Nume prenume: Reiz Maria
Școala: Liceul Teoretic German ,,Johann Ettinger” Satu Mare
E-mail: [email protected]
CLASA: IX
Aplicații vectori. Coliniaritate
Breviar teoretic și probleme rezolvate
Doi vectori se numesc paraleli sau coliniari, dacă au aceași direcție.
Vectorul nul se consider paralel cu orice alt vector.
Dacă �� ‖𝑣 și 𝑣 ≠ 0 , atunci există a număr real astfel încât �� =a·𝑣
Dacă �� și 𝑣 sunt vectori neparaleli atunci egalitatea a�� =b𝑣 este adevărat numai dacă
a=b=0.
Pentru a demostra că punctele A,B,C sunt coliniare este suficient să se arate că vectorii
𝐴𝐵 și 𝐴𝐶 sunt coliniari.
Descompunerea a unui vector după doi vectori necoliniari și nenuli
Pentru descompune un vector �� din plan după doi vectori necoliniari 𝑎 și �� , trebuie să
determinăm coeficienții reali α și β din suma �� = α 𝑎 +β�� .
Pentru a putea face acest lucru, vom lua un punct O pe dreapta suport a vectorului �� , vom
construe dreptele cu aceleași direcții ca vectorii necoliniar 𝑎 și �� ,care să treacă prin
punctul O, la fel ca în figura de mai jos
Din regula paralelogramului �� =𝑂𝐴 +𝑂𝐵 = α 𝑎 +β�� .
Nume prenume: Reiz Maria
Școala: Liceul Teoretic German ,,Johann Ettinger” Satu Mare
E-mail: [email protected]
Aplicații
Rezolvare:
𝑀𝑁 =𝑀𝐵 +𝐵𝑁 =1
3𝐴𝐵 +
1
2𝐵𝐶 =
−1
3𝐵𝐴 +
1
2𝐵𝐶
𝑁𝑃 =𝑁𝐶 +𝐶𝑃 =1
2𝐵𝐶 +𝐴𝐶 =
1
2𝐵𝐶 +(𝐴𝐵 +𝐵𝐶 )=
1
2𝐵𝐶 -
𝐵𝐴 +𝐵𝐶
=3
2𝐵𝐶 -𝐵𝐴
Pentru a demonstra coliniaritatea punctelor
M,N,P vom demonstra că vectorii 𝑀𝑁 și 𝑁𝑃 sunt coliniari, adică există un număr real α,
astfel ca 𝑁𝑃 = α 𝑀𝑁
Observăm că 𝑁𝑃 = 3 𝑀𝑁 , deci M,N,P sunt coliniari
2) Se dă dreptunghiul ABCD și O=AC ∩ BD. Fie punctele N și M astfel încât AN =3
4AC și
BM =2𝐴𝐵
a). Să se exprime vectorii AO , OB , în funcție de vectorii AB și AD .
b). Să se demonstreze că punctele D,N,M sunt coliniare.
Rezolvare:
AO =1
2AC =
1
2(AD +AB )=
1
2𝐴𝐷 +
1
2𝐴𝐵
OB =1
2𝐷𝐵 =
1
2(DA + AB ) =
1
2 (−𝐴𝐷 + AB ) =
−1
2𝐴𝐷 +
1
2𝐴𝐵 sau OB =-B O=-
1
2(BC +
BA )=−1
2𝐴𝐷 +
1
2𝐴𝐵
Nume prenume: Reiz Maria
Școala: Liceul Teoretic German ,,Johann Ettinger” Satu Mare
E-mail: [email protected]
Pentru a demonstra ca D,N,M sunt coliniare vom demostra că vectorii 𝐷𝑁 și 𝐷𝑀 sunt
coliniari, avem descompunerea vectori după direcțiile vectorilor 𝐴𝐷 ș𝑖 𝐴𝐵
𝐷𝑁 =𝐷𝐶 +𝐶𝑁 =𝐴𝐵 +1
4𝐶𝐴 =𝐴𝐵 +
1
4(𝐶𝐷 +𝐶𝐵 )= 𝐴𝐵 +
1
4(𝐵𝐴 +𝐷𝐴 )= 𝐴𝐵 -
1
4𝐴𝐵 -
1
4𝐴𝐷
=3
4𝐴𝐵 -
1
4𝐴𝐷
𝐷𝑀 =𝐷𝐴 +𝐴𝑀 =-𝐴𝐷 +3 𝐴𝐵
Observăm că 4 𝐷𝑁 = 4(3
4𝐴𝐵 -
1
4𝐴𝐷
) =3 𝐴𝐵 −𝐴𝐷 = 𝐷𝑀
Deci 𝐷𝑁 și 𝐷𝑀 sunt vectori coliniari , deci și punctele D,N,M sunt coliniare.
3) Pe latura AB și diagonala AC ale paralelogramului ABCD se iau punctle M și N astfel
încât 𝐴𝑀 =1
3𝐴𝐵 , 𝐴𝑁 =
1
4𝐴𝐶 .
Arătați că punctele că M,N,D sunt coliniare.
Rezolvare:
Pentru a demonstra că punctele M,N,D sunt coliniare
vom demonstra că vectorii 𝑀𝐷 și 𝑀𝑁 sunt coliniari.
Vom descompune vectorii 𝑀𝐷 și 𝑀𝑁 după vectorii 𝐴𝐷
și 𝐴𝐵
𝑀𝐷 =𝑀𝐴 +𝐴𝐷 =1
3�� A+𝐴𝐷 = −
1
3𝐴𝐵 +𝐴𝐷
𝑀𝑁 =𝑀𝐴 +𝐴𝑁 =- 1
3𝐴𝐵 +
1
4𝐴𝐶 =-
1
3𝐴𝐵 +
1
4(𝐴𝐷 +𝐴𝐵 )= -
1
3𝐴𝐵 +
1
4𝐴𝐷 +
1
4𝐴𝐵 = -
1
12𝐴𝐵 +
1
4𝐴𝐷
Observăm ca 4𝑀𝑁 =𝑀𝐷 , deci vectorii 𝑀𝐷 și 𝑀𝑁 sunt coliniari rezultă că și M,N,D sunt
coliniare.
Nume prenume: Reiz Maria
Școala: Liceul Teoretic German ,,Johann Ettinger” Satu Mare
E-mail: [email protected]
Rezolvare 1:
Acum să demonstrăm această problemă cu ajutorul vectorilor, adică M,N,P puncte
coliniare dacă vectorii 𝑀𝑁 și 𝑀𝑃 sunt vectori coliniari.
𝐴𝑀
𝑀𝐵=
1
3 <=>
𝐴𝑀
𝐴𝐵=
1
4 <=>𝐴𝑀 =
1
4𝐴𝐵
𝑃𝐵 = 5𝑃𝐶<=> 𝐵𝐶 = 4𝑃𝐶<=> 𝑃𝐶 =1
4𝐶𝐵 și 𝑃𝐵 =
5
4𝐶𝐵
𝐶𝑁
𝑁𝐴=
3
5<=>
𝐴𝐶
𝑁𝐴=
8
5<=>𝑁𝐴 =
5
8𝐶𝐴
𝑀𝑁 = 𝑀𝐴 +𝐴𝑁 =1
4𝐵𝐴 +
5
8𝐴𝐶 =
−1
4𝐴 𝐵+
5
8𝐴𝐶
𝑀𝑃 = 𝑀𝐵 + 𝐵𝑃 =3
4𝐴𝐵 +
5
4𝐵𝐶 =
3
4𝐴𝐵 +
5
4(𝐵𝐴 + 𝐴𝐶 ) =
3
4𝐴𝐵 +
5
4𝐴𝐶 −
5
4𝐴𝐵
=−2
4𝐴𝐵 +
5
4𝐴𝐶
2𝑀𝑁 =𝑁𝑃 ,rezultă că 𝑀𝑁 și 𝑀𝑃 sunt vectori coliniari, deci M,N,P puncte coliniare.
Rezolvare 2:
Din reciproca teoremei lui Menelaus aplicată triunghiului ABC asi punctelor M,N,P care
imparte laturile sau prelungirile lor avem
AM
MB
BP
PC
CN
NA=
1
3· 5 ·
3
5= 1 rezultă M,N,P puncte coliniare.
Nume prenume: Reiz Maria
Școala: Liceul Teoretic German ,,Johann Ettinger” Satu Mare
E-mail: [email protected]
Clasa IX
Fișa de lucru
1) Fie ABCD un paraelogram, Definim punctele E și F prin 𝐴𝐸 =3
2𝐴𝐵 și
𝐴𝐹 =3𝐴𝐷 , Să se arate că punctele C,E,F sunt coliniare.
2)
4)
Top Related