Normative Modelle
Mit Mathematik Realität(en) gestalten
Workshop
ISTRON-Tagung 2009
Universität WienFakultät für Mathematik
Michael Marxer Pädagogische Hochschule Schwäbisch Gmünd
Gliederung
■ Begriffsklärungen:
■ Deskriptive Modellierungen
■ Normative Modellierungen
■ Anwendungsbeispiel „Zoo“
■ Einschätzung von Schülerarbeiten
■ Modellierungskreislauf
■ Anwendungsbeispiel „WMW“
■ Modellierungen mit Termen und Formeln
Einführung und Begriffsklärung
Modellbildung
Normative Modellierung
Deskriptive Modellierung
Entscheidend ist die Modellbildung:
„deskriptiv“ und „normativ“ sind Eigenschaften der
Modellbildung, nicht der Modelle selbst.
Begriffsklärung
■ Deskriptive Modellierungen
Abbildungen der Realität
■ Modellierungen bestehender Sachverhalte
■ Modellierungen zukünftiger, nicht gestaltbarer
Sachverhalte (mit dem Ziel einer Prognose)
■ Normative Modellierungen
Schaffung von Realität
Modellierungen zukünftiger, gestaltbarer Sachverhalte
(z. B. Steuertarif)
(Förster 1997; Glinz 2005; Hinrichs 2008; Jablonka 1996)
Deskriptive Modellierungen
■ Hooke‘sches GesetzGummiband Kraftmesser
F in Ns in cm
N mit 0,12cm
F D s D= ⋅ =
Deskriptive Modellierungen
■ Klimamodelle
Normative Modellierungen
Beispiel :
Die Bewohner eines Hauses mit 24 teilweise unterschiedlich großen Wohnungen wollen eine Regelung vereinbaren, wie die Kosten geteilt werden.
■ Reparatur der Haustür
■ Licht im Treppenhaus
■ Müllabfuhr (gemeinsamer Großcontainer)
■ Kosten für den Aufzug
■ Malerarbeiten an der Hausfassade
■ normative Modellierung
■ eindeutige Lösungen?
Deskriptive Modelle
NormativeModelle
Beschreibungsversuche fürdie Realität:
z.B. naturwissenschaftliche Phänomene
Mathematische Werkzeuge:Zuordnungen, Funktionen(prop./linear/exponentiell etc.)
Beschreibungsversuche, die Realität schaffen:
z.B.: PreissteigerungsrateATX
Konstruktion von Begriffs-bedeutungen
Gestaltung/Konstruktionvon Realität
z.B.:Konstruktionsmodelleiner noch zu bauendenBrückeLohnmodelle inTarifverhandlungenSitzverteilungsmodelle bei Wahlen
anwenden entwickeln
zunehmender Entscheidungsanteil
Validierung
■ Deskriptive Modellierung
■ Wie gut beschreibt das Modell die Realität?
Zum Beispiel: Stimmen die berechneten Werte?
■ Ist das Modell einfach, praktikabel, konsistent, …?
■ Normative Modellierung
■ Wie gut werden die gesetzten Ziele erreicht?
(Zum Beispiel: Werden mehr Autos gekauft?)
Welche Auswirkungen ergeben sich für die Betroffenen?
■ Ist das Modell einfach, praktikabel, konsistent, …?
Ein Beispiel:
„Eintrittspreise Zoo“
Ein Beispiel: „Eintrittspreise Zoo“
Ein Zoo wird im langjährigen Mittel von etwa
35 000 Erwachsenen und 15 000 Kindern jährlich besucht.
Der Eintrittspreis beträgt 12 € bzw. 7 €.
Im kommenden Jahr sollen durch eine Erhöhung der
Eintrittspreise die Einnahmen auf 600 000 € gesteigert
werden.
Stelle ein gerechtes Modell für die Erhöhung der Eintrittspreise
auf und schlage auf der Grundlage dieses Modells sinnvolle
neue Eintrittspreise vor.
Ein Beispiel: „Eintrittspreise Zoo“
Lösungen von Schülerinnen und Schülern (Realschule, Kl. 9)
Kriterien:
■ Welche Grundidee ist hinter der Bearbeitung zu erkennen?
■ Wurde die Grundidee in adäquater Weise mathematisiert?
Mario
Julia
Fabian
Matthias
Svenja
Modellierungskreislauf und Modellieren Lernen
Mathematisieren
InterpretierenValidieren
mathemat. Modell
mathemat. Lösung
reale Situation
Realmodell
Erarbeiten einer math. Lösung
Mathematik Realität
VereinfachenStrukturieren
Idealisieren
Modellierungskreislauf
FERMI-Aufgab
e
Aufgabe „
Zoo“
Modellieren und Termverständnis
■ Was leistet die Algebra für die Entwicklung von
Modellierungskompetenzen?
■ Was leistet das Lernen von Modellieren für das bessere
Verständnis von Mathematik?
Modellieren und Termverständnis
Familie Schramm und Familie Klein machen gemeinsam Urlaub in einem Ferienhaus.
Familie SchrammVaterMutterSvenja (11)Dirk (9)
Familie KleinMutterBritta (7)
Hausmiete 1200 €Lebensmittel 480 €
Svenja und Dirk bekommen zusammen ein Zimmer,Britta schläft bei ihrer Mutter
Schnell erfassbare Form der Darstellung
Modellieren und Termverständnis
Familie SchrammVaterMutterSvenja (11)Dirk (9)Annika (8)
Familie KleinMutterBritta (7)
Hausmiete 1200 €Lebensmittel 480 €
Fam. Schramm: 2 Schlafzimmer Fam. Klein: 1 Schlafzimmer
Miete<nach Zimmern> Schramm: (1200 : 3) · 2 Klein: (1200 : 3) · 1Lebensmittel<nach Personen>: Schramm: (480 : 5) · 3,5 Klein: (480 : 5) · 1,5
3 Erwachsene + 4 Kinder
Modellieren und Termverständnis
Miete <nach Zimmern> Schramm: (1200 : 3) · 2 Klein: (1200 : 3) · 1Lebensmittel <nach Personen> Schramm: (480 : 5) · 3,5 Klein: (480 : 5) · 1,5
A Kurzfristiger Wechsel auf ein anderes Haus, welches 1320 € Miete kostet
B Svenja Schramm darf mit einer anderen Familie in den Urlaub.
C Frau Klein nimmt ihren neuen Lebenspartner mit. (Validierung!)
Umkehrung der Fragestellung:
A Welche Geschichte passt zum Term: (480 : 4) · 2,5
B Welche Geschichte passt zum Term: (480 : 5) · 3
…
Normative Modelle für ein Anwendungsproblem
WMWWiener Motoren Werke
Verkaufsfördernde Maßnahmen durch Gestaltung der Umsatzprovision
Die Autoverkäufer arbeiten nach einem Provisionssystem:
■ Unterschiedliche Segmente sollen differenziert gefördert werden.■ Gelegentliche Modifizierungen des Systems sind vorgesehen.
1. Zielgruppe: Unterstufe 2. Zielgruppe: Oberstufe
Literatur
Förster, Frank (1997): #. In: Tietze, Uwe-Peter; Klika, Manfred & Wolpers, Heinz (Hrsg): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Band 1: Grundfragen – Didaktik der Analysis. Vieweg: Braunschweig, S. 121 – 128
Maaß, Katja (2007): Mathematisches Modellieren. Aufgaben für die Sekundarstufe I. Cornelsen Scriptor: Berlin
Hinrichs, Gerd (2008): Modellierung im Mathematikunterricht. Spektrum: Heidelberg
Marxer, Michael und Wittmann, Gerald (2009): Normative Modellierungen – Mit Mathematik Realität(en) gestalten. In: Mathematik lehren. Themenheft: Bewerten und Entscheiden (Heft 153, April 2009)
Vielen Dank für die Mitarbeit.
Ich wünsche Ihnen einen guten Heimweg und einen schönen Abend.
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