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Dipl.-Math. Eric Meyer1
Wachstum und EntwicklungBausteine zur Wachstumstheorie
Dipl.-Math. Eric MeyerInstitut für Genossenschaftswesenim Centrum für Angewandte WirtschaftsforschungUniversität Münster
Dipl.-Math. Eric Meyer2
Bausteine zur Wachstumstheorie
Angebotsseitige Faktoren Nachfrageseitige Faktoren
• Produktionsfunktion• Technischer Fortschritt• Investitionsverhalten• Humankapital-investitionen
• Nutzenfunktion• Konsum-/Sparverhalten• Arbeits-/Freizeit-entscheidung
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Bausteine zur Wachstumstheorie
Angebotsseitige Faktoren Nachfrageseitige Faktoren
• Produktionsfunktion• Technischer Fortschritt• Investitionsverhalten• Humankapital-investitionen
• Nutzenfunktion• Konsum-/Sparverhalten• Arbeits-/Freizeit-entscheidung
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Produktionsfunktionen
Charakterisierung durch:• SubstitutionselastizitätWie leicht lässt sich ein Produktionsfaktor durch denanderen substituieren bzw.Wie „krumm“ ist die Isoquante?
• SkalenelastizitätWie weit liegen die Isoquanten auseinander?
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Substitutionselastizität
Messung von Substitution bei einer gegebenen ProduktionsfunktionF=F(K,L) durch die Grenzrate der Substitution:
K
L
FF
KFLF
dLdK
−=
∂∂∂∂
−=
0
L
K
Y1Y2
Y3
L1
L2
K1 K2
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Substitutionselastizität
dLdKvonÄnderungrelativeLKvonÄnderungrelative
=σ
Definition: Substitutionselastizität Wie ändert sich das Faktoreinsatzverhältnis bei der Änderung derGrenzrate der Substitution?
LK
dLdKd
dLdK
LKd
dLdKdLdKd
:
LKLKd
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=σ
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SubstitutionselastizitätBeispiel σ=0
Linear limitationale Funktionen
L
K
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SubstitutionselastizitätBeispiel 0<σ<1
Substitution in beschränktem Maße möglich, aber nichtüber ein Minimalniveau hinaus
Lmin
Kmin
L
K
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SubstitutionselastizitätBeispiel σ=1
Substitution möglich
L
K
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SubstitutionselastizitätBeispiel σ>1
Vollständige Substitution möglich
L
K
Lmax
Kmax
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SubstitutionselastizitätBeispiel σ=∞
Vollkommen elastisch
L
K
Lmax
Kmax
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Skalenelastizität
Definition: Skalenelastizität Wie ändert sich bei proportionaler Änderung der Faktoreinsatzengender Output?
L
K
α
∆αYd
dYdY
dYrungSkalenänderelativerungOutputänderelative
α⋅
α=
αα
=
=ε
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Spezielle ProduktionsfunktionenLinear-limitationale Produktionsfunktionen
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= L
u1;K
v1minYLinear-limitationale Produktionsfunktion
L
K uv
LK=
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Spezielle ProduktionsfunktionenLinear-limitationale Produktionsfunktionen
• Produktionsfaktoren sind zumindest kurzfristig nicht substitutierbar.• Der „knappe Faktor“ bestimmt die Höhe der Produktion.• Das Verhältnis von Kapital und Arbeit wird durch die Technologieparameterv (Kapitalkoeffizient) und u (Arbeitskoeffizient) bestimmt.
K
L gegeben
1v
K L= ⋅vu
∂∂ Y K
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Spezielle ProduktionsfunktionenSubstitutionale Produktionsfunktionen
Neoklassische makroökonomische Produktionsfunktionen• Homogene Produktionsfunktionen• Linear-homogene Produktionsfunktionen
CES-Produktionsfunktionen
Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen
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Spezielle ProduktionsfunktionenNeokl. makroökonomische Produktionsfunktionen
(1) KY∂∂ = FK > 0; FL > 0 positive Grenzerträge
(2) 2
2
KY
∂∂ = FKK < 0; FLL < 0 abnehmende Grenzerträge
FKL > 0 Konvexität (3) F (0,0) = 0 ohne Inputs kein Output (4) 0Flim KK
=∞→
; 0Flim LL=
∞→
∞=→
K0KFlim ; ∞=
→L0L
Flim
Annahme über die Grenz-produktivitäten für „große“ (bzw. sehr kleine) Einsatzmengen an Produktionsfaktoren
(5) ∞=∞→
)L,K(FlimK
(L>0 fest)
∞=∞→
)L,K(FlimL
(K>0 fest)
keine absolute Obergrenze für die Produktion
Standardannahmen für substitutionale Produktionsfunktionen
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Spezielle ProduktionsfunktionenHomogene Produktionsfunktionen
Definition: Eine Produktionsfunktion Y = F (K, L) heißt homogen vom Grade λ genau dann, wenn F (α ⋅ K, α ⋅ L) = αλ ⋅ F (K, L) für alle K, L des Definitionsbereiches.
Eigenschaften:
(1) Die Skalenelastizität Yd
dY α⋅
α ist gleich dem Homogenitätsgrad λ.
(2) Mit einer einzigen Isoquante ist die Schar aller Isoquanten bestimmt. (3) Eulersche Formel: λ ⋅ Y = FK ⋅ K + FL ⋅ L . (4) FK (K, L) und FL (K, L) sind homogen vom Grade λ - 1. (5) Die Substitutionselastizität σ ist längs eines Fahrstrahls durch den
Ursprung konstant und es gilt: )1(FFFF1
LK
KL −λ−⋅⋅⋅λ
=σ
.
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Spezielle ProduktionsfunktionenLinear-homogene Produktionsfunktionen
Definition: Eine Produktionsfunktion Y = F (K, L) heißt linear-homogen ⇔ Df F (α ⋅ K, α ⋅ L) = α ⋅ F (K, L) für alle K, L des Definitionsbereichs d.h. eine Ver-α-fachung aller Produktionsfaktorinputs führt zu einer Ver-α-fachung der Produktion, d.h. die Produktionsfunktion ist homogen vom Grade 1. Eigenschaften:
(1) LY d.h. die durchschnittliche Arbeitsproduktivität ist nur von
LK = k
abhängig (ebenso spiegelbildlich auch KY ) :
LY = F (
LK , 1) = f (k) .
(2) FL (Grenzproduktivität der Arbeit) und FK sind nur von LK = k abhängig
(3) Y = FK ⋅ K + FL ⋅ L (Spezialfall der Eulerschen Formel ), d.h. bei Entlohnung nach Grenzproduktivitäten Y = i ⋅ K + w ⋅ L
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Spezielle ProduktionsfunktionenLinear-homogene Produktionsfunktionen
Eigenschaften: (4) Die Grenzproduktivität eines Faktors nimmt (bei Konstanz des je-
weils anderen Faktoreinsatzes) mit zunehmendem Einsatz nicht zu: FLL ≤ 0 und FKK ≤ 0 .
(5) Die Substitutionselastizität σ = KL
KL
FFFF⋅⋅ ist längs eines Ursprung-
fahrstrahls konstant.
Dipl.-Math. Eric Meyer20
Spezielle ProduktionsfunktionenLinear-homogene Produktionsfunktionen
Definition: Eine Produktionsfunktion erfüllt die Inada-Bedingungen, wenn: a) sie linear-homogen ist b) sie die Bedingungen (1) bis (5) auf Folie 16 erfüllt. Für diese Funktionen gilt:
(1) Die Arbeitsproduktivität LY = y = f (k) ist eine streng monoton
wachsende Funktion der Kapitalintensität der Arbeit mit f' > 0 und f" < 0. (2) k ist eine eindeutige streng monoton wachsende Funktion des Lohn
Zins-Verhältnisses (und umgekehrt):
k ↑ ⇔ rw ↑.
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Spezielle ProduktionsfunktionenCES-Produktionsfunktionen
Produktionsfunktionen mit einer konstanten Substitutionselastizität heißen CES-Funktionen (CES= constant elasticity of substitution). Sie habendie Form:
Y = A⋅[ δ ⋅ K-ρ + (1-δ) ⋅ L-ρ ]-1/ρ
Es sind: - A: Skalierung für die Produktionshöhe - 0 < δ < 1: Verteilungsparameter für Lohn- und Gewinneinkommen - ρ: Maß für die Substitutionselastizität σ = 1/(1+ρ)
Dipl.-Math. Eric Meyer22
Spezielle ProduktionsfunktionenCES-Produktionsfunktionen, Beispiele
( ) 21
22 L8.0K2.0Y−−− ⋅+⋅=
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Dipl.-Math. Eric Meyer23
Spezielle ProduktionsfunktionenCES-Produktionsfunktionen, Beispiele
( ) 101
1010 L5.0K5.0Y−−− ⋅+⋅=
Dipl.-Math. Eric Meyer24
Spezielle ProduktionsfunktionenCES-Produktionsfunktionen, Beispiele
( )25,05,0 L5.0K5.0Y ⋅+⋅=
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Spezielle ProduktionsfunktionenCobb-Douglas-Produktionsfunktionen
Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen sind ein spezieller Typ von CES-Funktionen mit der Substitutionselastizität σ=1:
neoklassische makroökono-mische Produktionsfunktion
Cobb-Douglas-Funktionen
CES-Produk-tionsfunktionen
INADA- Bedingungen
σ <1
σ = 1
σ >1
mit
Y = K1-a ⋅ La
Dipl.-Math. Eric Meyer26
Spezielle ProduktionsfunktionenCobb-Douglas-Produktionsfunktionen, Beispiele
5.05.0 LKY =
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Dipl.-Math. Eric Meyer27
Spezielle ProduktionsfunktionenCobb-Douglas-Produktionsfunktionen, Beispiele
8.02.0 LKY =
Dipl.-Math. Eric Meyer28
Spezielle ProduktionsfunktionenCobb-Douglas-Produktionsfunktionen, Beispiele
8.08.0 LKY =
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Dipl.-Math. Eric Meyer29
Spezielle ProduktionsfunktionenCobb-Douglas-Produktionsfunktionen, Beispiele
5.02LKY =
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Cobb-Douglas-FunktionWarum sind sie so beliebt?
Einfach rechnen und zu interpretieren:
)a1(K
LKLK)a1(
KY
dKdY
KdKY
dY
lastizitätoduktionsePr
aa1aa
−=
⋅⋅−=
⋅==
−−
(1) Produktionselastizität
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Cobb-Douglas-FunktionWarum sind sie so beliebt?
LaK)a1(Y ⋅+⋅−=
Einfach rechnen und zu interpretieren:
(2) Einkommensverteilung (historischer Ursprung)Nach Euler gilt:
wLrKLFKFY LK +=+=
Also: Sozialprodukt = Kapitaleinkommen + Lohneinkommen
(3) Leichtes Rechnen mit Wachstumsraten
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Cobb-Douglas-FunktionGrowth AccountingUnterstellt man eine Produktionsfunktion der Form
Y = A ⋅ K1-a ⋅ La
wobei A ein Effizienzparameter ist, so lässt sich das Wachstum einerVolkswirtschaft auf die Beiträge der einzelnen Faktoren aufteilen:
LaK)a1(AY ⋅+⋅−+=
Das Wachstum des autonomen Effizienzparameters A bezeichnet manals Totale Faktorproduktivität (TFP). Sie ist das nicht durch K und L erklärbare Residual und reflektiert den technischen Fortschritt.
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Dipl.-Math. Eric Meyer33
Cobb-Douglas-FunktionGrowth Accounting
Beispiel Bundesrepublik 1991-1998Es gilt dann (s.o.):
%593,0%972,0%365,0%2,1%6,3*)73,01(%)5,0(*73,0%2,1g
73,0%6,3g%5,0g%2,1g
g*)1(g*gg
a
K
N
Y
KNYa
=−+=
=−−−−==>=α
+=
−=
+=
α−−α−=
(Wachstum BIP real)(Beschäftigungswachstum)(Wachstum Kapitalstock in konst. Preisen)(durchschnittliche Lohnquote)
Interpretation: technischer Fortschritt in Höhe von ca. 0,6% pro Jahr.Aber beachten: Veränderungen der Sektoralstruktur können Ergebnisverzerren => Vorsicht bei gesamtwirtschaftlicher Produktionsfunktion!
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Cobb-Douglas-FunktionGrowth Accounting
Quelle: OECD (2003)/IfW Kiel (2004):
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Dipl.-Math. Eric Meyer35
Cobb-Douglas-FunktionGrowth Accounting
Quelle: IMF (2001)
Dipl.-Math. Eric Meyer36
Cobb-Douglas-FunktionGrowth Accounting
Quelle: IMF (2001)
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Cobb-Douglas-FunktionGrowth Accounting
Quelle: IMF (2006)
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Bausteine zur Wachstumstheorie
Angebotsseitige Faktoren Nachfrageseitige Faktoren
• Produktionsfunktion• Technischer Fortschritt• Investitionsverhalten• Humankapital-investitionen
• Nutzenfunktion• Konsum-/Sparverhalten• Arbeits-/Freizeit-entscheidung
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Dipl.-Math. Eric Meyer39
Investitionsverhalten
Investitionsannahmen
• Keine eigenständige Investitionsfunktion(Neoklassik)
• Eigenständige Investitionsfunktion(Keynesianismus)
• Explizite Formulierungdes Investitionsverhaltens
Dipl.-Math. Eric Meyer40
InvestitionsverhaltenEigenständige Investitionsfunktion
Investitionen erfolgen, wenn der Barwertüberschuss des Investitionsprojektes positiv ist:
0)i1(
D)i1(
DrschussBarwertübe nn1 >
+++
+= K
wobei i der Marktzins ist, mit dem diskontiert wird, und Di die Rückflüsseaus dem Projekt sind.Umgekehrt ließe sich auch eine Rendite r des Projektes suchen, bei der
nn1
)r1(D
)r1(D0
+++
+= K
gilt. Die Investition ist dann lohnend, wenn r > i ist.
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Dipl.-Math. Eric Meyer41
InvestitionsverhaltenEigenständige Investitionsfunktion
Einflussfaktoren auf die Investitionen sind dann:• der Marktzinssatz i• erwartete Absatzchancen (Zahlungsrückläufe).
Keynesianische Wachstumstheorien verwenden Investitionsfunktionenmit• der erwarteten Nachfrage• der erwarteten Profitrate r (wird nicht behandelt)
Die Investitionen wirken dabei via Einkommen auf das Sparverhalten.
Investitionen sind inhärent destabilisierend.
Dipl.-Math. Eric Meyer42
InvestitionsverhaltenKeine eigenständige Investitionsfunktion
Die Investitionen werden gleich der Ersparnis angenommen!
Zinssatz stimmt die Pläne der Haushalte (Sparer) und Unternehmen (Investoren) aufeinander ab.
Ist I > S, dann folgt i↑. Damit S(Y,i) ↑ und I(i,r)↓, bis zum Gleichgewicht.
Kurzfristige Ungleichgewichte sind für langfristige Wachstumspfade nichtrelevant.
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Dipl.-Math. Eric Meyer43
Bausteine zur Wachstumstheorie
Angebotsseitige Faktoren Nachfrageseitige Faktoren
• Produktionsfunktion• Technischer Fortschritt• Investitionsverhalten• Humankapital-investitionen
• Nutzenfunktion• Konsum-/Sparverhalten• Arbeits-/Freizeit-entscheidung
Dipl.-Math. Eric Meyer44
Technischer Fortschritt
Definition:Technischer Fortschritt liegt vor, wenn eine Erweiterung des technisch-organisatorischen Wissens eine Erhöhung des Outputs erlaubt, ohne daß der Einsatz an Produktionsfaktoren erhöht werden müßte.
Technischer Fortschritt wirkt so, als würden die Produktionsfaktorenquasi vermehrt, obgleich deren physischer Einsatz unverändert ist.
Hieran und an den Wirkungen auf die Faktorentlohnung und denKapitalkoeffizienten setzen die Klassifikationen an.
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Dipl.-Math. Eric Meyer45
Technischer Fortschritt Hicks-NeutralitätDefinition:Technischer Fortschritt heißt Hicks-neutral, wenn die Einkommensverteilung nicht verändert wird.
D.h. es muss gelten:
Der technische Fortschritt vermehrt in gleichem maße Kapital und Arbeit.
Die Produktionsfunktion lautet:Y = em⋅t ⋅ F (K, L)
)t(F)t(F
)0(F)0(F
L
K
L
K =
Dipl.-Math. Eric Meyer46
Technischer Fortschritt Hicks-NeutralitätArbeitsvermehrender technischer Fortschritt:
Kapitalsparender technischer Fortschritt:
(eigentlich kapitalvermehrend)
)t(F)t(F
)0(F)0(F
L
K
L
K <
)t(F)t(F
)0(F)0(F
L
K
L
K >
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Dipl.-Math. Eric Meyer47
Technischer Fortschritt Harrod-NeutralitätDefinition:Technischer Fortschritt heißt Harrod-neutral, wenn er Zinssatz und Kapitalkoeffizienten nicht verändert.
Die Produktionsfunktion lautet:Y = F (K, L ⋅ em⋅t)
Y YL
=
k KL
=
f k t( , )1
f k t( , )0
Yv
k=1
KY
v const= = .
′ = ′ ==
f k t f k tZinssatz const
( , ) ( , ).
1 0
k∗ k∗∗
Dipl.-Math. Eric Meyer48
Technischer Fortschritt Solow-NeutralitätDefinition:Technischer Fortschritt heißt Solow-neutral, wenn er die Grenzproduktivität der Arbeit und den Arbeitskoeffizienten L/Y nicht verändert.
Die Produktionsfunktion lautet:Y = F (K ⋅ em⋅t, L ⋅ em⋅t)
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