K I N G A S ZŰCS
F R I E D R I C H - S C H I L L E R - U N I V E R S I T Ä T J E N AF A K U L T Ä T F Ü R M A T H E M A T I K U N D
I N F O R M A T I K
A B T E I L U N G D I D A K T I K
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Raumgeometrie
Gliederung
Warum eigentlich Raumgeometrie?
Bezüge zu den Bildungsstandards
Inhaltlicher Überblick
Körpergrundformen - Grundbegriffe
Körpermodelle und –netze
Raumvorstellung und Kopfgeometrie
Volumen Zusammenhang mit Messen
Volumenbegriff
Approximieren von Volumina
Ausblick Platonische Körper
Archimedische Körper
Eulerscher Polyedersatz
Literatur
Warum eigentlich Raumgeometrie?
Reale Gegenstände als dreidimensionale Objekte Raum ist natürlicher als die Ebene
Alltagsbezug
Möglichkeit zur Erkundung von Grundformen
Vielfältige Möglichkeiten für Berechnungen
Bogen von der Freihandzeichnung bis hin zur darstellenden Geometrie
Vorbereitung auf Lineare Algebra/Analytische Geometrie
Notwendig beim Verstehen physikalischer Zusammenhänge
Möglichkeit zum sinnvollen Computereinsatz
Bezüge zu den Bildungsstandards
Leitidee Messen (L2)
„Die Schülerinnen und Schüler
nutzen das Grundprinzip des Messens, insbesondere bei der Längen-, Flächen- und Volumenmessung, auch in Naturwissenschaften und in anderen Bereichen,
wählen Einheiten von Größen situationsgerecht aus (insbesondere für Zeit, Masse, Geld, Länge, Fläche, Volumen und Winkel),
Bezüge zu den Bildungsstandards
schätzen Größen mit Hilfe von Vorstellungen über geeignete Repräsentanten,
[…]
berechnen Volumen und Oberflächeninhalt von Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel sowie daraus zusammengesetzten Körpern,“
Bezüge zu den Bildungsstandards
Leitidee Raum und Form (L3)
„Die Schülerinnen und Schüler
erkennen und beschreiben geometrische Strukturen in der Umwelt,
operieren gedanklich mit Strecken, Flächen und Körpern,
stellen geometrische Figuren im kartesischen Koordinatensystem dar,
stellen Körper (z. B. als Netz, Schrägbild oder Modell) dar und erkennen Körper aus ihren entsprechenden Darstellungen,
Bezüge zu den Bildungsstandards
analysieren und klassifizieren geometrische Objekteder Ebene und des Raumes,
beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte (wie Symmetrie, Kongruenz, Ähnlichkeit, Lagebeziehungen) und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachzusammenhängen
Bezüge zu den Bildungsstandards
[…]
zeichnen und konstruieren geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Geodreieck oder dynamische Geometriesoftware,
untersuchen Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von Konstruktionsaufgaben und formulieren diesbezüglich Aussagen,
setzen geeignete Hilfsmittel beim explorativen Arbeiten und Problemlösen ein.“
Bezüge zu den Bildungsstandards
Ausblick auf die Oberstufe (Bildungsstandards für die Allgemeine Hochschulreife):
Streckenlängen und Winkelgrößen im Raum (Skalarprodukt)
Volumen von Rotationskörpern
Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen
Koordinatisierung auch von räumlichen geometrischen Sachverhalten
Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen beschreiben und analytisch untersuchen
Inhaltlicher Überblick
KörpergrundformenWürfel, Quader, Kugel, Pyramide, Kegel, Prisma, Zylinder
Klärung von GrundbegriffenKörper, Ecke, Kante, Seitenfläche, Volumen, Oberfläche, Mantelfläche, Polyeder
DarstellungenKörpernetze, Körpermodelle, "räumliche" Körperdarstellungen (Schrägbilder)
Entwicklung der RaumvorstellungRäumliche Wahrnehmung, Veranschaulichung, mentale Rotation, räumliche Beziehungen, räumliche Orientierung
Allgemeine ZusammenhängeFormeln für Oberflächen- und Volumenberechnungen, Satz von Cavalieri
Vertiefungspezielle Körper (Platonische und Archimedische Körper), Eulerscher Polyedersatz, zusammengesetzte Körper, Symmetrie, Kongruenz & Ähnlichkeit von Körpern
Körpermodelle und -netze
Netz eines Körpers: vollständige Abwicklung seiner Oberfläche in die Ebene
Mathenetz 5: 113
Raumvorstellung und Kopfgeometrie
Raumvorstellung:
eine der sieben Primärfaktoren der Intelligenz
Fähigkeit, in der Vorstellung räumlich zu sehen und zu denken.
auch: Aktive Umordnung der Vorstellungsbilder und Entwicklung neuer Bilder aus vorhandenen
Raumvorstellung und Kopfgeometrie
Räumliche Wahrnehmung (Identifikation von Senkrechte und Waagerechte)
Weigand et al, 2009: 148
Raumvorstellung und Kopfgeometrie
Veranschaulichung (Vorstellung von Falten, Schneiden, Verschieben)
Weigand et al, 2009: 148
Raumvorstellung und Kopfgeometrie
Mentale Rotation (Vorstellung von Drehungen)
Weigand et al, 2009: 149
Raumvorstellung und Kopfgeometrie
Räumliche Beziehungen (Erfassung räumlicher Konfigurationen von mehreren Objekten)
Weigand et al, 2009: 149
Raumvorstellung und Kopfgeometrie
Räumliche Orientierung (Standortwechsel, Perspektivwechsel)
Weigand et al, 2009: 149
Raumvorstellung und Kopfgeometrie
Kopfgeometrie:
Lösen geometrischer Aufgaben im Kopf. Hierdurch wird gefördert:
die Vorstellung von Figuren,
die gedankliche Variation von Lage, Größe und Form von räumlichen Figuren,
die Kombination von räumlichen Figuren,
die Anwendung von Wissen über Eigenschaften und Beziehungen von räumlichen Figuren.
Volumen und Messen
Aspekte des Messens:
2. Berechnen (mit Hilfe von Formeln)
Mathenetz 5: 182
cbaVQuader
Volumenbegriff
Eigenschaft von räumlichen Figuren:
Raum einzunehmen
Fassungsvermögen
Verdrängungsvermögen
Approximieren von Volumina
Approximation insbesondere bei krummlinig begrenzten Figuren notwendig
Bereits am Kreis bekannt
Historische Bezüge (Kepler)
Approximation durch Körper, deren Rauminhalt bereits bekannt ist (Zylinder, Pyramide, evtl. Kegel)
Gruppenarbeit:
Gruppe 1: Kugelvolumen
Gruppe 2: Kegelvolumen
Approximieren von Volumina
Lesen Sie den Studientext sorgfältig durch.
Fassen Sie die Aussage des Textes in zwei-drei Sätzen zusammen.
Welche Vorkenntnisse/Vorerfahrungen benötigt die erfolgreiche Bewältigung des Textes?
Formulieren Sie mögliche Arbeitsaufträge zum Text.
Welche prozessbezogenen Kompetenzen können Ihrer Meinung nach durch diese Aufgabe gefördert werden?
Wo sehen Sie Vor- bzw. Nachteile dieser Aufgabe?
Eulerscher Polyedersatz
Für ein beliebiges konvexes Polyeder, das durch ebene Vielecke begrenzt ist, gilt:
𝒆+𝒇−𝒌=𝟐
(e: Anzahl der Ecken, f: Anzahl der Flächen, k: Anzahl der Kanten)
zur Diskussion, was als Polyeder zugelassen werden soll und darf, siehe: Lakatos, I.: Beweise und Widerlegungen.
Literatur
Czukrowitz, J./Zimmermann, B. (Hrsg.) (2004): Mathenetz 5. Ausgabe N. Braunschweig: Westermann.
Czukrowitz, J./Zimmermann, B. (Hrsg.) (2006): Mathenetz 6. Ausgabe N. Braunschweig: Westermann.
Czukrowitz, J./Zimmermann, B. (Hrsg.) (2004): Mathenetz10. Ausgabe N. Braunschweig: Westermann.
KMK (2004): Bildungsstandards im Fach Mathematik für den mittleren Schulabschluss.
Weigand, H.-G. et al. (Hrsg.) (2009): Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I. Heidelberg: Spektrum.
http://www.martinum.de/joomla3/ueber-uns/erprobungsstufe/74-der-mint-kurs-jgst-6-untersucht-die-platonischen-koerper (20.06.2016)
http://www.brefeld.homepage.t-online.de/polyeder.html(20.06.2016)
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