AG Baukonstruktion,
Ingenieurholzbau und Bauphysik
Prof. Dr.-Ing. Peter Schmidt
Vorlesungsbegleitendes Skript
Holzbau I
Nachweise in den Grenzzuständen
der Tragfähigkeit
Seite 1
Skript zur Lehrveranstaltung
Holzbau I nach EC 5
Nachweise in den Grenzzuständen der
Tragfähigkeit
Peter Schmidt
Rev. 4.1 vom 12.11.2012
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Holzbau I
Nachweise in den Grenzzuständen
der Tragfähigkeit
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Grenzzustände der Tragfähigkeit
Zustand des Tragwerks, dessen Überschreitung
unmittelbar zu einem rechnerischen Einsturz oder
anderen Formen des Versagens führt.
Einsturz Übermäßige Verformung
Nachweis in Form von Spannungsnachweisen.
Grundlage: Bemessungswerte der Spannungen.
Z.B.: Nachweis der Biegespannung:
m,d fm,d
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Nachweise in den Grenzzuständen
der Tragfähigkeit
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Prinzipieller Rechenablauf (1)
Vorarbeiten
Statisches System
Einwirkungen (Belastung) aus DIN EN 1991
charakteristische Werte (z.B.: gk, sk, wk)
Querschnittswerte (A, W, I)
Bemessungswerte der Einwirkungen:
Kombination für ständige und vorübergehende Bemessungssituationen:
1 1
,,0,1,1,,,
j i
ikiiQkQjkjGd QQGE
Vereinfachte Kombinationsregeln:
- wenn nur die ungünstigste veränderliche Einwirkung berücksichtigt wird:
1
1,,, 5,1j
kjkjGd QGEE
- wenn sämtliche ungünstigen veränderlichen Einwirkungen berücksichtigt werden:
1
,
1
,, 35,1j
ik
i
jkjGd QGEE
Der ungünstigere Wert ist maßgebend.
G,sup = 1,35 / G,inf = 1,00
Q = 1,50
Beiwerte 0 nach DIN EN 1990, Tab. A.1.1
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Nachweise in den Grenzzuständen
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Prinzipieller Rechenablauf (2)
Schnittgrößen (Bemessungswerte):
Für alle LF-Kombinationen Ermittlung der Schnittgrößen!
Z.B.: Bei 2 Lastfällen (z.B. Ständige Last g und Schneelast s):
LF g: M(g),d, V(g,)d, N(g),d LF g+s: M(g+s),d, V(+s,,)d, N(g+s),d
Bemessungswerte der Spannungen:
(z.B.: Biegespannung)
LF g:
W
M dg
dgm
),(
),(
LF g+s:
W
M dsg
dsgm
),(
),(
Bemessungswert der Festigkeit:
Allgemein gilt:
M
kd
XkX
mod
kmod = Modifikationsbeiwert nach DIN EN 1995-1-1, Tab. 3.1
Xk = Charakteristischer Wert der Festigkeit nach DIN EN 338 bzw. DIN
EN 1194 (z.B. fm,k = Biegefestigkeit).
M = Teilsicherheitsbeiwert der Festigkeitseigenschaft nach DIN EN 1995-1-1/NA, Tab. NA.2
(z.B. Biegefestigkeit)
M
km
dm
fkf
,mod
,
Nachweis der Tragfähigkeit:
(z.B.: Nachweis der Biegespannung)
LF g:
dgmdgm f ),(),(
LF g+s:
dsgmdsgm f ),(),(
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Nachweise in den Grenzzuständen
der Tragfähigkeit
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Unterscheidung in:
Nachweise der
Querschnittstragfähigkeit
Nachweise für Stäbe nach dem
Ersatzstabverfahren
(Knicken, Kippen)
Nachweise für
Pultdach-, Satteldach- und
gekrümmte Träger
Nachweise für
zusammengesetzte Bauteile
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Nachweise in den Grenzzuständen
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Nachweise der Querschnittstragfähigkeit
Zug in Faserrichtung des Holzes
Die folgende Bedingung muss erfüllt sein:
dtdt f ,0,,0,
Darin ist:
n
,d0,
d0tA
Ft
,,
mit: σt,0,d Bemessungswert der Zugspannung in
Faserrichtung Ft,0,d Bemessungswert der Zugkraft An Nettoquerschnittsfläche
M
k0t
d0t
,,mod
,,
fkf
mit:
kmod Modifikationsbeiwert
ft,0,k charakteristischer Wert der Zugfestigkeit parallel zur Faser
M Teilsicherheitsbeiwert für Festigkeiten
(Für Holz und Holzwerkstoffe ist M = 1,3)
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Nachweise in den Grenzzuständen
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Druck in Faserrichtung des Holzes (ohne Knickgefahr)
Die folgende Bedingung muss erfüllt sein:
dcdc ,0,,0, f
Dabei ist:
A
F,,
,d0c,
d0c
mit:
Fc,0,d Bemessungswert der Druckkraft
A Querschnittsfläche
M
k0c
d0c
,,mod
,,
fkf
mit:
kmod Modifikationsbeiwert
fc,0,k charakteristischer Wert der Druckfestigkeit parallel zur Faser
M Teilsicherheitsbeiwert für Festigkeiten
(Für Holz und Holzwerkstoffe ist M = 1,3)
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Druck rechtwinklig zur Faserrichtung des Holzes
Die folgende Bedingung muss erfüllt sein:
dccdc ,90,90,,90, fk
mit
ef
d,90,c
d,90,cA
F
M
kc
dc
,90,mod
,90,
fkf
Dabei ist
Aef die wirksame Querdruckfläche
kc,90 ein Querdruckbeiwert
fc,90,k charakteristische Wert der
Druckfestigkeit rechtwinklig zur Faser
Für die Ermittlung der wirksamen Querdruckfläche Aef darf das Maß der tatsächlichen Aufstandslänge l in Faserrichtung des Holzes an jedem Rand um bis zu 30 mm, jedoch nicht mehr als l, verlängert werden.
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Wirksame Querdruckfläche Aef
Überstand ü 30 mm:
)mm302( bAef
Überstand ü < 30 mm: (hier: ü = 0)
)mm30( bAef
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Druck rechtwinklig zur Faserrichtung des Holzes
Der Querdruckbeiwert kc,90 darf wie folgt angenommen werden:
kc,90 = 1,00 im Regelfall, wenn keine der unten aufgeführten Bedingungen zutreffen
kc,90 = 1,25 Nadelvollholz und Schwellendruck und l1 ≥ 2h
kc,90 = 1,50 Brettschichtholz aus Nadelholz und Schwellendruck mit l1 ≥ 2h
kc,90 = 1,50 Auflagerdruck mit l1 ≥ 2h und Nadelvollholz
kc,90 = 1,75 Auflagerdruck, Brettschichtholz aus Nadelholz mit l1 ≥ 2h (l ≤ 400 mm)
h Höhe des Bauteils
l Kontaktlänge
l, l1 und h siehe Abb.
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Druck unter einem Winkel
Für 0° < < 90° muss die folgende Bedingung erfüllt sein:
22
,90,90,
,,
,,
,,
cossin
dcc
doc
doc
dc
fk
f
f
Dabei ist
ef
d,,c
d,,cA
F
kc,90 und fc,0,d siehe oben
Winkel zwischen Beanspruchungsrichtung und Faserrichtung des Holzes bzw. Winkel zwischen Beanspruchungsrichtung und Faserrichtung bzw. Spanrichtung der Decklagen
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Druck unter einem Winkel (Forts.)
Die Ermittlung der wirksamen Querschnittsfläche Aef ist in der Abbildung unten beispielhaft dargestellt.
#
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Biegung (zweiachsig)
Die folgenden Bedingungen müssen erfüllt sein:
1,,
,,
,,
,,
dzm
dzm
m
dym
dym
fk
f
und
1,,
,,
,,
,,
dzm
dzm
dym
dym
mff
k
Dabei ist
km = 0,7 für Rechteckquerschnitte aus Vollholz, Brettschichtholz und Balkenschichtholz,
km = 1,0 für andere Querschnitte
ny
dy
dymW
M
,
,
,,
My,d Bemessungswert des Biegemomentes um die y-Achse
Wy,n Widerstandsmoment bezogen auf die y-Achse (Netto-Wert)
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nz
dz
dzmW
M
,
,
,,
Mz,d Bemessungswert des Biegemomentes um die z-Achse
Wz,n Widerstandsmoment bezogen auf die z-Achse (Netto-Wert)
M
k,mmod
d,z,m
d,y,m
fk
f
f
kmod Modifikationsbeiwert
fm,k charakteristische Biegefestigkeit
M Teilsicherheitsbeiwert für Baustoffeigenschaften
(M = 1,3)
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Grund für die Abminderung eines Anteils bei zweiachsiger Biegung
Grund für die Abminderung eines Anteils der
Biegespannungen (m,y,d oder m,zd):
Bei Rechteckquerschnitten tritt bei zweiachsiger Biegung die maximale Spannung nur an zwei diagonal gegenüberliegenden Kanten auf, während bei einachsiger Biegung die maximale Spannung an zwei Querschnittsseiten wirkt.
Einachsige Biegung
Zweiachsige Biegung
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Einachsige Biegung
Bei einachsiger Biegung vereinfacht sich die o.a. Gleichung zu:
1f ,
,
dm
dm
Bemessungswert der Biegespannung:
n
ddm
W
M,
Md Bemessungswert des Biegemomentes
Wn Widerstandsmoment (Netto-Wert)
Bemessungswert der Biegefestigkeit:
M
km
dm
fkf
,mod
,
kmod Modifikationsbeiwert
fm,k charakteristische Biegefestigkeit
M Teilsicherheitsbeiwert für Baustoffeigenschaften
(M = 1,3)
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Biegung und Zug
Die folgenden Bedingungen müssen erfüllt sein:
1,,
,,
,,
,,
,0,
,0, dzm
dzm
m
dym
dym
dt
dt
fk
ff
und
1,,
,,
,,
,,
,0,
,0,
dzm
dzm
dym
dym
m
dt
dt
ffk
f
mit km wie Biegung!
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Biegung und Druck
Die folgenden Bedingungen müssen erfüllt sein:
1,,
,,
,,
,,
2
,0,
,0,
dzm
dzm
m
dym
dym
dc
dc
fk
ff
und
1,,
,,
,,
,,
2
,0,
,0,
dzm
dzm
dym
dym
m
dc
dc
ffk
f
mit km wie Biegung!
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Seite 19
Schub aus Querkraft
Die folgende Bedingung muss erfüllt sein:
dvd f ,
Dabei ist:
A
Vd
d 5,1 für Rechteckquerschnitte
mit Vd Bemessungswert der Querkraft
A Querschnittsfläche
M
k,vmod
v,d
fkf
mit: kmod Modifikationsbeiwert
fv,k charakteristischer Wert der Schubfestigkeit
M Teilsicherheitsbeiwert für Festigkeiten
(Für Holz und Holzwerkstoffe ist M = 1,3)
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Schub aus Querkraft (Forts.)
Für biegebeanspruchte Bauteile, die auf Schub bemessen werden, sollte der Beiwert kcr zur Berücksichtigung von Rissen verwendet werden.
Hinweis: Risse sind tragfähigkeitsmindernd.
Einfluss wird berücksichtigt, indem eine wirksame Breite angesetzt wird:
bkb cref
Dabei ist:
kcr = 0,67 für Vollholz aus Laubholz
kcr = 2,0 / fv,k für Vollholz und Balkenschichtholz aus Nadelholz (fv,k = charakteristischer Wert der Schubfestigkeit in N/mm²)
kcr = 2,5 / fv,k für Brettschichtholz (fv,k = charakteristischer Wert der Schubfestigkeit in N/mm²)
kcr = 1,0 für Brettsperrholz
b Breite des entsprechenden Abschnitts des Bauteils
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Schub aus Querkraft (Forts.)
Bei auflagernahen Einzellasten darf die Querkraft abgemindert werden.
Voraussetzungen:
o Lastangriff am oberen Trägerrand; Auflager am unteren Trägerrand;
o Einzellast innerhalb des Abstandes h oder hef vom Auflager;
o Bei Ausklinkungen: diese muss auf der Gegenseite des Auflagers angeordnet sein.
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Seite 22
Schub aus Querkraft (Forts.)
Bei Biegestäben aus Nadelschnittholz dürfen die Bemessungswerte der Schubfestigkeit in Bereichen, die mindestens 1,50 m vom Hirnholzende des Holzes entfernt liegen, um 30 % erhöht werden.
Bei Doppelbiegung in Rechteckquerschnitten muss die folgende Bedingung erfüllt sein:
1
2
,
,
2
,
,
dv
dz
dv
dy
ff
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Torsion
Die folgende Bedingung muss erfüllt sein:
dvshapedtor fk ,,
Dabei ist
fv,d Bemessungswert der Schubfestigkeit
0,2
15,01min
2,1
shapeb
hk
für einen runden Querschnitt
für einen rechteckigen Querschnitt
Die Torsionsspannungen dürfen näherungsweise wie für homogene Bauteile aus isotropem Material berechnet werden.
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Schub aus Querkraft und Torsion
Bei Kombination von Schub aus Querkraft und Torsion muss die folgende Bedingung erfüllt sein:
1
2
,
,
2
,
,
,
,
dv
dz
dv
dy
dvshape
dtor
fffk
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der Tragfähigkeit
Seite 25
Nachweise für Stäbe nach dem Ersatzstabverfahren
Druckstäbe mit planmäßig mittigem Druck
Die folgende Bedingung muss erfüllt sein:
dccdc fk ,0,,0,
Der Knickbeiwert kc beträgt
22 λ
1
rel
c
kkk
mit
2λ3,0λ15,0
relrelck
c = 0,2 für Vollholz,
c = 0,1 für Brettschichtholz u. Furnierholz
und mit dem bezogenen Schlankheitsgrad
05,0
,0,
E
f
π
λλ
kc
rel
Dabei ist
= lef/i Schlankheitsgrad für Biegung um die entsprechende Achse
i Trägheitsradius
lef = s oder h Ersatzstablänge
Knicklängenbeiwert (siehe DIN EN 1995-1-1/NA) s bzw. h Stablänge
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Knicklängenbeiwerte (1) (DIN EN 1995-1-1/NA, Tab. NA.23)
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Seite 27
Knicklängenbeiwerte (2)
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Seite 28
Biegestäbe ohne Druckkraft (1)
Biegestäbe müssen an den Auflagern gegen Verdrehen gesichert sein.
Die folgende Bedingung muss erfüllt sein:
dmcritdm fk ,, (67)
Der Kippbeiwert kcrit beträgt
mrelmrel
mrelmrel
mrel
crit
λfürλ
λfürλ
λfür
k
,
2
,
,,
,
4,1/1
4,175,075,056,1
75,01
(68)
Kippbeiwert kcrit:
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Seite 29
Biegestäbe ohne Druckkraft (2)
Der bezogene Kippschlankheitsgrad berechnet sich mit folgender Gleichung:
0505,0
k,m
m
ef
crit,m
k,mm,rel
GE
f
iπ
fλ
(69)
Dabei ist
m,crit kritische Biegedruckspannung, berechnet mit den 5%-Quantilen der Steifigkeitskennwerte,
y
05,0torz
crit,m
G
Wl
IIE
ef
0,05
mit
Iz Flächenmoment 2. Grades um die z-Achse (schwache Achse),
Itor Torsionsträgheitsmoment,
Wy Widerstandsmoment um die y-Achse
fm,k Charakteristischer Wert der Biegefestigkeit
E0,05 Charakteristischer Wert des Elastizitätsmoduls parallel zur Faserrichtung (5%-Quantilwert)
G0,05 Charakteristischer Wert des Schubmoduls (5%- Quantilwert)
lef Ersatzstablänge bzw. wirksame Länge des Biegestabes
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Seite 30
Ersatzstablänge lef (1)
Für den gabelgelagerten Einfeldträger mit konstantem Moment entspricht die Ersatzstablänge lef der Stützweite l des Trägers.
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der Tragfähigkeit
Seite 31
Ersatzstablänge lef (2)
Für andere Lagerungen und andere Einwirkungen ist die Ersatzstablänge lef nach dem Nationalen Anhang der Norm (Auszug siehe nächste Seite) zu berechnen.
Es gilt:
T
Baaa
z21
ef
1
Dabei ist
l Länge des Trägers,
B = E Iz Biegesteifigkeit um die z-Achse
(Rechteckquerschnitt: 12
3 hbEB
),
T = G It Torsionssteifigkeit
(Rechteckquerschnitt: 3
3 hbGT
),
az Abstand des Lastangriffes vom Schubmittelpunkt (siehe Bild NA.21).
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Seite 32
Ersatzstablänge lef (3)
(Forts.)
Dabei ist
M Schubmittelpunkt
S Schwerpunkt
K elastische Bettung (Verdrehung) in N,
Ky elastische Bettung (Verschiebung) in N/mm2
KG Drehfeder am Auflager in Nmm,
e Abstand Schubmittelpunkt/Bettung in mm,
Verdrehung um die z-Achse.
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Seite 33
Kipplängenbeiwerte
(DIN EN 1995-1-1/NA, Tab. NA.24)
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Seite 34
Stäbe mit Biegung und Druck
Die folgenden Bedingungen müssen erfüllt sein:
1,,
,,
,,,0,,
,0,
dzm
dzm
m
dym
m,y,d
dcyc
dc
fk
ffk
und
1,,
,,
,,,0,,
,0,
dzm
dzm
dym
m,y,d
m
dczc
dc
ffk
fk
Dabei ist
2
,
2,
1
yrelyy
yc
kkk
2
,
2,
1
zrelzz
zc
kkk
km Beiwert zur Berücksichtigung der Spannungsverteilung in Verbindung mit den Inhomogenitäten des Baustoffs in einem Querschnitt
für Vollholz, Brettschichtholz und Furnierschichtholz
o bei Rechteckquerschnitten 0,7
o bei anderen Querschnitten 1,0
für andere tragende Hozwerkstoffe bei allen Querschnitten 1,0
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Seite 35
Stäbe mit Biegung und Zug
Die folgenden Bedingungen müssen erfüllt sein:
1,,
,,
,,,0,
,0,
dzm
dzm
dymm
m,y,d
dt
dt
ffkf
und
1,,
,,
,,,0,
,0,
dzm
dzm
dymm
m,y,d
dt
dt
ffkf
Dabei ist
km Beiwert (s.o.)
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Seite 36
Anhang
Modifikationsbeiwerte kmod
(DIN EN 1995-1-1:2010-12, Tab. 3.1)
1 2 3 4
1 Baustoff und Klasse der Lasteinwirkungsdauer
Nutzungsklasse Baustoff und Klasse der Lasteinwirkungsdauer
Nutzungsklasse
2 1 2 3 1 2
3 Vollholz Kunstharzgebundene Spanplatten
Brettschichtholz Zementgebundene Spanplatten
Balkenschichtholz Faserplatten (Typ HB.HLA2 DIN EN 622-2:1997-08) Furnierschichtholz
Brettsperrholz
Sperrholz
4 ständig 0,60 0,60 0,50 ständig 0,30 0,20
5 lang 0,70 0,70 0,55 lang 0,45 0,30
6 mittel 0,80 0,80 0,65 mittel 0,65 0,45
7 kurz 0,90 0,90 0,70 kurz 0,85 0,60
8 sehr kurz 1,10 1,10 0,90 sehr kurz 1,10 0,80
9 OSB-Platten (Typen OSB/2
a, OSB/3 und OSB/4
DIN EN 300:1997-06)
Faserplattena
(Typ MBH.LA2 DIN EN 622-3:1997-08)
Gipskartonplatten (Typen GKBa,
GKFa, GKBI und GKFI DIN 18180)
10 ständig 0,40 0,30 - ständig 0,20 0,15
11 lang 0,50 0,40 - lang 0,40 0,30
12 mittel 0,70 0,55 - mittel 0,60 0,45
13 kurz 0,90 0,70 - kurz 0,80 0,60
14 sehr kurz 1,10 0,90 - sehr kurz 1,10 0,80
a Nur Nutzungsklasse 1
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Seite 37
Charakteristische Festigkeits-, Steifigkeits- und
Rohdichtekennwerte für Nadelholz
(DIN EN 338:2010-02, Tab. 1) Festigkeitsklasse C14 C16 C18 C20 C22 C24 C27 C30 C35 C40 C45 C50
N/m
m²
Biegung fm,k 1)
14 16 18 20 22 24 27 30 35 40 45 50
Zug parallel ft,0,k 1)
8 10 11 12 13 14 16 18 21 24 27 30
Zug rechtwinklig ft,90,k 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4
Druck parallel fc,0,k 16 17 18 19 20 21 22 23 25 26 27 29
Druck rechtwinklig fc,90,k 2,0 2,2 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,1 3,2
Schub fv,k 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0
N/m
m²
Elastizitätsmodul
parallel E0,mean 7000 8000 9000 9500 10000 11000 11500 12000 13000 14000 15000 16000
5 %-Quantil des
Elastizitätsmoduls E0,05 4700 5400 6000 6400 6700 7400 7700 8000 8700 9400 10000 10700
Elastizitätsmodul
rechtwinklig E90,mean 230 270 300 320 330 370 380 400 430 470 500 530
Schubmodul Gmean 440 500 560 590 630 690 720 750 810 880 940 1000
kg
/m³
Rohdichte k 290 310 320 330 340 350 370 380 400 420 440 460
kg
/m³
Mittelwert der
Rohdichte mean 350 370 380 390 410 420 450 460 480 500 520 550
1) Bei Bauteilen, die auf Zug oder Biegung beansprucht werden und deren größte Querschnittsabmessung h ≤ 150 mm
beträgt, darf fm,k und ft,0,k mit dem Faktor kh erhöht werden: kh = (150/h)0,2
≤ 1,3
h [mm] 100 110 120 130 140 ≥ 150
kh 1,08 1,06 1,05 1,03 1,01 1,0
AG Baukonstruktion,
Ingenieurholzbau und Bauphysik
Prof. Dr.-Ing. Peter Schmidt
Vorlesungsbegleitendes Skript
Holzbau I
Nachweise in den Grenzzuständen
der Tragfähigkeit
Seite 38
Charakteristische Festigkeits-, Steifigkeits- und
Rohdichtekennwerte für BSH
(DIN EN 1194:1999-05, Tab.1, 2)
Festigkeitsklasse GL24h
(BS11h)
GL24c
(BS11k)
GL28h
(BS14h)
GL28c
(BS14k)
GL32h
(BS16h)
GL32c
(BS16k)
GL36h
(BS18h)
GL36c
(BS18k)
N/m
m²
Biegung fm,k 24 24 28 28 32 32 36 36
Zug parallel ft,0,k 16,5 14 19,5 16,5 22,5 19,5 26 22,5
Zug rechtwinklig ft,90,k 0,4 0,35 0,45 0,4 0,5 0,45 0,6 0,5
Druck parallel fc,0,k 24 21 26,5 24 29 26,5 31 29
Druck rechtwinklig fc,90,k 2,7 2,4 3,0 2,7 3,3 3,0 3,6 3,3
Schub fv,k 2,7 2,2 3,2 2,7 3,8 3,2 4,3 3,8
N/m
m²
Elastizitätsmodul
parallel E0,mean 11600 11600 12600 12600 13700 13700 14700 14700
5 %-Quantil des
Elastizitätsmoduls E0,05 9400 9400 10200 10200 11100 11100 11900 11900
Elastizitätsmodul
rechtwinklig E90,mean 390 320 420 390 460 420 490 460
Schubmodul Gmean 720 590 780 720 850 780 910 850
kg
/m³
Rohdichte ρk 380 350 410 380 430 410 450 430
Charakteristische Steifigkeitskennwerte E0,05, E90,05 und G05:
E0,05 = 5/6 E0,mean E90,05 = 5/6 E90,mean G05 = 5/6 Gmean 1)
Bei Bauteilen, die auf Zug oder Biegung beansprucht werden und deren größte Querschnittsabmessung h ≤ 600 mm
beträgt, darf fm,y,k und ft,0,k mit dem Faktor kh erhöht werden: kh = (600/h)0,1
≤ 1,1
h [ mm] ≤ 240 260 280 320 360 400 440 480 520 560 ≥ 600
kh 1,10 1,09 1,08 1,06 1,05 1,04 1,03 1,02 1,01 1,01 1,00
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