Technische Universitat Dortmund Wintersemester 2011/2012Fakultat fur Mathematik 15.02.2012

Klausur zur Linearen Algebra I

Name: Matrikelnummer:Vorname: Studiengang:

Wichtige Informationen:

Prufen Sie sofort nach Beginn der Klausur, ob Sie alle 6 Aufgaben erhalten haben. Entfernen Sie nicht die Klammerung der Blatter. Tragen Sie auf jedem Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein. Unterschreiben Sie die Erklarung auf dem Deckblatt. Schreiben Sie die Losung zu einer Aufgabe nur auf die dafur vorgesehenen Blatter. Verwenden Sie stets beide

Seiten. Wenn Sie mehr Blatter benotigen, melden Sie sich.

Alle Antworten sind mathematisch zu begrunden. Sofern nichts anderes gesagt ist, darf dabei auf mathematische Ergebnisse aus der Vorlesung und den Ubungen

zur Linearen Algebra I (WS 2011/12) verwiesen werden (zum Beispiel durch ein Stichwort wieSatz von Euler

oder durch kurze Beschreibung des Ergebnisses).

Sie konnen die einzelnen Teilaufgaben einer Aufgabe in einer anderen als der vorgeschlagenen Reihenfolgebearbeiten und in jeder Teilaufgabe die erzielten (Zwischen-)Ergebnisse aus den vorher bearbeiteten Teilaufgabenverwenden.

Bei Manipulation von Matrizen sind die durchgefuhrten Spalten- oder Zeilenoperationen stets anzugeben. Es werden die besten 5 Aufgaben gewertet. Die Bearbeitungszeit betragt 3 Stunden.

A1 A2 A3 A4 A5 A6Summe der funfbesten Aufgaben

Note

Erklarung: (Diese Erklarung ist vor Klausurbeginn auszufullen und zu unterschreiben.)

Ich habe zur Kenntnis genommen, dass die Fakultat fur Mathematik diese Klausur nur bis zum 31.10.2012aufbewahrt, falls ich sie nicht nach der Klausureinsicht personlich in Empfang nehme. Nach diesem Zeitpunktwird nur dieses Deckblatt mit personlichen Angaben, Klausurergebnis und Note archiviert, die Aufgaben-blatter werden vernichtet.

15.02.2012

Datum Unterschrift

Ruckgabe der Klausur:

Hiermit bestatige ich den Erhalt meiner vollstandigen Klausur. Ich erkenne das Ergebnis und die Note an.

Datum Unterschrift

Name: Matrikelnummer:Vorname: Erreichte Punktzahl:

Aufgabe 1: (20 Punkte)

(a) Geben Sie die Definition des groten gemeinsamen Teilers ggT(a, b) zweier von Null verschiedenerganzen Zahlen a und b an.

(b) Bestimmen Sie ggT(540, 456).

(c) Bestimmen Sie unter Verwendung des folgenden euklidischen Algorithmus ganze Zahlen u, v Zmit u 454 + v 196 = 2.

454 = 2 196 + 62196 = 3 62 + 1062 = 6 10 + 2

Geben Sie in Ihrer Losung alle Rechenschritte an.

(d) Bestimmen Sie (Z/14Z). Sie mussen Ihre Antwort nicht begrunden.(e) Geben Sie fur die folgenden Zahlen a Z an, ob ein n N mit an 60 1 existiert. Bestimmen Sie

dann gegebenfalls das kleinste solche n N.(i) 249

(ii) 187

(f) Wie lautet das Lemma von Bezout?

(g) Zeigen Sie, dass fur alle a, b, c Z \ {0} mit ggT(a, b) = 1 gilt: a | b c = a | c.

Name: Matrikelnummer:Vorname: Aufgabe: 1

Name: Matrikelnummer:Vorname: Erreichte Punktzahl:

Aufgabe 2: (20 Punkte)

Seien (G, ) und (G, ) Gruppen.(a) Wann ist eine Abbildung f : G G ein Gruppenhomomorphismus?(b) Sei f : G G ein Gruppenhomomorphismus, sei e das neutrale Element von (G, ) und sei e das

neutrale Element von (G, ). Wir definieren Kern(f) := {a G | f(a) = e}. Zeigen Sie, dassKern(f) eine Untergruppe von (G, ) ist.

(c) Seien f , e und e wie in (b). Zeigen Sie, dass f genau dann injektiv ist, wenn Kern(f) = {e} gilt.(d) Sei

R :={(

1 a0 1

)| a R

}M2(R).

Zeigen Sie, dass R zusammen mit der ublichen Matrizenmultiplikation eine Gruppe ist.(e) Sei R die in (d) definierte Gruppe. Ist R abelsch?(f) Sei R die in (d) definierte Gruppe, und sei

f : (R,+) R, a 7(

1 a0 1

).

Zeigen Sie, dass f ein Gruppenisomorphismus ist.

Name: Matrikelnummer:Vorname: Aufgabe: 2

Name: Matrikelnummer:Vorname: Erreichte Punktzahl:

Aufgabe 3: (20 Punkte)

Losen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme uber dem jeweils angegebenen Korper K. GebenSie dabei alle Zwischenschritte an.

(a)

(i 2i 5 10i3 1 + i 5 + 10i

), K := C

(b)

2 3 1 1 11 0 2 1 4

1 1 1 1 31 1 1 2 2

, K := Q

(c)

1 3 4 3 02 4 4 3 00 1 2 4 0

, K := Z/5Z

Name: Matrikelnummer:Vorname: Aufgabe: 3

Name: Matrikelnummer:Vorname: Erreichte Punktzahl:

Aufgabe 4: (20 Punkte)

(a) Geben Sie die Definitionen (i) des Rangs einer Matrix, (ii) einer regularen Matrix sowie (iii) einerinvertierbaren Matrix an.

(b) Sei K ein Korper, und seien m,n N. Sei A eine m nMatrix uber K. Zeigen Sie, dass diezugehorige lineare Abbildung LA : K

n Km genau dann injektiv ist, wenn Rang(A) = n gilt.(c) Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrizen. Uberprufen Sie auerdem, ob die Matrizen in-

vertierbar sind, und bestimmen Sie gegebenenfalls die zugehorige inverse Matrix.

(i) A :=

1 1 2 3

4 1 3 32 3 7 90 1 2 1

M4(R)

(ii) B :=

1 2 1 21 2 2 12 2 0 12 1 2 2

M4(Z/3Z)

Name: Matrikelnummer:Vorname: Aufgabe: 4

Name: Matrikelnummer:Vorname: Erreichte Punktzahl:

Aufgabe 5: (20 Punkte)

(a) Seien

A :=

(1 + i i 3i2 + i 0 6

)M23(C), und B :=

2 2i 1 0 13 i 5i 1 i1 + i 0 1 + i 0

M34(C).Finden Sie eine Matrix C M24(C) mit LC = LA LB.

(b) Seien V1, V2, V3 Vektorraume uber einem fest gewahlten Korper. Sei f : V1 V2 und g : V2 V3zwei lineare Abbildungen. Zeigen Sie: dim Kern(g f) dim Kern(f) und dim Bild(g f) dim Bild(f).

(c) Berechnen Sie den folgenden Ausdruck uber dem Korper Z/5Z. Geben Sie dabei alle Zwischener-gebnisse an.

1234

( 2 4 1 ) 2 0 13 2 0

0 4 1

+

1 0 4 20 1 0 32 3 4 03 0 2 2

3 1 41 2 32 4 14 3 2

Name: Matrikelnummer:Vorname: Aufgabe: 5

Name: Matrikelnummer:Vorname: Erreichte Punktzahl:

Aufgabe 6: (20 Punkte)

Sei

f : Q[X]3 Q[X]4,3i=0

aiXi 7

3i=0

aii + 1

Xi+1.

(a) Zeigen Sie, dass A := {1 + X2, 1X2, X + X3, X X3} eine Basis von Q[X]3 ist.(b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix MAB (f), wobei A wie in (a) und B die Basis 1, X,X

2, X3, X4

von Q[X]4 sei.(c) Bestimmen Sie die Dimensionen von Kern(f) und Bild(f).

(d) Finden Sie Vektoren v1, v2, v3, v4 mit f(v1) = X, f(v2) = X + X2, f(v3) = X + X

2 + X3 undf(v4) = X + X

2 + X3 + X4. Begrunden Sie kurz, ob diese Vektoren eine Basis des Q[X]3 bildenoder nicht.

Name: Matrikelnummer:Vorname: Aufgabe: 6