Normative Modelle

Mit Mathematik Realität(en) gestalten

Workshop

ISTRON-Tagung 2009

Universität WienFakultät für Mathematik

Michael Marxer Pädagogische Hochschule Schwäbisch Gmünd

Gliederung

■ Begriffsklärungen:

■ Deskriptive Modellierungen

■ Normative Modellierungen

■ Anwendungsbeispiel „Zoo“

■ Einschätzung von Schülerarbeiten

■ Modellierungskreislauf

■ Anwendungsbeispiel „WMW“

■ Modellierungen mit Termen und Formeln

Einführung und Begriffsklärung

Modellbildung

Normative Modellierung

Deskriptive Modellierung

Entscheidend ist die Modellbildung:

„deskriptiv“ und „normativ“ sind Eigenschaften der

Modellbildung, nicht der Modelle selbst.

Begriffsklärung

■ Deskriptive Modellierungen

Abbildungen der Realität

■ Modellierungen bestehender Sachverhalte

■ Modellierungen zukünftiger, nicht gestaltbarer

Sachverhalte (mit dem Ziel einer Prognose)

■ Normative Modellierungen

Schaffung von Realität

Modellierungen zukünftiger, gestaltbarer Sachverhalte

(z. B. Steuertarif)

(Förster 1997; Glinz 2005; Hinrichs 2008; Jablonka 1996)

Deskriptive Modellierungen

■ Hooke‘sches GesetzGummiband Kraftmesser

F in Ns in cm

N mit 0,12cm

F D s D= ⋅ =

Deskriptive Modellierungen

■ Klimamodelle

Normative Modellierungen

Beispiel :

Die Bewohner eines Hauses mit 24 teilweise unterschiedlich großen Wohnungen wollen eine Regelung vereinbaren, wie die Kosten geteilt werden.

■ Reparatur der Haustür

■ Licht im Treppenhaus

■ Müllabfuhr (gemeinsamer Großcontainer)

■ Kosten für den Aufzug

■ Malerarbeiten an der Hausfassade

■ normative Modellierung

■ eindeutige Lösungen?

Deskriptive Modelle

NormativeModelle

Beschreibungsversuche fürdie Realität:

z.B. naturwissenschaftliche Phänomene

Mathematische Werkzeuge:Zuordnungen, Funktionen(prop./linear/exponentiell etc.)

Beschreibungsversuche, die Realität schaffen:

z.B.: PreissteigerungsrateATX

Konstruktion von Begriffs-bedeutungen

Gestaltung/Konstruktionvon Realität

z.B.:Konstruktionsmodelleiner noch zu bauendenBrückeLohnmodelle inTarifverhandlungenSitzverteilungsmodelle bei Wahlen

anwenden entwickeln

zunehmender Entscheidungsanteil

Validierung

■ Deskriptive Modellierung

■ Wie gut beschreibt das Modell die Realität?

Zum Beispiel: Stimmen die berechneten Werte?

■ Ist das Modell einfach, praktikabel, konsistent, …?

■ Normative Modellierung

■ Wie gut werden die gesetzten Ziele erreicht?

(Zum Beispiel: Werden mehr Autos gekauft?)

Welche Auswirkungen ergeben sich für die Betroffenen?

■ Ist das Modell einfach, praktikabel, konsistent, …?

Ein Beispiel:

„Eintrittspreise Zoo“

Ein Beispiel: „Eintrittspreise Zoo“

Ein Zoo wird im langjährigen Mittel von etwa

35 000 Erwachsenen und 15 000 Kindern jährlich besucht.

Der Eintrittspreis beträgt 12 € bzw. 7 €.

Im kommenden Jahr sollen durch eine Erhöhung der

Eintrittspreise die Einnahmen auf 600 000 € gesteigert

werden.

Stelle ein gerechtes Modell für die Erhöhung der Eintrittspreise

auf und schlage auf der Grundlage dieses Modells sinnvolle

neue Eintrittspreise vor.

Ein Beispiel: „Eintrittspreise Zoo“

Lösungen von Schülerinnen und Schülern (Realschule, Kl. 9)

Kriterien:

■ Welche Grundidee ist hinter der Bearbeitung zu erkennen?

■ Wurde die Grundidee in adäquater Weise mathematisiert?

Mario

Julia

Fabian

Matthias

Svenja

Modellierungskreislauf und Modellieren Lernen

Mathematisieren

InterpretierenValidieren

mathemat. Modell

mathemat. Lösung

reale Situation

Realmodell

Erarbeiten einer math. Lösung

Mathematik Realität

VereinfachenStrukturieren

Idealisieren

Modellierungskreislauf

FERMI-Aufgab

e

Aufgabe „

Zoo“

Modellieren und Termverständnis

■ Was leistet die Algebra für die Entwicklung von

Modellierungskompetenzen?

■ Was leistet das Lernen von Modellieren für das bessere

Verständnis von Mathematik?

Modellieren und Termverständnis

Familie Schramm und Familie Klein machen gemeinsam Urlaub in einem Ferienhaus.

Familie SchrammVaterMutterSvenja (11)Dirk (9)

Familie KleinMutterBritta (7)

Hausmiete 1200 €Lebensmittel 480 €

Svenja und Dirk bekommen zusammen ein Zimmer,Britta schläft bei ihrer Mutter

Schnell erfassbare Form der Darstellung

Modellieren und Termverständnis

Familie SchrammVaterMutterSvenja (11)Dirk (9)Annika (8)

Familie KleinMutterBritta (7)

Hausmiete 1200 €Lebensmittel 480 €

Fam. Schramm: 2 Schlafzimmer Fam. Klein: 1 Schlafzimmer

Miete<nach Zimmern> Schramm: (1200 : 3) · 2 Klein: (1200 : 3) · 1Lebensmittel<nach Personen>: Schramm: (480 : 5) · 3,5 Klein: (480 : 5) · 1,5

3 Erwachsene + 4 Kinder

Modellieren und Termverständnis

Miete <nach Zimmern> Schramm: (1200 : 3) · 2 Klein: (1200 : 3) · 1Lebensmittel <nach Personen> Schramm: (480 : 5) · 3,5 Klein: (480 : 5) · 1,5

A Kurzfristiger Wechsel auf ein anderes Haus, welches 1320 € Miete kostet

B Svenja Schramm darf mit einer anderen Familie in den Urlaub.

C Frau Klein nimmt ihren neuen Lebenspartner mit. (Validierung!)

Umkehrung der Fragestellung:

A Welche Geschichte passt zum Term: (480 : 4) · 2,5

B Welche Geschichte passt zum Term: (480 : 5) · 3

…

Normative Modelle für ein Anwendungsproblem

WMWWiener Motoren Werke

Verkaufsfördernde Maßnahmen durch Gestaltung der Umsatzprovision

Die Autoverkäufer arbeiten nach einem Provisionssystem:

■ Unterschiedliche Segmente sollen differenziert gefördert werden.■ Gelegentliche Modifizierungen des Systems sind vorgesehen.

1. Zielgruppe: Unterstufe 2. Zielgruppe: Oberstufe

Literatur

Förster, Frank (1997): #. In: Tietze, Uwe-Peter; Klika, Manfred & Wolpers, Heinz (Hrsg): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Band 1: Grundfragen – Didaktik der Analysis. Vieweg: Braunschweig, S. 121 – 128

Maaß, Katja (2007): Mathematisches Modellieren. Aufgaben für die Sekundarstufe I. Cornelsen Scriptor: Berlin

Hinrichs, Gerd (2008): Modellierung im Mathematikunterricht. Spektrum: Heidelberg

Marxer, Michael und Wittmann, Gerald (2009): Normative Modellierungen – Mit Mathematik Realität(en) gestalten. In: Mathematik lehren. Themenheft: Bewerten und Entscheiden (Heft 153, April 2009)

Vielen Dank für die Mitarbeit.

Ich wünsche Ihnen einen guten Heimweg und einen schönen Abend.