Modellbildung in der Geoökologie (G5, 103) SS 2004
- 29.4. Einführung, Modelle, Modellklassen- 6.5. Zustandsmodelle, Rekursion- 13.5. Beispiel Phyllotaxis, Definition von Ökosystemen - 27.5. Definition von Ökosystemen - 3.6. Populations- und Individuenbasierte Modelle (FK)- 17.6. Individuenbasierte Modelle - 24.6. Modelle der Hydrologie, zelluläre Automaten - 1.7. Fallbeispiel Gårdsjön: Parameteridentifikation- 8.7. Modelle zur Gewässerversauerung- 15.7. Flussnetzwerke, Modelle in der Geomorphologie- 22.7. Besprechung der Übungsaufgaben (FK)
- 1-2 weitere Termine: Besprechung der Übungsaufgaben (FK)
Modellierung (nach Robert Rosen)
Natural System
ENCODING
DECODING
Formal
System
INFER
EN
CE
CA
US
ALIT
Y 1
2
4
3
Naturgesetze
SimulationNewton: Dynamik
• Kontinuierliche Zustandssysteme (Dynamische
Systeme)- z.B. logistisches oder exp. (kont.) Wachstum
• Diskrete Zustände (Diskrete dynamische
Systeme), z.B.:- z.B. logistisches diskretes Wachstum (Chaos)
- Endliche Automaten (Zeit und Zustände sind diskret)
- Zelluläre Automaten ( “ ) heute: Einführung einer
räumlichen
Abhängigkeit der Dynamik
Zustandsysteme
• Untersucht wird das typische Langzeitverhalten
(unabhängig von den Details der Anfangsbedingungen)
• Nicht einzelne Trajektorien, sondern topologische Eigenschaften
von Trajektorienensembles werden untersucht
• Stabilitätsanalyse liefert mögliches Verhalten:
- instabil/explodierend ("runaway solutions")
- Fixpunkt
- periodisches Verhalten
- Grenzzyklus
- Kompakte Mengen: Attraktoren
Kurze Einführung in dynamische Systeme
Zustände eines dynamischen Systems
Was ist ein Zustand (eines dynamischen Systems)?
Der Zustand eines dynamischen Systems zu einemZeitpunkt wird durch Angabe einer Menge von Zustandsgrößen als Vektor beschrieben:
tz
tz
tz
tz
n
.
.
.2
1
Die Menge der Zustandsgrößen sind genaudie, deren Werte man alle kennen muss,um das Verhalten des Systems in dernahen Zukunft vorhersagen zu können.(?)
Zustandsvektoren sind nicht eindeutig.
Die Zustandsvektoren spannen den Zustandsraum auf; die Dimension n desZustandsraums zu finden ist i.a.sehr schwierig. (Ist n z.B. unendlich?)
Wdh.: Kontinuierliche dynamische Systeme
)(xfx
Def.: Ein dynamisches System ist ein Paar (f , X), wobeif eine n-dimensionale Abbildung, X eine n-dimensionale Menge ist.
Es gilt (Bewegungsgleichung)
x
ist der Zustand des Systems, X der Zustandsraum,
Xx
)(xf
Hängt nicht explizit von der Zeit ab, heisst das System autonom:
durch Vorgabe eines Anfangswertes liegt die Entwicklung fest
Diskrete dynamische Systeme, Attraktoren, Einbettung
)(1 nn xFx
Autonomes dynamisches System im Zustandsraum:
Die Menge der asymptotischen Trajektorien ist der Attraktor des Systems(Dimension D)
Takens Theorem:
Beobachtung einer Zustandsvariablen und Bildung von Einbettungsvektoren
),...,,( )2()1( ndmndmndn xxxx
liefert eine treue Abbildung des Attraktors, falls 12 Dm
Phasenraumverhalten des Lotka-Volterra-Systems
vuvuH ln Invariante:
Beispiel: der Lorenz-Attraktor
)(xFx
Man betrachtet -Kugeln um einen Punkt zum Zeitpunkt 0:
Die Kugeln verformen sich zu späteren Zeiten zu Ellipsoiden mit Hauptachsen .
Dann lassen sich die Lyapunov-Exponenten des Systems so ermitteln:
(Zeitmittel)
)(xB
i
)(log1
lim)( xt
x it
i
(für ergodische Systeme nicht vom Ort abhängig)
Quantifizierung von Chaos: der kontinuierliche Fall
Schritte der Modellbildung
Wahl eines Ausschnittes der Wirklichkeit,
Zielsetzung
Idealisierungen, Abstraktionen,
physikalische Annahmen
Mathematischer Ansatz: diskret, kontinuierlich;
Erzeugen oder beschreiben?
Belebte Systeme, Ökosysteme
Zustandssysteme?deterministisch?
Automaten? Berechenbar?
?
Zelluläre Automaten
• Die Zustände sind Zellen zugeordnet mit
einer räumlichen (Nachbarschafts)-
Beziehung• Die Verarbeitung der Zustandübergänge erfolgt:
– Parallel: gleichzeitig für alle Zellen (für den aktuellen
Zustand)
– Lokal: als Eingabe wird der aktuelle Zustand der
jeweiligen Zelle und die ihrer unmittelbaren Nachbarn
verwendet
– Homogen: Die Zellen werden alle nach denselben
Regeln behandelt (analog zu einem physikalischen
Gesetz)
Der einfachste Fall: eindimensionale Zelluläre Automaten
• Binäres Alphabet {0,1}
• 3-er Nachbarschaften (Zelle und
Nachbarn) werden für die Zustands-
Aktualisierung verwendet:- 23 = 8 mögliche Worte
- 28 = 256 mögliche Regelsätze
- (256 1-d zelluläre Automaten mit binärem
Alphabet und 3-er Nachbarschaft)
1 0 0 1 0 1tn
Nummerierung der Regeln
111 110 101 100 011 010 001
000
0 1 1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 1tn
?tn+1
Nummerierung der Regelnz.B. die Regel 110
111 110 101 100 011 010 001
000
0 1 1 0 0 1 0 0
27 26 25 24 23 22 21 20
64 + 32 + 4 =
110
tn
tn+1
Faktor:
Zweidimensionale zelluläre Automaten
• 1-Bit Regeln (binäres Alphabet)• 9-er Nachbarschaft
– 29 =516 Möglichkeiten– 2516 Regelsätze
• Totalistische und semi-totalistische Regeln (Summe über Nachbarschaft)
• Beispiele: – Vote (nur 210 = 1024 verschiedene
Möglichkeiten)– Life
Majority: Totalistic Code 1111100000b = 992d
NineSum 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
NewState 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
Vote: Totalistic Code 1111010000b = 976d
NineSum 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
NewState 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1
Vote: Totalistic Code 1111010000b = 976d
NineSum 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
NewState 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1
Semitotalistic Vote Table
EightSumCellState
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0 0 0 0 1 0 1 1 1
1 0 0 0 1 0 1 1 1 1
Totalistic Vote Table
1. Form the EightSum of each cell's eight neighbors.
2. If a cell is 0 and its EightSum is 3, the cell's new
state is 1.
3. If a cell is 1 and its EightSum is 2 or 3, the new state
is 1.
4. In all other cases the cell's new state is 0.
Semitotalistic Life Table
EightSumCellState
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0 0 0 0
Übungsaufgabe:
• Wie lauten die Regeln im zwei-dimensionalen
zellulären Automaten „Game of Life“ ?
(möglichst knappe Formulierung)
• Ändern Sie die Regel (2-3 mal) und beurteilen
Sie das Ergebnis
• In welcher Hinsicht finden sie diese
Simulationen interessant oder uninteressant ?
- Zur Lösung: siehe Kommentare zu dieser Folie
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