Physik der Musikinstrumente T. Lohse, M. zur NeddenSS 03
Vorbemerkung: Musikinstrument, schwingendes System
Schalldruckwellen, Ausbreitung im Auditorium Menschliches Ohr
Wavelet-Trafo, Wandlung in Nervensignale
Beispiele: D m z I L R Q C Musikinstrumente: Kleine Dmpfung 0
quasi-statische Schwingung / kein Energieverlust whrend T = 2
/
Folie 7
Energieverlust bei kleiner Dmpfung: const. Dmpfungszeit:
#Schwingungen in D : Gte:
Folie 8
Impulsanregung Beispiel: T 37% = Q/ = 2 D T 14% = Q/2 = 4
D
Folie 9
1.3. Erzwungene Schwingungen Bewegungsgleichung: f(t): externe
Anregung D m z F(t) Musikinstrument: f(t) periodisch
Fourierzerlegung: f(t) harmonisch 1.3.1. bersicht
Folie 10
Lsung: x(t) = x h (t) + x s (t) x h (t): x s (t):
Einschwingvorgang gedmpft Lsung der homogenen Gleichung ( f 0 )
festgelegt durch Anfangsbedingungen Asymptotische, stabile
Schwingung fr spezielle Lsung der inhomogenen Gleichung unabhngig
von Anfangsbedingungen festgelegt durch 0, , f 0,
Folie 11
1.3.2. Gleichgewichtsschwingung ( t ) Komplexe... Amplitude:x 0
= | x 0 |e i Geschwindigkeit:v 0 = ix 0 Beschleunigung:a 0 = iv 0 =
- 2 x 0
|Z| R = Re Z X = Im Z Darstellungen von Impedanz und Admittanz
G = Re Y B = Im Y |Y| Q = 4 Nyquist-Diagramm Q = 0 = 0 0
Folie 18
1.3.3. Der Einschwingvorgang von + 0 mit |- 0 |
Form:Anfangsbedingungen (Anregung) Einschwingdauer:einige D
Komponenten: Schwebung Q = 10 0,2 0,8 1,0 1,2 2,0 4,0 Pltzliche
sin-Anregung ab t=0
Folie 19
1.3.4. Elektrisches quivalent mechanische Parallelschaltung
elektrische Serienschaltung mechanische Serienschaltung elektrische
Parallelschaltung vBvB vAvA v 1 = v B -v A v 2 = v 1 I1I1 I 2 = I 1
vCvC vAvA vBvB v 1 = v B -v A v 2 = v C -v B I1I1 I2I2 II I = I 1
+I 2 v = v C -v A = v 1 +v 2
Folie 20
Kraft elektrische Spannung Geschwindigkeitsverlufe
Krftegleichgewichte Analysiere im Einzelfall: m vmvm xx D xDxD L
ILIL IRIR R C QCQC + -
Folie 21
Beispiel 1: D m x F(t) v Feder = v Dmpfer = v Masse F = F Masse
+ F Dmpfer + F Feder ~
Folie 22
Beispiel 2: v = v Feder + v Masse, v Feder = v Dmpfer F = F
Masse = F Dmpfer + F Feder x m D F(t) xmxm ~
Folie 23
Beispiel 3: v = v Masse + v Dmpfer, v Feder = v Masse F = F
Dmpfer = F Masse + F Feder ~ m xmxm D F(t) x
Folie 24
1.4. Gekoppelte Schwingungen Zerlegung: stabile
Schwingungskonfigurationen: (Eigen-)Moden Eine Eigenfrequenz pro
Mode eine Mode pro Freiheitsgrad
Folie 25
1.4.1. Beispiel: Zwei gekoppelte Schwinger DaDa aa mama xaxa
DKDK DbDb bb mbmb xbxb LaLa RbRb CKCK RaRa CbCb CaCa LbLb IaIa IbIb
Bewegungsgleichung :
Folie 26
Musikinstrumente: kleine Dmpfung Vereinfachte Diskussion fr a =
b = 0 Ansatz: x a, x b e it Lsung: Zwei Eigenfrequenzen
Folie 27
Diskussion: keine Kopplung a,b K = 0, 1,2 = a,b Minimale
Frequenzaufspaltung: bei a = b Kopplung 0 b / a 0: 1 b, 2 a b / a :
1 a, 2 b
Folie 28
1.4.2. Erzwungene gekoppelte Schwingungen Einfaches Beispiel
(Dmpfung vernachlssigt): D1D1 m1m1 x1x1 D2D2 m2m2 x2x2 F 0 e it
m1m1 1/D 2 1/D 1 m2m2 ~ F 0 e it Anwendungen: m 2 als Tilger
Bass-Reflex-Lautsprecher Gitarre mit fixierten Rippen Anwendungen:
m 2 als Tilger Bass-Reflex-Lautsprecher Gitarre mit fixierten
Rippen Nach Einschwingen: Dmpfung vernachlssigt reell
Folie 29
D1D1 m1m1 x1x1 D2D2 m2m2 x2x2 F 0 e it Resonanzen Antiresonanz
(x 1 0 = 0, x 2 0 = max) Konfigurationen (Moden): (Richtungen
bezglich F 0 ) = 1 : = 1 + : = 2 : = 2 + : = A : = A :
Folie 30
Theorem: In einem (beliebigen) gekoppelten System seien 1, 2
zwei aufeinanderfolgende Resonanzfrequenzen. Das System werde im
Punkt P 1 angeregt und im Punkt P 2 gemessen. Sind die
Schwingungsamplituden in P 2 relativ zu P 1 in beiden Moden = 1 : =
1 + : = 2 : = 2 + : = A : = A : D1D1 m1m1 x1x1 D2D2 m2m2 x2x2 F 0 e
it entgegengesetzt |x 2 0 | durchluft zwischen 1, 2 ein Minimum
gleichgerichtet |x 2 0 | durchluft zwischen 1, 2 eine
Antiresonanz
Folie 31
Theorem: In einem (beliebigen) gekoppelten System seien 1, 2
zwei aufeinanderfolgende Resonanzfrequenzen. Das System werde im
Punkt P 1 angeregt und im Punkt P 2 gemessen. Sind die
Schwingungsamplituden in P 2 relativ zu P 1 in beiden Moden
entgegengesetzt |x 2 0 | durchluft zwischen 1, 2 ein Minimum
gleichgerichtet |x 2 0 | durchluft zwischen 1, 2 eine Antiresonanz
Folgerung: P 2 = P 1 Der Treiberpunkt selbst durchluft mit
wachsender Frequenz eine Folge abwechselnder Resonanzen und
Antiresonanzen. Beispiel: 2-D-System Treiberpunkt
Transferpunkt
Folie 32
1.4.3. Charakterisierung des Frequenzgangs P 1 : Erreger P 2 :
Sensor Wichtiger Spezialfall: P 1 = P 2 Auslenkung Geschwindigkeit
Beschleunigung Impedanzkopf Messverfahren: Impedanzkopf Nahfeld
Schallwellen (Mikrophon) mechanische Schreiber holographische
Interferometrie
P 1 = P 2 : Prfix Treiber(punkt)- P 1 P 2 : Prfix Transfer-
Beispiel: D1D1 m1m1 x1x1 D2D2 m2m2 x2x2 F 0 e it Treiber-Mobilitt:
Transfer-Mobilitt:
Folie 35
Asymptotisches Verhalten: min : kleinste Resonanzfrequenz min :
grte Resonanzfrequenz < min 0 612 0-6-12 > max -12-6 012 6 0
< min 0 612 0-6-12 > max -12-6 012 6 0 Asymp- totischer
Bereich Nachgiebigkeit Mobilitt
AcceleranzSteifigkeitImpedanzDynamische Masse ( Einheit: dB /
Oktave )
Folie 36
Asymptotisches Verhalten: min : kleinste Resonanzfrequenz min :
grte Resonanzfrequenz < min 0 612 0-6-12 > max -12-6 012 6 0
< min 0 612 0-6-12 > max -12-6 012 6 0 Asymp- totischer
Bereich Nachgiebigkeit Mobilitt
AcceleranzSteifigkeitImpedanzDynamische Masse ( Einheit: dB /
Oktave )
Folie 37
Beispiel: Transfer-Mobilitt einer leicht gedmpften Struktur mit
4 Schwingungsmoden 11 22 33 44 Antiresonanz 6 dB / Oktave -6 dB /
Oktave bleibt gleichklappt um Schwingungsrichtung am Messpunkt
relativ zum Treiberpunkt...
Folie 38
Darstellung der (i.a. komplexen) charakteristischen Parameter:
z. B. Impedanz: Z = |Z| e i = R + i X |Z|() und () Re Z() und Im
Z() Nyquist-Diagramme Im Re RR Nachgiebigkeit x / F Re RR Mobilitt
v / F Im Re RR Acceleranz a / F, z.B. fr einzelne Resonanz:
Folie 39
1.5. Nichtlineare Schwingungen Lineare Systeme:...
Superpositionsprinzip Eigenfrequenzen unabhngig von
Moden-Amplituden komplexe Schreibweisen geeignet x Lsung zu F x'
Lsung zu F' x + x' Lsung zu F + F'
Folie 40
Realistische Systeme: Nichtlineare Beitrge a)Grenzen des
Hookeschen Gesetzes b)Turbulenz c)Bogenkraft auf Saite = f
(Saitenposition,Relativgeschwindigkeit) d)Strmung in Rohrventilen
(Blasinstrumente) = f (Druckabfall) Konsequenzen: a) 0 = 0 ( x 0 )
b)Hysterese-Verhalten in ( x 0, 0 ) Diagramm c)Bifurkationen und
chaotisches Verhalten (seltsame Attraktoren) (d.h., System schwingt
sich nicht immer auf periodische Bewegung ein!)
Folie 41
1.5.1. Analytische Methoden Bewegungsgleichung:
Folie 42
a)Spezialfall: F periodisch, z.B. F = F 0 cos(t)
Strungsrechnung bei kleinen Nichtlinearitten Ansatz:
Fourierentwicklung Einsetzen Koeffizientenvergleich
Folie 43
b)Allgemeines Verfahren: wobei: Beweis: Einsetzen und
Nachrechnen!
Folie 44
& noch nichts gewonnen (Gesetz der konstanten Mhsal) Folge:
Nherung: -Terme in g klein (inklusive ) a, const. whrend
Periode
Folie 45
Beispiel:Schwach gedmpfter, freier, linearer Oszillator D =2m m
x Also: Korrekt fr ! (vgl. 1.2.)
Folie 46
1.5.2. Der Duffing-Oszillator (Paradebeispiel fr Chaos und
seltsame Attraktoren) Physikalischer Ansatz: D D + m x 2
(nicht-lineare Dmpfung) d.h. oft: Analytisches Verfahren Frequenz
hngt von Amplitude ab Hysterese bei groen Amplituden
Folie 47
( f (t) = f 0 cos(t), 0 ) Strungsrechnung: Ansatz:
Koeffizientenvergleich der cos(t)-Terme: Freier Oszillator ( f 0 =
0 ):
Folie 48
1.5.3. Selbsterregung: Van-der-Pol-Oszillator Physikalischer
Ansatz: 2 ( 1 x 2 ) (nicht-lineare Dmpfung) d.h. Konstanter uerer
Energiefluss (Luftstrmung, Bogenstrich,...) Musikinstrument
Modulation des Energieflusses Nichtlineare Rckkopplung
selbstangeregte stabile Schwingung x 0 ist stets Lsung, aber nicht
stabil geeignete Grenzzyklen Grenzzyklen fast harmonisch, mit
anharmonischen Beimischungen
... treibt die m -Mode... treibt die n -Mode Beispiel: Der
Term... Nichtlineare Kopplungsterme: Moden: n, m Amplituden: a n, a
m n m m n n, m I fast harmonisch: 1
Folie 52
Wann ist ein Musikinstrument gut ? ( mglichst schnelles
Erreichen eines periodischen Signals ) Wann ist ein Musikinstrument
gut ? ( mglichst schnelles Erreichen eines periodischen Signals )
Inharmonizitten der natrlichen Frequenzen mglichst klein
Fundamentalmode ( n = 1 ) mglichst stark an nichtlinearer Kopplung
beteiligt Amplituden der gekoppelten Moden ( a n, a m ) mglichst
gro Nichtlinearitt der Kopplungsfunktion mglichst gro (
Kopplungskoeffizienten c m-1,n, c m,n-1 mglichst gro )
Koeffizienten n, m der gekoppelten Moden mglichst klein (
Kopplungsamplituden mglichst gro )
Folie 53
2. Saiten und Stbe 2.1. Transversale Saitenschwingungen 2.1.1.
Wellengleichung x y(x,t) unendliche homogene Saite Massendichte:
Spannung: T = Kraft von Segment zu Segment Kleine Auslenkung (
lineare Nherung ): xx + dx ds dy T T (x) (x+dx) dF y
Wellengleichung
Folie 54
Allgemeine Lsung (nach dAlembert) c f1f1 c f2f2 y(x,t) = f 1 (
c t x ) + f 2 ( c t x ) = Superposition von rechts/links-laufenden
Wellenpaketen Fouriertransformation Zerlegung in harmonische
(ebene) Wellen ( Re(y) = physikalischer Teil ) wobei:
Dispersionsrelation ( hier linear, k )
Energie der stehenden Welle: Energie des Saitenstcks der Lnge
:
Folie 57
2.1.2. Impedanz (Verwende komplexe Schreibweise!) Definition:
Charakteristische Impedanz bzw. Wellenwiderstand Bemerkung: Z 0 ist
reell ( verlustfreie Saite ) Charakteristische Admittanz x y T
horizontale Fixierung ( x = 0 ) u(t) f(t) Definition:
Eingangsimpedanz Geschwindigkeit des Eingangs- Aufhngepunktes:
Externe Treiberkraft (kompensiert Vertikalkomponente vonT)
Folie 58
x y T horizontale Fixierung ( x = 0 ) u(t) f(t) Beispiel: Nach
rechts unenedliche Saite nur rechtslaufende Welle
Folie 59
x y T horizontale Fixierung ( x = 0 ) u(t) f(t) Definition:
Abschlussimpedanz Z ab physikalische Eigenschaften der nachgiebigen
Aufhngung (z.B. Elastizitt & innere Reibung des Stegs der
Geige, Energietransfer auf Klangkrper der Geige etc.)
Folie 60
Reflexion am Abschlusspunkt: Einlaufend:a e i ( t kx )
reflektiert:Ra e i ( t + kx ) y(x,t) = a e i t ( e i kx + Re i kx )
Reflexionskoeffizient: fixiertes Ende: y(0,t) = 0 u = 0 Z ab = R =
1 offenes Ende: f = 0 Z ab = 0 R = +1
Folie 61
Beispiel: Eingangsimpedanz der abgeschlossenen Saite Z ab R
Saite: Z 0 L x = 0 fixiertes Ende: R = 1 Z in = i Z 0 cot ( k L )
(rein reaktiv) Resonanzen:Z in = 0 k L = ( n ) n = 2L / ( n )
Antiresonanzen:Z in = k L = n n = 2L / n offenes Ende: R = +1 Z in
= i Z 0 tan ( k L ) (rein reaktiv) Resonanzen, Antiresonanzen
vertauscht angepasster Abschluss: R = 0 Z in = Z 0 = Z ab fixiertes
Ende: R = 1 Z in = i Z 0 cot ( k L ) (rein reaktiv) Resonanzen:Z in
= 0 k L = ( n ) n = 2L / ( n ) Antiresonanzen:Z in = k L = n n = 2L
/ n offenes Ende: R = +1 Z in = i Z 0 tan ( k L ) (rein reaktiv)
Resonanzen, Antiresonanzen vertauscht angepasster Abschluss: R = 0
Z in = Z 0 = Z ab
Folie 62
2.1.3. Eigenschwingungen der endlichen Saite a) fixierte /
offene Enden fix - fix offen - offenoffen - fix fix - offen
harmonisch nicht ganz harmonisch klingt eine Oktave tiefer
Folie 63
x y T Z ab : horizontale Halterung ( x = L ) u(t) f(t) Z0Z0
Fixierung bei x = 0 b) Nachgiebiges (verlustfreies) Ende
Folie 64
i) Massenartiger Abschluss Also: x y u(t) Z 0 = c m
Saitenmasse: M = L 0 L
Folie 65
ii) Federartiger Abschluss Also: x y u(t) Z0Z0 0 L D/2
2.1.3. Dmpfung a)Luftdmpfung: b)Interne Dmpfung
c)Energietransfer zur Halterung (Brcke, Resonator) =Frequenz
=Saitendichte r=Saitenradius =Frequenz =Saitendichte r=Saitenradius
E( , T,...) = komplexer Elestizittsmodul G = Re( Y ) Y = Admittanz
der Sttzstruktur der Saite
Folie 68
Anfangsauslenkung freie Saitenschwingung 2.1.4. Anregung a)
Einmalige Auslenkung bei t = 0 (allgemeines Verfahren): Fourier-
Analyse Fourier- Synthese Modenamplituden Frequenzspektrum
Zeitentwicklung der Modenamplituden
Folie 69
Beispiel: Gezupfte Saite = 1/3 n = 1/10 n L h L
Folie 70
Beispiel: Gezupfte Saite L h L = 1/3 lg(n) = 1/10 lg(n) 6 dB /
Oktave E n ( dB )
Folie 71
Bewegung der gezupften Saite:
Folie 72
b) Hammer-Anregung: = 1/3 n = 1/10 n Idealfall: L V L
Folie 73
b) Hammer-Anregung: Idealfall: = 1/3 lg(n) = 1/10 lg(n) 0 dB /
Oktave E n ( dB ) L V L
Folie 74
Anschlagsdynamik eines harten, spitzen Hammers: v(t) c T M T T
x xHxH y Bremszeit: t / = 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 Weitere
Komplikationen: Hammer-Nachgiebigkeit Hammermae Reflexionen an
Einspannung, Rckwirkung auf Hammer
Folie 75
Modenspektrum stets flacher ( reicher, voller ) als beim Zupfen
M Hammer M Saite M Hammer = 0,4/ M Saite 6 dB/Oktave Bemerkung:
Fehlende Moden bei Vielfachen von, nicht nur von n = 0,73 M Saite /
M Hammer Beim Anschlag Beim Anschlag Anregung beendet Anregung
beendet
Folie 76
c) Bogen-Anregung: Helmholtz-Bewegung Periode Teil 1: Saite
haftet am Bogen und wird mitgefhrt Periode Teil 2: Saite lst sich
und schnellt zurck Ruheposition der Saite Mittlere Auslenkung Zeit
Auslenkung beim Bogen Streichgeschwindigkeit Schwingungsamplitude
Spektrum hnlich zum Zupfen ( 6 dB/Oktave ) Mehrfachsprnge
mglich
Folie 77
2.2. Saiten und dnner Stbe: Longitudinalschwingungen
Rckstellkraft bei Dehnung: Molekulare Bindungskrfte
Elastizittsmodul (reine Materialeigenschaft, Saitenspannung nicht
relevant) dx S dw F(t) Hookesches Gesetz: E = Youngsches Modul
Wellengleichung: Dichte = / S Lsungen, Randbedingungen,... analog
zu transversalen Saitenschwingungen
Folie 78
Querschnitt S u v Dichte 2.3. Biegewellen von Balken und Stben
x z Neutrale Faser gedehnt gestaucht Neutrale Faser:z ( x, t )
Ruhelage: z 0 ( x, t ) Auslenkung:y ( x, t ) = z ( x, t ) z 0 ( x,
t ) v NF Rcktreibende Kraft pro Lnge: E = Young-Modul
Wellengleichung:
Folie 79
Lsung der Wellengleichung: Einsetzen: Dispersionsrelation:
(nichtlinear) Phasengeschwindigkeit: Gruppengeschwindigkeit:
Folie 80
zwei Randbedingungen pro Endpunkt, z.B.: frei: untersttzt /
eingehngt: eingeklemmt:
Folie 81
Eigenmoden und Eigenfrequenzen: n in Einheiten von beidseitig
frei beidseitig untersttzt bzw. eingehngt L Frequenzverhltnisse
nicht exakt harmonisch Knotenpositionen nicht quidistant Klanghhe
sehr stark abhngig von Randbedingungen einseitig eigeklemmt
Folie 82
2.4. Transversalschwingung steifer Saiten Rckstellkraft =
Spannungskraft + elastische Rckstellkraft eingeklemmte Enden n = 1
n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 eingehngte Enden n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n
= 5
Folie 83
2.4. Transversalschwingung steifer Saiten Rckstellkraft =
Spannungskraft + elastische Rckstellkraft eingeklemmte / eingehngte
Enden B = 0 B = 0,005 B = 0,01
Folie 84
Beeinflussung der Dispersionsrelation: k ideale Saite steife
Saite massen-belastete Saite (z.B. Ummantelung) Grenz-
Frequenz
Folie 85
2.5. Torsionsschwingungen von Saiten und Stben Young-Modul E
Torsionsmodul G homogenes, isotropes Material: ( = Poisson-Zahl )
Dispersionsrelation linear: Saiten: c T typisch 3... 8 mal so gro
wie c starke innere Dmpfung Abhngigkeit von c T von
Querschnittsform:
3.1. Membranen Massendichte: Spannung: T ds= Spannkraft
senkrecht zu Rand jedes Flchenelements = (konstante)
Oberflchenspannung der Membran Kleine Auslenkung ( lineare Nherung
): 2-D-Wellengleichung: Koordinatenwahl Form der Einspannung
(Transversalschwingung) x y z Einspannung Rechteckmembran
Kreismembran
Folie 88
T ds F Statische Auslenkung: Membran widersteht keiner Kraft
mit Angriffspunkt Saite Membran = 0 fr Angriffspunkt
Folie 89
Schwingungsmoden von Rechteckmembranen: x y z LxLx LyLy m = 1 n
= 1m = 2 n = 1 m = 1 n = 2m = 2 n = 2 m = 3 n = 1 m = 3 n = 2
Quadratische Membran L x = L y Entartung mn = nm Modenberlagerung
mglich
Folie 90
Schwingungsmoden von Kreismembranen: m = 0 n = 1m = 1 n = 1 m =
2 n = 1m = 3 n = 1 m = 0 n = 2 m = 3 n = 2 2R x y z mn = n-te
Nullstelle der Besselfunktion J m
Folie 91
Frequenzfolge bei idealen Kreismembranen:
Folie 92
3.2. Dnne isotrope Platten x y z frei / einfach untersttzt /
eingespannt h Massendichte: a) Longitudinale Wellen:
nicht-dispersiv; keine signifikante Schallabstrahlung Unendliches
Medium (rel. zu )Dnne (rel. zu ) Balken / Platten
Folie 93
Massendichte: b) Transversale Wellen: nicht-dispersiv; keine
signifikante Schallabstrahlung (zweidimensionales Analogon zu
Torsionsschwingungen von Stben) Unendliches Medium oder unedlich
groe, flache Platten (rel. zu ) x y z frei / einfach untersttzt /
eingespannt h
Folie 94
x y z h Massendichte: c) Biege/Verformungs-Wellen: dispersiv;
signifikante Schallabstrahlung (zweidimensionale Verallgemeinerung
der Balken-Biegeschwingung) Wellengleichung: Dispersionsrelation:
(nichtlinear) Phasengeschwindigkeit: Gruppengeschwindigkeit:
Folie 95
Beispiel: Die dnne Kreisplatte z h R Hyperbolische
Besselfunktionen: I m (k r) = i m J m (k r) eingespannt einfach
untersttzt frei
Folie 96
z h R Asymptotisches Spektrum: Lord Rayleigh (1894):
Frequenzzunahme durch Zufgen eines Kotenrings ist ungefhr identisch
mit der durch Zufgen zweier Knotendiagonalen (Chladnis Gesetz)
Empirischer Ansatz fr Kreisplatten, -schalen, -glocken:
Folie 97
Beispiel: Die dnne Rechteckplatte z h LxLx LyLy Einfache
Untersttzung: Knotenlinien (m,n) wie Membran Andere
Randbedingungen: Gekrmmte Knotenlinien durch Mischung der (m,n) und
(n,m) Membranmoden fr |m n| = 2,4,6,... Freie Platte: ( i.a.
schwieriges Problem ) (x,y) Kopplung
Folie 98
Messung an freier Aluminiumplatte L x / L y L x = const. (x,y)
Kopplung bei L x L y : Ringmode Diagonal- Mode (X-Mode)
Modenaustausch
3.4. Schalen Sehr komplexes Problem, aber hochrelevant:
Geigen-Frontplatte / gesamter Resonanzkrper Kugelschalensegmente
(Becken,...) Zylinderschalen (Zylinderglocken,...) Kirchenglocken
Schalendimension:a Schalendicke:h Schalenwlbung:H
Schalendimension:a Schalendicke:h Schalenwlbung:H
Modenklassifizierung (Love, Rayleigh): Dehnungsmoden:
Lngennderungen in erster Ordnung Linienmasse h Federkonstante h
Biegungsmoden: Keine Lngennderungen in erster Ordnung Schalenmasse
h Federkonstante h 3 (h) = const. (h) h 2 Empirische
Modenparametrisierung:
Folie 105
Beispiel: Flache sphrische Schale Niedrigste Mode: k a =
(abhngig von Einspannung) Spezialfall der flachen Platte ( H = 0 ):
k a = 0 Sehr starke Frequenzzunahme (d.h. Steifigkeitszunahme) mit
H gewlbter Geigendeckel bentigt keine innere Verstrebung flacher
Gitarrendeckel erfordert starke innere Verstrebung
Folie 106
4. Schall in Luft 4.1. Schallwellen Elastischer
Scherungswiderstand Reibungswiderstand Eleastischer
Kompressionswiderstand Schallwellen = longitudinale Druckwellen
Wellengleichung: Schallgeschwindigkeit c: Kompressionsmodul K:
Dichte : Gesamtluftdruck: p L Akustischer Druck:
Folie 107
4.1.1. Schallgeschwindigkeit Isothermer Fall ( T = const. ):
Luft ist ideales Gas p L V = N k T Luft zweiatomig 1. Hauptsatz Fr
Musikinstrumente nur in Extremfllen interessant Adiabatischer Fall
( Q = 0 ):
Folie 108
Wellengleichung: c 2 proportional zur (absoluten) Temperatur c
unabhngig vom Luftdruck m L und somit c abhngig von
Luftfeuchtigkeit Taylorentwicklung um 0C bei 50% relativer
Luftfeuchtigkeit:
Intensitt an einer Flche: dA Komplexe Schreibweise:
Intensittspegel: Ebene Wellen: L I L P
Folie 113
Ebene Welle: Kugelwelle:
Folie 114
4.1.5. Reflexion, Brechung, Beugung Randstrukturen Gesetze der
geometrischen Optik z 1 = c 1 1 z 2 = c 2 2 Ebene Wellen gegen
ebene Grenzflche ' Reflexionsgesetz: = ' Brechungsgesetz:
ReflexionskoeffizientTransmissionskoeffizient Amplitude:
Intensitt:
Folie 115
Randstrukturen Beugung an Rndern FrequenzWellenlnge 20 Hz17 m 1
kHz34 cm 15 kHz2,3 cm
Folie 116
4.1.6. Dmpfung Ursachen: Viskositt thermische Verluste
Molekularer Energieaustausch z.B. Wnde von Musikinstrumenten
Beispiel: Dmpfung in Luft (relative Luftfeuchtigkeit > 50%) ( 10
kHz ) 0,1 dB / m relevant fr groe Konzertsle
Folie 117
4.1.7. Hohlraummoden Starre Wand Impedanz: z W An der Wand:
Randbedingung:Spezialfall der festen Wand:
Folie 118
Beispiel: Quaderfrmiges Auditorium mit festen Wnden a c b a : b
: c = 1 : 1 : 1 a : b : c = 1 : 2 : 3 Design von Konzertslen:
Gleichmige Modendichte bei niedrigen Frequenzen Schlechtes Design
Besseres Design
Folie 119
4.2. Schallausstrahlung Kugelstrahler: Wichtiges Modellsystem
Multipol-Quellen:Konfiguration von Punktquellen, Abstnde klein
gegen Wellenlnge berlagerte Punktquellen: Beliebig ausgedehnte
Konfigurationen von Punktquellen Ebene Quellen: Quellflche in
unendlicher Schallwand Unabgeschirmte Quellflche Unendlich groe
Platten
k ak a 0 P / Flche v(a) = const a Gesamtstrahlungsleistung
Punktquelle Sttigung Musikinstrumente ( mglichst groe Abstrahlflche
gnstig ) Musikinstrumente ( mglichst groe Abstrahlflche gnstig
)
Folie 122
a Mechanische Last an schwingender Oberflche: X = Im ( Z m ):
Reaktivitt der mitschwingenden Luft X = Im ( Z m ): Reaktivitt der
mitschwingenden Luft R = Re ( Z m ): Dissipation durch Abstrahlung
R = Re ( Z m ): Dissipation durch Abstrahlung
Folie 123
4.2.2. Multipol-Quellen a Monopol Abgestrahlte Kugelwelle:
Amplitude unabhngig von Quellgre a,,Punktquelle Quellstrke
4.2.3. berlagerte Punktquellen Strahlung zweier Punktquellen
bei : + Q+ Q + Q+ Q Q Q Gesamtstrahlungsleistung durch Kugelfche
mit : Komplexes Interferenzmuster P unabhngig von r
+ + + + + + p+p+ p+p+ d + + + pp pp Strahlung von 2N
Punktquellen bei :
Folie 128
+ + + + + + p+p+ p+p+ d
Folie 129
d < / 2 vllig ineffizient! Lokale Strmungen zwischen +Q und
Q d < / 2 vllig ineffizient! Lokale Strmungen zwischen +Q und Q
+ + + pp pp d
Folie 130
4.2.4. Linienquellen ( schwingende Saite) a)Fundamentalmode:
Nherung starrer dnner Zylinder mit L 2a L I, P a 4 3 sehr
ineffizient !
Folie 131
b)Hhere Moden: +Q Q Q Q d Transversalwelle auf Saite
Schallwelle zustzlich Auslschungseffekt (Kette alternierender
Punktquellen) Noch viel ineffizienter !
Folie 132
4.2.5. Ebene Quelle mit Schallwand,,Unendliche Schallwand
(Abschirmung vom Rckraum) Starrer,,Kolben oder elastische Membran
Abstrahlung zum Auditorium Effekt der Schallwand: Effiziente
Abstrahlung auch bei niedrigen Frequenzen
Folie 133
Praktische Realisierung: (Teil-)Separation des rckwrtigen
Luftraums Kesselpauke (Timpani) Cello Konzertgitarre Piano Systeme
ohne Schallwand: Niedrige Effizienz bei niedrigen Frequenzen Starke
Anregung bei niedrigen Frequenzen ermglicht ausgeglichenes
Klangspektrum Wenig Abstrahlung sehr langes Nachklingen Glocke
Becken
Folie 134
Mathematische Behandlung: Fresnel-Kirchhoffsches
Beugungsintegral Raumwinkel der Abstrahlung Elementare Kugelwellen
Volumenfluss (Quellstrke) Relevanter Spezialfall:
Fraunhofer-Beugung: r >> Quellgre dS
Folie 135
Beispiel: Starre Kreisplatte mit Radius a (Fraunhofer-Beugung)
Optisches Analogon: Fraunhofer-Beugung an Lochblende
Hauptabstrahlungskegel 1.Nebenkeule bei 18 dB Insignifikant !
1.Nebenkeule bei 18 dB Insignifikant !
Folie 136
Starre Kreisquelle in Schallwand Pulsierende Kugel X = Im ( Z m
): Reaktivitt der mitschwingenden Luft X = Im ( Z m ): Reaktivitt
der mitschwingenden Luft R = Re ( Z m ): Dissipation durch
Abstrahlung R = Re ( Z m ): Dissipation durch Abstrahlung
Akustischer Widerstand der Luft
Folie 137
Strahlung einer Kreismembran in einer Schallwand m = 0 n = 1
Fundamentalmode Qualitativ wie starre Kreisplatte Effizienter
Strahler Quantitativ unterschiedlich: u( r' ) J 0 ( k r' ) m = 0 n
= 2 m = 0 Moden: Verbleibende Netto-Monopolkomponente Schwache
Strahler m = 1 n = 1 m = 2 n = 1m = 3 n = 1 m = 3 n = 2 m > 0
Moden: Keine Monopolkomponente Vllig ineffiziente Strahler
Folie 138
4.2.6. Unabgeschirmte ebene Quellen Umschlossener Rckraum
Unendliche Schallwand Hohe Frequenz ( ka > 4 ): fast ungendertes
Verhalten Niedrige Frequenz ( ka < 4 ): Abstrahlraumwinkel 2 4
Strahlungswiderstand Gesamtstrahlungsleistung ( 3 dB ) Intensitt (
6 dB ) Kompensation:Bassreflexwand, Fussboden,... offene Platte
Dipolquelle bei kleinen Frequenzen offene Platte Dipolquelle bei
kleinen Frequenzen Starre Platte:
Folie 139
4.2.7. Strahlung von (unendlich) groen Platten Einfachstes
Beispiel: Ebene Biegewelle der Platte Platte ( Dicke h, Dichte P )
Luft ( Dichte ) Schallgeschwindigkeit: Phasengeschwindigkeit:
Abstrahlungsbedingung: P () bzw.k k P () bzw.c v P ()
Folie 140
Strahlungsmuster der berschallbiegewelle ( v P c ) (Analogon:
Machscher Kegel) Abschneide- bzw. Koinzidenzfrequenz:
4.3.1. Unendliche Zylinderrohre Perfekt steife Wand: analog zur
Kreismembran k r = k mn quantisiert k z unbeschrnkt (keine
z-Randbedingung) 2a z r Ruhende oder gleichmig strmende Luft
Folie 143
Wichtiger Spezialfall m = n = 0: q 00 = 0, J 0 (0) = 1 Ebene
Welle: Volumenfluss: Bemerkung: In allen anderen Moden ist U = 0
Definition: (Wellen-)ImpedanzCharakteristische Impedanz
Folie 144
Kritische Frequenz: > c :k mn, z reell ungedmpfte
Ausbreitung < c :k mn, z imaginr gedmpfte Ausbreitung ( keine
Wellenleitung ) k mn = 0 q 00 = 0 ebene (0,0)-Mode wird bei allen
Frequenzen geleitet !
Querschnitt Flussmuster im Lngsschnitt Ebene Fundamental- Mode
> c < c
Folie 147
4.3.2. Wandverluste in unendlichen Zylinderrohren
a)Reibungsverluste b)Thermische Verluste Verluste in dnnen
Randschichten an der Wand: a VV Viskositt a TT Thermische
Leitfhigkeit Zusammenhang:
Folie 148
Konsequenz: Z 0 reell Z 0 komplex...... und: k reell k komplex:
v / c / f [ m -1 Hz -1 ] Einfluss auf Z 0 wichtig fr r V 10
Phasengeschwindigkeit sinkt fr r V 10 -1 fr r V 10
Folie 149
1101001000 Frequenz [ Hz ] a = 0,1 mm a = 1 mm a = 1 cm a = 10
cm 1101001000 Frequenz [ Hz ] a = 0,1 mm a = 1 mm a = 1 cm a = 10
cm Grenordnungen bei Zimmertemperatur ( 20 C ): Kritischer
Bereich
Folie 150
4.3.3. Endliche Zylinderrohre L Reflexionskoeffizient: ZLZL R
Saite: Z 0 L ( Abschnitt 2.1.2. ) Eingangsimpedanz:
Folie 151
L Ideal abgeschlossener Rohr: Z L = Ideal offenes Rohr: Z L = 0
Ideal offener Eingang: p 00 U U
Folie 152
Realistische offene Rohre: endlicher Auendruck, Z L 0 L
Schallwand a)Abschluss durch Schallwand (vgl. 4.2.5.) R L, X L [ Z
0 = c/S ] Musikinstrumente (Fundamentalmoden) Schallwand wirkt wie
ein kurzer ideal offener Zylinder
Folie 153
Realistische offene Rohre: endlicher Auendruck, Z L 0 L
b)Offener Abschluss Musikinstrumente (Fundamentalmoden) Auenluft
wirkt wie ein kurzer ideal offener Zylinder
Folie 154
4.3.4. Impedanzkurven realistischer Zylinderrohre Typische
Situation: r V > 10 Charakteristische Impedanz Z 0 (ungendert)
Kleine Dmpfung : Ideal abgeschlossener Rohr: Z L = Ideal offenes
Rohr: Z L = 0
Folie 155
L = 1 m a = 5 cm L = 1 m a = 1 cm (Anti-)Resonanzstruktur durch
Wanddmpfung! Auswaschung durch Strahlungsdmpfung! (Anti-)Resonanzen
nicht ganz harmonisch (gestreckt)
Analytische Nherung: Wellenfront x S a(x) x 0 (x) Wellenfront:
p const. Lokaler Konus: x 0, Sphrische Nherung: x 0, nur schwach
x-abhngig S annhernd sphrisch Webster-Gleichung: Fr kleine :
Sphrische Nherung Ebene Nherung
Folie 160
Wellenfront x S a(x) x 0 (x) Konstante Intensitt I p 2 S
Ansatz: F(x) = Potentialbarriere = Hornfunktion F(x) =
Potentialbarriere = Hornfunktion RTRT RLRL Leitung oberhalb
Abschneide-Frequenz:
Folie 161
4.3.7. Salmon-Hrner Wellenfront x S a(x) x 0 (x) ( konstanter
Abschneidefrequenz ) Lsung: m = Hornkonstante Wellenleitung k 2
> m 2 Wichtige Spezialflle: T = 1:Exponentialhorn T =
1:Katenoidalhorn ( glatter Zylinderanschluss ) Konisches Horn mit
Apex in x 0 ( F = 0 kein Frequenzabschnitt ) Hrner =
kontinuierliche Impedanzwandler effiziente Abstrahlung oberhalb
C
Folie 162
4.3.8. Endliche konische Hrner L = 1 m a = 5 cm Z in / Z 0 L =
1 m a 1 = 0,5 cm a 2 = 5 cm Z in / Z 1 L S S2S2 S1S1 L
Folie 163
Abhngigkeit der Resonanzfrequenzen vom ffnungsverhltnis (
Vereinfachte Darstellung fr Z L = 0 ) a 1 / a 2 11 22 33 44 11 22
33 44 Beidseitig offene Hrner ( Flten, Orgel-Rohrpfeifen )
Einseitig geschlossene Hrner ( Rohrblatt- / Lippen- getriebene
Blasinstrumente )
Folie 164
4.3.9. Besselhrner = 0: Zylinderrohr = 1: konisches Horn mit
Apex bei x = 0 > : stark divergente Mndung bei x = 0 (
realistische Beschreibung moderner Blasinstrumente )
Besselhornfunktion bei offener Mndung: Ebene-Welle-Nherung
Kugelwellen-Nherung Totalreflexion bei F(x) k 2 F Horn strahlt
nicht ab ! Freie Abstrahlung fr k 2 > F max Tunneleffekt
Teilabstrahlung fr k 2 < F max
Beispiel: Beidseitig offenes konisches Horn S2S2 S1S1 L x x2x2
x1x1 0 Reziprozitts-Theorem: Fr beliebige (passive) Hrner gilt
Beobachtung: Z 12 = Z 21 gilt auch allgemein
Folie 169
Transportmatrix: Behandlung zusammengesetzter Hrner: Z (1), A
(1) Z (2), A (2) U1U1 U2U2 U3U3 p1p1 p2p2 p3p3 Verkettungsregel:
Bemerkung:
Folie 170
Beispiel: Ideal offenes konisches Rohr mit Zylinder-Eingang f
max von Z in (Trompetenmae) Harmonisches Spektrum bei L 1 L 2
Folie 171
Beispiel: Horn mit Abschlussimpedanz Z L ZLZL p2p2 p1p1 U2U2
U1U1 ZLZL Horn Eingangsimpedanz:
Folie 172
Beispiel: Ideal abgeschlossenes konisches Horn S2S2 S1S1 L x
x2x2 x1x1 0 Quasistatischer Grenzfall: Hohlraumform in diesem
Grenzfall irrelevant = akustische Impedanz eines Hohlraums =
akustische Nachgiebigkeit elektrische Kapazitt
Folie 173
Beispiel: Ideal offenes konisches Horn Quasistatischer
Grenzfall: S2S2 S1S1 L x x2x2 x1x1 0 Spezialfall offenes
Zylinderrohr: S 1 = S 2 = S Allgemein: = akustische Impedanz eines
ideal offenen Horns = akustische Trgheit elektrische
Induktivitt
Folie 174
Quasistatische Netzwerke: Beispiel 1 Helmholtz-Resonator
getrieben durch ueres Schallfeld p ext L S V Z cav Z pipe Z rad p
ext U U ~ Z cav Z pipe Z rad p ext U U p ext Wechselspannungsquelle
Z rad komplexer Widerstand Z pipe Induktivitt Z cav Kapazitt p ext
Wechselspannungsquelle Z rad komplexer Widerstand Z pipe
Induktivitt Z cav Kapazitt
Folie 175
Quasistatische Netzwerke: Beispiel 2 Helmholtz-Resonator intern
getrieben durch vibrierende Wand U 0 Wechselstromquelle Z rad
komplexer Widerstand Z pipe Induktivitt Z cav Kapazitt U 0
Wechselstromquelle Z rad komplexer Widerstand Z pipe Induktivitt Z
cav Kapazitt L S V Z cav Z pipe Z rad U U U0U0 Z cav Z pipe Z rad
U0U0 U0U0 U U