- 25 -
2 Finite Differenzen Methode (FDM) Lösungsgebiet wird mit einem (i.a. rechtwinkligen) Gitternetz überzogen Potentialverteilung wird durch eine Taylor–Reihe approximiert:
m
mm
xxfm
dxfdxf )()(
!)()( )(
2.1 Herleitung von Differenzenformeln
Feldproblem wird lokal überführt in eine Differenzengleichung
d
xfdxf
x
fd
)()(lim
0
Vorwärts– Differenz
hx x23
0
Rückwärts – Differenz
)()()(
xd
dxfxf
x
f
hx x12
0
Zentrale Differenz
)(2
)()(x
d
dxfdxf
x
f
hx x 213
0
)()()(
xd
xfdxf
x
f
- 26 -
Genauigkeitsvergleich Taylorreihenentwicklung liefert
...6
1
2
1:)( 32 xxxxhx hhhhx
...6
1
2
1:)( 32 xxxxhx hhhhx
1. Ableitung ergibt sich mittels Vorwärtsdifferenz
)(...6
1
2
1 3 hOh
hhh
xhxxx
xhxx
und mittels zentraler Differenz
)(2
...6
1
222 hO
hh
hhxhx
xhxhx
x
Für die 1. Ableitung an den Stellen 2
hx und
2
hx folgt
hxhx
hx
2
h
hxxh
x
2
und damit für die 2. Ableitung an der Stelle x
222 2
hhhxhx
hx
hx
x
2.1.1 Taylorreihenansatz Fünf – Punkte – Differenzenstern
Poisson – Gleichung:
2D, kartesisch:
),(
),(2
2
2
2 yxyxf
yx (1)
1. Schritt: Diskretisierung Differenzenstern
- 27 -
2. Schritt: Taylorentwicklung für das Potential an der Stelle P0(x0,y0)
n
n
Ryxy
kx
hn
yxy
kx
h
yxy
kx
h
),(!
1
...),(!3
1
),(!2
1
00
00
3
00
2
3. Schritt: Anwendung der Taylorentwicklung auf den Differenzenstern
...62
3
1
2
1101 xxxxxx
hhh (2)
...62
3
2
2
2202 xxxxxx
hhh (3)
...62
3
3
2
3303 yyyyyy
hhh (4)
...62
3
4
2
4404 yyyyyy
hhh (5)
4. Schritt: Ermittlung der Differenzenformel
4321
00
4
4
3
3
432
2
1
1
210 11
),(2
111
hhhh
yxfhhhhhhhh
(6)
Sonderfall: h1 + h2 + h3 + h4 = h (quadratisches Gitter)
),(4
)(4
100
2
43210 yxfh
(7)
und für die Laplacegleichung
)(4
143210 (8)
),(!1
1),(),( 000000 yx
yk
xhyxkyhx
- 28 -
Neun – Punkte - Differenzenstern Taylorentwicklung bis Term 4.Ordnung
...2462
41
31
21
101 xxxxxxxxxx
hhhh
...2462
42
32
22
202 xxxxxxxxxx
hhhh
Zusammenfassung der Ableitungen entsprechend der Schwarz´schen Regel, angewendet auf die Laplacegleichung:
yyxxxxyyyxxyyyxx , :
yyyxxxyxyyxyxxxy
yyyyxxyyyyxxxxxx
,
,
...2462
43
33
23
303 yyyyyyyyyy
hhhh
...2462
44
34
24
404 yyyyyyyyyy
hhhh
...46424
1
336
1
22
1
43
331
23
213
31
41
33
2313
21
31
2331
213105
yyyyxyyyxxyyxxxyxxxx
yyyxyyxxyxxx
yyxyxxyx
hhhhhhhh
hhhhhh
hhhhhh
...46424
1
336
1
22
1
4
4
3
42
2
4
2
24
3
2
4
2
3
4
2
424
2
2
3
2
2
442
2
24206
yyyyxyyyxxyyxxxyxxxx
yyyxyyxxyxxx
yyxyxxyx
hhhhhhhh
hhhhhh
hhhhhh
...
...
4108
3207
yx
yx
hh
hh
- 29 -
Daraus folgt ein Gleichungssystem für die acht Unbekannten:
ii
iii
i
T
xxxxyyyxxxxxxyyx
cdDx
x
8
1
8
1
1
10
1
0 ),,,,,,,(
Analytisch auflösbare Spezialfälle des 9–Punkte-Differenzensterns:
a) reguläres Rechteckgitter : h1= h2= h, h3= h4= k
8765
43
22
21
22
220
20
1
55)(10
1
khhkkh
b) äquidistantes Gitter: h1= h2= h3= h4= k
876543210 20
1
5
1
Diskretisierungsfehler:
5 – Punkte – Stern: O(h2) 9 – Punkte – Stern: O(h6)
- 30 -
Differenzenformeln für Zylindersymmetrie
Rotationssymmetrie: 02
2
Poisson – Gleichung:
),(1
2
2
2
2
zrfzrrr
...2
21
101 zzz
hh
...2
22
202 zzz
hh
...2
23
303 rrr
hh
...2
24
404 rrr
hh
Elimination der 1. Ableitung r und z, Ausdrücken der 2. Ableitung rr und zz durch die Knotenpotentiale und Auflösung nach 0 liefert die 5 – Punkte – Differenzenformel:
43
342
21
2
),(2
43
4
43
23
34
243
1
2
2
1
1
21
2
0
hh
hhr
hh
r
zrfhh
hhr
hhr
hhhhhh
r
Für ein reguläres Rechteckgitter (h1= h2= h, h3= h4= k) ergibt sich:
22
43432212
0 114
1
2
1
2
1
kh
krkh
und für ein quadratisches Gitter (h = k):
4343210 84
1 r
h
Achsennahe Differenzenformeln o.g. Formeln gelten nicht in der Nähe der Rotationsachse! Punkte 1 bis 3 vorgegeben: Punkte 3, 5, 8 vorgegeben:
3210 46
1 8530 24
1
Differenzenformel für einen unsymmetrischen Stern:
2
321
32
32
2
1
1
210 21
21
hhh
hhhhh
- 31 -
Differenzenformel in Polarkoordinaten
Polarkoordinaten: 02
2
z
Laplace – Gleichung: Vereinfachung: h1= h2= h ( ) h3= h4= k ( r ) 5 – Punkte – Differenzenstern:
22
2
43432212
0 1422
1
hk
rk
r
k
r
h
Approximation von Rändern und Grenzen Randnahe Gitterpunkte: Unregelmäßiger 5 – Punkte – Stern
mit: 4321 , hqqhqq ba
3412 hqqhqq ba ,
Unregelmäßiger 9 – Punkte – Stern:
Berechnung der Koeffizienten ci erfordert einen erheblichen Aufwand
numerische Berechnung
011
2
2
22
2
rrrr
ii
iq
4
10
214231
43
hhhhhh
hhqa
434231
21
hhhhhh
hhqb
ii
ic
8
10
...2
hh
2
01
...2
kk rr
2
r303
...2
kk rr
2
r04
2
021
h
2
k2
43r
2
2 0 ...2
hh
2
043rr
k
2
- 32 -
Besondere Berandungen ( Symmetrien ) Symmetrien = Linien mit verschwindender Normalkomponente der elektrischen Feldstärke 5 – Punkte – Stern:
43
3210 2
4
1
9 – Punkte – Stern:
768543 ,,
)(10
12
5
1753210
2 Symmetrielinien: Kombination von Symmetrielinie und Randkurve Differenzenformel eines vollständigen, unregelmäßigen 9-Punkte-Differenzensterns:
768543 ,, cccccc
ii
iii
i cc
7,5,32,1
0 2
5310 5
1
5
2
- 33 -
Grenzflächen im Feldgebiet Laplace – Gleichung: - quadratisches Gitter
- kartesische Koordinaten
02
2
2
2
yx
Einbeziehung der Grenzbedingungen:
1 2 1 2
21 21 2 1
1 2
t t x x n n y yE E E E
Die 2. Ableitungen müssen in beiden Bereichen die Laplace–Gleichungen erfüllen, die Grenzknotenpotentiale ergeben sich aus der Taylorentwicklung, sowohl im Bereich 1 als auch im Bereich 2. Folglich gilt:
Daraus folgt ein System von neun Gleichungen, das nach Auflösung nach dem Potential 0 die Differenzenformel für einen Grenzknoten liefert:
4
1
23
21
1210
2
4
1
Diagonalformel: (
85... bekannt)
86
1
275
21
10 )(2
2
2
201 2 xxx
hh
2
1 0 1 1
2
2 0 2 2
2
3 0 1 1
2
4 0 2 2
2
2
2
2
x xx
x xx
y yy
y yy
hh
hh
hh
hh
- 34 -
Erfassung der Randbedingungen
Beispiel: 5 – Punkte – Stern für die Laplace – Gleichung:
04 04321
a) Dirichlet–Bedingungen: hier: ,)( 313 gsg s1 = Knoten 3 auf dem Rand S
30421 4 g
b) Neumann – Bedingung:
hier: 0120
12 22
phph
px
00431 242 hp
c) Cauchy – Bedingung: )()()( sqssn s
hier: 2 000
12 qh
20001 2)( hq
000432 22
142 hqh
)(spn s
)()( sgs
- 35 -
3D – Approximationen Differenzengleichung: (äquidistantes Gitter)
6
10 6
1i
i
Beispiel: Poisson–Gleichung für inhomogene, statische Magnetfelder
2 ,m m
µS div
µ
M
Finite – Differenzen – Operatoren: ( = 0 gesetzt, Gleichung mit h multipliziert)
0)()(
)( S
ST
Es gilt:
3 4 5 61 2
0 0 0
3 4 5 61 2
1 2 3 4 5 6
( )( )
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
SS
x y z
x y z
e e e
e e e
mit:
0
65
0
43
0
21
2,
2,
2
6
106)(
iiT
06)1()1()1()1()1()1( 0654321
3D – Differenzenstern auf einer Grenzfläche Punkt 0 auf der Grenzfläche 0,
singulär Berücksichtigung der
Grenzbedingungen
)()( 202011
neuer Operator:
- 36 -
2.1.2 Umlaufintegralmethode Diskretisierung und Differenzenapproximation Diskretisierung: - regelmäßiges Gitternetz (rechtwinklig)
- in der Masche konstant, gleich Wert im Maschenmittelpunkt - J = konst. je Masche - Integrationsweg: Seitenhalbierende zu Seitenhalbierende
1?rot
A dl
2
1 1b
a
Arot dx
y
x xAdl e e
2
xx
yy
AA1 20
03
03
2
2
1 1c
b
Arot dy
x y yA dl e e
2
yy
xx
AA1 30
20
20
2
: : usw.
2 2 3 3 4 4 5 5 6 6J S J S J S J S J S J dS
2
xx
2
yyJ 2003
2
A0 = A0 (A1, A2, A3, A4, (A), J, Geometrie) Differenzenformel großes, schwach besetztes, (nichtlineares) Gleichungssystem weitere Lösung wie bei FDM !
12
3
4
- 37 -
2.2 Aufstellung und Lösung der Gleichungssysteme Knotennummerierung und Indizierung Standardindizierung: parallel zu Koordinatenachsen mit m indizierten Knoten je Reihe verschiedene Bandbreiten BW
BW = 2m + 1
a) Zeilen mit m = 4 BW = 9
b) Spalten mit m = 3 BW = 7
Ermittlung der Bandbreite BW = s + 1 + r In einer Zeile gilt: r = j – i, r – Superdiagonale s - Subdiagonale s = i – j, i – Zeilenindex j – Spaltenindex Einfachindizierung P(i, j) P(k): k = i + (j – 1) I I – Zahl der inneren Knoten je Zeile
Abb.: 2D–Differenzenstern im einfach indizierten Gitter
- 38 -
3D – Gitter Pi, j, k: y – Richtung: mj 1
x – Richtung: ni 1 z – Richtung: lk 1
Einfachindizierung: Pq, r, s Pt mit: t = (s – 1)n m + (q – 1) m +r und nq 1 n – Anzahl y-z-Gitterebenen
mr 1 m – Anzahl x-z-Gitterebenen ls 1 l – Anzahl x-y-Gitterebenen
Diagonalindizierung: Rechteckgitter mit (I x J) – Gitterpunkten; I – Punkte in der Zeile J – Punkte in der Spalte Indizierung: - Start am linken unteren Gitterpunkt des Rechtecks
- Diagonalreihe für Diagonalreihe nummerieren a) J < I von links oben nach rechts unten
b) I < J von rechts unten nach links oben Beispiel: I = 6, J = 5 Lösung der Gleichungssysteme a) direkte Verfahren : - Gauß – Elimination
- Cholesky – Verfahren b) iterative Verfahren : - Jacoby – Verfahren
- Gauß – Seidel – Verfahren - Relaxationsverfahren - Gradientenverfahren
Relaxationsverfahren für FDM besonders geeignet,
wenn der optimale Relaxationfaktor bekannt ist! Dreieckszerlegung der Matrix: FDEA
- 39 -
Iterationsformel:
bDExMx
bxFxEDxxmm
mmmm
11)()1(
)()1(1)()1(
)(
)()1(
mit der Iterationsmatrix M :
DFDEM )1()()( 111
allgemeine Form des Iterationsverfahrens:
cxMx mm )()1( Optimaler Relaxationsfaktor Voraussetzungen an die Matrix: - symmetrisch
- positiv definit - konsistent geordnet (tridiagonal, blockweise tridiagonal)
positiv definit: symmetrische Matrix A mit reellen Koeffizienten ars, deren quadratische Form
p
ssrrs
p
r
xxaQ11
für jedes p- Tupel (x1, . . ., xp) positiv ist.
- 40 -
Relaxationsverfahren lineares Gleichungssystem:
bxA ),( rsaA T
p
T
p
bbb
xxx
),...,(
),...,(
1
1
Iterationsvorschrift:
r
p
rs
m
srs
r
s
m
srs
m
rrr bxaxaxa
1
)(1
1
)1()1(~
)1()()1( ~)1( m
r
m
r
m
r xxx
r
p
rs
m
srs
r
s
m
srs
m
rrr
m
rrr bxaxaxaxa1
)(1
1
)1()()1( )1(
= Punkt – SOR – Methode Spezialfall für = 1: Gauß – Seidel – Iteration
p
rs
m
srs
r
s
m
srsr
m
rrr xaxabxa1
)(1
1
)1()1(
Konvergenzbeschleunigung Verringerung des Spektralradius
iiM max)( µ - Eigenwert von M
Relaxationsfaktor so wählen, dass möglichst klein wird! Sind rD Diagonalmatrizen, so gilt:
2
111
2
opt
1 –
2
22
1
)1(
Vorgehensweise:
Differenzvektor: )()1()1( mmm xxd
)(
)1(
m
m
d
d
Bestimmung von 2
1
Bestimmung von opt
Konvergenz für: 0 < < 2 = 1 - Gauß – Seidel – Iteration > 1 - Überrelaxation < 1 - Unterrelaxation
betragsgrößter Eigenwert der Matrix
Beziehung zwischen 1 und Spektralradius der Iterationsmatrix
- 41 -
Gradientenverfahren lineares Gleichungssystem: bxA
A - reelle, positiv definite Matrix (m x m) x0 - Anfangsnäherung
n - Iterationsindex r - Residuum
r, x, b, p - Vektoren mit m Komponenten CG – Algorithmus (Conjugate Gradient Method)
0:n 1;: ;0: ;:1100
pbxAr
while residual > tolerance do begin
1n:n
:
:
:
:
:
:
:
1
1
1
1
nnnn
nnnn
n
nn
n
T
nn
nnnn
n
nn
n
T
nn
xx
Arr
pap
rp
rr
end
CGS – Algorithmus (Conjugate Gradient Squared) A - nicht positiv definit CG nicht anwendbar! modifizierter Algorithmus (nach SONNEVELD, siehe Marsal)
0:n 1;: ;0:: ;:11000
qqbxAr
while residual > tolerance do begin
end
1n:n
)(:
)(:
:
:
:
:
)(:
:
:
:
11
11
1
00
1
1
00
nnnnn
nnnnn
nnn
n
nn
nT
n
nn
nnnnnn
nnnn
n
nn
nT
n
quxx
quArr
vuq
vr
pAv
pqup
qru
rr
- 42 -
Bandbreitenreduzierung (Algorithmus nach Cuthill/Mckee) Umnummerierung aller Variablen (renumbering) führt zur Reduzierung der Bandbreite
und spart damit Speicherplatz! Ziel Minimierung
iiDK
mit: jiDi max jeder Zeile
d.h.
iD größter Abstand zwischen Diagonalterm der Zeile i
und jedem anderen Spaltenterm j dieser Zeile gebräuchlichstes Verfahren: Algorithmus von Cuthill/McKee
[Cuthill, E.;McKee, M. (1969):“Reducing the Bandwidth of Sparse Symmetric Matrices“,
ACM Proc. 24. Nat. Conf.; New York; vgl.: Hoole /10-9 /, S.222 – 224] Beispiel: (8 x 8) – Matrix mit 20 NNE
20019018017168
15014013007
1201100106
908705
60004
5403
322
11
87654321
Ausgangspunkt für die Umnummerierung ist die Darstellung der Verbindungen jedes Knoten zu allen anderen Nachbarknoten. Aufbau der Tabelle:
Knoten Zahl der Verbindungen
Verbindung zu neue Nummer neue Verbindung zu
1 3 2,6,8 4 5,2,3 2 4 1,3,5,8 5 4,6,7,3 3 3 2,5,7 6 5,7,8 4 2 6,8 1 2,3 5 3 2,3,7 7 5,6,8 6 3 1,4,8 2 4,1,3 7 2 3,5 8 6,7 8 4 1,2,4,6 3 1,2,4,5
- 43 -
Algorithmus: 1. Start mit dem Knoten mit den wenigsten Verbindungen.
Hier 4 (oder 7) neue Nr. 1 in Spalte 4 2. Der mit Knoten 4 verbundene Knoten 6 (oder 8) wird Nr. 2 in Spalte 4,
Knoten 8 wird Nr. 3 3. Nun erfolgt das gleiche mit dem neuen Knoten 2 (alt: 6):
von den Verbindungen 1, 4, 8 sind 4 und 8 bereits nummeriert. Folglich wird Knoten 1 die Nr. 4.
4. Fortsetzung dieser Prozedur für alle restlichen Knoten
Umkehrung dieses Algorithmus führt zu einer noch effektiveren Umnummerierung Freie Wahl bei gleichrangigen Knoten führt auf unterschiedliche Strategien mit
unterschiedlichen Speicherplatzanforderungen. Modifizierungen sind also möglich!
5. Aufstellung der letzten Spalte:
Beispiel: neuer Knoten 4 (alt:1) hat Verbindungen zu 2, 6 und 8 gemäß Spalte 3 Neue Verbindungen von Knoten 4: 5, 2, 3 Knoten 2 (in Spalte 1) 5 (in Spalte 5) 6 2 8 3
6. Neuordnung der Reihenfolge der Nummerierung 2, 3, 5 damit wird Nr. 5 über der Diagonale in die obere Dreiecksmatrix (symmetrisch) “abgeschoben“ und entfällt somit für die Abspeicherung! Es ergibt sich die folgende unsymmetrische Matrix:
201918000008
17161500007
141300006
121110005
98704
6543
322
11
87654321
Die Tabelle ist leicht zu programmieren Dadurch entstehender Zusatzaufwand kann größtenteils kompensiert werden, wenn
Verkonditionierungen angewendet werden (z.B. bei CG – Verfahren)
Einsparungen bei Speicherplatzreservierungen für die Matrix Zusammenfassung: Bevorzugte iterative Verfahren:
- Gauß–Seidel–Verfahren - Relaxationsverfahren ( insbesondere SOR ) - Newton–Verfahren ( in vielen Varianten ) - Newton–Raphson–Verfahren ( häufig bei nichtlinearen FEM–Matrizen )
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