EINFÜHRUNG DIFFERENTIALRECHNUNG
Marcus Dokulil
Inhalt
Differenzenquotient Differentialquotient 1. u. 2. Ableitung Kurvendiskussion
NullpunktExtremstellenWendepunkt
Newtonsches Näherungsverfahren
Differenzenquotient
Formel
k= =
Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Steigung bzw. die mittlere Änderung der Formel in einem bestimmten Intervall pro Einheit an.
Δy
Δx
y2 – y1
x2 – x1
Beispiel
Δy
Δx
y2 – y1
x2 – x1k1= =
11-9
10-8= =
2
2= 1
23-19
14-12k2= =
4
2= 2
Betrachten wir die Tagestemperatur in Wien
Differentialquotient
Formel
Steigung der Sekante:k= = Steigung der Tangente:k=
Der Differentialquotient ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten in einem Intervall
Δy
Δx
limΔx0
(Steigung der Sekante)
(y+Δy)-y
(x+Δx)-x
Beispiel
y=x²; x=1Steigung der Sekante: k= =
k= = = =
k=Δx+2
Δy
Δx
(y+Δy)-y
(x+Δx)-x
x y=x²
1 1=1²
1+Δx (1+Δx)²
(1+Δx)²-1
1+Δx-1
1+2Δx+Δx²-11+Δx-1
Δx²+2Δx
Дx
Δx*(Δx+2)Δx
Steigung der Tangente:= 2+0 = 2
limΔx0
(2+Δx)
1. u. 2. Ableitung
Formel für Potenzen
y= a*xn y‘=a*n*xn-1
y‘‘= a*n*(n-1)*xn-1-1
Die Ableitungen benötigt man für die Kurvendiskussion. Wobei man beachten muss, dass y‘ gleich der Steigung der Tangente ist.
Beispiel
y=x7
y‘=7*x6
y‘‘=7*6*x5
Man muss beachten, dass die Ableitung von x 1 ist und dass die Ableitung der „normalen Zahlen“, wie z.B. 5, 0 ist.
y=x²+3x+5y‘=2*x1+3*1+0y‘‘=2*1+0
Kurvendiskussion
Beispiel Nullstellen
y= x³+4x²+4x Nullstelle/N: y=0 x(x²+4x+4)=0 x=0 und0=1x²+4x+4 quadratische Funktion
1x2= = =
x1= = -2 x2 = = -2
a b c
-b +/- √b² - 4*a*c
2*a
-4 +/- √4² - 4*1*4
2*1
-4 +/- 0
2
-4 + 0
2
-4 - 0
2
N1 (0/0), N2 (-2/0)
Beispiel Extremstellen
y= x³+4x²+4xExtremstellen: y‘=0 undMinimum/Min y‘‘ > 0Maximum/Max y‘‘ < 0
y‘=3x²+4*2x+4y‘‘=3*2x+4*2*1
0=3x²+4*2x+4 quadratische Funktion
1x2= = =
1x2 = = - 0,67 da der Wert unter der Wurzel 0 ist,
gibt es nur eine Lösung!
y(- 0,67)= (- 0,67) ³+4*(- 0,67)²+4*(- 0,67)=-1,19
y‘‘(- 0,67)=3*2*(- 0,67)+8=4 < 0 MIN
MIN (-0,67/-1,19)
-b +/- √b² - 4*a*c
2*a
-8 +/- √8² - 4*3*4
2*3
-8 +/-0
6
-8 + 0
6
Beispiel Wendepunkt
y= x³+4x²+4xWendepunkt: y‘‘ =0
y‘=3x²+4*2x+4y‘‘=3*2x+4*2*1 = 6x+86x+8=06x=-8x=-1,33 in y einsetzen: y=(--1,33)³+4(-1,33)²+4*(-1,33)=-0,59W(-2/0)
Wie sieht diese Funktion aus?
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-4
-2
0
2
4
6
8
10
y
y
Nullstelle
NullstelleMinimum
Wendepunkt
Newtonsches Näherungsverfahren
Formel/Beispiel
xn+1= xn -
Beim Newtonschen Näherungsverfahren wird die Tangente in der Nähe der Nullstelle bestimmt und die Nullstelle der Tangente als Näherungslösung der Nullstelle der Funktion verwendet
y (xn)
y‘ (xn)
Beispiel
x³=3*(x+1); Beweis, dass X0= 2,1 die Nullstelle ist:x³=3*(x+1) /-x³ 0=3*(x+1)-x³ y=x³+3x+3y‘=3x²+3
X1=2,1- = 2,1
2,1³+3*2,1+3
3*2,1²+3
VIELEN DANK FÜR IHRE
AUFMERKSAMKEIT
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