3x), x ∈ IR

8.5. Fuhren Sie eine Kurvendiskussion durch.

a) y = x3 − x2 − 11x, x ∈ IR

b) y =x2 + 5x + 22

x− 2, x ∈ IR\{2}

c) y =1

ex − 1, x ∈ IR\{0}

14

8.6. Im Dachboden eines Hauses soll ein Zimmer ausgebaut werden.Wie mussen Hohe und Breite des Zimmers gewahlt werden (recht-winkliger Querschnitt), wenn ein Raum maximalen Volumens ent-stehen soll und

a) der Dachboden den Querschnitt eines gleichschenkligen Drei-ecks und die Hohe 5,5 m sowie die Breite 6,4 m besitzt,

b) der Dachboden halbkreisformig (r = 10 m) gewolbt ist.

8.7. Aus drei gleichbreiten Brettern soll eine Wasserrinne mit trapez-formigem Querschnitt hergestellt werden. Fur welchen Neigungs-winkel der Seitenflachen (gemessen gegen die Senkrechte) wird derQuerschnitt am großten?

8.8. Zwei Punkte A und B einer geradlinig verlaufenden Straße seien650 m voneinander entfernt. Ein Gebaude im Punkt C habe denAbstand 180 m vom Punkt B und von der Straße. Das Gebaudesoll vom Punkt A Gasanschluß erhalten. Die Baukosten langs derStraße betragen 72,- DM/m, im anderen Gelande aber 85,- DM/m.An welcher Stelle der Straße muß geradlinig nach C abgezweigtwerden, damit die Gesamtbaukosten moglichst gering werden?

8.9. Eine Funktion y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, x ∈ IR, genugefolgenden Bedingungen:

• der Graph der Funktion geht durch den Ursprung und hatdort den Anstieg 2,

• x = 4 ist eine Nullstelle,

• f ′′(0) = 4.

Ermitteln Sie a, b, c, d.

15

9. Integralrechnung

Kenntnisse und Fahigkeiten:Unbestimmtes und bestimmtes Integral, Grundintegrale, Flachenberech-nungen.

9.1. Ermitteln Sie die folgenden unbestimmten Integrale.

a)∫

(3x4 − 5x2 + 10)dx

b)

∫(

x +5

x− 2

x2

)

dx

c)∫

(

3√

x− 3√

x3)

dx

d)∫

(3− 5ex)dx

e)

∫ 3√

x7 − 35√

x2

x6dx

f)

∫

t4 + t3 + t2 − 1

t3dt

g)

∫

e2x + ex−2

exdx

9.2. Berechnen Sie den Inhalt des endlichen Flachenstucks, das vonder x- Achse und der durch y = f(x), x ∈ IR, gegebenen Kurveeingeschlossen wird.

a) y = f(x) = x2 − 1

b) y = f(x) = x2 − 5x + 6

c) y = f(x) = x(x− 1)(x− 3)

9.3. Berechnen Sie den Inhalt des von den Kurven y = 1 − x2 undy = −x− 1, x ∈ IR, eingeschlossenen Flachenstucks. Skizzieren Siediese Flache.

9.4. Berechnen Sie den Flacheninhalt des Parabelsegmentes, das dieGerade y = 2x + 1 von der Parabel y = x2 − 4x + 6 abschneidet.

16

Losungen

1.1. {4, 5, 6}, {1, 2, 3} ∪ [4;∞), {4}, {0, 1, 2, 3} ∪ [4;∞),{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A

1.2. a) {(1,√

3), (−1, −√

3)}, {(1,√

3), (1, −√

3)}, {(0, 0), (1,√

3)}

1.4. J1 ∩ J2 = J1 J1 ∩ J3 = [0; 2] J1 ∩ J4 = {2}J1 ∪ J2 = J2 J1 ∪ J3 = [−2;∞) J1 ∪ J4 = [−2; 4)

2.1. a)4ab

5c2, a, b, c 6= 0 b) −, a 6= 12 c)

a + 1

2(a− 1), a 6= 1, a 6= −1

2.2. a)5x3 + 4x2 − 12

6x4, x 6= 0 b) −a + b

2a, a 6= 0, a 6= −b

c) −1, a, b, c 6= 0, a 6= b

2.3. a) x2y4, x, y 6= 0 b) x2m−4y4n−4z6, x, y, z 6= 0 c) xy, x, y 6= 0

d)y8

x4, x 6= 0 e)

(b− a)3

anbn, a, b 6= 0

2.4. a) a4b3, a, b ≥ 0 b)

(

3ab

c

)n

, a, b ≥ 0, c > 0

2.5. a)10x + 32

(x + 3)(x + 2), x ∈ IR\{−2;−3}

b)a2 + 2ab− b2

a2 − 2ab− b2, a2 6= b2, a 6= b(1±

√2)

c)abc

ab + ac + bc, abc 6= 0,

1

a+

1

b+

1

c6= 0

d)

(

2a

c

)m (

b

c

)n

· 1

(x + y)n(x− y)m, c(x2 − y2) 6= 0

e) axb−1−5n, a > 0, b > 0

f)1√

a− b, a + b > 0, a− b > 0

g) 2p− 2√

p2 − q2, p + q ≥ 0, p− q ≥ 0

h) |y|, x ≥ 0, x2 ≥ y2

i) b13/8, b ≥ 0

17

2.6. a) 27/8 ≈ 1, 8340 b) 4 c)1

8= 0, 125

d) 4√

7 ≈ 10, 5830 e) 101+ 12

√3 ≈ 73, 4557

f)29

33≈ 18, 9630 g) 5 h) 2

√2 ≈ 2, 8284

2.7. a) 1, 08 b) 1, 1 c) 2, 1589d) 0, 9975 e) 1, 5 f) 2, 1878

2.8. a) 3 b) - c)2

3d) 8 e) 0 f) 3e g) 4

2.9. a) ln

(

ab2

2c2

)

b) − 16 ln(a2−b2) c) − ln

(

(a2 − b2)√

a + b)

2.10. a) 3 b) − 2 c) 8√

3 d) 32 e) 5

f) 25 g) 1/ 5

√16 h) − 3 i) − 1

3

2.11. a) 15a3b3c2(−a2 − 9b2c2 + 5abc)b) 8x(a + 2b) c) (x− y)(y − 2x)(x− 4y)

2.12. a) (4a + 3b)2 b) −2(a2 − 1) c) −( 12x + 2y)2

2.13. a) (x−2)2 +9 b) (x+ 12 )2− 25

4 c) 22(x+ 12 )2 +1

d) (x + 2a)2 − 4a2 + 9b2 e) (x− 1)2 + (y + 3)2 − 10f) 4(x + 1)2 − 3(y − 2)2 + 8

2.14. a) 4a− 5b + c, 3a + 4b− 5c 6= 0

b) x3 + x2y + xy2 + y3, x 6= y

c) qn−1 + qn−2 + ... + q + 1, q 6= 1 und n ∈ IN \ {0}d) x2 − 2x + 2, 5 + −2,5x+5

2x2−7x+6 , x 6= 2, x 6= 1, 5

2.15. a) n = RaIU−RiI

, Ri = nU−RaInI , Ra = n(U−RiI)

I

b) R = (K −K0qn) · q−1

qn−1 , K0 = Kqn − R

qn · qn−1q−1 ,

n = 1ln q · ln

(

K(q−1)+RK0(q−1)+R

)

c) f = f1f2

f1+f2−d , f1 = f(d−f2)f−f2

, f2 = f(d−f1)f−f1

d) L = Xω + 1

ω2C , C = 1ω2L−ωX , ω = 1

2L

(

X ±√

X2 + 4LC

)

18

2.16. a) 2531840 b) 5050 c) 385 d) 202

e) −2893 f) 129 g) 6525

2.17. a) 6 b) 56 c) 0 d) 10516 = 6, 5625 e) -0,0336

f) 0,3756 = 0, 0625 g) -6 h) - i) - j) 1

3.1. ~a +~b = 5~i; ~b− ~a = 3~i− 4~j; <)(~a;~b) = 900; |~b− ~a| = 5

3.2.−→P1P2= 3~i + 5~j − 8~k, P1P2 =

√98, <)(

−→P1P2,

−→P1P3) = 450

−→P1P3= 6~i + 3~j − 2~k, P1P3 = 7, <)(

−→P2P1,

−→P2P3) = 450

−→P2P3= 3~i− 2~j + 6~k, P2P3 = 7, <)(

−→P1P3,

−→P2P3) = 900

A = 24, 5

3.3. a) ~a = 2~i + 2~j − ~k, ~b = −4~i− 4~j + 2~k;b) OP1 =

√2, OP2 =

√11, OQ1 = 2, OQ2 = 4

√2

P1P2 = 3, Q1Q2 = 6

3.4. a) B(2;−3), C(0;−2), D(3; 2)b) AC =

√34, BD =

√26

4.1. a) L = {− 35} b) L = { 31

8 } c) L = {0}d) L = {− bc

a−b}, falls a 6= b, L = IR, falls (a = b) und (b ·c = 0),L = ∅, falls a = b und bc 6= 0

4.2. a) L = {2; 3} b) L = {− 12 ; 1

3} c) L = ∅d) L = {2 +

√8; 2−

√8} e) L = {−1; 3; 5}

f) L = {0; 2;−2} g) L = {0; 2} h) L = {−1; 1}4.3. a) L = {2} b) L = {2} c) L = {− 4

3} d) L = ∅

4.4. a) L = { 12 + 1

2

√17; 1

2 − 12

√17} c) L = {2}

b) L = { 32 + 1

2

√5; 3

2 − 12

√5} d) L = {14}

4.5. a) L = {1} b) L = {0} c) L = {1} d) L = ∅ e) L = {2}4.6. a) e2 − 3 ≈ 4, 3891 b) e−1 ≈ 0, 3679

c) 32 + 1

2

√5 ≈ 2, 6180 d) L = {1;−2}

4.7. a) 10− log2(3) ≈ 8, 4150 b) − 32 = −1, 5 c) 4

d) − ln(7) ≈ −1, 9459

19

4.8. a) log2(3) ≈ 1, 5850 b) L = {e√

ln(2); e−√

ln(2)}c) e ≈ 2, 7183 d) L = {10−3; 103}e) − 1− log2(5) ≈ −3, 3219 f) 5

lg(24) ≈ 3, 6226

5.1. a) (− 32 ;∞) b) (−∞; 30] c) [5;∞)

d)

x > aa−1 fur a < 1

x < aa−1 fur a > 1

x ∈ IR fur a = 1

5.2. a) (1; 1, 5] b) (2; 7] c) (−∞;− 12 ) ∪ (− 4

15 ; 23 )

5.3. a) (−1; 7) b) (−∞;−3] ∪ [1;∞)c) (−100, 001;−99, 999) d) ∅ e) (−∞;− 1

2 )

5.4. a) [−6; 6] b) (−∞; 1) ∪ ( 73 ;∞) c) IR\{−3}

5.5. a) (−∞; 2) ∪ (3;∞) b) [− 12 ; 1

3 ] c) ∅d) (−∞;−3] ∪ [2;∞) e) (−∞;−2) ∪ (0; 1)

f) [−1; 0] ∪ (1; 3] g) (−√

2; 1)\{0} h) [−3; 0]

6.1. a) (4; 2) b) - c) (−45; 30)d) (3;−2), (−2; 3) e) (9; 1), (1; 9)

7.1. a) b) c)f1(x) 0, 9− 0, 1x 2(x + 1)0,5 + 1

x+11

1+e−0,1(x+1)

f4(x) 1 + 0, 1x 2(−x)0,5 − 1x

11+e0,1x

f6(x) 1− 0, 1x2 2x + 1x2

11+e−0,1x2

7.3. a) |x| ≥ 2, b) (−5;∞), c) (−4;∞)\{−2; 1}, d) IR\{0}

7.11. a) ∅, b) [1;∞)

7.12. a) Min(0;−5), b) Min(2; 1), c) Max(0; 1), d) Max(0; 1),e) Max(π

2 + kπ; 1), Min(kπ; 0), k ∈ ZZ,ZZ = Menge der ganzen Zahlen,f) Max(π

2 + kπ; 1), Min(kπ; 12 ), k ∈ ZZ.

7.13. 13 , ∞, 1, 1

20

8.1. a) −2x + 7

33√

x2b) − 2

x3 + 12x5

c) −3x2 − 10x− 2 d) 23 3√

x+ 35

44√

x3

e) 2x − 3ex − 5

x2 f) 1√x− 1

x2

g) 2x · ln(2)− 1x·ln(10) − 6

x3

8.2. a) (x2 + 2x− 1)ex b) (√

x + 12√

x)ex + 10x

c) xn−1(n ln(x) + 1) d) ex(sin(x) + cos(x))

e) 1−ln(x)x2 f) − x2+1

(x2−1)2

8.3. a) 22x+3 − 3e−3x b) − 6x

(x2+1)2 + 1+x(1−x)3

c) − 1(1+x)

√1−x2

d) − ex

(ex−1)2

e) 6e−2x

(1+3e−2x)2 f) 2t+12√

t2+t+1

g) bv−au(au+bv)3 h) 1

2x√

ln(x)

8.4. f ′(x) f ′′(x)a) 22(2x− 5)10 440(2x− 5)9

b) −2xe−x2

e−x2

(−2 + 4x2)

c) 12√

xe√

x e√

x

4x (1− 1√x)

d) x√x2+1

1(x2+1)3/2

e) 1x(x+1) − 2x+1

x2(x+1)2

f) 6 sin(3x) cos(3x) 18(cos2(3x)− sin2(3x))

8.5. a) Nullstellen: 0; −2, 854; 3, 854 Min.:(2, 277;−18, 426)Max.: (−1, 610; 10, 945), Wendepunkt.: (1

3 ;−3, 741)

b) Polstelle: x = 2, Min.: (8; 21), Max:. (−4;−3),

c) limx→∞

f(x) = 0, limx→−∞

f(x) = −1, limx→±0

f(x) = ±∞,

Polstelle: x = 0.

8.6. a) Breite: 3,2 m, Hohe: 2,75 m; b) Breite: 14,14 m, Hohe: 7,07 m

8.7. 300

8.8. 287 m von B entfernt

8.9. y = − 58x3 + 2x2 + 2x

21

9.1. a) 35x5 − 5

3x3 + 10x + C

b) 12x2 + 5 ln |x|+ 2

x + C

c) 34x

43 − 6

5x52 + C

d) 3x− 5ex + C

e) − 38 · 1

x2· 3√x2

+ 1523 · 1

x4· 5√x3

+ C

f) 12 t2 + t + ln |t|+ 1

2t2 + C

g) ex + xe−2 + C

9.2. a) 43 b) 1

6 c) 3712

9.3. 92

9.4. 323

22